FenomeniFenomeni di crescita e di crescita e decrescitadecrescita

Funzioni esponenzialiFunzioni esponenziali

Decadimento radioattivo:Decadimento radioattivo: Tempo di dimezzamentoTempo di dimezzamento

Per tempo di dimezzamento TT di un materiale radioattivo si intende il periodo passato il quale la metà del materiale è decaduta (cioè si è trasformata).

Tali valori sono generalmente riportati in tavole e possono essere molto diversi per i vari materiali radioattivi:

Materiale Tempo di dimezz. T

AZOTOAZOTO 10 minuti

CARBONIOCARBONIO 5730 anni

Problema:Data una certa quantità iniziale Q(0) di azotoazoto, dopo quanti tempi di dimezzamentotempi di dimezzamento (e quindi dopo quanto tempotempo) la quantità di sostanza radioattiva si riduce…

a)..a meno di 1/4, b)..a meno di 1/100, c)..a meno di 1/1000 della quantità iniziale?

0 T 2T 3T 4T

Quantità azotoQ0=Q(0)

Q0/2

Q0/4

Q0/8 Q0/16

t=1T t=2T t=3T t=4T …… t=nT

Q(1)=Q0/2 Q(2)=Q0/4 Q(3)=Q0/8 Q(4)=Q0/16 …… Q(n)

……..

21

0Q2

0 21

Q

4

0 21

Q

3

0 21

Q

n

Q

21

0

a)Dalla tabella si vede che :

Q(n)=Q0/4 per n=2 , ossia dopo 2 tempi di tempi di dimezzamentodimezzamento

Quindi la quantità di azoto si riduce a meno di 1/4 di quella iniziale, dopo 20 minuti.b)Il valore di n per cui Q(n) < Q0/100, deve essere approssimato con le successive potenze di 1/2:

(1/2)1 (1/2)2 (1/2)3 (1/2)4 (1/2)5 (1/2)6 (1/2)7

1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128

7 tempi di dimezzamentotempi di dimezzamento equivalgono a 70 minuti.

Una sostanza radioattiva però, decade con continuitàcontinuità e non a intervalli per cui l’equazione può scriversi:

x

QQ

21

0

n

QnQ

21

)( 0

Con x numero reale

Se poniamo uguale a 1 (cioè al 100%) la quantità iniziale Q0, possiamo scrivere l’equazione del decadimentol’equazione del decadimento nella

forma:x

Q

21

xR

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5

tempi di dimezzamento

Quantità azoto

Grafico precedente, per punti:

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5

tempi di dimezzamento

Quantità azoto esponenziale

Come si può osservare il grafico della curvacurva contiene i punti del grafico “discretodiscreto” precedente.

Con questo nuovo strumento, possiamo calcolare con precisione dopo quanto tempo la quantità di azotoazoto radioattivo si è ridotta ad 1/100 del valore iniziale?

Dobbiamo risolvere l’equazione esponenziale: 100

121

x

Prendendo i logaritmi di entrambi i membri e utilizzando la proprietà del log di una potenza, si ottiene:

1001

21

LogLogx

1001

21

LogLogx

21

1001

Log

Logx .....6438,6x

Il risultato si può confrontare con quello ottenuto precedentemente per approssimazione, ma la risposta ora è più precisa:

6,64.. tempi di dimezzamentotempi di dimezzamento equivalgono a : (ricordando TT=10 minuti)

6,64 6,64 TT = (66,4) = (66,4)mm = 1 = 1hh (6,4) (6,4)mm = 1 = 1h h 66m m 2424ss

(anche se è dubbio che si possa calcolare il tempo in modo così esatto per un fenomeno reale).

Come esercizio, calcola la risposta al quesito (c)Come esercizio, calcola la risposta al quesito (c)

L’equazione dell’evoluzioneL’equazione dell’evoluzione

Ci proponiamo di generalizzare il problema, cercando un modello matematicomodello matematico in grado di descrivere il processo di decadimento radioattivo, o, analogamente, il processo di crescita delle cellule, crescita di colture batteriche o di fermenti.

Nel 1798 il religioso inglese T.J. Malthus, tentò di elaborare un modello matematicomodello matematico che descrivesse la crescita delle popolazioni.

L’interesse per tale problema era dovuto alla veloce crescita, in quell’epoca, della popolazione nelle città industriali e dalla conseguente preoccupazione per il popolamento dei paesi civilizzati.

Nel caso di processi di decrescitaprocessi di decrescita (risp. di crescitacrescita), l’esperienza scientifica mostra che:

lala variazionevariazione (aumento o diminuzione) della quantità di sostanza considerata è proporzionale alla quantità stessa è proporzionale alla quantità stessa ((yy) e al tempo trascorso() e al tempo trascorso(tt):):

y y t

Introducendo una costante realereale K otteniamo una prima equazione dell’evoluzione, nella forma:

0

0

0

k

k

k

con

Per decrescita

Per stagnazione

Per crescita

Questa equazione può essere ulteriormente elaborata sia nel caso discreto che nel continuo.

tyky

Caso discretoCaso discretoSe indichiamo con yyjj la quantità di materiale dopo jj intervalli di tempo tt,

dall’equazione: tyky segue

tykyy jjj 11

Spostando yyj-1j-1 e raccogliendo a fattor comune:

tkyy jj 11

tkyy jj 121

………………………………………..

22 1 tkyy jj

jj tkyy 10Con valore iniziale y0

jj tkyy 10

Nel Nel modello discretomodello discreto, , crescitacrescita e e decrescitadecrescita sono descritte da sono descritte da progressioni geometriche..

Nell’esempio trattato precedentemente, si aveva:

1t

21

k

(un tempo di dimezzamento)

Caso continuoCaso continuo

Immaginiamo l’intervallo [0;t][0;t] diviso in un numero crescente di intervalliintervalli t,t, sempre più piccoli.

Indichiamo con nn il numero di intervalli di tempo :

tnt

Sostituiamo nel modello discreto:

nn tkyy 10

ttt00

n

per cui:

n

nkt

y

10

n

n nkt

yy

10

Come si comporta questa espressione per n n ?

Ricordando il numero di NeperoNepero (o di EuleroEulero):):

en

n

n

11lim

Si dimostra facilmente che:

ktn

ne

nkt

1lim

Nel Nel modello continuomodello continuo, , crescitacrescita e e decrescitadecrescita sono descritte dall’equazione: sono descritte dall’equazione:

kteyy 0

Con valore iniziale y0

0

0

0

k

k

k

con

Per decrescita

Per stagnazione

Per crescita

e

Ritorniamo al problema dell’AzotoAzoto radioattivo.

Ponendo y0=1, il decadimento può essere espresso dalla :

kteyy 0

ktey Per determinare k, usiamo i dati a nostra disposizione:

dopo 10 minuti la quantità di Azoto si è dimezzatadopo 10 minuti la quantità di Azoto si è dimezzata

t=10mit=10minny=1/2y=1/2

ke10

21

ke10

21

Ancora una volta con i logaritmi possiamo ricavare k

21

lnln 10 ke 5.0lnln10 ek 105.0ln

k

...0693147.0k

tey 0693.0

Può sembrare strano che due equazioni diverse formalizzino lo stesso problema:

tey 0693.0x

y

21

L’unità di misura è il tempo di tempo di decadimentodecadimento; la xx indica quanti T=10minT=10min sono passati

L’unità di misura è il minutominuto

Il legame tra le due unità è:

t=10xt=10xIl legame tra le due unità è:

t=10xt=10x

Sono Sono equivalenti equivalenti

??

Generalizziamo il problemaGeneralizziamo il problema, dalla:

ke10

21

Tke21

Possiamo scrivere:

Tkeln2ln 1 eTk ln2ln

Dove T, indica il tempo di tempo di dimezzamentodimezzamento di una qualsiasi sostanza

Passando ai logaritmi:

Tk

2ln

Tasso di Tasso di decadimentodecadimento, caratteristico di ogni sostanza

L’equazione dell’evoluzione può essere riscritta:

ktey t

Tey2ln

x

y

21 t

Tey2ln

Mostriamo l’equivalenza:

xy 21lnln

12lnln xy

2lnln xy

2lnlny

x

tTey2ln

lnln

etT

y ln2ln

ln

Ricordando il legame: t=xT xTt

xy 2lnln

2lnlny

x Quindi ancora una volta:

Scheda 1 – caso discreto

Scheda 2 – caso continuo

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I fenomeni radioattivi