APPJliθJ Ma油 ,θ

“α″csjわrE″gJπθθガ

“gβ ∫σλ″ 惚■ 7

第7章 付 帯条 件付 き変分 F・l題 ― 等周問題 ―

前章では,定積分の形で与えら薇る汎関数を, ある境界条件の下で,停 留値にする関数を求めることを考えて

きた。本章では, こ薇以タトの条件が,定積分の形で付けカロえら薇る場合を考える。

このような付帯条件付 き変分 F・l題 として最も典型的なものは,所調 "手周問題 ",ヌFち "周 囲の長さが一定の

閉曲練の中で, その囲む面積が最大のものをネめよ !"と 云 うF・l題であろう.本章では, この様なF・l題 の取 り扱

い方について説明 しよう.

§7.1 等周 F・3題

汎 関数 J[ッ ]

¨ "¨ ¨¨ "¨ …… ……… ………… ………… ………… …… 0(7。 1)

00。・・・・・・ 0・・・・ 00。・ 0000● ●●00・・ 0,Ce。 。ooooo00000000● ●●●(7。 2)

κ [ッ ]の 値 が,

F(χ ,ッ ,y′ )グχ

G(χ ,y,ソ′)ごχ

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め

・・ 0(7。 3)

付帯条件 を満足す るような ッ=ッ (χ )の うちで, J[ッ ]を停留にす

の長 さが 一定の閉曲錬の うちで, その囲む面積が最大のものを求

ので, この名が太:こ った。

励ｏ　　　ｍ　　η　』　　の・　　　　　ｏ　　助

に

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と置いたものである。えに,

NαgOSα■liル s府“

″ げ 為″ Jligご SCル″cθ ■ド“"““

IoRI‐イ θ

‐

Cλη″ム7

・。・ (7.9)

(7.10)

z4_PPJliθごル「αttθ“αガcs/ar E“ gJ″θθだ

“g′ f

δy′ =ザ与δツであることを用いて,

ると,

グ1醤

:)δy ごχ

変分 δッ(χ )は ,

狩　　　¨　　為‐こ，

４　　〆一り　　討

円目　厚

部　　レーＬ

　

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と

　

　

　

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¨ ¨ ¨ ●0"¨ ¨ "¨ ¨ "¨ ¨ ¨ "¨ ¨“

¨ ¨ ¨ ¨ "¨ … … … … … … … 0(7el l)

ら,第 1項 は消失し,

る

　

る

め

　

　

　

　

　

立

こ

付

つ

る

式

鴻　働林　　　　　獄」鷲従動的

§7.2 多くの関数が ある場合 の 等 周 問 題

本節では,前章 6.4節で述べた多関数に対す る変分 Fpl題 に,付 帯条件 を付与 した場合について考 え

る.

ここで も,(6。 58)式と同様, ′を独立変数 と して, 2つ の未知 関数 χ=χ (′ )と y=ッ (′ )に よる汎関数

J[χ ,ッ ]

ヽ

―

ｌ

ｋ

／

１

‐

プ

の肩

〓・ツ

α・ツ。χ

・

ッ

χＦ

ｒ

ｉ

ノ′

〓J[χ ,ッ ]

●●●0● ●●●00000000● 00● ●●●00● ●●●●●●●●●(7.15)

………………………………・・¨……………………………σ。16)

仁し,■ =g手

ヽ

―

＞

―

ノ

ツ

ｙ

(6.59)式 と同様な境界条件

χ(″ 1)=χ l,ッ (″ 1)=χ(′ 2)=χ 2,y(″2)=

付帯条件

を ,

と ,

■F“

"““

″oRI‐イ フ

‐Nagαsαtt r“ sガ放″qル句ηEedSCJθ“εθ

均ηJliaご Mattθ ttαtts/ar E″gれθιガ暉βr Cλ″″∴7

κ[χ ,ッ ]一 ′ =0

仁 し, κ [χ ,y]= G(′ ,χ ,y,光 ,夕 )ごノ

の下で停留にするFpl題 を解いてみ

●●●●●00● ●0● ●00●・ 0。・・●●●0●・ 00・(7.17)

ｒｉｌ月　

ょ

前節と同様,ラグラングユの未定乗数をλとすると,上 のFpl題 は,

り 鷹 助

なる汎関数 ″[χ ,ッ ]を ,停留にするに解χ(″ ),y(″ )を 求めるFpl題 に帰着さ薇る。

さて,(7.18)式 の第 1変分 δ〃は,

δttr=δ J十 九δttr十(κ [ッ ]一 ′

)δλ

=δ J tt λ δκ ¨¨¨…………………………………………………………………………。(7.19)

によって求め得 る。 ここに, δλを困数に持つ第 3項は,(7.17)式 の付帯条件により消失 した.式 中の

第 1変 分 δJ,δκは,(6。 61)式 と同様な計算により,

δ〃 = 優:δχ+霧:δツ+優

:δ光+醤

;δタ ル +λ I:δχ+新:δッ+I:δ・

+鶴;あ ル

静 ∵ 話

2語等ぃ等路警 … ゅ

き,¨厳高夏″F」「 息襲IIttIIギ

のように得 られ,(7.16)式 の境界条件を満たす為に,変分 δχ(′ ),δッ(′ )は ,

糊 翼:認糊翼 … 笏を満足するように選ばれるから,(7。 22)式 の第 1項 は消失し,

を得 る.こ こに,(7。 18)の 汎関数 ″ [χ ,y]の 停 留条件は,

δ″ =0 "¨ ・¨o""¨・""¨ "¨・・ ・¨¨……・ ・¨¨"● ● ¨¨ 0・・0・・・● ●(7.25)

であるか ら,任意の変分 δχ(′ ),δ ッ(′ )に対 して成立す る為には, やは り(6.67)式 の Fを F*で置き換

えた形 として,結局 ″ [χ ,y]の 停留条件は,

Wagasα■liル sガ加″o/zttη ttedscJθ ″εθ _5θ ‐ ■5“ra″

“″θRI

ヽ■Jliθ ごMaヵθ“αガcs/aF E“ gJ″ιθガ4g β ∫C力cP″∴7

●●●●●0● ●●000● ●●●●0000● ●0● ●●000● ●0● ●●●00000000●(7。 26)

*=F十九G

として得 らよる.こ のように2つ の未井関数がある場合の付帯条件付 きの変分問題 も,ラ ク゛ラングユの未

定乗数を導入することにより, 6.4節 の付帯条件無 しの変分問題と全 く同様な取 り扱いができること

が分かり,前節と同様な状況である.

【ク1題 7.1】

月の長さ′を持 ち,全 く交又 しない千面曲錬の内,面積を最大にする山錬を求めよ.

[解]こ の千面曲象が,

ヽ――ノ

ヽ――ノ

　

Ｆ

＊〆一概　＊〆

一り　　し，

訂剣剤「＞川Ｊ洲「　　仁

一　

　

　

　

　

一

〆丁〆下

０

　

　

　

０

一一　

　

　

　

〓

χ =χ (″ )

ッ =ッ (′ )

… … 閉

のように, χ,ッ 共に媒介変数 ′を介 してハラメター表示さ薇たとする。 ここに, χ(′ ),y(″ )は ′の逹統微

分可能な関数と考える。また,曲錬はFtlじ ているから,

鋼朝冨耽である.

まず,準備 として, このようなハラメター表示 さ薇た閉曲錬の面積 Sを 求めることを考 えよう.

そこで, 4.2節 で準ぃたがウスの/Ak式 を思いた こそう。

“

。1の式において,器 =1と 置けば,F(χ ,ッ )=ッ となるか ら,閉 山錬 εで囲ま薇た額裁 D内 の面

積 Sは,

S=五 グχの 一 三ガ χ ……… … … … … … …・… … … … … … … ……σ。2勁

のように,Ftl曲 線 θに沿ったχに関する線積分によって求め得る.こ こに,積分路 εの回り向きは,

正の反時計口りとする。 一方,“.14)式において,器 =1と 置けば,F(χ ,y)=χ となるから,同

じく'脅

オ奇Sは,

S=五 グχごy=lχ グy¨・… … … … … … … … … … … … … … … …・σ。3oのように, ッに関する繰績分によって も求め得 る.よ って,σ。29),σ .30)両 式の相加平均を取った形

式で,

S=告1(χ

の 一ツ山 )… … … … …… … … … … … … …… く7鋤を得 る.こ こに, χ,ッ が(7。 27)式 のように媒介変数 ″を介t表記 され薇ば,

劣 :;窮}…

… … … … … … … … … … 暉 幼

であるから,(7。 31)式 を″に関する積分に書き直せば,面積 Sの ハラメター表記として,

S=ウ″ レ ター

川夕 =告

茸 弓 閉 務 … … … … … … O勁を得 る.

以上の準備計算を踏また,(7。 27)式 のFtl曲 錬の面積を表わす汎関数 J[χ ,ッ ]は ,

れ 月 =茸 印 ,尋 ∴ガ 務 =告茸 い

一月

夕 … … … … … C釣であり, その曲錬の周長が ′で規定さ薇ているから,付帯条件としては

,

Nagasα″r“s″″た。/4″〕″θごSClia“εθ ‐51‐ rむ

“費フ′π

“10RI

初 JJθご″「αttθ″αガcs/ar E"glinθθガ“gβ「 C力

`7″几7

κレ,月 =I:G← 9X9y'″ )務 =φ 編→2+(グガ2

=Irプノ+夕 2務=′ …………………………………く7勁

の11[i:β.:∫β.馳IIl√

しく72節の糊Fpltに化ならなヽ

0000・ 000。・・・・・・●●●●●0● 0● ●・ 0・・・●●●●●0000(7。 36)

Fkttχ ,y,■ ,夕 )=券 (χターガ)十λ占2+夕2… … … …… … … … … σ.3η

となる。ここに, λはラク゛ラングユの未定乗数である。従って, F*に 対するオイラーの方程式は,(7.26)式 に

より, χ,ッ そ薇ぞ薇に関して,

1三二 _二1旦

三二

)=:一ザ:(一 考

十 九7可戸|1可戸

=)=°

1三二 一岳

1111)=一芸

一競「

1き

+λ y〒寺可戸

)=0

のように得 られる。ここに,

８７

ヽ

―

‐

‐

＞

∫

―

―

プ

拒 …であることを考慮 して,(7.38)式 を変形す薇ば,

携(ツ

ーλv/ヵ

2+夕 2)=°。・・・・・ 0・ 0・ 0● ●●●●●●●●・・・・ 000● 00● ●●●o● ●Oo● 0● ●●●●●●C(7。 40)

携(χ

+λザ

となる.そ れぞれを, ノに関して 1階積分することにより,

ッー人

χ+λ

を得 る。 この 2つ の式 を逹 立 させ, λ を消去 す 薇ば ,

y~ε 2 χ

χ―σl ッ

となaこの微ll場… … … … … … … … … oo

∫レー%)の 一∫←一負)み ∵……………………∵……………00のよ うに, χとッについて変数分離 の形で積分す ることに よ り,

°・°:・・°°°°00000● ●o● ●●●●ooOoo● ●●●●●●●●●●0(7。44)

を得,(7。 41)式 を代入て未定定数 ε3を ためると,

偽=ノ =ノ …∵… … …… … … … ………60

となる.こ の ことか ら,(7。黎 )式 は ,

= ε2

(θ l,θ 2:任 意 定 数 )

= σl

(χ_負

)2+(ッ ーσ2)2=λ2

Nagasa■liル sだ滋″oJ均りJligご SCル“θ

・・ (7。 46)

‐52・ 7b“ra″″』りθFr

AttPJliaご Mcttθ

“αttcsル

「E“gゴ″θθだ″gβ r Cλ″惚■7

と言 くことができ, この曲錬は, ヤ′むを (ε ぃ c2)有する半径 λの円を表わす。 こ薇を,媒介変数 rを

用いて表記すると,

‖ …

となるから,(7.35)式 の付帯条件に入薇戻すことにより,

′ =∫fπ

y(一 九 sh″ )2+て 九 COS″ )2α ″=λ∬

πysh2″ 十 COζ

2″

ク

=λ∬πグにλ

[″ ]:π =2πλ・…………………………………………(7.48)

を得 る.こ れにより,ラグラングユの未定乗数 λは,

λ =券 …… … … … … … … … … … … … … … … … …σ4動

のように定まり,円 周 ′から円の半径 λを求めたことに相当する。

以上の結果より,最終的に求める変分Fpl通 の解は,

(χ_偽

)2+(y_ε 2)2=(券 )2… … … … … … … … … … … … ・σ50であることが分か り,周 長 ′の問曲錬で,面積 を最大にす る曲錬 は,半径

ザトの円で あ ることを示 し

ている.

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IoRINcrSα″動屁sだ″“″qノzttη″′ごSclig″ε″ ‐53‐