フーリエ級数諸例 - miyazaki-u.ac.jp...N = 2 N = 3 N = 4 N = 10 N = 100 図のフーリエ級数の第項までの和第部分和，に関する問題において、正弦関数で展開している方の項を見ると，一つ置きに

フーリエ級数諸例 �� 矢崎

目次

�� 方形波 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 鋸歯状波 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 角パルス ��

�� 簡単な偶関数のフーリエ級数 � � � � � � � � � � � � �

�� 簡単な奇関数のフーリエ級数 � � � � � � � � � � � �

� 偶関数のフーリエ級数 � � � � � � � � � � � � � � � �

� 偶関数のフーリエ級数（図） � � � � � � � � � � � � �

�� 奇関数のフーリエ級数 � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 奇関数のフーリエ級数（図） � � � � � � � � � � � � �

� � �角パルス ��

�� 角多項式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� 奇関数でも偶関数でもない関数 ��


�� に関する問題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

注�

問題 �� これだけは！（初級）問題 �� 脳みそに汗が；（中級）問題 �� むむ、御主只者でないの。（上級）

�� 方形波

周期 ��の関数

��

��

� � � � � ��

のフーリエ級数を求める。

f(x)

��は奇関数なので，�� である。よって，��のみ計算すればよい。

��

��

��

��

�

��

�� 偶数 � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� 奇数 � ��

故に，

��

�

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100

図 �� のフーリエ級数の第�項までの和第�部分和，� � ��

�

�� 鋸歯状波


��


f(x)


��

��

��

��

故に，

��

��

��

��

� �

��

��

��

��

��

��

��

�

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100


�

�� 角パルス ��


��


f(x)

��は偶関数なので，�� である。よって，�� のみ計算すればよい。

��

��

�

��

�� 偶数 � � � � � � � � � � � � � � � ��

��

�� 奇数 � ��

��

故に，

��

��

�

�

��

��

��

��

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

�

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100


�

�� 簡単な偶関数のフーリエ級数


��


f(x)


��

��

� ��

��

��

��

故に，

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100


�

�� 簡単な奇関数のフーリエ級数


��


f(x)


��

�

��

�

��

��

��

��

��

故に，

��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

�

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100


� 偶関数のフーリエ級数


�� は整数でない�



��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

��

��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

��

��

故に，

��

�

�

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

�

� 偶関数のフーリエ級数（図）

f(x) N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100

図 � � �� のときの �� のフーリエ級数の第 � 項までの和第 � 部分和，

� � ��

f(x) N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100

図 � � � ��のときの �� のフーリエ級数の第 � 項までの和第 � 部分和，� � ��

�

�� 奇関数のフーリエ級数


�� は整数でない�



��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

��

��

故に，

��

�

��

��

��

� ��

�

��

��

� ��

��

� ��

��

��

��

�

�

�� 奇関数のフーリエ級数（図）

f(x) N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100

図 �� のときの �� のフーリエ級数の第 � 項までの和第 � 部分和，

� � ��

f(x) N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100

図 �� のときの �� のフーリエ級数の第 � 項までの和第 � 部分和，� � ��

�

� � �角パルス ��


��


f(x)


��

��

� ��

��

�

��

�� 偶数 � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� 奇数 � ��

��

故に，

��

��

�

�

��

��

��

��

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

�

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100

図 � � ��のフーリエ級数の第�項までの和第�部分和，� � ��

��

�� 角多項式


��

��

� � ��


��

��は有限項 �� 項�の和であるので，積分

��

��と�

�

��は順序を交

換できる。�無限項の和��

��と積分の順序は必ずしも交換できない。�

よって，

��

�

��

��

��

�

��

�

��

��

��

�

��

��

��

��

��

�

� � ��

��

��

ここで，正弦・余弦関数の直交性を用いた。同様に，

��

��

��

故に，

��

��

� � ��

� ��

即ち，��のフーリエ級数は ��自身である。

��



��

� ��

� � � � � ��


f(x)

��は奇関数でも偶関数でもないので �� の全てを計算する。

��

�

��

��

��

�

��

�

� ��

��

�

��

�

��

�� 偶数 � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� 奇数 � ��

��

�

��

��

故に，

��

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

��

��

��

��

��

� � � �

�

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100


��



��

� � �

��

��

� ��


f(x)

��は奇関数でも偶関数でもないので �� の全てを計算する。

��

� ��

�

�

�

��

� � �偶数 � � � ��

��

��

��

�� 奇数 � ��

��

��

�

��

�

��

�

�

��

��

��

��

� �偶数 � � � ��

� � �奇数 � ��

故に，

��

��

��

��

�

��

��

� ��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

� ��

��

��

��

��

��

��

�

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100


��

�� に関する問題

��において、正弦関数で展開している方の項を見ると，一つ置きに

の項がある。それなら，もう少し簡単に，

��

��

��

��

��

�

�

� � �

��

��

��

�� 偶数 � ��

�� 偶数 � ��

�� 奇数 � ��

としても問題はないはずである。そうしておいて，

��

�

��

��

��

�

�

��

��

��

� ��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

�

��

��

��

��

��

��

��

�

と展開する。そして，と �を同じ �個ずつ和を取る。一見，上の計算と同じなのだが，図 ��のようになる。�� 辺りで妙なノイズが観察される。どうしてこのような現象が起こるのか。また、� � �としたとき、このノイズは消えるのか。考察してみよ。

N = 1 N = 2 N = 3

N = 4 N = 10 N = 100

図 �� のフーリエ級数の �を飛ばした第 �項までの和第 �部分和，� ��

��

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フーリエ級数諸例 - miyazaki-u.ac.jp...N = 2 N = 3 N = 4 N = 10 N = 100 図 のフーリエ級数の第 項までの和 第 部分和，に関する問題 において、正弦関数で展開している方の項を見ると，一つ置きに

フーリエ級数諸例 - miyazaki-u.ac.jp...N = 2 N = 3 N = 4 N = 10 N = 100 図のフーリエ級数の第項までの和第部分和，に関する問題において、正弦関数で展開している方の項を見ると，一つ置きに