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エネルギー機能材料学特論 第7回目

担当：西野信博

A3-525号室

nishino@hiroshima-u.ac.jphttp://home.hiroshima-u.ac.jp/nishino/

プラズマ実験装置NSTX(Princeton)

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授業の内容

プラズマ中の波動（入門２）

• 代表的な波動現象

– 電子音波（電子プラズマ波）

– イオン音波とイオン波

• 冷たいプラズマにおける波 総論（Cold Plasma)– 例：Alfven波など

演習 Exercise

• 真空設計

• 今、直径50㎝、長さ１ｍの円筒容器内を真空にすることを考える。容器の材質はSUS316Lとして、漏れ等が全くない状態とし、SUS表面からの放出ガス量qを

• q=1x10-6Pa・m3/m2/sec• として、この容器の到達圧力を10-6Paにするために、必要な排気速度

を計算せよ。

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Vacuum Vessel 50cm

1m

排気口（直径20㎝、長さ10㎝）Pump参考URLhttp://www.jspf.or.jp/Journal/PDF_JSPF/jspf2003_05/jspf2003_05-518.pdfhttp://www.gakushuin.ac.jp/univ/sci/top/jimu-info/mono/mono_pdf/2-9.pdf

真空設計の考え方 Vacuum design

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［実験目的を理解して、実験のための容器の大きさ、真空度の決定］1. 放出ガス量を決定する

1. 材質から放出ガスの量qを調べる（真空ハンドブックなどのデータなど）問題では与えられている

2. 真空容器の表面積Sを求める3. 放出ガス量Q=qS

2. 目標の真空度を決定する1. 実験目的から必要な真空度を決める2. 余裕をどの程度取るか？3. 到達圧力peの決定問題では与えられている

3. 真空ポンプの決定1. 到達圧力を満たす性能のポンプとその性質を調べる2. 価格と納期などの条件から実験目的を達成できるポンプの購入

2 22 2 2S L R R mπ π× +

6 32 10 /aQ qS P m s−= = ×

61 10e ap P−= ×

3, 2 / 2000 /e pumppump e

Q Qp S m s Litter sS p

= = =

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2流体プラズマ方程式に基づく波動の基本式Wave equation by using two fluids plasma equation

• 電子と一種のイオンで連続の式と運動方程式を適用する。式中のsはe,iを表す

• ここで，応力項と衝突項は無視した。また，圧力p=nTで断熱変化を仮定すると,γを比熱比として[⊿T/T=(γ-1)⊿n/n]

• すると，

• 電子もイオンも内部構造がないとし，γ=5/3。

ssssssss nTTnnTp ∇=∇+∇=∇ γ

0ss s

n nt

∂+∇ ⋅ =

∂V

( )ss s s s s s s sm n q n p

t∂

+ ⋅∇ = + × −∇∂V V V E V B

( )ss s s s s s s s s sm n q n T n

tγ∂

+ ⋅∇ = + × − ∇∂V V V E V B

復習

6

プラズマ波動の仮定Assumption of the plasma wave

• Maxwellの方程式のｊとρは，それぞれ以下のようになる。

• ところで，プラズマ波動以外の現象は定常とすると，定常分と時間変動分にわけて，それぞれ0,1の添え字をつけ，定常電場と定常速度はないとする。

• 次に, の式の回転（▽×）をとり,

• を左辺に代入すると,

• ベクトル公式 を利用して,

sss

snq Vj ∑= ∑=s

ssnqρ

1E = E 1s sV = V

0 1s s sn n n= +0 1s s sT T T= + 0 1B = B + B

00

1t

εµ

∂∇× = +

∂EB j

t∂

= −∇×∂B E

0 0 0t tµ ε µ∂ ∂ + = −∇×∇× ∂ ∂

Ej E

( )2∇×∇× = −∇ +∇ ∇⋅E E E

( )20 0 0t t

µ ε µ∂ ∂ + = ∇ −∇ ∇⋅ ∂ ∂ Ej E E

復習

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微分の置き換えSubstitution of the differential

• フーリエ成分の一つの波を考慮した以下の微分の置き換えをすると

• 最後に,連続の式と運動方程式も書き換えると

,i ikt

ω∂→ ∇→

∂

( ) ( )2 2 21 1 1 0 0 1 1( ) / e i ek c i enω ωµ− ⋅ = − −E k k E E V V

1 0 1 0e e ei n inω − ⋅ =k V

1 0 1( / ) 0i e ii n i n Zω − ⋅ =k V

( )0 1 0 1 1 0 0 1e e e e e e e ei m n en i T nω γ= − + +V E V B k

( )0 1 0 1 1 0 0 1i i i e i i i ii m n en i T nω γ= + +V E V B k

0 0e in Zn=但し,準中性の仮定から 、 1 1e in Zn=

復習

8

1 0 1 0e e ei n inω − ⋅ =k V

1 0 1( / ) 0i e ii n i n Zω − ⋅ =k V

( )0 1 0 1 1 0 0 1e e e e e e e ei m n en i T nω γ= − + +V E V B k

( )0 1 0 1 1 0 0 1i i i e i i i ii m n en i T nω γ= + +V E V B k

2流体プラズマ方程式に基づく波動の基本式Wave equation by using two fluids plasma equation

連続の式（質量保存）

運動方程式（運動量保存）

下添え字で、e,iはそれぞれ電子とイオン、0、1はそれぞれ0次と1次の解、すなわち、0次は平衡解で、1次が揺動解

( ) ( )2 2 21 1 1 0 0 1 1( ) / e i ek c i enω ωµ− ⋅ = − −E k k E E V V 分散関係

電子音波（電子プラズマ波）Electron acoustic waves (electron plasma oscillations)

• 周波数が十分高く、massが大きいイオンは運動できず、単に平均的な電気的中性を保つための背景の役割を果たすだけとする。

• 簡単のため、B0=0とし、x方向に伝播する一次元の縦波を考える。

• 電子に関する分散の式、連続の式、運動方程式は

• となる。これらから、 E1,Ve1を消去し、 trivialでない解(ne1が0でない）が存在するためには、

• の分散関係が得られる。ここに、ωpeは電子プラズマ周波数、Ve,thは電子の熱速度である。

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( ) ( )2 21 0 0 1 0ec E i en Vω ωµ+ =

0 1 0 1 0 1e e e e eim n V en E i T knγ= − +1 0 1 0e en n kVω − =

2 2 2 2 2 2,3 / 3vp e e p e thT k m kω ω ω= + = +

分布関数を使った導出方法は、例えば、下記参照http://www2.yamanashi-ken.ac.jp/~itoyo/lecture/plasma/plasma03/index03.htm

• 前頁で得られた式を

• 図示すると右図となる。

• 熱速度の存在を考慮するとk~0（λ~∞）付近での単なるプラズマ振動から波として伝播が起こる。

• kの増大とともにωも増大

• すなわち、位相速度ω/kは次第に減衰し、電子音波に近づく。

• ただし、ランダウ減衰と呼ばれる現象によって、波は強い減衰を受け電子プラズマ波は存在しなくなる。

• 分散関係をデバイの距離λDを用いて書きなおすと

• となり、λが小さくなってデバイの距離に近づくとランダウ減衰が起こる

電子音波（電子プラズマ波）の分散関係Dispersion relation of the electron acoustic wave

(electron plasma oscillations)

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( )22 22 1 12 /pe Dω ω π λ λ = +

プラズマ振動

イオン音波 Ion acoustic waves

• イオン音波は低周波の縦波で，イオンが主役の波である。

• 圧力勾配とクーロン力がそれぞれ駆動力、復元力となる点で電子プラズマ波と同じである。

• では、イオン音波の分散関係を導こう

• 低周波なので、電子はイオンに追随して動くと考えると、

• と とおいてよい。

• 簡便のため、B0=0とし、x方向に伝播する波を考える。連続の式はイオンと電子が同じ式になリ、分散の式と運動方程式からV1とE1を消去して、前回同様n1≠0でない条件を考えると、mi>>meとして

• 特に、電子温度がイオン温度より十分高ければ、

• となる。

• このように、イオン音波の特徴は、電子温度とイオン質量に依存すること、また、通常気体と違って無衝突でも存在できる。

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1 1 1~e in n n=

1 1 1~e iV V V=

( ) ( )20 0 /e e i i ik T T mω γ γ= +

( )1/20v /ph e e ik T mω γ= =

電子の役割Role of electrons

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イオンが空気中の音波と同様疎密を繰り返す

電子はイオンに比べると質量が小さいので、イオンの動きに追随して動く

説明電子の運動方程式でme0とすると、

左辺第1項は電子に働く静電力、第2項は電子の圧力勾配による力で，

これらが釣り合っているため、電子はイオンとほとんど同じ動きをすることになる

0 1 0 1 0e e een E ik T nγ− + =

0 1

0 1

/ /ep e e e e

e e e

F p x T n xk T n

γ

γ

= −∂ ∂ = − ∂ ∂

= −

イオン波 Ion waves

• イオン音波の分散式では、 の条件（準中性条件］を設けた。これを外してより広い条件で考えると、イオン波と呼ばれる広い形態の波が現れる。但し、追加条件としてポアソンの式を導入し、式変形の後に、ω2<<ωpe

2を仮定して0でない解を見出すと、

•• これから、 の場合、前のイオン音波になり

• の場合、ωはkとは無関係な一定値

• 、 の場合、

• これらをまとめると次ページの図になる。

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1 1 1~e in n n=

( ) ( ) ( ) ( )12 22 0 01 / /e D e e i i i ik k T m T mω γ λ γ γ

− = + +

2 2 1D kλ

2 20 01 /D e ik T Tλ

20 0/pi ie n mω ω ε=

2 20 0/D e ik T Tλ

2 2 1D kλ ,/ / vi i i i i thk T mω γ γ= =

イオン波の全体像 Schematic of ion waves

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周波数が高くなると波長が小さくなり、デバイの長さで波が立ってくるため、準中性条件が成立しなくなる

冷たいプラズマにおける波 総論Waves in cold plasma

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この座標系で分散式を導く• 粒子の熱運動がない（冷たいという意味）時、

• 電子・イオンの２成分での一般的な波の分散式を導く

• 外部静磁場をｚ方向とし、波の伝播ベクトルkはx-z面内にあって、z軸と角θを成すとする

• 従って、ky=0

このような座標系で考えるという意味です

• 運動方程式

• Maxwell方程式の一つ

• を使用して、かなり長い式変形の後，変動電場E1のみの式を得る。E1≠0の解がある，以下の屈折率Nの条件を得る

多少の式変形の後After some expression transformation

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( ) ( )2 2 21 1 1 0 0 1 1( ) / e i ek c i enω ωµ− ⋅ = − −E k k E E V V

( )0 1 0 1 1 0e e e e ei m n enω = − +V E V B

( )0 1 0 1 1 0i i i e ii m n enω = +V E V B

2 2 2

2

2 2 2

cos cos sin0 0

cos sin 0 sin

S N iD NiD S N

N P N

θ θ θ

θ θ θ

−− =

−参考文献

宮本健朗：核融合のためのプラズマ物理T.H.Stix：プラズマの波動

cω

≡kNここに、屈折率 である

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記号の定義Definition of mathematical symbol

• 但し、

2 211 pi pe

ci ce

Lω ω

ω ω ω ω ω

= − + − +

2 211 pi pe

ci ce

Rω ω

ω ω ω ω ω

= − + + −

2 2

21 pi pePω ω

ω+

= −

,2 2

R L L RS D+ −= =

2 2 22 2

0 0

, , ,e ipe pi ce ci

e i e i

e n Z e n eB ZeBm m m m

ω ω ω ωε ε

= = = =

Lは左、Rは右、Pはプラズマの頭文字

行列式の展開Expansion of determinant

• 前々頁の行列式を展開すると

• となる。これから、N2を求めると

• θについて解くと

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( ) ( )2 2 4 2 2 2sin cos sin 1 cos 0S P N RL PS N PRLθ θ θ θ + − + + + =

( )( )( )( )

2 2

2 2tan

P N R N L

SN RL N Pθ

− − −=

− −

( ) ( )( )

1/222 2 4 2 2 2

22 2

sin 1 cos sin 4 cos

2 sin cos

RL PS RL PS P DN

S P

θ θ θ θ

θ θ

+ + ± − + =+

波の遮断、共鳴条件Condition of cutoff and resonance

• 前頁のN2の式

• 遮断（cut-off,反射） ： N=0• P=0、または、R=0、または、L=0• 外部磁場がない場合は、簡単に遮断周波数ωcは

• となり、プラズマ周波数程度で遮断が起こる

• 共鳴（resonance, 吸収） ：N=∞•• θ=π/2、S=0で共鳴が起こるハイブリッド共鳴（Hybrid resonance）

• の場合（θ=0）には、N2=R,または，Lとなり、 またはで共鳴が起こるそれぞれ、イオン、電子サイクロトロン共鳴という

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( )1/22 2c pi pe peω ω ω ω= +

0/ /k B ciω ωceω ω

( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0ci ce ce pi ci peω ω ω ω ω ω ω ω ω ω− − − − − − =

( ) ( )2 2 4 2 2 2sin cos sin 1 cos 0S P N RL PS N PRLθ θ θ θ + − + + + =

( )( ) ( )( )2 2 2 2tan /P N R N L SN RL N P P Sθ = − − − − − → −

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電磁流体波 Waves with the MHD model

• 磁場中のプラズマで、主に磁力線方向に伝播する横波で、イオンの振動が主役をなすプラズマ特有の低周波振動（電磁波に属する）である。

• 周波数領域として、ω<<ωci<<ωceで，かつ、ω<<ωpeの低周波を考える

• これらの条件のもとで、R,L,P,S,Dをテーラー展開し、 ωci<<ωceと

• の条件から

• 但し、

• 従って、分散式は

( )2 20 0 0/ /pi ci pe ce en Bω ω ω ω ε= =

( ) ( ) ( )22 2 20 01 1 /pi ci m AR L S c B c Vω ω µ ρ= + = +

0D

( )1/20 0A mV B µ ρ=

( )2

2 2/ sin / cos

SN

P P Sθ θ

= +

Alfven波 Alfven wave

• 以上の結果から、Cold plasmaでは

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VV

V cosA

phA

c N kωθ

= = =

• 波の波面を右図に示す

• 特徴

– 静磁場B0に沿って伝播しやすく磁場からの角度θの増大に伴い位相速度は次第に減少する

– 磁場の垂直方向には伝播しない

プラズマは磁力線にくっついて運動する。磁力線方向に張力B2/2μ0、垂直方向にB2/2μ0の圧力が加わっている。

この磁力線にプラズマがくっついているので、波の速度VAがB2/（μ0ρm）で与えられる。

温度効果を入れたMHD波MHD wave including in temperature effect

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• Cold plasmaでは温度効果（温度＝０と近似）を入れなかった。

• 温度効果を入れると断熱圧縮効果である音速（ ）がでてきて前ページのアルヴェーン波が修正される。

• ここでは、結果のみを示す

• 下図のようなアルヴェーン波の円の内外にV+,V-の波ができる。

• 特に,V+波は磁場に垂直方向に伝播し,磁気音波と呼ばれる

2s mc p ρ= ∂ ∂

音速

音速

• プラズマ中では多種多様な電磁波が存在するが,ここでは概要を説明する

• 静磁場B0が無い場合，サイクロトロン運動が無いので,• すると，R=L=S=P，D=0となり

• 分散式は

• よって，

• この分散関係を右に示す。

• 前に学んだ電子プラズマ波と

• よく似ているが，kの増大とともに位相速度が光速に近づくところが違っている。また，ωpeが遮断周波数となっており,ω<ωpeでは波は反射する。

電磁波 Electromagnetic waves in plasma

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, 0ci ceω =

( )2 2 21 /pi peP ω ω ω= − +

2 2 20/ 1 /peN Pε ε ω ω= = −

2 2 2 2pec kω ω= +

電子の運動による遮断(cut off)

実用例 Application

• 短波といわれる通信手段は,地球上のある地点から,地球

上の遠くの地点へ連絡する手段であり,周波数は地球を

取り囲む電離層（プラズマ）のプラズマ周波数より低い周波数を使用,電離層での反射を利用している。

• 一方，衛星軌道との通信には,プラズマ周波数より高い

周波数を用いて，地上と通信を行う。

• （反射すると通信できない）

FOMAなど2GHｚ帯も

行政、船舶、など

アマチュア無線数百ｋHz～数GHｚ

静磁場が存在する場合の電磁波Electromagnetic waves in static magnetic field

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• 静磁場B0はz軸方向とし,以下の3つの場合があることがわかっている。

• （a）波は磁場に垂直方向に進み,変動電場は静磁場方向と同一

• （b）波は磁場方向に進み，変動電磁場が静磁場方向と垂直

• （c）波は磁場に垂直方向に進み,変動電場が静磁場方向と垂直，変動磁場は静磁場方向と同一

O波 X波

Oはordinary、Xはextrodinaryの意味で使用された

同一方向

垂直

磁場に平行に進む波Wave propagates in parallel to the magnetic field line

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• 磁場に平行方向に進む波は，磁場の方向に対して右向きか左向きに回る円偏波となる。

円偏波は，位相の異なる直線偏波の組み合わせである

そのため,直線偏波

を基本としても良いのであるが,歴史的

に円偏波を基本としている。

続き continue

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• 磁場に平行方向に進む波は，低周波の場合は前に述べたアルヴェーン波となり，周波数がそれより高いとL波とR波の違いが顕著になる。L，R波の分散関係を求めると以下のようになる（複合同順）

• L波（複合の上側）はωがωciに

• 近づくと共鳴し，

• イオンサイクロトロン共鳴

• R波は，ωがωciとωceの中間領域でホイスラー波となる。

( ) ( ) ( )2 2 21 1 / ( / (pi ci pe ceN ω ω ω ω ω ω ω = − + ±

ファラデー回転 Faraday rotation

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• プラズマ中を十分高い周波数で通過する電磁波は，前のL,R波の分散関係から

• ω>>ωciなので，電子による効果のみを考えて導出。L波は複号上側

• すると，R波のほうが屈折率がL波より大きくなり,早く進むことになる

• それ故,プラズマ中に入った波の偏波面が回転する

2 2 2 2 2/ 1 / ( )pe ceN c k ω ω ω ω ω = − ±

静磁場に垂直に進む波Wave propagates perpendicular to the magnetic field line

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• で，θ=π/2であるから，

• O波：分散式が前の方の波で，パラメータがP，すなわち，

• より，静磁場B0は無関係の波となる。

• この場合は，変動電場はz方向，変動磁場はy方向のみの成分があり（各自調べてみよ），荷電粒子に与える影響のE1Zは磁場と無関係のため,結果的に磁場なしの結果と同じになる。

( )( )( )( )

2 2

2 2tan

P N R N L

SN RL N Pθ

− − −=

− −

2 2, /N P or N RL S= =

2 2

21 pi pePω ω

ω+

= −

X波 X wave

• それに対して,後半の分散式であるX波は，形が複雑である。

• この場合は,変動電場はx,y方向，変動磁場はz方向のみが残る（各自調べてみよ）

• この波は,伝播方向（x方向）にも電場があるため,縦波と横波の混合波と解釈される。Hibrid wave

• 変動電場は，x-y平面内で楕円を描き，X波の共鳴条件（ハイブリッド共鳴）は，S=0で与えられる。

• の近似解から,

• 式変形に、

• 等を使用する。

( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0ci ce ce pi ci peω ω ω ω ω ω ω ω ω ω− − − − − − =

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2,pe ce ce ci pe ce ci pe ceorω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω= + = + +

2 2,ce ci pe piω ω ω ω

2 2 2/ / , / / ,ce ci i e pe pi i em m Z m m Zω ω ω ω= =

電磁波のまとめSummary of electromagnetic waves in cold plasma

• 電磁波の種類が多いので,わかりやすくするため図画が考え出された

• 磁場をz方向にとり，位相速度と進む方向の角度をθとすると，下の3つの場合しか存在できないことがわかった。これを利用して, CMA図と呼ばれる図が作られた。

CMA図CMA diagram (The Clemmow-Mullaly-Allis diagram)

• 右に示すのが

• 縦軸＝

• 横軸＝

• 縦軸は,磁場に対応し,• 横軸は,プラズマ密度

に対応する

• 実線で示されているのが遮断と共鳴で，この線を越えると伝播形態が変化する

• 点線ではO波とX波が入れ替わる

/ceω ω

( )2 2 2/pe piω ω ω+

Bに対応

nに対応

Alfven波

Report

• 領域１３から１１へ行く途中で、L波が消える理由は何か？

• 領域８ｂから５ｂへ行く途中で、R波が消える理由は何か？

• L wave disappears from the region 13 to 11.

• Also, from the region 8b to 5b, R wave disappears.

• Describe these reasons.

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