Fiabilitate

1Evenimente, probabilitat, is, i distribut, ii

Aplicat, ii rezolvate

1.1 Operat, ii cu evenimente aleatoare

1. Fie A, B s, i C trei evenimente aleatoare. Propunet, i o forma sim-plificata pentru urmatoarele evenimente :1)(A B) (A C);2)(A B) (A C);3)(A B) (A B);4)(A B) (A C).Solut, ie.1) Se noteaza cu NX numarul de cazuri favorabile evenimen-tului X. Avem urmatoarele relat, ii :

NAB = NABC + NABC (1.1)

NAC = NABC + NABC (1.2)

15

16 CAP. 1. EVENIMENTE, PROBABILITAT, I S, I DISTRIBUT, II

Fig. 1.1 Reprezentarea operat, iilor cu evenimente (diagramaVenn)

Rezulta :

N(AB)(AC) = NABC + NABC + NABC (1.3)

2) Similar, (A B) (AC) = A (BC) = A (A BC).3) Avem A B = A (A B), respectivA B = A (A B).Fie evenimentul imposibil, respectiv E evenimentul sigurE = .Avem relat, iile : A A = , A = A, A E = E respectivA = .Rezulta : (A (A B)) (A (A B)) = (A B) (A B)4) Avem (A B) (A C) = (A (A B)) (A C).Rezulta : (A (A B)) (A C) = (A C) (A B).

2. Exprimat, i evenimentele urmatoare cu ajutorul evenimentelorA, B, C s, i a operat, iilor de reuniune, intersect, ie, respectiv com-plementaritate :1) Cele trei evenimente A, B s, i C sunt realizate ;2) A s, i B sunt realizate, dar nu s, i C ;3) A s, i C sunt realizate, dar nu s, i B ;4) B este realizat, dar nici unul din celelalte doua ;

1.1. OPERAT, II CU EVENIMENTE ALEATOARE 17

5) A este realizat s, i cel put, in unul din celelalte doua eveni-mente ;6) Cel put, in unul din cele trei evenimente este realizat ;7) Exact unul dintre evenimente este realizat ;8) Cel mult unul dintre evenimente este realizat.Solut, ie.

A B C (1.4)

A B C (1.5)

A B C (1.6)

A B C (1.7)

A (B C) (1.8)

(A B C) (1.9)

(A B C) (B A C) (C A B) (1.10)

(A B) (B C) (A C) (1.11)3. Fie p probabilitatea de realizare a oricaruia din evenimen-

tele A, B sau C, considerate trei evenimente independente.Exprimat, i probabilitat, ile de mai sus.Raspuns.1) P(A B C) = p3 ;2) P(A B C) = p2(1 p) ;


3) P(A B C) = p2(1 p) ;4) P(A B C) = p(1 p)2 ;5) P(A (B C)) = p(2p p2) ;6) P(A B C) = 1 (1 p)3 = p3 3p2 + 3p ;7) P((A B C) (B A C) (C A B)) = 3p(1 p)2 ;8) P((A B) (B C) (A C)) = 2p3 3p2 + 1.

4. Fie 3 evenimente aleatoare A, B, C. A reprezinta "Diferent, adepas, ita de temperatura superioara / inferioara carcasa tur-bina ", B reprezinta "Temperatura neadecvata ulei ungerelagare turbina". Evenimentele A s, i B sunt independente. C re-prezinta evenimentul "Vibrat, ii depas, ite turbina".Daca A s, i B sunt aparute, atunci probabilitatea aparit, iei lui Ceste 0, 6 - respectiv P(C|A B) = 0, 6.Daca A este aparut, dar B nu este aparut, atunci probabilitateaaparit, iei lui C este 0, 2 - respectiv P(C|A B) = 0, 2, aceeas, i ncazul A nu este realizat, B este realizat, respectiv P(C|A B) =0, 2.Daca att A ct s, i B nu sunt realizate, atunci se considera ca Cnu poate apare, respectiv P(C|A B) = 0.Dependent,a ntre C s, i evenimentele A s, i B este prezentata nfigurile 1.2 s, i 1.3.

Fig. 1.2 Ret,ea bayesiana pentru 3 evenimente


Fig. 1.3 Reprezentare prin diagrama Venn

Sa se calculeze, n ipoteza probabilitat, ii aparit, iei evenimentu-lui A de 0, 1 respectiv a probabilitat, ii aparit, iei evenimentul Bde 0, 2 :a) probabilitatea aparit, iei evenimentului C ;b) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caevenimentul B sa fie aparut ?c) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caevenimentul A sa fie aparut ?d) daca evenimentul C a aparut, care este probabilitatea caatt evenimentul A ct s, i B sa fie aparute ?

Solut, ie.a) T, innd seama de relat, ia logica ntre evenimentele A, B s, i Creprezentata n figura 1.3, rezulta


d) Avem relat, ia

P(AB|C) = P(ABC)/P(C) = P(AB)P(C|AB)/P(C)

unde :

P(A B) = 0, 1 0, 2 = 0, 02

P(C|A B) = 0, 6

P(C) = 0, 064

Rezulta

P(A B|C) = 0, 02 0, 6/0, 064 = 0, 1875

Remarca.Prin enunt, avem P(C|A B) = 0. Reciproc P(A B|C) = 0.Cum A B = A B, rezulta n acest caz P(A B|C) = 1.Se verifica as, adar pe baza rezultatelor obt, inute, relat, iaP(A|C) + P(B|C) P(A B|C) = 1.

5. Fie 3 evenimente aleatoare A, B, C.A reprezinta "Presiune scazuta ulei ungere lagare turbina",B reprezinta "Temperatura neadecvata ulei ungere lagare tur-bina". Evenimentele A s, i B sunt dependente.Daca evenimentul B este aparut, atunci evenimentul A aparecu o probabilitate egala cu 0, 15 iar daca evenimentul B nu esteaparut, atunci evenimentul A apare cu o probabilitate egala cu0, 05.C reprezinta evenimentul "Vibrat, ii depas, ite turbina".

Consultatii 19-20 aprilie 2012

Consultat, ii 19 s, i 20 Aprilie 2012 ELa123 pt. testul median:Enunt, curs 4/5

In exploatarea unei centrale electrice, fie 3 evenimente A,B,C aflaten relat, ia de dependent, a probabilista: A B C . Intr-o zi deoperare (24 de ore), n fiecare ora, independent de alte ore, avemurmatoarele probabilitat, i de aparit, ie: P(B) = 0, 6; P(B|A) = 0, 8;P(B|A) = 0, 4; P(C |B) = 0, 3; P(C |B) = 0, 1.Fie evenimentul D = A ? (B+C ).Se cer:a) probabilitatea aparit, iei ntr-o ora a evenimentului D;b) s, tiind ca ntr-o ora a aparut cel put, in unul dintre evenimenteleA,B,C, sa se calculeze n acest caz probabilitatea aparit, ieievenimentului D ?c) s, tiind ca ntr-o ora au aparut cel put, in 2 din cele 3 evenimente(A,B,C), sa se calculeze probabilitatea aparit, iei n acea ora aevenimentului D;

Programul consultatiilor este afisat din data de 11 aprilie la avizier


Rezolvare

b) Notam evenimentul E = A+B+C .Avem de calculat P(D|E ) exprimat sub forma P(D ? E )/P(E )Relat, ie logica: D ? E = A ? (B+C ) ? (A+B+C ) = A ? (B+C ) = DP(A+B+C ) = 1 P(A ? B ? C )P(A ? B ? C ) = P(A) P(B|A) P(C |B) = 0, 5 0, 6 0, 9 = 0, 27P(A+B+C ) = 1 0, 27 = 0, 73P(D|E ) = P(D)/P(E ) = 0, 41/0, 73 = 0, 561644



Rezolvare

c) Notam evenimentul F = AB+AC +BC .Relat, ie logica:D ? F = A ? (B+C ) ? (AB+AC +BC ) = AB+AC = DRelat, ie logica:F = ABC +ABC + ABC + ABC = BC + ABC + ABCP(BC ) = P(B) P(C |B) = 0, 6 0, 3 = 0, 18P(ABC ) = P(A) P(B|A) P(C |B) = 0, 5 0, 2 0, 1 = 0, 01P(ABC ) = P(A) P(B|A) P(C |B) = 0, 5 0, 8 0, 7 = 0, 28Rezulta: P(F ) = 0, 18 + 0, 01 + 0, 28 = 0, 47P(D|F ) = 0, 41/0, 47 = 0, 8723404


Consultatii-28Mai-2012.pdfCuprinsEnuntRezolvare

Consultatii-10-May-2013.pdfConsultatii 10 Mai 2013 pt. testul medianRezolvareRezolvare

19-Apr-2012.pdfConsultatii 19 si 20 Aprilie 2012 pt. testul medianEnunt si cerintele: a,b,cCerinte: d,e,f,g,hRezolvare aRezolvare bRezolvare cRezolvare dRezolvare eRezolvare fRezolvare gRezolvare hVerificare gVerificare h

19-Apr-2012 - Copy.pdfConsultatii 19 si 20 Aprilie 2012 pt. testul medianEnunt si cerintele: a,b,cCerinte: d,e,f,g,hRezolvare aRezolvare bRezolvare cRezolvare dRezolvare eRezolvare fRezolvare gRezolvare hVerificare gVerificare h

Consultatii-10-May-2013.pdfConsultatii 10 Mai 2013 pt. testul medianRezolvareRezolvare

Documents

Fiabilitate