MATEMATIČKI FAKULTET

BEOGRAD

SEMINARSKI RAD

Tema:

FIBONAČIJEVI BROJEVI i PASKALOV TROUGAO

Student: Dalibor Teokarević Br. Indeksa: 104/96

1

Maj2006

Sadržaj

1. Uvod ……………………………………………………………………. 3

2. Ko je Leonardo Pisano Fibonači? ……………………………………. 4

3. Deoba zive ćelije i Paskalov trougao …………………………………. 5

4. Fibonačijevi brojevi i Paskalov trougao ……………………………… 9

5. Lukasovi brojevi i Paskalov trougao ………………………………… 14

6. Paskalov tougao drugog reda ………………………………………… 15

7. Fibonačijevi brojevi i Pitagorini trouglovi …………………………... 19

8. Literatura ……………………………………………………………… 23

2

Uvod

Još je Leonardo Fibonači u XIII veku proučavao brojne odnose razmnožavanja živih organizama u prirodi. Proučavajući razmnožavanje populacije zečeva došao je do poznatog niza Fibonačijevih brojeva. Prema klasičnom shvatanju dužine žive ćelije brojni obrazac deobe je niz geometrijske progresije. Primenjujući pravila razmnožavanja višećelijskih organizama na shvatanje deobe žive ćelije, otkrivamo da je pravi brojni obrazac razmnožavanja Paskalov trougao. Ako takav model usaglasimo sa realnim odnosima u prirodi dolazimo do Lukasovog niza brojeva kao niza koji najbolje opisuje deobu žive ćelije.

Paskalov trougao je osnovni brojni obrazac u prirodi. Njegove osnove su skup koeficijenata binomnih razvoja , po Paskalovom trouglu se razmnožava živa ćelija a brojevi trougla sadrže i tajne diferencijalnog i integralnog računa. U kolonama Paskalovog trougla krije se elektronska konfiguracija atoma. Brojevi ovog jedinstvenog prirodnog obrasca definišu raspored planeta Sunčevog sistema i strukturu jezgra atoma. Iz Paskalovog trougla mogu se na više različitih načina dobiti Fibonačijevi brojevi. Trougaonim rasporedom brojeva figurativnog niza n-tog reda dobijaju se i brojevi figurativnog niza n + 1 reda. Iz osnovnog Paskalovog trougla mogu se izvesti i trouglovi viših redova. Desna prva kolona Paskalovog brojnog trougla drugog reda umesto niza jedinica biće niz dvojki.

Postoji “tesna” veza između Fibonačijevih brojeva i Pitagorine teoreme, kao i između Fibonačijevih i Lukasovih brojeva. Ovi brojevi nose naziv po Francuskom matematičaru Fransisu Eduardu Antolu Lukasu (1842.god) koji je najpoznatiji po svojim rezultatima u oblasti teorije brojeva. Naime, on je proučavao Fibonačijevu seriju brojeva i njoj pridruženu Lukasovu seriju koja se definiše skoro identično kao Fibonačijeva serija brojeva – svaki Lukasov broj je zbir prethodna dva Lukasova broja. Razlika u definiciji je sto Lukasova serija počinje sa 2 i 1, dok Fibonačijeva počinje sa 0 i 1. Inače, postoji i iznenađujuća veza Zlatnog Preseka sa Fibonačijevim i Lukasovim brojevima.

3

Ko je Leonardo Pisano Fibonači?

Leonardo iz Pize (Leonardo Pisano) puno je ime najvećeg evropskog matematičara srednjeg veka. Rodjen je oko 1175.godine u Pizi, (Pisa, danas u Italiji) gradu sa čuvenim krivim tornjem, koja je u to vreme bila značajan trgovački grad i održavala veze sa mnogim mediteranskim lukama. Leonardo je bolje poznat pod imenom Fibonači (Fibonacci) sto je skraćenica od Bonačijev sin, (filius Bonacci) dok je sebe ponekad nazivao Bigolo (Bigollo) sto u toskanskom dijalektu znači putnik. Njegov otac Guljelmo Bonači, (Guglielmo Bonacci) sekretar Republike Piza, od 1192.godine bio je odgovoran za upravljanje Pizine trgovačke kolonije Budja (Bugia) koja je izvozila

voštane sveće u Francusku. Mediteranska luka Budja je kasnije nazvana Bougie, a danas se zove Bedzaja (Bejaia) i nalazi se u severoistočnom Alžiru. Bonači je sa sobom u Budju poveo i svoga sina da bi ga obučio računu i arapskim ciframa, koje još nisu bile uptrebljavane u Evropi, kako bi postao uspešan trgovac. Leonarda otac zatim šalje na putovanja po mediteranskoj obali: Egipat, Sirija, Grčka, Sicilija, Provansa, gde on prikuplja i uči razne matematičke tehnike. Oko 1200.godine Fibonači se vraća u Pizu gde objavljuje sopstvena matematička dela: Liber abbaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225) i Liber quadratorum (1225). Zna se da je napisao i druge tekstove poput knjige o trgovačkoj aritmetici Di minor guisa, kao i komentare desete knjige Euklidovih Elemenata koji su nažalost izgiubljeni. Najpoznatije njegovo delo je svakako “Knjiga o racunu” (Liber abbaci) iz 1202.godine u koje su ušla skoro sva algebarska i aritmetička znanja tog vremena , odigavši značajnu ulogu u razvitku matematike u zapadnoj Evropi. Fibonači je u toj knjizi objasnio prednost decimalnog brojnog sistema nad glomaznim, rimskim brojnim sistemom, uvevši u Evropu arapske cifre, simbol za nulu i decimalnu tačku. Danas je Fibonači najbolje poznat po čuvenom zadatku sa zečevima objavljenom u istoj knjizi, kao i njegovom rešenju, famoznom nizu brojeva koji nosi njegovo ime. Nakon 1228.godine kada je objavio drugo izdanje “Knjige o racunu” o Leonardovom životu se ništa ne zna, osim što je 1240.godine Republika Piza načinila dekret kojim se nagradjuje učeni Leonardo Bigolo.Inače, pretpostavlja se da je umro u Pizi oko 1250.godine.

4

Deoba žive ćelije i Paskalov trougao

Veoma je zanimljiv redosled brojeva do kojeg je Leonardo Fibonači došao istraživajući brojne zakone razmnožavanja živog organizma, a posebno proučavajući razmnožavanje zečeva. Misaoni eksperiment je sledeći:

Čovek kupuje par zečeva i uzgaja njihovo potomstvo po sledećem redu: roditeljski par zečeva dobija posle prve godine par mladih zečeva a nakon druge godine ponovo jedan par. Tada se kod roditelja prekida dalje razmnožavanje. Ovaj način razmnožavanja važi i za sve potomke roditeljskog para. Svaki novi par zečeva daće u dve uzastopne godine po jedan par mladih a nakon toga će njegovo razmnožavanje biti prekinuto.

Za roditeljski par zečeva napisaćemo u prvom redu 1 (1 označava jedan par zečeva). Za par koji se rodi nakon prve godine (prva generacija) napisaćemo u drugom redu takođe broj 1. Posle prve godine mlade dobijaju i roditeljski par zečeva i par prve generacije.U drugoj generaciji jevljaju se dva para zečeva. Zato u trećem redu pišemo broj dva. Ovde svaki red odgovara jednoj godini i nakon tri godine imamo brojni niz 1,1, 2. Roditeljska generacija isključuje se iz daljeg razmonožavanja. U četvrtoj godini mlade dobijaju iz poslednja dva reda, tj. jedan par prve generacije i dva para druge generacije. Zato u četvtom redu pišemo broj 3. Brojni niz je sada 1,1,2,3. Ovde prestaje razmnožavanje para zečeva prve generacije. Niz brojeva koji se ovako dobija je takozvani niz Fibonačijevih brojeva:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …

Trebalo je da prodje sedamdeset i pet godina od dana kada su braća Hans I Zaharias Jansen, holandski trgovci, spojili dva sočiva i tako napravili prvi “mikrosop“, pa do njegove upotrebe za otkrice žive ćelije (1665.godine). Posmatrajući tanko sečene režnjeve plute, engleski lekar Robert Huk je u mrtvom biljnom tkivu zapazio šupljine po obliku slične onima u pčelinjem saću, i nazvao ih ćelijama. On je video samo prazne ćelijske prostore oivičene ćelijskim membranama, bez ćelijskog sadržaja, ali je prikazao ćeliju kao osnovnu strukturnu jedinicu organizma.

Kao osnovna biološka organizacija ćelija je sposobna da samostalno produži život zahvaljijući svojoj sposobnosti da zameni ili nadoknadi svoju supstanciju. Ćelija može predstavljati kompleten organizam, kao sto je slučaj sa jednoćelijskim organizmima, ali ona najčešće predstavlja osnovnu jedinicu života u sastavu tkiva i organa, što je slučaj kod višećelijskih organizama.

5

Teorija o ćeliji je za bilogiju ono što je atomska teorija za hemiju i fiziku. Deoba ćelije je jedan od najvažnijih fenomena života, jer se njom ćelije umnožavaju. Na taj način je moguća zamena izumrlih ćelija, zarašćivanje rana i regenerisanje tkiva i organa, a deoba ćelije je preduslov za seksualno i aseksualno razmnožavanje, kao i za naslednost i naslednu promenljivost. Na važnost deobe ćelije u dinamici života ukazao je Rudolf Virhov, koji je u kratkoj latinskoj rečenici Omnis cellula e cellula istakao da sve ćelije proizilaze iz ćelija.

Ćelija se deli ciklično. Tradicionalno, ćelijska deoba smatra se kao događaj kojim ćelija majka prestaje da postoji, a dve nove ćelije kćeri otpočinju svoje postojanje:

U prvom ciklusu ćelija majka A0 anhilira dajući dve ćelije kćeri: 2A1 ; U drugom ciklusu deobe svaka ćelija majka A1 anhilira dajući po dve ćelije kćeri: 4A2; U trećem ciklusu deobe svaka ćelija majka A2 anhilira dajući po dve ćelije kćeri: 8A3 ;

i tako dalje ….. U n-tom ciklusu deobe svaka ćelija majka An-1 anhilira dajući po dve ćelije kćeri: 2An.

Grafički prikaz ćelijske deobe je sledeći:

Brojni niz klasičnog shvatanja deobe žive ćelije je niz geometrijske progresije:

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 …

Prema ovom usvojenom shvatanju deobe žive ćelije svaki ciklus dovodi do anhilacije postojećih ćelija i pojave novih ćelija koje su sve iste generacije. Sam organizam kojem pripadaju ćelije generacije A0 stari po zakonu t = n·T , gde je n broj ciklusa a T period ciklusa, dok je starost samih ćelija prema usvojenom shvatanju deobe žive ćelije uvek T. To je očigledna protivrečnost a ovakvo shvatanje deobe žive ćelije podrazumeva besmrtnost.

6

Anhilacija roditelja se odbacuje kada je u pitanju razmnožavanje višećelijskih organizama. Kada ženka polaže neoplodjena jaja iz kojih se razvijaju mužjaci, niko neće misliti da je tim činom razmnožavanja prvobitna ženka anhilirana već se mužjaci smatraju potomcima postojeće majke. Razmnožavanje višećelijskih organizama je deoba kojom roditelj zadržava svoju generacijsku starost dok je potomak povećava za jedno generacijsko koleno.

     Prirodno razmnožavanje organizma je univerzalni zakon o ćelijskoj deobi. Zasniva se na dva postulata:

Deoba žive ćelije ima za posledicu dve ćelije različite starosti;

Nije moguće umnožavanje živog entiteta na taj način da nastanu entiteti iste starosti.

Naše polazište pri razmatranju brojnog zakona ćelijske deobe jesu klasična fiziološka shvatanja deobe žive ćelije ali i shvatanje po kojem ćelija majka daje jednog potomka svoje starosti i drugog naredne generacijske starosti.

Inače, brojni zakon rodoslova žive ćelije je osnovni aritmetički trougao – Paskalov trougao:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Paskalov trougao kao arhetipski brojni obrazac deobe žive ćelije je zakon umnožavanja i izgradnje. Po ovom obrascu radjaju se i planete Sunčevog sistema a trougao je i brojni obrazac strukture atoma. Paskalov trougao svedoči jedinstvo postojećeg i on je nit koja povezuje neživo i živo.

7

     Ako sumiramo brojeve na dijagonalama Paskalovog trougla dobijamo niz Fibonačijevih brojeva. Paskalov trougao je brojni obrazac razmnožavanja organizama i s obzirom na njegovu vezu sa Fibonačijevim brojevima, nije iznenadjenje sto se Fibonačijevi brojevi javljaju kao prirodni odnos u rasporedu listova kod biljaka. Ako svaki Fibonačijev broj podelimo narednim Fibonačijevim brojem, dobijamo niz razlomaka :

1/1 1/2 2/3 3/5 5/8 8/13 13/21 21/34 34/55 55/89 .…….

     Vrednosti ovih razlomaka teže vrednosti zlatnog preseka i povezane su sa rasporedom listova kod biljaka. Kada na stabljici biljke rastu novi listovi oni stoje u obliku zavojnice (spirale) oko stabljike.

     Fibonačijevi razlomci se javljaju kao količnik broja zaokreta spirale i broja medjuprostora izmedju listova . Posmatrajmo listove broj 1 ,4 ,9 koji se nalaze na izabranom pravcu duž stabljike sa listovima :

Broj međuprostora između listova jedan i četiri je tri. Broj punih zaokreta spirale je dva. Fibonačijev razlomak je 2/3 .

Broj međuprostora između listova jedan i devet je osam. Broj punih zaokreta spirale je pet. Fibonačijev razlomak je 5/8 .

Broj međuprostora između listova broj četiri i devet je pet. Broj punih zaokreta spirale od četvrtog do devetog lista je tri. Fibonačijev razlomak je 3/5 .

     Priroda se brine za pravilan raspored listova na stabljici kako donji listovi ne bi bili zasenjeni gornjim i kako bi se svetlo najbolje iskoristilo. Tako je, naprimer, broj zaokreta spirale kroz broj međuprostora listova za borove iglice 5/8 i 8/13 a za belu radu taj odnos je 21/34.

     Paskalov trougao je idealni brojni obrazac deobe zive ćelije. Po njemu nulta ćelija A0 ima beskonačnu mogućnost deljenja i nikada ne umire . Takav pristup implicira besmrtnost ćelije i njenih potomaka. To, kao što znamo, nije slučaj u prirodi. Zivi organizam ima ograničene mogućnosti u pogledu razmnožavanja a takodje nije besmrtan nego posle izvesnog vremena umire. Realniji pristup razmatranju deobe žive ćelije zahteva korekcije po ugledu na život i razmnožavanje složenijih organizama.

Na kraju, ukupan broj jedinki u pojedinim generacijama obrazuje niz brojeva:

4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 ……

8

Ovaj niz brojeva je poznat kao niz Lukasovih brojeva. To je rekurzioni niz sa osobinom da je svaki njegov član jednak zbiru prethodna dva člana. U našem usvojenom modelu deobe žive ćelije Lukasov niz brojeva se javlja kao brojni obrazac. Od važnosti je i činjenica da se Lukasovi brojevi mogu dovesti u vezu sa Fibonačijevim brojevima a takođe i sa Paskalovim trouglom, o čemu će biti reči u daljem razmatranju.

Fibonačijevi brojevi i Paskalov trougao

Direktnim množenjem može se lako proveriti tačnost sledećih binomnih razvoja :

(a+b)0 = 1(a+b)1 = 1*a + 1*b(a+b)2 = 1*a2 + 2*ab + 1*b2

(a+b)3 = 1*a3 + 3*a2b + 3*ab2 + 1*b3

(a+b)4 = 1*a4 + 4*a3b + 6*a2b2 + 4*ab3 + 1*b4

Upotrebimo li polja računske ploče da u njih smestimo brojeve iz gornjih binomnih razvoja, nastaje sledeći brojni trougaoni raspored brojeva :

1 11 1 21 2 1 41 3 3 1 81 4 6 4 1 161 5 10 10 5 1 321 6 15 20 15 6 1 641 7 21 35 35 21 7 1 128.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

9

Postoje neki dokazi da je Arapski astronom, pesnik i matematičar Omar Hajam poznavao ovaj brojni trougaoni raspored jos u XI veku. Verovatno je brojni trougao krenuo iz Kine preko Arapskog sveta u Evropu. Kineski prikaz binomnih koeficijenata, koji često nazivaju i Paskalovim trouglom, jer ga nalazimo u istoimenom Paskalovom posthumnom delu (1665. godine) u vezi sa figurativnim brojevima, zabeležen je prvi put na naslovnoj strani jedne davno štampane Evropske aritmetike od Apianusa (1527.godine). Taj trougao je krajem XVII veka postao središnja tačka razvoja tri grane matematike: proučavanja beskonačnih redova, računa konačnih diferencija i teorije verovatnoće.

Prva kolona aritmetičkog trougla je kolona jedinica. Figurativno jedinica predstavlja tačku. Prikažimo slikovito trougao čije su sve kolone nizovi jedinica :

1 11 1 21 1 1 31 1 1 1 41 1 1 1 1 51 1 1 1 1 1 61 1 1 1 1 1 1 7

.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

Sumiranje po osnovama daje drugu kolonu aritmetičkog trougla tj. kolonu prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .... Niz prirodnih brojeva je figurativno prava linija. Prikazaćemo u trougaonoj tabeli ovaj figurativni niz :

1 12 1 33 2 1 64 3 2 1 105 4 3 2 1 156 5 4 3 2 1 217 6 5 4 3 2 1 28

.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

10

Sumiranje po osnovama daje treću kolonu aritmetičkog trougla, kolonu takozvanih trougaonih brojeva:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 .....Trougaoni brojevi su simbol trougla i površine. Trougao u ravni čije su sve kolone nizovi trougaonih brojeva dat je u sledećoj formi:

1 13 1 46 3 1 1010 6 3 1 2015 10 6 3 1 3521 15 10 6 3 1 5628 21 15 10 6 3 1 84.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

Ovoga puta sumiranje brojeva po osnovama gornjeg trougla rezultuje tetraedarskim brojevima četvrte kolone aritmetičkog trougla. Niz ovih brojeva figurativno predstavlja tetraedre - piramide, a dimenziono zapreminu : 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84. ...Isti postupak se može primeniti i na ostale brojne kolone aritmetičkog trougla. Na taj način se gradi n- dimenzioni prostor a integracija je veza izmedju susednih kolona aritmetičkog trougla.

U “Knjizi o racunu” Fibonači je izložio praktičan aritmetički problem: par zečeva je stavljen u ogradjeni prostor. Zečevi dostižu polnu zrelost i radjaju novi par zečeva svakog meseca. Ako zečevi ne umiru, postavlja se pitanje koliko ce biti pari zečeva za dvadeset meseci? Odgovor na ovaj problem, kao sto smo već videli, upoznao nas je sa sledećim nizom brojeva:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ……

kojima je Francuski matematičar Edvard Lukas ( 1842-1899 ) dao ime Fibonačijevi brojevi i otkrio mnoge njihove važne primene. Fibonačijevi brojevi su najjednostavnija vrsta rekurzionog niza. U ovom rekurzionom nizu za formiranje člana reda n moramo znati njegovu vezu sa dva člana koja mu prethode:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

Sumirajući brojeve na dijagonalama Paskalovog trougla mogu se dobiti Fibonačijevi brojevi:

11

1 11 1 1

1 2 1 21 3 3 1 3

1 4 6 4 1 51 5 10 10 5 1 8

1 6 15 20 15 6 1 131 7 21 35 35 21 7 1 21

.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

Možemo naslutiti gde je Fibonači na svojim putovanjima naišao na spomenuti niz ako napišemo dupli Paskalov trougao i sumiramo delove :

 

1 11 1 21 1 1 31 1 2 1 51 1 3 2 1 81 1 4 3 3 1 131 1 5 4 6 3 1 21

.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

   

Igrajući se brojevima i prostorom ponovo ćemo ukazati na vezu aritmetičkog trougla i Fibonačijevih brojeva. Prikazaćemo Paskalov trougao u sledećoj varijanti i sabraćemo brojeve po osnovama:

1 11 1

12

1 1 21 2 31 3 1 51 4 3 81 5 6 1 13

.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

Inače, sumirajući osnove Paskalovog trougla takodje se dobijaju Fibonačijevi brojevi. Postoji i povratna veza Fibonačijevih brojeva i aritmetičkog trougla. Ima i mnoštvo rekurzionih formula za Fibonačijeve brojeve:

F(n+1) = F(n) + F(n-1)

F(n+2) = F(n) + F(n-1) + F(n-2)

F(n+3) = F(n) + F(n-1) + F(n-2) + F(n-3)

F(n+4) = F(n) + F( n-1) + F(n-2) + F(n-3) + F(n-4)

F(n+5) = F(n) + F(n-1) + F(n-2) + F(n-3) + F(n-4) + F(n-5)

F(n+6) = F(n) + F(n-1) + F(n-2) + f( n-3) + F(n-4) + F(n-5) + F(n-6)

……………………………………………………………………………….

Vidimo da je u ove rekurzione relacije za Fibonačijeve brojeve ugradjena struktura Paskalovog brojnog trougla sto nedvosmisleno ukazuje na vezu koja postoji izmedju brojeva Paskalovog trougla i niza Fibonačijevih brojeva.

Lukasovi brojevi i Paskalov trougao

13

Slikovitom kombinacijom Fibonačijevih brojeva mogu se dobiti takozvani Lukasovi brojevi, dati rekurzionom relacijom:

L(n) = L(n-1) + L(n-2)

Evo te kombinacije Fibonačijevih brojeva koja u zbiru daje Lukasove brojeve:

1 2 3 5 8 13 21 34 55 ………

1 1 2 3 5 8 13 21 ……….

1 3 4 7 11 18 29 47 76 ………

Obrazujmo, sada, niz od zbira četri uzastopna Fibonačijeva broja:

F(n) + F(n+1) + F(n+2) + F(n+3)

tj.

(1+1+2+3), (1+2+3+5), (2+3+5+8), (3+5+8+13), (5+8+13+21), …….

Dobijamo niz Lukasovih brojeva L(n+3):

7 , 11 , 18 , 29 , 47 , 76 , 123 , ………

Vezu izmedju Fibonačijevih i Lukasovih brojeva predstavićemo slikovito i tako što ćemo obrazovati niz od zbira četiri uzastopna Lukasova broja:

L(n) + L(n+1) + L(n+2) + L(n+3)

tj.

(1+3+4+7) , (3+4+7+11) , (4+7+11+18) , (7+11+18+29) , (11+18+29+47) , …….

Dobijamo Fibonačijev niz brojeva 5 ·F(n+3), tj.

14

5 · (3, 5, 8, 13, 21, 34, ….)

Paskalov trougao drugog reda

Kao što smo već spomenuli, iz osnovnog Paskalovog trougla mogu se izvesti i trouglovi viših redova. Desna prva kolona Paskalovog brojnog trougla drugog reda umesto niza jedinica biće niz dvojki. Paskalov trougao drugog reda dat je tabelarno, a brojevi koji ga čine su u istom međusobnom odnosu kao i brojevi osnovnog trougla. Zbir brojeva na osnovama je trostruki niz geometrijske progresije:

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, ….. = 3 ·( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …. ).

1 2 31 3 2 6

1 4 5 2 121 5 9 7 2 24

1 6 14 16 9 2 481 7 20 30 25 11 2 96

1 8 27 5055 36 13 2 192.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

Drugu kolonu izvedenog aritmetičkog trougla dobićemo pomoću sledeće brojne figure – duplog trougla koji čine jedinice, to jest prva kolona osnovnog Paskalovog trougla:

1 11 1 1 3

1 1 1 1 1 51 1 1 1 1 1 1 7

1 1 1 1 1 1 1 1 1 91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

15

Sumiranje po osnovama daje drugu kolonu izvedenog aritmetičkog trougla tj. kolonu neparnih brojeva: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ....Prikazaćemo u trougaonoj tabeli figurativni niz brojeva druge kolone osnovnog Paskalovog trougla:

      1 1

1 2 1 41 2 3 2 1 9

1 2 3 4 3 2 1 161 2 3 4 5 4 3 2 1 25

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

Sumiranje po osnovama daje treću kolonu izvedenog aritmetičkog trougla, kolonu takozvanih kvadratnih brojeva: 1, 4, 9, 16, 25, 36,…..Kvadratni brojevi su simbol kvadrata i površine. Trougao u ravni čije su sve kolone nizovi brojeva treće kolone osnovnog Paskalovog trougla je dat u sledećoj formi:

      1 1

1 3 1 51 3 6 3 1 14

1 3 6 10 6 3 1 301 3 6 10 15 10 6 3 1 55

1 3 6 10 15 21 15 10 6 3 1 91..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

Ovoga puta sumiranje brojeva po osnovama gornjeg trougla rezultuje brojevima četvrtu kolonu izvedenog aritmetičkog trougla: 1, 5, 14, 30, 55, 91, ....Isti postupak se može primeniti i na ostale brojne kolone izvedenog aritmetičkog trougla. Na taj način se gradi n-dimenzioni prostor a integracija je veza između susednih kolona izvedenog aritmetičkog trougla.

Veza između osnovnog Paskalovog trougla i Paskalovog trougla drugog reda slikovito se sagledava iz činjenice da se Paskalov trougao drugog reda može dobiti sabiranjem odgovarajućih članova dva osnovna Paskalova trougla, od kojih je jedan pomeren (u kašnjenju) u odnosu na prvi:

16

Igrajući se

brojevima i prostorom ukazaćemo na vezu Fibonačijevih brojeva i Paskalovog trougla drugog reda. Prikazaćemo brojeve Paskalovog trougla drugog reda u sledećem rasporedu i sumirajući brojeve na osnovama dobićemo Fibonačijeve brojeve:

1 12 2

1 2 33 2 5

1 5 2 84 7 2 13

1 9 9 2 21..... ...... ...... ..... ..... ..... ..... .....

Ponovo, igrajući se brojevima i prostorom, ukazaćemo i na vezu Lukasovih brojeva i Paskalovog trougla drugog reda. Prikazaćemo brojeve Paskalovog trougla drugog reda u sledećem rasporedu i sumirajući brojeve na osnovama dobićemo Lukasove brojeve:

2 21 11 2 31 3 41 4 2 71 5 5 111 6 9 2 181 7 14 7 291 8 20 16 2 47

..... ...... ...... ..... ..... ..... ..... .....

1

1 1 1

1 2 1 1 1

1 3 3 1 1 2 1

…. …. …. …. …. …. …. + …. … …. …. ….

17

Sumirajući osnove Paskalovog trougla drugog reda takođe se dobijaju Fibonačijevi brojevi:

2 2

1 2 3

3 2 5

1 5 2 8

4 7 2 13

1 9 9 2 21

5 16 … …

1 14 … …

6 … …

1 … …

… …

Sumirajući brojeve na osnovama Paskalovog trougla drugog reda mogu se dobiti i Lukasovi brojevi:

1 1

2 1 3

3 1 4

2 4 1 7

5 5 1 11

2 9 6 1 18

7 14 … …

18

2 16 … …

9 … …

2 … …

… …

Osnove Paskalovog trougla drugog reda možemo dobiti sabirajući brojeve na uzastopnim osnovama Paskalovog osnovnog trougla:

1 1 1 1 2 11 1 1 2 1 1 3 3 1

____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____1 2 1 3 2 1 4 5 2

Na isti način dobijaju se i ostale osnove Paskalovog trougla drugog reda. Na taj način se potvrđuje veza između Paskalovog trougla drugog reda i osnovnog Paskalovog trougla. Osim trougla drugog reda iz osnovnog Paskalovog trougla mogu se izvesti i brojni trouglovi viših redova.

Fibonačijevi brojevi i Pitagorini trouglovi

Pitagorin trougao je pravougli trougao čije su stranice celi brojevi. U bilo kom pravouglom trouglu sa stranicama (katetama) s, t i hipotenuzom h, Pitagorina teorema daje:

s² + t² = h²

Ipak, za Pitagorin trougao hoćemo da stranice budu celi brojevi. Odgovarajući primer je trougao sa stranicama s = 3, t = 4 i h = 5 : s² + t² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² = h² .

Evo i tabele nekih manjih Pitagorinih trouglova:

19

Vidimo da su neki Pitagorini trouglovi samo uvećanja manjih trouglova, gde su sve stranice udvostručene ili utrostručene na primer. Drugi su pak “novi” i najčešće se zovu primitivnim (osnovnim) Pitagorinim trouglovima. Bilo koji Pitagorin trougao je ili osnovni (primitivni) ili je dobijen množenjem osnovnog što se i vidi u tabeli. Osnovni (primitivni) Pitagorini trouglovi pomalo podsećaju na proste brojeve kod kojih je svaki celi broj ili prost ili množenje prostog broja.

Korišćenje Fibonačijevih brojeva za pravljenje Pitagorinih trouglova :

Postoji krajnje jednostavan način da se naprave Pitagorini trouglovi korišćenjem četri Fibonačijeva broja. Uzmimo npr. sledeća četri Fibonačijeva broja: 1, 2, 3 i 5.

Neka su prva dva broja a i b. Kako oni pripadaju Fibonačijevom nizu, svaki sledeći je zbir dva predhodna broja: a + b, pa je sledeći b + (a + b) ili a + 2b:

s t h * = osnovni

3 4 5 *

6 8 10 2(3,4,5)

5 12 13 *

9 12 15 3(3,4,5)

8 15 17 *

12 16 20 4(3,4,5)

7 24 25 *

15 20 25 5(3,4,5)

10 24 26 2(5,12,13)

20 21 29 *

6 30 34 2(8,15,17)

18 24 36 6(3,4,5)

a b a + b a +2b

1 2 3 5

20

Sada se mogu napraviti Pitagorini trouglovi na sledeći način:

1. Pomnožimo dva srednja ili unutrašnja broja (ovde: 2 · 3 = 6).2. Udvostručimo dobijeni rezultat (2 · 6 = 12), i ovo je jedna stranica, s, Pitagorinog

trougla.

3. Pomnožimo dva spoljašnja broja (ovde: 1 · 5 = 5), i ovo je druga stranica, t, tog Pitagorinog trougla.

4. Treća, najduža, stranica se dobija kada saberemo kvadrate dva unutrašnja broja ( ovde: 2² = 4 i 3² = 9, pa je 4 + 9 = 13 ). Ovo je treća stranica, h , Pitagorinog trougla.

Dakle, dobili smo Pitagorin trougao (12, 5, 13) ili (5, 12, 13).

Inače, ovaj process funkcioniše i za bilo koja dva broja a i b, a ne samo za Fibonačijeve brojeve. Treći i četvrti broj se dobijaju korišćenjem Fibonačijevog pravila: Zbir poslednje dve vrednosti daje sledeću vrednost. Ovakva četri broja su deo formiranog Fibonačijevog niza koji možemo beskonačno nastavljati, baš kao što smo radili sa pravim Fibonačijevim nizom.

Fibonačijevi brojevi kao stranice Pitagorinih trouglova:

• Postavlja se pitanje: Možemo li napraviti (formirati) trougao (ne obavezno pravougli) od tri ne susedna Fibonačijeva broja?

Odgovor je svakako ne, zbog sledećih uslova koji moraju biti ispunjeni za bilo koji trougao: U bilo kom trouglu trća stranica mora biti kraća od zbira druge dve stanice – Nejednakost trougla.

Kako tri standardna Fibonačijeva broja već imaju treći broj jednak zbiru predhodna dva, to nejednakost trougla ne važi. Ili, ako želimo drugačije objašnjenje , dve kraće stranice padaju na treću stranicu i obrazuju pravu liniju kada pokušamo da konstruišemo trougao od ovih brojeva. Ako se najmanja stranica smanji, onda to pogoršava situaciju, isto kao i kada se najduža stranica produžava. Dakle, možemo zaključiti: Ne postoji trougao čije su stranice tri nesusedna Fibonačijeva broja.

• Šta se dešava ako imamo trougao sa tri Fibonačijeva broja za stranice, ali sa dve jednake stranice, npr. trougao (3, 3, 5) ?

Najduža stranica 5 je sada manja od zbira predhodne dve stranice. Ali, ovaj trougao nije pravougli: 3² + 3² = 18, a ne 5² = 25. Dakle, ne postoji Pitagorin trougao sa dve jednake stranice.

21

• Ako tražimo samo dve stranice koje su Fibonačijevi brojevi, a gde je treća bilo koji ceo broj, onda postoje bar dva Pitagorina trougla sa Fibonačijevim brojevima nad dve stranice:

( 3, 4, 5 ) ili ( 5, 12, 13 )

Inače, to da li postoji još neki pravougli (Pitagorin) trougao sa samo dva Fibonačijeva broja nad stranicama i dalje ostaje nerešen problem.

• Da li postoji Pitagorin trougao sa Fibonačijevim brojem nad hipotenuzom ?

Odgovor na ovo pitanje je svakako da, jer svaki Fibonačijev broj možemo učiniti hipotenuzom Pitagorinog trougla korišćenjem predhodno prikazane tehnike.

Posmatrajmo, sada, četri uopštena Fibonačijeva broja:

F(n-1) , F(n) , F(n+1) , F( n+2)

odakle dobijamo dve stranice Pitagorinog trougla: 2F(n)·F(n + 1) i F(n 1)·F(n + 2).

Hipotenuza je zbir kvadrata dva srednja broja: F²(n) i F²(n + 1), a Lukas je 1876. godine pokazao da je ovo samo F(2n + 1). Tako imamo sledeći Pitagorin trougao sa Fibonačijevim brojevima, različitog indeksa, nad hipotenuzom:

2F(n)F(n + 1) ; F(n – 1)F(n + 2) ; F(2n + 1)

Evo nekih primera:

n 2 3 4 5 ….

2F(n)F(n + 1) 4 12 30 80 ….

F(n – 1)F(n + 2) 3 5 16 39 ….

F( 2n + 1 ) 5 13 34 89 ….

Kvadrat Fibonačijevih brojeva:

22

Obratimo pažnju na spomenutu Lukasovu formulu iz 1876.godine.

F²(n) + F²(n + 1) = F(2n + 1)

Pomoću nje je moguće načiniti Pitagorin trougao, pri čemu je F(2n + 1) kvadratni broj.

Sada se postavlja sledeće pitanje: Koji od Fibonačijevih brojeva su kvadratni brojevi ?

Pogledajmo, samo, na prvih nekoliko Fibonačijevih brojeva da bi uočili ove kvadratne brojeve:

F(0) = 0 = 0² ; F(1) = F(2) = 1 = 1² ; F(12) = 144 = 12² .

Ali, dalja pretraga ne otkriva više kvadrata medju Fibonačijevim brojevima.

Da li su ovo jedini kvadrati Fibonačijevih brojeva ?

Odgovor je da. To je dokazao Cohn, tvrdeći: Dva standardna Fibonačijeva broja ne mogu biti stranice Pitagorinog trougla.

Drugi pravougli trouglovi i Fibonačijevi brojevi:

Čak i ako ne insistiramo na tome da sve tri stranice pravouglog trougla budu celi brojevi, Fibonačijevi brojevi i dalje imaju neke interesantne primene.

Za početak, ako uzmemo dva standardna Fibonačijeva broja za katete onda je kvadrat trece stranice takodje Fibonačijev broj.

Ako su katete pravouglog trougla 3 i 5, to će po Pitagorinoj teoremi hipotenuza h biti:

3² + 5² = h² , tj. h² = 34, gde je 34 još jedan Fibonačijev broj. Tako je h = √34. Ako pogledamo popis Fibonačijevih brojeva, možemo odmah predvideti koji će Fibonačijev broj biti kvadrat hipotenuze. Evo našeg primera: F(4) = 3 i F(5) = 5, a kvadrat hipotenuze je 34 = F(9). Indeks od h², Fibonačijevog broja, je zbir druga dva indeksa, 4 i 5. Ovo je, takodje, generalno tačno, pod uslovom da su dve stranice pravouglog trougla – standardni Fibonačijevi brojevi, kao npr. F(n) i F(n + 1): F(n) + F(n + 1) = F(2n + 1) ..... [ Lukas (1876) ].

23

Literatura

[1] Ron Knott, The Mathematical Magic of the Fibonacci Numbers, http://www.msc.surrez.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html

[2] Raško Jovanović, World of Mathematics – Fibonacci numbers and Pascal triangle, http://milan.milanovic.org/math/srpski/nizovi/nizovi.html

http://milan.milanovic.org/math/srpski/deoba/deoba.html

[3] Kryss Tal, Pascal’s Triangle, http://www.krysstal.com/binomial.html

[4] Holy Cross, Fibonacci Numbers, http://math.holycross.edu/~davids/fibonacci/fibonacci.html

[5] St Andrews, Leonardo Pisano Fibonacci, http://www.groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Biographies/Fibonacci.html

24

25