FINANSØ RINKOS TEORIJØ PAGRINDAItema apgynë disertacijà „Spekuliacijos teorija“ (Théorie de la spéculation). L. Bachelier (1900) spekuliacijos teorija yra tai, kas dabar

5

R. Leipus, R. Norvaiša. Finansø rinkos teorijø pagrindai

Remigijus Leipus

Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos institutasNaugarduko g. 24LT-03225 VilniusEl. p. [email protected]

Rimas Norvaiša

Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos institutasNaugarduko g. 24LT-03225 VilniusEl. p. [email protected]

Straipsnyje apþvelgiama modernioji finansø rinkos teorija. Daugiausia dëmesio skiriama efektyviosiosrinkos hipotezës ir jos vaidmeniui finansø rinkos teorijai aptarti. Matematinio finansø rinkos modeliosamprata pateikiama aptariant akcijos kainos ir gràþos sàvokas, sàþiningojo loðimo hipotezæ, analitinæefektyviosios rinkos formà ir fundamentaliàjà vertæ. Ypaè daug dëmesio skiriama diskretaus ir tolydauslaiko modeliavimo ypatybëms iðryðkinti bei tolydaus laiko akcijos kainos kitimo apraðymo formaipagrásti. Su arbitraþo teorija supaþindinama aptariant pirmàjà bei antràjà fundamentaliàsias vertybiøákainojimo teoremas ir pagrindines sàvokas: bearbitraþë rinka, rizikai neutralus matas ir pilnoji rinka.Portfelio teorija apibûdinama parodant, kaip kapitalo vertybiø ákainojimo modelá lemia efektyviojoportfelio savybës.Pagrindiniai þodþiai: modernioji finansø rinkos teorija; efektyviosios rinkos hipotezë; sàþiningojo loðimohipotezë; fundamentalioji vertë; akcijos kaina ir gràþa; Wiener procesas; arbitraþas; rizikai neutralusmatas; pilnoji rinka; portfelio teorija; kapitalo vertybiø ákainojimo modelis.

Ávadas

Pagrindinis finansø rinkos teorijø uþdavinys – apraðyti kainos susidarymo me-chanizmà vertybiniø popieriø rinkoje. Nuo ðio mechanizmo apraðymo priklauso, kaipyra sprendþiami visi kiti finansø rinkos klausimai: optimalaus portfelio sudarymas,finansiniø priemoniø ákainojimas ir pan. Straipsnyje apþvelgiama modernioji finan-sø rinkos teorija, kuri dël to, kad ið esmës grindþiama matematika, daþnai vadina-ma tiesiog finansø matematika. Taèiau svarbiausia moderniosios finansø rinkosteorijos dalis – efektyviosios rinkos paradigma – apibrëþiama nevartojant matema-tinës kalbos. Ðioje apþvalgoje siekiama parodyti, kaip dauguma finansø matematikosteiginiø apibûdina minëtà efektyviosios rinkos sampratà. Apþvalgos pabaigoje mini-mos pomodernistinës finansø rinkø teorijos iðsiskiria kitokiu poþiûriu á tai, kas nu-lemia kainà. Tarp jø yra ir elgsenos finansø rinkos teorija, kurios vienam ið pradininkøD. Kahneman buvo paskirta Nobelio 2002 m. ekonomikos mokslø premija*.

Ði apþvalga skirta tiems, kurie su finansø rinkos teorijomis dar nebuvo susidûræ.Todël èia vengiama gilintis á sudëtingus ar giliø matematikos þiniø reikalingus ðiøteorijø aspektus. Vietoj to mëginama nupieðti bendrà ðios srities paveikslà, siekiantpaaiðkinti pagrindines idëjas ir problemas. Leidiniø, skirtø ávairiems finansø rinkosmodeliavimo aspektams, sàraðas kiekvienais metais pailgëja keliomis deðimtimis ir

FINANSØ RINKOS TEORIJØ PAGRINDAI

Remigijus Leipus – profesorius, fiziniø mokslø habilituotas daktaras, Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikosfakulteto Ekonometrinës analizës katedra, Matematikos ir informatikos instituto vyriausiasis mokslinis darbuotojas.Veiklos sritys: laiko eiluèiø analizë, finansø ekonometrika, finansø matematika. Darbà ið dalies remia Lietuvos VMSFprograma „Lietuvos ekonomikos matematiniai modeliai makroekonominiams procesams prognozuoti“ (registracijosNr. C-03004).

Rimas Norvaiða – profesorius, fiziniø mokslø habilituotas daktaras, Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikosfakulteto Ekonometrinës analizës katedra, Matematikos ir informatikos instituto vyriausiasis mokslinis darbuotojas,Bachelier finansø draugijos narys.Veiklos sritys: ðiurkðèiøjø funkcijø analizë, finansø matematika ir matematinë ekonomika.

*Plaèiau apie tai skaitykitestraipsnyje „Nobelio 2002 m.ekonomikos mokslø premijoslaureatai“, paskelbtame Lietu-vos banko moksliniame leidi-nyje „Pinigø studijos“ (2003).

6

Ekonomikos teorija ir praktikaPinigø studijos 2003 4

yra iðties áspûdingas. Nenorëdami iðskirti kuriø nors ið jø, tiesiog siûlome þvilgterëtiá virtualià knygø lentynà adresu http://www.finmath.com. Galima bûtø rekomenduotikà tik pasirodþiusià J. A. Paula (2003) knygà, kurioje autorius mëgina paaiðkinti pa-grindines finansø rinkos matematines koncepcijas vartojant ne formalià matematinækalbà, bet literatûrines priemones, ir pasinaudoti savo nesëkminga investavimo rin-koje patirtimi. Ðia prasme knyga skiriasi nuo ankstesniø gerai þinomø finansø teorijàir praktikà populiarinanèiø darbø, tokiø kaip B. G. Malkiel (1996) ir P. L. Bern-stein (1992).

Finansø rinka vadinama tokia rinka, kurioje operuojama (prekiaujama, mainomair pan.) vertybiniais popieriais. Pavyzdþiui: a) bendroviø akcijos ir valstybës vertybiniaipopieriai sudaro vertybiniø popieriø rinkà; b) trumpalaikiai vertybiniai popieriai(indëliai, paskolos ir pan.) sudaro pinigø rinkà; c) uþsienio valiutos sudaro valiutørinkà; d) kitos rinkos, kuriose prekiaujama ávairiomis finansinëmis priemonëmis ariðvestiniais vertybiniais popieriais. Prie finansø rinkø taip pat priskiriamos ir inves-ticiniø prekiø rinkos (brangiøjø metalø ir pan.). Lyginant pavirðutiniðkai, finansørinkos skiriasi nuo vartojimo prekiø rinkø savo dinamiðkumu ir dideliu neapibrëþ-tumo laipsniu. Dël ðiø savybiø ir informaciniø technologijø paþangos finansø rinkossukuria didþiulæ duomenø bazæ, kurioje paprastai saugomos ne tik specifinës akcijosar obligacijos kaina, bet ir apimtis, data, prekiautojø tipai. Paþymëtina, kad tokius,daþniausiai per dienà gautus duomenis leidþia tirti ðiuo metu sparèiai besiplëtojantiaukðto daþnio duomenø analizë.

Rinkos ekonomikos finansø struktûrà sudaro vertybiniø popieriø rinka, bankai,draudimo ámonës ir kitos institucijos. Finansø rinka ðioje struktûroje uþima pagrin-dinæ vietà, o kitos institucijos yra tik tarpininkës. Bendrovës, finansø rinkose platin-damos savo akcijas, ágyja kapitalà gamybai plësti, o vartotojai investuoja savo lëðasá bendroviø akcijas siekdami pelno. Taip visi rinkos dalyviai, t. y. vartotojai irgamintojai, sprendþia svarbiausià rinkos ekonomikos uþdaviná – optimaliai paskirstytiturimus iðteklius. Kartu paplitusi nuomonë, jog apie ðalies ekonomikos bûklæ galimaspræsti pagal finansø rinkos elgsenà. Pavyzdþiui, manoma, kad, pradëjus kristi akcijøkainoms, galima tikëtis ekonomikos sàstingio. Ir atvirkðèiai, kylanèios akcijø kainosyra galimo ekonomikos augimo poþymis. Ar tai reiðkia, kad finansø rinka tiesiogiaiveikia ekonomikà? Labai maþai poþymiø patvirtina tokià nuomonæ. Kur kas daugiauyra poþymiø, liudijanèiø tai, kad finansø rinka paprasèiausiai parodo þmoniønuomonæ apie ðalies ekonomikos elgsenà artimiausioje ateityje. Tokiais „veidrodþiais“paprastai yra laikomi ávairiø ðaliø finansø rinkø indeksai: Dow Jones Industrial Average(DJIA), Standard and Poor’s (S&P), NASDAQ, NIKKEI225, DAX ir kt., o Lietuvoje –Litin, Litin-10, Litin-G.

Tarp minëtø akademiniø rinkos tyrimo motyvø – pelno siekimui paprastai tenkanepaskutinë vieta. Pateiksime toká iðkalbingà pavyzdá. 1926 m. sausá investavæ 1 JAVdolerá á 1 mën. JAV iþdo vekselius, vienà ið saugiausiø vertybiniø popieriø pasau-lyje, ir kas mënesá gautà pelnà perinvestavæ, 1996 m. gruodá bûtumëte gavæ 14 JAVdoleriø pelno. Jei tà patá 1 JAV dolerá tokiu paèiu bûdu bûtumëte investavæ á S&Pindeksà, t. y. gerokai rizikingesniø vertybiniø popieriø portfelá, po 71 metø jûsøpelnas bûtø 1 370 JAV doleriø. Tarkime, kad kiekvienà mënesá sugebate ið ankstoatspëti, kuri ið ðiø dviejø investicijø tà mënesá duos didesnæ gràþà. Koks bûtø pelnas,jei, pasinaudojæ ðia informacija, kiekvienà mënesá bûtumëte investavæ á didesnæ gràþàduodanèià investicijà? Ðio pavyzdþio autoriaus R. Merton atsakymas: daugiau kaip2 mlrd. JAV doleriø, tiksliau – 2 296 183 456 JAV doleriai! Nors tokia tobula prog-nozë neámanoma, taèiau ðis pavyzdys rodo, kad ir menkas gebëjimas prognozuotigali duoti nemenkà pelnà.

Jeigu finansø rinka bûtø panaði á prekiø rinkà, tai galima bûtø tikëtis ir kainossusidarymo mechanizmo panaðumø. Vartojimo prekiø rinkoje, didëjant prekës kainai,norinèiøjø jà pirkti maþëja, o kainai krintant, prieðingai – didëja. Tokia prekiø rin-

7


kos dalyvio reakcija á kintanèià kainà yra lemianti nusakant kainos susidarymo mecha-nizmà, vadinamà pasiûlos ir paklausos balansu. Teoriðkai šis kainos susidarymomechanizmas aprašomas Arrow–Debreu–McKenzie bendrosios pusiausvyros modeliu(Debreu, 1959). O finansø rinkos dalyvio reakcija á kintanèià kainà yra prieðinga:labiau pageidautina yra ta prekë akcija, kurios kaina kyla, ir paprastai neperkamata prekë akcija, kurios kaina krinta. Nepaisant ðiø pavirðutiniø skirtumø, galimabrëþti pasiûlos ir paklausos kreives tarp akcijø kiekio ir jø kainos. Taèiau ðie pasiûlosir paklausos santykiai neparodo esminiø finansø rinkos bruoþø (Ross, 1987). Todëlnatûralu, kad finansø rinkos kainos susidarymo mechanizmà apraðanèios teorijosskiriasi nuo bendrosios ekonominës pusiausvyros teorijos. Aiðkiai pirmenybæ turimodernioji finansø rinkos teorija, kainos susidarymo mechanizmà siejanti su tinkamuinformacijos átraukimu á kainà.

1. Efektyviosios rinkos hipotezë

Moderniosios finansø rinkos teorijos iðtakos glûdi XX a. pradþios mokslininkødarbuose mëginant paaiðkinti keistà finansø rinkos kainø elgesenà lyginant su tuo,kas buvo stebima prekiø rinkose. Jei finansø rinkos kainas taip pat nustatytø „pasiûlosir paklausos jëgos“, tai akcijos kaina turëtø tam tikra kryptimi kisti pusiausvyroslink, o ne chaotiðkai svyruoti. Taèiau empiriniai akcijø kainø pokyèiø tyrimai rodëkà kita.

Akcijø kainø svyravimø ðiuolaikinio aiðkinimo prototipà pasiûlë prancûzømatematikas Louis Bachelier* (1870–1946). Jis 1900 m. Sorbonos universitete ðiatema apgynë disertaci jà „Spekuliacijos teorija“ (Théorie de la spéculation).L. Bachelier (1900) spekuliacijos teorija yra tai, kas dabar suprantama kaippasirinkimo sandorio ákainojimo teorija, apie kurià plaèiau bus raðoma R. Leipausir R. Norvaiðos (2004) straipsnio „Finansø rinkos teorijø taikymas“ skirsnyje „Finansøinþinerija“. Svarbiausias L. Bachelier darbo nuopelnas yra ið esmës naujas siûlymasmatematiðkai modeliuoti akcijos kainos kitimà. Tiksliau, tarkime, kad yra teigiamaslaiko intervalas ir tegul S (k) þymi kainas laiko momentais k (k = 1, 2, …).L. Bachelier pasiûlytas kainos pokyèiø modelis pagrástas prielaida, kuri ðiuolaikinësmatematikos kalba galëtø bûti formuluojama taip:

,1 ,...)0()(2

≥++++= kSkSk∆∆∆

∆ ξξξ∆

èia: S(0) – teigiamas skaièius; i

– nepriklausomi, vienodai pasiskirstæ atsi-tiktiniai dydþiai, ágyjantys reikðmes ∆σ± su tikimybe 1/2.

Tokia kainos elgesena vadinama „atsitiktiniu klaidþiojimu“. L. Bachelier pabrëþë,kad, paþymëjus k = [t/], t > 0 ir neaprëþtai maþinant laiko intervalà , arba, kitaiptariant, perëjus prie ribos, kai → 0 (tam tikra tikimybine prasme), turi egzistuotitoks (atsitiktinis) procesas W, kuris apibrëþia kainos procesà S :

S(t) = S(0) + W(t), t 0. (1)

Matematiðkai nepriekaiðtingà tokio proceso W egzistavimo árodymà 1923 m.pateikë amerikieèiø matematikas Norbert Wiener (1894–1969). Dël to ðis procesasvadinamas Wiener procesu (išsamiau apie tai rašysime kitame skyriuje).

Vëlesnius empirinio tyrimo ðia kryptimi darbus atliko H. Working (1934),A. Cowles (1933) ir M. G. Kendall (1953). Kitaip negu L. Bachelier, ðie autoriaispëjo, kad:

.1,...exp)0()(2

≥+++= kSkSk∆∆∆

∆ ξξξ∆

Kitaip sakant, nepriklausomø atsitiktiniø dydþiø elgsena bûdinga logaritminëmssantykiniø pokyèiø transformacijoms lnS(k) / S((k – 1)), o ne tiesioginiams

*1996 m. ákurta Bachelier

finansø draugija (Bachelier

Finance Society), kurios tiks-las – finansø disciplinos plët-ra, pagrásta atsitiktiniø pro-cesø teorija, statistika ir ma-tematika. Daugiau apie ðiàdraugijà þr. internete adresu:http://www.stochastik.uni-freiburg.de/bfsweb/

8


kainos pokyèiams S(k) – S((k – 1)). Jei, kaip anksèiau, pereitume prie ribos, kai → 0 , tai gautume, kad kainos procesas S yra aprašomas tokia formule:

S(t) = S(0)expW(t), t 0.

Apibendrindamas empirinius akcijø kainø pokyèiø tyrimus, M. G. Kendall sufor-mulavo tokius, jo nuomone, esminius klausimus: kas verèia rinkos kainas svyruoti irkokie atsitiktiniai procesai adekvaèiai apraðo kainos kitimà? Mëginant atsakyti á ðiuosklausimus, pamaþu iðsirutuliojo efektyviosios rinkos paradigma, kuria ir pagrástosðiame straipsnyje aptariamos pagrindinës finansø rinkø teorijos.

Kitos darbø kryptys buvo ir yra susijusios su tuo, kas vadinama technine ir fun-damentaliàja analize, kuriø svarbiausias tikslas – kainos prognozë. Tuo tikslu, atlie-kant techninæ analizæ, naudojama visa informacija, susijusi su akcijos kaina praeityjeir jø prekybos apimtimi. Tokios yra, pavyzdþiui, Dow teorija ir jos tæsinys – Elliotbangø teorija (þr. Prechter, 1999). Fundamentaliosios analizës esmæ sudaro akcijosvertës samprata. J. B. Williams (1938) ir kiti mëgino pagrásti poþiûrá, pagal kuráakcijos kaina parodo jos vertæ, o ðios vertës dydis yra lygus diskontuotai tos akcijosvisø galimø ateities dividendø sumai. Fundamentalistø poþiûriu, kainos akcijø rinkojesvyruoja apie savo (fundamentaliàjà) vertæ.

1.1. Rinkos efektyvumas

Ilgà laikà buvo manoma, kad fundamentaliosios vertës ir atsitiktinio klaidþiojimoteorijos prieðtarauja viena kitai, pavyzdþiui, kainø prognozavimo atþvilgiu. Ðáprincipiná prieðtaravimà iðsprendë P. A. Samuelson (1965) ir B. Mandelbrot (1966)darbai. Be kita ko, P. A. Samuelson parodë, kad, atsitiktinio klaidþiojimo teorijojeakcijos gràþos pokyèiø nepriklausomumo savybæ pakeitus sàþiningojo loðimo sàlyga,akcijos kaina privalo sutapti su fundamentaliàja verte, bent jau tuo atveju, kaiinvestuotojai yra neutralûs rizikai, t. y. jiems rûpi tik tikëtinos gràþos dydis. Be to,P. A. Samuelson ir B. Mandelbrot siekë pagrásti tai, kad rinka veikia „deramai“, jeivisa vieða informacija apie akcijas átraukta á jø kainà.

Toliau plëtodamas efektyvumo sampratà, E. F. Fama (1970) rëmësi tuo, kadkapitalo rinkos pagrindinis vaidmuo yra kapitalo nuosavybës perskirstymas. Rinkaðá vaidmená atlieka efektyviai, jei kainos padeda teisingai paskirstyti iðteklius. Todëlefektyviosios rinkos hipotezæ (ERH) jis apibrëþë trumpa nuostata – rinka vadinamaefektyvia, jei kainos „visiðkai atskleidþia“ turimà informacijà. Taigi finansø teorijosterminas „efektyvus“ reiðkia, kad rinkoje esanti informacija visapusiðkai panaudo-jama akcijø kainoms sudaryti. Pati ERH ir jos iðvados yra per daug bendros, kad jasgalima bûtø empiriðkai patikrinti. Todël áprasta, kad ERH papildoma kuriuo norskonkreèiu kainos susidarymo mechanizmo variantu. Tokiu atveju neigiami empiriniotikrinimo rezultatai gali bûti aiðkinami kaip pasirinkto kainos susidarymo mecha-nizmo atmetimas. Paprasèiausias toks mechanizmas grindþiamas vadinamàjasàþiningojo loðimo hipoteze, kurià apibrëðime kitame skirsnyje. Visø tokiø mecha-nizmø bendras bruoþas yra tas, kad dabarties kaina projektuojama pagal ateitieskainas, kurios savo ruoþtu susidaro rinkoje, remiantis visa jai prieinama informacija.Taip sudaromos kainos vadinamos pusiausvyros kainomis.

Jau minëjome, kad ERH susieja finansø rinkos teoriná modelá su realia rinka irðia prasme ji atlieka labai svarbø metodologiná vaidmená. Jei dël kokiø nors prieþas-èiø galima manyti, kad konkreti finansø rinka yra efektyvi, tai, patikrinus papildomassàlygas (jei tokios yra), jai galima bûtø taikyti visus moderniosios finansø rinkosteorijos teiginius. Kita labai daþnai minima ERH iðvada teigia, kad efektyviojojerinkoje kiekviena ðiai rinkai prieinama informacija negali bûti panaudota siekiantdidesnio pelno nei to, kuris yra numatomas sudarant pusiausvyros kainas. Taigi pel-ningai gali bûti panaudota tik tokia informacija, kuri nëra „visiðkai atskleista“ akcijos

9


kainoje. Toks informacijos vaidmuo finansø rinkoje kartais lyginamas su gamybosefektyvumu prekiø rinkoje, todël ERH svarba vertinama panaðiai kaip ir bendrosiosekonominës pusiausvyros svarba prekiø rinkoje (Le Roy, 1989).

1.2. Teorinis ERH pagrindimas

ERH teisingumui pagrásti remiamasi keletu teoriniø argumentø. Paprasèiausiasið jø yra teiginys, kad visi rinkos veikëjai – investuotojai – yra racionalûs, todëlracionaliai ákainoja akcijas. Èia racionalumas reiškia du dalykus:

- rinkos veikëjai teisingai perima visà naujà informacijà;- sprendimus apie akcijø kainas rinkos veikëjai priima maksimizuodami savo

naudingumo funkcijà, apraðomà von Neumann-Morgenstern vidurkinës naudos teorija.Jei visi rinkos veikëjai yra racionalûs, tai akcijø kainos iðlaiko pusiausvyrà, t. y.

rinka yra efektyvi. Taèiau prielaida, kad visi rinkos veikëjai – racionalûs, nëra bûtinarinkos efektyvumui garantuoti. Kitas bendresnis teorinis argumentas yra prielaida,kad kai kurie rinkos veikëjai nëra racionalûs, o jø veiksmø átaka akcijø kainoms yraatsitiktinë. Tai reiðkia, kad iracionaliø veikëjø veiksmai rinkoje „iðsilygina“, jeigu jøyra daug ir visi jie veikia nepriklausomai. Todël akcijø kainos tokioje rinkoje turëtøbûti artimos pusiausvyros kainoms, o tai vëlgi rodo rinkos efektyvumà.

Dar bendresnis teorinis argumentas leidþia laikyti iracionaliø rinkos veikëjøelgsenà tarpusavyje priklausoma. Ðio argumento pagrindà sudaro arbitraþo sàvoka –vienas ið patraukliausiø ir tikëtiniausiø argumentø visoje ekonomikoje. Finansøekonomikoje arbitraþu vadinama tokia strategija, kuri leidþia nerizikuojant pasiektiteigiamà pelnà (teorinio modelio atveju ði sàvoka apibrëþta (17) sàryðiu 3 skyriuje).Taigi, atsiradus nukrypimui nuo pusiausvyros kainos dël iracionaliø investuotojøveiksmø, racionalûs investuotojai be rizikos gali pasinaudoti kainø skirtumu ir gautiteigiamà pelnà. Jei racionalûs investuotojai konkuruodami greitai panaikina arbitraþogalimybæ (kaip ir turi bûti efektyviojoje rinkoje), tai kaina negali smarkiai ir ilgamnukrypti nuo pusiausvyros reikðmës, t. y.:

- jei rinka efektyvi, tai joje neegzistuoja arbitraþo galimybë.Kartais ERH tapatinama su arbitraþo negalimumo akcijø rinkoje nuostata, kuri

taip pat þinoma „nëra nemokamø pietø“ (þr. Ross, 1987; Rubinstein, 2001) vardu.Savo straipsnyje S. A. Ross atskleidþia arbitraþo sàvokos svarbà neoklasikinëje

finansø teorijoje. Garsiajame ekonomikos vadovëlyje P. A. Samuelson cituoja pasa-kymà: netgi papûgà galima padaryti geru ekonomistu, nes tam pakanka iðmokyti jàdviejø þodþiø – „pasiûla“ ir „paklausa“. Pagal S. A. Ross, panaðiai papûgà galimapadaryti geru finansininku, nes tam pakanka jà iðmokyti dviejø þodþiø – „arbitraþasneegzistuoja“. O jeigu rimtai, tai galima tikëtis papildomø problemø mëginantakademiniame þurnale iðspausdinti straipsná, kuriame nagrinëjamas arbitraþogalimybe pagrástas finansø rinkos modelis.

1.3. Empiriniai ERH testai

Empirinis ERH pagrindimas iki šiol „išgyveno“ du skirtingus laikotarpius: ikiaðtuntojo deðimtmeèio pabaigos, kai daugumos tyrimø rezultatai patvirtino ERH, irpo to – neigiamø tyrimø rezultatø antplûdis. Didþiausio pakilimo nuotaikà geraiparodo tokia 1978 m. iðsakyta M. Jensen (1978, p. 95) nuomonë: „ekonomikojenëra kito teiginio, kuris bûtø taip solidþiai empiriðkai pagrástas, kaip efektyviosiosrinkos hipotezë“. Antro laikotarpio kategoriðkø teiginiø pavyzdþiu galëtø bûtiR. A. Haugen (1999) veikalas.

ERH empirinë analizë reiðkia jos iðvadø empiriná tikrinimà. Daþniausiainagrinëjamos dvi iðvadø rûðys. Pirma, pasirodþius naujai informacijai, akcijos kainaprivalo reaguoti ir parodyti ðià naujienà greitai ir teisingai. Antra, kadangi akcijoskaina turi sutapti su jos fundamentaliàja verte, tai kaina negali svyruoti, jeigu nëra

10


naujos informacijos, susijusios su akcijos verte. Siekiant paneigti ðias iðvadas, pakaktøparodyti, pavyzdþiui, jog tam tikrà laikà galima gauti didesná negu vidutiná pelnànaudojantis pasenusia informacija. Ðiuo atveju, vertinant rezultatus, didþiausia prob-lema yra pelno dydþio ávertinimas, kadangi taikoma strategija visada susijusi su tamtikra rizika. Rizikai ávertinti savo ruoþtu reikia papildomø prielaidø, o gautas pelnasgali bûti vertinamas kaip uþmokestis uþ rizikà. Ðiek tiek paprasèiau yra su informa-cijos samprata. E. F. Fama (1970) ávardijo tris galimus informacijos ðaltinius ir kartuiðskyrë tris efektyviosios rinkos hipotezës formas:

- silpna forma: dabarties kainos parodo visà informacijà apie praeities kainas irakcijø pirkimo–pardavimo apimtá;

- pusiau stipri forma: dabarties kainos parodo visà dabarties momentu prieinamàvieðà informacijà;

- stipri forma: dabarties kainos parodo visà dabarties momentu prieinamàinformacijà, taip pat ir vieðai neskleistinà informacijà (insider information).

Jei finansø rinkai bûdinga silpna ERH forma, tai prognozuoti ateities kainas,remiantis informacija tik apie praeities kainas ir akcijø pirkimø–pardavimø apimtá,neámanoma. Kitaip tariant, jei teisinga silpna ERH, tai techninës analizës taikymaskainø prognozei yra neperspektyvus. Tà patá galima pasakyti ir apie fundamentaliàjàanalizæ; jei rinkai bûdinga pusiau stipri ERH forma, t. y. taikant strategijà, pagrástàtik vieðàja informacija, nëra pagrindo tikëtis nuolatinio didesnio nei vidutinio rinkospelno, o stiprios ERH formos atveju nepadës net ir vieðai neskleistina informacija.Ðios iðvados taip pat rodo visuomenëje vyraujanèio mito klaidingumà, kad finansømatematika gali padëti rasti bûdø didinti pelnà. Tikroji finansø mokslo visuomenëspozicija yra prieðinga. Geriausiu atveju, kà galima daryti, tai ieðkoti bûdø, kaip apsi-drausti nuo galimø nuostoliø arba, kalbant finansø inþinerijos þargonu, „konstruotihedþingà“ (hedging). Vienas ið tokiø bûdø yra labai paplitæs – tai pasyvus investavimasmëginant kurti toká akcijø portfelá, kuris imituotø rinkà. Tai ir daro vadinamiejiindeksø fondai.

Darbø, susijusiø su empiriniu ir teoriniu ERH pagrindimu, yra labai daug ir,be abejo, ðis klausimas nëra galutinai iðspræstas. Keletas atvejø ðia tema yra paminëtistraipsnio pabaigoje kalbant apie alternatyvias finansø rinkos teorijas. Èia atkreipsimedëmesá tik á vienà pastebëjimà, aptariamà daugelyje straipsniø (þr. Bowman,Buchanan, 1995). Dauguma finansø rinkos teoretikø teigia, kad ði rinka yra efektyvi,o daugumos praktikuojanèiø investuotojø pozicija yra prieðinga ERH nuostatai.Viena vertus, investuotojai geriausiu atveju sprendimus grindþia technine ir (arba)fundamentaliàja analize, o neretai pasitelkia ir astrologijà, psichologijà, numerologijàir pan. Kita vertus, minëtø R. G. Bowman ir J. Buchanan nuomone, bûtø ádomupamëginti atsakyti á klausimà – kodël galima manyti, kad finansø mokslo visuomenëtiki ERH net ir tuo atveju, kai ji galbût nëra teisinga? Ið esmës panaðø klausimànagrinëja G. M. Frankfurter ir E. G. McGoun (1999) tirdami ideologijos átakà finansøekonomikos teorijai.

Tolesniuose skyriuose apþvelgsime pagrindinius finansø matematikos teiginiusmëgindami susieti juos su ERH, o tiksliau – su jos pagrindiniu variantu, pagal kuráefektyviojoje rinkoje arbitraþas yra negalimas. Pradësime nuo svarbaus dalyko – mate-matinio modelio sampratos.

2. Finansø rinkos modelis: samprata ir pavyzdþiai

Finansø rinkos atþvilgiu modelio sàvokai suteikiama konkreti prasmë. Bûtentfinansø rinkos modeliu vadiname matematinæ teorijà, kurios elementai ir teiginiaiaiðkinami imituojant realias finansø rinkas. Vienas ið pagrindiniø skirtumø tarpabstrakèios matematinës teorijos ir finansø rinkos modelio yra rezultatø vertinimokriterijai. Matematinë teorija daþniausiai vertinama pagal savo vidinæ darnà ir logikà,

11


o finansø rinkos modeliui taikomas toks iðorinis vertinimo kriterijus kaip ekonominësintuicijos (ekonomikos metodologija) ir realios tikrovës (ekonometrinë analizë)atitikimas. Ðia prasme finansø rinkos modelis yra vadinamosios motyvuotosios mate-matikos pavyzdys – terminas, kurá vartojo J.-P. Aubin (1984, þr. knygos epilogà) kalbë-damas apie bendrosios ekonominës pusiausvyros teorijà.

2.1. Akcijos kaina ir gràþa

Kitas labai svarbus matematikos vaidmuo yra jos atliekama kalbos funkcija.Matematinis samprotavimas nuo nematematinio skiriasi dar ir tuo, kad kalbos objektaisuvokiami vienareikðmiðkai, remiantis tik tomis jø savybëmis, kurios yra priskirtospagal apibrëþimà. Pavyzdþiui, finansø rinkos teorijoje labai svarbûs tokie realybësaspektai kaip ateities neapibrëþtis, laikas, atsitiktiniai ávykiai, akcijos kaina ir pan.Finansø rinkos modelyje, taikant matematinæ tikimybiø teorijà, ðiems terminamssuteikiama labai konkreti prasmë. Tam, kad galëtume naudotis šia teorija, privalomatarti, kad yra þinoma tikimybinë erdvë, t. y. aibë Ω ir funkcija P, apibrëþta tam tikrosðios aibës poaibiø klasëje F*, ágyjanti reikðmes intervale [0, 1]. Aibæ Ω sudaro tiesio-giai su ekonominiu modeliu susijæ pasaulio ateities scenarijai , kartais tiesiog vadi-nami bûsenomis. Kiekvienas ðeimos F elementas A suprantamas kaip tokia ateitiesscenarijø aibë, apie kurià galime pasakyti, kad ji ávyks su tikimybe P (A). Taigi tarus,kad mums yra þinoma tikimybinë erdvë (Ω, F, P), akcijos kainos reikðmë natûraliaipriklauso nuo bûsenos Ω ir laiko. Laikas finansø teorijoje paprastai sutapatinamasarba su diskreèia aibe D = 0, 1, …, T, arba su intervalu D = [0, T ], juos atitinkanèiosteorijos vadinamos diskretaus arba tolydaus laiko finansø rinkos modeliu. Daþniausiaiaibës D elementas t = 0 þymi dabarties laiko momentà, o kiekvienas elementas t > 0priklauso ateièiai. Diskreèios laiko aibës elementus galima aiðkinti ávairiai, pavyzdþiui,tai gali bûti metai, mënesiai ar valandos.

Akcijos kaina – tai dviejø kintamøjø funkcija S = S(t, ) : (t, ) D × Ω,kurios reikðmës yra neneigiami realûs skaièiai. Labai daþnai antrasis argumentas praleidþiamas, nes teiginiai apie S(t) S(t, ) paprastai nepriklauso nuo konkreèios reikðmës. Tokia funkcija vadinama atsitiktiniu procesu, jei iðpildomas vadinamasismatumo kriterijus**. Ðis kriterijus rodo, kad yra þinomos tam tikros klasës ávykiøtikimybës. Toliau funkcijà S vadinsime akcijos kaina arba kainos procesu nepriklau-somai nuo to, kuris modelis – diskretaus ar tolydaus laiko – turimas galvoje.

Nagrinëjant daugelá finansø rinkos teorijos klausimø, ekonomiðkai pagrástesniaislaikomi ne absoliutûs, bet santykiniai kainos pokyèiai. Dël ðios prieþasties sudarantfinansø rinkos modelius vartotinas ne tik kainos, bet ir gràþos terminas. Tarkime, Syra diskretaus laiko akcijos kainos procesas. Akcijos gràþa arba gràþos procesu vadin-sime funkcijà R = R(t) : t = 0, 1, …, T, apibrëþtà taip: R(0) := 0, ir

....,,1,)1(

)1()(:)1()( Tt

tS

tStStRtR =

−

−−

=−− (2)

Èia tariama, kad S (t – 1) 0 su visais t. Kadangi diskretaus laiko modeliuoselaiko intervalas yra fiksuotas ir lygus 1 (jo interpretacija gali bûti ávairi), tai daþnaiskirtumui R(t) – R(t – 1), vadinamam gràþos norma (rate of return), taikomasþymëjimas R(t). Tolydaus laiko modeliuose laiko intervalo ilgiai yra kintami, todëltoks þymëjimas, kuris nerodo intervalo pradþios ir pabaigos, nëra geras. Dar vienagràþos samprata, vartojama ekonometrinëje analizëje, gaunama deðinæ (2) lygybëspusæ pakeitus funkcija lnS(t) / S(t – 1).

Taigi, þinant akcijos kainà S, jos gràþa R nusakoma (2) formule. Ir atvirkðèiai,þinant akcijos gràþà R, ið tos paèios formulës nesunku gauti jos kainos procesoiðraiðkà:

*F yra tokia aibës poaibiøklasë, kuri yra uþdara aibiøpapildymo, baigtinës sankir-tos ir skaitaus jungimo ope-raci jø atþvilgiu. Tikimybiøteorijoje tokia klasë vadinama -algebra.**Matumas rodo, kad ávykis : S(t, ) B priklausošeimai F su kiekvienu t D irsu kiekvienu pustiesës [0, )Borel poaibiø -algebros ele-mentu B.

12


[ ]∏=

=−−+=

t

s

TtsRsRStS

1

,...,,1,)1()(1)0()( (3)

kur S(0) – laisvai pasirinktas teigiamas skaièius, pavyzdþiui, S(0) = 1, o pokytisR(t) – R(t – 1) –1 su visais t. (2) ir (3) sàryðiais nusakoma abipusë vienareikðmë Sir R atitiktis:

[ ]∑=

=−−−+=

t

s

TtsRsRsSStS

1

. ...,,1,)1()()1()0()(

Aptaræ akcijos kainos ir gràþos matematinæ sampratà, toliau galime konkreèiauapibûdinti vienà kainos susidarymo mechanizmo variantø – sàþininingojo loðimorinkà.

2.2. Sàþiningojo loðimo rinka

Vienas ið pirmøjø akcijos kainos mechanizmø aiðkinimø galimas pasitelkiantanalogijà su nuosekliai kartojamø loðimø seka. Tariama, kad loðimai yra sàþiningi taprasme, kad kiekvienu laiko momentu þinant ankstesniøjø n loðimø rezultatus, (n + 1)lošimo tikëtinas laimëjimas yra toks pat kaip ir n loðimo laimëjimas. Kartojamosàþiningojo loðimo rezultatai tikimybiø teorijoje modeliuojami vadinamuoju martin-galu*. Sakykime, kad X1, X2, … yra atsitiktiniai dydþiai, apibrëþti tikimybinëje erdvëje(Ω, F, P) ir turintys baigtinius vidurkius EX1, EX2, … Tarkime, kad F1, F2, … yranemaþëjanti tam tikrø ávykiø aibiø (-algebros) seka, toliau vadinama informaciniusrautu. Seka X

n : n 1 vadinama martingalu, jei su kiekvienu n 1, P beveik

visada teisinga lygybë:

[ ] .1 nnn

XXE =+F (4)

Kairëje pusëje esantis reiðkinys yra Xn+1 sàlyginis vidurkis atþvilgiu F

n. Jei X

n

yra n lošimo rezultatas ir Fn yra pirmøjø n loðimø visus galimus rezultatus nusakantys

ávykiai, (4) sàryðis iðreiðkia tai, kad, þinant pirmøjø n loðimø rezultatus, (n + 1) loðimotikëtinas laimëjimas nesiskiria nuo n loðimo laimëjimo.

Kaip ir anksèiau, tarkime, kad yra þinoma tikimybinë erdvë (Ω, F, P), apibrëþiantifinansø rinkos modeliui svarbius ateities scenarijus ir jø tikimybes. Taip pat tarkime,kad visa t laiko momentu prieinama rinkos informacija yra nusakoma aibe F

t F,

o šeima F := Ft : t = 0, 1, …, T sudaro informaciná srautà. Sakykime, kad akcijos

gràþos procesui R galioja sàþiningojo loðimo hipotezë (fair game), jei su kiekvienut = 1, …, T teisinga tokia lygybë:

R(t) = R(t – 1) + + t, (5)

kur – realusis skaièius, o t – martingaliniø skirtumø seka atþvilgiu informacijos

srauto F, t. y. [ ] 01=

−ttXE F su kiekvienu t. Aiðku, kad akcijos gràþos procesui R

galioja sàþiningojo loðimo hipotezë, jei (5) sàlygoje t yra nepriklausomi vienodai

pasiskirstæ atsitiktiniai dydþiai su nuliniu vidurkiu ir dispersija ². Tuo atveju sakoma,kad akcijos gràþos procesui R galioja atsitiktinio klaidþiojimo hipotezë.

Sàþiningojo loðimo hipotezë papildo efektyviosios rinkos hipotezæ ir abi kartusudaro vienà ið galimø kainos susidarymo mechanizmø. Ið tikrøjø tegul S yra akcijoskainos procesas, o jos gràþos procesui R galioja (5) lygybë. Remdamiesi (2) formule,gauname, kad su kiekvienu t = 1, …, T galioja toks sàryðis:

[ ][ ] .)1()(1

)1(

)(1

1µ=−−=−

−

−

−

tRtREtS

tSE

t

t

FF

(6)

*„Martingalas“ yra daugelyjeEuropos ðaliø paplitæs seno-vinis þodis, turintis skirtingàkilmæ ir reiðkiantis kurià norssaugumo priemonæ. Enciklo-pedinis anglø kalbos terminøþodynas (Webster’s.., 1989)pateikia toká aiðkinimà:martingale, mär’tingäl; seno-viðko stiliaus kelnës; nuo þo-dþio Martigal, reiðkianèioMartigo (Martigues) miestelioProvanse gyventojà; suriðimas,nuo arklio galvos iki balno pa-varþos po pilvu ir toliau einan-tis per priekines kojas, siekiantapsaugoti arklá nuo galvos kë-limo; jûr. trumpas statmenasskersinis po bušpritu.

13


Vadinasi, su kiekvienu t = 1, …, T teisinga ir tokia lygybë:

[ ] ).1( / )()1(1

µ+=−−t

tSEtS F (7)

Taip apibrëþtas akcijos kainos procesas S yra pusiausvyros kainos procesopavyzdys, kadangi S(t – 1) „visapusiðkai atskleidþia“ rinkos informacijà, apraðomàaibe F

t–1. Kartais (7) sàryðis vadinamas analitine ERH forma.Remiantis analitine ERH forma, su papildomomis sàlygomis galima paraðyti

akcijos fundamentaliosios vertës formulæ. Tarkime, kad akcijos kainos S kitimasnusakytas su visais t = 0, 1, …, o t laiko momentu iðmokamø dividendø dydis yraD(t) (dël paprastumo iki ðiol dividendai buvo laikomi akcijos kainos dalimi). Tokiuatveju akcijos gràþa R = R(t) : t = 0, 1, … apibrëþiama taip: R(0) := 0 ir

..., ,2 ,1 ,)1(

)()1()(:)1()( =

−

+−−

=−− ttS

tDtStStRtR (8)

èia tariama, kad S(t–1) 0 su visais t, o analitinë ERH forma yra

[ ] )1( / )()()1(1

µ++=−−t

tDtSEtS F

su kiekvienu t = 1, 2, … Taikydami ðá sàryðá n kartø ir matematinæ rekursijà,gauname, kad

[ ] [ ]n

tn

kk

tntSEktDE

tS)1(

)1(

)1(

)1()1(

1

1

1

µµ +

−+

+

+

−+

=−−

=

−

∑FF

(9)

su kiekvienu t = 1, 2, … Dabar tarkime, kad galioja vadinamoji transversalumosàlyga: (9) lygybës deðinëje esantis antrasis narys artëja á 0, kai n neaprëþtai didëja.Tada (9) lygybëje su n → gauname, kad kiekvienam t = 1, 2, … galioja tokia lygybë:

.)1(

)1()1(

1

1

+

−+=− ∑

∞

=

−

k

tk

ktDEtS F

µ(10)

Ši akcijos kaina, toliau þymima S , vadinama fundamentaliàja verte (fundamentalvalue). Jei akcijos kaina S atitinka fundamentaliàjà vertæ, t. y. jei SS = , tai nesunkupatikrinti, kad atitinkamam gràþos procesui (8) galioja sàþiningojo loðimo hipotezë.Vadinasi, pagal ERH, fundamentalioji vertë yra pusiausvyros kaina, „visapusiðkaiatskleidþianti“ turimà informacijà. Jei akcijos kaina skiriasi nuo savo fundamen-taliosios vertës, tai sakoma, kad tokia akcija sukuria finansiná burbulà (financialbubble). Pagal tokià finansinio burbulo sampratà, jis gali egzistuoti ir efektyviojojerinkoje, nusakomoje analitine ERH forma (daugiau apie tai raðoma paskutiniameapþvalgos „Finansø rinkos teorijø taikymas“ skyriuje).

Ar teisinga, kad efektyviojoje rinkoje akcijos gràþos procesui galioja sàþiningojoloðimo hipotezë ar kuris nors atsitiktinio klaidþiojimo hipotezës variantas? Nesu-klysime sakydami, kad ði problema ðalia ERH pagrindimo yra viena ið svarbiausiømoderniojoje finansø rinkos teorijoje. Ji taip pat susijusi su kitu klausimu – ar akcijoskainos yra numatomos? Jei taip, tai akcijos gràþos procesui negali bûti teisingasàþiningojo loðimo hipotezë. Vienareikðmio atsakymo á visus ðiuos klausimus varguar galima tikëtis. Pacituosime tik seniai ðioje srityje dirbanèiø mokslininkø A. W. Loir A. C. MacKinlay (1999, p. 4) nuomonæ: „finansø rinkos tam tikru mastu yranumatomos, bet tai toli graþu nëra rinkos neefektyvumo ar iracionalumo poþymis,<...>“. Bendros nuomonës ðiuo klausimu tarp ekonomistø nëra iki ðiol.

Paþymësime, kad ávairiø akcijø atsitiktiniai dydþiai t ir realusis skaièius

apibrëþiant sàþiningojo loðimo hipotezæ gali bûti nevienodi. Toliau sakykime, kad

14


rinka yra sàþiningojo loðimo rinka, jei realusis skaièius visoms ðios rinkos akcijomsyra vienodas. Tarkime, kad sàþiningojo loðimo rinkoje yra akcija, turinti gràþos normà

µ=)(~0tR su kiekvienu t, t. y. (5) sàlyga galioja, kai

t 0 su kiekvienu t. Remiantis

(3) formule, tokios akcijos kainos procesas yra S0(t) := S0(0)(1 + )t su visais t. Toksvertybinis popierius vadinamas nerizikingu. O kaina S, apibrëþta (7) lygybe, nusakorizikingà akcijà, nes jos gràþa R yra atsitiktinis procesas. Taèiau ðios akcijos tikëtinagràþos norma (expected rate of return) [ ]

1)(

~−t

tRE F lygi konstantai su kiekvienu t.Rinkos veikëjas vadinamas neutraliu rizikai, jei investuojant jam rûpi tik tikëtinosgràþos norma, o ne akcijos rizikingumas. Kadangi akcijø S0 ir S tikëtinos gràþosnormos sutampa, tai tokiam rinkos veikëjui jos yra lygiavertës. Taigi sàþiningojoloðimo rinkoje rizikai neutraliems investuotojams nëra prasmës investuoti á rizikingasakcijas.

Kaip rodo (7) pavyzdys, sàþiningojo loðimo rinkoje akcijos kaina neprivalo atitiktimartingalo sàlygø, taèiau kiekviena diskontuota kaina

TttStS ..., ,1 ,0:)(/)(0

= yra martingalas atþvilgiu (Ω, F, P, F), (11)

kur, kaip ir anksèiau, S0(t) = S0(0)(1 + )t. Ið tikrøjø, remiantis (7) pavyzdþiu, sukiekvienu t = 1, …, T, teisinga tokia lygybë:

( ) .)1( / )1()1( / )( 1

1

−

−

+−=+t

t

ttStSE µµ F

Tai rodo, kad (11) lygybë galioja. Kitame skyriuje dëstoma, kad sàþiningojoloðimo rinka ne tik efektyvi, bet ir joje nëra arbitraþo galimybës.

Diskretaus laiko finansø rinkos modeliø nepakanka, kai reikia tiksliau modeliuotigreitai kintanèias kainas. Mat, maþëjant intervalams, diskreèiam modeliui pritaikytasmatematinis aparatas tampa per daug gremëzdiðkas. Tokiu atveju paprasta iðeitis –taikyti abstraktesná matematiná aparatà, kuris leistø nagrinëti akcijø kitimà visamelaiko intervale [0, T ]. Dar vienas diskretaus laiko finansø rinkos modeliø trûkumasyra aptartas straipsnio „Finansø rinkos teorijø taikymas“ skyriuje apie finansø eko-nometrijà. Svarbiausi yra finansø teorijos teiginiai, kuriuos pavyksta árodyti toliaunagrinëjamais tolydaus laiko finansø rinkos modeliais.

2.3. Tolydaus laiko modelis: geometrinis Wiener procesas

Tolydaus laiko atveju problemos prasideda jau tada, kai norime apibrëþti tokiusakcijos kainos ir gràþos procesus, kuriems bûtø bûdingos anksèiau minëtos savybëskiekviename intervalo [0, T] skaidinyje 0 = t0 t1 … t

n = T. Be to, pereinant nuo

vieno skaidinio prie kito, tos savybës turi bûti tam tikru bûdu suderintos. Toks savybiøsuderinamumo reikalavimas átrauktas á Wiener proceso apibrëþimà. Sakoma, kadtikimybinëje erdvëje (Ω, F, P) apibrëþtas atsitiktinis procesas W = W(t) : t 0 yraWiener procesas (arba Brown judesys), jei:

- W(0) = 0 ir su visais 0 s t , W(t) – W(s) yra standartinis normalusisatsitiktinis dydis su nuliniu vidurkiu ir dispersija t – s;

- pokyèiai W(t1) – W(s1), …, W(tn) – W(s

n) yra nepriklausomi atsitiktiniai dydþiai

kiekvienam 0 s1 t1 … sn t

n < ;

- proceso trajektorijos W( , ) yra tolydþiosios funkcijos beveik su visais Ω.Klausimas, ar toks procesas egzistuoja, – visiðkai nebanalus. Matematiðkai

nepriekaiðtingà jo egzistavimo árodymà pirmà kartà pateikë N. Wiener (1923). Kaipjau minëjome straipsnio antrame skyriuje, ið esmës panaðià matematinæ iðraiðkà taikëL. Bachelier savo 1900 m. darbe. Apibrëþime iðvardytos Wiener proceso savybës yraesminës – jos bûtinos siekiant apibrëþti atsitiktiná procesà vieninteliu bûdu. Ið ðioapibrëþimo iðplaukia ir kitos savybës. Pavyzdþiui, Wiener proceso trajektorijos yra

15


ne tik tolydþios, bet ir su kiekvienu 1/2 joms galioja vadinamoji -Hölder savy-bë, t. y. su kiekvienu 0 T ir beveik su visais Ω egzistuoja tokia baigtinëkonstanta K = K(, T, ), kad α

ωω stKsWtW −≤− ),(),( su visais t, s [0, T ]. Beto, ði savybë nëra teisinga su = 1/2.

Toliau Wiener procesas bus taikomas apibrëþiant tolydaus laiko akcijos ir gràþoskainos procesus. Tegul W yra Wiener procesas, – realusis skaièius ir 0.Apibrëþkime atsitiktiná procesà taip:

R(t) := t + W(t), 0 t T. (12)

Susiaurinus apibrëþimo sritá, R(t) : t = 0, 1, …, T yra diskretaus laiko akcijosgràþos procesas. Tokiam gràþos procesui teisinga atsitiktinio klaidþiojimo hipotezë,nes (5) lygybëje dydþiai

t = [W(t) – W(t – 1)] yra nepriklausomi atsitiktiniai dydþiai

su nuliniu vidurkiu ir dispersija ².Diskretaus laiko atveju akcijos kaina ir gràþa yra susietos (3) sàryðiu. Ar toks

sàryðis gali bûti apibendrintas tolydaus laiko procesams, toli graþu nëra paprastasklausimas. Konkreèiu atveju, jei = 0, t. y. jei tolydaus laiko akcijos gràþos procesasyra R(t) = R

0(t) = t, tai atitinkamas akcijos kainos procesas finansø teorijoje

apibrëþiamas gerai þinomu bûdu skaièiuojant tolydþiàsias sudëtines palûkanas(continuous compound interest). Bûtent kiekvienam intervalo [0, T] skaidiniui m

imiT

0/

=

suskaièiuojamos atitinkamos sudëtinës palûkanos ir po to, perëjus prieribos, kai m → , gaunamas toks sàryðis:

( ) .)/1(lim)/)1()/(1(lim:)(1

000

Tm

m

m

im

emTmTiRmiTRTSµ

µ =+=−−+=

∞→=

∞→

∏ (13)

Natûralu bûtø tà patá skaièiavimo metodà taikyti ir kitoms gràþoms. Deja, ðiriba gali neegzistuoti arba gali bûti begalinë, jei vietoj R0 yra laisvai pasirenkamafunkcija. 1 priede parodyta, kad tolydþiàsias sudëtines palûkanas galima „skaièiuoti“tø funkcijø, kurios yra tam tikra prasme neðiurkðtesnës uþ Wiener proceso trajek-torijas.

Tarkime, kad akcijos gràþa R yra (12) lygybe apibrëþtas atsitiktinis procesas.Tada 1 priede nagrinëta (28) lygybe apibrëþta akcijos kaina S taip pat yra atsitiktinisprocesas:

S(t) = expt + W(t) – ( ² / 2)t, 0 t T. (14)

Šis atsitiktinis procesas vadinamas geometriniu Wiener procesu, o jo apibrëþimasapibendrina tolydþiàsias sudëtines palûkanas pagal (13) formulæ. 1 priede pateiktasðio proceso apibrëþimas nëra standartinis. Paprastai remiamasi stochastine analize,kurià atliekant pagal (14) formulæ ávertintas geometrinis Wiener procesas yra tiesinësstochastinës diferencialinës lygties dS(t) = S(t)(dt + dW(t)), S(0) = 1 sprendinys,t. y. 1 priedo (30) lygties sprendinys, kai integralas yra vadinamasis Itô stochastinisintegralas, o akcijos gràþa R apibrëþta (12) lygybe.

Tai, kad geometrinis Wiener procesas gali bûti nusakomas remiantis (28) lygybeir apibendrinant tolydþiàsias sudëtines palûkanas pagal (13) formulæ, yra sàlyginaipaprastas argumentas, kuriam nereikia stochastinës analizës þiniø ir kuris pateisinaWiener proceso sàsajà su akcijø kainos kitimo apraðymu. Maþiau tikslus, bet istorið-kai susiklostæs pirmas argumentas pagrástas jau minëtu pastebëjimu, kad investuoto-jams yra svarbesni kainos santykiniai, o ne absoliutûs pokyèiai. Pavyzdþiui,M. F. M. Osborne (1959) ðià investuotojø savybæ grindë psichologijoje þinomu Weber-Fechner dësniu. Tam prieðtaravæs P. A. Samuelson (1973, p. 14) manë, kad ðios savy-bës prieþastys yra tiek paèioje rinkoje, tiek ir tikimybiø skaièiavimo logikoje.

16


2.4. Alternatyvûs gràþos procesai

Akcijos kainos procesui aprašyti taikomas geometrinis Wiener procesas patogusteorinëms iðvadoms, taèiau turi nemaþai trûkumø, susijusiø su realios rinkosatitikimu. Daugelio finansø teoretikø, tarp kuriø B. B. Mandelbrot (1997) yra vienasið pirmøjø ir aktyviausiø ðios teorijos reiðkëjø, nuomone, pagrindinës problemossusijusios su Wiener proceso vienmaèio marginaliojo skirstinio uodegos lengvumu*,pokyèiø nepriklausomumu ir trajektorijø tolydumu. Per pastaruosius kelis deðimt-meèius kainø modeliavimui buvo iðbandyti praktiðkai visi þinomi atsitiktiniai pro-cesai ir jø klasës. Èia paminësime tik keletà alternatyviø atsitiktiniø procesø, daþnaitaikomø vietoj Wiener proceso. Pirmasis ið jø – simetrinis -stabilusis procesasX

= X

(t) : t 0, (0, 2). Jo pokyèiai – nepriklausomi -stabilûs atsitiktiniai

dydþiai, vienmaèiai marginalieji skirstiniai turi sunkias uodegas, o trajektorijos yratrûkios. Tarkime, kad akcijos gràþos procesas yra:

R(t) := t + X(t), 0 t T.

Taigi su kiekvienu p (, 2), vp(X(·, ); [0, T ]) (þr. (27) apibrëþimà) ir

beveik su visais Ω (26) sàryðiu apibrëþta tolydinë ðio proceso kvadratinës -variacijos dalis [ ] 0) ,( ≡⋅

c

Xλα

ω yra su tais paèiais Ω. Todël, remiantis (28) lygybe,atitinkamas akcijos kainos procesas yra:

,)1()(exp)(],0(

∏−

++=

t

XeXtXttS α

∆

αα∆µ 0 t T.

Buvæ populiarûs praëjusio amþiaus septintàjá ir aðtuntàjá deðimtmeèiaissimetriniai -stabilieji atsitiktiniai procesai ðiais laikais yra gerokai reèiau taikomiakcijø gràþoms modeliuoti. Argumentuojama, kad jø uodegos yra per sunkios (ne-egzistuoja antras momentas), be to, jie neturi analizinës tankio iðraiðkos, galbût yrair kitos ne tokios racionalios prieþastys. Paskutiná deðimtmetá finansø matematikojeir ekonometrijoje iðpopuliarëjo kelios kitos homogeniðkø Lévy** procesø klasës.Priminsime, kad Lévy procesu vadinamas toks atsitiktinis procesas X su ne-priklausomais pokyèiais X(t) : t 0, kurio trajektorijos yra tolydþios ið deðinës, sutrûkiais ið kairës ir X(0) = 0. Lévy procesas X vadinamas homogenišku, jei pokyèioX(t + s) – X(t), t, s 0 skirstinys nepriklauso nuo t. Wiener procesas yra vienintelishomogeniškas Lévy procesas, kurio trajektorijos yra tolydþios. Tarp minëtø populiariøprocesø ðiuo metu yra normalusis atvirkštinis Gauss Lévy procesas (Barndorff-Nielsen,1998). Kita populiariø procesø klase, tinkama kainø kitimui modeliuoti, gali taptiapibendrintøjø z-skirstiniø Lévy procesai, apibrëþti B. Grigelionio (2001).

Kita alternatyva Wiener procesui – trupmeninis Brown judesys BH = BH(t) : t 0,priklausantis nuo vadinamojo Hurst rodiklio H (1/2, 1). Kaip ir Wiener procesas,BH yra Gauss atsitiktinis procesas su tolydþiomis trajektorijomis. Taèiau, kitaip neguWiener procesas, BH pokyèiai yra priklausomi atsitiktiniai dydþiai. Tarkime, kadakcijos gràþos procesas yra:

R(t) := t BH(t), 0 t T.

Vëlgi su kiekvienu p (1/H, 2), vp(BH(·, ); [0, T ]) ir beveik su visais Ω

(26) sàryðiu apibrëþta tolydinë ðio proceso kvadratinës -variacijos dalis yra 0. Be to,ðio proceso trajektorijos yra tolydþios funkcijos, todël, remiantis (28) lygybe, atitin-kamas akcijos kainos procesas yra:

S(t) = exp t + BH (t), 0 t T.

Beje, jeigu BH atsitiktinio proceso Hurst indeksas yra H (0, 1/2), tai jo kvad-ratinë -variacija yra begalinë, o tai yra proceso, kuriam tolydþiø sudëtiniø palûkanøskaièiavimo metodas nepritaikomas, pavyzdys.

*Atsitiktinio procesoX = X(t) : t 0 vienmatismarginalusis skirstinys yra at-sitiktinio dydþio X(t) skirstinyskiekvienam t 0. Atsitiktiniodydþio skirstinio uodega

vadinama tokia funkci ja:f(u) := P(|| u), u 0.Uodega yra lengva, pusiausunki arba sunki, jei dideliøargumento reikðmiø funkcija fkinta atitinkamai kaip funkcijaexp–u², u±bexp–u arba u–a,kiekvienam 0 a, b .**Paul Lévy (1886–1971) –prancûzø matematikas.

17


3. Finansø matematika

Ðiame skyriuje apraðysime vienà ið pagrindiniø ðiuolaikinës finansø rinkosteorijø – arbitraþo teorijà, taip pat trumpai apþvelgsime kità svarbià su optimaliuiðtekliø paskirstymu finansø rinkoje susijusià problemà – vadinamàjà portfelio teorijà.

3.1. Arbitraþo teorija

Svarbiausià ðiuolaikinës finansø matematikos dalá sudaro arbitraþo, rizikaineutralaus ákainojimo ir finansiniø iðmokø atkartojimo (arba replikavimo) teorija.Ðios teorijos svarbà lemia tai, kad visos trys sàvokos susieja efektyviosios rinkos sam-pratà, vertybiniø popieriø ákainojimo mechanizmà ir „hedþingu“ (rizikos draudimu)grindþiamà finansiniø priemoniø ákainojimo metodà*. Ði teorija glaustai vadinamaarbitraþo teorija, jos atsiradimas siejamas su J. M. Harrison ir D. M. Kreps (1979)bei J. M. Harrison ir S. Pliska (1981) darbais.

Minëti trys arbitraþo teorijos dalykai nusakomi atitinkamomis matematinëmissàvokomis: bearbitraþe rinka, ekvivalenèiu rizikai neutraliu matu ir pilnàja rinka. Jøkonkretus apibrëþimas priklauso nuo finansø rinkos modelio. Arbitraþo teorija turidaugiau ar maþiau baigtà pavidalà tik diskretaus laiko atveju – èia rinka yra be-arbitraþë tada ir tik tada, kai egzistuoja ekvivalentusis rizikai neutralus matas. Beto, bearbitraþë rinka yra pilnoji tada ir tik tada, kai egzistuoja vienintelis ekvivalen-tusis rizikai neutralus matas. Ðie du teiginiai sudaro tai, kas yra vadinama pirmàja irantràja fundamentaliomis vertybiø ákainojimo teoremomis. Kol kas þinoma, kad ðieteiginiai tolydaus laiko finansø rinkos modeliø atþvilgiu yra nevisiðkai teisingi irgalioja ðiek tiek modifikavus visas tris minëtas matematines sàvokas. Todël arbitraþoteorija tolydaus laiko atveju vis dar kuriama.

Ið pradþiø nagrinëkime diskretaus laiko finansø rinkos modelá, t. y. tarkime,kad rinkoje kainos keièiasi tik laiko momentais t D := 0, 1, …, T. Šiuo atveju sukiekvienu k 0, 1, …, d akcijos kaina S

k = S

k(t) : t D ir investuotojo turimas

akcijø kiekis ψk

= ψk(t) : t D yra diskretaus laiko atsitiktiniai procesai, apibrëþti

tikimybinëje erdvëje (Ω, F, P) ir suderinti su informacijos srautu F = Ft : t D.

Porà (S, P), kurioje S := (S0, S1, …, Sd), glaustai vadinsime vertybiniø popieriø rinka.

Akcija S0 laikoma nerizikinga, jei S0(t) yra Ft–1-matus ir S0(t) 0 su kiekvienu t.

Atsitiktinis dydis ψk(t), nusakantis k akcijø kieká, laikomà investuotojo laikotarpiu

nuo t – 1 iki t, yra Ft–1-matus su kiekvienu t = 1, …, T, o ψ

k(1) ψ

k (0). Investavimo

strategija vadinamas procesas ψ = (ψ0, …, ψ

d), investuotojo portfeliu laiko momentu

t D – vektorius ψ(t) = (ψ0(t), …, ψ

d(t)), o investuotojo portfelio vertës procesu –

atsitiktinis procesas V = V(t) : t D, apibrëþtas tokia lygybe:

∑=

=

d

k

kktSttV

0

).()(: )( ψ (15)

Investuotojo strategija ψ vadinama finansavimosi strategija (self-financingstrategy), jei su kiekvienu t = 1, …, T:

[ ].)1()()()0()(0 1

−−+= ∑ ∑= =

sSsSsVtVkk

d

k

t

s

kψ (16)

Ði finansavimosi strategijos savybë rodo, kad rinkoje nëra papildomø finansiniøðaltiniø ir finansiniø lëðø vartojimo, sandoriai nekainuoja, o portfelio vertës pokytispriklauso tik nuo akcijø kainø pokyèiø.

Sakysime, kad vertybiniø popieriø rinkoje (S, P) arbitraþas neegzistuoja, arbarinka (S, P) yra bearbitraþë, jei kiekvienai finansavimosi strategijai ψ ir jà ati-tinkanèiam portfelio vertës procesui V teisingas toks sàryðis:

*Apie tokias finansines prie-mones, kaip pasirinkimo san-doris, ir jø ákainojimà raðomaðiai temai skirtame antrameR. Leipaus ir R. Norvaiðos(2004) straipsnyje.

18


V(0) = 0 ir V(T) 0 beveik visada V(T) = 0 beveik visada. (17)

Sàlyga „A beveik visada“ reiškia, kad P(A) = 1. Tai yra anksèiau minëto bearbi-traþës rinkos termino formalus apibrëþimas diskretaus laiko finansø rinkos modelyje.Kaip jau minëjome skirsnio pradþioje, ði sàvoka siejama su ERH. Toliau iðsiaið-kinkime, kà reiðkia „ekvivalentusis rizikai neutralus matas“. Maèioje erdvëje (Ω, F )apibrëþtas tikimybinis matas P* vadinamas rizikai neutraliu matu, jei diskontuotaskainos procesas S

k / S0 yra martingalas atþvilgiu (Ω, F, P*, F) su kiekvienu k = 1, …, d.

(11) sàryðis rodo, kad sàþiningojo loðimo rinkos matas P yra rizikai neutralus. Toksðio mato pavadinimas atskleidþia tai, kad rizikingos ir nerizikingos akcijø tikëtinøgràþø normos ðio mato atþvilgiu yra lygios (plg. su (6) savybe sàþiningojo loðimorinkoje). Ið tikrøjø, remiantis akcijos gràþos normos apibrëþimu ir tuo, kad S0(t) yraF

t–1-matus su kiekvienu t = 1, …, T, teisinga tokia lygybë:

[ ] ),(~

1)(

)(

)1(

)()(

~01

0

0

1tR

tS

tSE

tS

tStRE

t

k

k

tk=−

−=

−−

FF **

kur E* yra vidurkis mato P* atþvilgiu. Tà paèià apibrëþimo sritá turintys dutikimybiniai matai vadinami ekvivalenèiais, jei, be to, abu jie turi tas paèias nuliniomato aibes. Visø rizikai neutraliø matø P*, kurie yra ekvivalentûs matui P, ðeimàpaþymëkime P (P). Realaus pasaulio mato P keitimas kitu matu P* gali rodyti inves-tuotojo polinká nerizikuoti, suteikiant didesnæ svarbà nepageidaujamiems ávykiamsir maþesnæ svarbà pageidaujamiems ávykiams.

Pirmoji fundamentalioji vertybiø ákainojimo teorema

Vertybiniø popieriø rinka (S, P) yra bearbitraþë tada ir tik tada, kai ðeima P (P) yranetuðèia, t. y. egzistuoja bent vienas ekvivalentusis rizikai neutralus matas P*.

Mato keitimo technika seniai þinoma ir aktuarijams. Pavyzdþiui, tais atvejais,kai apskaièiuojama gyvybës draudimo premija, reali mirtingumo lentelë pakeièiamadidesnio mirtingumo lentele. Taèiau reali mirtingumo lentelë pakeièiama maþesniomirtingumo lentele, kai apskaièiuojama pensijos vienkartinë iðmoka.

Antroji arbitraþo teorijos pagrindinë teorema apibûdina tas bearbitraþes rinkas(S, P), kuriose visos finansinës iðmokos yra atkartojamos. Finansine išmoka(contingent claim) ateities momentu t = T vadinamas kiekvienas F

T ir neneigiamas

atsitiktinis dydis. Finansinë iðmoka H yra atkartojama, jei egzistuoja finansavimosistrategija ψ, kurià atitinka akcijø portfelio vertë laiko momentu t = T yra V(T) = H.Atkartojama finansinë iðmoka H dabarties momentu t = 0 galëtø bûti jà atkarto-janèio portfelio V kaina momentu t = 0, t. y. V(0). Be to, jei rinka yra bearbitraþë,tai kiekviena kita kaina sukurtø arbitraþo galimybæ, todël finansinæ iðmokà H at-kartojanèio akcijø portfelio kaina V(0) vadinama sàþiningàja kaina (apie tai plaèiauraðoma antro ðiai temai skirto straipsnio skyriuje „Finansø inþinerija“ (Leipus, Nor-vaiða, 2004)). Dël ðios prieþasties labai svarbi pilnosios rinkos sàvoka. Rinka (S, P)vadinama pilnàja, jeigu kiekviena finansinë iðmoka yra atkartojama.

Antroji fundamentalioji vertybiø ákainojimo teorema

Bearbitraþë vertybiniø popieriø rinka (S, P) yra pilnoji rinka tada ir tik tada, kaiðeima P (P) yra sudaryta iš vienintelio elemento.

Tolesnë arbitraþo teorijos raida susijusi su mëginimais fundamentaliàsias ver-tybiø ákainojimo teoremas apibendrinti keliais aspektais. Vienas ið tokiø mëginimø –atsisakyti suvarþanèiø sàlygø, t. y. nemokamø akcijø pirkimo ir pardavimo sandoriø.Ðá atvejá pirmojoje fundamentalioje vertybiø ákainojimo teoremoje neseniai iðplëtojoW. Schachermayer (2004). Kita svarbi veiklos kryptis susijusi su darbais, siekianèiaisanalogiðkas teoremas árodyti tolydaus laiko atveju.

19


Tolydaus laiko finansø rinkos arbitraþo teorijoje yra spræstinø problemø, kuriosneegzistuoja diskretaus laiko atveju. Straipsnio antrame skyriuje, apibrëþdamitolydaus laiko finansø rinkos modelá, aptarëme vienà ið problemø – kà laikyti akcijoskaina ir gràþa. Kaip matëme, vienas ið reikalavimø buvo tas, kad akcijos kainos irgràþos procesø trajektorijos turëtø kvadratinæ -variacijà (þr. 1 priedo (26) formulæ).Taèiau ðiuolaikinë tolydaus laiko arbitraþo teorija plëtojama remiantis rimtesnëmisprielaidomis. Nesigilindami á technines detales, ekvivalentaus rizikai neutralaus matoir pilnosios rinkos sàvokas aiðkinsime matematiniu poþiûriu idealiu tolydaus laikofinansø rinkos modeliu.

Tarkime, kad tolydaus laiko finansø rinka ((S0, S1), P) sudaryta iš nerizikingosakcijos S0(t) = e rt su tolydþiøjø palûkanø norma r 0 ir rizikingo vertybinio popie-riaus, kurio kaina S1 yra geometrinis Wiener procesas pagal (14) formulæ. Ar ðiojerinkoje egzistuoja ekvivalentusis rizikai neutralus matas P*, t. y. toks matas, kurisyra ekvivalentus P, o diskontuotas kainos procesas S* := S1 / S0 yra martingalas at-þvilgiu (Ω, F, P*, F)? Nesudëtingi stochastinës analizës veiksmai átikina, kad kainosprocesas S* yra vienintelis toks stochastinës integralinës lygties sprendinys:

∫+=

t

dXSStS0

,)0()( *** 0 t T, (18)

èia X(t) = ( – r)t + W(t). Ši diskontuotos kainos proceso išraiška rodo, kad S*yra martingalas atþvilgiu (Ω, F, P, F) tada ir tik tada, kai X yra martingalas atþvilgiu(Ω, F, P, F), o taip yra tada ir tik tada, kai = r, t. y. kai ((S0, S1), P) – sàþiningojološimo rinka.

Toliau tarkime, kad r. Kitas stochastinës analizës faktas leidþia teigti, kadsavo ruoþtu su kiekvienu skaièiumi atsitiktinis procesas W(t) := t + W(t), 0 t Tyra Wiener procesas tikimybinëje erdvëje (Ω, F, P*), o kartu ir martingalas atþvilgiu(Ω, F, P*, F), jei matas P* nusakomas tokia lygybe:

∫ ∈

−−=A

AdPT

TWAP . ,2

γ)(γexp: )(

2

F* (19)

Jei := ( – r) / , tai X(t) = ( – r)t + W(t) = W(t). Remiantis šia X išraiškair (18) formule, diskontuotos kainos procesas S* yra martingalas atþvilgiu (Ω, F, P*, F).Be to, kadangi (19) lygybëje pointegrinë funkcija niekur nevirsta 0, matai P ir P* yraekvivalentûs. Vadinasi, ((S0, S1), P) rinkoje egzistuoja bent vienas ekvivalentusisrizikai neutralus matas P*.

Dabar aptarsime ((S0, S1), P) pilnàjà rinkà ir kaip ði savybë leidþia ákainotiiðvestines finansines priemones. Kaip ir diskretaus laiko atveju, rinka yra pilnoji, jeikiekviena finansinë iðmoka H yra atkartojama, t. y. egzistuoja tokia finansavimosistrategija ψ, kad V(T) = H. Èia reikëtø dar patikslinti, kà vadiname finansavimosistrategija. Ankstesnis (16) apibrëþimas gali atrodyti per daug suvarþantis tolydauslaiko atveju, nes portfelio prieaugis vertinamas tik fiksuotais laiko momentais. Pa-prastai finansavimosi strategija tolydaus laiko atveju apibrëþiama portfelio prieaugávertinant Itô stochastiniu integralu k

T

kdSψ∫0 (su sàlyga, kad jis egzistuoja su kiek-

vienu k). Ðiuo atveju ankstesnæ finansavimosi strategijos sàlygà pagal (16) apibrëþimàgalime pakeisti nauja sàlyga, jeigu su kiekvienu 0 t T:

∑∫=

+=

d

k

t

kkdSψVtV

00

.)0()(

Èia portfelio vertës procesas V = V(t) : 0 t T apibrëþtas, kaip ir anksèiau,(15) lygybe. Nagrinëkime finansinæ iðmokà H, turinèià tokià iðraiðkà su kiekvienuatsitiktiniu procesu H ir konstanta H0:

20


[ ].)(000 ∫+=T H

dSHTSH *α(20)

Èia, kaip ir anksèiau, S* = S1 / S0 yra diskontuotos kainos procesas. Kitame ðiostemos straipsnyje (þr. Leipus, Norvaiða (2004)) nagrinëjamas konkretus tokiosfinansinës iðmokos pavyzdys. Parodysime, kad finansinë iðmoka H yra atkartojama,t. y. egzistuoja tokia finansavimosi strategija ψ, kad V(T) = H, ir suskaièiuosime Hatkartojanèio akcijø portfelio pradinæ kainà V(0). Apibrëþkime atsitiktinius procesus

ψ1 := H ir ( )( ),: )(000

tSdSHtψ Ht H** αα −−= ∫ 0 t T. Kadangi egzistuoja Itô sto-

chastiniai integralai ∫T

kkdSψ

0, k = 0, 1, tai ψ = (ψ0 , ψ1) yra finansavimosi strategija

ir, be to, jà atitinkanèio portfelio vertë laiko momentu t = T yra V(T) = H. Re-miantis J. M. Harrison ir S. Pliska (1981, 3.24 teiginys), ψ yra finansavimosi strategija,kadangi su kiekvienu 0 t T:

.)0()()()(: )(0 110 ∫+=+=

t

dSψVtStψtψtV ****

Taigi finansinë iðmoka H pagal (20) formulæ yra atkartojama. Anksèiauparodëme, kad diskontuotos kainos procesas S* yra martingalas atþvilgiu (Ω, F, P*, F),kai P* yra ekvivalentusis rizikai neutralus matas, apibrëþtas (19) lygybe. Todël sukiekvienu 0 t T teisingas toks sàryðis:

[ ] ,)(

)()()0()(

)( 0

00

∫ ==+==

t H

tt

tS

tVtVdSVTVE

TS

HE ****** FF α (21)

èia E* – vidurkis mato P* atþvilgiu. Konkreèiu atveju, kai t = 0, gauname finan-sinæ iðmokà atkartojanèio portfelio pradinæ kainà V(0) = E* [H / S0(T)] = H0. Tai,kad kiekviena finansinë iðmoka uþraðoma (20) formulës iðraiðka, yra dar vienasstochastinës analizës faktas, kuriuo remiantis rinka ((S0, S1), P) yra pilnoji.

Šis pavyzdys rodo, kad matematiniu poþiûriu idealiame modelyje problemø nëra.Jos atsiranda tada, kai norima idealø modelá pakeisti nors kiek realesniu. Taigi kylaklausimas, kokiai tolydaus laiko finansø rinkos modeliø klasei vis dar galima árodytipirmosios ir antrosios fundamentaliøjø vertybiø ákainojimo teoremø analogus. Pasi-rodo, kad tokie apibendrinimai ámanomi, taèiau keièiant arbitraþo (Delbaen,Schachermayer, 1994) ir pilnosios rinkos sàvokas (Battig, Jarrow, 1999).

3.2. Portfelio teorija

Akcijø portfelio sudarymo problema kyla tada, kai mëginama nuspræsti, kokiasir kiek akcijø laikyti portfelyje siekiant padidinti savo turtà ir vartojimà. Priklausomainuo rinkos modelio ir prielaidø yra keletas akcijø portfelio problemos sprendimovariantø. Ðiuo metu bene daugiausia dëmesio skiriama optimalios investavimo irvartojimo strategijos paieðkai tolydaus laiko finansø rinkos modelio atveju.

Portfelio teorijos sukûrimo data galima laikyti 1952 m., kai H. M. Markowitz(1952) iðspausdino vadinamàjà efektyviojo portfelio teorijà. H. M. Markowitznagrinëjo diskretaus laiko finansø rinkos modelá, kuriame T = 1, t. y. vieno laikotarpio(statiná) finansø rinkos modelá. Tarkime, kad ðiame modelyje kiekvienos akcijosateities kaina ir kartu gràþa R

k := R

k(1), k = 0, 1, …, d yra atsitiktiniai dydþiai, turintys

vidurká Ek := ER

k ir dispersijà D

k := DR

k = E[R

k – E

k]². (Kadangi R

k(0) = 0, ðiuo

atveju gràþa Rk sutampa su gràþos norma R

k(1).) Tarp visø investuotojo turimø akcijø

k akcijos dalis yra wk [0, 1], o ∑

=

=

d

k kw

01 ir investuotojo portfeliu vadinamas

vektorius w := (w0, …, wd). (Arbitraþo teorijoje (þr. (15) lygybæ) investuotojo portfeliu

t = 0 laiko momentu yra vadinamas vektorius (wkV(0) / S

k(0).) Portfelio w gràþa

21


yra ∑=

=

d

k kkwRwR

0)( .: H. M. Markowitz teorijos esmë yra ta, kad, sudarant optimaløportfelá w, bûtina atsiþvelgti á já sudaranèiø akcijø gràþø kintamumà ir tarpusaviosàveikà, o ðiems veiksniams kiekybiðkai vertinti atitinkamai galima taikyti dispersijasDk ir kovariacijas Cov(R

k, R

l) := E[R

k – E

k][R

l – E

l]. Optimalaus portfelio (vadinamo

efektyviuoju portfeliu) parinkimo problemà H. M. Markowitz formulavo kaipmatematiná optimizavimo uþdaviná: minimizuojama portfelio gràþos dispersija DR(w)

su fiksuotu vidurkiu ER(w), t. y. ieškomas toks portfelis w, kurio pasiekiamasminimumas yra:

.1 ,0 ,:min0

)()(

=≥= ∑=

d

k

kkwww

wwvERDR

(22)

Ðis uþdavinys ið esmës ekvivalentus portfelio gràþos vidurkio ER(w) maksi-mizavimui, kai fiksuota dispersija DR(w). Jei galioja tam tikra „neiðsigimimo“ sàlyga,siejanti E

k ir D

k reikšmes, tai šis uþdavinys yra iðsprendþiamas, o sprendiniai

sudaro efektyviøjø portfeliø aibæ F := w(v) : v 0. Uþ ðá darbà H. M. Markowitzbuvo paskirta Nobelio 1990 m. ekonomikos mokslø premija.

Efektyviojo portfelio optimalumas nëra vienintelë ádomi jos savybë. Aptarsimedar vienà svarbià jo savybæ. Tegul tarp akcijø yra vienas nerizikingas vertybinis popie-rius, kurio gràþos norma yra . Tarkime, kad R(p) yra efektyviojo portfelio p Fgràþa, o R(w) – bet kurio portfelio w gràþa. Tada, remiantis geometriniais argumentais,galima parodyti, kad:

).(),(

)(

)(

)()(

)( µµ −=−p

p

pw

wER

DR

RRCovER (23)

Svarbiausias (23) lygybëje yra daugiklis ,/),(Cov:),( )()()()()( ppwpwDRRRRR =β

vadinamas beta koeficientu, kurá galima interpretuoti kaip w portfelio rizikà pportfelio aþvilgiu. Tokiu atveju (23) lygybës kairioji pusë reiðkia premijà uþ rizikà pportfelio atþvilgiu, nes w portfelio gràþa didëja didëjant beta koeficientui, iratvirkðèiai.

(23) sàryðis taip pat taikytinas akcijø kainos susidarymo mechanizmui aiðkinti.Tarkime, kad visø rinkoje esanèiø k akcijø visuminë kaina yra Mk. Paþymëkime

∑=

=

d

k kMM

0: ir mk := Mk / K. Vektoriø m := (m0, …, md) vadinsime rinkos portfeliu,

tada ∑=

=d

k kkmRmR

0)( yra rinkos gràþa. Parodysime, kad, tam tikru bûdu apibrëþusrinkos pusiausvyrà, rinkos portfelis tampa efektyvus. Tuomet jam galësime pritaikyti(23) sàryðá, kai p = m.

Tarkime, kad M yra rinkos pasiûla. Norëdami sukurti paklausà, tarkime, kadrinkoje yra I investuotojø (i = 1, …, I) ir visi jie „tiki“ tuo paèiu tikimybiniu matu P.Vadinasi, visi jie sudaro tà paèià efektyviøjø portfeliø aibæ F. Investuotojai galiskolintis vienas ið kito su palûkanø norma . Tai tolygu tam, kad rinkoje yra darvienas nerizikingas vertybinis popierius su ðia palûkanø norma, nekeièiantis rinkospasiûlos dydþio M. Taip pat, tarkime, kad i investuotojo gràþà ei atitinkantisefektyvusis portfelis yra w(ei) = wk(ei), o Wi – jo investicijos dydis. Tada k akcijosvisuminë paklausa yra .)(:

1∑=

=

I

i iikkWewP Paþymëkime .:

1 0∑ ∑= =

==

I

i

d

k kiPWW

Tada k akcijos santykinë visuminës paklausos dalis yra k := Pk / W. Kadangi efek-tyviø portfeliø aibë F yra iðkila, visuminës paklausos portfelis

=

== ∑∑=

==

=

I

i

ii

d

k

I

i

iik

d

kkWWewWWew

1010

//)(: δδ taip pat yra efektyvus ir

∑=

>I

i iiWWe

1/ µ . Sakykime, kad rinka iðlaiko pusiausvyrà, jei Mk = Dk su kiekvienu

k = 1, …, d, t. y. kiekvienos akcijos pasiûla lygi jos paklausai. Taigi pusiausvyros

22


rinkoje portfeliai m ir sutampa, o m yra efektyvusis portfelis, kadangi toks yraportfelis . Todël, remiantis (23) lygybe, k akcijos gràþos vidurkis yra:

ERk = + (R

k, R(m)) (ER(m) – ). (24)

(24) sàryðis susieja akcijos tikëtinà gràþà ERk su nerizikingo vertybinio popie-

riaus gràþa ir šios akcijos rizika (Rk, R(m)). Gautas sàryðis – tai akcijos kainos

susidarymo pavyzdys, vadinamas kapitalo rinkos vertinimo modeliu (capital assetpricing model), o jo pradininkai buvo W. F. Sharpe (1964), J. Lintner (1965) ir J. Mossin(1966). Uþ ðá darbà W. F. Sharpe (kartu su H. M. Markowitz ir M. H. Miller) paskirtaNobelio 1990 m. ekonomikos mokslø premija. (24) sàryðá galima palyginti susàþiningojo loðimo hipoteze (5), ið kurios iðplaukia lygybë ER

k = , t. y. sàþiningasis

loðimas yra kapitalo rinkos vertinimo modelio konkretus atvejis, kai akcijos rizika(R

k, R(m)) lygi 0.Ðiuolaikinë portfelio teorija, be portfelio gràþos dispersijos minimizavimo (ar

vidurkio maksimizavimo), taip pat nagrinëja investuotojo turto (ir vartojimo) maksi-mizavimo uþdaviná remiantis naudingumo funkcija. Iðsiaiðkinkime, kaip ðie uþdaviniaisusijæ vienas su kitu konkretaus laikotarpio finansø rinkos modelio atþvilgiu. Saky-kime, kad ψ

k yra investuotojo turimø k akcijø kiekis su kiekvienu k 0, 1, …, d,

o V(t) – investuotojo turimas visas turtas laiko momentais t 0, 1 (tas pats, kasarbitraþo teorijoje vadinama portfelio verte). Tada vektorius ψ = (ψ0, …, ψ

d) vadi-

namas investuotojo strategija ∑=

=

d

k

kktSψtV

0

)()( ir wk =ψ

kSk(0) / V(0).

Remdamiesi gràþos apibrëþimu (2), gauname toká sàryðá:

∑∑∑===

−=−⋅==

d

k

k

d

k k

kkkd

k

kkwV

Vw

S

S

V

SψRwR

000)( 1

)0(

)1(

)0(

)1(

)0(

)0(

arba V(1) = V(0)[1 + R(w)]. Pagal ðá sàryðá galima patikrinti, kad (22) optimiza-vimo uþdavinys yra ekvivalentus tokiai optimizavimo problemai: duotam x 0 sukurtitokià strategijà ψ, kuri pasiekia minimumà min DV(1) : EV(1) = x (1 + v), V(0) = x.

Tegul kiekvienam realiam skaièiui y – U( y) := –(1/2)y ² + y. Taikant Lagrangedaugikliø metodà, galima parodyti, kad ðis minimizavimo uþdavinys tampa maksi-mizavimo uþdaviniu: duotam x 0 sukurti tokià strategijà ψ, kuri pasiekia maksi-mumà max EU(V(1)) : V(0) = x.

Tai kita investuotojo portfelio problemos išraiška, kuri atitinka ávairius naudin-gumo funkcijos U pavidalus ir kuriai spræsti taikoma ðio skyriaus pirmame skirsnyjeaptariama arbitraþo teorija. Gana iðsami portfelio teorijos apþvalga, skirta diskretauslaiko finansø rinkos modeliams, iðdëstyta M. C. Steinbach (2001) darbe.

Toliau suformuluosime portfelio problemà tolydaus laiko finansø rinkos mode-liui, kai kainos gali kisti kiekvienu laiko momentu t D := [0, T]. Šiuo atveju sukiekvienu k 0, 1, …, d akcijos kaina S

k = S

k(t) : t D ir investuotojo turimas

jø kiekis ψk = ψ

k(t) : t D yra atsitiktiniai procesai, apibrëþti tikimybinëje erdvëje

(Ω, F, P) ir suderinti su informacijos srautu F = Ft : t D. Paprastai tariama, kad

Sk ir ψ

k yra tokie procesai, kuriems turi prasmæ Itô stochastinis integralas .

0∫T

kkdSψ

Investuotojo strategija vadinamas vektorius ψ = (ψ0, ψ1, …, ψd), o investuotojo turto

procesu – procesas V = V(t) : t D, apibrëþtas (15) lygybe. Vartojimo procesuvadinsime kiekvienà neneigiamà ir Lebesgue prasme integruojamà procesàc = c(t) : t D. Strategija ψ vadinama finansavimosi strategija, jeigu su kiekvienut D:

.)()0()(0

0 0∑∫ ∫=

−+=

d

k

t t

kkdsscdSψVtV (25)

23


Ši investuotojo strategijos ψ savybë reiðkia, jog turto pokytis V(t) – V(s) priklausotik nuo pajamø, gautø prekiaujant akcijomis rinkoje ir vartojimo laikotarpiu nuo siki t. Kai nëra vartojimo, t. y. c 0, finansavimosi strategijos sàvoka sutampa suarbitraþo teorijos sàvoka.

Investuotojà domina tokia finansavimosi strategija ψ ir toks vartojimo procesas

c, kurie maksimizuoja funkcijà [ ] ,))(())(,(:) , ;(0 21∫ +=T

TVUdttctUEcψxJ esant nu-

statytoms naudingumo funkcijoms U1, U2 ir nustatytai pradinei turto vertei V(0) = x.Tegul A(x) yra aibë tokiø finansavimosi strategijos ir vartojimo proceso porø (ψ, c),kurioms ði funkcija yra apibrëþta ir baigtinë. Taigi investuotojo, turinèio pradinákapitalà x 0, portfelio problema yra optimizavimo uþdavinys:

max J(x; ψ, c) : (ψ, c) A(x).

Paprastai skiriami du pagrindiniai šio uþdavinio sprendimo metodai. Pirmasmetodas grindþiamas stochastinio valdymo teorija. Optimalus sprendinys gaunamasdalinëmis iðvestinëmis iðsprendus netiesinæ lygtá, vadinamà Hamilton–Jacobi–Bellmanlygtimi. R. C. Merton (1971) árodë, kad portfelio problema iðsprendþiama ðiuometodu ir, be to, turi iðreikðtiná pavidalà tuo atveju, kai d = 1, S0 yra tolydþiosiossudëtinës palûkanos, S1 – geometrinis Wiener procesas, o U1, U2 – specialaus pavidalonaudingumo funkcijos. Nors šiek tiek bendresniu atveju Hamilton–Jacobi–Bellmanlygtá sunku iðspræsti net ir skaitiniais metodais. Antras portfelio problemos sprendimometodas pagrástas stochastine analize. Ðis metodas leidþia nagrinëti ir iðspræstioptimizavimo uþdaviná ðiek tiek bendresniais atvejais.

Išvados

Pirma, straipsnyje aptarti moderniosios finansø rinkos teorijos rezultatai rodo,kad ðios teorijos pagrindø suvokimas yra glaudþiai susijæs su matematikos mokslu.Kitaip negu kitos ekonomikos teorijos sritys, finansø rinkos teorija ið esmës pagrástaðiuolaikine atsitiktiniø procesø teorija ir stochastine analize. Tai galima paaiðkintitik tuo, kad finansø rinkos teorija neásivaizduojama be ateities neapibrëþtumomokslinës interpretacijos, kurià ir suteikia matematinë tikimybiø teorija.

Antra, straipsnyje aptarti rezultatai rodo, kad esminiai finansø rinkos teorijosrezultatai (fundamentaliosios vertybiø ákainojimo teoremos) pagrástos arbitraþonegalimumu. Be to, bearbitraþës vertybiniø popieriø rinkos prielaida yra vienas iðpagrindiniø ERH teoriniø argumentø. Ðis sàryðis ir rodo moderniosios finansø rinkosteorijos priklausomybæ nuo ERH.

Treèia, akcijos kainos susidarymo mechanizmas moderniojoje finansø rinkosteorijoje nusakomas gràþos savybëmis ir jos sàryðiu su kaina. Ðiø sàryðiø svarba ypaèiðryðkëja nagrinëjant tolydaus laiko finansø rinkos modelius. Be to, gràþos savybësir arbitraþo negalimumas glaudþiai siejasi per tas paèias fundamentaliàsias vertybiøákainojimo teoremas.

Ketvirta ir svarbiausia, visi ðie paminëti moderniosios finansø rinkos teorijosaspektai leidþia manyti, kad tolesnë teorijos plëtotë priklausys nuo arbitraþo ir ERHhipotezës sampratos evoliucijos.

24


1 priedas

Akcijos kaina ir gràþa tolydaus laiko modelyje

Ðiame priede nagrinëjamas akcijos kainos ir gràþos sàryðis, panaðus á tà, kurisapibrëþiamas eksponente ir logaritmu, t. y. S(t) = expR(t) ir R(t) = lnS(t). Kaiprodo (13) formulë, toks sàryðis gaunamas, kai R yra tiesinë funkcija. Toká patá sàryðágautume, jei funkcija R bûtø tolydi ir baigtinës variacijos. Taèiau pastaroji savybënëra teisinga, kai R yra Wiener proceso trajektorija. Todël apibendrinant (13) formulæ,Wiener proceso atveju tenka naudotis kitomis funkcijø savybëmis. Tokias savybesnusako funkcijos kvadratinë variacija ir p-variacija.

Tarkime, kad su kiekvienu m 1, 2, … m

yra intervalo [0, T] skaidinysTttt

m

mn

mm

=<<<= )(10 ...0 . Taip pat tarkime, kad m

m+1 su visais m ir aibë

Υ m

: m 1 tiršta intervale [0, T]. Paþymëkime D[0, T] aibæ visø funkcijøf : [0, T] → R, kurios yra tolydþios ið deðinës kiekviename taðke t [0, T) ir kuriomsegzistuoja ribos ið kairës f(t–) kiekviename taške t (0, T]. Toliau tokios funkcijos fðuolá taðke t (0, T] þymësime f (t) := f(t) – f(t–). Sakykime, kad funkcijaf D[0, T] turi kvadratinæ -variacijà intervale [0, T], jei egzistuoja tokia funkcija[f]

D[0, T], kad: a) [f]

(0) = 0, b) [f]

(t) = [f(t)]² ir c) riba

[ ]2)(

11 )()(lim)(][ ∑

=

−∞→

∧−∧=

mn

i

m

i

m

im

ttfttftfλ (26)

egzistuoja ir lygybë yra teisinga su kiekvienu t (0, T]. Kadangi funkcija [f] yra

nedidëjanti, egzistuoja jos iðskaidymas á tolydþià dalá [ ]cfλ

ir visur trûkià dalá[ ] .

2

),0(∑ ⋅

f∆ Kaip matome, kvadratinë -variacija [f] egzistuoja ir visur lygi 0, jei

f yra tolydþioji baigtinës variacijos funkcija.Nenulinæ kvadratinæ -variacijà turi beveik visos Wiener proceso trajektorijos.

Tiksliau – egzistuoja tokia nulinio mato aibë N() F, kad [W](t) := [W(·, )]

(t) = t

su visais t (0, T] ir Ω \ N(). Kadangi Wiener proceso trajektorijos yra tolydþios,jos kvadratinës -variacijos trûkioji dalis lygi 0. Kvadratinës variacijos savybë Wienerprocesui yra tiksli ta prasme, kad Υ

N() = Ω. Ðias ir daugelá kitø Wiener procesosavybiø árodë P. Lévy (1940).

Kita funkcijos charakteristika – funkcijos p-variacija – pirmà kartà Fourier eiluèiøteorijoje buvo panaudota N. Wiener (1924). Kiekvienam 0 p ir funkcijaif : [0, T] → R dydis

[ ]( )

=<<<=−= ∑=

−

n

in

p

iip TttttftfTfv1

101...0:)()(sup:,0; (27)

vadinamas f funkcijos p-variacija intervale [0, T]. Sakoma, kad f funkcija turibaigtinæ p-variacijà, jei vp(f ; [0, T]) . Baigtinës variacijos funkcija yra funkcija,turinti baigtinæ 1-variacijà. Jei funkcija turi baigtinæ variacijà, tai jos p-variacija yrabaigtinë su kiekvienu 1 p . Bet ne atvirkðèiai, kaip rodo Wiener procesotrajektorijos pavyzdys. Natûralu, kad Wiener procesui 2-variacija v2(W(·, );[0, T]) = +, o kiekvienam p 2 p-variacija vp(W(·, ); [0, T]) + beveik su visais Ω. Pastaràjà savybæ aiðku nulemia jau minëta Wiener proceso -Hölder savybë,teisinga su kiekvienu 1/2.

Dabar jau galime apibrëþti akcijos kainos ir gràþos procesus tolydaus laikofinansø rinkos modelyje. Tarkime, funkcija R D[0, T] turi kvadratinæ -variacijà[R]

intervale [0, T]. Tada ribos

25


( ) ( )[ ]

[ ] ∏

∏

−

=

−∞→

+−=

=∧−∧+=

],0[

)(

11

)1()()2/1()(exp

1lim:)(

t

Rc

mn

i

m

i

m

im

eRtRtR

ttRttRtS

∆

λ∆

(28)

egzistuoja kiekviename taške t [0, T]. Be to, funkcija S D[0, T] turi kvadratinæ-variacijà [S]

, apibrëþtà tokia lygybe:

[ ] [ ] ,)(0

2

λλ ∫=

t

RdStS 0 t T (29)

kurioje integralas egzistuoja sutankinto Riemann–Stieltjes integralo prasme, iryra integralinës lygties

,1)(0

RSdtSt

∫+=λ 0 t T (30)

sprendinys. (30) lygtyje integralas yra intervalo [0, T] skaidinius m, m 1atitinkanèiø Riemann–Stieltjes sumø riba, kai m→, t. y.:

( ) ( ) ( )[ ]. lim:

)(

1110 ∑∫

=

−−∞→

∧−∧∧=

mn

i

m

i

m

i

m

im

t

ttRttRttSRSdλ

Be to, (28) lygybe apibrëþtai funkcijai S egzistuoja riba ið deðinës pusës

( ) ( )[ ] ( ) ∫∑ −

−

=

−∞→

=∧∧−∧=

tm

i

mn

i

m

i

m

im

SdSttSttSttStR0

11

)(

11 /lim)(

λ (31)

ir lygybës galioja su kiekvienu t [0, T]. Kaip matome, tolydþiosios baigtinësvariacijos funkcijos R deðinioji (28) lygybës pusë yra tiesiog eksponentë expR(t),o deðinioji (31) lygybës pusë yra logaritmas lnS(t).

Taigi (28) ir (31) lygybës apibendrina eksponentinës ir logaritminës transfor-macijø dualumà. (28) lygybe apibrëþta funkcija S vadinama akcijos kaina, o (31)lygybe apibrëþta funkcija R – akcijos gràþa. Abi funkcijos yra apibrëþtos tik tuoatveju, kai jos turi kvadratinæ -variacijà kiekvienam . Funkcijos R kvadratinës-variacijos egzistavimas bûtinas tam, kad egzistuotø riba (28) lygtyje, jei papildomaiR yra tolydi ir vp(R; [0, T]) su kiekvienu p 3. Jei vp(R; [0, T]) su kiekvienup 2, tai riba (28) lygtyje ir integralas (30) lygtyje egzistuoja klasikinës analizësprasme, t. y. ribos egzistuoja (visø) intervalo skirstiniø smulkinimo prasme. Ðiuosteiginius ir daugelá kitø faktø, susijusiø su baigtinës p-variacijos funkcijø analize,árodë R. M. Dudley, R. Norvaiša (1999, 2000).

Literatûra

Aubin J.-P., 1984. L’analyse non linéaire et ses motivations économiques. Paris: Masson. Russiantransl., 1988. Moscow: Mir.

Bachelier L., 1900. Théorie de la spéculation. Annales de l’Ecole normale supériore. Transl. byA. J. Boness: Theory of Speculation // Random Character of Stock Market Prices, P. H. Cootner(ed.), 1964. Cambridge: MIT Press.

Barndorff-Nielsen O. E., 1998. Processes of Normal Inverse Gaussian Type // Finance and Stochastics,Vol. 2, p. 41–68.

Battig R. J., Jarrow, R. A., 1999. The Second Fundamental Theorem of Asset Pricing: A NewApproach // The Review of Financial Studies, Vol. 12, p. 1219–1235.

Bernstein P. L., 1992. Capital Ideas: The Improbable Origins of Modern Wall Street. New York: TheFree Press.

26


Bowman R. G., Buchanan J., 1995. The Efficient Market Hypothesis – a Discussion of Institutional,Agency and Behavioral Issues // Australian Journal of Management, Vol. 20, p. 155–166.

Cowles A., 1933. Can Stock Market Forecasters Forecast? // Econometrica, Vol. 1, p. 309–324.

Debreu G., 1959. Theory of Value. An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. A CowlesFoundation Monograph 17, Yale University Press.

Delbaen F., Schachermayer W., 1994. A General Version of the Fundamental Theorem of AssetPricing // Mathematische Annalen, Vol. 300, p. 463–520.

Dudley R. M., Norvaiša R., 1999. Differentiability of Six Operators on Nonsmooth Functions andp-Variation. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1703. Berlin: Springer.

Fama E. F., 1970. Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work // Journal ofFinance, Vol. 25, p. 383–417.

Frankfurter G. M., McGoun E. G., 1999. Ideology and the Theory of Financial Economics // Journalof Economic Behavior and Organization, Vol. 39, p. 159–177.

Grigelionis B., 2001. Generalized z-Distributions and Related Stochastic Processes // Lietuvosmatematikos rinkinys, t. 41, p. 303–319.

Harrison J. M., Kreps D. M., 1979. Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Market //Journal of Economic Theory, Vol. 20, p. 381–408.

Harrison J. M., Pliska S., 1981. Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of ContinuousTrading // Stochastic Processes and Their Applications, Vol. 11, p. 215–260.

Haugen R. A., 1999. The New Finance: The Case Against Efficient Markets. New Jersey: PrenticeHall.

Jensen M., 1978. Some Anomalous Evidence Regarding Market Efficiency // Journal of FinancialEconomics, Vol. 6, p. 95–101.

Kendall M. G., 1953. The Analysis of Economic Time-Series. Part I: Prices // Journal of the RoyalStatistical Society, Vol. 96, p. 11–25.

Leipus R., Norvaiša, R., 2004. Finansø rinkos teorijø taikymai // Pinigø studijos, Nr. 1 (priimtaspaudai).

LeRoy S. F., 1989. Efficient Capital Markets and Martingales // Journal of Economic Literature,Vol. 27, p. 1583–1612.

Lévy P., 1940. Le Mouvement Brownien Plan // American Journal of Mathematics, Vol. 62,p. 487–550.

Lintner J., 1965. The Valuation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in StockPortfolios and Capital Budgets // Review of Economics and Statistics, Vol. 47, p. 346–382.

Lo A. W., MacKinlay A. C., 1999. A Non-Random Walk Down Wall Street. Princeton: UniversityPress.

Malkiel B. G., 1996. A Random Walk Down Wall Street. New York: W. W. Norton & Company.

Mandelbrot B., 1966. Forecasts of Future Prices, Unbiased Markets and Martingale Models // Journalof Business, Vol. 39, p. 242–255.

Mandelbrot B. B., 1997. Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration, Risk. NewYork: Springer.

Markowitz H., 1952. Portfolio Selection // Journal of Finance, Vol. 7, p. 77–91.

Merton R. C., 1971. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous Time Model //Journal of Economic Theory, Vol. 3, p. 373–413.

Mossin J., 1966. Equilibrium in a Capital Asset Market // Econometrica, Vol. 35, p. 768–783.

Nobelio 2002 m. ekonomikos mokslø premijos laureatai // Pinigø studijos, 2003, Nr.1, p. 97–114.

Norvaiša R., 2000. Modelling of Stock Prices: A Real Analysis Approach // Finance and Stochastics,Vol. 3, p. 343–369.

Osborne M. F. M., 1959. Brownian Motion in the Stock Market // Operations Research, Vol. 7,p. 145–173.

Paulos J. A., 2003. A Mathematician Plays the Stock Market. New York: Basic Books.

Prechter Jr. R. R., 1999. The Wave Principle of Human Social Behavior and the New Science ofSocionomics, New Classics Library.

Ross S. A., 1987. The Interrelations of Finance and Economics: Theoretical Perspectives // TheAmerican Economic Review, Vol. 77, p. 29–34.

Rubinstein M., 2001. Rational Markets: Yes or No? The Affirmative Case // Financial Analysis Journal,Vol. 57, p. 15–29.

27


Samuelson P. A., 1965. Proof that Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly // IndustrialManagement Review, Vol. 6, p. 41–49.

Samuelson P. A., 1973. Mathematics of Speculative Price // SIAM Review, Vol. 15, p. 1–42.

Schachermayer W., 2004. The Fundamental Theorem of Asset Pricing under Proportional TransactionCosts in Finite Discrete Time // Mathematical Finance, Vol. 14, p. 19–48.

Sharpe W., 1964. Capital Asset Prices: A Theory of Capital Market Equilibrium under Conditions ofRisk // Journal of Finance, Vol. 19, p. 425–442.

Steinbach M. C., 2001. Markowitz Revisited: Mean-Variance models in Financial Portfolio Analysis //SIAM Review, Vol. 43, p. 31–85.

Webster’s Encyclopedic Unabridged Dictionary of the English Language, 1989. New York/Avenel,New Jersey: Gramerey Books.

Wiener N., 1923. Differential Spaces // Journal of Mathematical Physics, Vol. 2, p. 131–174.

Wiener N., 1924. The Quadratic Variation of a Function and Its Fourier Coefficients // Journal ofMathematical Physics, Vol. 3, p. 72–94.

Williams J. B., 1938. The Theory of Investment Value. Cambridge, Mass: Harvard University Press.

Working H., 1934. A Random Difference Series for Use in the Analysis of Time Series // Journal ofthe American Statistical Association, Vol. 29, p. 11–24.

Straipsnis gautas 2003 m. rugsëjo mën.Priimtas spaudai 2003 m. lapkrièio mën.

SUMMARY

Remigijus Leipus, Rimas Norvaiša

This is the first part of a review of the modern theory of financial market andof its several recent developments. The review aims at clarifying the role of theefficient market hypothesis played from the beginning of the development of themodern theory until today. In particular, some attention is given to the controversysurrounding the hypothesis with respect to both theoretical and empirical aspects.The reader is supposed to know nothing about the financial market theories.However, to understand some parts of the paper, mathematical sophistication mightbe helpful for the reader.

The present part of the paper, starting with an introduction, consists of threesections. The first section deals with the efficient market hypothesis. Starting withthe work of L. Bachelier and several later works on the empirical research of stockprices, the reader is introduced to the hypothesis as formulated by E. F. Fama. Thenthe theoretical and empirical foundation of the efficient market hypothesis isdiscussed in some detail. The views on the hypothesis, which dominated the beginningof the modern theory until its culmination time around the end of the eighties ofthe last century, are presented. The discussion of recent views is postponed untilthe last section of the second part of the paper.

The second section is devoted to clarifying the understanding of a mathematicalmodel in financial theories. The emphasis is made on the distinction betweena discrete time model and a continuous time model. The concepts of stock priceand stock return are considered as basic. The discrete time model is illustrated bypresenting and discussing the fair game hypothesis. In the context of the fair gamemodel, the analytical form of the efficient market hypothesis and the fundamentalvalue are derived. The continuous time model is illustrated by discussing thegeometric Wiener process and its several alternatives. In the appendix of the paper,

FUNDAMENTALS OF FINANCIAL MARKET THEORIES

28


a motivation for the special form of the continuous time price and return are given.The arguments rest on recent results concerning the existence of the product integralwith respect to functions having bounded p-variation for some p 2 or functionshaving the quadratic variation, and so the motivation is new as far as we know.

The last and the main section presents the basic results of the modern theoryof financial market: the arbitrage theory and the portfolio theory. The arbitragetheory is discussed by presenting the two fundamental theorems of asset pricing inthe context of the discrete time model. In the continuous time context, the basicconcepts of arbitrage, risk-neutral measure and completeness are illustrated for thecase when a stock price follows the dynamics of a geometric Wiener process. First,the portfolio theory is illustrated by showing how the capital asset pricing modelfollows from the efficient portfolio theory of H. Markowitz. Second, themean-variance optimality formulation is related to portfolio optimization problemsin the form used in the continuous time models.

Documents

FINANSØ RINKOS TEORIJØ PAGRINDAItema apgynë disertacijà „Spekuliacijos teorija“ (Théorie de la spéculation). L. Bachelier (1900) spekuliacijos teorija yra tai, kas dabar