Energía del MAS. Oscilaciones Amortiguadas

CARRERA DE IN

GEN

IERÍA IND

USTRIAL

FACULTAD

DE IN

GEN

IERÍA Y ARQU

ITECTURA

Física 2

Departamento de CienciasMg. Yuri Milachay Vicente

[email protected]

Semana 3

Energía del MAS. Oscilaciones Amortiguadas.

Energía del MAS. Oscilaciones amortiguadas. Energía de las oscilaciones amortiguadas.

13/04/23 Física 2 / Yuri Milachay 2

Logros de la sesión

Al finalizar la sesión, el estudiante:

• conoce y aplica la ley de conservación de la energía para el oscilador armónico, y

• explica la naturaleza de las oscilaciones amortiguadas, aplicando sus conclusiones en la interpretación de problemas reales.


¿Por qué el puente Franjo Tudjman (Duvrobnik) tiene amortiguadores?


¿¿Qué son los amortiguadores?

UPN_FIS2_S03_SIDEA_REC01_amortiguadores


Lluvia de ideas

a) ¿Para qué sirven los amortiguadores de los autos?

b) ¿Cómo cambia la amplitud de la oscilación del auto con el incremento de la fricción del líquido del amortiguador (fuerzas disipativas)?

c) ¿Qué función cumplen los amortiguadores en los cables de sujeción del puente Franjo Trudjman?

d) ¿Qué factores pueden provocar la oscilación de los puentes? Explíquelo en términos de energía.


Energía potencial elástica

• La fuerza de los resortes son fuerzas conservativas; es decir, tienen energía potencial. Su expresión matemática se deduce de la gráfica Fuerza-desplazamiento

• La energía potencial elástica puede ser agregada a los demás tipos de energía en el balance de la conservación de la energía.

• En el caso del oscilador armónico, el balance energético tiene lugar entre la energía cinética y potencial elástica.

F

xFuerza aplicada sobre el

móvil por parte del resorte

F kx2 21 1

mv kx Const2 2

2e

1U kx

2


2 2 21 1 1E mv kx kA

2 2 2

Energía del oscilador armónico

• Particularmente, se puede igualar la expresión de la energía mecánica del OA en cualquier punto con la energía en un extremo, donde la velocidad es cero.

• Despejando la velocidad de la expresión anterior se obtiene:

2 2v A x


¿Cómo cambian las energías cinética y potencial en el MAS?

UPN_FIS2_S03_SIDEA_REC02_energía_MAS


Ejercicio

• Problema. Un deslizador de 0,500 kg , conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k = 450 N/m, está en MAS con una amplitud de 0,040 m. Calcule (a) la rapidez máxima del deslizador, (b) su rapidez cuando x = -0,015 m, (c) su aceleración máxima y (d) la energía mecánica total en cualquier punto de la trayectoria.


MAS vertical

• Supongamos que colgamos un resorte con constante de fuerza k y se suspende de él un cuerpo de masa m.

• Cuando se desplaza el bloque hacia abajo, las fuerza es proporcional al desplazamiento, por lo que realizará también un MAS.

k l mg neta

neta

F k( l x ) ( mg)

F kx


Ejercicios

• Problema 13.30. La escala de una balanza de resorte marca 200 N cuando éste tiene 12,5 cm de longitud. Un pez suspendido de la balanza oscila verticalmente a 2,60 Hz. ¿Qué masa tiene el pez? Desprecie la masa del resorte.

1 kf

2 m

2

200Nk

12,5 10 m

1

2

(200 N) (1,25 10 m)m

(2π(2,60 Hz))

m 6,00 kg


Oscilaciones amortiguadas

• Los sistemas reales tienen siempre fuerzas disipadoras como el rozamiento, por lo que las oscilaciones cesan con el tiempo.

• La disminución de la amplitud se denomina amortiguación y el movimiento que realiza se llama oscilación amortiguada.

x xF kx bv

Posición de equilibrio

Ver animación de la oscilación amortiguada

UPN_FIS2_S03_SIDEA_REC03_amortiguamiento


Oscilaciones amortiguadas

• De acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene la expresión:

• De donde se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden, cuya solución para valores de b pequeños es la expresión.

• La frecuencia angular de la oscilación ´está dada por:

(b/ 2m)tx Ae cos( 't )

2k b' ( )

m 2m

x xkx bv ma


• Si hacemos que ’ sea nula, tendremos la expresión de la derecha;

• En estos casos, el sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar, entonces se dice que se tiene una amortiguación critica.

• Si se cumple que b > , se dice que la oscilación es sobreamortiguada.

2k b' ( ) 0

m 2m

2k b( ) 0

m 2m

b 2 km

Oscilaciones críticas

2 km


Gráfica de

(b/ 2m)tx Ae cos( 't )

Simulación



Ejercicios

• Solución

• Despejando b deb

2mt2 1A A e

1

2

2m Ab ln 0,0220 kg s

t A

• Problema. Un objeto de 50,0 g se mueve en el extremo de un resorte con k=25,0 N/m . Su desplazamiento inicial es de 0,300 m . Una fuerza amortiguadora actúa sobre el objeto y la amplitud del movimiento disminuye a 0,100 m en 5,00 s . Calcule al constante de amortiguación.


Conclusiones

• La fuerzas elásticas son conservativas, por lo que en los sistemas en donde actúa exclusivamente se aplica la ley de conservación de la energía.

• Cuando se aplica la ley de conservación en sistemas masa-resorte, se llega a una expresión que vincula la velocidad de la masa con su posición.

• Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar cuando actúa una fuerza disipativa y se concluye que la amplitud de la oscilación decrece exponencialmente, además de variar la frecuencia de oscilación.


Bibliografía

• R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e Ingeniería. 7° edición. Ed.Cengage Learning. Pág. 426-429; 449-477.

• J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed. Pearson Educación. Pág. 454-476.

• Sears Zemansky. Física Universitaria. 12° edición. Ed. Pearson Educación. Pág. 487-511; 440-442.

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