Fisica tecnica

Appunti dalle Lezioni di

Fisica Tecnica

Fisica Tecnica Ambientale

Fondamenti diTrasmissione del Calore

Parte I - Conduzione

Prof. F. Marcotullio

A.A. 2006-2007

Indice

Avvertenze iii

Testi Consigliati iv

1 Introduzione 11.1 Le modalità di scambio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Le equazioni della conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Le equazioni per la convezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Le equazioni per l’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Equazioni per l’adduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 La conduzione 152.1 Equazione generale della conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Condizioni iniziale e al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Regime permanente monodimensionale 213.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 La lastra piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Lastra piana omogenea in assenza di generazione internadi calore e superfici a temperatura assegnata . . . . . . . 23

3.2.2 Lastra piana omogenea posta tra due fluidi a diversa tem-peratura in assenza di generazione interna di calore . . . . 24

3.2.3 Lastra piana composita in assenza di generazione internadi calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.4 Lastra piana esposta da un lato ad un flusso costante eduniforme q mentre l’altra faccia è lambita da un fluido allatemperatura Tf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.5 Lastra piana con generazione interna di calore . . . . . . . 303.2.6 Strutture composite complesse. Reti elettriche serie - pa-

rallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Campi termici stazionari a simmetria assiale . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1 Cilindro pieno di raggio r = re in cui sia q = cost; èassegnata la temperatura Tr=re = Tre . . . . . . . . . . . 36

3.3.2 Cilindro cavo con temperatura imposta sulla superficieinterna ed esterna e q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.3 Parete cilindrica posta tra due fluidi a diversa tempera-tura e q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

i

INDICE ii

3.3.4 Parete cilindrica composita in assenza di generazione in-terna di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.5 Spessore critico dell’isolante . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Campi termici stazionari a simmetria sferica . . . . . . . . . . . . 44

3.4.1 Sfera piena di raggio r = re in cui sia q = cost; è assegnatala temperatura Tr=re = Tre . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.2 Sfera cava con raggio interno pari a r = ri ed esterno paria r = re conducibilità costante in assenza di termini disorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Resistenza termica di contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Superfici alettate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6.1 Equazione dell’aletta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6.2 Aletta infinitamente lunga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6.3 Aletta con estremità adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . 553.6.4 Aletta con scambio convettivo all’estremità . . . . . . . . 563.6.5 Efficacia (o guadagno) dell’aletta . . . . . . . . . . . . . . 573.6.6 Efficienza dell’aletta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.6.7 Efficienza di una superficie alettata . . . . . . . . . . . . . 60

4 Regime variabile monodimensionale 634.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Lastra piana indefinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Regime transitorio in un cilindro pieno indefinito . . . . . . . . . 684.4 Regime transitorio in una sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Regime transitorio in un mezzo seminfinito . . . . . . . . . . . . 704.6 Sistemi caratterizzati da Bi→ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A Proprietà di metalli puri e leghe 76

B Proprietà di alcuni solidi 77

C Proprietà dei liquidi 78

D Proprietà dei gas 79

Avvertenze

La presente dispensa didattica è rivolta agli allievi dei Corsi di Fisica Tecnica(Corsi di Laurea in Ingegneria Elettrica, Civile ed Ambiente e Territorio) ecostituisce la raccolta completa degli argomenti svolti in aula.Disporre della dispensa tuttavia non esime né dai doverosi approfondimenti

sui testi consigliati, né soprattutto dalla frequenza delle lezioni e delle esercita-zioni.Saranno graditi suggerimenti nonché la segnalazione di errori ed inesattezze.

iii

Testi Consigliati

Testi consigliati in lingua italiana:

1. Kreith F., Principi di Trasmissione del calore, Liguori, Napoli 1975

2. Guglielmini G., Pisoni C., Elementi di Trasmissione del Calore, Masson,Milano 1996

3. Bonacina C., Cavallini A., Mattarolo L., Trasmissione del Calore, Cleup,Padova 1989

Testi consigliati in lingua inglese:

1. Özisik M.N., Heat Transfer - A Basic Approach, McGraw-Hill, New York1985

2. Chapman A.J., Heat Transfer - Fourth Edition, Mcmillan, New York 1987

3. Lienhard J.H. IV, Lienhard J.H. V, A Heat Transfer Textbook, 3rd edition,20011

1 Il testo può essere scaricato gratuitamente in formato PDF dal sitohttp://web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html

iv

Capitolo 1

Introduzione

Nei corsi di Termodinamica è stato definito il calore come una forma di ener-gia (Primo Principio) che transita spontaneamente da un corpo a più elevatatemperatura verso un corpo a più bassa temperatura (Secondo Principio).La Termodinamica, tuttavia, non stabilisce i meccanismi attraverso i quali il

calore si propaga, né fornisce informazioni sulla durata del processo di scambio etantomeno su come varia la temperatura all’interno del sistema e nel tempo. Lasoluzione di questa classe di problemi è compito della Trasmissione del calore checostituisce una disciplina complementare e non alternativa alla Termodinamicaed ai cui principi obbedisce.Si dice che lo scambio termico avviene in regime transitorio allorché la

temperatura assume valori diversi da punto a punto e nel tempo, ossia:

T = T (P, t)

Siamo in presenza di scambio termico in regime stazionario o permanente se latemperatura è indipendente dal tempo sebbene possa assumere valori variabilida punto a punto; cioè:

T = T (P )

In talune circostanze si osserva che le grandezze che caratterizzano il fenomenodi scambio termico assumono uguali valori ad intervalli di tempo uguali. Siparla in questo caso di regime termico periodico. Sebbene si tratti a tutti glieffetti di un regime variabile, la relativa trattazione può prescindere dal tempo.

1.1 Le modalità di scambio termicoUn qualsiasi processo di scambio termico può essere ricondotto ad una sovrappo-sizione di tre meccanismi indipendenti: conduzione, convezione, irraggiamento.Con il termine conduzione si indica il meccanismo mediante il quale il ca-

lore si trasferisce da una regione di un corpo a più alta temperatura verso unaregione dello stesso corpo a più bassa temperatura in conseguenza del trasferi-mento di quantità di moto, che avviene a livello microscopico e come tale nonosservabile macroscopicamente, tra le particelle animate da velocità di agitazio-ne più elevata verso quelle animate da velocità di agitazione più modesta perurto molecolare diretto (solidi non metallici, liquidi e gas) ovvero per diffusione

1

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 2

degli elettroni liberi (solidi metallici). Il meccanismo della conduzione, perciò,è il solo responsabile della trasmissione del calore nei corpi solidi opachi.Si ha scambio termico per convezione quando il calore si trasferisce da un

punto all’altro di un mezzo fluido in conseguenza di moti macroscopici di massadetti moti convettivi. In conseguenza di questi ultimi, quantità significativedi fluido, ad una data temperatura, possono essere rapidamente trasferite inuna regione a temperatura, ad esempio, più bassa dove si raffreddano cedendo,per conduzione, parte della propria energia interna al fluido circostante che siriscalda. Lo scambio termico per convezione, pertanto, può essere visto comeuno scambio termico conduttivo potenziato dal moto nel fluido.La presenza di gradienti di temperatura in seno ad un fluido origina gradien-

ti di densità i quali sono responsabili dei cosiddetti moti convettivi naturali. Siparla in questo caso di trasferimento di calore per convezione naturale o libera.In molti casi, al moto convettivo naturale (sempre presente) si sovrappone unmoto prodotto da mezzi meccanici esterni (si pensi ad una pompa, un ventila-tore, un agitatore). Se quest’ultimo è dominante rispetto a quello naturale, siusa parlare di convezione forzata. Esistono anche casi in cui il moto impostodall’esterno produce effetti paragonabili. a quello naturale. Si parla allora diconvezione mista.A differenza di quanto visto per la conduzione e per la convezione, lo scambio

termico per irraggiamento non richiede necessariamente la presenza di un mezzomateriale tra i corpi che partecipano allo scambio. Anzi, la presenza di unmezzo lo ostacola riducendone l’efficacia. L’irraggiamento, pertanto, è l’unicoresponsabile dello scambio termico tra corpi separati dallo spazio vuoto.All’origine di questo meccanismo sta il fatto che qualunque corpo, ad una

qualunque temperatura, emette energia sotto forma di onde elettromagnetichein misura, a parità di ogni altra condizione, tanto maggiore quanto più è alta latemperatura. In questa veste l’energia si propaga nello spazio anche vuoto aduna velocità elevatissima (' 3 × 108 m

s ) ed allorché investe un corpo viene daquesto parzialmente assorbita. Anche il corpo ricevente emette energia raggiantesecondo lo stesso meccanismo la quale, in parte, viene assorbita dal primo corpo.Nasce tra i due corpi un doppio flusso di energia il cui saldo netto costituisce loscambio termico radiativo.

T=TT<T

T>TS

q(P,t)

P

D

x

PP

P

y

z

Figura 1.1: Superficie isoterma e flusso termico conduttivo


1.2 Le equazioni della conduzioneConsideriamo un punto P in un dominio omogeneo ed isotropo D sede delfenomeno termico conduttivo come mostrato in Fig.1.1 e sia Tp la temperaturain P . Il luogo dei punti di D caratterizzati da T = Tp definiscono una superficieS che, per ovvie ragioni, denominiamo isoterma. E’ evidente che S divide D indue subdomini: uno caratterizzato da T > Tp e l’altro da T < Tp. Il SecondoPrincipio della Termodinamica ci assicura che è in atto un trasferimento dienergia sotto forma di calore attraverso S.

Figura 1.2: Jean Baptiste Joseph Fourier, Francia (1768 - 1830)

La quantità di calore che per unità di tempo attraversa l’unità di area diS si dice flusso termico conduttivo. Esso costituisce una grandezza a caratterevettoriale funzione, in generale, del punto e del tempo determinabile mediantela legge empirica1 seguente:

q(P, t) = −λ ·∇T (P, t) (1.1)

enunciata nel 1822 da Joseph Fourier. In essa l’operatore ∇T rappresenta ilgradiente della temperatura e costituisce un vettore, funzione del punto e deltempo, normale alla superficie isoterma per P e orientato nel verso delle tempe-rature crescenti (vedi Fig.1.1). La costante di proporzionalità λ è una grandezzascalare positiva caratteristica del mezzo denominata conducibilità termica inter-na. Il segno negativo presente nella (1.1) è dovuto al fatto che, in conseguenzadel Secondo Principio della Termodinamica, il vettore q presenta costantementeverso contrario a quello del gradiente di temperatura ∇T.In un sistema di riferimento ortogonale x, y, z, la (1.1) diventa:

q(x, y, z, t) = −λ ·µi∂T

∂x+ j

∂T

∂y+ k

∂T

∂z

¶(1.2)

ovvero in forma scalare:

qx = −λ∂T

∂x; qy = −λ

∂T

∂y; qz = −λ

∂T

∂z(1.3)

1basata cioè sull’osservazione sperimentale


dove con qx, qy, qz si sono indicate le componenti del flusso termico specifico qnelle direzioni degli assi.

x x

xx

y y

yy

T(r, ,z)

T(r, , )T(r, , )

rr

rr

z

z

zz

z

zz

Figura 1.3: Sistemi di riferimento cilindrico e sferico

In un sistema di riferimento cilindrico r, φ, z per il quale valgono le

x = r cosφ; y = r sinφ; z = z

(vedi Fig.1.3) le analoghe delle (1.3) sono:

qr = −λ∂T

∂r; qφ = −

λ

r

∂T

∂φ; qz = −λ

∂T

∂z(1.4)

Per un riferimento sferico r, φ, ϑ come quello di Fig.1.3 per il quale:

x = r sin θ cosφ; y = r sin θ sinφ; z = r cos θ

le componenti del gradiente si calcolano con le:

qr = −λ∂T

∂r; qφ = −

λ

r

∂T

∂φ; qθ = −

λ

r sin θ

∂T

∂θ(1.5)

Come già premesso, il flusso termico conduttivo ha dimensioni:

[q] =[energia]

[tempo] [superficie]

per cui nelle unità del sistema tecnico si esprime in

kcalorieh ·m2

e in quelle del sistema internazionale in

Js ·m2 =

Wm2


Ricordiamo che:

1kcaloriah ·m2 =

41861 · 3600

Wm2

' 1.16Wm2

si ha:

1Wm2

' 1

1.16' 0.86kcalorie

h ·m2Le dimensioni della conducibilità termica possono ricavarsi dalla (1.1) e dairisultati precedenti:

[λ] =[q][∇T ] =

[energia][tempo][superficie][temperatura][lunghezza]

=[energia]

[lunghezza] [tempo] [temperatura]

Nel sistema tecnico si usa:

Piombo

Oro

500 865

200 346

100 173

50 86.5

20 34.6

10 17.3

5 8.65

0.5 0.865

0.05 0.0865

2 3.46

0.2 0.346

0.02

Con

duci

bilit

à Te

rmic

a

Btu

/hr f

t °F

Con

duci

bilit

à Te

rmic

a

W/m

°C

0.0346

1 1.73

0.1 0.173

0.01

0

-58

400

204

800

427

Temperatura, °F

Temperatura, °C

1200

649

1600

871

2000

1093

0.0173

Rame

Alluminio

Argento

Grafite

Sodio liquido

Acciaio

Platino

Acciaioinossidabile

Mercurio

Mattoni dimagnesia

Mattoni di argillarefrattaria

Idrogeno a bassapressione

Elio a bassapressione

Acqua satura

Olio

Lana diroccia Aria a

bassa pressione

Vapore a bassapressione

Figura 1.4: Variazione della conducibilità termica di alcune sostanze con latemperatura

kcalorieh ·m · ◦C

e nel sistema internazionale:

Js ·m ·K =

Wm ·K

Si verifica facilmente che è

1kcaloriah ·m ·◦ C ' 1.16

Wm ·K ; 1

Wm ·K ' 0.86 kcalorie

h ·m · ◦C


La conducibilità termica λ dipende, per un mezzo assegnato, principalmentedalla temperatura come mostra la Fig.1.4. Prevedere nei calcoli questo lega-me comporta un aggravio delle difficoltà connesse alla trattazione matematicadella conduzione come si vedrà. Pertanto, la dipendenza della temperatura dal-la conducibilità va attentamente valutata e considerata solo in quei casi in cuiil risultato potrebbe altrimenti essere fortemente compromesso. A parità ditemperatura (e pressione ove questa sia importante), la conducibilità varia for-temente nel passaggio dalla fase gassosa, alla fase liquida, a quella solida comechiaramente mostrato dalla Fig.1.5. Con riferimento alla temperatura ambiente,i valori più bassi della conducibilità sono propri della fase gassosa (circa qualcheunità per cento in W

m·K ). Quelli più elevati, invece, si riferiscono ai metalli puricon valori che superano qualche centinaio di W

m·K . Il valore di più elevato inassoluto si riferisce all’argento (circa 410 W

m·K ) mentre il valore più elevato tra imateriali che interessano le applicazioni dell’ingegneria si riferisce al rame (circa385 W

m·K ).

W/mK0.01

GASCO

SCHIUME FIBRE

ACQUAOLI

LEGNO

MERCURIO

ACCIAIO RAME

SODIO

OSSIDI

H2 2

0.1 1 10 100 1000

ISOLANTI

LIQUIDI NON METALLICI

SOLIDI NON METALLICI

LIQUIDIMETALLICI

SOLIDIMETALLICI

Figura 1.5: Ordini di grandezza della conducibilità termica alle condizioniambiente.

La soluzione di un problema termico conduttivo consiste nella determinazio-ne della distribuzione di temperatura ovvero della funzione T = T (P, t) e delflusso termico conduttivo ovvero della funzione q(P, t).Osserviamo immediatamente che la sola (1.2) non è sufficiente allo scopo.

Sebbene sia necessario nel caso più generale adottare una ulteriore equazione,esistono tuttavia numerosi casi di pratico interesse per i quali, mediante consi-derazioni di natura fisica, si può individuare la struttura della funzione q. Intutti questi casi la (1.2) è sufficiente per la soluzione completa del problematermico proposto.A solo titolo di esempio si consideri il sistema di Fig.1.6 nel quale una barra

omogenea di sezione retta di area A e lunghezza L è posta tra due sorgentia temperatura costante T0 e TL rispettivamente con T0 > TL. La superficielaterale della barra è adiabatica. In conseguenza della differenza di temperaturaimposta alle sue estremità, la barra è sede di un trasferimento di calore perconduzione dalla sorgente a temperatura T0 alla sorgente a temperatura TL.Se si attende un tempo sufficiente, le temperature in ogni punto della barra


Figura 1.6: Esempio di trasferimento di calore per conduzione in regimemonodimensionale stazionario

raggiungono un valore che si mantiene costante nel tempo. Siano in regimetermico stazionario.In queste condizioni ed in virtù della adiabaticità della superficie laterale

della barra è lecito porre che:

qy = qz = 0

da cui discende immediatamente che una qualunque sezione retta della barraè una superficie isoterma e quindi la temperatura dipende dalla sola variabilespaziale x:

T = T (x)

In queste circostanze si dice che il campo termico è monodimensionale stazio-nario.Si considerino ora due superfici isoterme in x ed in x + dx. Sono Qx|x =

(qxA)x dt e Qx|x+dx = (qxA)x+dx dt le rispettive quantità di calore che leattraversano nell’intervallo di tempo dt.Se fosse:

(qxA)x 6= (qxA)x+dxvi sarebbe, nell’intervallo dt, un aumento o una diminuzione dell’energia internaassociata all’elemento di massa δm = ρA dx a cui corrisponderebbe un aumentoo una diminuzione della relativa temperatura T (x) in disaccordo con l’ipotesiiniziale di stazionarietà. Ne deriva che il campo termico è stazionario solo se(qxA)x = (qxA)x+dx ovvero, essendo x arbitrario, Qx = cost.Con tali premesse, la prima delle (1.3), nell’ipotesi di conducibilità termi-

ca indipendente da T , diventa una equazione differenziale lineare a variabiliseparabili:

−qxλdx = −Qx

λAdx = dT


che integrata fornisce:

−Qx

λA

xZ0

dx =

TZT0

dT da cui T = T0 −Qx

λAx (1.6)

La precedente mostra che la temperatura nella barra omogenea di Fig.1.6 pre-senta andamento lineare con x se la conducibilità termica può essere assuntacostante.Un risultato diverso per T = T (x) si ottiene se, al contrario, la conducibilità

termica dipende dalla temperatura. Nell’ipotesi che si assuma per λ = λ(T ) unlegame lineare del tipo:

λ = λ0 + γT

l’analoga della (1.6) si scrive:

−Qx

A

xZ0

dx =

TZT0

(λ0 + γT ) dT

da cui:

λ0 (T − T0) +γ

2

¡T 2 − T 20

¢= −Qx

Ax (1.7)

La temperatura, in questo caso, mostra un andamento parabolico con x.Il flusso termico Qx può essere ricavato in funzione delle temperature note

T0 e TL ricorrendo alla (1.6) se λ è costante o alla (1.7) nell’ipotesi contraria.Infatti se si pone T = TL per x = L si ottiene nel primo caso che:

Qx =λA

L(T0 − TL) = hkA (T0 − TL) (1.8)

Nel secondo caso si ottiene:

Qx =A

L(T0 − TL)

µλ0 + γ

T0 + TL2

¶ovvero:

Qx =Aλ

L(T0 − TL) = hkA (T0 − TL) (1.9)

la quale è formalmente analoga alla (1.8) con la conducibilità termica pari aquella che corrisponde alla temperatura media tra quelle estreme considerate.La hk = λ

L (ovvero hk =λL) è detta conduttanza termica specifica e costitui-

sce una caratteristica del dominio sede del fenomeno. Essa ha le dimensioni:

[hk] =[energia]

[tempo] [superficie] [temperatura]

e si esprime in:kcal

h ·m2 · ◦C ;W

m2 ·Knelle unità del sistema tecnico e internazionale rispettivamente.Le (1.8, 1.9) possono essere scritte anche in modo del tutto equivalente come:

Qx =T0 − TL

Rk


nella quale Rk =LAλ ovvero Rk =

LAλ

è detta resistenza termica della barra(vedi Fig.1.6). Essa ha le dimensioni:

[Rk] =[tempo] [temperatura]

[energia]

e si esprime in:h · ◦Ckcal

;KW

nelle unità del sistema tecnico e internazionale rispettivamente.

Figura 1.7: Schema dello scambio termico per convezione

Nel caso più generale, non essendo nota la struttura della funzione cheesprime il flusso termico, è necessaria una ulteriore equazione per risolverecompiutamente un problema termico. Ciò verrà affrontato nel prossimo capitolo.

1.3 Le equazioni per la convezioneLa Fig.1.7 mostra un tipico esempio di scambio termico per convezione in regimestazionario. Una corrente fluida a temperatura Tf è in moto relativo con velocitàw rispetto ad una superficie solida mantenuta ad una temperatura Ts 6= Tf .L’esperienza mostra che una certa potenza termica qc per unità di area (W/m2)si trasferisce dalla superficie solida al fluido, o viceversa, in una misura chedipende non solo dalla differenza di temperatura, ma anche dal regime di moto(laminare o turbolento), dalle caratteristiche fisiche del fluido, dalla geometriadel sistema e, in generale, dalla posizione lungo la superficie di scambio. Nonsolo, quindi, la determinazione della qc si preannuncia molto complicata a causadella complessità del fenomeno, ma il numero elevato delle variabili in giocolascia prevedere per qc una espressione analitica di non semplice utilizzabilitàpratica.


Figura 1.8: Sir Isaac Newton, Inghilterra (1643 -1727)

Per tale ultimo motivo, si preferisce esprimere qc mediante la relazionesemplice seguente nota come equazione di Newton:

qc =Qc

A= hc (Ts − Tf ) (1.10)

nella quale tutta la complessità del fenomeno è stata compendiata nell’unicoparametro hc detto coefficiente di convezione. Esso ha le dimensioni di unaconduttanza: £

hc¤=

[potenza][superficie] [temperatura]

e si misura in:Wm2K

;kcal

hm2K

nel sistema internazionale e tecnico rispettivamente. I valori di hc relativi aldeflusso su lastra piana e all’interno di tubi circolari di differenti fluidi in motolaminare e turbolento sono raccolti in Tab.1.1. Vale la pena di osservare che ivalori più bassi di hc si presentano quando il fluido è un gas ed il regime di motoè laminare (qualche unità o decine di unità). Valori nettamente più elevati (damille a diecimila unità o più) si presentano quando il fluido è un liquido ed ilregime di moto è turbolento.Osserviamo ancora dalla Fig.1.7 che all’interfaccia solido-fluido il flusso con-

vettivo (1.10) è uguale a quello conduttivo espresso dalla equazione di Fourier(1.1). Ne consegue che:

hcA (Ts − Tf ) = −λAµ∂T

∂y

¶y=0

nella quale la conducibilità termica λ è quella del solido.Con questa impostazione il problema convettivo consiste nella determinazio-

ne hc (o anche al valore locale hc funzione del punto considerato). L’approccioanalitico mostra non poche difficoltà e può essere impiegato solo nei casi carat-terizzati da geometrie molto semplici come la lastra piana o la regione interna di


Tabella 1.1: Ordini di grandezza di hc per alcuni casi tipiciConvezione Sistema Flusso Fluido hc

£Wm2K

¤Naturale Lastra piana Esterno Aria 6Naturale Lastra piana Esterno Olio 30Naturale Lastra piana Esterno Acqua 400Forzata Lastra piana Esterno Aria 40Forzata Tubo circolare Esterno Aria 90Forzata Tubo circolare Esterno Olio 1800Forzata Tubo circolare Interno Acqua 10500

tubi a sezione circolare. In tutti gli altri casi si ricorre all’approccio sperimentalee all’analisi dimensionale.

1.4 Le equazioni per l’irraggiamentoIl calcolo del flusso termico che per irraggiamento si trasferisce tra due corpia differente temperatura si presenta particolarmente agevole nel caso in cui icorpi presentino superfici nere2, ossia capaci di assorbire totalmente l’energiaraggiante che le investe. In tale ipotesi ideale (le superfici nere non esistono innatura), l’energia raggiante che ciascuna delle due superfici emette per unità diarea e per unità di tempo (W/m2) è esprimibile attraverso la relazione seguente(legge di Stefan-Boltzmann):

q = σ0T4; σ0 = 5.67× 10−8

W

m2K4

Così, con riferimento al caso mostrato in Fig.1.10, il corpo 1 di area A1 etemperatura T1 emette globalmente una potenza raggiante pari a:

Q1 = q1A1 = σ0A1T41

Di questa quantità solo la parte Q1→2 incide sul secondo corpo mentre il restosi disperde nell’ambiente circostante e come tale non prende parte allo scambiotermico radiativo tra le due superfici. La potenza raggiante Q1→2 può essereespressa dall’equazione seguente:

Q1→2 = F12Q1 = F12A1σT 41con F12 = Q1→2

Q1una grandezza adimensionale detta fattore di vista o di for-

ma. Essa dipende, in generale, sia dalle caratteristiche dei corpi che dalla loroposizione reciproca ed è tale che 0 ≤ F12 ≤ 1.La Q1→2, essendo nera per ipotesi anche la superficie ricevente, sarà da

questa completamente assorbita.Un ragionamento analogo può essere ripetuto per il corpo 2. Esso infatti

emette una potenza raggiante pari a:

Q2 = q2A2 = σ0A2T42

2 I meccanismi alla base dello scambio termico radiativo, ossia l’emissione ed assorbimentodi energia raggiante, sono principalmente influenzati dalle condizioni della superficie del corpo(temperatura, grado di lavorazione, livello di ossidazione, colore, . . . ).


Figura 1.9: Josef Stefan, Austria (1835 - 1893) e Ludwig Boltzmann, Austria(1844 - 1906)

La porzione Q2→1 che di Q2 incide sul corpo 1 e da questo completamenteassorbita, si esprime parimenti come:

Q2→1 = F21Q2 = F21A2σ0T 42La Fig.1.10 mostra che la potenza raggiante Q1 2 che lascia, al netto, la su-perficie 1 per trasferirsi sulla superficie 2 si ricava applicando ad una qualsiasidelle due superfici il principio di conservazione dell’energia.Con riferimento, ad esempio, alla superficie 1 si ha:

Q1 2 +Q2→1 −Q1→2 = 0

ovvero:Q1 2 = Q1→2 −Q2→1 = F12A1σ0T 41 − F21A2σ0T 42 (1.11)

Poiché all’equilibrio termico (T1 = T2 = T ) lo scambio deve annullarsi nelrispetto del Secondo Principio della Temodinamica, si ha che:

Q1 2 = σ0T4 (F12A1 − F21A2) = 0

e poiché è sempre T > 0 la condizione precedente richiede che:

F12A1 = F21A2

la quale rappresenta una importante proprietà dei fattori di vista. Alla lucedell’equazione precedente la (1.11) si semplifica nella:

Q1 2 = σ0A1F12¡T 41 − T 42

¢(1.12)

La determinazione dello scambio termico tra superfici nere si riduce alla va-lutazione dei fattori di vista ovvero, come si vedrà a suo tempo, ad un puroproblema geometrico.Se, al contrario, le superfici che partecipano allo scambio termico radiativo

non sono nere, solo una parte dell’energia raggiante che le investe verrà assorbi-ta; la parte restante viene riflessa e di questa una porzione potrà incidere sulla


A

AF

A

T

T

T

2

2

1

2 21

2

2

2

4

4

0

0

1

A

T

A

Q

Q

T1

1

1

2

2

14

0 AF T1 12 14

0

Figura 1.10: Schema dello scambio termico per irraggiamento

superficie di partenza e così via. La determinazione di Q1 2, pur nella confi-gurazione semplice illustrata in precedenza, si complica e le modalità di calcolosaranno viste a suo tempo.Concludiamo avvertendo che spesso può risultare utile porre la (1.12) nella

forma semplice:Q1 2 = hrA1 (T1 − T2) (1.13)

dove la grandezza hr ha le dimensioni di una conduttanza. Essa viene denomi-nata coefficiente di radiazione e dipende fortemente dalla temperatura. Infatti,nel caso più generale, hr assume la forma:

hr = k0 (T1 + T2)¡T 21 + T 22

¢con k0 = Fσ0 in cui F coincide con il fattore di vista F12 solo quando le superficisono nere. In tutti gli altri casi F dipende anche dalle proprietà radiative deicorpi interessati (emissività).In tutti quei casi di interesse dell’ingegneria in cui l’intervallo di temperatura

è dell’ordine di qualche decina di gradi, è lecito porre:

(T1 + T2)¡T 21 + T 22

¢' 4T 3m

Con questa approssimazione si ha:

hr = 4k0T3m

1.5 Equazioni per l’adduzioneI meccanismi di scambio termico esaminati fino ad ora quasi mai si presentanoseparatamente nella pratica. Di solito si verificano contemporaneamente almenodue tipi di scambio: ad esempio conduzione e convezione ovvero convezione eirraggiamento. Questo secondo caso è piuttosto frequente nello scambio di caloretra una superficie solida e l’ambiente che lo circonda.


Se per fissare le idee si fa riferimento ad una parete esterna di un edificio,si ha scambio termico per convezione tra la parete a temperatura Tp e l’ariache la lambisce supposta a temperatura Ta e per irraggiamento tra la medesimaparete e i k corpi che sono visti dalla parete stessa considerati ognuno allapropria temperatura Ti (i = 1, 2, . . . , k).Ciò premesso, lo scambio per convezione vale:

Qc = hcAp (Tp − Ta)

in cui si è indicato con Ap la superficie della parete.Per lo scambio termico radiativo, se le temperature coinvolte non differiscono

di molto, si può far uso di equazioni del tipo (1.13 ) mediante le quali si possonoesprimere i flussi termici scambiati tra la parete e i corpi presenti nell’ambientecircostante:

Qr =X

iQr,i = Ap

Xihr,i (Tp − Ti) i = 1, 2, . . . , k (1.14)

In altenativa, si può introdurre una temperatura caratteristica di un ambientefittizio (temperatura media radiante Tmr) che scambia con la parete la stessapotenza raggiante scambiata con l’ambiente reale; si ha:

Ap

Xihr,i (Tp − Ti) = hrAp (Tp − Tmr)

Se si pone:

hr =X

ihr,i segue che Tmr =

Pi hr,iTiPi hr,i

per cui lo scambio complessivo si può esprimere come:

Q = Qc +Qr = hcAp (Tp − Ta) + hrAp (Tp − Tmr)

Ora, se Ta ∼ Tmr = Te allora lo scambio termico radiativo e quello convettivorisultano regolati dalla stessa temperatura e si può scrivere:

Q = (hc + hr)Ap (Tp − Te) (1.15)

ovvero:Q = haAp (Tp − Te) (1.16)

in cui ha è denominato coefficiente di adduzione.

Capitolo 2

La conduzione

2.1 Equazione generale della conduzioneSi è già accennato al fatto che la sola equazione di Fourier non è, in generale, suf-ficiente per la soluzione del problema termico conduttivo. L’ulteriore equazione,che ci apprestiamo a scrivere, esprime il principio di conservazione dell’energiaapplicato alla conduzione.

Pdx

dzdy

dV

Figura 2.1: Intorno infinitesimo dV di un generico punto all’interno di un solidoomogeneo ed isotropo

Consideriamo, allo scopo, il solido omogeneo ed isotropo di Fig.2.1 e al suointerno un punto P . Consideriamo l’intorno infinitesimo di P di volume dV =dx dy dz e massa costante ρdV .Il principio di conservazione dell’energia (Primo Principio della Termodina-

mica) applicato a dV si esprime come:⎛⎜⎜⎝Energia termicanetta entrantein dV nell’unitàdi tempo

⎞⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎝Energia termicagenerata in dVnell’unitàdi tempo

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝Aumento del-l’energia internadi dV nell’unità

di tempo

⎞⎟⎟⎠ovvero:

15

CAPITOLO 2. LA CONDUZIONE 16

y

z

x

yx

z

dz

dydx (x,y,z)

q

q q

q

q

q

(x,y,z)

(x,y,z)

(x,y+dy,z) (x+dx,y,z)

(x,y,z+dz)

Figura 2.2: Energia termica netta entrante in dV nell’unità di tempo.

δQk + δQg = ρdVdu

dt(2.1)

essendo ρdV costante per ipotesi. Con u si è indicata l’energia interna per unitàdi massa di dV .La Fig.2.2 mostra che l’energia termica netta δQk (W) entrante in dV

nell’unità di tempo è pari a:

δQk =[qx(x, y, z)− qx(x+ dx, y, z)] dydz+[qy(x, y, z)− qy(x, y + dy, z)] dxdz+[qz(x, y, z)− qz(x, y, z + dz)] dxdy

Sviluppando in serie di Taylor:

qx(x+ dx, y, z) = qx(x, y, z) +∂qx∂x

dx

qy(x, y + dy, z) = qy(x, y, z) +∂qy∂y

dy

qz(x, y, z + dz) = qz(x, y, z) +∂qz∂z

dz

ed operando le sostituzioni si ottiene che:

δQk = −µ∂qx∂x

+∂qy∂y

+∂qz∂z

¶dV = −∇ · q dV (2.2)

Se si ipotizza in dV la presenza di una sorgente termica caratterizzata da unadensità di potenza ( Wm3 ) pari a q, il calore che viene generato all’interno delsistema nell’unità di tempo (W) si può esprimere facilmente come:

δQg = q dV (2.3)

Assumendo che u = u(v, T ) la relativa variazione infinitesima du può essereespressa mediante la:

du =

µ∂u

∂T

¶v

dT +

µ∂u

∂v

¶T

dv = cdT +

µ∂u

∂v

¶T

dv


con c il calore specifico a volume costante del mezzo. Poiché il dominio è solidoper ipotesi, la precedente si riduce alla sola:

du = cdT

essendo, a tutti gli effetti pratici, dv = 0. Con tali posizioni si ottiene indefinitiva che:

du

dt= c

∂T

∂t(2.4)

Sostituendo le (2.2, 2.3, 2.4) nella (2.1) ed eliminando dV si ottiene:

ρc∂T

∂t= −∇ · q + q

Sostituendo, infine, nella precedente la (1.1) si ottiene l’equazione cercata:

ρc∂T

∂t= ∇ · (λ∇T ) + q (2.5)

che rappresenta l’equazione generale della conduzione termica.Se è lecito supporre la conducibilità termica indipendente dalla temperatura,

allora la (2.5) si semplifica nella:

1

α

∂T

∂t= ∇2T + q

λ(2.6)

dove con ∇2T si è indicato il laplaciano della temperatura e con α = λρc una

grandezza denominata diffusività termica. Essa, essendo combinazione di gran-dezze caratteristiche del mezzo, è essa stessa caratteristica del mezzo e si misurain:

[α] =[superficie][tempo]

che si esprime nel sistema tecnico e internazionale in:

m2

h;

m2

s

La diffusività termica è tanto più elevata quanto più è elevata la conducibilitàtermica (misura dell’attitudine del mezzo a lasciarsi attraversare dal calore)e quanto più è bassa la capacità termica (misura dell’attitudine del mezzo atrattenere il calore). Ne risulta che in un mezzo caratterizzato da alta diffusivitàtermica il calore diffonde con maggiore facilità di quanto non avvenga in unmezzo caratterizzato da bassa diffusività.Con riferimento ad un sistema di coordinate rettangolari, la (2.5) e la (2.6)

si trasformano ripettivamente nella:

∂

∂x

µλ∂T

∂x

¶+

∂

∂y

µλ∂T

∂y

¶+

∂

∂z

µλ∂T

∂z

¶+ q = ρc

∂T

∂t(2.7)

e nella:∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2+

∂2T

∂z2+

q

λ=1

α

∂T

∂t(2.8)


essendo, per un sistema di riferimento ortogonale, che:

∇2 = ∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

E’ talora utile operare in un sistema di riferimento diverso da quello ortogonale.Nel caso del sistema di riferimento cilindrico di Fig.1.3, l’equazione (2.5) simodifica nella:

1

r

∂

∂r

µλr

∂T

∂r

¶+1

r2∂

∂φ

µλ∂T

∂φ

¶+

∂

∂z

µλ∂T

∂z

¶+ q = ρc

∂T

∂t(2.9)

mentre la (2.6) diventa:

1

r

∂

∂r

µr∂T

∂r

¶+1

r2∂2T

∂φ2+

∂2T

∂z2+

q

λ=1

α

∂T

∂t(2.10)

In un sistema di riferimento sferico come quello mostrato in Fig.1.3, l’equazione(2.5) assume la forma seguente:

1

r2∂

∂r

µλr2

∂T

∂r

¶+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

µλ sin θ

∂T

∂θ

¶+

+1

r2 sin2 θ

∂

∂φ

µλ∂T

∂φ

¶+ q = ρc

∂T

∂t(2.11)

e la (2.6) diventa:

1

r2∂

∂r

µr2∂T

∂r

¶+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

µsin θ

∂T

∂θ

¶+

1

r2 sin2 θ

∂2T

∂φ2+

q

λ=1

α

∂T

∂t(2.12)

2.2 Condizioni iniziale e al contornoFissate le caratteristiche geometriche e termofisiche di D, la determinazionedella funzione T = T (P, t) passa attraverso la soluzione di una delle equazionidifferenziali del secondo ordine (lineare o non lineare) precedenti e delle relativecondizioni iniziale ed al contorno proprie del particolare problema termico ana-lizzato. Nella pratica si distinguono condizioni al contorno del primo, secondoe terzo tipo come descritto nel seguito.

Temperatura imposta sulla superficie limite.

Una tale condizione si esprime come:

T (P, t)|P∈S = Ts

la quale è detta condizione al contorno del 1 ◦ tipo o di Dirichlet. La Ts è ingenerale una funzione nota del punto di S e del tempo.Nel caso monodimensionale stazionario la precedente si semplifica nelle:

T (x)|x∈S = Ts = cost in coordinate ortogonaliovveroT (r)|r∈S = Ts = cost in coordinate cilindriche e sferiche.

(2.13)


Alla superficie limite è imposto il flusso termico.

Nel caso generale si porrà:

−λAdT (P, t)

dn

¯P∈S

= QS

in cui n rappresenta la normale esterna alla superficie S e il flusso noto QS

(W/m−2 ovvero Kcal/h·m2) può essere una funzione del punto e del tempo. Unacondizione al contorno di questo genere è denominata condizione al contorno del2 ◦ tipo o di Neumann.In condizioni stazionarie monodimensionali, la precedente si esprime come:

−λAdT

dx

¯x=xS

= QS = Cost (2.14)

in coordinate rettangolari. Allo stesso modo si avrà:

−λAdT

dr

¯r=rS

= QS = Cost (2.15)

in coordinate cilindriche o sferiche.

La superficie limite è lambita da un fluido a temperatura assegnata.

Il flusso termico QS , incognito, scambiato tra il sistema sede del fenomenoconduttivo e il fluido attraverso la superficie limite S è esprimibile per il tramitedella legge di Newton per la convezione o anche, nel caso più generale, facendoricorso al concetto di adduzione. Si ha:

QS = hA (TS − Tf )

dove Tf e TS esprimono rispettivamente la temperatura nota del fluido (o deicorpi circostanti) in generale funzione del tempo e quella della superficie limiteche, al contrario, risulta incognita. Lo stesso flusso termico QS si può esprimereper il tramite della legge di Fourier:

QS = −λAdT

dn

¯P∈S

= hA (TS − Tf )

Una condizione al contorno di questo genere è detta condizione al contorno del3 ◦ tipo o di Robbins.Nel caso monodimensionale stazionario in coordinate ortogonali, la prece-

dente si esprime come:

−λA dT

dx

¯x=xS

= hA (TS − Tf ) (2.16)

nella quale Tf = cost.Non presenta difficoltà di ordine concettuale la scrittura di relazioni analoghe

per domini a simmetria cilindrica e sferica.


E’ utile osservare che la condizione al contorno del terzo tipo è quella più ge-nerale contemplando le restanti due. Per brevità consideriamo la (2.16) riscrittacome:

hATS + λAdT

dx

¯x=xS

= hATf (2.17)

nella quale si è portato al primo membro il termine contenente la temperaturaincognita TS . Dividendo primo e secondo membro della (2.17) per hA si ha:

TS +λ

h

dT

dx

¯x=xS

= Tf

la quale per h→∞ si riduce alle (2.13).

Capitolo 3

Regime permanentemonodimensionale

3.1 IntroduzioneSi è gia visto che un processo termico si dice monodimensionale stazionarioquando le grandezze caratteristiche del fenomeno, la temperatura in particolare,varia secondo una sola variabile spaziale ed è indipendente dal tempo. Se ildominio sede del fenomeno termico conduttivo è riferito ad un sistema di assiortogonali x, y, z allora si potrà porre ad esempio che:

T = T (x)

E’ ovvio che in tal caso le superfici isoterme saranno rappresentate dai piani yze l’equazione generale della conduzione si semplifica nella:

d

dx

µλdT

dx

¶+ q = 0 (3.1)

nel caso di λ dipendente dalla temperatura ovvero nella:

d2T

dx2+

q

λ= 0 (3.2)

nel caso in cui la conducibilità termica interna possa ritenersi indipendente daT .Per geometrie cilindriche o sferiche può risultare più utile riferirsi ad un

sistema di coordinate cilindriche (r, φ, z) o sferiche (r, φ, θ) per cui in un caso diconduzione monodimensionale si potrà scrivere:

T = T (r)

In tale circostanza l’equazioni (2.9) e (2.11) si modificano nelle:

1

r

d

dr

µλr

dT

dr

¶+ q = 0 (3.3)

1

r2d

dr

µλr2

dT

dr

¶+ q = 0 (3.4)

21

CAPITOLO 3. REGIME PERMANENTE MONODIMENSIONALE 22

Figura 3.1: Lastra piana di spessore s piccolo rispetto alle altre due dimensioni

ovvero nelle:1

r

d

dr

µrdT

dr

¶+

q

λ= 0 (3.5)

1

r2d

dr

µr2dT

dr

¶+

q

λ= 0 (3.6)

se è lecito supporre la conducibilità termica costante.

3.2 La lastra pianaSi consideri la lastra a facce piane e parallele di Fig.3.1 che supporremo costituitada materiale omogeneo e isotropo di conducibilità nota λ nella quale sia presenteuna sorgente termica uniforme q (W/m3). Ipotizzeremo inoltre che:

1. lo spessore s della lastra sia piccolo rispetto alle altre due dimensioni;

2. le due superfici limite (x = 0 e x = s) siano isoterme alla temperatura T0e Ts rispettivamente;

3. il regime termico sia stazionario.

Si vuole determinare:

• la distribuzione della temperatura all’interno della lastra ed

• il flusso termico che l’attraversa.

Allo scopo occorre considerare che le ipotesi 1. e 2. comportano che qy =qz ' 0 e che, quindi, la T = T (x) ovvero che ogni piano perpendicolare all’assex tale che 0 < x < s sia una superficie isoterma.


La soluzione generale del problema si ottiene integrando l’equazione diffe-renziale (3.2). Integrando una volta e ricordando che q è costante per ipotesi siottiene che:

dT

dx= − q

λx+ c1 (3.7)

Integrando una seconda volta:

T = − q

2λx2 + c1x+ c2 (3.8)

Nelle precedenti c1 e c2 rappresentano le costanti di integrazione che debbonodeterminarsi dalle condizioni al contorno poste dal particolare problema trat-tato. Alcuni esempi relativi a lastre piane omogenee che più rispecchiano lesituazioni di interesse applicativo sono riportati nel seguito.

3.2.1 Lastra piana omogenea in assenza di generazioneinterna di calore e superfici a temperatura assegnata

E’ il caso già risolto in precedenza con diverso approccio (Fig.3.2).

Figura 3.2: Schema di una lastra piana omogenea con condizioni al contornodel primo tipo.

Sono note le temperature sulle due facce limiti (x = 0 e x = s):

T (x = 0) = T0; T (x = s) = Ts

La (3.8), in conseguenza delle condizioni precedenti e della q = 0, forniscono:

T0 = c2; Ts = c1s+ T0

da cui:

c1 =Ts − T0

s


e in definitiva:

T =Ts − T0

sx+ T0 (3.9)

Il risultato precedente mostra che la temperatura presenta un andamento lineareindipendentemente dalle caratteristiche del materiale che costituisce la lastra.Una volta che è nota la funzione T = T (x), il flusso termico che attraversa

la generica superficie isoterma di area A disposta normalmente all’asse x è datodall’equazione di Fourier la quale, nel caso unidimensionale esaminato, si riducealla sola equazione scalare:

Qk = −λAdT

dx=

λA

s(T0 − Ts) =

∆T

Rk(3.10)

dove si è indicato con Rk =sλA la resistenza termica della lastra.

Osserviamo la stretta analogia tra la (3.10) e la legge di Ohm:

I =∆U

Re

secondo la quale la lastra piana può essere assimilata ad un circuito elettricoresistivo: sotto l’effetto della differenza di potenziale ∆U (differenza di tempe-ratura ∆T ), la resistenza elettrica Re (resistenza termica Rk) è attraversata dauna corrente di intensità I (flusso termico Qk).

Esempio 3.1 Calcolare il flusso termico (W) che attraversa una lastra di areaA = 12 m2 realizzata con un pannello di gesso di spessore s = 2 cm le cuisuperfici sono mantenute alla temperatura di 35 e 10 ◦C rispettivamente.

Soluzione Dai dati presenti in Appendice B si ricava che per il gesso in lastreλ = 0.17 W

mK . Applicando la (3.10) si ottiene il flusso termico richiesto:

Qk =0.17 · 120.02

(35− 10) = 2550 W = 2.55 kW

3.2.2 Lastra piana omogenea posta tra due fluidi a diver-sa temperatura in assenza di generazione interna dicalore

Sono assegnate le temperature dei due fluidi, che indichiamo con Tf1 e Tf2, ele conduttanze convettive (o adduttive) unitarie che poniamo pari a h1 e h2(Fig.3.3). Il flusso termico entrante in corrispondenza della faccia x = 0 è datodalla:

Qc1 = h1A (Tf1 − T0) (3.11)

mentre quello uscente in corrispondenza della faccia x = s vale:

Qc2 = h2A (Ts − Tf2)

Valgono all’interno della lastra i risultati determinati in precedenza. La tem-peratura ha l’andamento lineare espresso dalla (3.9) ed il flusso termico è datodalla (3.10) che riportiamo:

Qk =λA

s(T0 − Ts)


Figura 3.3: Lastra piana omogenea con condizioni al contorno del terzo tipo

nelle quali, questa volta, le temperature delle superfici sono incognite.Dalle tre equazioni precedenti ricaviamo le differenze di temperatura:

Tf1 − T0 =Qc1

h1A(3.12a)

T0 − Ts =Qk

λAs

(3.12b)

Ts − Tf2 =Qc2

h2A(3.12c)

le quali, considerato che per la stazionarietà deve essere Qc1 = Qc2 = Qk = Q,possono essere sommate membro come riportato di seguito:

Tf1 − Tf2 = Q

µ1

h1A+

s

λA+

1

h2A

¶= Q (ΣR)

in cui ΣR rappresenta la somma di tre resistenze poste in serie che il caloreincontra lungo il suo cammino e che sono costituite nell’ordine da: a) unaresistenza convettiva 1

h1A; b) una resistenza conduttiva s

λA ; c) una secondaresistenza convettiva 1

h2A. Per l’analogia elettrica il sistema è schematizzabile

come riportato in Fig.3.3. Il flusso termico scambiato tra i due fluidi è pari a:

Qk =Tf1 − Tf2³

1h1A

+ sλA +

1h2A

´ = KA (Tf1 − Tf2) (3.13)

in cui la grandezza:

K =1

1h1+ s

λ +1h2

Wm2K

(3.14)

è detta trasmittanza termica o coefficiente globale di trasmissione della lastraconsiderata.


Esempio 3.2 Determinare la distribuzione della temperatura ed il flusso ter-mico (W) nella lastra dell’esempio 3.1 qualora essa separi due fluidi mantenutialla temperatura Tf1 = 40

◦C e Tf2 = 5◦C rispettivamente. Si assuma h1 = 18W

m2K e h2 = 8 Wm2K .

Soluzione Applicando la (3.13) si calcola per prima cosa la trasmittanza K:

K =1

118 +

0.020.17 +

18

=1

0.298= 3.35

Wm2K

e successivamente il flusso termico:

Qk = KA (Tf1 − Tf2) = 3.35 · 12 · (40− 5) = 1408 W ' 1.41 kW

Come mostra la Fig.3.3, l’andamento della temperatura all’interno della lastraè lineare tra T0 e Ts i cui valori possono essere calcolati applicando le (3.12a,3.12c). Si ricava:

T0 = Tf1 −Qk

h1A= 40− 1408

18 · 12 ' 33.5◦C

Ts = Tf2 +Qk

h2A= 5 +

1408

8 · 12 ' 19.7◦C

Attraverso la lastra, quindi, si ha una caduta di temperatura di 33.5−19.7 = 13.8◦C che rappresenta poco meno della metà della totale differenza di temperatura(35◦C).

Esempio 3.3 Confrontare i risultati appena ottenuti con quelli che si otterreb-bero qualora la lastra fosse costituita da materiale metallico (λ = 50 W

mK ).

Soluzione La trasmittanza termica vale:

K =1

118 +

0.0250 +

18

' 1118 +

18

=1

0.181= 5.53

Wm2K

ed il flusso termico: Qk = 5.53 · 12 · 35 = 2323 W. Per le temperature T0 e Tssi ottiene:

T0 = Tf1 −Qk

h1A= 40− 2323

18 · 12 ' 29.2◦C

Ts = Tf2 +Qk

h2A= 5 +

2323

8 · 12 ' 29.2◦C

I risultati mostrano che la temperatura all’interno della lastra è praticamentecostante. Ciò è dovuto al fatto che la resistenza conduttiva è trascurabile rispettoa quelle convettive.


T ... ...

...TR R R

T

T

T

T0

0

1 2 n

0

n

n

n

Figura 3.4: Lastra piana composita con condizioni al contorno del primo tipo

3.2.3 Lastra piana composita in assenza di generazioneinterna di calore

Consideriamo ora il caso di una lastra piana composita intendendo con ciò nlastre piane a perfetto contatto fisico l’una con l’altra (vedi Fig.3.4). Se il regimeè stazionario, un sistema così fatto può essere visto come una serie di resistenzeconduttive per la quale valgono le:

T0 − T1 =Qk

λ1As1

= QkR1

T1 − T2 =Qk

λ2As2

= QkR2 (3.15)

...

Tn−1 − Tn =Qk

λnAsn

= QkRn

con Ri =siλiA

(i = 1, 2, . . . , n) la resistenza della singola lastra. Le (3.15),sommate membro a membro, forniscono:

T0 − Tn = Qk

Xi

Ri

ovvero:

Qk =T0 − TnReq

in cui T0 e Tn rappresentano le temperature delle due superfici isoterme chelimitano la lastra composita e Req =

PiRi la resistenza equivalente della serie.

Se le predette temperature sono note (condizioni al contorno del 1◦ tipo)allora dall’equazione precedente si ricava il flusso termico mentre dalle (3.15)


le temperature alle interfacce tra strati contigui. Come mostrato in Fig.3.4,dalla conoscenza di quest’ultime è possibile tracciare il campo termico il qualeè costituito da una successione di segmenti, uno per ciascuna lastra, dispostotra le temperature estreme della lastra stessa. Segmenti successivi presenta-no, in genere, pendenze (∆Ti∆x ) diverse le quali sono inversamente proporzionalialla conducibilità termica dello strato come indicato dall’equazione di Fourieressendo costante il flusso termico.Se la lastra composita è posta tra due fluidi a temperature costanti ed uni-

formi, è semplice verificare che la soluzione si ricava impiegando ancora la (3.13)ottenuta per la lastra piana omogenea purché la trasmittanza K venga calcolatamediante la:

K =1

1h1+P

isiλi+ 1

h2

Wm2K

(3.16)

Esempio 3.4 La parete esterna di un edificio è formata da due strati di mattoniin laterizio, il primo di spessore s = 16 cm ed il secondo di spessore s = 8 cm,con interposta una lastra di lana di vetro dello spessore di 3.0 cm. La superficieesterna e quella interna sono rivestite con uno strato di intonaco dello spessoredi 2.0 cm. Si vuole determinare il flusso termico che attraversa l’unità di areadella parete se la temperatura dell’aria esterna ed interna valgono Tae = −5◦Ce Tai = 20◦C. Si assuma, inoltre, che he = 18 W

m2K e hi = 8 Wm2K .

Soluzione Dalla Tabella in Appendice B si ricavano i seguenti dati:

mattoni in laterizio λ = 0.72 WmK

lana di vetro λ = 0.046 WmK

intonaco λ = 0.17 WmK

La trasmittanza della parete si ricava applicando la (3.16):

K =1

118 +

0.020.17 +

0.160.72 +

0.030.046 +

0.080.72 +

0.020.17 +

18

=1

1. 40= 0.71

Wm2K

Il flusso termico si ottiene dalla (3.13):

qk =Qk

A= K (Tai − Tae) = 0.71 · 25 ' 17.8

Wm2

3.2.4 Lastra piana esposta da un lato ad un flusso costanteed uniforme q mentre l’altra faccia è lambita da unfluido alla temperatura Tf

Per la stazionarietà il flusso termico q(x) è costante per cui(vedi Fig.3.5):

q(x) = qx=s = hc (Ts − Tf ) = q

da cui:Ts = Tf +

q

hc(3.17)

Per l’equazione di Fourier si può scrivere anche:

q(x) = q = −λdTdx


Figura 3.5: Lastra piana con condizioni al contorno del secondo e terzo tipo

La precedente, integrata, fornisce:

T = − q

λx+ c1

che per x = s diventa:

Tx=s = Ts = −q

λs+ c1

ed uguagliando alla (3.17) si ottiene c1:

c1 = Tf +q

hc+

q

λs

da cui la T = T (x):

T =qs

λ

³1− x

s

´+

q

hc+ Tf (3.18)

Con maggiore rapidità, forse, si poteva anche procedere sfruttando l’analo-gia elettrica. Infatti, tenuto conto che in assenza di generazione interna latemperatura ha andamento lineare con x, è semplice verificare che vale la:

T = T0 +Ts − T0

sx (3.19)

nella quale le temperature incognite T0 e Ts identificano le temperature delleisoterme Tx=0 e Tx=s rispettivamente. Per l’analogia elettrica, inoltre, si puòscrivere:

T0 − Ts = q ·Rk = qs

λ(3.20)

Ts − Tf = q ·Rc = q1

hc

Dalle precedenti si ricava, sommandole membro a membro, la temperatura T0:

T0 = Tf + q

µs

λ+1

hc

¶(3.21)


Sostituendo nella (3.19) le (3.20,3.21) si ricava immediatamente:

T = qs

λ

³1− x

s

´+

q

hc+ Tf

Esempio 3.5 Tra due lastre molto estese di porcellana (λ = 0.90 WmK ) ciascuna

di spessore s = 3 cm è interposta una resistenza elettrica piana molto sottile laquale dissipa una potenza pari a 800 W/m2. La lastra composita così costituitaè lambita su entrambe le superfici da aria alla temperatura 25◦C. Se si assumeche h = 10 W

m2K si vuole conoscere quale è la temperatura massima a cui siporta la porcellana. Discutere, inoltre, come il risultato viene influenzato dalcoefficiente di convezione h.

Soluzione Una volta raggiunto il regime stazionario, la potenza termica ge-nerata per unità di superficie si trasferisce nell’aria attraverso le due lastre diporcellana. A causa della simmetria strutturale che delle condizioni al contorno,tuttavia, il problema può essere risolto considerando una sola delle due lastre;essa presenta su una faccia un flusso imposto pari alla metà di quello dissipatodalla resistenza ( q = 400 W/m2) mentre l’altra è esposta all’aria alla tempera-tura di 25 ◦C . Se si assume per questa lastra lo schema di Fig.3.5, la temperaturacercata si può ricavare applicando la (3.18) per x = 0. Si ottiene:

Tmax = q

µs

λ+1

hc

¶+ Tf = 400

µ0.03

0.9+1

10

¶+ 25 = 78.3 ◦C

Valori nettamente più elevati si presentano al diminuire del coefficiente di con-vezione in quanto in queste circostanze aumenta la difficoltà a smaltire il caloregenerato. La difficoltà a smaltire il calore generato (e con essa Tmax) aumentaall’aumentare della resistenza termica conduttiva s

λ .

3.2.5 Lastra piana con generazione interna di calore

Consideriamo la lastra in Fig.3.6. Per essa vale la (3.8):

T = − q

2λx2 + c1x+ c2

dalla quale si ricava il flusso termico q = q(x) secondo la:

q = −λdTdx

= qx− c1λ (3.22)

Valgono, inoltre, le due condizioni al contorno seguenti:

qx=0 = 0 (3.23)

−λ dT

dx

¯x=s

= hc (Ts − Tf ) (3.24)

in cui si è posto Ts = Tx=s. La (3.22) per la (3.23) fornisce immediatamenteche c1 = 0 da cui discende l’espressione del flusso termico:

q = qx


s f f

x

T T

T(x)q.

Figura 3.6: Lastra piana con generazione interna di calore

che risulta lineare con x.Se si combina ancora la (3.22) con la (3.24) si ricava la temperatura super-

ficiale Ts:Ts = Tf + q

s

hc

La medesima temperatura può essere determinata anche impiegando la (3.8)che per x = s fornisce:

Ts = −q

2λs2 + c2

essendo c1 = 0. Uguagliando si ottiene il valore di c2:

c2 =q

2λs2 + q

s

hc+ Tf

il quale consente, sostituito nella (3.8), di ricavare la distribuzione della tempe-ratura:

T =qs2

2λ

µ1− x2

s2

¶+ q

s

hc+ Tf

Esso, come mostra la Fig.3.6, presenta il suo valore massimo (tangente orizzon-tale) per x = 0:

Tx=0 =qs2

2λ+ q

s

hc+ Tf (3.25)

mentre diminuisce all’aumentare di x. Per x = s si ottiene:

Tx=s = qs

hc+ Tf (3.26)

Esempio 3.6 Un muro è stato rivestito di fresco con intonaco (λ = 0.80 WmK )

spesso 1.5 cm. La reazione esoterma di presa genera una potenza termica per


unità di volume pari a 51.7 kW/m3. Si vuole determinare la temperatura mas-sima dell’intonaco una volta raggiunte le condizioni di regime stazionario nel-l’ipotesi che la temperatura dell’aria sia 5◦C ed il coefficiente di convezione hcsia 25 W

m2K .

Soluzione Se si assume che la superficie dell’intonaco a ridosso del muro pos-sa essere considerata adiabatica (in genere la resistenza termica offerta dal muroè molto più grande rispetto alla somma di quella dello strato di intonaco e quel-la convettiva) la temperatura massioma cercata può essere calcolata mediante la(3.25). Si ottiene:

TM =51.7× 103

¡1.5× 10−2

¢22 · 0.8 + 51.7× 103 1.5× 10

−2

25+ 5 ' 43.3 ◦C

La superficie esposta all’aria, al contrario, assume il valore minimo che è fornitodalla (3.26). Si ha:

Tm = 51.7× 1031.5× 10−2

25+ 5 ' 36.0 ◦C

3.2.6 Strutture composite complesse. Reti elettriche serie- parallelo

Figura 3.7: Rete di due resistenze termiche in parallelo.

L’analogia elettrica può essere utilizzata nella soluzione di problemi termiciche sono riconducibili a reti elettriche complesse che prevedono resistenze sia inserie che in parallelo.Si consideri, ad esempio, il sistema schematizzato in Fig.3.7. Il flusso termico

conduttivo Qk che si trasferisce dalla superficie a temperatura T1 a quella atemperatura T2 è dato dalla:

Qk =T1 − T2R1

+T1 − T2R2

= (T1 − T2)

µ1

R1+1

R2

¶con R1 =

Lλ1A1

e R2 = Lλ2A2

. L’equazione precedente può anche essere riarran-giata nella forma solita come:

Qk =T1 − T2Req


dove Req, questa volta, vale:

1

Req=

1

R1+1

R2

Il circuito elettrico equivalente, costituito evidentemente da due resistenze postein parallelo, è mostrato nella medesima Fig.3.7.

Figura 3.8: Rete elettrica equivalente di resistenze termiche poste in serie eparallelo.

Più complicato è il caso riportato in Fig.3.8. In questa circostanza, come èsemplice verificare, è possibile ricavare più di uno schema elettrico equivelente.Nonostante la non univocità della soluzione i risultati, tuttavia, sono del tuttoparagonabili e utili ai fini pratici.E’ evidente che questi risultati sono approssimati con un grado di appros-

simazione, tuttavia, che dipende da quanto l’ipotesi di monodimensionalità sidiscosta dalla realtà.

Esempio 3.7 Usando l’analogia elettrica, determinare la potenza termica cheattraversa in regime parmanente la struttura composita mostrata in Fig.3.9. Siassumano i dati riportati nel seguito.

λA = 150WmK λB = 30

WmK λC = 50

WmK λD = 70

WmK

AA = AC = 0.1 m2 AB = AD = AA/2 TA = 370◦C TB = 70

◦CsA = 0.04 m sBD = 0.10 m sC = 0.05 m −−−−

Soluzione Poiché le superfici superiore ed inferiore sono adiabatiche e quellelimiti sono isoterme, lo scambio termico può essere assunto monodimensionalepurché la conducibilità termica dei domini B e D non siano troppo diverse.


Figura 3.9: Esempio di resistenze serie-parallelo.

L’ipotesi di monodimensionalità presuppone che la superficie che separa ildominio A dai domini B e D e la superficie che separa B e D da C siano entram-be isoterme alla temperatuta TA,BD e TC,BD. Lo schema elettrico equivalentedel sistema studiato è mostrato nella parte destra di Fig.3.9 il quale presentaresistenze poste in serie-parallelo.Il sistema può tuttavia essere ricondotto ad una serie di resistenze tenendo

conto che i flussi termici QB e QD valgono:

QB =TA,BD − TC,BD

RB; QD =

TA,BD − TC,BDRD

con RB =sB

λBABe RD =

sDλDAD

. Poiché vale ovviamente la QB+QD = Q dalleprecedenti si ricava che il flusso Q cercato vale:

Q = (TA,BD − TC,BD)

µ1

RB+

1

RD

¶=

TA,BD − TC,BDRBD

con RBD = RBRDRB+RD

la resistenza termica equivalente di RB e RD. Con que-st’ultima posizione il sistema può essere visto come tre resistenze in serie erisolto nel modo solito. Infatti il risultato precedente può essere scritto come:

Q RBD = TA,BD − TC,BD

a cui si associano le:

Q RA = TA − TA,BD

Q RC = TC,BD − TC

con RA =sA

λAAAe RC =

sCλCAC

. Sommando membro a membro si ottiene infineche:

Q (RA +RBD +RC) = TA − TC

ovvero:

Q =TA − TC

RA +RBD +RC

Sostituendo i dati si rivava che RA ' 2.67 × 10−2 KW , RC = 0.1

KW e RBD =

0.02 KW . Il flusso termico cercato vale quindi

Q =300

0.147' 2045W


ovvero circa 2 kW.

3.3 Campi termici stazionari a simmetria assialeConsideriamo un cilindro cavo di sezione circolare e di lunghezza L. Sono ried re i raggi della superficie cilindrica interna Si ed esterna Se le quali sonoisoterme alla temperatura Tri e Tre rispettivamente.Ci si pone il problema di determinare la distribuzione della temperatura nel-

la parete cilindrica di spessore s = re − ri ed il flusso termico che l’attraversain condizioni di regime permanente nell’ipotesi che L À re. In tali condizioni,ragioni di simmetria suggeriscono che, fatte salve due limitate regioni in corri-spondenza delle estremità del tubo che possono essere trascurate, una qualunquesuperficie cilindrica di raggio ri < r < re sia essa stessa isoterma con il risultatoche T = T (r). In questi casi è utile riferirsi all’unità di lunghezza del cilindro ead un sistema di coordinate cilindriche.Si è visto che l’equazione differenziale che governa il fenomeno conduttivo

monodimensionale in regime stazionario per coordinate cilindriche è dato, perλ indipendente da T , dalla:

1

r

d

dr

µrdT

dr

¶+

q

λ= 0

Inoltre, l’equazione di Fourier si esprime come:

q(r) = −λdTdr

(3.28)

Se, in analogia a quanto svolto in precedenza, si ipotizza che sia q = cost, allorasi ha:

d

dr

µrdT

dr

¶= − q

λr

In queste ipotesi, la funzione cercata T = T (r) si ricava facilmente. Infatti,integrando una prima volta si ottiene:

rdT

dr= − q

2λr2 + c1

o anche:dT

dr= − q

2λr +

c1r

(3.29)

Integrando una seconda volta si ricava:

T = − q

4λr2 + c1 ln r + c2 (3.30)

Il flusso termico specifico q(r) si ottiene dalla (3.28) tenendo conto della (3.29):

q(r) =q

2r − c1

λ

r(3.31)

mentre quello che attraversa l’isoterma generica di raggio r e area 2πr · 1 vale:

Q(r) = qπr2 − 2πλc1 (3.32)


Le due costanti di integrazione possono essere determinate abbastanza agevol-mente nel caso di una struttura cilindrica cava dalla conoscenza delle condizionial contorno imposte sulle superfici Si ed Se dal particolare problema trattatosecondo modalità del tutto analoghe a quelle viste per la lastra piana.Qualche considerazione in più richiede il caso in cui ri = 0 (cilindro pie-

no). In questa ipotesi, infatti, la condizione al contorno imposta sulla superficieisoterma esterna Se non è sufficiente alla totale definizione della soluzione delproblema. Ciò nonostante, il rispetto della simmetria assiale da parte della fun-zione T = T (r) ci assicura che essa, in corrispondenza dell’asse, deve presentareun massimo o un minimo. Ciò si esprime matematicamente ponendo che:

dT

dr

¯r=0

= 0

la quale equivale ad affermare, anche, che il flusso termico in corrispondenza del-l’asse deve essere nullo. L’equazione precedente costituisce l’ulteriore condizionecercata.

3.3.1 Cilindro pieno di raggio r = re in cui sia q = cost; èassegnata la temperatura Tr=re = Tre

Figura 3.10: Campo termico in un cilindro pieno

Con riferimento alla Fig.3.10, consideriamo immediatamente la (3.29). Per-ché per r = 0 sia dT

dr = 0 è necessario che c1 = 0. Ciò premesso consideriamo la(3.30) che fornisce:

Tre = −q

4λr2e + c2 da cui c2 = Tre +

q

4λr2e

La funzione T = T (r) diventa:

T = Tre +qr2e4λ

"1−

µr

re

¶2#


Il flusso termico Q(r) si ricava dalla (3.32) ed è pari a:

Q(r) = qπr2

Alla stessa soluzione si poteva giungere considerando che il calore generato nel-l’unità di tempo all’interno del cilindro di lunghezza unitaria e raggio generico r(V = πr2 · 1) deve attraversare nello stesso intervallo di tempo, per la suppostastazionarietà del fenomeno, la superficie limite di raggio r e di area A = 2πr · 1.Ne deriva che:

Q(r) = qπr2 e q(r) =qπr2

2πr= q

r

2

Dalla (3.28) e dalla seconda delle precedenti si ricava che:

qr

2= −λdT

dro anche

dT

dr= − qr

2λ

che integrata fornisce:

T = − qr2

4λ+ c1

La costante di integrazione si ricava dalla condizione al contorno:

c1 = Tre +qr2e4λ

e in definitiva:

T = Tre +qr2e4λ

"1−

µr

re

¶2#che coincide con i risultati ottenuti per altra via.

3.3.2 Cilindro cavo con temperatura imposta sulla super-ficie interna ed esterna e q = 0

Indichiamo rispettivamente con ri ed re il raggio interno ed esterno del cilindrocavo di Fig.3.11 e con Tri ed Tre le temperature assegnate delle due superfici.Supponendo la conducibilità termica costante e q = 0, il campo termico siottiene dalla (3.30):

T = c1 ln r + c2

e il flusso termico dalla (3.32):

Q(r) = −2πλc1

Le costanti c1 e c2 si ricavano dalle condizioni al contorno:

Tr=ri = Tri ; Tr=re = Tre

Infatti si ha:Tre = c1 ln re + c2 ; Tri = c1 ln ri + c2 (3.33)

da cui sottraendo membro a membro si ricava:

Tre − Tri = c1 lnreri

e c1 =Tre − Triln re

ri


Figura 3.11: Campo termico in un cilindro cavo

che sostituita, ad esempio, nella seconda delle (3.33) consente di ricavare:

c2 = Tri − c1 ln ri da cui c2 = Tri −Tre − Triln re

ri

ln ri

Si ha quindi che:T − TriTre − Tri

=ln r

ri

ln reri

e:

Q(r) = 2πλTri − Treln re

ri

= cost (3.34)

Notiamo che, al contrario di quanto accade per la lastra piana, nella lastracilindrica solo Q è costante per la stazionarietà, mentre il flusso specifico q(r)dipende da r come è semplice verficare.La linearità della (3.34) consente di scrivere:

Q =Tri − Tre

Rk

con:

Rk =ln re

ri

2πλ

la resistenza termica della parete cilindrica. La relazione precedente equivalealla:

Rk = ln2πre · 12πri · 1

(re − ri)

2π (re − ri)λ · 1Se poniamo allora:

Ae = 2πre · 1 Area della superficie cilindrica esternaAi = 2πri · 1 Area della superficie cilindrica internas = re − ri Spessore della parete cilindrica


si ottiene per Rk l’espressione seguente:

Rk = lnAe

Ai

s

(Ae −Ai)λ=

s

λAm

in cui si è posto:

Am =Ae −Ai

ln AeAi

la media logaritmica delle aree delle superfici interna ed esterna. Con taleposizione il flusso termico diventa:

Q =λAm

s(Tri − Tre)

che è formalmente analoga alla (3.10) ottenuta per la lastra piana. Se re/ri =Ae/Ai < 2, alla alla media logaritmica Am è possibile sostituire la media arit-metica AM che risulta di più semplice determinazione; infatti come mostrachiaramente la Fig.3.12 l’errore che si commette (< 4%) è del tutto accettabileper le usuali applicazioni dell’ingegneria.

1 2 3 41.5 2.5 3.5

/ri

re

0

4

8

12

2

6

10

14

|A

m-A

M|

A m10

0

1 2 3 41.5 2.5 3.5

0

4

8

12

2

6

10

14

Figura 3.12: Scostamento percentuale tra l’area media logaritmica Am e l’areamedia aritmetica AM in funzione del rapporto re/ri.

3.3.3 Parete cilindrica posta tra due fluidi a diversa tem-peratura e q = 0

La stazionarietà del processo ci consente di scrivere le tre equazioni seguenticiascuna delle quali esprime il flusso termico (costante) Q che attraversa tre


resistenze termiche poste in serie:

Q = 2πrehe (Tfe − Tre)

Q =2πλ

ln reri

(Tre − Tri)

Q = 2πrihi (Tri − Tfi)

Nelle precedenti si è indicato con Tfe, Tfi, Tre e Tri le temperature dei fluidie della superficie cilindrica esterna e interna rispettivamente. Dalle medesimeequazioni si ricava:

Tfe − Tre = Q1

2πrehe

Tre − Tri = Qln re

ri

2πλ

Tri − Tfi = Q1

2πrihi

che sommate membro a membro forniscono:

Tfe − Tfi = Q

µ1

2πrehe+ln re

ri

2πλ+

1

2πrihi

¶ovvero:

Q =Tfe − Tfi

12πrehe

+ln re

ri

2πλ +1

2πrihi

=Tfe − Tfi

Re +Rk +Ri

avendo indicato con:

Re =1

2πrehe; Rk =

ln reri

2πλ; Ri =

1

2πrihi

la resistenza convettiva esterna, quella conduttiva della parete cilindrica e quellaconduttiva interna.

Esempio 3.8 Un cilindro cavo di raggio interno r = ri ed esterno r = re è sog-getto sulla superficie interna ad un flusso termico specifico costante q (W/m2)mentre la superficie esterna è lambita da un fluido a temperatura Tf costan-te. La conducibilità termica è supposta indipendente da T . Dimostrare che latemperatura interna Tsi e esterna Tse sono date dalle:

Tri = Tf + qri

µ1

λln

reri+

1

rehe

¶Tre = Tf + qri

1

rehe

3.3.4 Parete cilindrica composita in assenza di generazio-ne interna di calore

Consideriamo la lastra cilindrica composita di Fig.3.13 nella quale sono assegna-te le temperature delle superfici cilindriche interna T (r = r0) = T0 ed esterna


r

3

1

32

TT

TT

01

2

3

r

r

r

0T

Figura 3.13: Schema di un cilindro cavo composito

T (r = r3) = T3. In analogia a quanto già visto per la lastra piana composita,se il regime è stazionario valgono le:

T0 − T1 =Qk

2πλ1ln r1

r0

T1 − T2 =Qk

2πλ2ln

r2r1

(3.35)

T2 − T3 =Qk

2πλ3ln

r3r2

nella quale con T1 e T2 si sono indicati i valori costanti della temperatura in cor-rispondenza delle superfici isoterme r = r1 e r = r2 rispettivamente. Sommandomembro a membro si ottiene:

T0 − T3 =QkP

i2πλiln

riri−1

i = 1, 2, 3

da cui si ricava il flusso termico Qk che attraversa la struttura composita:

T0 − T3 = QkReq

avendo posto Req =P

i

lnri

ri−12πλi

=P

iRi la resistenza equivalente della serie.Una volta che è dato Qk è possibile ricavare le temperature T1 e T2 ed, infi-ne, tracciare il campo termico ricordando che è logaritmico l’andamento dellatemperatura in ciascuna lastra omogenea. In corrispondenza delle interfacce, laT (r) presenta pendenze diverse; ciò, al solito, è dovuto alla costanza del flussoe alla differenza di conducibilità degli strati.Se la lastra composita è posta tra due fluidi a temperature costanti ed unifor-

mi, la soluzione si ricava impiegando i risultati della lastra cilindrica omogeneavista al punto 3.3.2 sostituendo alla relativa resistenza quella equivalente dellalastra composita.


3.3.5 Spessore critico dell’isolante

Consideriamo due situazioni entrambe illustrate in Fig.3.14.

h T

T

e a

a

r

r

r = r

i,t

e,t i,is

Figura 3.14: Struttura cilindrica (piena o cava) isolata

Nel primo caso un tubo metallico trasporta un fluido ad una temperaturaTf . Allo scopo di limitare lo scambio termico tra il fluido e l’aria ambiente atemperatura costante ed uniforme Ta, esso è ricoperto di uno strato uniforme dimateriale isolante. Il flusso termico scambiato tra il fluido e l’aria è dato dalla:

Q =Ti − Ta

12πri,thi

+ 12πλt

lnre,tri,t

+ 12πλis

ln rri,is

+ 12πrhe

Ora, nel caso di fluido in moto turbolento all’interno di tubi si ha un valore dihi dell’ordine di 103÷104 W

m2K . Inoltre, l’elevata conducibilità termica internadel metallo (λt) unitamente al piccolo spessore (re,t− ri,t) della parete del tubooriginano una resistenza termica della parete medesima trascurabile. Ne deri-va che la differenza tra la temperatura del fluido e quella della parete internadell’isolante è trascurabile rispetto alla totale (Tf − Ta) e quindi è lecito ipotiz-zare che la temperatura Ti della superficie interna dello strato di isolante possaconfondersi con quella del fluido ovvero:

Ti ∼ Tf

In tal modo il flusso termico disperso per unità di lunghezza del tubo si esprimemediante la:

Q =Ti − TaRt

=Ti − Ta

12πrhe

+ 12πλis

ln rri,is

(3.36)

Nel secondo caso un conduttore elettrico è percorso da corrente e dissipa ca-lore per effetto Joule. Il conduttore è ricoperto, per ragioni di sicurezza, dauno strato uniforme di isolante elettrico ed è esposto all’aria che, come nel casoprecedente, si trova ad una temperatura uniforme e costante Ta. Raggiunte lecondizioni stazionarie si stabilirà all’interno del conduttore un campo termicoche, a rigore, dipende da r ossia T = T (r). Ciò nonostante, l’elevata con-ducibilità termica interna del metallo (rame in genere) unitamente alle piccoledimensioni del conduttore, consente di trascurare i gradienti termici in direzioneradiale (dTdr ∼ 0) e di assumere praticamente uniforme e pari a Tc la temperaturadi equilibrio del conduttore. Ne deriva che ancora una volta si può porre:

Ti ∼ Tc


e il flusso termico dissipato per effetto Joule è ancora dato dalla (3.36).

0 2 4 61 3 5

r / ri

0

1

2

3

4

R t

0 2 4 61 3 5

0

1

2

3

4

0

Sis > 0

rc / ri >1

Tubo

o fi

lo n

udo

(Sis =

0)

Sis

Figura 3.15: Andamento delle resistenze totale, conduttiva e convettiva perrc > ri

Sia nell’uno che nell’altro caso, quindi, il flusso termico per un assegnato ∆Tè regolato dalla somma di due resistenze ognuna delle quali tuttavia presentauna diversa dipendenza dallo spessore dell’isolante (ovvero del raggio r esterno)come è chiaramente mostrato nelle Figure 3.15 e 3.16. Come si vede, in entrambii casi la Rt presenta un minimo (flusso massimo) in corrispondenza di un certovalore del raggio esterno detto raggio critico.Il valore del raggio critico si ricava dalla:

dRt

dr= − 1

2πr2he+

1

2πλisr= 0

che fornisce:

rc =λishe

Ora, se il tubo (o il filo) nudo presenta un raggio ri inferiore al raggio critico(rc/ri > 1) come in Fig.3.15, l’aggiunta di uno strato di isolante fa diminuirela resistenza totale (incrementa il flusso disperso) la quale raggiunge il valoreminimo (flusso disperso massimo) quando il raggio esterno dell’isolante diventauguale al valore critico (r = rc). L’ulteriore aumento dello spessore di isolantecomporta una costante diminuzione di q. Se, invece, il tubo (o il filo) nudo pre-senta un raggio superiore o uguale al raggio critico (rc/ri ≤ 1) come in Fig.3.16,l’aggiunta di isolante comporta sempre una diminuzione del flusso scambiatoL’ordine di grandezza di rc si ricava dalla conoscenza dell’ordine di grandezza


0 1 2 3 40.5 1.5 2.5 3.5

r / ri

0

1

2

3

4

5

R t

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 40.5 1.5 2.5 3.5

0

Sis > 0

rc / ri <1

Tubo

o fi

lo n

udo

(Sis =

0)

Sis

Figura 3.16: Andamento delle resistenze totale, conduttiva e convettiva perrc < ri

di λis e he. Nelle normali applicazioni si può porre:

O(λis) = 10−1WmK

(isolante)

O(he) = 10Wm2K

(aria ferma)

per cui è:

O(rc) =O(λis)

O(he)=10−1

10= 10−2 m

Da questi risultati si può dedurre che mentre per una tubazione (per la qualel’ordine di grandezza del raggio è certamente superiore al centimetro) l’aggiuntadi isolante comporta sempre una diminuzione del flusso termico, nel caso di unconduttore elettrico (per il quale l’ordine di grandezza del raggio è in generenettamente inferiore al centimetro) l’aggiunta dell’isolante per pure ragioni disicurezza può comportare (purché r < rc) un aumento del calore disperso equindi un aumento dell’intensità della corrente massima ammissibile.

3.4 Campi termici stazionari a simmetria sfericaConsideriamo una struttura sferica (piena o cava). Se le condizioni al contornosono uniformi il campo termico presenta simmetria sferica e la temperatura Tdipende da una sola coordinata spaziale. In questi casi è utile riferirsi ad un


sistema di coordinate sferiche per cui l’equazione differenziale da considerare è:

1

r2d

dr

µr2dT

dr

¶+

q

λ= 0 (3.37)

e l’equazione di Fourier si scrive:

Q(r) = −4λπr2 dTdr

(3.38)

La 3.37, nell’ipotesi che q = Cost, integrata una volta fornisce:

r2dT

dr= − qr

3

3λ+ c1 da cui

dT

dr= − qr

3λ+

c1r2

(3.39)

Integrando una seconda volta si ottiene:

T = − qr2

6λ− c1

r+ c2 (3.40)

Poichè sono due le costanti di integrazione debbono essere due le condizioni alcontorno. In analogia a quanto fatto per le geometrie cilindriche, anche ora sidovrà distinguere tra il caso di sfera piena e quello della sfera cava. Per la sferapiena, infatti, non è possibile scrivere le due richieste condizioni al contorno ma,in compenso, si potrà porre (per la simmetria) che:

dT

dr

¯r=0

= 0 (3.41)

3.4.1 Sfera piena di raggio r = re in cui sia q = cost; èassegnata la temperatura Tr=re = Tre

Dalla (3.41) e dalla seconda delle (3.39) si ricava che c1 = 0. Con tali premessela (3.40) unitamente all’unica condizione al contorno consente di determinareche:

Tre = −qr2e6λ

+ c2 da cui c2 = Tre +qr2e6λ

e quindi:

T = Tre +qr2e6λ

"1−

µr

re

¶2#dove si evidenzia che il campo termico in una sfera piena ha andamento parabo-lico con r. Il flusso termico Q(r) si determina mediante l’equazione precedentericordando la (3.38):

Q(r) =4πqr3

3

Tale ultimo risultato era atteso tenuto conto che il flusso termico Q(r) chenell’unità di tempo attraversa la generica superficie sferica di raggio r uguagliala potenza 4

3πr3q generata all’interno della medesima sfera.

Tale ultima considerazione, unitamente alla (3.38), consente di raggiungerela soluzione più rapidamente. Infatti si può porre:


=4πqr3

3


e quindi:dT

dr= − qr

3λ

che integrata fornisce il campo termico cercato:

T = − qr2

6λ+ c1

L’unica costante di integrazione si ricava dalla condizione al contorno ottenendoil risultato ricavato in precedenza.

3.4.2 Sfera cava con raggio interno pari a r = ri ed esternopari a r = re conducibilità costante in assenza ditermini di sorgente

Sono assegnate le temperature sulle due facce Tr=re = Tre e Tr=ri = Tri. Inqueste condizioni la (3.40) per q = 0 consente di ricavare che:

T = −c1r+ c2

Nelle medesime condizioni la seconda delle (3.39) ci fornisce:


= −4λπc1

Che è indipendente da r per la stazionarietà. Le due costanti di integrazione siricavano dalle due condizioni al contorno:

Tre = −c1re+ c2

Tri = −c1ri+ c2

Sottraendo membro a membro le precedenti si ricava:

Tre − Tri = c1

µ1

ri− 1

re

¶da cui c1 =

Tre − Trire − ri

reri

mentre dalla seconda:

c2 = Tri +c1ri= Tri +

Tre − Trire − ri

re

In definitiva si ha:T − TriTre − Tri

=rire

re − ri

µ1

ri− 1

r

¶la quale mostra che l’andamento della temperatura all’interno di una parete sfe-rica segue l’andamento di un ramo di iperbole. Il flusso termico Q(r) attraversola generica superficie sferica di raggio r è:

Q(r) = 4πλrire

(re − ri)(Tri − Tre)

ovvero:

Q(r) =(Tri − Tre)

Rsf


avendo posto:

Rsf =1

4πλ

(re − ri)

rire

la resistenza termica di una parete sferica di raggi ri ed re. La resistenzaconvettiva in corrispondenza di una superficie sferica di raggio r è:

Rc =1

4πr2h

in cui si è indicato con h la conduttanza convettiva unitaria.

3.5 Resistenza termica di contatto

Figura 3.17: Resistenza di contatto

Nei sistemi compositi fin qui esaminati è stata ritenuta valida l’ipotesi cheelementi strutturali adiacenti fossero a perfetto contatto fisico. Tale ipotesi,tuttavia, non è sempre valida nel senso che in corrispondenza dell’intefacciapuò verificarsi una caduta di temperatura non trascurabile (vedi Fig.3.17). Talecaduta di temperatura è dovuta alla presenza della cosiddetta resistenza di con-tatto. L’origine di tale resistenza può essere spiegata dall’esame della Fig.3.17 laquale riporta, ingrandita, la situazione in corrispondenza della superficie di con-tatto tra i due materiali. Poiché nessuna superficie reale è perfettamente liscia,il contatto diretto finora ipotizzato, avviene nella realtà solo in corrispondenzadi piccole areole (il cui numero ed estensione dipende dal grado di lavorazioneo dalla rugosità della superficie) mentre nei vuoti esistenti tra esse è presente ilfluido che circonda il corpo (ad esempio l’aria). Tenuto conto delle piccole di-mensioni di queste cavità, è trascurabile il contributo dei moti convettivi. Ancheil contributo dell’irraggiamento può ritenersi trascurabile a meno che la tempe-ratura dei corpi non raggiunga valori molto elevati. Ne deriva che, nella quasitotalità dei casi, la trasmissione del calore all’interfaccia avviene principalmente


Tabella 3.1: Conduttanza interfacciale per alcune superfici tipiche

Tipo di superficie Rugosità (µm) T (◦C) P (atm) 1/kc (m2KW )

Acciaio-vuoto-acciaio 0.25-0.38 25 0.6-75 10 - 330×10−5Allum.-vuoto-allum. 0.3 25 0.7-75 3 - 70×10−5Rame-vuoto-rame 0.2 45 0.7-75 7 - 15×10−5Acciaio-aria-suolo 2.5 90-200 3-25 26×10−5Alluminio-aria-suolo 2.5 150 12-25 9×10−5Rame-aria-suolo 1.3 20 12-200 0.7×10−5

per conduzione attraverso il fluido e solo marginalmente per conduzione attra-verso il solido. Una espressione della resistenza di contatto si può ricavare conriferimento alla Fig.3.17. Se si indica con Ac l’estensione complessiva dell’areadella superficie di contatto diretto e con Av l’area dei vuoti, il flusso termico Qscambiato tra il corpo a e il corpo b attraverso la superficie di contatto è datodalla:

Q =Ta − Tb

Ls2 λaAc

+ Ls2 λbAc

+Ta − Tb

LsλfAv

(3.42)

in cui con Ls si è indicato lo spessore dello spazio vuoto e con λa, λb, λf leconducibilità termiche del solido a, b e del fluido. Lo stesso flusso Q può essereespresso introducendo la resistenza di contatto:

Q =Ta − TbRc

=Ta − Tb

1kcA

con kc¡Wm2K

¢la conduttanza interfacciale e A l’area apparente della superficie

di contatto. Confrontando la (3.42) con l’equazione precedente si ricava che:

kc =1

Ls

µAc

A

2λaλbλa + λb

+AvλfA

¶da cui si può dedurre che la conduttanza interfacciale cresce al crescere dell’a-rea della superficie di contatto e al diminuire dello spessore dello spazio vuoto(ovvero al diminuire della rugosità della superficie). Oltre al grado di finitu-ra è necessario assicurare, ovviamente, che le due superfici siano perfettamentepiane. L’aumento del rapporto Ac

A si può ottenere aumentando la pressioneall’interfaccia. L’aumento di Ac

A , a parità di pressione, è più elevato per unmateriale soffice (alluminio) rispetto ad uno duro (acciaio).Più complicato è predire valori attendibili della conduttanza interfacciale1.

Allo stato attuale non esiste una teoria soddisfacente allo scopo, né uno stu-dio sperimentale sufficientemente esteso da rendere sufficientemente affidabilile correlazioni empiriche. Per le applicazioni, a meno che non esistano diverseindicazioni, si può fare ricorso ai pochi dati sperimentali disponibili quali quellidi Tab.3.1

1 Il principale problema del modello semplice qui descritto sta nella valutazione degli effettivivalori di Ls, Ac e Av .


a c

bFigura 3.18: Tipici sistemi interessati da scambi termici convettivi

3.6 Superfici alettateSi consideri il tubo di Fig. 3.18.a percorso da un liquido ad una temperaturauniforme e costante Tf . Il tubo è esposto esternamente ad un secondo fluido(esempio aria) alla temperatura uniforme e costante Ta. Si è visto che il flussotermico Q scambiato tra i due fluidi per unità di lunghezza del tubo è dato dalla:

Q =Tf − Ta

1Aihi

+s·ln Ae

Ai

(Ae−Ai)λ +1

Aehe

Tenuto conto che Ae ∼ Ai, che hi À he e del valore elevato di λ si può porre:

Q ' Tf − Ta1

Aehe

da cui si vede che lo scambio termico tra il fluido e l’aria è controllato dallaresistenza termica convettiva esterna.Se si ha interesse ad aumentare lo scambio termico (come accade, ad esem-

pio, nel caso della batteria di scambio termico presente nei ventilconvettori perla climatizzazione degli ambienti) l’unica possibilità è quella di aumentare ilprodotto Aehe. Poiché poco si può fare sul valore di he, lo scopo può essereottenuto solo incrementando Ae.Si consideri ora il componente elettronico schematicamente riportato in Fig.

3.18.b e il sistema cilindro-pistone di Fig. 3.18.c. In entrambi i casi si hal’esigenza di smaltire la potenza termica generata Q (per effetto Joule nel primocaso e per effetto della combustione nel secondo caso) verso un fluido che lilambisce ad una temperatura costante ed uniforme Ta. La temperatura Ts, chepotremo supporre uniforme2, a cui si porta il sistema una volta raggiunta la

2Nel primo caso a causa delle piccole dimensioni, nel secondo a causa dell’elevataconducibilità termica.


a

cb

Figura 3.19: Tipiche applicazioni di superfici alettate

condizione di regime termico stazionario è dato dalla:

Ts = Ta +Q

heAe

Come si vede, data la potenza termica da smaltire, la temperatura di equili-brio Ts è tanto più elevata quanto più è piccolo il prodotto heAe. Se si vuolemantenere entro limiti compatibili con il corretto funzionamento del sistema latemperatura Ts è necessario, quindi, aumentare il prodotto heAe. Ora, mentrenel secondo caso (cilindro pistone) è possibile agire sia sul valore di Ae e/o sulvalore di he (sostituendo ad un gas un liquido accettando una complicazione delsistema), nel secondo caso è possibile solo agire sul valore di Ae.L’aumento della superficie di scambio Ae si può ottenere apponendo a quella

originaria (detta superficie primaria) opportune appendici dette alette (Fig.3.19).In relazione all’applicazione ma anche in relazione alla forma della superficieprimaria si può ricorrere ad alette di differenti geometrie.Si parla di alette longitudinali (Fig.3.20,a) quando la relativa sezione retta

presenta una dimensione (la lunghezza l) prevalente rispetto all’altra (lo spessores). La dimensione dell’aletta misurata dalla superficie primaria nella direzionenormale ad essa è detta altezza dell’aletta. La legge di variazione dello spessoredell’aletta ne determina il profilo.La Fig.3.20,b mostra una spina. La spina è disposta sulla superficie primaria

allo stesso modo dell’aletta longitudinale dalla quale differisce per il fatto chela sua sezione retta presenta le due dimensioni paragonabili. Anche le spinepossono essere realizzate secondo diversi profili.Infine la Fig.3.20,c mostra le alette radiali le quali sono poste intorno ad

una superficie curva come un tubo o un componente cilindrico. In tali casi essehanno simmetria assiale e pertanto sono riferite per comodità ad un sistema diriferimento cilindrico.


a b cFigura 3.20: Comuni geometrie per le alette

xx

x = 0x = 0

x

L

AA

L

xdxdx

Figura 3.21: Nomenclatura per l’equazione dell’aletta


3.6.1 Equazione dell’aletta

Per determinare la potenza scambiata da una superficie alettata è necessarioper prima cosa determinare la distribuzione della temperatura nell’aletta. Siriterranno valide le ipotesi seguenti:

• regime termico stazionario;

• materiale omogeneo ed isotropo;

• assenza di sorgente termica (q = 0);

Le ridotte dimensioni della sezione retta dell’aletta unitamente all’elevataconducibilità termica interna del materiale (metallo) ci consente di ipotizzareuniforme la temperatura in corrispondenza della sezione generica e pertanto ipo-tizzare il campo termico dipendente da un’unica variabile spaziale (la x nel casodi Fig.3.21). Siamo quindi in presenza di un campo termico monodimensionale.Si consideri l’elemento di volume costituito dal concio di Fig.3.21 di lunghez-

za dx e superficie laterale Pdx avendo indicato con P il perimetro della sezioneretta dell’aletta in x.Ciò premesso, per il suddetto concio si può scrivere, in condizioni di regime

permanente e per un intervallo temporale qualsiasi, il bilancio seguente cheesprime il principio di conservazione dell’energia:

Energia entrante = Energia uscente

ovvero:(qxAx)x = (qxAx)x+dx + Ph (T − Tf ) dx

con h il fattore di adduzione. Ponendo al solito:

(qxAx)x+dx = (qxAx)x +d (qxAx)

dxdx

e sviluppando si ottiene:

d (qxAx)

dx+ hP (T − Tf ) = 0

Se si considerano, per brevità, i soli casi di sezione retta uniforme, allora Ax =A0 = Cost con A0 l’area della sezione di attacco dell’aletta (A0 = Ax=0).L’equazione precedente si riduce alla:

dqxdx

+hP

A0(T − Tf ) = 0 (3.43)

Ricordando l’equazione di Fourier e ipotizzando che la conducibilità termicainterna sia costante si ottiene infine:

d2T

dx2=

hP

A0λ(T − Tf )

Se si assume, inoltre, che Tf sia uniforme e costante la precedente equivale alla:

d2ϑ

dx2= m2ϑ (3.44)


y = sinh xy

x x

- 1

1

o oo x

y yy = cosh x y = tanh x

Figura 3.22: Andamento delle funzioni iperboliche al variare del valoredell’argomento.

nella quale si è posto:

ϑ (x) = (T − Tf ) e m =

rhP

A0λ

La (3.44) è l’equazione differenziale per un’aletta monodimensionale di sezionecostante. La soluzione di tale equazione, unitamente alle condizioni al contornorelative al particolare caso trattato, consente di ricavare la ϑ (x) e successiva-mente il flusso termico Qa disperso dall’aletta. Poiché il flusso termico chetransita attraverso la sezione di attacco dell’aletta deve essere uguale, per lastazionarietà del fenomeno, a quello totalmente disperso attraverso la superficieadduttiva dell’aletta stessa si può scrivere:

Qa = A0 · qx=0 = −λA0 ·dϑ (x)

dx

¯x=0

(3.45)

Se oltre alla sezione e alla conducibilità termica anche h può essere assuntacostante, la (3.44) rappresenta un’equazione differenziale lineare ordinaria delsecondo ordine a coefficienti costanti e la relativa soluzione generale è:

ϑ (x) = c1e−mx + c2emx (3.46)

In taluni casi può risultare più utile scrivere la (3.46) in una forma equivalentericordando le espressioni delle funzioni iperboliche il cui andamento è mostratoin Fig.3.22:

cosh (mx) =emx + e−mx

2; sinh (mx) =

emx − e−mx

2

Infatti moltiplicando prima le precedenti per due costanti arbitrarie c3 e c4 esommando poi membro a membro si ha:

c3 cosh (mx) + c4 sinh (mx) =

µc3 + c42

¶emx +

µc3 − c42

¶e−mx

Se si pone c1 =¡c3−c42

¢e c2 =

¡c3+c42

¢la precedente equivale alla (3.46) per cui

in definitiva si ha:

ϑ (x) = c3 cosh (mx) + c4 sinh (mx) (3.47)

Le due costanti di integrazione presenti nelle (3.46, 3.47) si ricavano fissando lostato termico della superficie alla base e di quella all’estremità dell’aletta.


In genere è nota la temperatura della superficie primaria per cui la primadelle predette condizioni al contorno si scrive:

ϑ (0) = (Ts − Tf ) = ϑ0 (3.48)

nella quale si è implicitamente assunto che sia nulla la resistenza di contatto trala base dell’aletta e la superficie primaria3.Differenti situazioni possono ipotizzarsi, al contrario, in corrispondenza del-

l’estremità x = L. Ognuna di tali ipotesi comporta diversi gradi di complessitàe di approssimazione del risultato. Si considerano i tre casi seguenti:

• aletta infinitamente lunga;

• sommità termicamente isolata;

• scambio termico adduttivo alla sommità dell’aletta.

3.6.2 Aletta infinitamente lunga

Sebbene questa condizione sia fisicamente non significativa viene qui esamina-ta per un duplice motivo: a) permette una soluzione rapida e semplice; b)la potenza termica dissipata in tale condizione rappresenta il limite massimoraggiungibile da un sistema alettato.In tale caso la soluzone assunta è data dalla (3.46):

ϑ (x) = c1e−mx + c2emx

con le condizioni al contorno:

ϑ (0) = ϑ0 (3.49)

ϑ (∞) = 0 (3.50)

Dalla (3.50) si ricava immediatamente che c2 = 0. Applicando la (3.49) si hache ϑ0 = c1 per cui la soluzione finale è:

ϑ (x) = ϑ0e−mx (3.51)

La potenza dissipata dall’aletta si ricava applicando la (3.45) e la (3.51):

Qa = −λA0dϑ (x)

dx

¯x=0

= λA0ϑ0m = (Ts − Tf )phPA0λ (3.52)

Allo stesso risultato si poteva giungere ricavando il flusso disperso dalla super-ficie laterale dell’aletta:

Qa = hPϑ0

∞Z0

e−mxdx = −hPϑ0m

£e−mx

¤∞0=

= (Ts − Tf )hPqhPA0λ

= (Ts − Tf )phPA0λ

3L’ipotesi è del tutto lecita se si tiene conto delle modalità realizzative delle superficialettate.


3.6.3 Aletta con estremità adiabatica

In questo caso è utile riferirsi alla soluzione espressa dalla (3.47):

ϑ (x) = c3 cosh (mx) + c4 sinh (mx)


ϑ (0) = ϑ0 (3.53)dϑ (x)

dx

¯x=L

= 0 (3.54)

con L la lunghezza dell’aletta. E’ utile avvertire che nella realtà applicatival’estremità dell’aletta non è mai rigorosamente adiabatica. La (3.54) si giustificaper il fatto che la temperatura decresce rapidamente lungo l’aletta e con essai gradienti di temperatura. Inoltre l’area A0 della superficie della sezione rettadell’aletta è, per ragioni che saranno chiarite nel seguito, molto più piccola dellatotale superficie disperdente.Applicando la (3.53) alla (3.47) si ha immediatamente che c3 = ϑ0. Appli-

cando la (3.54) si ottiene:

ϑ0 sinh (mL) + c4 cosh (mL) = 0

da cui:

c4 = −ϑ0sinh (mL)

cosh (mL)

In definitiva la soluzione cercata è:

ϑ (x) = ϑ0 cosh (mx)− ϑ0sinh (mL)

cosh (mL)sinh (mx) (3.55)

ovvero ricordando le formule di addizione per le funzioni iperboliche:

ϑ (x) = (Ts − Tf )coshm (L− x)

cosh (mL)(3.56)

Dalla soluzione del campo termico si risale alla potenza scambiata in watt:

Qa = −λA0dϑ (x)

dx

¯x=0

= mλA0(Ts − Tf )sinh (mL)

cosh (mL)=

=phPA0λ(Ts − Tf ) tanh (mL) (3.57)

E’ istruttivo considerare che se l’aletta avesse lunghezza infinita (come nel casoesaminato in precedenza), il gradiente termico all’estremità dell’aletta sarebbeeffettivamente nullo per cui le (3.56, 3.57) per L→∞ devono coincidere con lerispettive (3.51, 3.52). Poiché (vedi Fig.3.22) tanh (mL) → 1 quando L → ∞,la (3.55) si scrive:

ϑ (x) = (Ts − Tf ) [cosh (mx)− sinh (mx)] = (Ts − Tf )e−mx

E’ immediato verificare che nelle medesime condizioni la (3.57) coincide con la(3.52).


3.6.4 Aletta con scambio convettivo all’estremità

E’ il caso più aderente alla realtà mentre la formulazione matematica si presentaleggermente più complessa dei due casi visti in precedenza. Si farà l’ipotesi che laconduttanza adduttiva alla sommità dell’aletta h sia diversa da quella, uniforme,assunta lungo la superficie laterale e pari a h. Ciò è giustificato dal fatto che ilfattore di adduzione varia con la giacitura della superficie a cui si riferisce.Con tali premesse, si riprenda la soluzione (3.47):

ϑ (x) = c3 cosh (mx) + c4 sinh (mx)


ϑ (0) = ϑ0 (3.58)

−λ dϑ(x)

dx

¯x=L

= hϑ(L) (3.59)

Applicando la (3.58) si ha che c3 = ϑ0. Applicando la (3.59) si ottiene:

−λm [ϑ0 sinh (mL) + c4 cosh (mL)] = hϑ0 cosh (mL) + c4 sinh (mL)

da cui:

c4 = −ϑ0λm sinh (mL) + h cosh (mL)

λm cosh (mL) + h sinh (mL)=

= −ϑ0sinh (mL) + h

λm cosh (mL)

cosh (mL) + hλm sinh (mL)

Sostituendo i valori ricavati per le due costanti di integrazione nella (3.47) siricava il campo termico:

ϑ (x) = ϑ0

"cosh (mx)−

sinh (mL) + hλm cosh (mL)


sinh (mx)

#e riordinando:

ϑ (x) = ϑ0cosh (mL) cosh (mx)− sinh (mL) sinh (mx)


+

+ϑ0

hλm [sinh (mL) cosh (mx)− cosh (mL) sinh (mx)]


Ricordando le formule di addizione per le funzioni iperboliche si ottiene infine:

ϑ (x) = ϑ0coshm (L− x) + h

λm sinhm (L− x)


(3.60)

Il flusso termico totale scambiato dall’aletta diventa:

Qa = −λA0dϑ (x)

dx

¯x=0

= λA0ϑ0msinh (mL) + h

λm cosh (mL)


=

=phPA0λ(Ts − Tf )

sinh (mL) + hλm cosh (mL)


(3.61)


Il caso or ora trattato è il più generale dei tre. Ad esempio si osserva imme-diatamente che se per h = 0 la resistenza adduttiva alla sommità dell’aletta èinfinita ed il flusso adduttivo è conseguentemente nullo. In effetti si vede im-mediatamente che se h = 0 la (3.60) si trasforma nella (3.55). Analogamente la(3.61) si riduce alla (3.57).

3.6.5 Efficacia (o guadagno) dell’aletta

Moltiplicando e dividendo il secondo membro della (3.61) per hA0 e ricordandol’espressione di m si ottiene:

Qa = Qa

rPλ

hA0

sinh (mL) +

qh2AλhP cosh (mL)

cosh (mL) +

qh2AλhP sinh (mL)

Con Qa = hA0 (Ts − Tf ) si è indicata la potenza termica scambiata dalla super-ficie primaria di area A0 in assenza dell’aletta. Se si pone poi h = h e δ = A0

Puna lunghezza caratteristica dell’aletta4, la precedente diventa:

Qa

Qa

=

r1

Bi

sinh (mL) +√Bi cosh (mL)

cosh (mL) +√Bi sinh (mL)

(3.62)

dove si è posto Bi = hδλ una quantità adimensionale detto numero di Biot5 .

Il rapporto:Qa

Qa

= F (mL,Bi) (3.63)

è detto guadagno o efficacia dell’aletta. E’ ovvio che alettare la superficie èconveniente a patto che:

F (mL,Bi) =

r1

Bi

sinh (mL) +√Bi cosh (mL)

cosh (mL) +√Bi sinh (mL)

> 1

Ne deriva che6:

sinh (mL) +√Bi cosh (mL) >

√Bihcosh (mL) +

√Bi sinh (mL)

ie in definitiva:

Bi =hδ

λ< 1

Inoltre, per un dato valore del prodotto mL il guadagno cresce con il diminui-re di

√Bi come mostra la Fig.3.23 per cui alettare la superficie comporta un

incremento del flusso termico scambiato quanto più:

• è piccolo lo spessore. Si è già visto che per un’aletta longitudinale δ = s2 ,

mentre δ = r2 per una spina di sezione circolare di raggio r;

4E’ semplice verificare che per un’aletta longitudinale δ = s·l2(s+l)

' s2essendo, come già

ricordato, s ¿ l. Allo stesso modo, per una spina a sezione circolare di raggio r si ha che

δ = πr2

2πr= r

2.

5 Sul significato fisico del numero di Biot si tornerà in altra occasione.6Osserviamo che sinh (mL) e cosh (mL) sono costantemente positive (essendo mL > 0) al

pari di√Bi.


0 1 2 3 4 5

mL

0

10

20

30

40

F(m

L,B

i)

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

Bi 0.5 =0.03

0.04

0.05

0.07

0.10

0.20

10.00

1.00

Figura 3.23: Andamento della F (mL,Bi)

• è elevata la conducibilità termica λ. E’ per tale motivo che le alette sonorealizzate in materiale metallico come il rame (∼ 380W/mK), l’alluminio(∼ 160W/mK) o il ferro (∼ 50W/mK). In genere la scelta cade sull’allu-minio il quale presenta ulteriori vantaggi quali il basso peso e una elevataresistenza alla corrosione.

• è piccolo il valore del coefficiente di convezione h. Se ne deduce che alet-tare una superficie è più conveniente se il fluido che lambisce la superficiedell’aletta è un gas piuttosto che un liquido. A parità di fluido, l’alettaturaè più conveniente per convezione naturale che per convezione forzata.

Ancora la Fig.3.23 mostra che per un assegnato valore di Bi il guadagno au-menta con il prodotto mL con un andamento che rapidamente diventa asintoti-co; l’incremento della lunghezza dell’aletta deve essere, pertanto, attentamenteconsiderato quando mL assume valori superiori a 1.5-2.

3.6.6 Efficienza dell’aletta

L’efficienza di un’aletta è definita dal rapporto:

η =Qa

Qid(3.64)

dove si è indicato con Qa la potenza termica realmente scambiata da un’alettala cui superficie esposta al fluido ha area pari a Aa e con:

Qid = hAa(Ts − Tf ) = hAaϑ0


la potenza termica scambiata dalla medesima aletta nell’ipotesi che l’interasuperficie esposta al fluido si porti alla temperatura della superficie primariaTs7 .L’introduzione del concetto di efficienza è utile per il calcolo di Qa. Infatti,

se è data l’efficienza, la potenza resa da un’aletta si ricava con estrema facilitàcome:

Qa = η (hAaϑ0)

Per una larga casistica di interesse applicativo le efficienze sono state ricava-te e sono disponibili nella letteratura specializzata sotto forma di grafici deltipo riportato nelle figure 3.24 e 3.25 in funzione di variabili adimensionalicaratteristiche dell’aletta.

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

00 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

L 2h / t

effic

ienz

a

ty 1/2

3/2

2

t y = t

y = (t / L)

y = (t / L)

y = (t / L)

y = (t / L)

t

t

L

L

L

L

L

A

AB

BC

C D

D

E

E

t

Figura 3.24: Efficienza di alette longitudinali

Allo scopo di meglio chiarire si supponga di voler determinare l’efficienza diun’aletta rettangolare nell’ipotesi di flusso termico trascurabile alla sommità. Ilquesto caso il numeratore della (3.64) è dato dalla (3.57) mentre il denominatoredalla Qid = hPLϑ0 per cui:

η =ϑ0√hPA0λ tanh (mL)

ϑ0hPL=1

L

rAλ

hPtanh (mL)

7E’ evidente che l’efficienza è legata al guadagno dell’aletta. Infatti dalla (3.63) e (3.64) siricava che:

ηQid = FQa

Ricordando le espressioni di Qid e Qa si ottiene:

η = FA0

Aa


0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

L 2h / t

r / r = 1.0

1.4

1.6

1.8

r

t

Lr

2.0

3.0

0i

4.0

0 i

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

effic

ienz

a

Figura 3.25: Efficienza di alette radiali

e ricordanto l’espressione di m:

η =1

mLtanh (mL) (3.65)

In genere, tuttavia, è lecito porre l’area A e il perimetro P della sezione rettadell’aletta come:

A = l · t; P = 2(l + t) ' 2lcon t e l la lunghezza e lo spessore dell’aletta. Con tali posizioni il prodotto mLsi scrive:

mL = L

rhP

Aλ= L

r2hl

ltλ= L

r2h

tλ

e la (3.65) si trasforma nella:

η =1

Lq

2htλ

tanh

ÃL

r2h

tλ

!

3.6.7 Efficienza di una superficie alettata

Finora lo studio ha riguardato il comportamento di una singola aletta. Nelleapplicazioni pratiche, al contrario, si ha a che fare con un numero generalmenteelevato di alette (Fig.3.26,a,b). In tali applicazioni risulta utile definire unaefficienza riferita alla totale superficie di scambio At comprensiva, cioè, dellaporzione della superficie primaria non alettata An e di quella complessiva dellealette Aa (Fig.3.26,c):

At = Aa +An (3.66)


A

A

a

a b c

n

Figura 3.26: Tipiche superfici alettate

La totale potenza scambiata Qt si potrà esprimere ugualmente come:

Qt = Qn +Qa

Si ha, evidentemente, che:

Qn = hAn (Ts − Tf )

essendo la An alla temperatura della superficie primaria. La potenza Qa si puòesprimere altrettanto facilmente facendo ricorso all’efficienza dell’aletta:

Qa = ηhAa (Ts − Tf )

nell’ipotesi che h sia indipendente dalla giacitura della superficie di scambio. Siha pertanto che:

Qt = h (An + ηAa) (Ts − Tf )

o anche:

Qt = hAt (Ts − Tf )

µAn + ηAa

At

¶ovvero:

Qt = η0hAt (Ts − Tf ) (3.67)

dove si è indicato con η0 l’efficienza della superficie alettata. Essa rappresenta lamedia pesata dell’efficienza (unitaria) della superficie primaria e dell’efficienza(η) della superficie alettata assumendo come pesi le rispettive aree (An e Aa

rispettivamente).In generale la (3.67) si può scrivere anche come:

Qt =(Ts − Tf )

1η0hAt

=(Ts − Tf )

Ra

dove Ra ( KW ) rappresenta la resistenza della superficie alettata.


La resistenza Ra costituisce la misura delle prestazioni di quelle particolarisuperfici alettate, dette dissipatori di calore, finalizzate al raffreddamento dicomponenti elettronici (vedi Fig.3.27). In questo caso, assegnata la potenza delcomponente elettronico Q, la temperatura Ts da non superare per garantirneil corretto funzionamento e la temperatura Tf del fluido che lo lambisce (ariaper esempio), l’equazione precedente consente di scegliere il dissipatore idoneocome quello che presenta una resistenza:

Ra ≤(Ts − Tf )

Qt

purché sia trascurabile la resistenza di contatto tra la superficie del componenteelettronico ed il dissipatore. A questo scopo è noto l’uso di particolari pasteconduttive interposte tra la superficie del componente e la base del dissipatore.

Figura 3.27: Tipici dissipatori di calore per componenti elettronici

Capitolo 4

Regime variabilemonodimensionale

4.1 IntroduzioneNelle pagine precedenti sono stati trattati problemi di conduzione termica mono-dimensionale in regime stazionario all’interno di lastre estese, di lunghi cilindrie sfere.Va detto, tuttavia, che una condizione termica stazionaria segue sempre

un transitorio durante il quale la temperatura varia da punto a punto e neltempo. Da un punto di vista applicativo possono presentarsi situazioni in cuila durata del transitorio è breve se paragonata a quella del successivo regimepermanente (si pensi ad una turbina a gas di un impianto termoelettrico); inquesto caso la fase transitoria è di scarsa importanza e lo studio del relativoregime termico può essere evitato. Esistono altre situazioni in cui, al contrario, lecondizioni di regime termico stazionario non vengono mai raggiunte (si pensi allaparete di un edificio per la quale le condizioni al contorno variano continuamentein conseguenza sia delle condizioni climatiche, sia dell’alternarsi del giorno edella notte). In questa circostanza lo studio del sistema richiede la soluzionedell’equazione generale della conduzione termica unitamente alle condizioni alcontorno ed iniziale. La soluzione analitica di questa classe di problemi, fattesalve alcuni particolari transitori e geometrie, non è nota e deve essere ricercataattraverso tecniche numeriche.Nel seguito si affronterà l’esame di problemi termici non stazionari unidimen-

sionali conseguenti ad una variazione istantanea delle condizioni al contorno. Alsolo scopo di fissare le idee, si pensi ad un corpo che potremo supporre per sem-plicità di proprietà termofisiche (λ, ρ e c) costanti il quale, inizialmente si troviin equilibrio termico con l’aria ambiente alla temperatura T = Ti. All’istantet = 0 il corpo viene istantaneamente immerso in un fluido a temperatura co-stante pari a Tf . Si ipotizzerà che la capacità termica del fluido sia molto piùgrande di quella del corpo in modo tale da poter ritenere che la Tf si mantengacostante qualunque sia la quantità di calore ceduta o ricevuta (ovvero subiscavariazioni tanto piccole da non essere, ad esempio, rilevabili sperimentalmen-te). In conseguenza di ciò la temperatura del corpo varierà portandosi, dopo untempo teoricamente infinito, in ogni punto alla temperatura Tf .

63

CAPITOLO 4. REGIME VARIABILE MONODIMENSIONALE 64

2s s

T T

T

hh h

TT

i i

f

x x00

f

Supe

rfic

ie a

diab

atic

a

f

Figura 4.1: Transitorio termico in una lastra piana indefinita

Se la geometria del dominio e le condizioni al contorno autorizzano a ritenereche la temperatura all’interno del corpo vari secondo un’unica variabile spazialeil problema termico è monodimensionale non stazionario.Nel seguito questa classe di problemi viene affrontato nel caso della lastra

piana molto estesa, di cilindri molto lunghi, della sfera, del corpo semi-infinito.Infine si porrà l’attenzione su problemi termici dipendenti dal tempo riguardanticorpi caratterizzati da resistenza interna trascurabile.

4.2 Lastra piana indefinitaConsideriamo una lastra a facce piane e parallele di spessore finito e pari a 2snella direzione x mentre è infinitamente estesa nella direzione degli altri assicoordinati (Fig.4.1.).Analizziamo il caso di pratico interesse in cui la temperatura iniziale della

lastra sia uniforme e pari a Ti. Ad un certo istante la lastra viene esposta aduna corrente fluida a temperatura costante Tf 6= Ti con la quale scambia caloreper convezione. E’ pari a h il coefficiente di convezione.La monodimensionalità del campo termico e la supposta simmetria consente

di considerare metà lastra con la superficie mediana (x = 0) adiabatica. Con talipremesse, l’equazione differenziale che governa il fenomeno termico, unitamentealle condizioni al contorno ed iniziale sono:

∂2T

∂x2=

1

α

∂T

∂t(4.1a)

T (x, t = 0) = Ti (4.1b)∂T

∂x

¯x=0

= 0 per t ≥ 0 (4.1c)

−λ ∂T

∂x

¯x=s

= h (T − Tf )x=s (4.1d)


Dalle equazioni precedenti si può dedurre la relazione funzionale seguente:

T − Tf = f (Ti − Tf , x, s, t, α, h, λ)

la quale evidenzia che la temperatura dipende da otto variabili indipendenti.Una riduzione di queste variabili si può ottenere adimensionalizzando le (4.1).Allo scopo si introducono una lunghezza caratteristica l = s ed una differenzadi temperatura caratteristica ∆T = Ti − Tf con le quali costruire la variabilespaziale adimensionale ξ e la temperatura adimensionale T seguenti1:

ξ = xs T =

T−TfTi−Tf

Se la ξ e la T vengono poste nella (4.1a) si ottiene:

∂2T

∂ξ2=

s2

α

∂T

∂t

Il rapporto s2

α , che ha le dimensioni di un tempo, può essere assunto cometempo caratteristico con cui costruire un tempo adimensionale (detto numerodi Fourier) definito come:

Fo =ts2

α

=αt

s2

Con tale posizione l’equazione differenziale e le condizioni iniziale ed al contorno

Figura 4.2: Jean Baptiste Biot 1774-1862

1La scelta della grandezze caratteristiche è del tutto arbitraria purché siano chiaramenteindicate.


scritte in forma adimensionale sono:

∂2T

∂ξ2=

∂T

∂Fo(4.2a)

T = 1 per Fo = 0 (4.2b)

∂T

∂ξ

¯¯ξ=0

= 0 per Fo ≥ 0 (4.2c)

∂T

∂ξ

¯¯ξ=1

= −BiT (ξ = 1) per Fo > 0 (4.2d)

con Bi = hlλ un raggruppamento adimensionale detto Numero di Biot. Il

problema termico espresso mediante le (4.2) è tale per cui:

T = f(ξ,Bi, Fo) (4.3)

Ciò equivale a dire che sistemi geometricamente simili caratterizzati dallo stessonumero di Biot presentano, in punti corrispondenti (uguali ξ) e per uguali tempiadimensionalizzati Fo, le stesse risposte termiche adimensionalizzate.Il numero di Fourier e il numero di Biot, quindi, costituiscono utili para-

metri per prevedere il comportamento termico del sistema in conseguenza dellevariazioni della temperatura al contorno.

T

T -

T -

T -

T -

T -

T -

T -

T -

TR

R

R

R

R

R

Bi 0

Bi

T

T

T

T

T

T

T

T

T

S

S

S

S

K

K

K

Solido Fluido

C

C

C

f

f

f

f

f

f

S

S S

Figura 4.3: Significato fisico del numero di Biot.

Dalla equazione di definizione di Fo si vede immediatamente che, in virtùdi quanto affermato in precedenza, un sistema risponde tanto più rapidamentequanto più è elevata la sua diffusività α e quanto più è piccola la sua dimensionel.L’influenza del numero di Biot sul comportamento termico del sistema risulta

più evidente se si scrive:

Bi =l/λ

1/h=resistenza conduttiva interna al corporesistenza convettiva esterna al corpo


Il valore del numero di Biot, quindi, fornisce una misura quantitativa di dove èlocalizzata la resistenza che si oppone allo scambio termico.Sistemi caratterizzati da numeri di Biot piccoli (parte alta dello schema di

Fig.4.3) presentano una resistenza convettiva che è molto più grande di quellaconduttiva. Ne consegue che la caduta di temperatura all’interno del solido èmolto più piccola di quella nel fluido.Sistemi caratterizzati da numeri di Biot elevati (parte bassa dello schema di

Fig.4.3) presentano, al contrario, una resistenza conduttiva molto più grande diquella convettiva. Ciò comporta che la caduta di temperatura nel solido (T−Ts)è molto più grande di quella nel fluido (Ts − Tf ). Numeri di Biot molto alti,quindi, identificano condizioni al contorno del primo tipo2.La soluzione espressa dalla (4.3) si presta ad essere graficata. Il diagramma

di Fig.4.4 riporta la T0 = T (ξ = 0, Fo) ossia la temperatura adimensionalizzatain corrispondenza della superficie di mezzeria (adiabatica). La Fig.4.5 consentedi risalire alla temperatura T (ξ, Fo) (0 < ξ ≤ 1) dalla conoscenza della T0(Fo).La Fig.4.6 permette di ricavare la:

Q(Fo)

Qi= −

Z Fo

0

∂T

∂ξ

¯¯ξ=1

dFo

ossia la variazione adimensionalizzata subita dall’energia interna della porzionedi lastra di area A nell’intervallo di tempo 0−Fo. Il termine Qi rappresenta lavariazione subita dall’energia interna della porzione di lastra di area A quandosi porta dalla temperatura Ti alla temperatura Tf ed è dato dalla:

Qi =λAs

α(Ti − Tf ) = ρcAs (Ti − Tf )

70060050040030020014012010070503026221814106432100.001

0.0020.0030.0040.0050.007

0.01

0.020.030.040.050.070.1

if

f0

0.2

(T -

T )

/ (T -

T )

0.30.40.50.71.0

90

Fo

250

150

00.1 0.2

0.3 0.40.5 0.6

0.7

0.8

1.21.4

1.82.0

2.5

45

6

7 8

9 10

12 14

30 35

4050 60

7070 8090 100

45

1618

20 253

1.6

1.0

1 / Bi

Lastra Piana

Figura 4.4: Temperatura adimensionale nel piano mediano di una lastra pianadi spessore 2s in funzione di Bi e Fo

Concludiamo considerando il caso in cui la temperatura della faccia x = sdella medesima lastra viene istantaneamente portata alla temperatura uniforme

2 Infatti se Bi→∞ anche h→∞.


1/Bi

= 0.2

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

00.01 0.02 0.05 0.1 0.1 0.5 1.0 2 3 5 10 20 50 100

0.4

0.8

0.6

0.9

1.0

f0

f(T - T )(T - T )

Figura 4.5: Andamento del rapporto T−TfT0−Tf per una lastra piana di spessore 2s

in funzione del numero di Biot per differenti valori di ξ.

e costante Ts (condizioni al contorno del primo tipo) e a questo valore mantenutaindefinitamente. Come già ricordato i risultati cercati possono essere dedotti daigrafici su descritti per Bi→∞.

4.3 Regime transitorio in un cilindro pieno in-definito

Ugualmente interessante è lo studio del transitorio termico - analogo a quellovisto per la lastra piana - in un cilindro pieno indefinito di sezione circolare diraggio R e con distribuzione iniziale uniforme della temperatura. In tali condi-zioni sono trascurabili gli effetti di bordo e il campo termico è monodimensionale.Si ha che T = T (r, t) e in forma adimensionale T = f(ξ,Bi, Fo) con ξ = r

R ,Bi = hR

λ e Fo = αtR2 avendo assunto l = R. Anche in questo caso la soluzione

si presta ad essere rappresentata in forma grafica ed i risultati sono mostratinelle Fig.4.7, 4.8 e 4.9 le quali si riferiscono ad una variazione istantanea dellatemperatura del fluido a contatto con la superficie cilindrica. La situazione convariazione della temperatura superficiale si ricava, al solito, per Bi→∞.

4.4 Regime transitorio in una sferaI risultati di una brusca variazione della temperatura del fluido a contatto conuna sfera di raggio R inizialmente ad una temperatura uniforme pari a Ti si pre-stano ugualmente ad una rappresentazione grafica che si presenta formalmenteanaloga alle precedenti. Per ragioni di brevità si rimanda ad uno qualunque deitesti consigliati.


Bi

Fo = 100 50 5 0.5

0.2

0.1

0.05

0.030.02

0.010.005

3 2 130 20 10

0.001 0.005 0.01 0.05 0.1

0.1

0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.5 1.0 5.0 10 50 100

iQ

/ Q

Figura 4.6: Andamento del rapporto Q(Fo)Qi

per una parete piana di spessore 2sin funzione di Bi e Fo

0.001

0.0020.0030.0040.0050.007

0.01

0.020.030.040.050.070.1

if

f0

0.2

(T -

T )

/ (T -

T )

0.30.40.50.71.0

3503002001501201009080706030282624222018161412106 843210 5040

Fo

30

40 45

60

70 80

90 100

20 25

1412

16 18

10

9.08.0

7.06.0

1 / Bi

Cilindro Pieno

5550

5.04.03.0

2.52.0

2.01.8

1.61.4

1.21.0

0.80.6

0.40.5

0.30.2

0.10

Figura 4.7: Temperatura adimensionale sull’asse di un cilindro di raggio R infunzione di Bi = hR

λ e Fo = αtR2


1/Bi

= 0.2

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

00.01 0.02 0.05 0.1 0.1 0.5 1.0 2 3 5 10 20 50 100

0.8

0.6

0.9

1.0

f0

f(T - T )(T - T )

0.4

Figura 4.8: Andamento del rapporto T−TfT0−Tf per un cilindro pieno indefinito di

raggio R in funzione di Bi = hRλ per differenti valori di ξ = r

R .

4.5 Regime transitorio in un mezzo seminfinitoSi consideri un corpo tridimensionale che occupa il semispazio x ≥ 0 (corposeminfinito) mentre la regione x < 0 è occupata da un fluido. Il corpo, compresala superficie x = 0, ed il fluido presentano una temperatura iniziale uniforme paria Ti. All’istante t = 0 la temperatua del fluido viene repentinamente portataad un valore Tf e ivi mantenuta indefinitivamente. In conseguenza di ciò siinstaura tra il corpo ed il fluido uno scambio termico convettivo con coefficientedi convezione che supporremo costante e pari a h.La distribuzione della temperatura T (x, t) deve soddisfare alle:

∂2T

∂x2=

1

α

∂T

∂t(4.4a)

T (x, 0) = Ti (4.4b)

T (∞, t) = Ti (4.4c)

−λ ∂T

∂x

¯x=0

= h (T − Tf )x=0 per t > 0 (4.4d)

A differenza di quanto visto per la lastra piana (ovvero per il cilindro indefinitoo per la sfera), in questo caso non è possibile individuare una lunghezza l carat-teristica del sistema. Ciò nonostante è possibile procedere alla individuazionedi una lunghezza caratteristica fittizia. A tale scopo può risultare utile porre:

l =λ

h

il che comporta che Bi = 1 e:

ξ = xl =

hxλ (Numero di Biot locale)

Fo = h2αtλ2

(Numero di Fourier al contorno)


Bi

Fo = 100 50

5 0.5 0.20.1

0.050.03

0.020.01

0.005

3 2 1

30 20

10

0.001 0.005 0.01 0.05 0.1

0.1

0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.5 1.0 5.0 10 50 100

iQ

/ Q

Figura 4.9: Andamento del rapporto Q(Fo)Qi

per un cilindro pieno indefinito diraggio R in funzione di Bi e Fo

Con tali posizioni le (4.4) si modificano nelle:

∂2T

∂ξ2=

∂T

∂Fo

T (ξ, Fo = 0) = 1

T (ξ = ∞, Fo) = 1

∂T

∂ξ

¯¯ξ=0

= −T (ξ = 0) per Fo > 0

da cui deriva che:T − TfTi − Tf

= T = T

µhx

λ,h2αt

λ2

¶come mostra la Fig.4.10.Ugualmente lecita sarebbe stata la scelta:

l =√αt

che comporta Fo = 1 e:

ξ =x√αt; Bi =

h√αt

λ

Le equazioni appena ricavate mostrano che, a differenza del caso precedente, lavariabile spaziale (x) e quella temporale (t) sono presenti in un’unica grandezzaadimensionale (ξ). Ne deriva che la (4.4a) si modifica nella3:

∂2T

∂ξ2+

ξ

2

∂T

∂ξ= 0

3 Infatti applicando la regola della catena si ricava per prima cosa che:

∂2T

∂ξ2∂ξ

∂x

2

=1

α

∂T

∂ξ

∂ξ

∂t


462354

200

157127

9474

5642

3224

1914

1295 7

23

1.250.75

0.400.16

01.0

0.9

0.8

0.7

0.5

0.3

0.6

0.4

0.2

h x

0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

260

fi

f(T

- T

)(T

- T

)

h t2

2

Figura 4.10: Distribuzione della T−TfTi−Tf in funzione del Numero di Biot locale

per differenti valori del Numero di Fourier al contorno.

mentre la condizione iniziale (4.4b) e al contorno (4.4c), (4.4d) diventano:

T (ξ = ∞) = 1∂T

∂ξ

¯¯ξ=0

= −h√αt

λT (ξ = 0) per t > 0

Da quanto sopra deriva che:

T − TfTi − Tf

= T = T

µx√αt

,h√αt

λ

¶come mostra la Fig.4.11.La condizione al contorno di temperatura imposta sulla faccia x = 0 si

ottiene dalla per h→∞ ovvero per h√αtλ →∞.

4.6 Sistemi caratterizzati da Bi→ 0

Sono considerati in questa sezione i transitori termici per i quali Bi→ 0. Ciò siverifica quando la conducibilità termica interna del materiale è sufficientementeelevata e/o la dimensione del corpo è abbastanza piccola da rendere trascurabilela resistenza conduttiva rispetto alla resistenza convettiva. In questo caso unasensibile semplificazione del problema si ottiene, come si vedrà, ipotizzando

e che:∂ξ

∂x=

1√αt;

∂ξ

∂t= − x

2t√αt= − ξ

2t

In definitiva:∂2T

∂ξ21

αt= − ξ

2t

1

α

∂ξ

∂t


00.01

0.02

0.03

0.040.05

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

0.4

0.5

0.5

12

3

1.0

0.25 0.5

x2 t

0.75 1.0 1.25 1.5

fi

f(T

- T

)1

- (T

- T

)

h t 0.05

Figura 4.11: Andamento della 1− T−TfTi−Tf in un solido seminfinito per variazione

brusca della temperatura del fluido a contatto.

che la temperatura del corpo sia uniforme ovvero che la soluzione cercata siadel tipo T = T (t). E’ stato dimostrato che se il corpo presenta geometriapiana, cilindrica o sferica e Bi < 0.1 una tale semplificazione comporta errorigeneralmente inferiori al 5%.

T

A

hSolido

Superficieconvettiva

Fluido

VT(t)

Figura 4.12: Dominio a temperatura uniforme (Bi→ 0)

Si consideri un corpo solido di forma arbitraria, volume V , superficie A, con-ducibilità termica λ, densità ρ, calore specifico c inizialmente alla temperaturauniforme Ti (vedi Fig.4.12). Al tempo t = 0 lo stesso corpo viene istantane-mente immerso in un fluido alla temperatura Tf . Si ipotizzerà che la capacitàtermica del fluido sia abbastanza più alta di quella del corpo solido in modo taleda che la propria temperatura non subisca variazioni significative.Se la temperatura T del corpo è uniforme, esso nel tempo dt cede al fluido


una quantità di calore pari a:

δQ = hA (T − Tf ) dt

con h il coefficiente medio di convezione. Essendo il corpo solido, la δQ uguagliala diminuzione:

−dU = −ρcV dTche la sua energia interna subisce nello stesso intervallo di tempo dt.Si ottiene, perciò, che:

hA (T − Tf ) dt = −ρcV dT

Riordinando e tenendo conto che Tf è costante, si ha in definitiva:

d (T − Tf )

T − Tf= − hA

ρcVdt (4.5)

Integrando tra l’istante iniziale (t = 0) e il tempo generico t:Z T−Tf

Ti−Tf

d (T − Tf )

T − Tf= −

Z t

0

hA

ρcVdt

si ricava:T − TfTi − Tf

= +e−hAρcV t (4.6)

Il parametro ρcVhA che compare all’esponente ha le dimensioni di un tempo ed è

0 1 2 3

t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T-Tf

Ti-Tf

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3

ρcVhA

Figura 4.13: Risposta libera in funzione del tempo per sistemi con Bi→ 0

detto costante di tempo del corpo considerato. Minore è la costante di tempo,più rapida è la risposta del corpo alle variazioni di temperatura come mostra laFig.4.134.

4Ciò spiega perché in inverno viene istintivo rannicchiarsi (diminuire la superficie espo-sta ovvero aumentare la costante di tempo) nel tentativo di evitare un troppo rapidoraffreddamento. Un comportamento contrario viene assunto in estate.


Dalla conoscenza della temperatura è semplice ricavare il flusso termicodisperso Q(t). Infatti poiché vale la:

q(t) = h [T (t)− Tf ] ovvero Q(t) = hA [T (t)− Tf ]

si ottiene:Q(t) = hA [Ti − Tf ] e

− hAρcV t

Si ha spesso interesse a considerare la quantità di calore Qt=t che il corpo di-sperde in un certo tempo t misurato dall’istante iniziale (t = 0). In tal caso siha che:

Qt=t =

Z t

0

Q(t)dt = hA (Ti − Tf )

Z t

0

e−hAρcV tdt

e quindi:Qt=t = ρcV (Ti − Tf )

³1− e−

hAρcV t

´La forma adimensionale della (4.6) si ottiene facilmente se si pone:

0 1 2 30.5 1.5 2.5

Bi Fo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

T

Figura 4.14: Risposta libera in funzione di BiFo di sistemi con Bi→ 0

V

A=

volume del corposuperficie convettiva

= l (4.7)

e se si considera che l’esponente si può modificare come:

h

ρclt =

hl

λ

λ

ρcl2t = BiFo

Si ottiene in definitiva che:

T − TfTi − Tf

= T = e−BiFo

il cui andamento è riportato in Fig.4.14.

Appendice A

Proprietà di metalli puri eleghe

Tabella A.1: Proprietà termofisiche di metalli puri e leghe a 273 KDensità Calore Conducibilità Diffusività

Sostanza ρ Specifico, cp Termica, λ termica, αkgm3

Jkg K

WmK

m2

s × 106

Alluminio 2702 896 236 97.5Acciaio 7753 486 36 9.6Argento 10524 234 419 170.1Cromo 7150 452 91 28.2Ferro 7897 452 73 20.5Nichel 8906 446 90 22.7Piombo 11340 129 35 23.9Rame 8954 383 386 112.6Stagno 5750 227 67 51.3Titanio 4500 611 22 8.0Tungsteno 19350 134 163 62.9Zinco 7144 384 112 40.8

76

Appendice B

Proprietà di alcuni solidi

Tabella B.1: Proprietà termofisiche di solidi a 300 KDensità Calore Conducibilità

Materiale ρ Specifico, cp Termica, λkgm3

Jkg K

WmK

Pannello di gesso o intonaco 800 – 0.17Legno compensato 545 1215 0.12Legni duri (quercia, acero) 720 1255 0.16Legni teneri 510 1380 0.12Mattone di cemento 1860 780 0.72Calcestruzzo 2300 880 1.40Laterizio ordinario 1920 835 0.72Mattone refrattario 2050 960 1.00Granito 2630 775 2.79Gomma tenera 1100 2010 0.13Sabbia 1515 800 0.27Terreno 2050 1840 0.52Vetro 2500 750 1.40Intonaco di gesso 1680 1085 0.22Argilla 1460 880 1.30Fibra di vetro 16 830 0.046Polistirolo espanso 55 1210 0.027Sughero 120 1800 0.039Uretano 70 1045 0.026Vermiculite in scaglie 80 835 0.068

77

Appendice C

Proprietà dei liquidi

Tabella C.1: Proprietà termofisiche di alcuni liquidiDensità Calore Conducibilità


Jkg K

WmK

Acqua (273 K) 1002 4205 0564Acqua (300 K) 997 4177 0.608Acqua (320 K) 989 4176 0637Acqua (340 K) 980 4187 0.659Acqua (360 K) 967 4204 0.674Acqua (373 K) 958 4220 0.681Acqua (400 K) 937 4241 0.686Acqua (450 K) 890 4419 0.673Ammoniaca (233 K) 692 4467 0.546Ammoniaca (253 K) 667 4509 0.546Ammoniaca (273 K) 640 4635 0.540Ammoniaca (293 K) 612 4798 0.521Freon - 12 (233 K) 1515 885 0.069Freon - 12 (253 K) 1457 907 0.071Freon - 12 (273 K) 1393 935 0.073Freon - 12 (293 K) 1327 966 0.073Alcol etilico (233 K) 823 2037 0.186Alcol etilico (273 K) 806 2249 0.174Alcol etilico (313 K) 772 2572 0.162Alcol etilico (353 K) 738 3026 0.150

78

Appendice D

Proprietà dei gas

Tabella D.1: Proprietà termofisiche di alcuni gas P=1 barDensità Calore Conducibilità


Jkg K

WmK

Aria (200 K) 1.766 1003 0.0181Aria (250 K) 1.413 1003 0.0223Aria (300 K) 1.177 1005 0.0261Aria (350 K) 1.009 1008 0.0297Ossigeno (200 K) 1.951 906 0.0182Ossigeno (250 K) 1.561 914 0.0225Ossigeno (300 K) 1.301 920 0.0267Ossigeno (350 K) 1.115 929 0.0306Ammoniaca (200 K) 1.038 2199 0.0153Ammoniaca (250 K) 0.831 2248 0.0197Ammoniaca (300 K) 0.692 2298 0.0246Ammoniaca (350 K) 0.593 2349 0.0302Freon - 11 (255 K) 0.64 519 0.0071Freon - 11 (311 K) 0.518 561 0.0090Freon - 11 (366 K) 0.447 607 0.0109Vapor d’acqua (300 K) – 2041 0.0181Vapor d’acqua (350 K) – 2037 0.0222Vapor d’acqua (400 K) 0.555 2000 0.0264Vapor d’acqua (450 K) 0.491 1968 0.0307Vapor d’acqua (500 K) 0.441 1977 0.0357

79

Documents

Fisica tecnica