fizica_cuantica

8/14/2019 fizica_cuantica

1/20

80

Modulul 6

FIZICCUANTIC

Coninutul modulului:6.1 Bazele experimentale ale fizicii cuantice6.2 Dualismul und-corpuscul6.3 Relaiile de nedeterminare6.4 Ecuaia lui Schrdinger6.5 Semnificaia fizic a funciei de und6.6 Aplicaii ale ecuaiei lui Schrdinger

Evaluare:1. Definirea mrimilor fizice i precizarea unitilor

lor de msur2. Enunul i formula legilor fizice studiate3. Rspunsuri la ntrebrile finale

6.1 Bazele experimentale ale fizicii cuantice

Mecanica cuantic se ocup cu studiul legilor de micare alemicroparticulelor (de exemplu, electroni, protoni, mezoni) sau alsistemelor de astfel de microparticule (de exemplu, nuclee atomice,atomi, molecule, ioni) i a interaciunilor care guverneaz aceastmicare. Pentru a nelege necesitatea i aria de interes a mecaniciicuantice, vom prezenta cteva fapte experimentale din care ea decurge.

Radiaia termic este emisia de energie n mediul ambiant, sub

forma undelor electromagnetice, pe care o realizeaz orice corp,indiferent de temperatura la care se afl. Aceast emisie se face peseama energiei interne a corpului i are loc n mod continuu, pe totspectrul de lungimi de und, dar cu intensitate diferit pentru diferitelungimi de undi ea depinde n mod esenial de temperatura absolutT la care se afl corpul.

Deoarece toate corpurile emit energie electromagnetic subform de radiaie termic, se ajunge la un moment dat ca dou sau maimulte corpuri s aibe aceeai temperatur, adic s fie la echilibrultermodinamic. n aceast situaie, fluxul de energie emis de corp subform de radiaie termic este egal cu fluxul de energie absorbit deacesta.

n general, orice corp poate emite energie i poate absorbienergie, raportul dintre capacitatea sa de emisie i capacitatea deabsorbie este acelai pentru toate corpurile, fiind o constantuniversalf(, T) care depinde de lungimea de undi de temperaturaabsolut a corpului. Acesta este coninutul legii lui Kirchhoff.

Pentru o studiere mai uoar a radiaiei termice s-a imaginat unmodel de corp ideal, numit corpul absolut negru, care absoarbe toateradiaiile ce cad asupra sa, indiferent de lungimea lor de und, iar


2/20

81

constanta universal din legea lui Kirchhoff este chiar capacitatea deemisie a corpului absolut negru.

n studiul radiaiei termice (deci i a radiaiei corpului absolutnegru) se utilizeaz o serie de mrimi fizice. Cele mai uzuale sunt:

Fluxul energetic radiant integralsau puterea radiant reprezint energia totalWemis (radiat) de un corp n unitatea de

timp, adic viteza (rata) de trasmisie n timp a energiei radiate:

dt

dW= , cu unitatea: [ ] W

s

JSI 11 == . (6.1)

Fluxul energetic spectralreprezint energia emis sauabsorbit de un corp n unitatea de timp, dar numai n intervalul delungimi de und (,+d):

d

d= , de unde

=0

d . (6.2)

Aceast mrime arat faptul c energia radiat (radiaiatermic) este distribuit n funcie de lungimea de und.

Intensitatea energetic a unei surse punctiforme reprezintfluxul de radiaie emis n unitatea de unghi solid:

=

d

dI , cu unitatea: [ ]

sr

WI SI 1= . (6.3)

Unghiul solid este elementul geometric sub care se vede dintr-un punct O o anumit suprafa de arie Ai normal exterioar n

r. n

SI se msoar n steradiani (sr). Elementul de unghi solid este:

cos23 r

dA

r

Adrd =

=

rr

, (6.4)

unde este unghiul fcut de vectorul de poziie rr

al punctului deobservaie cu normala exterioar n

ra suprafeei elementare dA din

jurul acestui punct (fig. 6.1).

Fig. 6.1

Radiana sau emitana energetic reprezint fluxul energeticradiat (emis) n toate direciile de o suprafa oarecare A , raportat la

unitatea de suprafa:

dA

dR

= , cu unitatea: [ ]

21

m

WR SI = . (6.5)

Radiana spectral reprezint fluxul energetic emis n toatedireciile de o suprafa oarecare, raportat la unitatea de suprafa, darnumai n intervalul de lungimi de und (, +d):

d

dRR = , de unde:

=0

dRR . (6.6)


3/20

82

Densitatea de energie radiat reprezint energiaelectromagnetic medie radiat de un corp, n toate direciile, raportatla unitatea de volum:

dV

dWw = , cu unitatea: [ ]

31

m

Jw SI = . (6.7)

Densitatea spectral de energie radiat reprezint energia

radiat de un corp, n toate direciile i n unitatea de volum, dar numain intervalul de lungimi de und (, +d):

d

dww = , de unde:

=0

dww . (6.8)

Ultima relaie arat faptul c radiaia termic este de fapt osuprapunere infinit de radiaii monocromatice (cu = const).

Studiul experimental al corpurilor (i a modelului de corpabsolut negru) a condus la formularea a o serie de legi care vizau, pede o parte, stabilirea naturii i a mecanismului intim al radiaieitermice, iar pe de alt parte, deducerea expresiei dependenei densitiispactrale de energie de lungimea de und i de temperatur. Vomaminti numai cele mai semnificative legi.

Legea lui Stefan Boltzmann precizeaz c radiana integral acorpului absolut negru depinde de puterea a patra a temperaturii saleabsolute, adic:

4TR = , = 5,6687 . 10-8 W ? m-2 K-4 , (6.9)

unde constanta se numete constanta lui Stefan-Boltzmann.Se poate demonstra c ntre radiana integralR i densitatea

integral de energie radiatw exist relaia:

wc

R4

= , (6.10)

deci o alt variant a legii lui Stefan Boltzmann este:444 aTT

cw == , a = 7,56 . 10-16 J ? m-3 K-4 , (6.11)

unde a este noua constant universal, cu valoarea de mai sus. Aceastlege a fost verificat experimental, dovedindu-se foarte corect.

Legea lui Wien stabilete pe cale semiempiric c densitateaspectral de energie este o funcie care depinde de produsul dintrelungimea de und i temperatur, adic T, mprit la puterea acincea a lungimii de und:

( )TFw

5

1= . (6.12)

Din acest lege rezult legea lui Stefan Boltzmann:

( )( ) ( ) 44

05

0

1 aTTTdTFT

dww

==

, (6.13)

unde, paranteza mare fiind o integral definit, am notat-o cu ai eaeste tocmai constanta lui Stefan Boltzmann.

Importana legii lui Stefan Boltzmann este evideniat iatunci cnd se calculeaz maximul densitii spectrale de energie:


4/20

83

( )( ) ( ) 0

15

166

=

= TGTF

Td

dFT

d

dw

. (6.14)

Funcia din paranteza mare, notat cu G(T), are o singursoluie real, pe care o notm astfel:

bT=max , b = 2,89782 . 10-3

m .K (6.15)unde valoarea constantei b se determin experimental.Raionamentul de mai sus constituie tocmai deducerea teoretic

a legii de deplasare a lui Wien: produsul dintre lungimea de undcorespunztoare maximului densitii spectrale de radiaie itemperatura absolut a corpului radiant este o constant (fig. 6.2).

Fig. 6.2

Se observ c, dac temperatura absolut a unui corp radiantcrete, atunci lungimea de und corespunztoare maximului de radiaie

termic scade, adic se va deplasa nspre lungimi de und mai mici(nspre ultraviolet).

Legea lui Plancka fost obinut pornind de la ipoteza conformcreia corpul negru este format din oscilatori elementari (atomi,molecule, ioni), care emit energie sub form de radiaie termic deechilibru. Distribuia dup energii a numrului de oscilatori se admitec este o distribuie Maxwell-Boltzmann. ns, Planck consider cemisia de energie nu are loc n mod continuu, ci discontinuu saudiscret, sub form de porii minime de energie, numite cuante deenergie:

c

hh == , (6.16)

unde h = 6,62517 10-34 Js este constanta lui Planck, iar, respectiv sunt frecvena, respectiv lungimea de und a oscilatorului.

Deoarece energia unui oscilator se emite sub form de cuante(porii elementare), ea nu poate avea orice valoare, ci doar valori caresunt multiplii ntregi ai cuantei elementare:

hnnhEn == , (6.17)


5/20

84

cu n = 0, 1, 2, ..., unde = h / 2se numete constanta redus a luiPlanck, iar este pulsaia oscilatorului. Din acest motiv, energiamedie a unui oscilator nu se va calcula cu ajutorul unei integrale, ci cuajutorul unei sume:

=

=

=

=

=

=== 0

0

0

0

0

ln n

xn

n

xn

n

xn

n

n

n

nn

ee

e

dx

d

h

n

h

E

E

, (6.18)

unde am utilizat notaia:x = h. Suma infinit este tocmai o progresiegeometric, astfel c energia medie a unui oscilator va fi:

1

1

1 =

=

ee Tkch

Tk

h

BB

hchE

. (6.19)

Aici am indicat totodat i expresia n funcie de variabilalungime de und. Pentru a afla densitatea de energie corespunztoareintervalului de lungimi de und (, +d), vom nmuli energia medie aunui oscilator cu numrul de oscilatori care au lungimea de und

situat n acest interval. Se poate demonstra c acest numr este:

4

8

=N . (6.20)

Astfel, expresia densitii spectrale de energie radiat, expresiecunoscuti sub numele de legea de distribuie a lui Planck, este:

1

815

=

e Tkhc

B

hcw

. (6.21)

Aceast expresie, dedus din considerente pur teoretice, aretocmai forma cerut de legea lui Wien. Din ea va putea fi obinutvaloarea exact a constantei a din legea lui Stefan Boltzmann i a

constantei b din legea de deplasare a lui Wien. n plus, concordanafoarte bun dintre datele experimentale i dependena densitiispectrale de energie de lungimea de und, justific pe deplin ipotezacuantelor de energie a lui Planck.

Ipotez cuantelor de energie permite, deci, explicarea completa fenomenelor legate de radiaia termic de echilibru.

Efectul fotoelectric reprezint emisia de electroni de ctre unmetal iradiat cu radiaii monocromatice din domeniul ultraviolet (saudin domeniul vizibil, pentru metalele alcaline). Experimental se deducurmtoarele legi:

Legea I: Intensitatea de saturaie a curentului fotoelectric (decicnd toi fotoelectronii emii ajung la anod, fr a se crea o sarcin

spaial n jurul catodului) este proporional cu fluxul radiaieimonocromatice: IS ~ .

Legea a II-a: Energia cinetic a fotoelectronilor extrai estedirect proporional cu frecvena radiaiei monocromatice: Ec ~ inu depinde de fluxul radiaiei incidente:Ecf().

Legea a III-a: Efectul fotoelectric apare doar peste o anumitfrecven de prag p, specific fiecrui metal: = p .

Legea a IV-a: Efectul fotoelectric se produce ntr-un timpfoarte scurt, practic instantaneu.


6/20

85

n anul 1905, Albert Einstein d o explicaie teoretic corectacestor patru legi experimentale. El extinde i asupra radiaiei ipotezacuantelor a lui Planck i admite c nu numai emisia de radiaie estediscontinu, ci i radiaia nsi, fiind format din particule numite

fotoni. Energia fotonului este dat de expresia lui Planck:Ef = h = , (6.22)

Fotonul este o particul care se mic cu o vitez egal cuviteza luminii n vid c. Deci, avnd viteza v = c, fotonul nu se poategsi n repaus ci doar n micare, adic masa sa de repaus este egal cuzero:

2

2

1c

v

mm

of

f

= , deci, rezult: mof= 0 . (6.23)

Impulsul fotonului, conform teoriei relativitii, este:

h

c

hc

c

Ecmp

f

ff ==== 2 . (6.24)

Einstein a explicat efectul fotoelectric astfel: fotonii radiaieiincidente ptrund n metal i se ciocnesc cu electronii liberi ai atomilormetalului, fiind absorbii de acetia. Energia absorbit de electroniservete la scoaterea electronului din metal, efectundu-se un lucrumecanic de extracie Lex , iar restul de energie este transformat nenergie cinetic a fotoelectronului extras.

Legea de conservare a energiei n cazul efectului fotoelectric sepoate scrie astfel:

2

20vmLh ex += . (6.25)

Aici apare masa de repaus m0 a fotoelectronului, ceea censeamn c efectul fotoelectric este un efect nerelativist, adic vitezav a fotoelectronului extras este cu mult mai mic dect viteza luminii nvid, adic este o vitez nerelativist.

Cu legea de conservare scris de Einstein se pot explica foarteuor legile experimentale ale efectului fotoelectric.

Legea I: Deoarece fiecare foton al radiaiei incidente scoatenumai un singur electron din metal, la saturaie numrul acestora fiind

Ns , putem scrie:

( ) edt

dNeN

dt

d

dt

dQI ss

ss === . (6.26)

Dar fluxul radiaiei incidente se poate scrie i astfel:

( ) hdtdN

hNdt

d

dt

dW ss

s

s=== . (6.27)

Radiaia incident fiind monocromatic, frecvena ei esteconstanti se obine tocmai dependena cutat:

ssh

eI =

, de unde: Is ~ s . (6.28)

Legea a II-a se obine uor:

exc Lhmv

E == 2

2

, de unde: Ec ~ . (6.29)


7/20

86

Deci energia cinetic este proporional cu frecvena. Legea a III-a se obine innd cont c energia minim a

fotoelectronului trebuie s asigure doar extragerea acestuia din metal.Punnd condiia ca energia cinetic a fotoelectronului scos s fie nul,din legea conservrii rezult valoarea frecvenei de prag:

Ec = 0, hp = Lex , de unde: h

Lexp

= . (6.30)nlocuind aceast valoare n legea conservrii energiei, obinem

condiia:

02

2

=mv

hh p , (6.31)

ceea ce arat c efectul fotoelectric are loc doar pentru o frecven maimare dect frecvena de prag:

h

Lep = . (6.32)

Legea a IV-a se explic prin faptul c procesul de absorbie aenergiei fotonului de ctre electronul metalului dureaz extrem de

puin (cteva nanosecunde), ceea ce d impresia de instantaneitate aproducerii efectului fotoelectric.

Efectul Compton reprezint difuzia sau ciocnirea unui foton dindomeniul razelor X cu o int fix (un electron liber sau o alt

particul), proces n care o parte din energia fotonului incident estetransferatintei. De la un tub Rentgen se trimite un fascicul de razeX spre un sistem de fante (cu rol de colimare), pentru a se obine un

paralelism ct mai bun al razelor X. Dup colimare, fascicolul de razeX cade pe un cristal de grafit i sufer o deviaie de unghi fa dedirecia iniial. Fascicolul deviat (difuzat) este captat de un detectorcare nregistreaz un curent a crui intensitate este proporional cu

intensitatea fascicolului difuzat.n concluzie, efectele fotoelectric i Compton confirm faptulc radiaia electromagnetic are i o natur corpuscular, fiind formatdin particule numite fotoni, care posed energie i impuls, la fel ca ioricare alt corp.

6.2 Dualismul und-corpuscul

Radiaia electromagnetic are o natur dubl sau dual:ondulatorie i corpuscular. n unele fenomene (de exemplu,interferena i difracia) se manifest mai pregnant caracterulondulatoriu al radiaiei electromagnetice, iar n alte fenomene (de

exemplu, efectele fotoelelectric i Compton), iese n evidencaracterul corpuscular, adic faptul c radiaia este format din fotoni,

particule cu masa de repaus zero. Aceste consideraii sunt cunoscutesub denumirea de dualismul und-corpuscul.

Fiecrei microparticule i se asociaz o und (numit, ulterior,unda de Broglie), care are lungimea de undi, respectiv frecvena:

mv

h

p

h== ,

h

E= , (6.33)


8/20

87

n mod cu totul analog ca i pentru foton.Deci microparticulei cu caracteristicile corpusculare: masa m,

impulsulp=mvi energiaE, i se asociaz unda de Broglie, care este ound plan monocromatic, de forma:

( ) ( )( )rptE

i

rktieAeAtr

rr

hrrr == , . (6.34)

Am inut cont de relaia dintre impulsul p al microparticulei idintre modulul vectorului de undk:

khh

p h===

2

2. (6.35)

Cnd se calculeaz viteza de propagare a undei de Broglie(adic viteza de faz), se constat o contradicie cu teoria relativitii.Faza undei este:

( ) ( ) .1

, constprEttr ==h

, deci: ( ) 0, =trd . (6.36)

Deci, viteza de faz a undei monocromatice de Broglie estedefinit n mod obinuit, innd cont de relaia precedent:

vc

mvmc

pE

dtdrvf

22

==== > c . (6.37)

Acest rezultat contravine teoriei relativitii: nici un corp (i,deci, nici unda asociat lui) nu se poate mica cu o vitez mai maredect viteza luminii n vid. Pentru rezolvarea aceastei contradicii s-aasociat unei microparticule nu o und monocromatic plan deBroglie, ci o mulime infinit de unde monocromatice plane, foarte

puin diferite una de alta, prin valoarea modulului vectorului de und,mulime infinit numit grup de unde sau pachet de unde. Drepturmare, particula va avea o micare rectilinie i uniform cu viteza:

dk

d

dt

drvg

== , (6.38)

numit viteza de grup. innd cont de relaia dintre energie i pulsaie,respectiv dintre impuls i modulul vectorului de und, viteza de grupva fi:

( ) vE

pccmcp

dp

d

dp

dE

dk

dvg ==+===

2

2

142

022 < c , (6.39)

unde am utilizat expresia relativist a energiei.Deci, viteza de grup este egal cu viteza de micare a

particulei nsi, ceea ce dovedete justeea ipotezei de a asocia uneiparticule nu o singur und de Broglie, ci un grup de unde.

6.3 Relaiile de nedeterminare

Fie un grup de unde cu deplasare de-a lungul axei Ox.Se poatestabili o relaie ntre localizarea spaial a grupului de unde (deci i a

particulei), adic x i intervalul px unde se situeaz valorileimpulsului acesteia. Produsul acestor mrimi, numite nedeterminrisau imprecizii nu poate lua orice valoare, ci este de ordinul de mrimeal constantei lui Planck:

xpx ~ h . (6.40)


9/20

88

Aceast relaie se mai poate scrie scrie i astfel:xpx = , sau: xpx = /2 . (6.41)

Relaii asemntoare se pot scrie i pentru celelalte variabilespaiale y i z i ele se numesc relaiile de nedeterminare saurelaiile de incertitudine sau relaiile de imprecizie ale lui Heisenberg.

Ne arat c produsul dintre nedeterminrile sau impreciziile de

msurare simultan a poziiei i impulsului microparticulei trebuie sfie de ordinul de mrime al constantei lui Planck.

n fizica clasic, msurarea mrimilor fizice nu este limitatprincipial, ci doar de precizia instrumentelor de msur utilizate. Deci,cel puin din punct de vedere teoretic, imprecizia de msurare poate fiegal cu zero, adic se obine valoarea exact a mrimii de msurat. nfizica microparticulelor acest concluzie este valabil, n principiu,atunci cnd se msoar o singur mrime fizic. Dar dac dorim smsurm simultan dou mrimi fizice, numite mrimi canonicconjugate, atunci situaia este principial diferit. Dup concepia luiHeisenberg, nu este posibil msurarea simultan, cu orice preciziedorit, a dou mrimi canonic conjugate, cci, prin msurarea oricreiadin aceste dou mrimi, se ajunge la un contact cu sistemul fizic(particula), cu care ocazie are loc o interaciune ntre aparatul demsur i particul, ceea ce face ca s se modifice starea sistemului(starea particulei), deci se modific i valoarea mrimii canonicconjugate. De exemplu, prin msurarea poziiei particulei (acoordonatei sale) are loc un transfer de energie (impuls) ctre particuli, evident, se perturb determinarea exact a valorii impulsului

particulei.Considernd o und monocromatic (deci cu = const, adic cu

k= 0, sau px = 0), din relaiile de nedeterminare rezultx,deci particula nu poate fi localizat spaial (poate fi situat oriunde n

spaiu). nseamn c unda monocromatic nu poate descrie un proceslocalizat n spaiu, deci nu este adecvat pentru a fi asociat uneimicroparticule.

n mod analog, presupunnd c am putea localiza perfectpoziia microparticulei (n sens clasic), deci x = 0, din relaiile denedeterminare rezult cpx, deci impulsul microparticulei ar ficomplet nedeterminat, n sensul c am ti nimic despre valoarea

posibil a impulsului, imprecizia fiind orict de mare. Acesta nseamnc, n mecanica cuantic, datorit valabilitii relaiilor denedeterminare, noiunea clasic de traiectorie nu are sens, adic nu

putem vorbi n mecanica cuantic de o linie oarecare ce ar reprezentaurma drumului strbtut de particul (traiectoria particulei).

Relaiile de nedeterminare sub forma precedent (referitoare laperechea de variabile canonic conjugate coordonat-impuls), conduc larelaiile de nedeterminare n variabilele canonic conjugate energie-timp:

h tE , sau2

h tE . (6.42)

Aceasta nou form a relaiilor de nedeterminare arat c produsul dintre nedeterminarea de msurare a energiei particulei E


10/20

89

nmulit cu intervalul de msurare t este de ordinul de mrime alconstantei lui Planck. Intervalul de timp tse interpreteaz uneori i catimp de via al microparticulei (timpul ct microparticula se situeaz

pe un anumit nivel energetic).Relaiile de nedeterminare trebuie privite n ideea c

microparticulele au un caracter dual (corpuscular i ondulatoriu). Ele

nu arat c este imposibil de determinat simultan coordonata iimpulsul particulei (ceea ce ar fi nsemnat c particula nu poate ficunoscut n ntregime), ci arat c este imposibil s determinm celedou mrimi simultan i cu orice precizie dorit (ca n mecanicaclasic). Precizia nu este determinat de posibilitile tehnice limitateale aparaturii de msurat, ci are caracter principial, fiind legat deexistena constantei lui Planck. La limita h 0, s-ar ajunge la relaiaxpx 0, adic la situaia din mecanica clasic.

6.4 Ecuaia lui Schrdinger

Deoarece micarea microparticulelor nu putea fi descris cuajutorul ecuaiei lui Newton din mecanica clasic (am vzut cnoiunea clasic de traiectorie nu are sens n mecanica cuantic), se

punea problema gsirii unei ecuaii creia s i se supun micrilemicroparticulelor. Aceasta este ecuaia lui Schrdinger.

Schrdinger a asociat micrii microparticulelor o funcie decoordonate i de timp, pe care a denumit-ofuncie de undsaufunciede stare (pentru c ea nglobeaz informaiile n legtur cu stareamicroparticulei). Ea este chiar funcia grupului de unde de Broglie:

( ) ( ) ( )[ ] kdekAtr rktkirrr rrr

+

=

, . (6.43)

S gsim ecuaia diferenial a crei soluie ar fi chiar funciade und de mai sus. innd cont de relaia:

zkykxkrk zyx ++=rr

, (6.44)

iar pe de alt parte, de faptul c pulsaia undei este legat de energiatotal a particulei (energia cinetic plus energia potenialU), care esteo mrime constant (se conserv):

( ) ( ) ( ) ( )

+=

+== rUk

mrU

m

pkEk

rh

h

r

h

r

h

r2

22

2

1

2

11 , (6.45)

putem deriva funcia de und a grupului de unde o dat n raport cutimpul, apoi, separat, de dou ori n raport cu fiecare variabil spaial.

Dup calcule elementare, vom ajunge la urmtoarea relaientre derivatele pariale ale funciei de und:

( )( ) ( )trrU

mt

tri ,

2

, 2 rrhr

h

+=

. (6.46)

Aceast relaie este tocmai ecuaia temporal a luiSchrdinger, care este ecuaia fundamental a mecanicii cuanticenerelativiste.


11/20

90

Observaie: n general un operator A indic o operaiematematic (adunare, nmulire, derivare, integrare etc.), prin care ofuncie oarecare f se pune n coresponden cu o alt funcieg. Acestfapt se scrie astfel:A f = gi se citete: operatorulA aplicat funciei feste egal cu funcia g. Evident c operatorul n sine nu are sens, cinumai dac este aplicat unei funcii.

Se observ c n ecuaia lui Schrdinger apar doi operatori:unul de derivare parial n raport cu variabila temporal, precum ioperatorul lui Laplace , care are urmtoarea semnificaie:

2

2

2

2

2

2

zyx

+

+

= , (6.47)

adic este egal cu suma derivatelor pariale de ordinul doi ale funcieide und, dup toate cele trei variabile spaiale.

Dac energia potenial a particulei (sau, n general, asistemului cuantic) nu depinde explicit de timp, atunci funcia de undse poate scrie ca un produs de dou funcii care depind separat de timp,respectiv de variabilele spaiale. Se demonstreaz uor c n acest caz

avem de a face, din punct de vedere matematic, cu o ecuaie cuvariabile separabile, iar partea de dependen temporal va fintotdeauna de tip armonic, adic:

( ) ( )retrtE

irr

h =

, . (6.48)Dac nlocuim acest expresie n ecuaia temporal a lui

Schrdingeri efectum operaiile corespunztoare, vom obine tocmaiecuaia atemporal a lui Schrdinger sau ecuaia lui Schrdinger a

strilor staionare:

( ) ( ) ( ) ( )rErrUrm

rrrrh=+

2

2

, (6.49)

unde m este masa particulei, iarEeste energia sa total.Ecuaia lui Schrdinger, sub ambele forme prezentate, este oecuaie diferenial de ordinul doi cu derivate pariale. Rezolvarea eiine cont de condiiile iniiale i la limiti conduce la gsirea soluiei,adic a expresiei concrete a funciei de und (sau, cum se mai numete,a funciei de stare) , corespunztoare problemei examinate.

n fiecare stare a sistemului cuantic, o mrime fizic oarecareA, ce caracterizeaz sistemul, mrime numit observabil, are oanumit valoare. Aceste stri n care mrimea observabil are oanumit valoare, se numesc stri proprii ale observabilei A, iarvaloarea a pe care o are observabila se numete valoare proprie.Funcia de stare se numetestare proprie i se noteaz cu a. Ea este o

soluie a unei ecuaii de forma urmtoare, numit ecuaia valorilorproprii sau ecuaia de valori proprii:

A a = aa . (6.50)Dintre toate funciile matematice care satisfac ecuaia valorilor

proprii, nu toate au sens fizic, adic nu toate pot fi funcii de stare, cinumai acele funcii care satisfac condiiile standard:

1. s fie univoce (n fiecare punct s aib o singur valoare);2. s fie funcii continue i s aib derivate continue;3. s fie funcii mrginite, iar la infinit s se anuleze;


12/20

91

4. s fie funcii de ptrat integrabil.De aceea parametrul a din ecuaia de valori proprii nu poate

avea orice valoare, ci numai anumite valori, numite valori proprii.Fiecrei valori proprii i corespunde una sau mai multe funcii proprii,deci una sau mai multe stri ale sistemului.

Dac unei singure valori proprii i corespunde o singur funcie

proprie, starea se numete nedegenerat, iar dac unei singure valoriproprii i corespund mai multe funcii proprii, aceste stri se numescstri degenerate, iar numrul lor se numete multiplicitate sau grad dedegenerare.

n mecanica cuantic este valabilprincipiul de coresponden,conform cruia, fiecrei mrimi observabile A din mecanica clasic icorespunde n mecanica cuantic un operator care satisface o ecuaiede valori proprii de tipul indicat mai sus.

Observm c i ecuaia lui Schrdinger a strilor staionarepoate fi scris sub forma unei ecuaii de valori proprii:

( ) ( ) ( )rErrUm

rrrh=

+

2

2

, (6.51)

unde n membrul stng al ecuaiei apare operatorul energiei totale sauoperatorul lui Hamilton sau operatorul hamiltonian, notat cuH:

( )rUm

Hrh

+=2

2

, (6.52)

primul termen reprezentnd operatorul energiei cinetice:

( )( )=== hhh

iimm

pm

Ec 2

1

22

1 22 , (6.53)

iar cel de al doilea este operatorul energiei poteniale:( ) ( )rUrU

rr= . (6.54)

Acesta din urm coincide cu nsi energia potenial, deciaciunea lui asupra funciei de und reprezint o simpl nmulire.Energia potenial depinznd numai de variabila vectorul de poziie,este lesne de tras concluzia c operatorul coordonat este egal cu elnsui, deci tot un operator de nmulire. Din modul cum am scrisexpresia operatorului energiei cinetice se poate observa c operatorulimpuls se exprim n funcie de operatorul vectorial (nabla):

+

+

==

zk

yj

xiiip

rrrhh

r. (6.55)

n felul acesta, apelnd la coninutul principiului decoresponden, se pot deduce operatorii tuturor mrimilor observabilece caracterizeaz sistemul cuantic examinat.

Produsul scalar a dou funcii de stare, notat (1,2) este unnumr egal cu integrala de mai jos:

( ) ( ) ( ) rdrrrrr

2*

121 , = +

, (6.56)

unde simbolul * reprezint operaia de conjugare complex, adicnlocuirea unitii imaginare i cu i , iar integrala de volum se face

peste tot spaiul variabilelor spaiale.


13/20

92

innd cont de aceast definiie, s punctm i o proprietateimportant a operatorilor cuantici: ei trebuie s fie operatoriautoadjunci sau operatori hermitici , adic trebuie s satisfacurmtoarea relaie referitoare la produsul scalar:

( ) ( )2121 ,, = AA , (6.57)relaie n care n primul produs scalar operatorul acioneaz numai

asupra funciei notat cu indicele 2, iar n cel de al doilea produs scalaroperatorul acioneaz numai asupra funciei notat cu indicele 1.

6.5 Semnificaia fizic a funciei de und

Ptratul modulului funciei de und reprezint densitatea deprobabilitate ( r

r, t) de a gsi particula la un moment oarecare de timp

tn domeniul delimitat de coordonatele (x, x + dx), (y,y + dy), (z,z+dz), adic n volumul elementar (infinitezimal) dV = dx dy dz:

( ) ( ) ( ) ( )rrtrtrdV

dP rrrr ==

22,, . (6.58)

Condiia de normare a probabilitilor va conduce la condiiade normare a densitii de probabilitate:

( ) ==D

dVrdP 11

0

r . (6.59)

Deci, funcia de und sau funcia de stare nu are o interpretarefizic nemijlocit, ci sens fizic are doar ptratul modulului acesteia.Din sensul fizic al funciei de und rezult c mecanica cuantic are uncaracter statistic. Ea nu permite s se determine locul exact din spaiun care se gsete o microparticul sau traiectoria ei. Cu ajutorulfunciei de und se poate doar prevedea cu ce probabilitate se poategsi microparticula n diferite puncte (regiuni) ale spaiului.

Avnd n vedere caracterul statistic al mecanicii cuantice, dacasupra unei observabile A se efectueaz mai multe msurtori,obinndu-se valoarea a, cu o densitate de probabilitate , atuncivaloarea medie de apariie a acestui rezultat este dat de integrala(vezi capitolul de fizic statistic):

( ) ( ) ( )dVrardVraaDD

rrr==

. (6.60)

innd cont de ecuaia de valori proprii, aceast relaie se mai poate scrie ca i cum am nlocui, formal, valoarea proprie a cuoperatorul A asociat observabilei respective:

( ) ( )dVrArAD

rr=

. (6.61)

Relaia de mai sus reprezint valoarea medie a unui operator nstarea . Se observ c putem identifica valoarea medie a operatoruluintr-o stare cu valoarea medie a msurtorilor n acea stare i carereprezint chiar valoarea proprie a operatorului n acea stare:

aaA == . (6.62)

Valorile medii, fiind valori msurabile, sunt valori reale, deci:= aa , de unde rezult:

= AA . (6.63)


14/20

93

Aceast condiie este ndeplinit numai de operatorii hermiticii de aceea este nevoie ca operatorii cuantici s fie operatori hermitici,iar funcia de stare n care se face msurtoarea s fie neaprat ofuncie proprie a operatoruluiA .

Dac funcia de stare n care se face msurtoarea, notat cu ,nu este o funcie proprie a operatoruluiA, atunci sigur nu se va obine,

drept rezultat al msurtorii, valoarea proprie a, ci o alt valoare.Aceasta este cu att mai "deprtat" de valoarea a , cu ct este mai"deprtat" funcia de funcia . Ca o msur a acestei deosebiri seutilizeaz incertitudinea sau nedeterminarea mrimii A, definit cardcina ptrat din abaterea ptratic medie:

( ) 222 AAAAA == . (6.64)

Funciile proprii ale operatorilor hermitici trebuie s fie funciiortogonale, adic produsul lor scalar s fie egal cu zero.Aceasta nseamn c putem scrie relaia de ortonormare:

( ) ( ) =

D

nmmn dVrr rr

, (6.65)

unde nm este simbolul lui Kronecker, ale crui valori sunt

urmtoarele: dacn = m, atunci nm = 1 i avem relaia de normare, iardacn m , atunci nm = 0 i avem relaia de ortogonalitate.

6.6 Aplicaii simple ale ecuaiei lui Schrdinger

Ecuaia lui Schrdinger este implicat n numeroase fenomenecuantice, dintre care vom examina cteva. Pentru uurina calculelorvom considera doar problema unidimensional, deci funcia de und vadepinde doar de variabilax, iar operatorul lui Laplace se va reduce laderivata a doua n raport cux.

a. Groapa de potenial de adncime infinit. Prin acest conceptse nelege o distribuie de potenial de forma (fig. 6.3):

( )[ ]

( ) ( )

+

=

,0,,

,0,0

lx

lxxU

U. (6.66)

S examinm comportarea unei microparticule de masm, carese gsete n interiorul gropii. Deci funciile de und din exteriorulgropii vor fi zero, adic1(x) = 3(x) = 0, iar2(x) (x) 0.

Fig. 6.3


15/20

94

Ecuaia lui Schrdinger a strilor staionare, pentru particulaaflat n groapa de potenial este:

02

22

2

=+

Em

dx

d

h. (6.67)

Mrimea din faa funciei de und are dimensiunile ptratuluimodulului vectorului de undi de aceea o vom nota cu k2:

Em

k2

2 2h

= . (6.68)

Se verific prin calcul direct, c soluia ei general este:( ) ikxikx BeAex += . (6.69)

Din punct de vedere fizic, aceast soluie general este osuprapunere de dou unde armonice plane au acelai modul alvectorului de und (au aceeai pulsaie): una de amplitudineA, care sedeplaseaz n sensul pozitiv ala axei x (unda direct) i cealalt, deamplitudine B, care se deplaseaz n sensul negativ al axei x (undareflectat).

Condiia de continuitate n punctulx = 0 (peretele din stnga):

( ) ( ) 0001 == , conduce la: A =B , (6.70)ceea ce face ca expresia funciei de und s devin:

( ) ( ) kxiAeeAx ikxikx sin2== , (6.71)unde am inut cont de formulele lui Euler referitoare la exprimareafunciilor trigonometrice prin exponeniale complexe.

Condiia de continuitate la peretele din dreapta, situat npunctulx = lconduce la relaia:

( ) ( ) 03 == ll , de unde se obine: 0sin2 =kliA . (6.72)Deoarece amplitudinea A a undei directe trebuie s fie diferit

de zero, rezult urmtoarea condiie:

0sin =kl , de unde: l

nk

= , (6.73)

unde n = 0, 1, 2, ... este un numr ntreg. Deci modulul vectorului deund nu poate lua orice valoare, ci numai anumite valori specificate denumrul ntreg n. De aceea, pentru a deosebi diferitele funcii de und,corespunztoare diferitelor valori ale numrului ntreg n, i vom ataaacesteia indicele n. Deci funciile de und vor fi:

( ) ( ) xl

niAxx n

sin2== . (6.74)

Valoarea constanteiA se gsete din condiia de normare:

( ) ( ) =

l

nn dxxx

0

1 , (6.75)

astfel c expresia final a funciei de und va fi:

( ) xl

n

lxn

sin

2 21

= . (6.76)

Ea reprezint o und staionar (o und a crei amplitudine esteexprimat printr-o funcie periodic de variabila spaialx), care are unnumr de n + 1 noduri (puncte unde amplitudinea este egal cu zero),


16/20

95

dintre care dou noduri la pereii gropii i restul n interior i are unnumr de n 1 ventre (puncte unde amplitudinea este maxim).

Modulul vectorului de und, fiind legat de energia total amicroparticulei:

2

22 2

==

l

nE

mk

h, rezult: 2

2

2

1n

lm

En

=

h. (6.77)

Ultima relaie arat c energia microparticulei aflate ntr-ogroap de potenial infinit de adnc nu poate lua orice valoare, cinumai anumite valori discontinue sau discrete, care depind de numrulntreg n. Se spune c energia microparticulei aflate n interiorul gropiide potenial infinit de adnci este cuantificat, iar numrul ntreg n,care cuantific energia, se numete numr cuantic principal.

Spectrul energetic nu este, deci, n acest caz, un spectrucontinuu, ci un spectru discontinuu sau un spectru discret. Niveleleenergetice nu sunt echidistante, ci distana dintre ele crete aproximativ

proporional cu numrul cuantic principal n:

( )

++

==

+ 2

110122

1 392

1 nnlmEEEnnn

h

J. (6.78)

Ultimul calcul numeric l-am fcut pentru masa m a uneimicroparticule de ordinul de mrime al masei unei molecule (~10-26 kg), iar lrgimea gropii lde ordinul de mrime al unui vas obinuit (~ 0,1m). Se observ c distana En dintre dou nivele energetice vecine,exprimat n J, este extrem de mic, cu mult mai mic dect eroarea demsurare a energiei cu ajutorul celor mai pretenioase aparate. Ori,

pentru a putea fi evideniat cuantificarea energiei, deci pentru a puteadistinge dou nivele energetice vecine, trebuie ca diferena dintre dounivele energetice vecine s fie cel puin de acelai ordin de mrime cai eroarea de msur a aparatului de msur. Nivelele energetice sunt

foarte apropiate, ele sunt practic percepute ca o distribuie continu deenergie. De aceea, chiar dac cuantificarea energiei n principiu are loci la nivel macroscopic, ea nu are influen asupra micrii unei

particule macroscopice. Deci, cu att mai mult, pentru corpurilemacroscopice cuantificarea energiei nu se poate observa.

b. Barierea de potenial de lrgime i nlime finit este odistribuie de potenial de forma (fig. 6.4):

( )[ ]

( ) ( )

+

=

,0,,0

,0,0lx

lxUxU

U(6.79)

S considerm c o microparticul de mas m se mic nsensul pozitiv al axei Ox, venind din regiunea I, situat n partea

stng. Din punctul de vedere al mecanicii clasice, dac energia totalE a microparticulei este mai mic dect nlimea U0 a barierei depotenial, particula nu poate ptrunde n interiorul barierei de potenial(regiunea II), ci sufer fenomenul de reflexie total la peretele dinstnga a barierei, situat n punctulx = 0.

Din punctul de vedere al mecanicii cuantice, exist o probabilitate diferit de zero ca microparticula, dei are energia maimic dect nlimea barierei, adicE< U0 , s traverseze bariera de

potenial i s ajung n regiunea III, dincolo de peretele din dreapta,


17/20

96

situat n punctul de coordonatx = l. Acest fenomen de traversare a barierei de potenial se numete efectul tunel i a fost descoperit n1928 de George Gamow. Ecuaiile lui Schrdinger pentru regiunile I iIII, unde potenialul este zero, respectiv regiunea II unde este situat

bariera de potenial, sunt:

0

23,122

3,12

=+

E

m

dx

d

h , (6.80)

Fig. 6.4

( ) 02

20222

2

=+

UEm

dx

d

h. (6.81)

Utiliznd notaiile consacrate pentru cazul de interes practic,cnd energia microparticulei este mai mic dect nlimea barierei,atunci mrimea k2 este imaginar, iar partea ei real se noteaz cu 2:

Em

k21

2

h= ; i k2 = ( )EU

m= 022

2

h , (6.82)

astfel c soluiile generale ale acestor ecuaii vor fi:

( ) ( ) ( ) xikxikrd eBeAxxx 11 11111+=+= ,

( ) ( ) ( ) xikxikrt eBeAxxx 22 22222+=+= , (6.83)

( ) ( ) xikt eAxx 1333 == ,n care indicii 1, 2 i 3 se refer la regiunea respectiv de potenial, iard se refer la unda direct (incident), r la unda reflectat, iar tunda transmis (refractat).

S scriem condiiile de continuitate n punctelex = 0 ix = lalefunciilor de undi ale derivatelor acestora:( ) ( )00 21 = ; ( ) ( )ll 32 = , (6.84)

0

2

0

1

==

=

xx dx

d

dx

d;

lxlx dx

d

dx

d

==

=

32 . (6.85)

Acestea conduc la urmtorul sistem de ecuaii algebrice:


18/20

97

( ) ( )

( )

=

=

=+

+=+

likll

likll

eAikeBeA

BABAik

eAeBeA

BABA

122

122

31222

222111

322

2211

,

,

,

(6.86)

n acest sistem algebric de 4 ecuaii, amplitudinea A1 a undeidirecte (incidente) este o mrime cunoscut, iar cele 4 amplitudininecunoscute sunt: B1 amplitudinea undei reflectate de peretele dinstnga al barierei; A2 amplitudinea undei transmise n regiunea

barierei de potenial; B2 amplitudinea undei reflectate de peretele dindreapta al barierei iA3 amplitudinea undei transmise n regiunea III,dincolo de bariera de potenial. Sistemul este compatibil, ns, pentrustudiul efectului tunel ne intereseaz s exprimm doar raportul dintreamplitudinea undei transmise n mediul III i amplitudinea undeiincidente:

( ) ( ) lllik

eikeik

eik

A

A

22

1

212

212

21

1

3 4

+=

. (6.87)

O mrime carcteristic pentru descrierea efectului tunel estetransparena barierei de potenial, definit ca modulul raportului dintredensitatea superficial a curentului de probabilitate transmis nregiunea a III-a i densitatea superficial a curentului de probabilitateincident:

===

1

3

1

3

2

1

3

1

3

A

A

A

A

A

A

j

jD

d

tr

r

, (6.88)

relaie n care am indicat c este necesar i conjugarea complex araportului amplitudinilor.

n practic, efectul tunel se produce dac este realizat condiia

22l 1, caz n care expeneniala cu acest exponent este cu mult maimare dect 1 i acesta poate fi neglijat. Condiia de mai sus nu esteartificial impus, ci ea este legat de relaiile de nedeterminarecoordonat - impuls. Consecina direct a valabilitii ei este osimplificare considerabil a expresiei transparenei barierei de

potenial:

( )ll

eDek

kD 22

20

222

122

22

2116

+

= . (6.89)

Se observ, deci, c transparena barierei scade exponenial culimea acesteia i, bineneles, cu energia microparticulei.

Expresia de mai sus a transparenei barierei poate fi

generalizati pentru o barier de o form oarecare, descris de funciaenergiei poteniale de forma general, U= U(x), definit pe domeniul[x1 , x2]. Dup calcule similare, se ajunge la formula integral:

( )[ ]

=

2

1

22

exp0

x

x

dxExUmDDh

. (6.90)

Cu ajutorul efectului tunel pot fi explicate o serie de fenomenecum ar fi: emisia la rece a electronilor din metale, dezintegrarea ,reaciile termonucleare etc.


19/20

98

c. Oscilatorul armonic liniar cuantic. Dac o microparticulcuantic de mas m se mic ntr-o groap de potenial de form

parabolic, cu perei impenetrabili, definit de funcia (fig. 6.5):

( ) 22

2x

mxU

= , (6.91)

se spune c avem de a face cu un oscilator armonic liniar cuantic.Ecuaia lui Schrdinger corespunztoare este:

( ) 02

2 22

22

2

=

+

xx

mE

m

dx

d

h. (6.92)

Rezolvarea acestei ecuaii presupune un calcul mai lung pe carenu-l vom reproduce aici, ci vom indica doar concluziile care rezult.

Funciile proprii ale operatorului Hamiltonian, adic funciilede stare ale oscilatorului liniar armonic cuantic sunt:

( ) ( )xHen

x nx

nn

221

4

1

2

1

!2

1

= , (6.93)

unde am notat: h

m

= , iarHn sunt polinoamele lui Hermite.

Fig. 6.5n teoria ecuaiilor difereniale se demonstreaz c o astfel de

ecuaie are soluii finite, continue i univoce doar dac energia E iaurmtoarele valori:

+=

2

1nEn h , cu n = 0, 1, 2, ... (6.94)

Din punct de vedere fizic, aceasta este tocmai condiia decuantificare a energiei oscilatorului, iar n este numrul cuantic

principal. Se observ c nivelele de energie ale oscilatorului armoniccuantic liniar sunt echidistante, iar pentru n = 0 se obine cea mai mic

valoare a energiei acestuia, adic, h2

10 =E , numit energie de

zero. Existena energiei de zero este confirmat experimental destudiul difraciei luminii pe cristale la temperaturi joase. Sedemonstreaz c, pe msur ce temperatura scade, intensitatea luminiidifuzate nu tinde ctre zero, ci ctre o valoare finit, indicnd faptul c,


20/20

99

n apropiere de temperatura de zero absolut, oscilaiile atomilor dinreea nu se opresc, ci tind ctre o anumit valoare.

Pe de alt parte, expresia de mai sus a energiei oscilatoruluicuantic permite o verificare a relaiei de nedeterminare energie timp.Deoarece numrul cuantic principal este un numr pozitiv:

02

1

= hnE

n , de unde: 2

1 h

nE . (6.95)

Chiar dac lum situaia cea mai defavorabil din punct devedere al informaiei asupra strii energetice a oscilatorului, n careeroarea (nedeterminarea) de msurare a energiei E este de acelaiordin de mrime cu valoarea nsi a energiei, En, iar durata demsurare a energiei t este chiar inversul pulsaiei oscilatorului ,ultima relaie ne conduce la relaia de nedeterminare energie timp:

2

h tE . (6.96)

S subliniem faptul c, dei oscilaiile sistemelor reale suntoscilaii anarmonice, modelul oscilatorului armonic cuantic liniar este

deosebit de util i din punct de vedere practic, tiut fiind c, pentrudistane mici din apropierea poziiei de echilibru, oscilaiile anarminicepot fi aproximate prin oscilaii armonice.

ntrebri pentru verificarea nsuirii cunotineloripentru evaluare:1. Care sunt bazele experimentale ale mecanicii

cuantice ?2. Ce semnific dualismul und-corpuscul ?3. Care este esena relaiilor de nedeterminare

coordonat-impuls i energie-timp ?4. Care este semnificaia fizic a funciei de und ?5. Care este semnificaia fizic a funciei de

distribuie din mecanica cuantic?6. Ce este fenomenul de cuantificare i n care din

aplicaiile ecuaiei lui Schrdinger l-ai ntlnit?7. De ce nu se observ fenomenul de cuantificare i

n cazul corpurilor macroscopice ?8. Cum sunt nivelele de enrgie ale oscilatorului

armonic cuantic i ce semnificaie fizic areenergia de zero ?

9. n ce const efectul tunel i care este mrimeacaracteristic a acestuia ?

10. Care sunt condiiile standard pe care trebuie sle satisfac funcia de und ?

Documents

fizica_cuantica