Fizika 2 Teorija

UNIVERZITET U TUZLI

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE

Franjevačka 2, 75000 Tuzla, Bosna i Hercegovina

Telefon: +387 35 259-600; Fax: +387 35 259617

http://untz.ba/, http://www.fe.untz.ba/

FIZIKA II -SKRIPTA-

Tuzla, april/travanj 2014.

Fizika II Fakultet elektrotehnike 2014

2

Sadržaj 1. Gravitacija .............................................................................................................................. 4

1.1. Gravitaciona potencijalna energija u Newtonovom zakonu gravitacije .......................... 4

1.2. Gravitacioni potencijal i napon ....................................................................................... 6

1.3. Kosmičke brzine .............................................................................................................. 8

1.4. Inercijalna i gravitaciona masa ...................................................................................... 10

2. Mehanika fluida .................................................................................................................... 11

2.1. Pritisak ........................................................................................................................... 11

2.2. Pascalov zakon .............................................................................................................. 12

2.3. Hidrostatički pritisak ..................................................................................................... 13

2.4. Hidrostatički paradoks ................................................................................................... 14

2.5. Potisak ........................................................................................................................... 15

2.6. Arhimedov zakon .......................................................................................................... 16

2.7. Jednačina kontinuiteta strujanja .................................................................................... 16

2.8. Bernoullieva jednačina .................................................................................................. 18

2.9. Primjena Bernoullieve jednačine .................................................................................. 20

2.9.1. Brzina istjecanja idealnog fluida. Torricellieva teorema. ................................................... 20

2.10. Pitotova cijev (Pitoova cijev) ...................................................................................... 21

2.11. Venturieva cijev .......................................................................................................... 22

2.12. Viskoznost. Laminarno i turbulentno kretanje. Reynoldsov broj. .............................. 23

2.13. Proticanje realnog fluida kroz cijev ............................................................................ 25

2.14. Sila otpora sredine ....................................................................................................... 28

3. Toplotne pojave .................................................................................................................... 29

3.1. Unutrašnja energija ....................................................................................................... 29

3.2. Temperatura i termometri .............................................................................................. 30

3.3. Termičko širenje čvrstih tijela ....................................................................................... 31

3.3.1. Linearno termičko širenje ................................................................................................... 31

3.3.2. Površinsko termičko širenje ................................................................................................ 32

3.3.3. Zapreminsko termičko širenje ............................................................................................ 32

3.4. Termičko širenje tečnosti .............................................................................................. 33

3.5. Količina toplote. Specifični toplotni kapacitet tijela. .................................................... 34

4. Gasni zakoni ......................................................................................................................... 37

4.1. Boyle-Mariotteov (Bojl-Marijotov) zakon .................................................................... 37


3

4.2. Gay-Lussacov (Gej-Lisakov) zakon .............................................................................. 38

4.3. Charlesov (Šarlov) zakon .............................................................................................. 39

4.4. Opšta jednačina gasnog stanja za idealne gasove ......................................................... 40

4.5. Stepeni slobode ............................................................................................................. 43

4.6. Jednačina stanja za realne gasove ................................................................................. 44

5. Termodinamika .................................................................................................................... 45

5.1. Termodinamički procesi ................................................................................................ 45

5.2. Prvi zakon termodinamike ............................................................................................ 45

5.3. Spoljašnji rad gasa pri različitim procesima.................................................................. 46

5.4. Jednačina adijabate i rad gasa pri adijabatskim procesima ........................................... 47

5.5. Drugi zakon termodinamike .......................................................................................... 49

5.6. Toplotne mašine ............................................................................................................ 50

5.7. Carnotov kružni proces ................................................................................................. 51

5.8. Entropija ........................................................................................................................ 54

5.8.1. Entropija povratnih procesa ................................................................................................ 54

5.8.2. Entropija nepovratnih procesa ............................................................................................ 56


4

1. Gravitacija

1.1. Gravitaciona potencijalna energija u Newtonovom zakonu gravitacije

Po definiciji potencijalna energija tijela mase m koje se nalazi na nekoj visini h iznad

Zemljine površine data je relacijom:

Primjenjujući Newtonov zakon gravitacije izvest ćemo općenitiji izraz za gravitacionu

potencijalnu energiju na bilo kojoj udaljenosti od središta Zemlje. Posmatrajmo tijelo mase m2

koje se nalazi u gravitacionom polju tijela mase m1 kao na ilustraciji 1.

Ilustracija 1. Gravitaciono polje Zemlje.

Izračunajmo prvo rad koji je potreban da se tijelo mase m2 prenese iz tačke A u tačku B.

∫

∫

∫

|

|

(

)

Iz prethodne relacije vidimo da rad ne zavisi od puta već samo od početnog i krajnjeg

položaja tijela mase m2 čime smo ujedno i dokazali da je gravitaciona sila konzervativna.

Rad se može prikazati razlikom potencijalnih energija:


5

Iz relacije (1) slijedi ako uporedimo:

Konstantu C možemo odrediti iz uslova da je gdje je potencijalna energija jednaka

nuli, pa iz prethodnih relacija slijedi da je i konstanta C jednaka nuli. Na osnovu toga možemo

pisati da je potencijalna energija tijela u gravitacionom polju:

Ako tačku B (krajnja tačka) uzmemo na površini zemlje, a tačku A proizvoljno mijenjamo

( Na osnovu ovih uslova i primjenjujući ove oznake

slijedi da je gravitaciona potencijalna energija r iznad zemljine površine:

(

)

Izraz (3) je takoĎer općeniti izraz za gravitacionu potencijalnu energiju gdje smo za referentnu

tačku uzeli površinu zemlje.

(

)

Ako se tijelo nalazi na malim visinama ( ) u tom slučaju je i na

osnovu te aproksimacije relacija (4) poprima oblik:

Prije smo imali relaciju za gravitaciono ubrzanje na površini zemlje:

Na osnovu toga relacija (5) prelazi u:

Ako uporedimo relacije (2) i (6) vidimo da se one razlikuju po predznaku zato što smo

uzimali različite referentne nivoe za nulte vrijednosti potencijalne energije. U relaciji (2) uzeli

smo da je potencijalna energija u beskonačnosti jednaka nuli, a u relaciji (6) uzeli smo da je

potencijalna energija na površini zemlje jednaka nuli. Za obje definicije promjena

potencijalne energije pri pomjeranju tijela iz jedne tačke u drugu su jednake i istog predznaka.


6

1.2. Gravitacioni potencijal i napon

Potencijal gravitacionog polja u nekoj tački možemo definisati kao količnik potencijalne

energije i mase tijela koje se nalazi u gravitacionom polju u posmatranoj tački. Ako referentni

nivo uzmemo u beskonačnosti, vidjeli smo da se potencijalna energija računa po relaciji:

Označit ćemo potencijalnu energiju koje ima tijelo u tački A sa EpA, masu tijela oko kojeg

nastaje gravitaciono polje sa M, a masu tijela koje se nalazi u gravitacionom polju sa m

(m1=M, m2=m, r=rA).

Na osnovu definicije gravitacionog polja slijedi da je njegova vrijednost u tački A:

Iz prethodne relacije se vidi da gravitacioni potencijal ne zavisi od mase tijela koje se nalazi u

gravitacionom polju.

[ ] [ ]

[ ]

Izračunali smo takoĎer i rad pri pomjeranju iz tačke A u B.

(

)

Uvažavajući nove oznake prethodna relacija prelazi u:

(

)

Ako se tačka B nalazi u beskonačnosti onda je izvršeni rad:

Pošto je rad jednak energiji, slijedi da je gravitacioni potencijal u tački A jednak:


7

Na osnovu prethodne relacije slijedi da je gravitacioni potencijal u nekoj tački gravitacionog

polja brojno jednak radu kojeg izvrši gravitaciona sila kada tijelo jedinične mase premjestimo

iz te tačke u beskonačnost.

Na osnovu relacije (1) napišimo rad na malo drugačiji način.

[

(

)]

Razlika potencijala izmeĎu dvije tačke naziva se napon.

⇒

Polje i potencijal su veoma blisko vezane fizikalnim značenjem. Polje je vektorska, a

potencijal skalarna veličina. Izvest ćemo vezu izmeĎu njih. U fizici je poznato da je sila

jednaka negativnom gradijentu potencijalne energije.

Gdje je gradijent vektorski diferencijalni operator koji u dekartovim koordinatama ima oblik:

(

)

U svakoj tački polja mogu se definisati vektor jačine polja i potencijal. Na osnovu iskazanog

prethodna relacija prelazi u:

Ako primjenimo definiciju gradijenta slijedi da je:

(

)

Gradijent potencijala je vektor usmjeren ka najvećem porastu potencijala i jednak je

negativnoj vrijednosti vektora jačine polja .


8

1.3. Kosmičke brzine

Da bi neko tijelo kružilo oko zemlje po kružnoj orbiti sa radijusom koji se malo razlikuje od

radijusa zemlje, onda ono mora da ima potpuno odreĎenu brzinu v1 čija se veličina može

odrediti iz uslova jednakosti radijalne (centrifugalne) sile i gravitacione sile.

Po intenzitetu centrifugalna sila jednaka je centripetalnoj. Za tijelo mase m, koje se kreće po

kružnoj orbiti oko zemlje, na maloj visini u odnosu na poluprečnik zemlje, centripetalna sila

je:

Intenzitet gravitacione sile u tom slučaju je:

Iz uslova jednakosti gravitacione i centripetalne sile slijedi da je:

√

Kako je gravitaciono ubrzanje na površini zemlje:

Onda prethodni izraz za brzinu možemo napisati u obliku:

√

√

√

Za Rz=6370km i g=9,81 m/s2 prva kosmička brzina bi iznosila:

Kada bi se tijelo kretalo manjom brzinom od naveden ono bi palo na Zemlju. Zato se ova

brzina i naziva prvom kosmičkom brzinom, a to je ona minimalna brzina kojom se mora

kretati tijelo da ne bi palo na Zemlju već da postane njen satelit i da kruži oko Zemlje.


9

Brzina kojom bi trebalo lansirati tijelo da bi napustilo Zemljino gravitaciono polje naziva se

druga kosmička brzina. Izračunajmo prvo rad koji je potrebno utrošiti protiv Zemljine sile

teže pri udaljavanju tijela mase m sa površine Zemlje u beskonačnost.

∫

∫

∫

Smatrajući da je težina jednaka sili privlačenja prema zemlji možemo onda pisati:

Ovaj rad dobije se na račun kinetičke energije tijela lansiranog brzinom v2.

√ √

Kada tijelo dobije minimalnu brzinu od 11,2 km/s prestaje biti Zemljin satelit i izlazi iz njene

orbite. MeĎutim, to tijelo neće nastaviti da se kreće pravolinijski već će početi da se kreće po

elipsi oko Sunca, odnosno postaće Sunčev satelit.

Treća kosmička brzina je najmanja brzina kojom bi trebalo izbaciti tijelo sa Zemlje pa da ono

savlada gravitaciono polje Sunca, to jeste da napusti Sunčev sistem i postane vještačko tijelo u

našoj galaksiji koja se zove Mliječni put. Zbog složenosti izvoĎenja daćemo krajnju relaciju

po kojoj možemo izračunati treću kosmičku brzinu.

√ (√

)

Gdje je:

,

– brzina Zemlje oko Sunca,


10

,

– trenutno rastojanje tijela od Sunca.

U najpovoljnijem slučaju treća kosmička brzina ima vrijednost:

Četvrta kosmička brzina je najmanja brzina kojom bi trebalo izbaciti tijelo sa Zemlje pa da

napusti našu galaksiju i da se uputi ka drugim galaksijama. Njena približna vrijednost je:

Ona ima približnu vrijednost zato što još nisu precizno odreĎene mase galaksija.

1.4. Inercijalna i gravitaciona masa

Masa se javlja u drugom Newtonovom zakonu i u Newtonovom zakonu gravitacije. U prvom

slučaju ona karakteriše inercijalna svojstva tijela, a u drugom gravitaciona svojstva, to jeste

sposobnost tijela da se meĎusobno privlače. Postavlja se pitanje, da li treba razlikovati

inercijalnu masu od gravitacione mase? Tu činjenicu možemo doznati samo pomoću

eksperimenata. Razmotrimo u heliocentričnom sistemu referencije slobodan pad tijela. Znamo

da svako tijelo u blizini površine zemlje trpi silu teže prema zemlji koja je jednaka:

Gdje je mg gravitaciona masa.

Ubrzanje se dobije tako što se sila podjeli sa inercijalnom masom.

Eksperimenti pokazuju da je ubrzanje a=g jednako za sva tijela, a to je ispunjeno u prethodnoj

relaciji samo u slučaju ako je mg=mi (mi inercijalna masa).

Sve činjenice dobivene pomoću eksperimenata ukazuju na to da su inercijalna (troma) i

gravitaciona (teška) masa strogo proporcionalne. To znači da pri odgovarajućem izboru

mjernih jedinica inercijalna i gravitaciona masa postaju identične zbog čega se u fizici

jednostavno govori samo o masi. Jednakost inercijalne i gravitacione mase osnova je principa

ekvivalencije Einsteinove opšte teorije relativnosti koja glasi:

„Ne možemo razlikovati inercijalni sistem u gravitacionom polju a=g od neinercijalnog

sistema koji se kreće ubrzanjem a=-g.“


11

2. Mehanika fluida

Općenito pod pojmom fluida podrazumijevamo svaku materiju koja može da teče. Premda se

tečnosti i gasovi dosta razlikuju u svojoj kompresibilnosti (stišljivosti), ipak postoji dosta

osobina koje su zajedničke i za jedne i za druge. Zbog toga se tečnosti i gasovi nazivaju

jednim imenom fluidi.

Dio mehanike koji proučava fluide naziva se mehanika fluida. Ona se dijeli na hidromehaniku

i aeromehaniku. Hidromehanika proučava pojave u tečnostima koje miruju ili se kreću, a

aeromehanika proučava pojave u gasovima koji miruju ili se kreću. Hidrostatika je dio

mehanike koja proučava pojave u tečnostima koje miruju, dok aerostatika proučava pojave u

gasovima koji miruju.

2.1. Pritisak

Fluidi su karakteristični po tome što se ne suprotstavljaju smicanju i zbog toga imaju

sposobnost da mijenjaju svoj oblik pod djelovanjem malih sila. MeĎutim, da bi se promijenila

zapremina fluida potrebna je dosta velika vanjska sila. Pri promjeni zapremine fluida u

samom fluidu dolazi od nastanka elastičnih sila koje uravnotežuju djelovanje vanjskih sila. To

djelovanje karakteriše veličina koja se naziva pritisak.

U fluidu u stanju mirovanja sile su normalne na površinu sa kojom je fluid u kontaktu.

Pritisak je odnos sile i površine na koju ta sila djeluje normalno.

[ ] [ ]

[ ]

Ako je sila kojom tečnost djeluje na površinu s rasporeĎena neravnomjerno onda izraz (1)

predstavlja srednji pritisak.

Da bi dobili pritisak u nekoj tački potrebno je površinu na koju djeluje sila smanjiti na

beskonačno malu vrijednost da bi dobili tačku, pa koristimo granični proces.

Pritisak je skalarna veličina, budući da njegova veličina u datoj tački ne zavisi od orjentacije

normale na površinu S. Sa druge strane površine S se može takoĎer posmatrati kao vektor

koji ima smjer normale na S. Prema tome, pritisak je u suštini jednak odnosu dva kolinearna

vektora , a takva veličina je skalar.


12

2.2. Pascalov zakon

Kod idealnih fluida molekule se jedna prema drugoj slobodno kreću. Idealna tečnost je takva

tečnost koja je nestišljiva i u kojoj nema unutrašnjeg trenja (viskoznosti). Kada je fluid u

ravnoteži onda svaki mali element fluida miruje. Na osnovu toga slijedi da na svaku tačku

fluida u ravnoteži djeluje jednaka sila. Ako ne bi djelovala jednaka sila onda bi u tačkama

gdje djeluje veća sila došlo do ubrzavanja fluida prema drugim tačkama, to jeste došlo bi do

kretanja, pa fluid ne bi bio u ravnoteži. Pascalov zakon je direktna posljedica ovog

razmatranja i on glasi:

„U svakoj tački mirnog, nestišljivog fluida pritisak je jednak.“

Možemo ga pokazati vrlo jednostavnim ogledom. Neka se u nekoj posudi sa klipovima nalazi

nestišljiv fluid kao na ilustraciji 2.

Ilustracija 2. Dokaz Pascalovog zakona.

Ako djelujemo silom F na gornji klip onda su pritisci na zidove posude isti.

Pascalov zakon je osnova principa rada hidrauličnih ureĎaja (dizalica, kočnica i tako dalje).

Ilustracija 3. Primjena Pascalovog zakona.


13

Rad koji se izvrši nad tečnošću pri pomjeranju manjeg klipa, ako nema trenja ni sabijanja

tečnosti, mora biti jednak radu koji tečnost izvrši pomjeranjem većeg klipa.

Na osnovu Pascalovog zakona p1=p2 odnosno:

⇒

2.3. Hidrostatički pritisak

Izračunat ćemo koliki je pritisak u fluidu na dubini h mjerenoj od površine fluida.

Razmotrimo djelovanje sile na malu elementarnu zapreminu fluida osnovice S i visine dy.

Ilustracija 4. Računanje pritiska u fluidu.

Ako sa ρ označimo gustoću fluida tada je masa posmatranog elementa fluida ρSdy, a njegova

težina ρgSdy.

Razmotrimo prvo sile koje djeluju na taj element fluida (Na ilustraciji 4 sile su prikazane

zelenim strelicama). Horizontalne sile koje djeluju na bočne strane elementa meĎusobno se

poništavaju. Vertikalne sile prema dole djeluju na gornju osnovicu i prva ima vrijednost

dok vertikalna sila koja djeluje na gore na donju osnovicu ima vrijednost

.

Znači prema dole djeluju sile:

Gdje je F2=dG težina posmatranog elementa.

Prema gore djeluje sila na donju osnovicu:

.

Kako se element nalazi u stanju mirovanja sile se poništavaju, odnosno:

∑


14

Izraz (1) predstavlja diferencijalnu jednačinu za promjenu pritiska. Integriranjem izraza (1)

dobije se:

∫

∫

Ako se fluid odnosno tečnost nalazi u otvorenoj posudi onda je p2 atmosferski pritisak, a p1=p

je ukupni pritisak u fluidu na visini h=y2-y1. Ako ovo uvažimo izraz (2) prelazi u:

Relacija (3) predstavlja ukupni pritisak u fluidu na dubini h mjerenoj od površine fluida.

Pritisak p na dubini h ispod površine fluida veći je od atmosferskog za iznos ρgh. Član:

naziva se hidrostatički pritisak, a to je u stvari pritisak izazvan samom težinom fluida.

2.4. Hidrostatički paradoks

Na osnovu relacije za ukupni pritisak fluida:

proizilazi, da pritisak u fluidu zavisi samo od njegove dubine, a ne zavisi od oblika posude u

kojoj se nalazi fluid. Ta činjenica objašnjava takozvani hidrostatički paradoks, to jeste da je u

posudama različitog oblika koje tečnost ispunjava do iste visine pritisak na dno posude

jednak.

Ilustracija 5. Nivoi tečnosti za različite oblike posude

Količina tečnosti u svakoj posudi ne mora biti jednaka, ali je pritisak p na dno svake posude je

jednak.

Iz relacije (1) takoĎer proizilazi i zakon spojenih posuda, koji glasi:


15

„U međusobno spojenim posudama nivo tečnosti u svim posudama je isti bez obzira na oblik

posude, jer je hidrostatički pritisak jednak u svim tačkama na istoj dubini.“

Ilustracija 6. Nivoi tečnosti za različite oblike spojenih posuda.

2.5. Potisak

Potisak ili uzgon je direktna posljedica činjenice da hidrostatički pritisak raste sa dubinom.

Ovu pojavu kvalitativno možemo objasniti ako posmatramo neko tijelo pravilnog oblika koje

je uronjeno u fluid kao na slici:

Ilustracija 7. Tijelo pravilnog oblika uronjeno u fluid.

Na gornju stranicu djelovat će pritisak prema dole, a na donju stranicu djelovat će pritisak

prema gore, dok će se pritisci koji djeluju na bočne strane meĎusobno poništiti. Kako se donja

stranica nalazi na većoj dubini, onda je i hidrostatički pritisak koji djeluje na nju veći. Iz toga

proizilazi da će na tijelo djelovati rezultantna sila prema gore (Fy) a ta sila je uzgon ili potisak.

Ona nastoji da istisne tijelo iz fluida.

Gdje je V zapremina uronjenog tijela, a ρ gustoća fluida.

Proizvod:

naziva se specifična težina fluida.

Potisak ili uzgon je sila koja djeluje okomito prema gore i po izrazu je jednaka težini

istisnutog fluida, a posljedica je različitih hidrostatičkih pritisaka na različite dijelove tijela.


16

Ako su gustine fluida i uronjenog tijela različite, onda rezultanta izmeĎu sila usljed

hidrostatičkog pritiska i gravitacione sile neće biti jednaka nuli, to jeste ona je u tom slučaju:

Gdje je ρt gustina tijela. Ako je ρt > ρ tijelo tone. Ako je ρt < ρ tijelo će isplivati na površinu,

do nivoa pri kojem se preostala sila izjednačava za ukupnu težinu tijela. Ako je ρt = ρ tijelo

slobodno lebdi, kao riba na vodi ili balon u vazduhu.

2.6. Arhimedov zakon

Jednačina:

može se iskazati i na sljedeći način:

„Tijelo uronjeno u tečnost postaje lakše za težinu istisnute tečnosti.“

Ovu formulaciju dao je grčki matematičar i fizičar Arhimed i ona je poznata pod nazivom

Arhimedov zakon. Ispravnost Arhimedovog zakona može se pokazati nizom eksperimenata.

2.7. Jednačina kontinuiteta strujanja

U slučaju kretanja fluida pored pritiska, gustine i vanjskih sila pojavljuje se i brzina kretanja

čestica fluida. Da bi bolje shvatili kretanje fluida, prvo ćemo definisati osnovne pojmove

značajne za njegovo kretanje. Strujanje fluida može se predstaviti strujnicama. Strujnice su

zamišljenje krive linije u fluidu, takve da brzina u ma kojoj tački fluida leži duž tangente na

strujnici.

Ilustracija 8. Strujnice.

Gustina strujnica proporcionalna je brzini. Dio fluida ograničen strujnicama, naziva se strujna

cijev.


17

Ilustracija 9. Strujna cijev.

Strujanje fluida može biti veoma složeno, ali u osnovi razlikujemo dva različita načina :

Stacionarno (slojevito, laminarno) strujanje

Stacinarno strujanje fluida je takvo strujanje kod kojeg su vektor brzine strujanja fluida,

pritisak i gustina u nekoj tački fluida isti u svakom trenutku. Brzina strujanja fluida, pritisak i

gustina su samo funkcije koordinata, a ne i vremena.

Nestacionarno (vrtložno, turbulentno) strujanje

Nestacionarno strujanje fluida se javlja iznad odreĎene kritične brzine. Brzina strujanja fluida,

pritisak i gustina su funkcije vremena i prostora.

Pod pojmom idealnog fluida podrazumijevamo takav fluid, kod koga su ispunjeni sljedeći

uslovi:

Stacionarno strujanje

Fluid je nestišljiv

Nema unutrašnjeg (viskoznog) trenja

Tijelo pri prolasku kroz fluid ne rotira

Posmatrajmo sada kretanje idealnog fluida (Ilustracija 9). Ako je površina presjeka na ulazu u

zamišljenu cijev S1 onda u nju u jednici vremena uĎe masa:

Zbog činjenice da je materija neuništiva, mora ista masa fluida proći kroz bilo koji presjek

cijevi za dati vremenski interval:

Usljed nestišljivosti tečnosti, mora biti:


18

Pa je :

Dobivena jednačina predstavlja jednačinu kontinuiteta strujanja fluida. Pogledajmo u kakvoj

je vezi zapreminski protok sa jednačinom kontinuiteta.

Zapreminski protok tečnosti predstavlja zapreminu tečnosti koja u jedinici vremena proĎe

kroz poprečni presjek cijevi.

„Zapreminski protok tečnosti na svim presjecima jedne strujne cijevi u svakom trenutku je

isti.“

2.8. Bernoullieva jednačina

Fizičar Daniel Bernoulli je izveo jednačinu kretanja nestišljive idealne tečnosti 1738. godine i

ona danas predstavlja osnovnu jednačinu hidrodinamike. Ona nije neko novo pravilo, nego

samo na drugi način iskazan zakon održanja energije i jednačine kontinuiteta.

Posmatrajmo kretanje idealnog fluida u jednoj strujnoj cijevi sa različitim poprečnim

presjekom.

Ilustracija 10. Kretanje fluida kroz cijev.

Razmotrimo energetski bilans pri proticanju tečnosti kroz ovakvu cijev. Promjena kinetičke

energije je:


19

Promjena potencijalne energije nastaje zbog visinske razlike dijelova fluida u posmatranim

zapreminama V1 i V2 :

Prema relacijama 1 i 2 promjena energije uočene zapremine fluida iznosi:

Prema zakonu održanja energije promjena energije mora biti jednaka radu vanjskih sila.

Vanjske sile koje djeluju na fluid jednake su sili pritiska.

Rad ovih sila jednak je:

Na osnovu jednačine kontinuiteta:

Ukupan rad je:

U idealnoj tečnosti nema trenja, zbog toga se prirast energije mora izjednačiti sa radom koji

su izvršile sile pritiska nad izdvojenom zapreminom.

Ako prethodnu relaciju podijelimo sa uzimajući u obzir da je:


20

I onda sve članove sa istim indeksom prebacimo na jednu stranu, dobije se:

Jednačina (12) i njoj ekvivalentna jednačina (13) predstavlja Bernoullijevu jednačinu za

strujanje idealnog fluida. Bez obzira na to što smo tu jednačinu dobili za idealnu tečnost ona

se može primjeniti i na realne tečnosti u kojima unutrašnje trenje nije veliko. Članovi

jednačine (13) predstavljaju pritiske jedinice mase i to :

Prvi član p je statički pritisak

Drugi član je takozvani visinski ili hidrostatički pritisak

Treći član

je dinamički pritisak

Na osnovu prethodnog Bernoullievu jednačinu možemo iskazati na sljedeći način:

„Zbir statičkog, visinskog i dinamičkog pritiska duž jedne strujne linije, a približno duž

strujne cijevi ostaje konstantan. „

2.9. Primjena Bernoullieve jednačine

2.9.1. Brzina istjecanja idealnog fluida. Torricellieva teorema.

Neka se fluid nalazi u nekoj posudi sa malim otvorom na dnu, kao na slici.

Ilustracija 11. Posuda sa otvorom pri dnu.

Posmatrajmo hidrostatički i dinamički pritisak u tačkama 1 na površini fluida i 2 na malom

otvoru na posudi. Neka fluid istječe brzinom . Ako je otvor mali, onda se nivo fluida polako

mijenja, pa je brzina fluida u tački 1:

Na osnovu Bernoullieve jednačine možemo onda pisati da je:


21

Mali otvor 2 ne mora se nalaziti na dnu posude, on može biti i sa strane posude kao što je to

prikazano na ilustraciji 11, pa se zbog toga mogu uvesti oznake i koje u tom slučaju

predstavljaju njegove udaljenosti od dna posude. U obje posmatrane tačke 1 i 2 vanjski

pritisak jednak je atmosferskom.

Pa se ti pritisci u prethodnoj jednačini mogu pokratiti. Označimo brzinu istjecanja:

Onda iz jednačine 1 slijedi da je:

√

„ Brzina istjecanja tečnosti kroz otvor jednaka je brzini kojom bi tečnost slobodno padala od

nivoa do otvora.“

Ovu činjenicu prvi je otkrio Torricelli 1644. godine, pa je po njemu i dobila naziv

Torricellieva teorema.

2.10. Pitotova cijev (Pitoova cijev)

Služi za odreĎivanje brzine proticanja tečnosti kroz razne cijevi i kanale. Ona je u obliku

jedne savijene cijevi B kao na slici.

Ilustracija 12. Pitotova cijev.


22

Cijev A mjeri visinu pritiska u tački 1. Promjena pritiska, okomito na ravne strujnice ista je

kao u fluidu koji se nalazi u stanju mirovanja, pa će nivo fluida u cjevčici A biti u slobodnoj

površini. Cjevčica B (Pitotova cijev) mjeri visinu pritiska u tački 2 u kojoj je brzina jednaka 0

(zaustavna tačka). Visine računamo od tačaka 1 i 2, odnosno one predstavljaju referentne

nivoe, pa je . Ako onda uvažimo Bernoullievu jednačinu slijedi da je:

Brzina kod tačke 1 bit će i ona predstavlja brzinu tečnosti koja se mjeri, dok će

brzina kod tačke 2 biti , pa jednačina (1) prelazi u:

Sa druge strane je razlika pritisaka:

√

2.11. Venturieva cijev

Pomoću ove cijevi možemo još preciznije odrediti brzinu proticanja fluida. Posmatrajmo

protok fluida kroz horizontalnu cijev različitih presjeka kao na slici.

Ilustracija 13. Venturieva cijev.

Pošto je cijev horizontalna onda su visine u Bernoullievoj jednačini jednake nuli, pa je:


23

(

)

Na osnovu jednačine kontinuiteta je:

(

)

√

(

)

√

2.12. Viskoznost. Laminarno i turbulentno kretanje. Reynoldsov broj.

Fizičar Reynolds je proučavao pojavu kretanja tečnosti pri različitim brzinama. Eksperimente

je izvodio na aparaturi koja je principijelno prikazana na ilustraciji 14.

Ilustracija 14. Reynoldsov eksperiment.

U eksperimentima je mijenjao brzine strujanja osnovnog fluida, a takoĎe je eksperimentisao i

sa različitim prečnicima cijevi, kroz koje je strujao fluid. Izveo je veoma velik broj

eksperimenata na osnovu kojih je zapazio da promjena režima strujanja zavisi od vrste fluida

odnosno njegove viskoznosti, brzine strujanja i prečnika cijevi u kojima fluid struji.

„UreĎeno“ strujanje nazvao je laminarno strujanje, a „haotično“ je nazvao turbulentno


24

strujanje. Pri laminarnom kretanju, izmeĎu čestica i slojeva fluida pojavljuje se unutrašnje

trenje iili viskoznost. Viskoznost se javlja samo kad se fluid kreće.

Ilustracija 15. Kretanje tečnosti izmeĎu dvije pločice.

Posmatrajmo sada tečnost koja se nalazi izmeĎu dvije staklene pločice kao na ilustraciji 15.

Ako gornju pločicu naglo povučemo, tj. djelujemo silom F, pri čemu donja pločica miruje,

dobit ćemo laminarno (slojevito) kretanje tečnosti u prostoru izmeĎu staklenih pločica.

Eksperimentalno je pokazano, da je sila viskoznog trenja proporcionalna dodirnoj površini S

slojeva fluida i promjene brzine slojeva, a obrnuto proporcionalna razmaku d izmeĎu ploča.

Sa slike se vidi da je promjena brzine slojeva (vertikalna promjena brzine):

Slijedi da je sila otpora unutrašnjeg trenja (viskoznost):

Gdje je

intenzitet gradijenta brzine duž z ose. Koeficijent proporcionalnosti η (grčko

slovo eta), naziva se koeficijent unutrašnjeg trenja ili koeficijent viskoznosti. Njegova jednica

je:

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

Ako se brzina fluida povećava onda pri odreĎenoj vrijednosti brzine, koja se naziva kritična

brzina dolazi do prelaska laminarnog u turbulentno kretanje. Na osnovu niza eksperimentalnih

mjerenja fizičar Reynolds je uspio da utvrdi kriterijum pri kojem dolazi do prelaska

laminarnog u turbulentno kretanje. Taj kriterijum se naziva Reynoldsov broj. On je definisan

na sljedeći način:


25

Gdje je srednja brzina po poprečnom presjeku cijevi i pravcu strujanja fluida, d prečnik

cijevi, a

kinematička viskoznost. Reynoldsov broj je neimenovana veličina. Ako je:

2.13. Proticanje realnog fluida kroz cijev

Najveći gradijent u pravcu okomito na zidove imaju cijevi sa malim promjerom (kapilare) jer

slojevi uz zidove praktički miruju. Razmotrimo kako se mijenja brzina fluida u zavisnosti od

rastojanja od ose cijevi:

Ilustracija 16. Cilindrična cijev kroz koju protiče realan fluid.

Pošto je cijev horizontalna onda gravitaciona sila ne utiče na kretanje fluida, pa se kretanje

dešava isključivo zbog razlike pritisaka na krajevima cijevi. Predpostavimo da je , pa

će se fluid kretati od većeg ka manjem pritisku. Na krajevima cijevi se odražava razlika

pritisaka, a protok je stacionaran. Neka je brzina cilindričnog sloja infinitezimalne debljine na

radijusu r koji razdvaja cjelokupni fluid na dva dijela. Zbog razlike u brzinama

kontaktnih slojeva meĎu njima vlada sila trenja koja uravnotežava potisnu silu:

Negativan predznak u relaciji (1) dolazi usljed opadanja brzine sa porastom poluprečnika (r).

Pošto je površina u cijevi :

Relacija (1) prelazi u:


26

∫ ∫

Primjenom rubnog uslova tj. za je brzina , možemo odrediti vrijednost konstante

C:

Ako relaciju (6) uvrstimo u relaciju (5) :

Prethodna relaciju ustvari predstavlja jednačinu parabole, prema tome brzina strujanja

viskozne tečnosti je parabolična funkcija rastojanja r od ose strujanja cijevi prema njenim

zidovima. Iz relacije (7) se vidi da je njena maksimalna vrijednost duž strujne ose , pa

je:

Jednačinu (7) preko maksimalne vrijednosti možemo napisati kao:

(

)

(

)

Zbog nehomogenosti raspodjele brzine proračun protoka kroz ovakvu cijev nije trivijalan

zadatak. Izračunajmo sada taj protok. Rekli smo da je zapreminski protok idealne tečnosti:


27

Koristeći sada relaciju za raspodjelu brzine izračunajmo zapreminski protok realne tečnosti.

Površina prstenastog strujnog elementa ds je:

Elementarni protok dQ kroz poprečni presjek dS prstenastog elementa debljine dr je:

Gdje je brzina strujanja fluida data relacijom (7). Protok cijevi kroz cio poprečni presjek

cijevi jednak je integralu po svim elementarnim presjecima od do .

∫ ∫

(

)

∫ (

)

*

+ |

*

+

*

+

Relacija 14 predstavlja Hagen-Poiseuilleov (Poazije-Hagov) zakon koji glasi:

„Protok realne tečnosti proporcionalan je proizvodu četvrtog stepena poluprečnika cijevi i

gradijenta vanjskog pritiska, a obrnuto proporcionalan koeficijentu viskoznosti.“


28

2.14. Sila otpora sredine

Ova sila se javlja pri kretanju tijela kroz fluid. Ona zavisi od veličine, oblika i brzine tijela

koje se kreće, te od same viskoznosti i brzine strujanja fluida. Posmatrajmo kuglu koja miruje,

a oko nje struji fluid malom brzinom tako da je kretanje fluida laminarno. Eksperimentalno je

dokazano da pri takvom proticanju strujnice oko kugle deformišu se do udaljenosti od oko

dvije trećine poluprečnika kugle.

Ilustracija 17. Strujanje fluida oko kugle

Pošto sloj na površini kugle miruje sila otpora zbog viskoznosti je:

Relacija (1) poznata je kao Stokesova sila ili Stokesov zakon.


29

3. Toplotne pojave

3.1. Unutrašnja energija

Veoma je teško izračunati ukupnu energiju sistema sastavljenog od velikog broja čestica zato

što ukupnu energiju čini i potencijalna energija svake molekule u polju sila preostalih

molekula. Takva je, na primjer, energija kristalne rešetke u nekom kristalu. Ukupnoj energiji

sistema doprinosi i djelovanje vanjskog polja sila kao i energija vezivanja. Ako posmatramo

neki makroskopski sistem, na primjer odreĎeni kristal ili neku zapreminu odreĎene vrste gasa,

i ako za takav sistem kažemo da je u stanju mirovanja, to ne znači da sastavne čestice

posmatranog sistema miruju i da u sebi ne sadrže nikakvu potencijalnu i kinetičku energiju. Iz

ovoga se takoĎer vidi zašto je teško izračunati unutrašnju energiju nekog sistema. Pod

pojmom unutrašnje energije tijela ili nekog sistema podrazumjevamo zbir kinetičke energije

haotičnog kretanja molekula, potencijalne energije njihovog meĎusobnog djelovanja i

unutrašnje molekularne energije. Pri odreĎivanju unutrašnje energije tijela ne može se uzeti

kinetička energija tijela kao cjeline, niti potencijalna energija tijela kao cjeline, niti

potencijalna energija tijela koje ono ima u vanjskom polju sila. Na primjer, pri odreĎivanju

unutrašnje energije odreĎene mase gasa ne smije se uzimati energija kretanja gasa zajedno sa

posudom, niti energija koja je uslovljena položajem gasa u polju sile zemljine teže.

Prema tome unutrašnja energija sistema je ukupna energija interakcija i kretanja mikročestica

sistema, a koja ne potiče od djelovanja vanjske sile. Po prirodi nastanka ona može biti:

Termička (kinetička),

Energija vezivanja (potencijalna),

Energija kristalne rešetke (elektronska),

Hemijska,

Nuklearna, i tako dalje...

Unutrašnja energija sistema tijela jednaka je sumi unutrašnjih energija svakog tijela

pojedinačno i energije uzajamnog djelovanja meĎu tijelima koja predstavlja energiju

meĎumolekularnog uzajamnog djelovanja u tankom sloju na granici izmeĎu tijela. Veoma

bitna činjenica je da je unutrašnja energija funkcija stanja. To znači da svaki put kada je

sistem u datom stanju njegova unutrašnja energija dobiva vrijednost koja je svojstvena tom

stanju, nezavisno od načina na koji je sistem došao u to stanje. Prema tome, promjena

unutrašnje energije pri prelasku sistema iz jednog stanja u drugo uvijek će biti jednaka razlici

vrijednosti unutrašnjih energija u tim stanjima, nezavisno od puta po kojem se vršilo

prelaženje, to jeste nezavisno od procesa koji su doveli do prelaska sistema iz jednog u drugo

stanje. Unutrašnja energija sistema mijenja se u različitim procesima.


30

3.2. Temperatura i termometri

Do promjene unutrašnje energije može doći na dva načina:

Razmjenom toplote Q i

Vršenjem rada

Glavni uslov da bi došlo do razmjene toplote izmeĎu dva tijela je postojanje razlike u

temperaturi. Na osnovu prethodnog, temperatura se često definiše kao stepen zagrijanosti

nekog tijela. Znači temperatura je mjera intenzivnosti toplotnog kretanja molekula (atoma i

jona) u tijelu, to jeste, ona je mjera srednje kinetičke energije translatornog kretanja.

Na osnovu relacija (1) i (2) slijedi da je temperatura proporcionalna srednjoj vrijednosti

kvadrata brzine molekula idealnog gasa:

Na osnovu kinetičke teorije gasova može se dobiti relacija:

Gdje je k Boltzmannova konstanta.

UreĎaj za mjerenje temperature je termometar. Kao osnova temperaturne razlike uzima se

temperaturni razmak izmeĎu tačke mržnjenja vode (ledište) i tačke ključanja vode (vrelište).

Ove tačke se često nazivaju i fundamentalne ili reperne tačke.

Prva fiksna tačka (tačka ledišta) definiše se kao temperatura mješavine vode i leda pri pritisku

od 101325 Pa.

Druga fiksna tačka predstavlja temperaturu ključanja vode pri prethodno navedenom pritisku.

Ovim fundamentalnim tačkama mogu se dodijeliti proizvoljne brojne vrijednosti i na taj način

temperaturni razmak izmeĎu ove dvije tačke može se podijeliti na proizvoljne dijelove. U

zavisnosti od dodjeljivanja brojnih vrijednosti postoje sljedeće temperaturne skale:

Celsiusova skala (°C)

Kelvinova skala (K)

Réaumurova skala (°R)

Fahrenheitova skala (°F)

Celsiusova skala dodjeljuje ledištu i vrelištu temperature od 0°C i 100°C, Réaumurova skala

temperature od 0°R do 80°R i Fahrenheitova skala temperature od 32°F do 212°F.


31

SI jedinica za temperaturu je Kelvin (K). Temperatura izražena u Kelvinima naziva se

apsolutna temperatura (T). Jedan Kelvin se definiše kao 273,16. dio termodinamičke

temperature trojne tačke hemijski čiste vode u prirodnoj izotropnoj mješavini.

U našoj zemlji je dozvoljena i upotreba Celsiusovog stepena uz definiciju:

U zavisnosti od raznih tijela, to jeste, koja fizikalna promjena se mjeri postoji nekoliko vrsta

termometara:

Gasni (plinski) termometri

Termometri sa tečnošću

Bimetalni termometri

3.3. Termičko širenje čvrstih tijela

Eksperimentalna činjenica je da se većina tijela pri zagrijavanju širi. To se objašnjava time da

zagrijavanjem tijela dolazi do bržeg kretanja molekula u tijelu što uzrokuje slabljenje veza

izmeĎu molekula, a što može dovesti do širenja tijela. Izuzetak su neka amorfna tijela kod

kojih pri zagrijavanju dolazi do skupljanja. U odnosu na istaknutu ili izrazitu promjenu

dimenzije tijela postoje tri karakteristične vrste širenja:

Linearno,

Površinsko i

Zapreminsko

3.3.1. Linearno termičko širenje

Kod ovakvog širenja dolazi kod tijela kod kojih je istaknuta jedna dimenzija u odnosu na

druge dvije. Na primjer, kod štapova istaknuta je dimenzija dužine u odnosu na druge dvije

dimenzije. Posmatrajmo širenje nekog metalnog štapa:

Ilustracija 18. Linearno širenje štapa

L0 - dužina tijela na 0°C

L – izduženje tijela pri promjeni temperature

Na ilustraciji 18 možemo vidjeti da je:

Gdje Lt predstavlja dužinu tijela na nekoj temperaturi t. Eksperimetalno je utvrĎeno da je

izduženje tijela direktno proporcionalno proizvodu dužine tijala na 0°C i temperature tijela:


32

Koeficijent proporcionalnosti α predstavlja koeficijent linearnog termičkog širenja. Njegova

jedinica je °C-1

ili K-1

.

Iz relacije (1) slijedi:

3.3.2. Površinsko termičko širenje

Površinskim širenjem nazivamo širenje tijela koja imaju dvije dimenzije izrazito velike u

odnosu na treću. Takvo širenje imaju razne vrste ploča i listova.

Ilustracija 19. Površinsko termičko širenje

Neka je S0 površina ploče na 0°C, a St površina ploče na temperaturi t. Površinsko termičko

širenje možemo dobiti kao proizvod dva linearna širenja at i bt.

Pošto je α veoma mali broj onda je α2 još manji pa taj član u izrazu (3) možemo zanemariti.

Ako uzmemo oznaku da je β=2α onda prethodni izraz prelazi u:

3.3.3. Zapreminsko termičko širenje

Zapreminskim termičkim širenjem nazivamo širenje tijela koje ima sve tri dimenzije približno

jednake. Ovo širenje se takoĎer može izraziti kao proizvod linearnih širenja. Uzmimo da se

radi o kocki u ovom slučaju:


33

Ilustracija 20. Zapreminsko termičko širenje.

Slično kao kod površinskog termičkog širenja, stepene koeficijenta α možemo zanemariti, a

takoĎer možemo uvesti da je:

Gdje je γ termički koeficijent zapreminskog širenja i on je brojno jednak povećanju

jediničnog volumena pri porastu temperature za 1°C.

3.4. Termičko širenje tečnosti

Poznato je da tečnosti i gasovi nemaju stalan oblik nego samo poprimaju oblik posude u kojoj

se nalaze. Iz tog razloga kod tečnosti i gasova postoji samo zapreminsko termičko širenje koje

se računa po relaciji (1).

Gdje je Vt zapremina tečnosti na temperaturi t, γt termički koeficijent zapreminskog širenja

tečnosti i definiše se na sličan način kao i kod čvrstih tijela. On predstavlja povećanje

jedinične zapremine tečnosti pri povišenju temperature za 1°C. Na osnovu toga slijedi da će

se i gustoća tečnosti mijenjati sa promjenom temperature.

Zapremine tečnosti na 0°C i na nekoj temperaturi t respektivno su:

Kada govorimo o zapreminskom širenju tečnosti potrebno je napomenuti da kod vode imamo

anomaliju širenja u temperaturnom intervalu od 0°C do 4°C prikazanu na ilustraciji 21.


34

Ilustracija 21. Anomalija vode.

Ova pojava je poznata pod nazivom anomalija širenja vode i manifestuje se u tome što se pri

zagrijavanju od 0°C-4°C njena zapremina smanjuje, to jeste, gustoća se povećava, a iznad 4°C

voda se daljnjim zagrijavanjem širi. Navedena pojava kod vode ima veliki značaj za

cjelokupni život u rijekama, jezerima i morima. Da nema ove pojave onda bi voda prvo ledila

na dubini, to jeste mržnjenje bi teklo od dna prema površini što bi potpuno onemogućilo život

u vodi.

3.5. Količina toplote. Specifični toplotni kapacitet tijela.

Temperature su kao što smo već rekli u direktnoj vezi sa srednjom kinetičkom energijom

atoma i molekula u tijelu. Iz prethodnog slijedi da je pri ovome izvršen transfer neke vrste

energije sa tijela više na tijelo niže temperature. Pri tome nije izvršen nikakav mehanički rad

jer ne djeluje nikakva sila. Prenos energije je izazvan samo razlikom u temperaturi i prestaje

onda kada se temperature izjednače. Na osnovu toga možemo reći:

„Toplota ili količina toplote je onaj iznos unutrašnje energije koji se prenese od jednog tijela

na drugo zbog njihove razlike u temperaturama.“

Razlika u temperaturama izaziva protok toplote. Ako, na primjer jedno tijelo ima temperaturu

t1, da bi smo mu povisili temperaturu na t2 moramo mu dovesti odreĎenu količinu toplote.

Dovedena količina toplote zavisi od mase tijela, temperaturne razlike i konstante koja se zove

specifična toplota ili specifični toplotni kapacitet.

Obzirom da je toplota vrsta energije, ona se izražava u Jouleima [J]. Engleski fizičar James

Prescott Joule je jedan od naučnika koji je najviše uradio na ovom polju. On je izvršio

ogroman broj eksperimenata da bi pokazao da postoji mehanički ekvivalent toplote – količina

izvršenog rada potrebnog da se dobije isti efekat kao kada se prenese odreĎena količina

toplote. Eksperimentalna je činjenica da je za dobivanje odreĎene količine toplote potrebno

izvršiti rad tako da je odnos izmeĎu izvršenog rada i nastale toplote stalan. Drugim riječima,

rad se pretvara u toplotu u stalnom omjeru. Taj omjer zove se mehanički ekvivalent toplote.

Mjerenjem je utvrĎeno da je za zagrijavanje jednog litra čiste vode za 1°C i to od 14,5°C do


35

15,5°C potrebno izvršiti rad od 4186 J. Veza izmeĎu „stare“ jedinice za toplotu, kalorije, i

jedinice za energiju odnosno rad je:

Ova vrijednost može se naći u staroj literaturi pod nazivom mehanički ekvivalent toplote.

Iz relacije (1) za količinu toplote slijedi da je specifični toplotni kapacitet:

Specifični toplotni kapacitet tijela brojno je jednak onoj količini toplote koju je potrebno

dovesti masi od 1 kg tog tijela da joj se temperatura povisi za 1°C odnosno za 1K. Jedinica je:

[ ] [ ]

[ ][ ]

Specifični toplotni kapacitet zavisi od temperature pa možemo pisati:

∫

Za cijelo, ili čitavo tijelo definiše se takozvani toplotni kapacitet i označava se sa C. Toplotni

kapacitet tijela je brojno jednak količini toplote koju je potrebno dovesti čitavom tijelu da mu

se temperatura povisi za 1°C odnosno za 1K, pa slijedi da je:

[ ]

Često se definiše i specifični toplotni kapacitet po jednom molu, takozvani molarni toplotni

kapacitet. To je količina toplote potrebna da se jednom molu nekog tijela povisi temperatura

za 1°C odnosno za 1K.

Gdje je m broj molova, a M molarna masa. Jedinica je:

[ ]

Veza izmeĎu specifičnog toplotnog kapaciteta i toplotnog kapaciteta je:


36

Ako se pritisak tokom nekog procesa ne mijenja onda možemo definisati specifični toplotni

kapacitet pri stalnom pritisku:

(

)

U slučaju da se ne mijenja zapremina onda je riječ o specifičnom toplotnom kapacitetu pri

stalnoj zapremini:

(

)


37

4. Gasni zakoni

Već smo ranije rekli da se kod gasova obično može zanemariti meĎusobna interakcija čestica

koje ih čine. Interakcija čestica se odvija samo prilikom elastičnih sudara. Osim toga

uglavnom je moguće zanemariti veličine atoma i molekula od kojih je on sastavljen, to jeste,

možemo ih smatrati materijalnim tačkama. Gas kod koga su ispunjeni ovi uslovi naziva se

idealni gas. Stanje takvog gasa odreĎeno je sa 3 parametra:

Temperaturom T,

Pritiskom p i

Zapreminom V

4.1. Boyle-Mariotteov (Bojl-Marijotov) zakon

Prvo kvantitativno mjerenje ponašanja gasa nezavisno jedan od drugog izvršili su engleski

fizičar Boyle i francuski fizičar Mariotte. Oni su došli do zaključka da se pritisak gasa mijenja

obrnuto proporcionalno zapremini ako se temperatura gasa drži konstantnom. Boyle-

Mariotteov zakon glasi:

„Proizvod pritiska i zapremine gasa pri konstantnoj temperaturi je konstantna veličina.“

Ovaj zakon možemo iskazati i na drugi način. Neka si p1 i V1 pritisak i zapremina odreĎene

količine gasa u stanju (1), a p2 i V2 pritisak i zapremina odreĎene količine gasa u nekom

drugom stanju (2). Boyle-Mariotteov zakon onda možemo napisati:

Prethodne jednačine za Boyle-Mariotteov zakon prikazane su grafički na ilustraciji 22.

Ilustracija 22. Izoterme.

Krive linije na kojima je temperatura konstantna nazivaju se izoterme. Procesi kod kojih je

jedan parametar konstantan, a druga dva se mijenjaju nazivaju se izoprocesi.


38

4.2. Gay-Lussacov (Gej-Lisakov) zakon

Francuski fizičar Joseph Louis Gay-Lussac je eksperimentalnim putem pokazao da se

zapremina gasa povećava zagrijavanjem. Za odreĎenu količinu gasa postoji linearna zavisnost

od temperature pri konstantnom pritisku (izobarski proces). Zapremina gasa se mijenja po

relaciji:

Gdje je V0 zapremina gasa na 0°C, a Vt zapremina gasa na temperaturi t. Veličina α je

takozvani zapreminski koeficijent širenja gasa i za sve gasove ima približno istu vrijednost:

Zavisnost zapremine gasa od temperature t ili apsolutne temperature T pri konstantnom

pritisku je linearna.

Ilustracija 23. Izobare.

Gay-Lussacov zakon možemo prikazati i preko apsolutne temperature T:

(

)


39

Općenito za promjenu bilo koja dva stanja gasa vrijedi:

Gay-Lussacov zakon glasi:

„Odnos zapremine i apsolutne temperature za neku količinu gasa ostaje konstantan pri

konstantnom pritisku.“

4.3. Charlesov (Šarlov) zakon

Francuski fizičar Jacques Charles je eksperimentalnim putem ustanovio da za odreĎenu

količinu gasa postoji linearna promjena pritiska sa temperaturom t pri konstantnoj zapremini

(izohorski proces), po relaciji:

Gdje su p0 i pt veličine pritiska pri temperaturama 0°C i t°C. β je koeficijent povećanja

pritiska.

Mjerenja su pokazala da je taj koeficijent za sve gasove približno jednak, ne zavisi od

temperature i ima istu vrijednost kao zapreminski koeficijent širenja gasa α. Zavisnost pritiska

gasa od temperature t ili apsolutne temperature T pri konstantnoj zapremini je linearan, pa

grafički prikaz odgovara pravoj koja se naziva izohora (ilustracija 20).

Ilustracija 24. Izohore.

Nagib izohore veći je za više pritiske i odgovara proizvodu:


40

Na sličan način kao kod Gay Lussacovog zakona i Charlesov zakon možemo prikazati preko

apsolutne temperature:

Ili uopšteno za promjenu bilo koja dva stanja pri konstantnoj zapremini vrijedi:

Charlesov zakon glasi:

„Odnos pritiska gasa i apsolutne temperature za neku količinu gasa ostaje konstantan pri

konstantnoj zapremini.“

Gay-Lussacov i Charlesov zakon ukazuju na postojanje najniže moguće temperature u prirodi

– apsolutne nule (-273,15°C) na kojoj idealan gas ne vrši pritisak na zidove posude. Ovo je

početak skale apsolutne temperature odnosno Kelvinove skale.

4.4. Opšta jednačina gasnog stanja za idealne gasove

Boyle–Mariotteov, Gay Lussacov i Charlesov zakon povezuju tri osnovne veličine kod gasa, a

to su pritisak, temperatura i zapremina. MeĎutim ove su veličine povezane u parovima pri

čemu je treća veličina uvijek konstantna. Na osnovu izraza za ove zakone možemo naći

jednačinu koja istovremeno povezuju sve tri osnovne veličine gasa. Da bi smo izveli tu

jednačinu poći ćemo od već poznate relacije:

Pošto se ta promjena vršila pri konstantnom pritisku onda se početni pritisak p0 na temperaturi

0°C nije promjenio. Zadržimo sada konstantnu temperaturu t i mijenjajmo zapreminu Vt onda

će se mijenjati i pritisak. Za ove promjene važi Boyle-Mariotteov zakon koji će u ovom

slučaju imati oblik:

Gdje su V i p proizvoljna zapremina i pritisak koji su nastali ovim izotermnim procesom.

Zapremina Vt već nam je poznata i ona je data relacijom (1). Uvrstimo njenu vrijednost u

izraz (2).


41

Neka je sada zapremina konstantna, a vrši se zagrijavanje gasa od 0°C do temperature t. Onda

će se povećati pritisak po već poznatoj relaciji:

Daljnjim zagrijavanjem pri konstantnoj temperaturi dobije se opet:

Uvrštavanjem vrijednosti za pt iz relacije (4) dobije se:

Općenito važi da je:

Jer smo do identičnog izraza došli ne samo povećavanjem pritiska uz konstantnu zapreminu

nego i povećavanjem zapremine uz konstantan pritisak. Jednačina (7) često se naziva

osnovnom jednačinom gasnog stanja. U praksi se prethodna relacija koristi u nešto

drugačijem obliku do kojeg se dolazi uvoĎenjem apsolutne temperature. Rekli smo da

zapreminski koeficijent širenja α ima približno istu vrijednost za sve gasove i iznosi:

Uvrstimo tu vrijednost u jednačinu (7).

(

)

Dobivena jednačina predstavlja jedan od oblika opšte jednačine gasnog stanja za idealne

gasove koja glasi:

„Proizvod pritiska i zapremine podijeljen sa apsolutnom temperaturom za neku količinu

idealnog gasa ostaje konstantan.“

Iz prethodne jednačine takoĎer slijedi:

Konstanta u ovoj jednačini zavisi samo od količine i vrste gasa. Očito je da će vrijednost te

konstante biti proporcionalna količini gasa. Zato je potrebno uvesti jedinicu za količinu


42

supstance – mol, što nam onda omogućava da konstantu u jednačini (9) napišemo u

univerzalnom obliku. Za sve gasove važi Avogadrov zakon koji glasi:

„Jednake zapremine svih gasova na istoj temperaturi i pritisku imaju jednak broj molekula.“

Na osnovu toga količinu supstance n možemo napisati kao:

Gdje je V zapremina gasa, Vm zapremina jednog mola, m masa gasa, M masa jednog mola, N

broj čestica gasa, NA broj čestica u jednom molu, takozvani Avogadrov broj koji ima

vrijednost:

Pri standardnim uslovima je:

Ako uvrstimo ovu vrijednost onda se za jedan mol idealnog gasa dobije:

Gdje je R univerzalna gasna konstanta.

Kada smo odredili vrijednost konstante onda jednačinu (9) za jedan mol možemo napisati

kao:

Odnosno za proizvoljnu količinu gasa od n molova:

Prethodna relacija predstavlja najčešće upotrebljivan oblik opšte jednačine stanja idealnog

gasa, a često se naziva i Clapeyronova(Klapejronova) jednačina. Kako je:

Onda prethodna jednačina prelazi u:


43

Gdje je kB Boltzmannova konstanta.

4.5. Stepeni slobode

Rekli smo da je unutrašnja energija funkcija stanja i da se iskazuje temperaturom gasa.

Izvedene relacije za gas zasnivaju se na načelu raspodjele energije po stepenima slobode.

Stepen slobode je jedan od načina kretanja molekule, na primjer, mogućnost pomaka

molekule u smijeru x ose je jedan stepen slobode. Za molekulu idealnog jednoatomskog gasa

vrijedi da se ona može pomjeriti u smijeru triju koordinatnih osa, to jeste ima tri stepena

slobode, pa je njena unutrašnja energija:

Gdje je i broj stepeni slobode.

Kinetička energija rotacije za atom je zanemariva. Za razliku od jednoatomskog gasa

molekula dvoatomskog gasa može i da rotira. Energija rotacije oko ose koja se poklapa sa

pravcem koji prolazi atomima je zanemariva, pa broj stepeni slobode za rotaciju dvoatomskog

gasa iznosi dva. Dvoatomska molekula može i oscilovati, ali je doprinos pri niskim

temperaturama zanemariv. Na višim temperaturama doprinos srednje energije molekule zbog

oscilovanja (model harmonijskog oscilatora) je:

To jeste doprinosi sa dva stepena slobode. Ukupni broj stepeni slobode dvoatomske molekule

je jednak zbiru broja stepeni slobode usljed translatornog, rotacionog i oscilatornog kretanja

kretanja.

Odnosno ukupna unutrašnja energija dvoatomske molekule je:


44

4.6. Jednačina stanja za realne gasove

Pri razmatranju modela idealnog gasa zanemarili smo meĎumolekularne sile i uzimali smo da

se gas sastoji od materijalnih tačaka. Jednačina stanja takvog gasa je:

Ona se može primijeniti i za realne gasove samo onda kada je gustoća gasa mala tako da su

molekule daleko jedna od druge, pa su onda meĎumolekularne sile zanemarive, a zapremina

molekula u odnosu na zapreminu posude takoĎer zanemariva. Ako to nije ispunjeno onda

dolazi do odreĎenog odstupanja. Postoji nekoliko jednačina stanja za realne gasove.

Holandski fizičar Van Der Waals (Van Der Vals) dobio je Nobelovu nagradu 1910 godine za

fiziku za rad na jednačini stanja za realne gasove i tečnosti. Njegova jednačina se može

napisati kao:

(

)

Gdje su a i b Van Ver Waalsove konstante specifične za svaki gas. Konstanta a je u vezi sa

privlačnim silama izmeĎu molekula, a je zapremina u kojoj se mogu kretati

molekule. Konstanta b uzima u obzir činjenicu da i molekule imaju odreĎenu zapreminu.

Zapremina je zapravo zapremina posude umanjena za zapreminu koju zauzimaju

molekule. Član

je dodatni pritisak koji nastaje zbog meĎumolekulrnih sila.


45

5. Termodinamika

5.1. Termodinamički procesi

Pošto je toplota oblik energije onda treba očekivati da ona može da se iskoristi za vršenje rada

ili da se transformiše u neki drugi oblik energije. U ovom poglavlju ćemo vidjeti da u prirodi

postoji niz osnovnih zakona koji opisuju dobijanje rada iz toplote i nameću odreĎena

ograničenja na efikasnost tog procesa. Oblast fizike koja se bavi tim pitanjima odnosno

toplotom i njenim transferom sa tijela na tijelo i konverzijom u rad naziva se termodinamika.

Pod pojmom termodinamičkog sistema podrazumijevamo takav sistem koji se sastoji od

odreĎene količine supstance smještene unutar neke površine ili zapremine. Termodinamički

proces predstavlja promjenu stanja nekog sistema pri čemu sistem prolazi kroz niz uzastopnih

stanja. Veoma su važni kružni procesi u kojima se sistem vraća u početno stanje. Postoje

povratni (reverzibilni) i nepovratni (ireverzibilni) termodinamički procesi. Proces je povratan

ako sistem prolazi kroz niz ravnotežnih stanja. U tom slučaju proces se može odvijati i u

suprotnom smijeru, vraćajući se u ista ravnotežna stanja u početno stanje. Ako to nije moguće

onda je proces nepovratan. Realni ili stvarni termodinamički procesi većinom su nepovratni.

5.2. Prvi zakon termodinamike

Ako sistemu ne dovodimo energiju iz vana kažemo da je sistem toplotno izolovan. Prvi zakon

termodinamike upravo predstavlja zakon održanja energije primjenjen na sisteme u kojima su

toplota i rad mogući načini za prenos energije u i iz sistema. Prema prvom zakonu

termodinamike promjena u unutrašnjoj energiji sistema jednaka je rezultujućoj prenesenoj

količini toplote u sistem ili iz sistema i ukupnog (rezultujućeg) izvršenog rada.

Pri izračunavanju rezultujućih veličina potrebno je pridržavati se odreĎenih pravila koja važe

za predznake pomenutih fizičkih veličina. Toplota koja ulazi u sistem je pozitivna a ona koju

odaje sistem je negativna, pa tako ukoliko je Q pozitivno to znači da je u ukupnom iznosu

veća toplota koju je primio sistem. Slično ako je A pozitivno veći je rad koji je sistem izvršio

od onoga koji je nad njim izvršen, a koji je negativan. Prvi zakon termodinamike možemo

napisati i u diferencijalnom obliku.

Znači kada sistemu dovodimo toplotu δQ tada se jedan njen dio može utrošiti na povećanje

unutrašnje energije sistema dU, a ostatak se pretvara u rad δA koji sistem daje okolini. Prvi

zakon termodinamike glasi:

"U izolovanom sistemu ukupna energija ostaje konstantna bez obzira na procese koji se

događaju u samom sistemu."

U prethodnoj relaciji samo je dU potpuni diferencijal odnosno diferencijal prave veličine

stanja, dok δQ i δA nisu diferencijali veličine stanja. Oznaka δ umjesto d ukazuje na to da


46

veličine δQ i δA zavise od načina na koji se vrši izmjena stanja sistema. Prvi zakon

termodinamike može se iskazati i na sljedeći načini:

„Perpetuum mobile prve vrste nije moguć, to jeste nije moguće konstruisati mašinu koja bi

radeći u ciklusima izvršila rad veći od vrijednosti energije u obliku toplote koja se dovodi

sistemu.“

5.3. Spoljašnji rad gasa pri različitim procesima

Izobarsku promjenu (p=const) već smo upoznali. Ako gas zagrijavamo njegovo stanje se

mijenja od stanja 1 do stanja 2. Prema prvom zakonu termodinamike dovedena toplota iznosi:

rad koji vrši gas u tom slučaju je:

∫

Možemo napisati i drugu relaciju za izvršeni rad u tom slučaju. Iz jednačine stanja za idealni

gas slijedi da je:

Ako to uvažimo onda rad koji izvrši gas je:

Kada su u pitanju izohorski procesi (V=const) dovedena količina toplote može se prema

prvom zakonu termodinamike izraziti kao:

Gas u ovom slučaju ne može izvršiti nikakav rad jer je V=const pa je dV=0 onda je i rad A=0.

Kod izotermnih procesa (t=const) unutrašnja energija se ne mijenja, a sva dovedena toplota

pretvara se u rad koji možemo izračunati iz početnog i krajnjeg stanja, dakle slijedi da je:

(

)

A izvršeni rad se računa po relaciji (8). Iz Boyle-Mariotteovog zakona slijedi da je:

Pa relaciju (8) za izvršeni rad pri izotermnim promjenama možemo napisati i kao:


47

5.4. Jednačina adijabate i rad gasa pri adijabatskim procesima

Procesi pri kojima sistem ne razmjenjuje toplotu sa okolinom (q=0) nazivaju se adijabatski

procesi. Takvi procesi se mogu dobiti na dva načina:

1. Dobrom izolacijom sistema i

2. Procesi su toliko brzi da sistem ne stigne da razmjeni toplotu sa okolinom.

Po prvom zakonu termodinamike je:

∫

∫

Kod adijabatske promjene stanja kako iz relacije (3) rad se vrši isključivo na račun unutrašnje

energije radnog tijela pa zbog toga adijabatska ekspanzija uzrokuje njegovo hlaĎenje. Da bi

izračunali sniženje temperature radnog tijela potrebna nam je jednačina adijabate. Adijabata je

kriva kojom prikazujemo adijabatsku promjenu. Da bi izveli jednačinu adijabate poći ćemo od

prvog zakona termodinamike ali ćemo prethodno detaljnije razmotriti molarni toplotni

kapacitet gasa. Molarni toplotni kapaciteti pri konstantnoj zapremini i pritisku se definišu

respektivno:

Na osnovu prvog zakona termodinamike slijedi:

Odnosno na osnovu prvog zakona termodinamike slijedi da je:

(

)

(

)


48

Time smo dobili vrijednost člana du u jednačini (5). Na sličan način kada je pritisak

konstantan (p=const) dobije se:

Uvrstimo prethodne relacije u izraz za prvi zakon termodinamike i iskoristimo jednačinu

stanja za idealne gasove.

( )

Jednačina (6) naziva se Mayerova relacija za molarne toplotne kapacitete i napisana preko

specifičnih toplotnih kapaciteta prelazi u:

Odnos naziva se adijabatski koeficijent. Njegova vrijednost je: =1,6666 za jednoatomne

gasove. =1,40 za dvoatomne gasove i =1,33 za troatomne gasove. Kada se radi o

adijabatskim procesima (Q=0) prvi zakon termodinamike ima oblik:

Iz jednačine stanja idealnog gasa slijedi da je:

(

)


49

Jednačina adijabate predstavljena je hiperbolom koja je nešto strmija od hiperbole koja

predstavlja izotermu u Boyle-Mariotteovom zakonu:

Ilustracija 25. Odnos izoterme i adijabate

Slično, jednačinu adijabate možemo napisati i na treći način:

Jednačine (7), (8) i (9) nazivaju se Poissonove (Poasonove) jednačine za idealni gas. Rad pri

adijabatskim procesima možemo izračunati po relacijama:

5.5. Drugi zakon termodinamike

Analiza procesa u prirodi pokazuje da se većina od njih odvija spontano samo u jednom

smjeru, to jeste da su nepovratni. Drugim riječima nepovratni procesi su oni koji zavise od

putanje po kojoj se odvijaju. Činjenica da se neki procesi nikada ne dešavaju u prirodi

upućuje na to da postoji neki zakon koji ih zabranjuje. Prvi zakon termodinamike ne

zabranjuje procese ukoliko se u njima ne krši zakon održanja energije. Zakon koji zabranjuje

ove procese je drugi zakon termodinamike i on se može iskazati na više načina. Dublja

analiza meĎutim pokazuje da su svi ti načini iskazivanja meĎusobno ekvivalentni. Smijer

prelaska toplote sa toplijeg tijela na hladnija je osnova verzije drugog zakona termodinamike.

„Toplota uvijek prelazi sa tijela više na tijelo niže temperature, dok se suprotan smjer

prelaska nikada ne odvija spontano (Rudolf Clausius).“

Drugim riječima nemoguć je proces u kome bi jedini rezultat bio prelazak toplote sa hladnijeg

tijela na toplije. Druga verzija drugog zakona termodinamike je:


50

„Nemoguć je proces u kome bi jedini rezultat bio potpuno pretvaranje apsorbovane toplote u

rad (Lord Kelvin).“

Treća verzija drugog zakona termodinamike je:

„Ne može se konstruisati perpetuum mobile druge vrste tj mašina koja bi potpuno pretvarala

toplotu u rad (Carnot).“

5.6. Toplotne mašine

To su takve mašine koje su sposobne da jedan dio spontanog toka toplote pretvore u koristan

rad. Princip njihovog rada prikazan je na ilustraciji 26.

Ilustracija 26. Toplotna mašina.

Toplota koja struji sa toplijeg tijela (toplijeg rezervoara) je Qt dok je izgubljena toplota

odnosno toplota koja je prešla na hladnije tijelo (hladniji rezervoar) Qh, a dobijeni rad pri

tome je koristan rad A. Temperature toplijeg i hladnijeg rezervoara su Tt i Th respektivno.

Idealan slučaj bi bio kada bi dobijeni koristan rad bio jednak toploti i kada ne bi bilo

toplote koja predstavlja gubitak , meĎutim, to nije moguće. Da bi otkrili razloge za

ovakvu situaciju potrebno je prvo da ispitamo relacije koje postoje izmeĎu A, Qt i Qh. Kružni

procesi dovode sistem u početno stanje na kraju svakog ciklusa. To znači da je unutrašnja

energija sistema U ista nakon svakog ciklusa odnosno da je U=0. Prema prvom zakonu

termodinamike je:

.

Kako je U=0 slijedi onda da je:

.


51

Kao što vidimo u svakom procesu postoji gubitak toplote Qh koji ponekad može da bude jako

veliki. Prirodno je onda da se efikasnost toplotne mašine definiše kao odnos onoga što kao

korisno dobijamo na kraju ciklusa i onoga što smo uložili na početku pa je onda koeficijent

korisnog dejatva toplotne mašine:

Iz relacije (1) se vidi da je koeficijent korisnog dejstva od 1 odnosno 100% moguć jedino ako

nema toplotnih gubitaka odnosno ako je Qh=0. U praksi uvijek je koeficijent korisnog dejstva

toplotnih mašina manji od jedinice jer se u kružnim procesima uvijek pojavljuje toplota Qh

koju treba odvesti.

5.7. Carnotov kružni proces

Neposredno nakon pronalaska toplotne mašine i njene praktične mogućnosti pretvaranja

toplote u mehanički rad uočeno je da se samo dio prisutne toplote pretvori u mehanički rad.

Ova činjenica proizilazi iz drugog zakona termodinamike. Naime, posljedica drugog zakona

termodinamike je da toplotne mašine ne mogu imati koeficijent korisnog dejstva 1 jer uvijek

moraju postojati gubitci toplote Qh. Iz relacije za koeficijent korisnog dejstva:

nije u potpunosti jasno koliko veliki ti gubitci moraju da budu. Ovo pitanje na teorijskom

nivou 1824-e godine riješio je francuski inžinjer Carnot proučavajući toplotne mašine koje su

u to vrijeme tek konstruisane i bile su najvažnije za industrijsku revoluciju. On je osmislio

najefikasniji mogući teorijski ciklus koji se danas zove Carnotov kružni proces, a mašine koje

koriste ovaj ciklus nazivaju se Carnotove mašine. Ključna Carnotova ideja je da ciklus treba

da se sastoji samo od povratnih procesa. Razlog tome je što su ireverzibilni procesi povezani

sa dodatnim toplotnim gubitcima usljed postojanja trenja. Takvi procesi bi doveli do

povećanja toplotnih gubitaka Qh, a time i smanjenja efikasnosti mašine. Drugi zakon

termodinamike iskazan preko povratnih procesa može se iskazati na sljedeći način:

"Carnotova mašina koja radi između dvije date temperature ima najveći mogući koeficijent

korisnog dejstva. Bilo koja druga toplotna mašina koja koristi samo povratne procese i radi

između tih temperatura imat će isti koeficijent korisnog dejstva kao i Carnotova. "

Na sljedećoj slici prikazan je Carnotov ciklus u PV dijagramu koji se sastoji iz dva izotermna

i dva adijabatska procesa.


52

Ilustracija 27. Carnotov ciklus.

Ako je radno tijelo gas izračunat ćemo njegov rad u pojedinim fazama:

I. Predstavlja izotermno širenje pri temperaturi Tt, gas dobije količinu toplote Qt i izvrši

rad:

II. Predstavlja adijabatsko širenje, to jeste vršenje rada na račun unutrašnje energije, gas

se ohladi od temperature Tt do temperature Th. Izvršeni rad je:

III. Predstavlja izotermno sabijanje gasa, to jeste gas se sabija radom vanjskih sila pri

čemu se stvara količina toplote Qh. Proces je izoterman, toplota se odvodi pa gas

ostaje na temperaturi Th. Izvršeni rad je negativan i iznosi:

IV. Predstavlja adijabatsko sabijanje gasa, to jeste gas se opet sabija radom vanjskih sila

pri čemu se njegova temperatura podiže sa Th na Tt jer se toplota ne odvodi. Rad gasa

je negativan i iznosi:

Ukupan rad u sve 4 faze je:

jer se vidi da je:


53

Budući da rad kod adijabatskih procesa zavisi samo od razlike temperatura. Sa druge strane,

prema zakonu održanja energije ukupan rad A mora biti jednak algebarskom zbiru dovedene i

odvedene toplote. Izračunajmo taj rad: (8)

Prelazi iz I i IV su adijabatski pa za njih važi Poassonov zakon.

Dijeljenjem prethodnih izraza dobije se:

Uvrštavanjem ovoga u relaciju za ukupan rad (1) dobije se:

.

Korisno je takoĎer odrediti koeficijent korisnog dejstva mašine koja radi po Carnotovom

kružnom procesu:

Iz ovog Carnotovog rezultata slijedi da je jedina mogućnost da toplotna mašina ima efikasnost

od 100% ukoliko je hladniji rezervoar toplote na temperaturi Th=0K što ni praktično ni


54

teorijski nije moguće postići. Obzirom na to, najefikasnija mašina je ona kod koje je odnos

što je moguće manji, a to se postiže većom temperaturnom razlikom izmeĎu toplijeg i

hladnijeg rezervoara

5.8. Entropija

Prvi zakon termodinamike definisan je konstantnošću funkcije U u izolovanom sistemu.

Treba naći i funkciju koja izražava temelj drugog zakona termodinamike, odnosno koja

ukazuje na jedan smjer procesa u izolovanom sistemu. Vidljivo je da promjena te funkcije

treba imati isti predznak za sve realne, to jeste nepovratne procese u izolovanim sistemima.

Tako za razliku od prvog zakona, drugi zakon kada se primjeni na neciklične nepovratne

procese treba biti izražen nejednakošću. U Carnotovom ciklusu u kojem imamo nepovratne

procese je:

Preko ovih odnosa definiše se nova fizička veličina koja se naziva entropija. Zapravo

promjena entropije S za povratni proces pri kome sistem razmjenjuje toplotu Q na

temperaturi T je:

(

)

Jedinica za entropiju u SI je

.

Ova definicija promjene entropije je strogo uzevši tačna samo za povratne procese poput onih

koji se odvijaju kod Carnotove mašine. Kako meĎutim entropija kao i unutrašnja energija

zavisi samo od početnog i krajnjeg stanja sistema, a ne i od načina na koji je sistem evaluirao

od jednog do drugog promjena entropije može se dobro definisati i za realne procese.

5.8.1. Entropija povratnih procesa

Postavlja se pitanje kolika je promjena entropije u Carnotovoj mašini i njenim toplotnim

rezervoarima u jednom ciklusu? Toplijem rezervoaru se smanjuje entropija za iznos:

jer sa njega odlazi toplota. Hladnijem raste toplota za iznos:

jer on dobija toplotu. Ukupna promjena entropije je:


55

Kako je kod Carnotovih mašina:

onda je:

Na osnovu prethodnog se može zaključiti da je promjena entropije sistema pri bilo kom

povratnom procesu jednaka nuli. Entropija dijelova sistema može da se promjeni ali je njena

ukupna promjena jednaka nuli.

Budući da se svaki kružni proces može predstaviti sa beskonačno velikim brojem beskonačno

malih Carnotovih kružnih procesa prethodna jednačina važi za svaki povratni proces. Kod

neizotermnih procesa voĎenje povratnog procesa zahtjeva beskonačno veliki broj toplotnih

izvora i rashladnih rezervorara odreĎenih temperatura. Uzevši da je T=const. za svaki

elementarni dio toplotne izmjene slijedi:

a za cijeli ciklus:

∮

Prema tome algebarski zbir

(redukovana toplota) za neki reverzibilni kružni proces jednak

je nuli. Uočljivo je da izraz

ima osobinu veličine stanja jer mu je integral po zatvorenoj

krivoj tog ciklusa jednak nuli. To znači da izraz

ima potpuni diferencijal iako δQ nije

potpuni diferencijal.

Rudolf Klauzijus je izraz

označio sa dS pri čemu je S nazvao entropija (od grčke riječi

entrepo – pretvaranje, preobražaj). Entropija za povratne procese je tako izražena sljedećom

jednačinom:

odakle slijedi da je:


56

a to je matematički izraz drugog zakona termodinamike. Entropija je dakle funkcija stanja

sistema koja je odreĎena time što je njen diferencijal u jednom elementarnom kružnom

procesu jednak odnosu izmeĎu beskonačno male količine izmjene toplote i termodinamičke

temperature sistema. Za konačnu promjenu u sistemu slijedi da je:

∫

∫

Za izotermne procese jednačina (1) postaje:

a za adijabatske:

5.8.2. Entropija nepovratnih procesa

Razmotrimo takav izolovani sistem kojeg čine dva tijela (tijelo 1 i tijelo 2). IzmeĎu njih, jer

su izolovani od okoline, odvija se isključivo proces izmjene toplote. Prema drugom zakonu

termodinamike toplota može prelaziti samo sa toplijeg na hladnije tijelo, to jeste sa tijela 1 na

tijelo 2. Odmah se vidi da je ovaj proces izmjene toplote pravi nepovratni proces. Ukupna

promjena entropije posmatranog izolovanog sistema jednaka je zbiru promjena entropije

pojedinih tijela tog sistema.

Gdje je:

Ista količina toplote koja se odvodi (-Q) od tijela 1 dovodi se tijelu 2 (+Q) pa je:

(

)

Kako je T1>T2 slijedi da je dS>0. Na osnovu prethodnog može se zaključiti da entropija bilo

kog sistema u kome se dešavaju nepovratni procesi raste. Koristeći dobivene činjenice za


57

promjenu entropije pri povratnim i nepovratnim procesima može se zaključiti da je ona

konstantna ili raste. Ovim se dolazi do četvrte verzije drugog zakona termodinamike

izraženog preko entropije:

„Ukupna entropija se nikada ne smanjuje u procesima već može ili da raste ili da ostane

konstantna.“

Matematički:

Gdje se jednakost odnosi za povratne, a nejednakost za nepovratne procese. Fizičar

Boltzmann je utvrdio da različiti sistemi u prirodi spontano prelaze iz stanja manje u stanje

veće neureĎenosti jer im se tada povećava vjerovatnost. Veza izmeĎu entropije i vjerovatnosti

P da se sistem naĎe u nekom stanju po Boltzmannu je:

gdje je k Boltzmannova konstanta. Iz relacije (1) se vidi da je entropija nekog sistema

proporcionalna logaritmu vjerovatnosti makroskopskog stanja sistema. Pri prelazu iz manje

vjerovatnog stanja u vjerovatnije stanje entropija se povećava pa entropija pokazuje smjer

odvijanja procesa. Entropija izolovanog sistema se ne može smanjivati. Ravnotežno stanje je

stanje najveće neureĎenosti (najveća haotičnost) meĎu česticama posmatranog sistema.

Documents

Fizika 2 Teorija