Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Oddelek za fiziko

Fizika Riemannove hipoteze

Seminar

Jure Aplinc, dipl. fiz. (UN)Mentor:

prof. dr. Tomaz Prosen

11. april 2012

Povzetek

Fiziki smo vajeni specialnih funkcij, saj se z njimi srecujemo pogosto kadar zelimo kaksenproblem analiticno resiti. Na primer pri vodikovem atomu kot resitve dobimo Laguerrovepolinome in sferne harmonike, pri nasem najljubsem modelu, kvantnem harmonskem osci-latorju pa Hermitove polinome. V tem seminarju bomo govorili o Riemannovi funkciji zeta,funkciji iz teorije stevil. Raziskali bomo tudi njen vpliv na fiziko in razpravljali o fizikal-nem prispevku k dokazu slavne, vec kot 150 let stare, Riemannove hipoteze. Ogledali sibomo nekaj modelov iz klasicne in kvantne teorije kaosa, katerih resitve lahko povezemo zRiemannovo funkcijo zeta, opazili pa bomo tudi, da ta funkcija predstavlja povezavo medobema.

Kazalo

1 Uvod 2

2 Riemannova hipoteza in teorija stevil 32.1 Riemannova funkcija zeta in prastevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Porazdelitev nicel Riemannove funkcije zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Klasicna mehanika 53.1 Integrabilni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Kaoticni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Kvantna mehanika 84.1 Integrabilni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Neintegrabilni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Zakljucek 12

1

1 Uvod

Obstajajo arheoloski dokazi, po katerih lahko sklepamo, da ljudje znamo steti ze vsaj 50000let. Tudi zivali so sposobne lociti ena, dva in tri, toda samo ljudem je uspelo razviti abstraktnomisljenje, s katerim so razumeli lastnosti teh stevil. Najprej so zaceli uporabljati naravna stevilain definirali nad njimi razlicne operacije na primer sestevanje, odstevanje, mnozenje in deljenje,ki so nam dobro znane ze iz mladih let. Kljub temu, da smo prepricani, da jih ze dobro poznamo,prav deljenje tvori se vedno ne najbolje raziskano strukturo znotraj naravnih stevil - prastevila.To so stevila, ki so deljiva zgolj z samim seboj in stevilom 1. Starogrskemu matematiku Evkliduje ze okoli leta 365 pr.n.st. uspelo dokazati, da obstaja neskoncno takih stevil, Erastosten izKirene pa je cez 100 let iznasel preprost algoritem za iskanje prastevil. Kljub temu, da se jematematika od casa Erastostena do danes mocno razvila, predstavlja iskanje prastevil se vednovelik izziv. Prastevila so precej zanimiva, saj se zdi, da se pojavljajo nakljucno, hkrati paubogajo porazdelitev [1], ki jo priblizno poznamo. Zaradi te kontradiktornosti so se z njimiveliko ukvarjali matematiki, med prvimi Evklid, ki je na mnogo nacinov dokazal, da jih jeneskoncno, kot smo ze omenili. Kasneje je Leonard Euler dokazal mocnejsi izrek [1]∑

p∈P

1

p=∞, (1.0.1)

ki potrjuje Evklidove dokaze, hkrati pa dokazuje, da se prastevila med naravnimi stevili poja-vljajo redno. Nadalje se je ukvarjal z analizo vrste

∑n∈N n

−k, ki je pri izbiri k = 1 dobro znanadivergentna harmonicna vrsta, za R 3 k > 1 pa konvergira. Dokazal je, da jo lahko zapisemokot neskoncen produkt [1, 2], ki tece po vseh prastevilih

ζ(k) =∞∑n=1

1

nk=∏p∈P

(1− 1

pk

)−1. (1.0.2)

Ako izberemo k > 1 ni mogoce, da bi bil katerikoli faktor v vsoti 0, to pa pomeni, da ζ(k) na po-zitivnem realnem poltraku nima nicel. Zgornjo produktno formulo (1.0.2) je prvi s kompleksnoanalizo obravnaval Bernhard Riemann in dokazal, da je mogoce funkcijo

ζ(z) =∞∑n=1

1

nz(1.0.3)

analiticno razsiriti na celotno kompleksno ravnino, razen v tocki z = 1 1, kjer funkcija divergira.Tako razsirjeni analiticni funkciji pravimo Riemannova funkcija zeta.

Ob pogledu na enacbo (1.0.2), ki jo imenujemo Eulerjeva produktna formula [2] si lahkomislimo, da je funkcija ζ konstruirana s prastevili. Zaradi te abstraktne definicije se nam na prvipogled najbrz zdi, da v fiziki ne bo igrala pomembne vloge, kar pa ni res. Riemannova funkcijaζ se pogosto pojavlja v problemih iz najrazlicnejsih podrocji teoreticne fizike. V nadaljevanjuse bomo osredotocili na mejo med fiziko in teorijo stevil in si ogledali primer uporabe funkcije ζv klasicni mehaniki, najvec casa pa bomo posvetili kvantni mehaniki. S pomocjo Gutzwillerjeveenacbe bomo izvedli kvantizacijo neintegrabilnih2 sistemov, pri tem pa ugotovili, da lahko spomocjo Riemannove funkcije ζ dolocimo lastnosti hamiltonjana za nek sistem, ki ga sploh nepoznamo.

1S crko z kot obicajno oznacimo kompleksno stevilo z = x+ iy.2Integrabilni sistemi so sistemi, ki so analiticno resljivi, kaoticni oziroma neintegrabilni pa analiticno niso

resljivi.

2

2 Riemannova hipoteza in teorija stevil

Riemann je izpeljal tudi funkcionalno enacbo [2], v kateri nastopa funkcija ζ

π−z/2Γ(z

2

)ζ(z) = π−(1−z)/2Γ

(1− z

2

)ζ(1− z), (2.0.4)

ki je definirana za vse kompleksne z in vsebuje zrcalno simetrijo glede na vertikalno os x = 1/2,ki jo imenujemo kriticna os. Kot vidimo imamo funkcijo ζ na obeh straneh enacbe, enkratz argumentom z, drugic z 1 − z. S pomocjo te zveze lahko ugotovimo kje se nahajajo nicle.Ugotovili smo ze, da jih za pozitivna realna stevila ni, zato si poglejmo primer, ko je x < 0 iny = 0. Produkt na eni ali na drugi strani je lahko nic le v primeru, ce je kateri od clenov 0,to pa na desni strani ni mogoce, saj so vsi vecji od 0 in nimajo nicel. Na levi strani pa imafunkcija Γ(z/2) pol 1. stopnje tedaj ko je njen argument celo negativno stevilo (z = 2Z−).Desna stran nima polov, tako da je enacba izpolnjena le ce ima funkcija ζ niclo 1. stopnje ravnotam kjer ima Γ pol. Ker je lokacija teh nicel dolocena s funkcijo Γ jim pravimo trivialne nicle[2]. S podobnim argumentom ugotovimo, da vse ostale nicle lezijo na obmocju 0 ≤ x ≤ 1, kiga imenujemo kriticni trak. Iz definicije funkcije ζ (1.0.3) je ocitno, da velja ζ(z∗) = ζ(z)∗ [2],kar pomeni, da je z nicla le v primeru, ko je tudi z∗ nicla za ζ. Tedaj torej nicle v kompleksniravnini lezijo zrcalno glede na realno os. Na sliki 1 imamo narisan pol in nicle funkcije ζ.

Slika 1: Slika prikazuje kompleksno ravnino, na njej pa so oznacene znacilnosti funkcije ζ. Nicleso oznacene s crnimi pikami, narisane so tudi mozne netrivialne nicle, ki ne lezijo na kriticni osi[1].

Nasa diskusija o niclah funkcije ζ do sedaj ni bila videti prav nic zapletena, v resnici jelokacija netrivialnih nicel po 150 letih se vedno nereseno vprasanje, saj matematikom se ve-dno ni uspelo dokazati Riemannove hipoteze, ki pravi da vse netrivialne nicle lezijo na kriticni

3

osi. Leta 1900 je David Hilbert problem uvrstil na seznam 24 neresenih natematicnih pro-blemov, ponovno je bil problem uvrscen med 7 nagradnih problemov “The Millennium PrizeProblems”[3] Bostonskega instituta “Clay Mathematics institute”, ki za resitev vsakega ponujamiljon dolarjev.

Matematiki so se zato veliko ukvarjali s tem problemom, leta 1914 je Godfrey Harold Hardydokazal, da je nicel na kriticni osi neskoncno mnogo. Nato je leta 1942 Atle Selberg pokazal, dastevilo nicel na kriticni osi raste

N0(T ) > CT ln(T ); C > 0. (2.0.5)

Kasneje je Norman Levinson dokazal se, da na kriticni osi lezi vsaj 2/5 netrivialnih nicel.Nikomur pa ni uspelo neposredno dokazati Riemannove hipoteze.

2.1 Riemannova funkcija zeta in prastevila

Vrnimo se k povezavi med Riemannovo funkcijo ζ in prastevili, ki smo jo brzkone opazili ze venacbi (1.0.2). Ta bo se lepse vidna, ce si ogledamo, kako se stevilo vseh prastevil pod nekoizbrano mejo spreminja s premikanjem te meje. Oglejmo si torej komulativno porazdelitevprastevil [1], ki jo je izpeljal Riemann:

π(x) =∞∑n=1

µ(n)

nJ(x1/n), (2.1.1)

kjer je

J(x) = Li(x)− limT→∞

∑|ρ|<T

Ei[ρlog(x)]

+

∫ ∞x

dt

(t2 − 1)tlog(t)− log(2). (2.1.2)

Funkciji µ, ki nastopa v enacbi (2.1.1) recemo Mobiusova3 funkcija [1], z ρ pa so oznacene netri-vialne nicle Riemannove ζ. Ako bi vedeli kje lezijo nicle4 funkcije ζ, bi poznali tudi porazdelitevprastevil, ki si jo poglejmo na sliki 2.

Ce vzamemo v enacbi 2.1.1 zgolj prvi red vidimo, da je stevilo prastevil pri zgornji meji xvedno manjse kot Li(x) 5 , cemur pravimo izrek o prastevilih.

2.2 Porazdelitev nicel Riemannove funkcije zeta

Ce zelimo vedeti kaksna je porazdelitev prastevil, moramo poznati porazdelitev nicel funkcijeζ, ki jo lahko zapisemo takole:

d(T ) =∑k

δ(T − ρk), (2.2.1)

s tem nismo povedali nic novega, saj nicel ζ ne poznamo. Lahko pa porazdelitev nicel (2.2.1)razdelimo na gladek del in na del, ki oscilira [1] d(T ) = d(T ) + dosc(T ), kjer sta

d(T ) =1

2πln

(T

2π

)+ 1− 1

2π+O(T−1), (2.2.2)

3Mobiusova funkcija je definirana tako, da je µ(1) = 1, µ(n) = 0, ce je n deljiv z 2. Ce n ni deljiv z 2 gazapisemo kot produkt prastevil in velja µ(p1p2 · · · pk) = (−1)k, ako so vsi pi razlicni.

4A. M. Odlyzko je leta 1988 z veliko natancnostjo numericno izracunal netrivialne nicle Riemannove funkcijeζ vse do 1020.

5Logaritemski integral je definiran z Li(x) =∫ x

0dt

ln(t). V definiciji J(x) 2.1.2 je uporabljen tudi eksponentni

integral Ei =∫ x

−∞et

tdt.

4

Slika 2: Na grafu imamo komulativno funkcijo porazdelitve prastevil π in njene aproksimacije vprvem redu in v dveh primerih, ko vzamemo le prvih 10 ali 30 netrivialnih nicel. Vec nicel kotvzamemo bolje se krivulja prilega eksaktni komulativni porazdelitvi, aproksimacija pa postajavedno boljsa tudi za vecje argumente. Opazimo tudi, da je funkcija Li vseskozi nad pravokomulativno porazdelitvijo prastevil, kot pravi izrek o prastevilih [1].

dosc(T ) = − 1

π

∑p∈P

∞∑r=1

ln(p)cos(rT ln(p))√pr

. (2.2.3)

Oscilirajoci del (2.2.3) nam napravi fluktuacije v gladkem delu d, ki so posledice prispevkovposameznih prastevil. Ce si pogledamo komulativno porazdelitev nicel ζ ugotovimo, da stevilonicel raste eksponentno [1, 2] z narascajoco zgornjo mejo. Kasneje bomo videli, da obstajapodobnost med niclami funkcije ζ in periodicnimi orbitami kaoticnega sistema, kjer steviloperiodicnih orbit prav tako narasca eksponentno.

3 Klasicna mehanika

Nekateri problemi v klasicni mehaniki so analiticno resljivi na primer Keplerjev problem dvehteles, harmonski oscilator in se nekateri drugi. Toda prav kmalu naletimo na probleme, ki nisoanaliticno resljivi. Eden taksnih je problem treh teles, ki je ostal neresen vec kot 100 let, natopa je Poincare dokazal, da to niti ni mogoce, saj je gibanje tega sistema kaoticno [1]. V klasicnimehaniki locimo dva tipa sistemov integrabilne in kaoticne, kot smo na primeru povedali zgoraj.Integrabilni dinamicni sistemi, imajo prav toliko neodvisnih konstant gibanja In, kot prostostnihstopenj N . Za taksne sisteme lahko izrazimo Hamiltonjan z temi spremenljivkami[1, 4] H =H(I1, . . . , IN ), enacbe gibanja

dφndt

= − ∂H∂In

indIndt

=∂H∂φn

(3.0.4)

so enostavno resljive, saj je In = konst. in φn = φn,0 + ωnt. V posebnem primeru, ko imamo leeno prostostno stopnjo, je sistem nujno integrabilen, ce pa povecamo stevilo prostostnih stopenjali pa vzamemo casovno odvisen hamiltonjan je nas dinamicni sistem lahko kaoticen.

5

Najenostavnejsi modeli z dvema ali vec prostostnimi stopnjami so klasicni biliardi, saj imadelec konstantno energijo, in je zaprt v koncen volumen z neskoncno togimi stenami. Od njihoveoblike [4] pa je odvisno ali je sistem kaoticen ali integrabilen.

3.1 Integrabilni sistemi

V biliardu s kroznimi stenami, slika (3), je zaradi rotacijske simetrije gibanje zelo preprosto, sajvpadni kot ostane enak po vsakem odboju.

Slika 3: Krozni biliard (levo) je integrabilen sistem, Bunimovichev stadion (desno) pa je primerkaoticnega sistema. Na obeh imamo narisan po en primer periodicne in neskoncne orbite [1].

Ce je ta mπ/n in sta m in n tuji si stevili, tedaj je orbita periodicna [1] s periodo n,torej koncna. Sicer pa je orbita neskoncna, tocke, v katerih se delec odbije od stene, pa sopo njej porazdeljene enakomerno. Sistem je integrabilen, saj je rotacijsko simetricen, kar jeekvivalentno ohranitvi vrtilne kolicine. Trajektorijo lahko opisemo zgolj z dvema kotoma β inψ, ki sta definirana na sliki 4, dinamiko pa narekuje (β, ψ) 7→ (β + π − 2ψ,ψ), kjer vse kotejemljemo mod(2π).

Slika 4: Krozni biliard z luknjama sirine ε v steni. Sedaj za opis gibanja potrebujemo stiriparametre, kot vidimo s slike. Obravnavali bomo krozni biliard, iz katerega bomo izrezali enoin nato se eno luknjo.

Gibanje delca bomo najbolje opisali v kanonicnih Birkhoffovih koordinatah [4], ki sta koor-dinata vzdolz stene q = β in tangentni impulz p = sin(ψ). Fazni prostor smo tako omejili natorus 0 ≤ q < 2π in −1 < p < 1. Zaradi izbire kanonicnih koordinat je cas med dvema zapo-rednima trkoma ∆t = 2cos(ψ). Kljub temu, da se bralcu brzkone dozdeva, da nas sistem nima

6

veliko opraviti z realnostjo, to ni res, z njim in podobnimi modeli lahko namrec modeliramoelektromagnetno polje v opticnih ali mikrovalovnih tuljavah [1]. Taksni eksperimentalni sistemiseveda niso idealni, saj je njihov namen oddajanje elektromagnetnega valovanja. Nas sistempriblizamo realnemu tako, da v steno napravimo luknjo, slika (4), in tako dovolimo disipacijo. Iznasega biliarda bo torej po nekem stevilu odbojev usel delec, zato je normalno, da se vprasamokaksna je verjetnost P(n), da delec zapusti sistem ravno po n odbojih in kaksno je povprecnostevilo odbojev preden se to zgodi, kar je ekvivalentno verjetnosti, da delec pobegne ob casu t.

Verjetnost, da delec uide iz biliarda je sorazmerna z velikostjo luknje ε v steni in dimenzijocelotne stene L, po kateri je verjetnostna gostota delcev enakomerno razmazana, torej p = ε/L.Verjetnost, da delec prezivi v biliardu prvih n−1 odbojev in uide prav pri n−tem je (1−p)n−1p,iz cesar hitro izracunamo stevilo odbojev, ki jih delec v povprecju naredi preden uide iz biliarda

〈nescape〉 =∞∑k=1

k(1− p)(k−1)p =1

p∝ 1

ε. (3.1.1)

S pobegom iz kroznega biliarda z eno luknjo res ni bilo prav veliko dela, poglejmo si kajse zgodi, ce v biliard napravimo dvoje lukenj sirine ε. Prav tako kot zgoraj, obravnavamozgolj neperiodicne orbite, periodicne so namrec trivialne. Pricakovali bi, da bo po analogiji sprejsnjim primerom povprecno stevilo odbojev pred pobegom 〈nescape〉 ∝ 1/2ε, ako se luknji neprekrivata. V resnici v sistemih, kjer se trajektorije ne razlikujejo mocno, se pravi takih, kjerje Lyapunov eksponent blizu 0, pride le majhen del delcev skozi luknji v steni. Povprecen cas,ki ga delci prebijejo v biliardu pa je zato sorazmeren ε [1].

Ce izberemo zacetni kot ψm,n = π/2−mπ/n, kjer sta m,n ∈ N tuji si stevili, tedaj je orbitakoncna. Ce smo ta kot pravilno izbrali, bo delec usel iz biljarda vsaj v n korakih, sicer pasploh ne. Mi pa bi radi raziskali le tiste zacetne pogoje, pri katerih bo delec ravno ob casu t,oziroma ravno po N = b2π/εc odbojih zapustil sistem, to pa dosezemo tako, da malo zmotimoperiodicno orbito [1] ψ = ψm,n + η, kjer je 0 < η � ε, kot β pa omejimo na obmocje:

β′0 ∈

(ε+

ηt

cos(ψm,n), θ′)⋃(

θ′+ ε+

ηt

cos(ψm,n),2π

n

). (3.1.2)

Verjetnost da delec ob casu t zapusti sistem izracunamo tako, da sestejemo preko vseh mogocihzakljucenih orbit ψm,n, torej preko vseh parov (m,n), pri pogoju, da sta ti dve stevili tuji. Pointegriranju preko obmocja 3.1.2 dobimo verjetnost

P(t, ε, θ) ∼ 1

t

N∑n=1

nF(n)∑m

[1− cos

(2mπ

n

)]. (3.1.3)

Za naso diskusijo funkcija F ni pomembna. Presenetljivo je, da lahko vsoto po m eksplicitnosestejemo, prvi clen v oklepaju zgolj steje koliko pozitivnih naravnih stevil je manjsih in hkratitujih stevilu n, kar je ravno definicija Eulerjeve funkcije φ. Z nekaj racunanja se izkaze, da jedrugi clen ravno Mobiusova funkcija [1], ki smo jo omenili tudi v razdelku 2.1. Verjetnost, da vtakem biliardu dobimo orbito, ki bo luknjama navkljub ostala zaprta znotraj sistema je [1]

P∞ = limt→∞

(tP(t, ε, θ)) ∼∞∑n=1

n[φ(n)− µ(n)]F(n). (3.1.4)

Vodilni red P∞ dobimo z Mellinovo transformacijo

P(s) =

∫ ∞0

P∞(ε, θ)εs−1dε. (3.1.5)

7

Bunimovich in Detteman [1] sta pokazala, da je ta verjetnost P(s) popolnoma dolocena z ne-trivialnimi niclami in polom Riemannove funkcije ζ(s), kadar sta luknji v steni razmaknjeni za0o, 60o, 90o, 120o in 180o. Prvi popravek k vodilnemu redu pa je dan z netrivialnimi niclamiζ(s + 1). Ocitno je Riemannova funkcija ζ iz teorije stevil mocno povezana s tem cisto fizikal-nim sistemom, kar je osupljivo. Se vec, v tem trenutku imamo fiziki moznost, da preverimoveljavnost nasih asimptotskih priblizkov in s tem veljavnost Riemannove hipoteze. Eksperimen-talni6 rezultati, ki sta jih dobila Bunimovich in Detteman [1] ne zavracajo Riemannove hipoteze,dokazati je pa tudi ne morejo, saj eksperiment ni orodje teoreticne matematike.

3.2 Kaoticni sistemi

Do zdaj smo se ukvarjali z zelo enostavnimi kroznimi biliardi, sedaj pa se bomo posvetili boljsplosnim. Ce steno nasega kroznega biliarda zvezno deformiramo v neko poljubno obliko, analizani vec tako enostavna, saj sistem postane kaoticen. Za naso diskusijo vzemimo, da krog defor-miramo v obliko Bunimovichovega stadiona (slika 3). Tudi v tem primeru orbite klasificiramona periodicne, za katere velja {qn(t1), pn(t1)} = {qn(t2), pn(t2)}; t1 < t2 in na neperiodicne.Kvalitativno se nam zdi, da so prve prava redkost, saj v integrabilnih sistemih stevilo peri-odicnih orbit raste polinomsko. Ko imamo neintegrabilen sistem, bi pricakovali, da se bo steviloperiodicnih orbit zmanjsalo, vendar to ne drzi. Prav nasprotno, njihovo stevilo se pravzapravse hitreje povecuje in za splosno Hamiltonsko dinamiko raste eksponentno [1, 4] ∼ ehl/hl zdolzino periodicne orbite l, kjer h oznacuje topolosko entropijo. Razlika med integrabilnimiin kaoticnimi sistemi je torej velika. Posebej presenetljivo pa je, da so periodicne orbite zelomocno analiticno orodje, ki nam je v pomoc pri analizi kaoticnih sistemov in enacbah sledi7

med klasicno in kvantno mehaniko, kar bomo obravnavali v naslednjem poglavju.Oglejmo si v splosnem se casovni razvoj toka Hamiltonjana. Vzemimo trajektorijo r(t) =

F (r0, t), ki je ob casu 0 v zacetni tocki r0. Vpeljimo se operator razvoja [1, 4] oziroma tok [4]

L(t; r′, r) = δ(r′ − r(t)) = δ(r′ − F (r0, t)). (3.2.1)

Za klasicen neintegrabilen sistem lahko pokazemo [4], da velja

Tr(L(t; r′, r)) =∑p

Tp

∞∑r=1

δ(t− rTp)| det(1− Jrp)|

, (3.2.2)

kjer prva vsota tece po vseh periodicnih orbitah oznacenih s p z dolzino Tp , druga pa sesteje vseponovitve r. Jp imenujemo matrika monodromije in je jakobijeva matrika vektorske funkcijeF , ki jo opazujemo v bliznji okolici peiodicne orbite. To enacbo lahko interpretiramo tudigeometricno [4]. Sled operatorja toka je skoncentrirana na nekaksno cev, ki objema periodicnoorbito, z dolzine Tp in debelino 1/|det(1− Jrp)|.

Z enacbo (3.2.2) nam je uspelo povezati spekter [4] evolucijskega operatorja s periodicnimiorbitami. To enacbo bomo v naslednjen poglavju povezali z Riemannovo funkcijo ζ.

4 Kvantna mehanika

Kvantna mehanika je bila postavljena iz zelje, da bi znali pojasnili do takrat neznane spektreplinov. Ze pred pravim razvojem kvantne mahanike je Bohru z nekaj predpostavkami uspelopojasniti spekter vodikovega atoma. Sisteme so takrat kvantizirali tako da so diskretiziralivrednosti spremenljivk v klasicni akciji. V pravi kvantni mehaniki pa sistem kvantiziramo tako

6Ko govorimo o eksperimentih, mislimo na numericne simulacije.7Po anglesko trace formula.

8

da spremenljivke zamenjamo z operatorji. Pricakujemo pa, da bo kvantna mehanika za velikesisteme dajala enake rezultate kot klasicna mehanika, kar imenujemo Bohrov korespondencniprincip, ki je most med obema teorijama. To idejo bomo uporabili tudi, ko bomo iskali povezavomed klasicnimi in kvantnimi sistemi s pomocjo Riemannove funkcije ζ.

Ce zelimo sisteme obravnavati kvantno, jih moramo kvantizirati in resiti Schrodingerjevoenacbo, kar najveckrat ni enostavno. Zato si mocno zelimo da bi nekaj vedeli o energijskemspektru kvantnega sistema ne da bi morali zato resiti Schrodingerjevo enacbo. Seveda nepricakujemo, da bomo tako dobili celoten spekter energij, zadovoljni bomo ze, ce bomo po-znali povprecno gostoto stanj. Napravimo grob priblizek in predpostavimo, da vsako kvantnostanje zaseda priblizno (2π~)f faznega prostora, kjer je f stevilo prostostnih stopenj. V resnicita predpostavka niti ni tako slaba, saj se kvantni sistemi razlikujejo le v fluktuacijah okoli tegapovprecja [1]. Te fluktuacije pa so odvisne od lastnosti podobnega, vendar klasicnega sistema,te pa smo ze obravnavali v razdelku 3. Locili smo jih na integrabilne oziroma regularne [1] inna neintegrabilne oziroma kaoticne sisteme, ki so si precej razlicni. Za primer vzemimo klasicenkvadratni biliard, ki je integrabilen, ko pa ga obravnavamo kvantno, dobimo kaoticen energijskispekter, pri katerem je razdalja med energijski nivoji s = εn − εn−1 porazdeljena po eksponen-tni distribuciji P(s) ∼ e−s [1]. Toda klasicno neintegrabilen Bunimovichev stadion v kvantniobravnavi postane regularen [1], kar pomeni, da je porazdelitev energijskih nivojev P(s) boljkorelirana. Pravzaprav je ta porazdelitev energijskih nivojev podobna distribucji nicel Rieman-nove funkcije ζ. Zaradi tega zanimivega dejstva preverimo, ce je mogoce povezati dinamicnesisteme z Riemannovo funkcijo ζ.

Prednost takega pristopa je, da poznamo veliko stevilo nicel Riemannove funkcije ζ [2],imamo pa tudi hitre algoritme za izracun novih. Resevanje Schrodingerjeve enacbe bi bilotorej nepotrebno. Tako bi Riemannova funkcija ζ imela podobno vlogo za obravnavo kvantnihkaoticnih sistemov kot jo ima harmonski oscilator za obravnavo integrabilnih kvantnih sistemov.Tukaj nam torej Riemannova funkcija ζ, ki je izkljucno konstrukt teorije stevil, lahko pomagarazumeti fiziko. Hkrati pa je mogoce, da lahko fizika pomaga pri dokazu Riemannove hipoteze.

Ce zelimo vzpostaviti mocno zvezo med neintegrabilnim kvantnim sistemom in porazdelitvijonicel Riemannove funkcije ζ, moramo najprej te sisteme kvantizirati, kar pa po obicajni (semi-klasicni) poti ni mogoce, saj gibanje v faznem prostoru ni vec omejeno na nek vecdimenzionalentorus [5]. Kljub temu je vec kot 50 let po rojstvu kvantne mehanike integrabilnih sistemov Gu-tzwillerju z drugacnim, semiklasicnim pristopom uspelo obvladati te tezave in izpeljati enacbo[5], ki je analog enacb (2.2.2) in (2.2.3) za fizikalne sisteme.

4.1 Integrabilni sistemi

Vrnimo se za trenutek h klasicnim integrabilnim sistemom, da bomo tem lazje razumeli kvan-tizacijo neintegrabilnih. Pri integrabilnih sistemih je Hamiltonjan H odvisen le od ohranjenihkolicin[1] H = H(I1, . . . , IN ). Bohrova semiklasicna kvantizacijska pravila zahtevajo, da spre-menjlivke v akciji ne morejo zavzeti kar poljubnih vrednosti, temvec samo dolocene

Ik = ~(nk +

µk4

); k ∈ N, (4.1.1)

kjer so µk ∈ N Maslovi indeksi [1]. Gostoto stanj tedaj zapisemo

d(E) =∑n

δ(E −H(I)), (4.1.2)

Integrabilni klasicni sistem kvantiziramo s pomocjo Thomas-Fermijeve semiklasicne aproksima-cije in tedaj gostota stanj razpade na gladko

dFT (E) =

∫δ(E −H(p, ,q))

dpdq

(2π~)f(4.1.3)

9

in oscilirajoco gostoto stanj [1]

dosc =∑(

2π

~Tp

)(f−3)/2 1

~√

det(NQi,jN)exp

(iSp~− iπ

4Nµ+ i

π

4β

), (4.1.4)

ki jo dobimo tako, da razvijemo akcijo do drugega reda v okolici klasicnih periodicnih orbit. Venacbi smo z Sp oznacili akcijo p-te orbite, Qi,j = det(H)H−1i,j je komatrika Hi,j = ∂Ii∂IjH, βpa je povezana s predznakom matrike Hi,j [1].

Tudi v klasicni mehaniki lahko gostoto stanj zapisemo kot vsoto gladkega dTF (E) in oscili-rajocega dela. Zaradi korespondencnega principa [1] pa pricakujemo, da bo Thomas-Fermijevagostota stanj v obeh primerih enaka, spreminjal pa se bo le oscilirajoci del.

4.2 Neintegrabilni sistemi

Pri neintegrabilnih sistemih se moramo stvari lotiti cisto drugace, saj orbite ne lezijo vec nainvariantnem torusu [5], kot smo ze omenili. Gutzwillerjevo metodo kvantizacije bomo v nada-ljevanju na kratko predstavili, saj bo za nas zelo pomembna.

Zacnimo s kvantno mehanskim propagatorjem K(qA, qB, t) = 〈qB|U(t)|qA〉, kjer je U(t)operator casovnega razvoja. Z nekaj dela in aproksimacij lahko kvantni propagator zapisemo spomocjo Feynmannovega integrala [5].

K(qA, qB, t) =

∫D(q) exp

[i

~

∫ t

0L(q, q)dt

], (4.2.1)

kjer je L Lagrangeova funkcija, diferencial D(q) pa doloca integracijo po vseh moznih poteh, kipovezujejo qA in qB. Sedaj napravimo aproksimacijo konstantne faze, nato pa se semiklasicnoaproksimacijo, ki nam izmed vseh moznih poti izlusci samo take, ki so klasicno dovoljene8. Spomocjo Fourierove transformacije semiklasicnega propagatorja izracunamo semiklasicno Gre-enovo funkcijo

G(qA, qB, E) = − i~

∫ ∞0

dt exp

(i

~Et

)K(qA, qB, t), (4.2.2)

kjer spet uporabimo aproksimacijo konstantne faze, da izracunamo integral. Mi se ukvarjamo zbiliardi, kjer je gibanje zelo preprosto, zato se akcija za trajektorijo dolzine l zapise enostavnoS = ~kl. Na ta nacin dobimo Greenovo funkcijo, ki je odvisna le od lastnosti klasicnih trajek-torij. Preden bomo iz sledi Greenove funkcije izracunali spektralno gostoto moramo definiratise matriko monodromije. Vzemimo trajektorijo med tocko qA in qB, nato pa pogledamo kaj sezgodi ako vzamemo malo drugacne zacetne pogoje qA + δqA⊥ in pA + δpA⊥, kjer z znakom ⊥povemo, da deformacijo napravimo pravokotno na zacetno trajektorijo. Tudi v koncni tocki qBperturbirana trajektorija ne sovpade popolnoma s prvotno, kar v linearni aproksimaciji zapisemo(

δqB⊥δpB⊥

)= MBA

(δqA⊥δpA⊥

), (4.2.3)

matriki MBA pa pravimo matrika monodromije [5].Gostoto stanj, ki smo jo ze veckrat srecali, lahko izracunamo s pomocjo sledi9 Greenove

funkcije

d(E) =∑n

δ(E − En) = − 1

πIm

[∫G(q, q, E)dq

]. (4.2.4)

8To pomeni, da lahko v pot od qA do qA na poljubno mesto vrinemo neko vmesno tocko qC . Pot mora totocko ne le sekati, pac pa mora biti tudi moment v tej tocki zvezen pCA

C = pBCC . Tako izmed vseh moznih poti

dobimo vse, ki so klasicno dovoljene [5].9Ko naredimo sled Greenove funkcije vse poti postanejo zakljucene periodicne orbite.

10

Odtod pa dobimo Gutzwillerjevo enacbo sledi [1, 5]

d(E) =1

π~∑r

(Tp)r

||Mr − 1||1/2cos

[1

~Sr(E)− µrπ

2

](4.2.5)

ki izraza kvantno mehanski spekter in je odvisna zgolj od nekaterih lastnosti klasicnih peri-odicnih orbit: stabilnosti Mr, periode Tr in indeksa Maslova µr. Vsota v enacbi (4.2.5) tecepo vseh klasicnih orbitah, tudi tistih, ki imajo dolzino 0. Zato v gostoti stanj v Gutzwillerjevienacbi sledi locimo dva prispevka [5]

d(E) = d(E) + dosc(E). (4.2.6)

Verjetnostna gostota d(E) je enacba (4.2.5), kjer vzamemo samo poti z dolzino 0 in je precejneobcutljiva na energijske spremembe. Prav nasprotno je dosc v enacbi (4.2.7) vsota vsehperiodicnih orbit z nenicelno dolzino in je mocno odvisna od energije [5].

dosc(E) =∑p.p.o.

Tpπ~

∞∑n=1

cos{n[(Sp/~)− (π/2)µp]}| det(Mn

p − 1)|1/2, (4.2.7)

Prva vsota tece po vseh primitivnih periodicnih orbitah, druga pa po vseh njihovih ponovitvah.Sedaj lahko s to novo metodo izracunamo semiklasicen spekter kvantnega sistema, ki ima

klasicno neintegrabilen analog in ga zato ni mogoce kvantizirati s pomocjo Bohr-Somerfeldovihkvantizacijskih pravil. Rezultat (4.2.7) je torej most med klasicnim in kvantnim rezimom hkratipa tudi pravilo, s katerim lahko kvantiziramo klasicno neintegrabilne sisteme.

Periodicne orbite so torej zelo pomembne v kvantno mehanskih sistemih, da bi to bolje rez-umeli si oglejmo rezultate numericnih simulacij, ki jih je napravil Heller [1, 6]. Na sliki 5 imamonarisano verjetnostno porazdelitev za tri kvantna lastna stanja Bunimovichovega biliarda. Nanjih je lepo vidno kako dobro nestabilne klasicne periodicne orbite (na sliki so prikazane samotiste, ki najvec prispevajo k vsoti v Gutzwillerjevi enacbi sledi) sovpadajo z obmocji, kjer jegostota verjetnosti najvecja [1, 6]. Princip, uporabljen v enacbi (4.2.7), kjer lastne vrednostikvantnega sistema racunamo s pomocjo klasicnih periodicnih orbit se zdi torej tudi intuitivnosmiseln.

Ponovno si poglejmo enacbo (2.2.3), ki smo jo v poglavju 2.2 dobili iz distribucije netrivialnihnicel Riemannove funkcije ζ in jo primerjajmo z osclilirajocim delom Gutzwillerjeve enacbe sledi(4.2.7). Podobnost med obema je vec kot ocitna, s cimer nam je uspelo povezati Riemannovofunkcijo ζ z nekim neznanim kaoticnim kvantno mehanskim sistemom.

Hamiltonjana H, ki opisuje kvantni sistem z energijami, ki imajo enako porazdelitev kotnicle Riemannove funkcije ζ se vedno ne poznamo, kljub temu pa lahko na osnovi primerjeveenacb (2.2.3) in (2.2) dolocimo nekaj lastnosti neznanega hamiltonjana.

1. V enacbi (2.2.3), ki prihaja iz teorije stevil nimamo nikjer ~, kar pomeni, da so trajektorijeskalirane enako na vseh energijskih skalah. Hamiltonjan H ima zato analogijo v nekemklasicnem sistemu [1].

2. Riemannova dinamika je kaoticna in nestabilna.

3. Dinamika nima simetrije na obrat casa [1].

4. Dinamika je kvazi enodimenzionalna [1].

Lahko pa razmisljamo tudi v obratni smeri. Nicle Riemannove funkcije ζ lahko predstavimokot spekter Riemannovega operatorja R = (1/2)I + iH, kjer je H sebi-adjungiran. Operator Hpa bi lahko bil hamiltonjan nekega fizikalnega sistema, kar bi pomenilo, da je kljuc do dokazaRiemannove hipoteze skrit v fiziki.

11

Slika 5: Na tej sliki so prikazana tri lastna stanja kvantnega Bunimovichovega stadiona. Navsaki sliki pa imamo narisano z polno crto periodicne orbite, ki v Gutzwillerjevi enacbi sledinajvec doprinesejo k vsoti. Na srednji sliki je zaradi preglednosti narisana samo ena periodicnaorbita, ceprav ima prav tak prispevek tudi zrcalna (glede na veliko os stadiona) [1, 6].

5 Zakljucek

Kjub temu, da Riemannova hipoteza formalno se ni dokazana, obstajajo izreki, ki jo vsaj delomapodpirajo. Spomnimo se na primer Levinsonovega izreka, ki trdi, da je na kriticni osi vsaj 2/5netrivialnih nicel. Seveda pa ne moremo izkljuciti moznosti, da nekje zelo dalec na kriticnempasu obstaja netrivialna nicla, ki ne lezi na kriticni osi. Dokaz protiprimera bi imel velikoposledic za matematiko, saj precej izrekov temelji ravno na Riemannovi hipotezi.

Zato so zaceli nicle Riemannove funkcije ζ v velikih kolicinah racunati numericno, da binasli morebiten protiprimer Riemannovi hipotezi. Brent, van de Lune in Riele so izracunali vsenicle do 1, 5 × 109, hkrati pa je Odlyzko izracunal na milijone nicel okrog 1020 in vse so lezalenatanko na kriticni osi [2].

S tem seminarjem smo zeleli pokazati, da ima Riemannova funkcija ζ presenetljivo po-membno vlogo tudi v fiziki. Z lahkoto smo jo povezali s preprostim mehanskim sistemom delcaujetega v zaprtem prostoru z neskoncno trdimi stenami. Prav obravnava biliardov nas je vodilado tega, da smo gibanje opisali z evolucijskim operatorjem, kar nas je privedlo do enacbe sledi,ki obravnava dinamiko neintegrabilnega sistema s pomocjo periodicnih orbit. Podobno smo selotili tudi obravnave kvantne mehanike, kjer smo s pomocjo Greenovih funkcij izracunali Gu-

12

tzwillerjevo enacbo sledi, ki je metoda za kvantizacijo neintegrabilnih sistemov. Videli smo, datudi distribucija nicel Riemannove funkcije ζ uboga precej podobno enacbo, zato smo skusaliugotoviti kaksne lastnosti naj bi imel kvantni sistem s spektrom podobnim porazdelitvi nicelRiemannove funkcije ζ.

Problemi, kjer nastopa Riemannova funkcija ζ, ki je konstrukt teoreticne matematike inna videz nima nic skupnega s fiziko, se v resnici presenetljivo pogosto pojavljajo v fiziki. Na-ravno se pojavi na primer v nizkotemperaturnem faznem prehodu bozonov v Bose-Einsteinovikondenzaciji, fiziki trdne snovi, statisticni fiziki in se na mnogih drugih podrocjih.

Fiziki so zato zaceli iskati sisteme, s katerimi bi lahko poustvarili spekter Riemannove funk-cije ζ in morda celo dokazali Riemannovo hipotezo, vendar jim zadnje za zdaj se ni uspelo.

Literatura

[1] D. Schumayer and D. A. W. Hutchinson Colloquium: Phisics of the Riemann hypothesis,Rev. Mod. Phys. 83, 307 (2011).

[2] M. L. Mehta, Random matrices (Academic Press, San Diego 1990).

[3] http://www.claymath.org/millennium/Riemann Hypothesis/, (2012).

[4] P. Cvitanovic, R. Artuso, R. Mainieri, G. Tanner and G. Vattay, Chaos: Classical andQuantum, ChaosBook.org (Niels Bohr Institute, Copenhagen 2009).

[5] H.-J. Stockmann, Quantum Chaos (Cambridge University Press, Cambridge 1999).

[6] E. J. Heller, Bound-State Eigenfunctions of Classically Chaotic Hamiltonian Systems:Scars of Periodic Orbits Phys. Rev. Lett. 53, 1515.

13