Fluidos Momentum

8/4/2019 Fluidos Momentum

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MECNICA DE FLUIDOS

Curso del Trimestre 07-I

Notas complementarias al libro de texto:Fenmenos de Transporte

por Bird, Stewart, Lightfoot (Reverte, 1982),para actualizar el contenido de acuerdo a la nueva edicin en ingls

(John Wiley & Sons, 2002)

Prof. Alberto Soria Lpez


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0. LLooss FFeennmmeennooss ddee TTrraannssppoorrttee

** CCAANNTTIIDDAADDEESS:: MMeeccnniiccaa ddee fflluuiiddooss ttrraannssppoorrttee ddee mmoommeennttuumm TTrraannssffeerreenncciiaa ddee ccaalloorr ttrraannssppoorrttee ddee eenneerrggaa TTrraannssffeerreenncciiaa ddee mmaassaa ttrraannssppoorrttee ddee mmaassaa ddee eessppeecciieess qquummiiccaass

**** SSIISSTTEEMMAASS:: MMaatteerriiaall ssiisstteemmaa llaaggrraannggiiaannoo ssiisstteemmaa cceerrrraaddoo VVoolluummeenn ssiisstteemmaa eeuulleerriiaannoo ssiisstteemmaa aabbiieerrttoo

EESSTTUUDDIIOO SSIISSTTEEMMTTIICCOO DDEE FFEENNMMEENNOOSS DDEE TTRRAANNSSPPOORRTTEE LLooss mmeeccaanniissmmooss qquuee ssuubbyyaacceenn eenn llooss ttrreess ffeennmmeennooss ddeeppeennddeenn eenn ccoommnn ddee llaa

eessttrruuccttuurraa ddee llaa mmaatteerriiaa ((mmoovviimmiieennttooss ee iinntteerraacccciioonneess mmoolleeccuullaarreess)) SSeemmeejjaannzzaa eenn mmeeccaanniissmmooss,, eeccuuaacciioonneess yy mmttooddooss mmaatteemmttiiccooss

NIVELES DE DESCRIPCIN

Ejemplo: Columna de absorcin de pared mojada

NIVEL GLOBAL NIVEL LOCAL NIVEL MOLECULARBalances globales balances locales Leyes de conservacin

Ecuaciones de cambio en partculas

volumen

espacio fase

eG

eL

sL

sG

zv

Molculas de lquido

Molculas de gas

L G

EEssttuuddiioo ddee llaass mmaanniiffeessttaacciioonneess ooccuurrrriiddaass ccuuaannddoo ssee ttrraannssffiieerreeuunnaa ccaannttiiddaadd ddee iinntteerrss** eenn uunn ssiisstteemmaa eelleeggiiddoo****


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1. Viscosidad y mecanismos de transporte de momentum1.1 Ley de Newton de la viscosidad

EJEMPLO: Flujo entre dos placas planas

En la ltima situacin, la fuerza necesaria para mantener V de la placa, es constante. Alaumentar la fuerza F, aumenta la velocidad V, en tanto que para mantener una velocidadconstante, al reducirY, debe aumentarse la fuerzaF. Entonces podemos proponer que

F V

Y (1.1)

La constante de proporcionalidad es la viscosidad. Es decir queF V

Y= (1.2)

V

V

V

Vx

x

x

x

y

y

y

y

Y t< 0, no hay movimiento

t= 0, la placa inferior se mueve a velocidadconstante V, por adherencia el fluido encontacto con la placa se mueve tambin conla misma velocidad vx(y=0,t=0)=V

tpequeos, el fluido cercano a la placa

adquiere velocidad vx(y,t). El flujo estransitorio

tgrandes, todo el fluido se mueve convelocidad vx(y),independiente del tiempo.Por adherencia el fluido en contacto con laplaca superior no se mueve, vx(Y) = 0. Elflu o es estacionario

Viscosidad = Propiedad fsica que cuantificala resistencia al flujo


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Esta fuerza por unidad de rea se transmite a travs de todo el fluido, imprimindolemovimiento. As, la placa superior debe sujetarse firmemente, pues si se deja suelta, acabarpor moverse como una balsa en la superficie de un ro, como se ve en la siguiente Figura:

Cul es lafuerza/rea en algn plano al interior del fluido?

En el ejemplo del flujo entre dos placas planas, a rgimen estacionario, lafuerza/rea es unaconstante a travs de todo el fluido. Podemos verlo porque la fuerza necesaria para mantenerfija la placa superior es, precisamente, igual y de sentido contrario a la que se ejerce sobre laplaca inferior, es decir que un balance (simplificado) de las fuerzas en direccin x, para todo elfluido entre las placas, a rgimen estacionario, es

placa superior placa inferior 0F F+ = (1.3)

Entonces, la fuerza que ejerce la placa superior es F y el fluido que est en contacto con esta placa, ejercer una fuerzaF sobre ella. Balances similares pueden hacerse para diferentesporciones del fluido, abarcando desde la placa inferior hasta algn plano 0y y= , encontrandoque el fluido por arriba del plano ejerce una fuerza F sobre el fluido por debajo del

mismo y de manera correspondiente, que el fluido debajo del plano, ejerce una fuerza F

sobre el fluido arriba del plano. Adems podemos dividir entre el reaA para darnos cuentade que por todo el fluido se transmite una fuerza/rea constante. Llamaremos esfuerzosviscosos a esta razn defuerza/rea en cualquier plano del fluido, y los denotaremos por yx ,

es decir que

yx

F

A= (1.4)

Por otra parte, en el perfil lineal estacionario de la velocidad del fluido, podemos verificar laigualdad:

yx Planoy =y0

x

y

xdv V

dy Y

=

Vx

y Si la placa superior no se sujeta adquiere, a tgrandes, la velocidad de la placa inferior yde todo el fluido


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5

0

0xdv V V

dy Y Y

= =

(1.4)

Entonces escribimos la Ecuacin (1.2), para cualquier plano del fluido, comox

yx

dv

dy = (1.5)

Conocida como Ley de Newton de la viscosidad. sta es en realidad una relacin decomportamiento de un conjunto muy grande y muy importante de fluidos que la cumplen.Pero hay fluidos que se comportan de otra manera, es decir, fluidos que no presentan unarelacin lineal (con ordenada al origen nula) entre los esfuerzos viscosos yx y el gradiente de

velocidad xdv

dy.

Acerca de la notacin de yx , y aprovechando el ejercicio:

1. La direccin de la velocidad del fluido coincide con la direccin de la fuerza aplicada,en este caso, la del eje coordenadox.2. La direccin de una superficie se puede determinar por su vector normal. La direccin

del eje coordenadoy es normal al planoy = y0, que es aquel donde se aplica el esfuerzoyx .

3. El movimiento del fluido se propaga desde la placa inferior hacia arriba, es decir, en ladireccin del eje coordenadoy. Este movimiento tiene, sin embargo, la direccinx.

Entonces, considerando a yx como una fuerza aplicada:

O considerando a yx como un flujo de cantidad de movimiento:

Dimensiones, unidades y valores de la viscosidad:

= viscosidad dinmica, ( )2

M Ft Pa s

Lt L

=

i

= = viscosidad cinemtica, ( )

22 1

Lm s

t

i

Ejemplos numricos:

Aire a 20 0C, 51.8 10 = Pa si

Agua a a 20 0C, 31.0019 10 = Pa si Glicerina a 20 0C, 1.00 = Pa si

i k Segundo ndice: direccindel momentum

Primer ndice: direccin de lapropagacin de momentum

i k Segundo ndice:

direccin de la fuerza

Primer ndice: direccin

de la superficie


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Ejercicios de tarea

E1.1. Buscar Tablas de viscosidad de fluidos en los manuales de la biblioteca y hacer

en fotocopias un banco de propiedades, tan completo como se pueda.E1.2. Dos placas planas estn separadas una distancia 0.1Y = m y fluye agua al

desplazar la placa inferior a una velocidad 1V = m/s. Si se sustituye el agua poraire, cul debe ser la separacin entre las placas, para que con la misma fuerza,la placa inferior se mueva a la misma velocidad V?

2.2 Generalizacin de la ley de Newton de la viscosidad (a tres coordenadas del espacio)

El gradiente de la velocidad

La velocidad de los flujos es un campo vectorial que depende de la posicin y del tiempo:( )

( )

( )

, , ,

, , ,

, , ,

x

y

z

v x y z t

v x y z t

v x y z t

=

v (1.6)

de modo que el trmino xdv

dy, que hemos llamado el gradiente de la velocidad, es ms bien

uno de los elementos de dicho gradiente. El operador nabla, en notacin vectorial ycoordenadas cartesianas, es:

y

z

=

(1.7)

de modo que el gradiente de la velocidad es:

( )

yx z

yx zx y z

yx z

vv v

x x xx

vv vv v v

y y y yvv v

z z z z

= =

v (1.8)

en tanto que su divergencia es:

x

yx zy

z

vvv v

vx y z x y z

v

= = + +

vi (1.9)

as, mientras el gradiente de v es un arreglo matricial 3 3 , la divergencia de v es un escalar.


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7

El tensor de esfuerzos viscosos

Los esfuerzos viscosos del ejemplo anterior, yx , son en realidad, slo una componente de los

esfuerzos que pueden existir en un caso general, donde hay tres componentes de la velocidad.En un flujo general, el tensor de esfuerzos viscosos es el arreglo:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

=

(1.10)

que se puede tambin expresar como ik , (para i = 1, 2, 3; k=1, 2, 3) donde los ejes

coordenados ( )y z se representan de manera equivalente como ( )1 2 3 . Adems, los

esfuerzos fuera de la diagonal principal tienen direccin tangencial al plano considerado[porque la direccin de la (normal a la) superficie es ortogonal a la direccin de la fuerza], en

tanto que los esfuerzos de la diagonal principal, los ii (para i = 1, 2, 3) son normales al plano.Adems, los esfuerzos viscosos son simtricos, es decir, que el elemento en la posicin ikdelarreglo (1.10) es igual al elemento en la posicin ki del arreglo, es decir que ik ki = . Esto seescribe en notacin tensorial (tensores y vectores en negritas) como T= [donde T es latranspuesta del arreglo (1.10)] y se cumple si su relacin lineal con el gradiente de lavelocidad (que no es simtrico) se propone, ms bien, en trminos de funciones simtricaslineales de v . Entonces podemos proponer el caso ms general:

( ) ( )2

3T

= + + +

v v v i (1.11)

donde ik es el tensor unitario o delta de Kronecker, dado por

1 0 00 1 0

0 0 1ik

= =

(1.12)

viscosidad dinmica

viscosidad dilatacional o volumtrica

=

=

Generalmente no se requiere conocer porque muchas veces los lquidos se consideranincompresibles y entonces 0 =vi y para muchos gases se puede proponer comoaproximacin un resultado encontrado vlido para gases monoatmicos ideales que cumplen

0 = .

Adems la presin es tambin una fuerza normal a la superficie, que no ha sido considerada enlos esfuerzos viscosos ii . Habra que sumarla para tener un tensor de esfuerzos totales otensor de presiones ik , de modo que

ik ik ik p = + (1.13)Nota sobre los signos de

El signo negativo en (1.11) es compatible con la observacin hecha al definir yx , es decir, que

los esfuerzos viscosos se toman en la direccin positiva del eje coordenado, para el fluido mscercano al eje coordenado (debajo del plano 0y y= , ver discusin del flujo entre dos placas


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planas) y se toman negativos para el fluido ms lejano al eje coordenado (arriba del plano0y y= ). En algunos textos se propone lo contrario ( yx positiva arriba y negativa abajo del

plano 0y y= ), lo cual es compatible con un signo positivo para la ley de Newton de laviscosidad, resultando en conjunto un resultado idntico al de la convencin que aqu usamos.

1.3 Dependencia de la viscosidad con la presin y la temperatura

Se usa un enfoque derivado de la ley de estados correspondientes, para lo cual es necesarioconocer las constantes crticas de cada material

c

presin crtica

temperatura crtica

viscosidad crtica

c

c

p

T

=

=

=

Con estos datos se definen las propiedades reducidas rc

p = , rc

TT

T= y r

c

= y se utiliza

la Grfica correspondiente del texto.

Hay pocos datos de la viscosidad crtica, pero puede estimarse de dos maneras:(1)Si se conoce un valor de la viscosidad a una presin y temperatura reducidas, se

localiza el punto en la Grfica, se encuentra la viscosidad reducida y se despeja laviscosidad crtica (cuanto ms cerca el punto del valor requerido, mejor).

(2)Se usan relaciones empricas, cuidando las conversiones de unidades, para estimar c .(3)Para fluidos multicomponentes se usan propiedades pseudocrticas.

1.7 Transporte convectivo de momentum

Adems del transporte molecular de momentum, que resulta como consecuencia de latransferencia de movimiento entre las molculas, tambin existe un flujo de momentumdebido al movimiento de bulto o movimiento convectivo del fluido. Esta transferencia demovimiento tiene que ver con el flux msico v , que atraviesa un plano dado del fluido. Elflux msico atraviesa un plano dado, debido a su componente de velocidad normal a dichoplano, as en el planoxy tenemos:


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El flux convectivo de momentum es el producto del flux msico por la velocidad, es decirvv . Entonces, el flux convectivo de momentum atravesando el plano 0x= es xv v , el flux

convectivo de momentum atravesando el plano 0y y= es yv v y por extensin a la

coordenadaz, se tiene tambin el flux convectivo de momentum atravesando el plano 0z z= ,como zv v . Cada uno de estos fluxes es un vector, tiene tres componentes, que correspondena las direcciones de las componentes de la velocidad.

El flux combinado de momentum es la suma del flux molecular de momentum, quecorresponde a los esfuerzos totales ms el flux convectivo de momentum:

p = + = + + vv vv (1.14)

As, la componente yx del flux combinado de momentum tiene el significado:

Y se expresa como:yx yx y x yx yx y xv v p v v = + = + + (1.15)

Aqu hay que recordar que 0yx = , lo cual elimina el efecto de la presin en esta componente

[ver la definicin de ik en la Ecuacin (1.12)]. Esto es as debido a que la presin es unafuerza normal a la superficie considerada.

Ejercicios de tareaE1.3. Problema 1.A del texto

E1.4. Problema 1.B del texto

y yv =v e

0y

00

x x

yy

v

xv

El flux msico atravesando elplano 0x= es xv El flux msico atravesando el plano 0x= es cero,pero el que atraviesa el plano 0y y= es yv

yx = flux combinado de momentum en la direccin x,

atravesando una superficie perpendicular a la direcciny


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10

E1.5. Problema 1.C del textoE1.6. Encuentra las componentes no cero del flux combinado de momentum si la

velocidad de flujo de un fluido newtoniano en coordenadas cartesianas y la

presin son, respectivamente:

12

10

Vt

yV

t

+ = +

v ( )0 2P x y= +

DondeP0 y Vson constantes.

Autoevaluacin 1

1. Cules son las unidades de momentum por unidad de rea por unidad de tiempo entrminos de fuerza?

2. Escribe la ley de Newton de la viscosidad y nombra cada uno de sus elementos.3. Dibuja un sistema coordenado (x, y, z), luego representa los esfuerzos viscosos

, ,xx xy xz en el punto ( )0 0, ,0x y , as como el plano considerado.

4. Escribe la expresin del flux combinado de momentum y nombra cada uno de sustrminos.

5. Encuentra las componentes del flux combinado de momentum si( )2

0

10 ,

0

V y

p P y

= =

v .

DondeP0 y Vson constantes.

Auto-evaluacin 2

1. Define el concepto de viscosidad (no frmulas).2. Qu es un esfuerzo cortante?3. Qu significa la condicin de adherencia?4. Qu es el rgimen transitorio?5. Qu le pasa a la viscosidad de un lquido cuando aumenta la temperatura?6. Qu le pasa a la viscosidad de un gas cuando aumenta la temperatura?7. En qu dimensiones se mide la viscosidad?8. Qu es 1 poise?9. Define la cantidad de movimiento o momentum lineal de un fluido10.Qu diferencia fsica hay entre ( )v y ( ) v ?


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2. Balances de momentum en envolturas y distribuciones de velocidadcon flujo laminar

2.1 Balances de momentum en envolturas y condiciones a la frontera

La envoltura es elsistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, queconserva las caractersticas geomtricas del sistema global, con sus caras paralelas operpendiculares a la direccin del flujo (las componentes de la velocidad).

Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los trminos importantes encada una de sus superficies (o caras). El balance de momentum es:

Flujo de momentum Flujo de momentum Fuerza de gravedad Tasa de cambio

combinado entrando combinado saliendo actuando sobre del momentum

a la envoltura de la envoltura el sistema

+ = en el sistema

El balance de momentum es una relacin vectorial, consiste por lo tanto de tres relacionesescalares, una para cada una de las direcciones de un sistema coordenado ortogonal.

Procedimiento para la aplicacin, solucin y uso de los balances de envoltura

1. Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte ala geometra del flujo (coordenadas cartesianas, cilndricas o esfricas), localiza elorigen y determina la direccin de los ejes coordenados.

2. Identifica la componente de la velocidad que no se anula y la direccin (o lasdirecciones) en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s)coordenada(s) correspondiente(s) a dichas direcciones]

3. Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la regin de flujo que teinteresa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) direccin(es) en la(s) quecambia la velocidad y amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dichaenvoltura.

4. Identifica las componentes del flux combinado de momentum en la direccin del flujoy antalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente mscercana al eje coordenado y saliendo por la ms lejana. Agrega la contribucin de lafuerza gravitacional, cuando corresponda.

5. Aplica el balance de momentum en la direccin del flujo.

Flujo laminar El fluido se desplaza ordenadamente, como en lminas o capasFlujo turbulento El fluido se desplaza aparentemente con desorden, siguiendo patrones

muy complejos con movimientos transversales a la direccin de flujo principal

Aplicaremos el balance de momentum a sistemas que tienen solamente unacomponente de velocidad, por lo que el balance se aplicar solamente enla direccin de dicha componente.


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6. Divide el balance entre el volumen de la envoltura y toma el lmite cuando el (los)espesor(es) de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer usode la definicin de la derivada como el cociente incremental de una funcin y obtener

as la ecuacin diferencial correspondiente.7. Sustituye las componentes del flux combinado de momentum por los trminos que

correspondan, de acuerdo con su definicin [Ecuacin (1.14)] y con lasespecificaciones para cada trmino [como en el ejemplo de la Ecuacin (1.15)].

8. Simplifica la ecuacin resultante, considerando la dependencia espacial de lavelocidad (de qu coordenadas es funcin la velocidad?) y de la presin (los cambiosde la presin se producen en la direccin del flujo). El resultado es el balancediferencial de momentum en la direccin seleccionada.

9. Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condicin a lafrontera para cada variable derivada. A veces no se tiene una condicin para losesfuerzos viscosos y su determinacin se deja para una etapa posterior (el paso 12 de

esta secuencia). En tal caso se requiere una condicin de frontera adicional para lavelocidad.

10.Integra esta ecuacin para obtener la distribucin del flux de momentum (en ladireccin elegida) y aplica las condiciones a la frontera si es procedente.

11.Sustituye la ley de Newton de la viscosidad (o la relacin de comportamiento quecorresponda al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de lavelocidad para simplificar los trminos. Resulta una ecuacin diferencial para lavelocidad.

12.Integra esta ecuacin y aplica las condiciones a la frontera, para obtener ladistribucin de velocidad(elperfil de velocidad).

13.Utiliza la distribucin de velocidad para obtener otras cantidades importantes como lavelocidad mxima, el flujo volumtrico o gasto, la fuerza del fluido sobre unasuperficie slida que lo limite o la disipacin viscosa.

Condiciones a la frontera

En las fronteras del flujo se encuentran otros materiales, slidos o fluidos, o bien el mismofluido entrando o saliendo del sistema. Las condiciones a la frontera son reglas que se asignanal comportamiento de la velocidad o de los esfuerzos en las fronteras del sistema. Las que seusan ms frecuentemente son:

a. Interfases slido-fluido: La velocidad del fluido en contacto con el slido iguala lavelocidad del slido. Esta condicin se subdivide en (i) condicin de adherencia,para la igualdad de las componentes tangenciales de la velocidad y (ii) condicinde impenetrabilidad, para la igualdad de las componentes normales.

b. Interfases lquido-lquido: Se satisface la condicin de adherencia y si no haytransferencia de masa, tambin la condicin de impenetrabilidad. Adems lascomponentes del tensor de esfuerzos totales son continuas.

c. Interfases lquido-gas: Se satisface la condicin de adherencia y si no haytransferencia de masa, tambin la condicin de impenetrabilidad. Adems lascomponentes del tensor de esfuerzos viscosos son cero. Esto es unaaproximacin razonable porque la viscosidad de los gases es muy inferior a la delos lquidos.


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Al integrar los balances diferenciales tambin se usan frecuentemente otras reglas paradeterminar unvocamente la solucin (la distribucin de velocidad). Las ms usadas son:

d. Los esfuerzos viscosos estn acotados ( ik no se hacen infinitos) en todo el campode flujo.

e. Las variables de campo (presin, velocidad y esfuerzos viscosos) cambiancontinuamente en todo el campo de flujo.

2.2 Flujo de una pelcula lquida descendente

Haremos este ejercicio seleccionando un sistema coordenado distinto al del texto, paramostrarte que los resultados no dependen fsicamente de dicha seleccin, cuando se respetanlas convenciones de signos establecidas en el Captulo 1. Tambin usaremos el concepto deflux combinado de momentum en los balances. Esto es una de las mejoras de la segundaedicin del texto. El propsito es que desarrolles una habilidad sinttica que te permita tratarposteriormente los problemas en trminos de dicho flux combinado, para expresarlo luego entrminos de sus partes, haciendo las simplificaciones pertinentes de una manera adecuada.

Lee el enunciado del problema en el texto.1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano, pero localizamos el origen en contacto

con el slido; la coordenada x es ascendente y la coordenada z sigue siendodescendente (ver Figura).

2. La componente de la velocidad que no se anula sigue siendo zv y cambia desde cero(en contacto con la pared slida) hasta un valor mximo (en contacto con el aire).Entonces, a rgimen estacionario tenemos ( )zv x la componente de velocidad en

direccin z depende de la coordenada x.3. La envoltura debe ser delgada en la direccin x que es aquella en la que cambia la

componente zv y amplia en las direcciones y y z, de las cuales no depende zv .Entonces dibujamos la envoltura:

z

x

( )zv x

L


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4. Haremos un balance de momentum en la direccin z, que es la del flujo. Entonces las

componentes del flux combinado de momentum a considerar son aquellas cuyosegundo ndice es z, es decir, , ,xz yz zz . Anotamos estos fluxes en las caras

correspondientes de la envoltura, agregando la componente gravitacional en direccinz:

5. Cada uno de los fluxes combinados se multiplica por el rea de la superficie donde elflux entra o sale y se aplica el balance de momentum en la direccinz:

zz

zz

yz

yz

xz

xz

cosg

0y =

y W=

z L=

0z=

x

x+

Direccin dela gravedad


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15

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0 0

cos 0

xz yz zz x y z

xz yz zz x x y W z L

WL L x W x

WL L x W x

WL x g

= =

+ = =

+ +

+ =

(2.1)

6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los trminos formando escociente incremental de los trminos con xz y se toma el lim 0x , para obtener laecuacin diferencial:

0 0 cos 0yz yz zz zz y y W xz z z Ld g

dx W L

= = = =

+ + + = (2.2)

7. Los fluxes combinados son, en general:xz xz x z

yz yz y z

zz zz z z

v v

v vp v v

= +

= +

= + +(2.3)

8. Pero al considerar que

( )

( )

0

0 y ,

z

p p x

v x

= =

v (2.4)

los fluxes combinados se reducen a

0xz xz

yz

zz z z p v v

=

=

= +

(2.5)

Sustituimos ahora los fluxes combinados en (2.2) para obtener:

( ) ( )0 cos 0

z z z z xz z z Lp v v p v vd

gdx L

= =

+ + + + = (2.6)

Sin embargo, tanto p como zv son funciones solamente de x, por lo que sucontribucin al balance es la misma al evaluarlos en 0z= y en z L= . Entonces sudiferencia es cero y podemos escribir el balance diferencial de momentum en direccinzcomo:

cosxzd

gdx

= (2.7)

Este balance es idntico al del texto. El cambio del sistema coordenado no afect esteresultado. Por qu?

9. La Ecuacin diferencial (2.7) requiere una condicin a la frontera para xz y posteriormente, al sustituir la relacin de Newton de la viscosidad, requerir unacondicin a la frontera para la velocidad. En la interfase de la pelcula con el airepodemos proponer

0, paraxz x = = (2.8)En tanto que, en la interfase de la pelcula con el slido proponemos una condicin deadherencia:

0, para 0zv x= = (2.9)


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Las condiciones a la frontera (2.8) y (2.9) difieren de las del texto debido a nuestraseleccin de sistema coordenado, pero fsicamente el significado es idntico.

10.Al integrar la ecuacin (2.7) y sustituir la condicin a la frontera (2.8) tenemos:( )cosxz g x = (2.10)

A diferencia del resultado del texto, los esfuerzos viscosos son aqu negativos. Estoindica que la propagacin del momentum sigue ahora la direccin negativa del ejecoordenado x, lo cual es fsicamente idntico al resultado del texto, ya que hemosinvertido el sentido del eje coordenado en nuestro ejercicio.

11.Sustituimos ahora la relacin de Newton de la viscosidad en la ecuacin (2.10):z

xzdv

dx = (2.11)

para obtener una ecuacin diferencial para la velocidad:

( )

coszdv g

dx

= (2.12)

12.Integramos esta ecuacin para la velocidad y sustituimos la condicin a la frontera(2.9) para obtener la distribucin o perfil de velocidad:

2 cos2

2z

g x xv

=

(2.13)

Esta ecuacin tampoco coincide, matemticamente, con la del texto . Sin embargola coincidencia debe darse en cuanto al significado fsico del problema, pues es naturalque si mi representacin geomtrica es distinta, mi resultado matemtico est entrminos de la definicin de mis variables. Para comprobar la identidad fsica delproblema, podemos hacer el cambio de la variablex de nuestro resultado (2.13) por la

variable x , que coincide con el eje coordenado del texto, es decir que proponemosx = (2.14)Al sustituir este cambio de coordenada en (2.13) obtenemos, despus de simplificar:

22 cos1

2z

g xv

=

(2.15)

que es el resultado del texto y confirma que nuestro desarrollo es, en todo punto,fsicamente equivalente al desarrollo del texto.

13.Podemos ahora utilizar la distribucin de velocidad (2.13) o la (2.15) para obtener, concualquiera de las dos expresiones, los siguientes parmetros fsicos:a. Velocidad mxima que es el valor mximo que alcanza la velocidad. En este

problema es la velocidad cuando x = en la Ecuacin (2.13):2,max

cos

2z

gv

= (2.16)

b. Flujo volumtrico que es el volumen de fluido que atraviesa la superficietransversal por unidad de tiempo. Se obtiene integrando la velocidad en dichasuperficie. El elemento diferencial de rea es dxdy , de modo que

3

0 0

cos

3

W

zgW

Q v dxdy

= = (2.17)

de donde puede despejarse el espesor de la pelcula . Tambin puede obtenerse elflujo msico, multiplicando el flujo volumtrico por la densidad w Q= y la


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velocidad media de flujo, dividiendo el flujo volumtrico entre el rea de la seccintransversal:

2 cos

3zQ g

v W

= = (2.18)

c. Fuerza del fluido sobre la superficie slida, tiene en general una componentetangencial y una normal a la superficie slida. Con la distribucin de velocidad podemos encontrar la componente tangencial de la fuerza zF , al integrar losesfuerzos tangenciales (o esfuerzos cortantes) en toda la superficie del slido. Esimportante recordar la convencin que usamos, sobre la aplicacin de losesfuerzos: se consideran positivos en un plano, para la accin del material mscercano al eje coordenado sobre el material ms alejado del eje coordenado. En elplano 0x = , al integrar xz obtendremos la fuerza que ejerce la superficie slida

sobre el fluido, en tanto que al integrar xz obtendremos la fuerza que el fluido

ejerce sobre el slido. Esto es nuevamente, inverso al desarrollo del texto, debido ala eleccin invertida del eje coordenado x, pero el resultado debe ser fsicamenteequivalente. Entonces, utilizando la distribucin de velocidad (2.13):

0 0 0 00 0

W L W Lz

z xz

x x

dvF dzdy dzdy

dx

= =

= = (2.19)

que integrado resulta la expresin del texto.d. Disipacin viscosa, es la degradacin de energa mecnica a calor, debida a la

resistencia viscosa al flujo. Equivale a la rapidez de la prdida de trabajo efectuadopor las fuerzas viscosas, integrado para todo el volumen de fluido:

2

0 0 0 0 0 0

W L W Lz z

v xz

dv dvE dxdzdy dxdzdydx dx

= = (2.20)

Al sustituir la distribucin de velocidad e integrar tenemos

( )2

cos3

vWL

E g

= (2.21)

e. Rapidez de trabajo: lo que produce el perfil de velocidad parablico, expresado por(2.13) o (2.15), es la presencia de la superficie slida que frena el movimiento dellquido. Si dicha superficie pudiera desplazarse sin ofrecer resistencia, viajara a lavelocidad media de flujo, junto con todo el fluido. Podemos calcular la rapidez detrabajo (virtual, puesto que la superficie slida no se mueve) del fluido sobre la placa, como el producto de la fuerza que ejerce el fluido sobre la placa por su

velocidad media de flujo:

( )2cos

3v z z

WLW F v g

= = (2.22)

Notamos que vW es igual a vE en este caso particular. Esto ocurre slo con losflujos estacionarios, pues los efectos de aceleracin de los flujos transitoriosinducen una diferencia.

Este flujo se ha resuelto bajo el supuesto de flujo laminar, pero experimentalmente se puedenidentificar tres regmenes de flujo: laminar sin ondulaciones de la superficie, laminar conondulaciones y turbulento. La ocurrencia de uno de estos regmenes est asociada al valor de

su nmero de Reynolds, definido como


18/25

18

4Re

zv

= (2.23)

de modo que ocurre un flujoa. laminar sin ondulaciones importantes, si Re 20< b. laminar con importantes ondulaciones, si 20 Re 1500< < c. turbulento, si Re 1500> .

Ejercicio de tareaE2.1. Repite el ejercicio de esta Seccin, proponiendo el sistema coordenado como se

muestra en el siguiente diagrama:

2.3 Ecuacin de la hidrosttica

Un fluido en reposo est tambin sujeto a esfuerzos, que son hidrostticos. Consideremos untanque de almacenamiento, sin flujos de entrada y salida. Haremos un balance de envolturasiguiendo el procedimiento que hemos sealado.

1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano y localizamos el origen en el fondo deltanque. La coordenada importante es la vertical, z, que tomamos positiva en elsentido ascendente.

2. En este caso la velocidad es cero, pero la presin cambia con la profundidad en eltanque, es decir que ( )p p z = .

x

( )zv x

L

z

Direccin de

la ravedad


19/25

19

3. La envoltura ser delgada en la direccin zy amplia enx yy, como se muestra en eldiagrama:

4. Haremos un balance de momentum en la direccin z. Entonces las componentes delflux combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo segundo ndice es z,es decir, , ,xz yz zz . Anotamos estos fluxes en las caras correspondientes de la

envoltura, agregando la componente gravitacional en direccinz:

5. Cada uno de los fluxes combinados se multiplica por el rea de la superficie dondeel flux entra o sale y se aplica el balance de momentum en la direccinz:

0zzz z

+

x

y

z

Fondo del tanque

0zzz

0xzx

=

xzx L =

0yzy

=

yzy W

=

z

x

y

z

Fondo del tanque

W

L

0z z=


20/25

20

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0

0

0 0

0

xz yz zz x y z

xz yz zz x L y W z z

W z L z WL

W z L z WL

WL z g

= =

= = +

+ +

=

(2.24)

6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los trminos formando elcociente incremental de los trminos con zz y se toma el lim 0z , para obtenerla ecuacin diferencial:

00 0yz yz xz xz y y W zzx x L d g

W L dz

= == =

+ = (2.25)

7. Los fluxes combinados son, en general:xz xz x z

yz yz y z

zz zz z z

v v

v v

p v v

= +

= +

= + +

(2.26)

8. Pero al considerar que0

0xz

yz

zz p

=

=

=

(2.27)

la ecuacin diferencial queda:dp

gdz

= (2.28)

Podemos interpretar esta ecuacin diciendo que

9. La presin es atmosfrica en la superficie libre del lquido en el tanque, que seencuentra a una alturaHdel fondo del mismo. Es decir que:

paraatmp p z H = = (2.29)10.Integrando (2.28) y utilizando (2.29) para determinar la constante de integracin,

tenemos:( )atmp p g H z = + (2.30)

que se puede arreglar tambin como

( ) ( ) constanteatmz p z gz p gH = + = + =P , (2.31)

definiendo la presin modificada ( )zP , como la suma de la presin interna ( )p z

ms el peso de la columna de lquido desde el plano z hasta el origen decoordenadas. Esta suma, en condiciones hidrostticas, es una constante igual a lapresin en el fondo del tanque. Cualquier cambio en la presin modificada se verreflejado en una imposibilidad de mantener las condiciones hidrostticas, es decir, sever reflejado en la ocurrencia de un flujo.

En condiciones hidrostticas los cambios de la presin sondebidos solamente a los efectos gravitacionales.


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21

Ejercicios de tarea

E2.2. Encontrar la presin modificada ( )zP para un tanque de almacenamiento en

condiciones hidrostticas, si el origen de coordenadas se localiza al nivel dellquido en el tanque y la direccin de la coordenada vertical es descendente.E2.3. Hacer un balance de momentum en la direccin transversal al flujo (direccin

x), para el flujo de una pelcula lquida descendente ( 2.2) y demostrar que loscambios de presin son hidrostticos. Justificar la Ecuacin (2.4b) propuestaall.

AutoevaluacinDesarrolla un balance de envoltura para la componente x del momentum del ejercicio de latarea. Sugerencia: Considera las coordenadas de la tarea y la misma envoltura, pero considera

los flujos de momentum adecuados y la fuerza de gravedad como corresponda.

2.4 Flujo a travs de un tubo circular

Hemos de notar que el nico aspecto nuevo es la geometra del tubo, que se adapta mejor aluso de un sistema de coordenadas cilndricas. Este sistema debe colocarse con el origen en eleje axial del tubo. Podra estar dirigido hacia arriba o hacia abajo, pero es preferible localizarloen el extremo del tubo por donde entra el fluido y dirigir la coordenada axial en la direccin dela velocidad del flujo. As la distribucin de velocidad ser positiva (Ver las Figuras 2.3-1 y2.3-2 del libro de texto).

Consecuencia de la geometra seleccionada (coordenadas cilndricas) en el balance demomentum es que los flujos combinados en direccin z, entrando por la superficie r ysaliendo por la superficie r r+ de la envoltura, dan:

( ) ( )2 2rz rz r r rrL rL + (2.32)

que al dividirse entre el volumen de la envoltura ( )2 r rL dan:

( ) ( )2

2

rz rz r r rL r r

Lr r

+

(2.33)

Aqu el trmino 2 L es constante y se ha expresado como factor comn en el numerador. Elradio rdel numerador no puede factorizarse, puesto que est evaluado en la cara interna de la

envoltura, para el primer trmino del corchete ( )rz rr y est evaluado en la cara externa de la

envoltura en el segundo trmino ( )rz r rr + ; por lo tanto no se trata de una constante, sino de

una variable que toma dos valores distintos. Al simplificar la expresin (2.33) eliminando lasconstantes 2 L en el numerador y el denominador, y tomando el lmite cuando 0r ,obtenemos

( ) ( )( )

0

1lim

rz rz r r rrz

r

r rr

r r r r

+

=

(2.34)

Ejercicios de tarea


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22

E2.4. Por una columna de pared mojada escurre un lquido por gravedad, si el gas queocupa la regin central de la columna est estancado, (a) encuentra ladistribucin de velocidad en el lquido, sabiendo que el espesor de la pelcula de

lquido es constante = . (b) encuentra la velocidad mxima de flujo, lavelocidad media de flujo y la fuerza tangencial que ejerce el lquido sobre la

pared. (c) Si el espesor es mucho menor que el radio, es decir si 1R


23/25

23

3. Ecuaciones de balance en flujos isotrmicos


24/25

24

4. Distribuciones de velocidad con ms de una variable independiente 4.1 Flujo transitorio de un fluido de Ostwald de WaeleUn espacio semi-infinito est ocupado por un fluido de potencias. En el plano 0y = se tieneuna placa plana, que se desliza tangencialmente a partir de un determinado instante 0t= , conuna rapidez constante V . Encontrar la distribucin de velocidad ( ),xv y t aplicando un mtodo

de combinacin de variables.

Formulacin del problema:

La componente importante del tensor de esfuerzos viscosos para el fluido de Ostwald deWaele, en este problema, est dado por

1nx x

yx

v vm

y y

=

(4.1)

y el balance de momentum en direccinx, en un sistema coordenado cartesiano da:

yxxv

t y

=

(4.2)

de donde tenemos:1n

x x xv v vm

t y y y

=

(4.3)

Pero en el semiplano superior ( 0y > ), la velocidad ( ),xv y t disminuye cuando aumenta,entonces

x xv v

y y

=

(4.4)

y la ecuacin de gobierno se convierte en:n

x xv vm

t y y

=

(4.5)

Con las condiciones iniciales y de frontera:( )

( )

( )

0, 0 0

0, 0

0

x

x

x

v y t

v y t V

v y

> = =

= =

=

(4.6)

El mtodo de combinacin de variables ser aplicable si existe una variable combinada( ),y t , que reduce el problema planteado en (4.5) y (4.6) a una EDO con dos condiciones de

frontera compatibles. Proponemos que

( ), py t Cyt = (4.7)

De modo que la solucin es solamente funcin de :

( ),xv y t (4.8)

Entonces


25/25

25

1px x xv dv dvCpytt d t d

= =

(4.9)

px x xv dv dvCty d y d

= = (4.10)

1 22 2

2

n n n

p p px x x xv dv dv d vCt nC t Ct y y y d d d

= =

(4.11)

de donde la ecuacin (4.5) da:1 21

2

nn npx x xdv dv d vmn C t

d py d d

+ =

(4.12)

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