1

Λικνισμός: Χάος και σεισμικός σχεδιασμός

Μιχάλης Βασιλείου (Michalis Vassiliou)1

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Οι αριθμητικές προσομοιώσεις της σεισμικής απόκρισης των κατασκευών, συνήθως αποτυγχάνουν στη συνήθη δοκιμασία πειραματικής επαλήθευσης: Δεν προβλέπουν ικανοποιητικά την απόκριση μιας κατασκευής που σείεται από μια σεισμική τράπεζα. Ισχυριζόμαστε ότι αυτή η συνήθης δοκιμασία είναι υπερβολικά αυστηρή και δεν αποτελεί αναγκαία συνθήκη για την υιοθέτηση ενός προσομοιώματος. Το πρόβλημα του σεισμικού σχεδιασμού δεν έγκειται στην πρόβλεψη της απόκρισης σε μοναδική διέγερση, αλλά στην πρόβλεψη των στατιστικών χαρακτηριστικών της απόκρισης σε ένα σύνολο διεγέρσεων που χαρακτηρίζουν τη σεισμική φόρτιση. Επομένως, αυτή πρέπει να είναι η διαδικασία πειραματικής επαλήθευσης για κάθε δομικό προσομοίωμα. Ως παράδειγμα χρησιμοποιούμε το λικνιστικό προσομοίωμα του Housner. Διεξάγοντας 600 δοκιμές στη σεισμική τράπεζα, δείχνουμε ότι το προσομοίωμα δεν προβλέπει ικανοποιητιικά την απόκριση σε κάθε διέγερση ξεχωριστά, αλλά προβλέπει με ικανοποιητική ακρίβεια τα στατιστικά χαρακτηριστικά της απόκρισης στο σύνολο των διεγέρσεων. Το προσομοίωμα δεν είναι τέλειο, αλλά αρκούντως καλό. Περεταίρω βελτίωσή του δεν συνίσταται, επειδή κυριαρχεί η αβεβαιότητα της διέγερσης. Επομένως, ο λικνισμός είναι χαοτικός εάν το ζητούμενο είναι η πρόβλεψη σε μία μοναδική διέγερση, είναι όμως προβλέψιμος από τη σκοπιά της σεισμικής μηχανικής, δηλαδή της πρόβλεψης των στατιστικών μεγεθών της απόκρισης σε ένα σύνολο σεισμικών δράσεων σχεδιασμού.

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ως λικνιστικό ταλαντωτή (rocking oscillator) ορίζουμε αυτόν που ενδέχεται να ανασηκωθεί από τη βάση του σε περίπτωση σεισμού. Ξεκινώντας με την εργασία του Housner [1] η επιστημονική κοινότητα τον έχει συστηματικά μελετήσει με σκοπό να αξιοποιήσει το λικνισμό ως μέθοδο σεισμικής μόνωσης γεφυρών [2-12] αλλά και για να περιγράψει τη σεισμική συμπεριφορά αρχαίων ελληνικών, ρωμαϊκών και κινεζικών ναών [13-16], μουσειακών εκθεμάτων, βιομηχανικού και οικιακού εξοπλισμού [17-22], καθώς και την εκτός επιπέδου κίνηση της τοιχοποιίας. Ο λικνισμός επίσης χρησιμοποιείται ως μορφή σεισμικής μόνωσης κτηρίων σε χώρες τις πρώην ΕΣΣΔ [23].

1 Assistant Professor, ETH Zurich, vassiliou@ibk.baug.ethz.ch

2

Η απόκριση των λικνιστικών συστημάτων είναι ισχυρώς μη γραμμική και εξαιρετικά ευαίσθητη έναντι όλων των παραμέτρων που την ορίζουν. Ορισμένοι ερευνητές αντιμετωπίζουν τον λικνιστικό ταλαντωτή ως χαοτικό σύστημα. Η παραπάνω αντιμετώπιση ενισχύεται από την αδυναμία του προσομοιώματος του Housner να προβλέψει αξιόπιστα την πειραματική απόκριση ενός ταλαντωτή, όταν αυτός διεγείρεται από μια σεισμική διέγερση. Ακόμα και εάν ο συντελεστής ανάπαλσης, ο οποίος περιγράφει την ενέργεια που αποσβαίνεται σε κάθε κρούση, προσδιοριστεί πειραματικά, η απόκριση είναι τόσο ευαίσθητη που είναι πρακτικώς αδύνατον να προβλεφθεί με ακρίβεια. Τα παραπάνω θέτουν εν αμφιβόλω την αξιοπιστία όλης της αναλυτικής και αριθμητικής έρευνας στο αντικείμενο του λικνισμού: Τι αξία μπορεί να έχουν θεωρητικές επεξεργασίες, εάν το πείραμα δεν τις επιβεβαιώνει;

Η «προβοκατόρικη» απάντηση θα μπορούσε να είναι ότι ούτε τα προσομοιώματα που χρησιμοποιούμε για την πλαστική ανάλυση των κατασκευών από ΟΣ επαληθεύονται πειραματικά [24], και όμως τα χρησιμοποιούμε. Όμως, υπάρχει και ουσιαστική απάντηση.

Στη σεισμική μηχανική, η δυνατότητα μιας μεθόδου προσομοίωσης να προβλέπει με ακρίβεια την απόκριση ενός συστήματος σε μια διέγερση είναι σίγουρα ικανή συνθήκη για την πειραματική της επαλήθευση. Δεν είναι, όμως, αναγκαία. Η σεισμική φόρτιση σχεδιασμού, δηλαδή ο σεισμικός κίνδυνος (seismic hazard) δεν ορίζεται από ένα μοναδικό επιταχυνσιογράφημα, αλλά από ένα σύνολο διεγέρσεων που συχνά δίνονται με τη μορφή ενός φάσματος σχεδιασμού. Επομένως, το πρόβλημα του σεισμικού σχεδιασμού δεν έγκειται στην πρόβλεψη της απόκρισης σε μια μοναδική διέγερση, αλλά στην πρόβλεψη της απόκρισης σε ένα σύνολο διεγέρσεων που ορίζουν τον σεισμικό κίνδυνο. Επομένως, μια μέθοδος προσομοίωσης είναι αρκούντως ακριβής εάν μπορεί να προβλέψει τα στατιστικά μεγέθη της απόκρισης ενός συστήματος σε ένα σύνολο διεγέρσεων σχεδιασμού.

Εάν αυτή η «ασθενής» δοκιμασία δεν είναι μέχρι τώρα η επικρατέστερη, αυτό οφείλεται στην απαίτηση πολλαπλών πειραμάτων – άρα και πολλαπλών κατασκευών-δοκιμίων, πράγμα που την έκανε οικονομικά αδύνατη. Όμως, τα λικνιστικά συστήματα δεν υφίστανται ζημιές και το ίδιο δοκίμιο μπορεί να αξιοποιηθεί για πολλαπλές δοκιμές σε σεισμική τράπεζα, με σκοπό να απαντήσουμε στο ερώτημα: Υπάρχουν συστήματα και μέθοδοι προσομοίωσης που μπορεί να μην μπορούν να προβλέψουν την απόκριση σε μοναδική διέγερση («ισχυρή» δοκιμασία επαλήθευσης), αλλά να μπορούν να προβλέψουν τα στατιστικά μεγέθη της απόκρισης σε ένα σύνολο σεισμικών διεγέρσεων («ασθενής» αλλά ικανή δοκιμασία επαλήθευσης);

Η παρούσα εργασία υιοθετεί μια στατιστική προσέγγιση για την επαλήθευση του λικνιστικού προσομοιώματος του Housner. Αξίζει να σημειωθεί ότι ήδη από το 1980 οι Yim et al. [25] είχαν παρατηρήσει ότι ο λικνιστικός ταλαντωτής δεν είναι ευαίσθητος, εάν ιδωθεί από στατιστική σκοπιά.

2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΛΙΚΝΙΣΤΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ

Υποθέτοντας συντελεστή τριβής αρκούντως υψηλό ούτως ώστε να αποφεύγεται η ολίσθηση, η εντός επιπέδου εξίσωση κίνησης ενός ελεύθερα εδραζόμενου στερεού σώματος ημιδιαγωνίου R και ραδινότητας α = tan(B/H) (Σχήμα 1) όταν αυτό διεγείρεται από οριζόντια επιτάχυνση üg(t), είναι

2( ) sin[ sgn ( ) ( )] cos[ sgn ( ) ( )]gut p t t t t

gθ α θ θ α θ θ

= − − + −

(1)

3

όπου θ είναι η γωνία στροφής του σώματος και p είναι η συχνοτική παράμετρος του σώματος, η

οποία ορίζεται ως 0

mgRpI

= .

Ο Hounser [1] υπέθεσε ότι η κρούση είναι ακαριαία και ότι οι κρουστικές δυνάμεις είναι συγκεντρωμένες στα σημεία O και Ο΄. Με βάση αυτές τις παραδοχές, η αρχή διατήρησης της στροφορμής κατά την κρούση προσδιορίζει τον συντελεστή ανάπαλσης ως:

2 222

0

21 sinafter

before

mRrI

θα

θ

= = −

(2)

Σχήμα 1. Στερεό σώμα ελεύθερα λικνιζόμενο επί άκαμπτης επιφάνειας

Σχήμα 2. Αριστερά: Λικνιζόμενο δοκίμιο; Μέσον: Σφηνοειδής πλάκες βάσεις (μονάδες [mm]) Δεξιά: Δοκίμιο επί της σεισμικής τράπεζας του ΕΤΗ

Σχήμα 3. Αριστερά: Πειραματικά μετρημένες και θεωρητικές (Housner) τιμές των ιδιοτήτων του

λικνιζόμενο δοικιμίου; Δεξιά: Ελεύθερης λικνιστική ταλάντωση: Σύγκριση πειράματος και αριθμητικής απόκρισης.

4

3 ΔΟΚΙΜΕΣ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ

Πραγματοποιήθηκε μια σειρά δοκιμών για να μετρηθεί η εντός επιπέδου λικνιστική σεισμική απόκριση ενός οιονεί στερεού σώματος [26]. Το δοκίμιο (Σχήμα 2, αριστερά) αποτελείτο από 4 σφηνοειδείς πλάκες με τις οποίες μορφώνεται η βάση (Nr.1), δύο συνδετήριες πλάκες (Nr. 2) και 2 κοίλα υποστυλώματα (Nr. 3) – όλα από αλουμίνιο. Το συνολικό ύψος του δοκιμίου ήταν 500mm και το βάθος του 400mm. Το συγκεκριμένο σχήμα επιλέχθηκε για να παραμείνει η κίνηση μόνο εντός επιπέδου. Η απόσταση μεταξύ των σημείων έδρασης ήταν 75mm, άρα η ραδινότητα ήταν tanα = 0.15. H ιδιοπερίοδος του δοκιμίου προτού ανασηκωθεί μετρήθηκε ίση με 0.04s.

Το συγκεκριμένο δοκίμιο αντιπροσωπεύει κατασκευές οι οποίες σκοπίμως σχεδιάστηκαν να ανασηκώνονται: Τα σημεία έδρασης είναι σαφώς ορισμένα έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί η αβεβαιότητα της ακριβούς θέσης των δυνάμεων κρούσης. Εντούτοις, ακόμα και εάν γνωρίζουμε με καλή ακρίβεια τη θέση των κρουστικών δυνάμεων (και άρα το συντελεστή ανάπαλσης), η πρόβλεψη της απόκρισης είναι εξαιρετικά δυσχερής. Άλλωστε έχει αναφερθεί μη επαναληψιμότητα των πειραματικών δοκιμών [13].

Η συχνοτική παράμετρος p και ο συντελεστής ανάπαλσης r προσδιορίστηκαν πειραματικά με δοκιμές ελεύθερης λικνιστικής ταλάντωσης. Το Σχήμα 3 συγκρίνει την πειραματική απόκριση με την αριθμητικά υπολογισμένη: Η αριθμητική λύση βρίσκεται πολύ κοντά στην πειραματική παρατήρηση για περισσότερους από 20 κύκλους. Επιπλέον, ο πειραματικά προσδιορισμένος συντελεστής ανάπαλσης και η θεωρητική εκτίμησή του από τον τύπο του Housner διαφέρουν κατά λιγότερο από 1%. Εντούτοις, όπως δείχνεται στην επόμενη ενότητα, ακόμα και τόσο μικρές διαφορές οδηγούν σε μεγάλες αποκλίσεις όταν πρόκειται για τον υπολογισμό της απόκρισης σε σεισμική διέγερση.

Οι σεισμικές διεγέρσεις επιβλήθηκαν μέσω της σεισμικής τράπεζας του ΕΤΗ (Σχήμα 2, δεξιά). Οι μετακινήσεις του δοκιμίου καταγράφηκαν με ακρίβεια 0.1mm και ρυθμό δειγματοληψίας 500Hz. Αυτό αντιστοιχεί σε ακρίβεια γωνίας στροφής 0.8mrad, δηλαδή 0.53% της ραδινότητας του δοκιμίου, α.

4 ΔΕΣΜΕΣ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΔΙΕΓΕΡΣΕΩΝ

Με σκοπό τη μείωση της αβεβαιότητας της διέγερσης, χρησιμοποιήθηκαν συνθετικές καταγραφές συμβατές με τα ελαστικά φάσματα 2 μητρικών πραγματικών καταγραφών [27-28]. Η χρήση συνθετικών καταγραφών συμβατών με συγκεκριμένα φάσματα επιλέχτηκε ως ελάχιστη προϋπόθεση για την στατιστική σύγκριση των πειραματικών και των αριθμητικών δεδομένων, παρόλο που καταγραφές με παρόμοια ελαστικά φάσματα μπορεί να έχουν πολύ διαφορετικά φάσματα λικνισμού.

Δύο καταγραφές, η διαμήκης συνιστώσα της 1940 El Centro Array #9 και η εγκάρσια συνιστώσα της 2003 Lefkada, χρησιμοποιήθηκαν ως μητρικές για την παραγωγή των συνθετικών διεγέρσεων. Δημιουργήθηκαν δύο δέσμες των 100 καταγραφών [26].

Κλιμάκωση (scaling) των καταγραφών

Η κλιμάκωση του μεγέθους (SL) του λικνιστικού ταλαντωτή επηρεάζει την απόκριση αντιστρόφως ανάλογα της κλιμάκωσης του τετραγώνου της συχνότητας διέγερσης. Επομένως

5

αντί της χρήσης δοκιμίων διαφορετικού μεγέθους, μπορεί κανείς να κλιμακώσει τη διέγερση κατά ένα χρονικό παράγοντα T LS S= .

Διατηρώντας το ύψος του δοκιμίου στα 2H = 0.5m (κλίμακα μοντέλου), επιλέχτηκαν 3 διαφορετικά μεγέθη στην κλίμακα πρωτοτύπου: 2H = 5, 10 και 20m. Επομένως ο χρονικός παράγοντας επιλέχθηκε ίσος με ST = 10 , 20 και 40 , δηλαδή η συχνότητα των καταγραφών αυξήθηκε κατά ST χωρίς να αλλάξει η κλιμάκωση της επιτάχυνσης.

Η σεισμική τράπεζα του ΕΤΗ δεν ήταν σε θέση να αναπαράξει με ακρίβεια τις καταγραφές λόγω παλαιάς τεχνολογίας του controller. Σε κάθε περίπτωση, στο αριθμητικό μοντέλο χρησιμοποιήθηκαν ως διέγερση οι πραγματικές διεγέρσεις, όπως αυτές καταγράφηκαν επί της τράπεζας.

5 ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ

Στο Σχήμα 4 συγκρίνεται η χρονοϊστορία της γωνίας στροφής όπως αυτή προσδιορίστηκε πειραματικά και αριθμητικά. Εκτελέστηκαν δυο αριθμητικές προσομοιώσεις: μία με τον θεωρητικό συντελεστή ανάπαλσης (Εξίσωση 2) και μια με συντελεστή πειραματικά προσδιορισμένο μέσω δοκιμών ελεύθερης ταλάντωσης (Σχήμα 2). Σε κάποιες περιπτώσεις τα αριθμητικά προσομοιώματα προβλέπουν ικανοποιητικά το μέγιστο της απόκρισης, αλλά εν γένει αποδίδουν απογοητευτικά.

Εκτελέστηκαν 600 πειραματικές δοκιμές: 2 μητρικές καταγραφές × 100 συνθετικές για την κάθε μια × 3 κλιμακώσεις του χρόνου (που αντιστοιχούν σε μεγέθη 2Η=5m, 2H=10m και 2H=20m). Εκτελέστηκαν οι αντίστοιχες αριθμητικές προσομοιώσεις χρησιμοποιώντας το προσομοίωμα του Housner και τη διέγερση όπως αυτή καταγράφηκε στην τράπεζα. Στο Σχήμα 5 συγκρίνονται τα μέγιστα των γωνιών στροφής θ/α, όπως μετρήθηκαν πειραματικά θmax,exp και όπως προσδιορίστηκαν αριθμητικά με χρήση του πειραματικού συντελεστή ανάπαλσης θmax,num. Αν και δεν υπάρχει ξεκάθαρη στατιστική προκατάληψη (bias), είναι σαφές ότι το αριθμητικό προσομοίωμα δεν είναι σε θέση να προβλέψει την λικνιστική απόκριση.

Σχήμα 4. Απόκριση σε καταγραφές χρονικά κλιμακωμένες και φασματικά συμβατές με τις καταγραφές 1940

El Centro και 2003: Ντετερμινιστική σύγκριση πειραματικών και αριθμητικών δοκιμών.

6

6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ

Τα ίδια αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα και στο Σχήμα 5, παρουσιάζονται στο Σχήμα 6: Τα μέγιστα των αποκρίσεων κατατάχθηκαν κατά αύξουσα σειρά και απεικονίστηκαν ως εμπειρική Αθροιστική Συνάρτηση Κατανομής (ΑΣΚ) (empirical Cummulative Distribution Function). Απεικονίζονται 4 καμπύλες: α) η πειραματική, β) η αριθμητική με τον θεωρητικό συντελεστή ανάπαλσης, γ) η αριθμητική με τον πειραματικό συντελεστή ανάπαλσης και δ) η αριθμητική χρησιμοποιώντας το προσομοίωμα των Priestley et al. [29]. Παρότι οι Makris and Konstantinidis [30] απέδειξαν ότι το προσομοίωμα του Priestley είναι θεμελιωδώς λανθασμένο, το προσομοίωμα εξετάζεται για να διαπιστωθεί εάν μπορεί να περάσει την ασθενέστερη δοκιμασία της στατιστικής επαλήθευσης, παρόλο που δεν καταφέρει να περάσει την ισχυρότερη δοκιμασία της ντετερμινιστικής επαλήθευσης.

Παράλληλα, στο Σχήμα 6 απεικονίζονται τα μη παραμετρικά διαστήματα εμπιστοσύνης 90% και 95% για τα πειραματικά δεδομένα. Διάστημα εμπιστοσύνης 90% για την πειραματική καμπύλη σημαίνει ότι εάν τα πειράματα επαναλαμβάνονταν με ένα διαφορετικό σύνολο φασματικά συμβατών συνθετικών καταγραφών, η νέα εμπειρική ΑΣΚ θα είχε 90% πιθανότητα να βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο διάστημα εμπιστοσύνης. Από το Σχήμα 6 και τον Πίνακα 1 συμπεραίνουμε:

Σύγκριση με το προσομοίωμα του Housner:

• Δεν υπάρχει συστηματική στατιστική προκατάληψη μεταξύ των πειραματικών και των αριθμητικών εμπειρικών ΑΣΚ. Σε άλλες περιπτώσεις το προσομοίωμα υπερεκτιμά και σε άλλες υποεκτιμά την πιθανότητα υπέρβασης μιας γωνίας στροφής. Το ίδιο ισχύει και για το σχετικό σφάλμα (Πίνακας 1).

Σχήμα 5. Σύγκριση μεταξύ των πειραματικών και αριθμητικών (r = rexp) μεγίστων για όλες τις συνθετικές

καταγραφές τις συμβατές με την 1940 El Centro (άνω) και την 2003 Lefkada (κάτω)

7

Figure 6. Cumulative distribution functions of the normalized maximum tilt angle 𝜃𝜃max∕𝛼𝛼 for the 1940 El Centro (top) and 2003 Lefkada (bottom) synthetic ground motion ensembles

Πίνακας 1. Σύγκριση πειραματικών και αριθμητικών αποτελεσμάτων (r = rexp)

El Centro Lefkada

2H θnum

[α] θexp

[a] Δθ/θexp

[-] θnum

[α] θexp

[a] Δθ/θexp

[-] 25o εκατοστημόριο 0.430 0.360 0.194 0.600 0.550 0.091

5m 50o εκατοστημόριο 0.710 0.650 0.092 0.880 0.970 -0.093 75o εκατοστημόριο ανατροπή ανατροπή - ανατροπή ανατροπή - 25o εκατοστημόριο 0.180 0.170 0.059 0.220 0.260 -0.154

10m 50o εκατοστημόριο 0.300 0.280 0.071 0.370 0.370 0 75o εκατοστημόριο 0.430 0.510 -0.157 0.550 0.540 0.019 25o εκατοστημόριο 0.005 0.018 -0.722 0.060 0.032 0.875

20m 50o εκατοστημόριο 0.019 0.033 -0.424 0.117 0.081 0.444 75o εκατοστημόριο 0.051 0.095 -0.463 0.208 0.180 0.156

• Οι αριθμητικές ΑΣΚ για τα σώματα μεγέθους 2Η = 5m και 2H = 10m βρίσκονται σαφώς εντός των διαστημάτων εμπιστοσύνης των πειραματικών ΑΣΚ. Αντιθέτως, για τα σώματα μεγέθους 2H = 20m και για μικρές τιμές της γωνίας στροφής, οι αριθμητικές ΑΣΚ δεν βρίσκονται εντός των διαστημάτων εμπιστοσύνης. Όμως τόσο μικρές γωνίες στροφής, είναι ούτως ή άλλως στα όρια της ακρίβειας των πειραματικών μετρήσεων. Στο

8

πλαίσιο της σεισμική μηχανικής, τα παραπάνω δεδομένα δείχνουν ότι το προσομοίωμα του Housner είναι αρκούντως ακριβές.

• Η μεταβλητότητα διέγερσης (motion-to-motion variability), ακόμα και εντός συνόλου προερχόμενου από την ίδια μητρική διέγερση, επισκιάζει τόσο το σφάλμα δομικής προσομοίωσης, όσο και την εγγενώς χαοτική συμπεριφορά του λικνιστικού ταλαντωτή. Η μεταβλητότητα της εδαφικής διέγερσης θα είναι ακόμα μεγαλύτερη, εάν ληφθεί υπόψη η αβεβαιότητα η σχετιζόμενη με την πηγή και την τοποθεσία (source and site variability).

• Για τα 2 σύνολα διεγέρσεων και για μέγεθος ταλαντωτή 2Η = 5m και 2H = 10m το μέγιστο σφάλμα πρόβλεψης του 25%, 50% και 75% εκατοστημορίου (percentile) της γωνίας στροφής θmax είναι 16%.

• Η σχετική απόσταση μεταξύ των ΑΣΚ είναι μικρότερη όταν χρησιμοποιείται ο πειραματικά προσδιορισμένος συντελεστής ανάπαλσης και όχι ο θεωρητικός. Ως σχετική απόσταση νοείται η απόσταση Kolmogorov.

• Η σύγκριση της πιθανότητας ανατροπής όταν χρησιμοποιείται ο θεωρητικός ή ο πειραματικός συντελεστής ανάπαλσης, επιβεβαιώνει τη διαπίστωση των Yim et al. (1980): “From a probabilistic point of view, the coefficient of restitution influences the response [...] to a much lesser degree than the other system parameters.”

Σύγκριση με το προσομοίωμα των Priestley et al. Το προσομοίωμα δεν περνάει ούτε καν την ασθενή στατιστική δοκιμασία. Το σφάλμα πρόβλεψης της διάμεσης απόκρισης φτάνει το 500% όταν 2H=20m. Το προσομοίωμα άλλες φορές υπερεκτιμά και άλλες υποεκτιμά την ΑΣΚ, χωρίς αυτό να συνδέεται συστηματικά με το μέγεθος του λικνιζόμενου σώματος. Επομένως επιβεβαιώνεται ότι τα συμπεράσματα των Makris and Konstantinidis (2003) ισχύουν, ακόμα και όταν το πρόβλημα αντιμετωπίζεται στατιστικώς.

7 ΕΙΝΑΙ ΧΑΟΤΙΚΗ Η ΛΙΚΝΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ;

Ένα επιχείρημα κατά της χρήσης του λικνισμού ως μορφή σεισμικής μόνωσης, αλλά και κατά της αξιοπιστίας της ανάλυσης λικνιζόμενων κατασκευών είναι ότι η λικνιστική κίνηση είναι χαοτική, επομένως τα προσομοιώματά μας αναξιόπιστα επειδή αδυνατούν να την προβλέψουν.

Για να απαντήσουμε στο ερώτημα του τίτλου της ενότητας, ορίζουμε 2 διαφορετικά προβλήματα:

Πρόβλημα Α: Να προσδιοριστεί η λικνιστική απόκριση ενός σώματος σε δεδομένη εδαφική κίνηση. Πρόβλημα Β: Να προσδιοριστούν τα στατιστικά στοιχεία της απόκρισης (δηλαδή η ΑΣΚ) ενός σώματος σε ένα σύνολο διεγέρσεων. Το πρόβλημα του σεισμικού σχεδιασμού είναι το Β. Το Α έχει μόνο ακαδημαϊκή αξία.

Από την άλλη, η έννοια του χάους ορίζεται μαθηματικώς μόνο για προβλήματα αρχικών τιμών (ΠΑΤ). Το πρόβλημα Α είναι ΠΑΤ. Το πρόβλημα Β δεν είναι. Δηλαδή μπορούμε να διαπιστώσουμε εάν το Πρόβλημα Α είναι χαοτικό ή όχι, αλλά δεν μπορούμε να ισχυριστούμε τίποτε για το Πρόβλημα Β, που είναι και το ενδιαφέρον πρόβλημα. Το ερώτημα «Είναι το Πρόβλημα Β» χαοτικό, είναι κακώς τεθειμένο.

9

Όμως, θεωρούμε ότι η συντριπτική πλειοψηφία όσων χρησιμοποιούν τον όρο «χάος», δεν αναφέρεται στην μαθηματική έννοια του όρου, αλλά θέλει να περιγράψει την μη προβλεψιμότητα, την ακαταστασία, την ανοργανωσιά. Τόσο στα ελληνικά όσο και στα αγγλικά αποκαλούμε μία πολύβουη μεγαλούπολη χαοτική, ένα ακατάστατο δωμάτιο χαοτικό, ένα μυαλό που ταξιδεύει χαοτικό. Εξάλλου ο όρος Χάος απαντάται στην κοσμογονία του Ησίοδου που γράφτηκε πριν από 3000 χρόνια, πολύ πριν οι μαθηματικοί ανακαλύψουν τα ευαίσθητα δυναμικά συστήματα και τον υιοθετήσουν. Επομένως, δεν θεωρούμε ότι θα πρέπει να τους «χαριστεί» ο όρος, ειδικά όταν θέλουν να περιγράψουν μόνο ένα σύνολο όσων η ανθρωπότητα χαρακτηρίζει χαοτικά εδώ και αιώνες.

Με βάση τα παραπάνω, θεωρούμε ότι θα πρέπει να χρησιμοποιούμε τον όρο «χάος» για το Πρόβλημα Β και να αποφανθούμε ότι δεν είναι χαοτικό, ακριβώς επειδή η λύση του είναι προβλέψιμη.

8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Η λικνιστική ταλάντωση είναι πολύ ευαίσθητη έναντι όλων των παραμέτρων που την προσδιορίζουν. Συχνά οι πειραματικές δοκιμές είναι μη επαναλήψιμες και μικρές διαταραχές οδηγούν σε πολύ διαφορετικές χρονοϊστορίες. Τα αριθμητικά προσομοιώματα δεν μπορούν να προβλέψουν την απόκριση ενός λικνιζόμενου σώματος σε μια μοναδική χρονοϊστορία.

Όμως, δεν είναι αυτό το πρόβλημα του σεισμικού σχεδιασμού, αλλά η πρόβλεψη της ΑΣΚ για ένα σύνολο καταγραφών που προσδιορίζουν τον σεισμικό κίνδυνο. Με 600 δοκιμές στη σεισμική τράπεζα δείξαμε ότι η ΑΣΚ μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια, ακόμα και με το αδίκως κατηγορημένο ως απλοϊκό προσομοίωμα του Housner. Επομένως:

Α) Ο σεισμικός σχεδιασμός απαιτεί προσομοιώματα λιγότερο ακριβή από ό,τι η συνήθης δοκιμασία επαλήθευσης (δηλαδή η δοκιμασία πρόβλεψης της απόκρισης σε κάθε διέγερση χωριστά) υπαγορεύει και

Β) Το πρόβλημα του σεισμικού σχεδιασμού μιας λικνιστικής κατασκευής είναι προβλέψιμο και όχι χαοτικό.

9 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Housner, G. W. (1963). The behavior of inverted pendulum structures during earthquakes. Bulletin of the seismological society of America, 53(2), 403-417.

2. Makris, N., & Vassiliou, M. F. (2013). Planar rocking response and stability analysis of an array of free‐standing columns capped with a freely supported rigid beam. Earthquake Engng Struct Dyn, 42(3), 431-449.

3. Makris, N., & Vassiliou, M. F. (2014). Dynamics of the rocking frame with vertical restrainers. Journal of Structural Engineering, 141(10), 04014245.

4. Dimitrakopoulos, E. G., & Paraskeva, T. S. (2015). Dimensionless fragility curves for rocking response to near‐fault excitations. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 44(12).

5. Dimitrakopoulos, E. G., & Giouvanidis, A. I. (2015). Seismic response analysis of the planar rocking frame. Journal of Engineering Mechanics, 141(7), 04015003.

6. Vassiliou, M. F., & Makris, N. (2015). Dynamics of the vertically restrained rocking column. Journal of Engineering Mechanics, 141(12), 04015049.

7. Giouvanidis, A. I., & Dimitrakopoulos, E. G. (2017). Seismic performance of rocking frames with flag-shaped hysteretic behavior. Journal of Engineering Mechanics, 143(5), 04017008.

10

8. Vassiliou, M. F., Mackie, K. R., & Stojadinović, B. (2017). A finite element model for seismic response analysis of deformable rocking frames. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 46(3), 447-466.

9. Vassiliou, M. F., Burger, S., Egger, M., Bachmann, J. A., Broccardo, M., & Stojadinovic, B. (2017). The three‐dimensional behavior of inverted pendulum cylindrical structures during earthquakes. Earthquake Engineering & Structural Dynamics 46: 2261–2280.

10. Vassiliou, M. F. (2018). Seismic response of a wobbling 3D frame. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 47(5), 1212-1228.

11. Agalianos, A., Psychari, A., Vassiliou, M. F., Stojadinovic, B., & Anastasopoulos, I. (2017). Comparative assessment of Two rocking isolation Techniques for a Motorway Overpass Bridge. Frontiers in Built Environment, 3, 47.

12. Xie, Y., Zhang, J., DesRoches, R., & Padgett, J. E. Seismic fragilities of single‐column highway bridges with rocking column‐footing. Earthquake Engineering & Structural Dynamics.

13. Mouzakis, H. P., Psycharis, I. N., Papastamatiou, D. Y., Carydis, P. G., Papantonopoulos, C., & Zambas, C. (2002). Experimental investigation of the earthquake response of a model of a marble classical column. Earthquake engineering & structural dynamics, 31(9), 1681-1698.

14. Papantonopoulos, C., Psycharis, I. N., Papastamatiou, D. Y., Lemos, J. V., & Mouzakis, H. P. (2002). Numerical prediction of the earthquake response of classical columns using the distinct element method. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 31(9), 1699-1717.

15. Konstantinidis, D., & Makris, N. (2005). Seismic response analysis of multidrum classical columns. Earthquake engineering & structural dynamics, 34(10), 1243-1270.

16. Papaloizou, L., & Komodromos, P. (2009). Planar investigation of the seismic response of ancient columns and colonnades with epistyles using a custom-made software. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 29(11-12), 1437-1454.

17. Dar, A., Konstantinidis, D., & El-Dakhakhni, W. W. (2016). Evaluation of ASCE 43-05 seismic design criteria for rocking objects in nuclear facilities. Journal of Structural Engineering, 142(11), 04016110.

18. Ibarra, L., Sanders, D., Yang, H., & Pantelides, C. (2016). Seismic Performance of Dry Casks Storage for Long-Term Exposure (No. 12--3756). Battelle Energy Alliance, LLC, Idaho Falls, ID (United States).

19. Sextos, A. G., Manolis, G. D., Athanasiou, A., & Ioannidis, N. (2017). Seismically induced uplift effects on nuclear power plants. Part 1: Containment building rocking spectra. Nucl Eng Des, 318, 276-287.

20. Sextos, A. G., Manolis, G. D., Ioannidis, N., & Athanasiou, A. (2017). Seismically induced uplift effects on nuclear power plants. Part 2: Demand on internal equipment. Nucl Eng Des, 318, 288-296.

21. Voyagaki, E., Kloukinas, P., Dietz, M., Dihoru, L., Horseman, T., Oddbjornsson, O., ... & Steer, A. (2018). Earthquake response of a multiblock nuclear reactor graphite core: Experimental model vs simulations. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 47(13), 2601-2626.

22. Tondelli, M., Beyer, K., & DeJong, M. (2016). Influence of boundary conditions on the out‐of‐plane response of brick masonry walls in buildings with RC slabs. Earthquake Engng Struct Dyn, 45(8), 1337-1356.

23. Bachmann, J. A., Vassiliou, M. F., & Stojadinović, B. (2017a). Dynamics of rocking podium structures. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 46(14), 2499-2517.

24. Terzic, V., Schoettler, M. J., Restrepo, J. I., & Mahin, S. A. (2015). Concrete column blind prediction contest 2010: outcomes and observations. PEER Report, 1, 1-145.

25. Yim, C. S., Chopra, A. K., & Penzien, J. (1980). Rocking response of rigid blocks to earthquakes. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 8(6), 565-587.

26. Bachmann JA, Strand M, Vassiliou M, Broccardo M, Stojadinović B. (2017b) Is rocking motion predictable? Earthquake Engng Struct Dyn.1–18. https://doi.org/10.1002/eqe.2978

27. Rezaeian S, Der Kiureghian A. (2008) A stochastic ground motion model with separable temporal and spectral nonstationarities. Earthq Eng Struct Dyn 37(13):1565-1584.

28. Broccardo M, Dabaghi M. (2017) A spectral-based stochastic ground motion model with a non-parametric time-modulating function. In: 12th International Conference on Structural Safety and Reliability; Vienna; 2017:1-10.

29. Priestley, M. J. N., Evison, R. J., & Carr, A. J. (1978). Seismic response of structures free to rock on their foundations. Bulletin of the New Zealand National Society for Earthquake Engineering, 11(3), 141-150.

30. Makris, N., & Konstantinidis, D. (2003). The rocking spectrum and the limitations of practical design methodologies. Earthquake engineering & structural dynamics, 32(2), 265-289.