생활속의 수학 퍼즐

퍼즐속에 감추어진 수학적 원리를 찾아보고 그것들이 어떻게 사용되었는가 알아보자

충북대학교 자연과학대학 수학과 오원태 교수

수학은 숫자공부가 아니다. 옛 이야기와 퍼즐 속에 숨겨진 논리적 사고

고정 관념을 깨고 생각하자.

수학은 숫자공부가 아니다.

고정 관념을 깨고 생각하자. 답은 하나이라는 생각이나 답이 꼭 있

다는 생각도 때로는 고정관념이 될 수 있다. 수학은 숫자가 들어간 문

제를 풀이하는 것이라는 것도 우리의 고정관념이다. 동서양의 고전의

이야기와 퍼즐을 통하여 우리의 수학적 논리적 사고의 힘을 키워보자.

다음의 문제들에 대한 여러분의 답은 부분적으로 옳고 부분적으로

틀릴 수도 있다. 그러나 완전히 틀린 답은 없는 것이다. 그리고 완벽한

정답도 없는 문제도 있다 그러나 우리는 어떤 형태로든지 답할 수 있고

답하는 과정에서 우리의 수학적 논리적 사고의 깊이와 폭을 확장시킬

수 있을 것이다.

[문제1] 계산 착오

세 사람이 술집에 갔다. 술을 마시고 난 후 한 사람당 10만원씩 각출하여 30

만원을 지불하였다. 종업원이 주인에게 30만원을 전달하자 주인은 단골 손님

이라고 5만원을 깍아서 돌려주라고 했다. 그러자 5만원을 3명에게 나누자니 계

산이 복잡하여 3만원은 3명이 1만원씩 나누어 가지고 2만원은 종업원에게 팁

으로 주었다.

다음날 아침 술에서 깬 세 사람이 어제 낸 술값을 계산해 보았다. 각자가 10

만원을 내었다가 1만원을 돌려 받았으니 9만원씩 낸 셈이 되어 합계 3명이 27

만원을 낸 셈인데 종업원에게 2만원을 주었으니 합이 29만원밖에 안되지 않는

가? 도대체 1만원은 어디로 갔을까?

[문제1 풀이] 계산 착오

25+2+3= 30

27 +3= 30

x 27 +2= 29

27만원속에는 술값과 팁이 포함되어 있으므로 또 2만원을 더하면 안된다.

[문제2] 기지로 피해간 결투

[문제2] 기지로 피해간 결투 중세시대의 어떤 나라에는 공개적으로 결투를 신청당

했을 때 피하면 비겁자가 되었고 결투를 신청 당한 사람

이 결투에 사용할 무기를 선택하게 되어 있었다.

그런데 성미 급한 영국의 한 백작이 연회석에서 젊잖

은 공작에게 결투를 신청했다. 결투를 승낙하지 않으면

비겁자가 되므로 공작은 마지못해 결투를 수락하였다.

그러나 목숨을 건 결투를 하기 싫은 그 공작이 선택한 무

기는 무엇이었을까 ?

당신이라면 어떻게 하겠는가?

[문제2 풀이] 기지로 피해간 결투

다음 날 결투 장소에는

사람의 힘으로 도저히 들 수 없는 큰 도끼가 두 개 놓여 있었다.

두 사람은 그 도끼를 들 수 없어서 결투가 불가능하게 되었다.

[문제3] 영화 인디아나 존스의

최후의 성전 (잃어버린 성배를 찾아서)

- 절대 우위의 전략

[문제3 풀이] 영화 인디아나 존스의 최후의 성전

(잃어버린 성배를 찾아서) - 절대 우위의 전략

이 경우 어느 술잔으로 마셔도 아버지를 살릴 수 있다.

비록 잘못된 선택을 하였더라도 남은 영생의 술잔으로 아버지를 살 릴 수 있으므로…

[TIP] 야구에서 2 아웃인 상태에서 타자가 2 스트라익 3 볼일 때 베이스에 나가 있는 주자의 선택은?

[TIP] 야구에서 2 아웃 2 스트라익 3 볼일 때

주자의 선택은?

출루한 주자는 투수가 공을 던지면 무조건 다음 베이스로 뛰어야 유리하다.

타자가 4볼로 출루해도 다음 베이스로 갈 수 있고,

안타를 칠 경우 다음 베이스로 빨리 가야한다.

타구가 수비수에게 잡히든 안 잡히든

4 볼이 되든 안되든 상관없이 주자는

다음 베이스로 전력으로 뛰는 것이 유리하다.

[문제4 ] 케이크 나누기 (분할)

형제에게 케이크를 공평하게 나누어 주려고 한다. 당신이라면 어떻게 하겠는가?

[문제4 ] 케이크 나누기 (분할)

- 만족할 만한 케이크 분배

둥근 생일 케이크를 세 사람이 나누어 먹으려 한다. 세 사람 모두 각자 1/3 이상 케이크를 먹었다고 생각할 수 있도록 케이크를 나누어 먹는 방법을 말하시오.

[문제4 풀이 ] 케이크 나누기 (분할)

A, B, C 세 사람에게 각자 케이크를 3 등분 하여 오게 한 후에

먼저 A, B 가 표시한 중간을 잘라서 A에게 주면 A는 자신이 1/3 이라 표시한 부분 보다 더 많이 갖게 된다.

다음 으로 B, C 가 표시한 경계의 중간을 잘라 주면 C는 자신이 1/3 이라 표시한 것 보다 더 갖게 된다.

[문제 5 ] 공평한 유산 상속

형제에게 유산을 나누어 주려고 한다. 당신이라면 어떻게 하겠는가?

(유대인의 탈무드에 나오는 분할 방법?)

[문제 5 해설] 공평한 유산 상속

자신의 성격과 생각에 따라 대답하게 되어 있는 이 문제에 대한 유대인의 탈무드에 나타난 그 해법은 다음과 같다.

먼저 한 아들에게 재산을 공평하게 둘로 나누게 하고 나중 남은 아들에게 먼저 선택하게 한다.

[문제 6] 타성바지의 지혜 왜정말기 징용, 보국대로 탄광이나 전쟁에 끌려가던 시절 같은 성들끼리만

사는 마을에 타성바지가 한 사람 살고 있었는데 마침 그 마을에 1명 차출하여

징용을 보내라는 명령이 떨어졌다. 자연히 사(邪)가 끼어들어 제비 둘 모두에

동그라미를 쳐 가지고 외톨박이 타성바지에게 집으라고 하여 그것을 펴보아

동그라미가 나오면 다른 하나는 펴 볼 것도 없이 그를 징용보내기로 비밀리에

단단히 각본이 짜여져 있었다.

정작 결정지을 날이 닥쳐 왔을 때 이 타성바지 청년은 영리한 사람이라 동네

안에서 자기의 처지를 십분짐작하여 아주 신중하게 처신하였다. 마침내 제비

를 뽑아 결정하자는 공론이 돌고 이어 제비 접은 것을 내놓으며 타성바지 청년

에게 먼저 집으라고 하였다. 그가 어떻게 하면 징용에 끌려가지 않고 마을에

그냥 남을 수 있겠는가? 당신이라면 이 경우 어떻게 하겠는가?

[문제6 해설 ] 타성바지의 지혜

타성바지는 자신이 징용을 가게 된다면 홀로 남겨질

처지의 어머니를 생각하니 눈물이 앞을 가려 차마 쪽지

를 열어볼 용기가 없다면서 그 쪽지를 삼켜버렸다. 그리

고 나머지 쪽지를 다른 사람에게 선택하게 하였다.

[문제 7 ] 당신이 좋아하는 동물은 알아맞히겠습니다

1 2 3

[문제7해설] 좋아하는 동물 알아맞히기

1) 그림 왼편에 1, 2, 3 을 쓴 후에 그림의 번호를 4, 5, 6, … 순으

로 붙인다.

2) 자신이 선택한 그림의 번호를 확인시킨다.

3) 사회자는 7번 그림을 선택하고 상대에게 7번 그림부터 자신이

좋아하는 동물의 번호 수만큼 시계의 반대 방향으로 움직여서 나

오는 동물의 이름을 말하게 한다.

4) 그 결과는 자신이 좋아하는 동물의 이름을 자신이 말하게 된다.

(부동점과 진법, 모듈, 잉여류의 원리가 숨어 있다.)

[문제 8] 대원군의 지혜

“ 자네, 원하는 자리가 뭐였지? “

흥선 대원군이 초야에 묻혀 살던 시절 음양으로 그를

도와 준 청년이 하나 있었는데 사사로운 청탁이나 뒷구멍

거래를 막겠다던 대원군이 자신의 말을 거스르고 이 청년

에게 벼슬 한자리 주자고 말할 수는 없었다.

당신이 대원군이라면 어떻게 하겠는가? 이 청년에게 벼슬자리를 한 자리 줄 수는 없을까?

[문제 8 해설] 대원군의 해법

대원군은 재상들이 젊은이에게 벼슬을 주자고 청원하게 하여 젊은이에게 은혜갚음을 하였다.

여러재상들 앞에서 젊은이에게 귓속말로 모욕을 주어 반발하게 만들어 재상들이 대원군도 쩔쩔매는 젊은이의 권위에 놀라게 하여 젊은이에게 잘 보아려고 아부하게 만들었다.

[문제9] 전능한 신이 할 수 없는 일?

(Q)신은 전지 전능한가? (A) 그렇다.

(Q)그렇다면 그 신은 큰 돌도 만들 수 있는가? (A)물론이다. (Q) 그럼 그 전능한 신은 자신이 들 수 없는 큰 돌을 만들 수 있는가? (A) Yes or No? 위의 문답에서 전능한 신은 돌을 만들수 있어야 하는데 자기가 들 수 없는 돌을 만들면 그 돌을 자기가 들어 올릴 수가 없으므로 전능하다는데 모순이 생긴다. 왜 이런 모순이 생겼을까?

[문제9 해설] 전능한 신이 할 수 없는 일?

이 문제는 성립하지 않는다.

이 질문은

전지전능한 신이 자신이 할 수 없는 일을 할 수 있는가? 라는 질문과 동일하다.

[문제 10] 순환 논리

도둑들이 왕의 몸값으로 받은 7개의 보석을 나누면서 논쟁을 벌이고 있다.

그들 중 한 사람이 자기 오른편에 있는 도둑에게 2개를 건네주고 또 왼편에 있

는 도둑에게 2개를 주었다. 그러면서 그는 "나는 3개를 가져야겠다"고 말한다.

그때 오른편에 있는 사람이 물었다. "왜 너는 3개를 가져야 하지?" "내가 두목

이니까." "아니, 어째서 당신이 두목이냐?" "내가 더 많은 보석을 가지고 있으니

까."

甲: 자네는 가난해. 왜냐하면 경제적으로 궁핍하기 때문이지.

乙: 그럼 선생님, 저는 왜 경제적으로 궁핍한 건가요?

甲: 그건 자네가 돈이 없기 때문일세!

乙: 왜 제가 돈이 없을까요?

甲: 그야 자네가 가난하기 때문이지!

출처 : 위기철의 논리 3부작

순환 논리circular reasoning

이상한 나라의 앨리스의 제6장에서 앨리스가 쳬셔 고양이와 나눈 대화이다: “소용없어. 여긴 모두 미쳤으니까. 너도 미쳤고 나도 미쳤지.” “내가 미쳤는지 어떻게 아는데?” “틀림없어. 미치지 않았으면 여기 없을테니까.” 앨리스는 고양이 말이 올바른 증명은 아니라고 생각했다. 한마디로, '여기 있는 사람은 모두 미쳤다. 왜냐하면 여기 있는 사람은 모두 미쳤기 때문이다.

선결문제의 오류

• 2번 문장은 참이다 • 3번 문장은 참이다 • 4번 문장은 참이다 • 1번 문장은 참이다

논리적으로 파악하기 쉬운 오류이만 책 한 권 단위로 순환논리가 전개되면 마지막 장에 가서는 첫째 장이 근거가 없음을 까먹기 때문에 "아 그렇구나 ! " 하고 속아 넘어가기가 매우 쉽다. “선결문제의 오류 또는 순환논리의 오류”라고 부르는데 목적과 그 목적의 달성하는 수단을 전도시키는 오류를 말한다. 전제 속에 결론과 같은 뜻의 말을 쓰고 있다.

[문제 11-1 ] 카드 마술

[문제11-2] 카드 마술

[문제 11 풀이 ] 카드 마술

모든 카드의

숫자와 그림이

다 바뀌었으므로

당연히

카드는 사라져야 한다.

세밀한 관찰이 문제 해결의 열쇠이다.

[문제 12] 곤란한 질문

귀여운 아들를 두고 엄마 아빠가 물었다.

"너 아빠 아들이냐? 엄마 아들이냐?“

당신이 아들이라면 어떻게 대답할 것 인가?

[문제 12 해설] 곤란한 질문

아들은 손바닥을 “짝짝짝” 친 후에

“ 이 손벽소리는 어느 손바닥에서 났나요?”

하고 되물었다.

[문제13] 악어 논리 ( Der Krokodilschluss)

이 이야기는 중세 수사학을 공부하는 사람들에게 널리 유행하던 이야기이다. 옛날 나일 강가에서 악어가 어린 아기를 잡아갔다. 그 때 아기의 어머니가 아기를 돌려 달라고 악어에게 간절히 빌었다. 그러나 악어가 어머니에게 하는 말이 "만일 내가 너의 아기를 잡아 먹을것인지, 살려 줄 것인지 알아맞히면 너에게 아기를 돌려 주겠다" 곰곰히 생각한 아기 어머니는 "너는 아기를 잡아먹을 것이다"라고 대답하였다. 그 후에 어머니는 아기를 돌려 받았을까? 이 이야기는 어떻게 끝났을까?

[문제13] 악어논리의 뒷이야기 아기 엄마가 말했다.

“너는 아기를 돌려 주지 않을 것이다. 내 말이 진실이라면 진실을 알아 맞춘 것이니 내 아이를

돌려다오 . 그러나 이 말이 진실이 아니라면 네가 처음부터 아기를 돌려 주려고 한 대로 내 아

기를 돌려다오.”

그러자 악어는 이렇게 대답했다.

“나는 아기를 돌려주지 않겠다. 왜냐하면 내가 아기를 돌려 주지 않을 것이라는 너의 말

이 맞다면 네 말대로 아기를 돌려 주지 않을 것이고, 틀렸다면 너는 알아 맞추지 못한 것

이니 네 아기를 돌려 줄 수 없다.”

- 악어기 자기의 말의 약속을 지킨다면 아기를 돌려주지 않을 수는 있어도 아기를 잡아 먹을

수는 없을 것이다 (?)

- 악어는 약속을 지키지 않는 짐승이므로 아기를 돌려 받을 수 없다.

- 악어는 말을 할 수 없는 짐승이어서 이런 일이 일어 날 수가 없다. 등 등 …

[문제 14 ] 양도 논법

• 사명당과 서산대사 (대동야승)

참새를 손바닥에 쥔 사명당은 서산대사에게 물었다

“이 참새가 살겠는가 죽겠는가?”

• “간음한 이 여인을 돌로 칠까요?” 하고 바리새인들은 예수님에게 물었다.

• “로마인에게 세금을 바쳐야합니까?” 하고 물었다.

[문제 14 ] 양도 논법의 대응

㈜ 양도논법은 양쪽에 날이 선 칼처럼 어떤선택을 하여도 틀리도록 한 질문이다.

• 서산대사는 방문지방에 한 발을 내 딛고 “내가 지금 방을 나서고 있는지 들어가고 있는지 알아 맞히면 대답을 해 주겠네” 하고 대답하였다.

• 예수님은 “너희중에 죄 없는자는 돌로 치라”고 말씀하셨다.

• “가이사의 것은 가이사에게 하나님의 것은 하나님께 바치라”

[문제15] 탄타로스 신화에서 해방

탄타로스의 머리 위에는 맛있는 과일이 매달려

있고 무릎까지는 물이 차 있다. 그래서 배가 고파 과

일을 따 먹으려고 손을 내밀면 과일 나무 가지는 위

로 올라가 버리고, 목이 말라 물을 마시려고 허리를

굽히면 물은 땅 밑으로 스며 들어가 버린다. 그리하

여 영원히 기아와 갈증속에서 고통을 당하게 된

다. 당신이 탄타로스라면 어떻게 하겠는가 ?

[문제16] 시지프스 신화에서 탈출

신의 노여움을 받은 시지프스는 산 꼭대기

로 거대한 돌을 밀고 올라가 정상에 다다르면

돌은 다시 산 아래로 굴러 떨어져 내려가 버린

다. 그래서 영원히 돌을 산위로 밀고 올라가는

형벌을 받아 고통 받게 된다. 어떻게 하면 이 고

통에서 해방될 수 있을까?

[문제17] 톨스토이 우화의 뒷 이야기

어떤 사람이 호랑이를 피해 도망가다가 구덩이에 떨어졌다. 그

러나 떨어지는 도중에 간신히 칡넝쿨에 매달렸다. 그런데 아래

를 내려다 보니 독사가 혀를 날름거리고 기다리고 있었다. 위를

쳐다 보니 생쥐가 와서 칡넝쿨을 갉아 대고 있었다. 이 절대절명

의 위급한 상황에서도 사람은 벌집에서 떨어지는 꿀을 핥아 먹

고 있다. 이 이야기는 톨스토이 우화에 나오는 인간의 절대 절명

의 절박한 상황을 잘 표현한 우화이다.

어떻게 하면 이 사람은 이 절박한 상황에서 탈출 할 수 있을까 ?

[문제18] 거짓말 내기

어떤 부자가 심심풀이로 이야기나 듣겠다

고 '거짓말을 해서 나를 굴복시키면 상금으

로 1만냥을 치르겠다'고 광고를 하였다.

어떻게 하면 상금 1만냥을 탈 수 있을까 ?

[문제18 해설] 거짓말 내기

한 사람이 1만량짜리 가짜 차입증서를 가지고 가서 빌려간 돈을 내놓으라고 하였다.

그러자

이 부자는 이를 부정할 수가 없어서 1만량을 줄 수 밖에 없었다.

[문제19] 사인(sign)

강화도 전등사마을의 어떤 여관에는 초저녁에 든

손님도 저녁을 못얻어 먹는 수가 있는가 하면 밤중

에 들어와도 식사대접을 받는 손님이 있다.

손님이 오면 주인이 어떤 손님에게는 "얘! 거 밥있

니?" 하고, 다른 손님에게는 "얘! 밥 안 남았니?" 하

고 주방을 향하여 물었다.

어느 손님이 밥을 얻어먹었을까?

[문제19] 사인(sign)

주인과 주방하인 사이에 주고 받는 신호가 있었다.

밥을 주고 싶을 땐 “얘 밥있니?” 하고 묻고

주기 싫을 땐 “얘, 밥없니?” 하고 물었다.

주방에서는 주인의 말에 긍정만 하고 따르면 되었다.

[문제 20] 소원

한 소년이 용왕을 구해준 댓가로 네모 반

듯한 벼루를 선물 받았는데 6가지의 소원을

빌 수 있었다.

그래서 소년의 마지막 6번째 소원은 무엇

이었을까 ?

[문제 20 해설 ] 소원

소년은 지금 가진 것과 똑 같은 효력을 갖

는 벼루를 한 개 더 달라고 마지막 소원을

빌었다.

“ 이런 벼루 한 개만 더 주세요 ^_^”

“수학을 배워서 어디에다 쓰는가?”

기원전 3세기경 이탈리아 시칠리섬의 시라쿠사에는

아르키메데스 (287-212 B.C.) 는 임금인 히에론에게

수학을 가르쳤다. 하루는 히에론이 아르키메데스에게

수학을 배워서 무엇을 하는가? 하고 물었다.

당신은 무엇이라 대답할 것인가?

우리가 연습문제를 풀이하는 것이나

의사가 환자를 진찰하는 것이나

형사가 현장 검증을 하고 범인을 색출하는 것이나

논리적으로 동일한 사고과정을 거친다.