Folien_Dynamik10

8/8/2019 Folien_Dynamik10

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DynamikDynamik

Norbert GurkerNorbert Gurker

Institut f FestkrperphysikInstitut f FestkrperphysikTU WienTU Wien

Vortragsfolien im Rahmen der LV 143.020 und 138.029Vortragsfolien im Rahmen der LV 143.020 und 138.029


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Kinematik:Kinematik:

WieWie bewegt sich ein System ?

Ort (Winkel)

(Winkel)Geschwindigkeit(Winkel)Beschleunigung

Dynamik:Dynamik:

WarumWarum bewegt sich ein System ?

Ursache WirkungMasseMasse (Trgheitsmoment)

ImpulsImpuls (Drehimpuls)

KraftKraft (Drehmoment)


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System ? WasWas bewegt sich ?

Systemkenngre: Masse (m) Stoffmenge Masse (m) Stoffmenge

p m v=

ImpulsImpuls

(engl. momentum)

MasseMasse ist eine (Grund)Eigenschaft von Materie,

die sich inSchwereSchwere und TrgheitTrgheitussert.(andere Eigenschaften von Materie sind zB.:

Ladung, Spin, ... )

Definition

der Grundgre derDynamik:

Systemkenngre Bewegungskenngre


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KausalittsprinzipKausalittsprinzip

Ursache (Aus)Wirkung

Kraft zeitliche nderungder Bewegung(sgre)

,p d p

F Ft dt

d pFdt

=

Diese Gleichunghat den Charakter einesAxioms

(dh. sie kann nichtauf Grundlegendereszurckgefhrt werden)

und

ist gleichzeitig dieDefinition derKraft(engl. force)

Einheit: 1 Newton [N]


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ErhaltungsstzeErhaltungsstze

Ohne Einwirkung von Krften bleibt derImpuls eines Systems erhalten. *)

ImpulserhaltungssatzImpulserhaltungssatz

Ohne Einwirkung von Momenten bleibt derDrehimpuls eines Systems erhalten. *)

DrehimpulserhaltungssatzDrehimpulserhaltungssatz

Ohne Einwirkung von Krften/Momenten bleibtdie Energie eines Systems erhalten;

die an/von einem System verrichtete Arbeiterhht/verringert seine Energie; Umwandlungvon Energieformen innerhalb eines Systems sind

mglich.

EnergieerhaltungssatzEnergieerhaltungssatz

*) in einem Inertialsystem


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In einem abgeschlossenenSystem wirken

keine Krfte von auen ein.

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

0

,

0 , ( ) 0

, 0

A R

dpF

dt

p const p p p

dp dp dp p

dt dt dt

F F F F

F F

= =

= = +

+ = + =

= + =

=

(Innere) Krfte tretenimmer paarweise auf.


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zurSymmetrie von Krften


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Aerodynamischer AuftriebAerodynamischer Auftrieb

AktionskraftAktionskraftauf ein Luftpaket ReaktionskraftReaktionskraftauf den Tragflgel


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dpF

dt=

Vektorgleichung

(1,2,3) Komponentengleichung(en)

x

x

yy

zz

dp

dtF

dpFdt

F dp

dt

=

x

x

dpF

dt=

yy dpF

dt=

z

z

dpF

dt=

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ), ,xx y z

dp x t y t z tF m F m

d d d

dt d dm

tF

d tt= = = =

(1,2,3)DifferentialgleichungenDifferentialgleichungen (2.Ordnung)

DieLsungLsungeiner Differentialgleichung isteine FunktionFunktion (und kein Zahlenwert).

( , ) ( )F F r t r t =

( )

( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )

( )

x t

x t y t z t y t r t

z t

=


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ein einfachesBeispiel:

1

22

2

2

2

( ) sin( ) ;

( ) ( )cos( ) , sin( )

sin( ) sin( ) 0

D=

m

x t t

dx t d x t t t

dt dt

m t D t

m D

=

= =

+ =

=

2 ( ) cos( ) ;x t t =

eine Lsung ist

eine weitere Lsung ist

2

2

2

2

( ), ( )

( )( ) 0

x x

d x tF m F x Dx

dt

d x tm Dx t

dt

= =

+ =

eine DiffGl. lstman mit einemAnsatz

fr dieLsungsfunktion:

die allgemeine Lsung ist danneineLinearkombination der beiden

(Einzel-) Lsungen.

( )ax t

( ) sin( ) cos( )ax tA Bt t + =


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( ) sin( ) cos( )ax t A t B t = +

Die beiden noch unbekannten KonstantenA und B werden aus denAnfangsbedingungenbestimmt:

(1) wo ist das System

und

(2) mit welcher Geschwindigkeitbewegt sich dasSystem

zumAnfangszeitpunkt 0 (zB 0)t t t= =

0

0

0

0

0

0

( 0) sin(0) cos(0)

(1)

( )( ) cos( ) sin( )

( 0) cos(0) sin(0)

(2)

( ) sin( ) cos( )

a

a

a

a

a

x t x A B B

B x

dx tv t A t B t

dtv t v A B A

vA

vx t t x t

= = = + =

=

= =

= = = =

=

= +


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2

2

( )( ) 0

d x tm Dx t

dt+ =

die allgemeineallgemeine Lsung der DiffGl.

( ) sin( ) cos( )ax t A t B t = +

wird durch dieAnfangsbedingungenAnfangsbedingungen

an ein spezielles Bewegungsproblemangepat und legt die Lsung

eindeutigeindeutigfest.

0

0( ) sin( ) cos( )av

x t t x t = +

DiffGln. knnen (oft) analytisch mit einem

Ansatz oder numerisch mit Solvern gelstwerden.

Ohne DiffGln. geht in der Physik (fast) gar nichts ...


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KausalittKausalittundDeterminismusDeterminismusin der klassischen Physik

mechanisches Planetenmodell:

Sind die Anfangsbedingungen (Positionen& Geschwindigkeiten) fr alle Planeten zueinem Zeitpunkt bekannt, kann man deren Bahn beliebig in die Vergangenheit und indie Zukunft verfolgen.


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Asteroid 99942 "Apophis"Durchmesser ca 300m, Masse ca 3x1010kg

1. Erdtransit am Freitag, 13.April 2029

kleinste Annherung ca 30000km

2. Erdtransit am Sonntag, 13.April 2036kleinste Annherung ???


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Anfangsbedingungen fr

Klassisches System:Klassisches System:praktischepraktische (experimentelle) Grenzen derBestimmbarkeit von Anfangsbedingungen

(zB Orte und Geschwindigkeiten bzw. Impulse

aller Teilchen in einem Gasvolumen);im Prinzip gilt jedoch:

Quantensystem:Quantensystem:

prinzipielleprinzipielle Grenzen der Bestimmbarkeit von

Anfangsbedingungen; es gilt:

( h ... Plancksches Wirkungsquantum )

0x xx p x m v = =

34102

x x

hx p x m v Js

= =


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KausalittsprinzipKausalittsprinzipfr

klassisches (deterministisches) System:klassisches (deterministisches) System:

gleiche (kleinegleiche (kleinenderungen der)Anfangsbedingungen

gleichegleiche (kleine(kleinenderungen der) zeitliche(n)

Entwicklung

chaotisches System:chaotisches System:

kleinekleinenderungen der Anfangsbedingungen

groegroenderungen der zeitlichen Entwicklung

(Mikro)Quantensystem:(Mikro)Quantensystem:gleichegleicheAnfangsbedingungen

statistischerstatistischerVersuchsausgang

(KausalittKausalittwird nicht fr einzelne sondern nur frnur frvielevieleMikrosysteme sichtbar!sichtbar!))


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GalileiGalilei--TransformationTransformation(Transformation zwischen zwei relativ

zueinander bewegten Inertialsystemen)

xy

'y

z

'z

'

'r

r

'v t',0r

'xO

'O

Vektoraddition

'v const =

',0 '

',0 '

',0 ',

',0 ',

',0 ',

( ) '( ) ''( ) ( ) '

'( ) ( )

'( ) ( )

'( ) ( )

x

y

z

r t r t r v t r t r t r v t

x vx t x t

y t y t y v

z t z t z v

= + + =

=

t


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',0 '( ) '( )r t r t r v t = + +

:d

dt

:d

dt

'( ) '( ) 0v t v t v= + +

( ) '( ) 0 0a t a t = + +

Transformation vonOrt, Geschwindigkeit, Beschleunigung

DieBeschleunigungen ndern sich bei einer Galilei-Transformation nicht;Beschleunigungen sindBeschleunigungen sind

invariant gegenber einer Galileiinvariant gegenber einer Galilei--Transformation.Transformation.

und damit:

diedieNewton sche Axiomatik ist invariant gegenberNewton sche Axiomatik ist invariant gegenbereiner Galileieiner Galilei--TransformationTransformation

'' '

dp dpF ma ma F

dt dt = = = = =

beide Bezugsysteme (Inertialsysteme) sindphysikalisch gleichwertig


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fr die Transformation derZeitgilt

't t=

dh. es gilt das (Galileische)Prinzip der universellen ZeitPrinzip der universellen Zeit

Die GalileiGalilei--TransformationTransformation ist nur fr kleine fr kleine*)*)

(Relativ)Geschwindigkeiten(Relativ)Geschwindigkeiten von und gltig; fr groe fr groe*)*) (Relativ)Geschwindigkeiten(Relativ)Geschwindigkeiten ist dieLorentzLorentz--TransformationTransformation gltig; dort ist auch die Zeit geeignet zu transformieren; Zeit geeignet zu transformieren; die Lorentz-

Transformation geht fr kleine*)

(Relativ)-Geschwindigkeiten formal in die Galilei-Trans-

formation ber.

*)klein bzw gro im Vergleich mit derLichtgeschwindigkeit

(siehe VorlesungsteilRelativittstheorie).

8 10 3 10c ms

=


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' sei nun kein Inertialsystem:

',0

0

'( ) '( () )

t

r t r t r d v = + +

'

( ) '( ) 0 ( )v t v t v t

= + +

:d

dt

:d

dt

'( ) '( ) 0 ( )t a ta t a += +

''( ) ( ) ( )a t a t a t =

''( ) ( ) ( )

' T

ma t ma t ma t

F F F

=

= +

In beschleunigten Koordinatensystemen tretenzustzlich zu den physikalischen Krften

noch Trgheitskrfte (Scheinkrfte) auf.

'TF ma=


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zur Demonstration der

Trgheitskraft (I)


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Trgheitskraft (II)


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ParabelflugParabelflug(zero(zero--g Experimente)g Experimente)


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Trgheitskraft in

rotierenden Bezugssystemen

C

v

m

2 ( )CF m v = Corioliskraft

Foucault-Pendel


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Corioliskraft


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Rotationsbewegung eines Tiefdruckgebietes


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Drehratensensorauf Grundlage derCorioliskraft (I)

Aktuator

Sensor 1

Sensor 2

zum piezoelektrischenEffekt (zB bei Quarz)

Lngennderung

anliegende elektrischeSpannung

+

-+

-

einachsige Biegeschwingung


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Drehratensensorauf Grundlage derCorioliskraft (II)

v+

v

cF+

cF

2 ( )CF m v =

zweiachsige Biegeschwingung

Messgre = Querspannung


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( ) ( )dW F ds F t v t dt = =

i i

ArbeitArbeit(engl. work)(engl. work)

Einheit:Nm, Joule, WattsekundeNm, Joule, Wattsekunde

LeistungLeistung(engl. power)(engl. power)

( ) ( ) ( )dW

t F t v t

dt

= =

i

Momentanleistung (zur Zeit t)

Einheit: WattWatt

( )

T

t dt

P

T

=

gemittelte Leistung imZeitintervall T


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y

x

1r 2r

F

js kF

ks

ArbeitArbeit

frPolygonzugmit kleinen geraden Wegstcken

, ,i i i ii

i i i ii i

W F s W W

W F s F v t

= =

= =

i

i i

2 2

1 1

, ,

r t

r t

dW F ds W dW

W F ds F vdt

= =

= =

i

i i (Wegintegral)

frKurve mit infinitesimal kleinen Wegstcken


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Skalarprodukt(Inprodukt / inneres Produkt)

S A B=

(sprich: "A in B " )

cosS A B =

x x

y y x x y y z z

z z

A BS A B A B A B A B

A B

= = + +

S A B B A= =

(vgl. zB.: Tipler "Physik")


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AnalogiebetrachtungzumEnergieEnergiebegriff

Pumpe

Motor

EnergieEnergie(investierte)(investierte)

ArbeitArbeit

(abgegebene)(abgegebene)ArbeitArbeit

Flssigkeit = Arbeit bzw. EnergieFlssigkeit = Arbeit bzw. Energie

Behlter = System

EnergieumwandlungEnergieumwandlunginnerhalb des Systemsinnerhalb des Systems

Energie kann weder aus dem Nichts gewonnenwerden, noch verloren gehen; es gilt das

Prinzip der EnergieerhaltungPrinzip der Energieerhaltung


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ErhaltungsstzeErhaltungsstze

Ohne Einwirkung von Krften bleibt derImpuls eines Systems erhalten. *)


Ohne Einwirkung von Momenten bleibt derDrehimpuls eines Systems erhalten. *)

DrehimpulserhaltungssatzDrehimpulserhaltungssatz

Ohne Einwirkung von Krften bleibt dieEnergie eines Systems erhalten;

die an/von einem System verrichtete Arbeiterhht/verringert seine Energie; Umwandlungvon Energieformen innerhalb eines Systems

sind mglich.


*) in einem Inertialsystem


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SteSte

sind kurzzeitigesind kurzzeitige

Wechselwirkungen zwischen zweiWechselwirkungen zwischen zweiMassen, bei denen Energie undMassen, bei denen Energie undImpuls ausgetauscht werden.Impuls ausgetauscht werden.

Bei der (einfachen) Beschreibung eines StoesBei der (einfachen) Beschreibung eines Stoeswird die Situationwird die Situation vor und nach dem Stovor und nach dem Stoauf derauf der

Grundlage vonGrundlage vonErhaltungsstzenErhaltungsstzenfrfrEnergie, ImpulsEnergie, Impuls (und Drehimpuls)(und Drehimpuls)

miteinandermiteinanderverglichen.verglichen.

Bleibt dieBleibt diegesamte kinetische Energiegesamte kinetische Energie der beidender beidenMassen beim StossMassen beim Stoss erhaltenerhalten, spricht man von, spricht man von

einemeinem

elastischen Stoelastischen Sto

;;

wird einwird ein Teil derTeil dergesamtengesamten kinetischen Energiekinetischen Energie ininbleibendebleibende VerformungsenergieVerformungsenergie umgewandelt,umgewandelt,spricht man von einemspricht man von einem un/inelastischen Sto.un/inelastischen Sto.

EinEingerader (zentraler) Stogerader (zentraler) Stofindetfindetentlang einerentlang einereinzigen Raumrichtungeinzigen Raumrichtungstatt; einstatt; ein schiefer Stoschiefer Sto

erfolgterfolgtin zwei/drei Raumrichtungenin zwei/drei Raumrichtungen..


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geradergeraderelastischerelastischerStoSto


m v m v m v m v1 12

2 22

1 12

2 22

2 2 2 2+ = +

' '

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

' '

' '

m v m v m v m v

m v m v m v m v

+ = +

+ = +


nach Zwischenrechnung:nach Zwischenrechnung:

vm v m v v

m m

vm v m v v

m m

11 1 2 2 1

1 2

22 2 1 1 2

1 2

2

2

'( )

'( )

=+

+=

+

+


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gerader unelastischer Stogerader unelastischer Sto


E E E E E kin kin kin kin Verformung , , , ,1 2 1 2+ = + +' ' '

1 2' ' 'v v v= =

es kann nur deres kann nur der

ImpulserhaltungssatzImpulserhaltungssatzfr eine quantitative Betrachtung verwendet und damit auch nurfr eine quantitative Betrachtung verwendet und damit auch nur

eine einzige Gre ( ) berechnet werden;eine einzige Gre ( ) berechnet werden;

notwendigenotwendigeAnnahme:Annahme:beide Massen bewegen sich nach dem Stobeide Massen bewegen sich nach dem Stogemeinsamgemeinsam weiter.weiter.

'v

unbekannt!unbekannt!

21 1 1 2

2

2 ( ) '

0

m v m m vm

v

v = +

=

+

1 1 11

1 2

2

1 2

2'm v m

v vm m m

m

m

v= =

+ +

+(nicht notwendige Annahme!)(nicht notwendige Annahme!)


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Dynamik der DrehbewegungDynamik der Drehbewegung

y

z

r

mv

p

x

v r=

Definition der GrundgrederDynamikderDrehbewegung:

DrehimpulsDrehimpuls

(engl. angular momentum)L r p=

( ), ( ) ( )r t p t L t L const = =

Fr einegleichfrmige DrehbewegungistderDrehimpuls zeitlich konstant.


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fr ein rotierendes System ausmehreren Massepunkten gilt:

[ ]2

( )

i i i i i i

i i i

i i

i i i i i

i i

i i i

L L r p r m v

v r

r m r r m I

v r v

L

= = = =

=

= = =

=

( )2

r dm I =

x

z

dmr

fr einen ausgedehnten

starren Krper gilt dannanalog

yx

z

6m

6v

6r

5m 5

v5r

3m3v

3r

2m2v2

r

1

m1r

1v

4m4r

4v

I ... Trgheitsmoment (Drehmasse)I ... Trgheitsmoment (Drehmasse)


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( )

( ) 0

d dr dpr p p r

dt dt dt v p r F v

dL

dtmv r F

m v v r F r Fr F

= = + =

+ = +

=

+ = + =

zeitliche nderungdes Drehimpulses:

mit derDefinition des(Dreh)Momentes(Dreh)Momentes

(engl. torque)

T r F

dL

Tdt

=

T

r

F

( )

0

dL d dI d I I

dt dt dt dt

I t

T

d

d

= = = + =

= + =

fr starrenKrper


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DerDerDrehimpulsDrehimpuls kannkann nicht nur fr rotierende Krpernicht nur fr rotierende Krpersondernsondernganz allgemeinganz allgemeinfrfrbeliebige Bewegungen (Bahnen)beliebige Bewegungen (Bahnen)

unterunterBezug auf einen frei whlbaren UrsprungBezug auf einen frei whlbaren Ursprungangegebenangegebenwerdenwerden (Bahndrehimpuls)(Bahndrehimpuls)..

zB.: krftefreie (= gleichfrmig geradlinige) Bewegung:zB.: krftefreie (= gleichfrmig geradlinige) Bewegung:

0 0

0 0

d pF p const

dt

dLT r F T L const

dt

= = = =

= = = = =

r

p

y

m

x

rrr0

0

constprr

rrprpprL ===== 0

0sin

L r p=

ist die von und aufgespannteist die von und aufgespannteParallelogrammflcheParallelogrammflche; diese; diese FlcheFlchebleibtbleibtbei einerbei einerkrftekrfte--/momentenfreien/momentenfreienBewegung konstant.Bewegung konstant.

r

p


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Experiment: Drehsessel & HantelExperiment: Drehsessel & Hantel

x

y

m1r

1z

1rm

x

y

m2r

2z

2rm

x

y

z


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Experiment: Drehsessel & HantelExperiment: Drehsessel & Hantel

x

y

m1r

1z

1rm

x

y

m2r

2z

2rm

0 , 0

z

z

z

dLdLT T

dt dt L const

= = = =

=

2 2

,1 1 1 2 2 ,2

1 2

1 2

( 2 ) ( 2 )

z E E zI mr I mr L

r r

= + = + =

>

Daumenrichtung istAchsenrichtung);

1

2die Response des Kreisels erfolgt umeine um 900 vorauseilende Achse(violette/rechte Pfeile); das Motor-/Fahrrad kippt um die Lngsachsenach links;

durch diese neue Drehung (= neuerInput an den Kreisel) muss eineweitere um 900 vorauseilende

Bewegungs-komponente folgen(blaue/linke Pfeile), die das Rad in

Kurvenrichtung steuert; eineGewichtsverlagerung des Fahrers aufdie Kurveninnenseite hat den gleichen

Dreheffekt zur Folge.

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