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Foronomia
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10. Foronomia
10.1. Luci a battente e stramazzi
La foronomia studia l’efflusso da fori (detti luci o bocche) praticati sul fondo o
su una parete di un serbatoio o di un canale. La corrente liquida che si determina
nell’efflusso viene detta “vena effluente”, “vena liquida” o “getto”.
Una prima cassificazione è fatta in base alla posizione della luce (Figura
10-1). Le luci a battente sono quelle il cui contorno è interamente posto al
disotto del pelo libero del liquido nel serbatoio o nel canale, mentre vengono
dette luci a stramazzo, quelle realizzate in modo che il fluido lambisca solo una
parte del contorno della luce stessa. In questo caso pertanto la corrente che
tracima è caratterizzata da una superficie superiore a contatto con l’atmosfera.
Figura 10-1
Si definisce battente, b, la differenza di quota tra il pelo libero a monte
della luce e il punto più elevato del contorno della luce. Risulta chiaro che il
battente esiste solo nel caso di luci a battente.
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Le luci si distinguono in luci in parete sottile, quando presenta uno “spigolo
vivo”, ossia un bordo affilato da cui la vena effluente si distacchi nettamente
vincendo l’adesione e in parete grossa: quando la vena aderisce parzialmente o
totalmente ai contorni della luce.
L’efflusso da tutte le luci in parete sottile è caratterizzato da un particolare
fenomeno detto contrazione della vena effluente. La curvatura delle traiettorie
lungo le quali le masse fluide muovono nel serbatoio determina un
avvicinamento delle traiettorie e quindi, a valle della sezione della luce, una
contrazione della corrente, cui corrisponde un’accelerazione delle masse fluide
stesse.
L’efflusso si distingue in libero se il livello idrico a valle non influenza la
luce e rigurgitato (parzialmente o totalmente) se il livello idrico a valle
influenza parzialmente o totalmente la luce.
Le ipotesi usate per la definizione delle leggi dell'efflusso, ovvero del
legame funzionale che permette di valutare la portata defluente, sono
usualmente: liquido perfetto e moto permanente.
10.1.1 Luci a battente
Il carico sulla luce, h, rappresenta la differenza di altezza geodetica tra il piano
dei carichi idrostatici relativo e il baricentro del foro.
Altra definizione propria delle luci a battente ne descrive la dimensione
caratteristica D (ad esempio il diametro per luce circolare) rispetto al carico. Se
risulta D<<h si parla di luce di piccole dimensioni.
La forma della vena che fuoriesce è influenzata, oltre che dalle dimensioni
e dalla forma del foro, dalla presenza dell’accelerazione di gravità e dell’inerzia.
L’inerzia tende a far esaurire il fenomeno della contrazione mentre
l’accelerazione della gravità, come si vedrà successivamente, gioca ruoli diversi
a seconda che il getto sia verticale o no.
Le leggi di efflusso valide per le luci a battente vengono ricavate tramite
l’applicazione del teroema di Bernoulli, a patto poi di tarare sperimentalmente
alcuni coefficienti.
10.1.1 Luci a stramazzo
Nei processi di efflusso delle luci a stramazzo si osserva il cosiddetto fenomeno
di chiamata allo sbocco che consiste in un abbassamento del pelo libero in un
tratto posto a monte della sezione iniziale dello stramazzo. La sezione subito a
monte di tale tratto rappresenta una sezione indisturbata e quindi l’ultima
sezione di corrente gradualmente variata. Si definisce carico sullo stramazzo, il
dislivello geodetico tra il pelo libero nella sezione a monte della chiamata allo
sbocco e il punto più elevato dello stramazzo.
Foronomia
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Le leggi di efflusso valide per le luci a stramazzo vengono generalmente
ricavate adattando la legge dell’efflusso per le luci a battente e tarando
sperimentalmente i coefficienti che in essa compaiono. Tale logica appare
arbitraria ma i numerosissimi lavori sperimentali mostrano la validità della
legge di efflusso. Come si vedrà successivamente, l’unico stramazzo che
permette una dimostrazione rigorosa da un punto teorico è quello a larga soglia.
Gli stramazzi trovano largo uso come misuratori di portata nelle correnti a
superficie libera.
10.2. Luce a battente sul fondo di un serbatoio
Si ipotizzi di praticare una luce circolare a spigolo vivo (parete sottile) al fondo
di un serbatoio determinando un efflusso libero in atmosfera. Il serbatoio sia
infinitamente grande lateralmente oppure venga alimentato da una portata pari a
quella effluente dalla luce: in questi due casi il pelo libero può considerarsi a
quota invariabile nel tempo e quindi il fenomeno stazionario avendo fissato in
questo modo le condizioni al contorno. Si consideri il carico sulla luce
sufficientemente grande in modo che il processo di efflusso non determini
depressioni sul pelo libero.
Figura 10-2
Nel suo percorso dall’interno verso l’esterno, una particella posta in
prossimità del fondo e caratterizzata quindi da una traiettoria orizzontale, non
può improvvisamente distaccarsi dallo spigolo e assumere direzione di moto
verticale tramiten un brusco cambio di direzione: la deviazione della traiettoria
Dispense di Idraulica
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da orizzontale a verticale avverrà tramite un graduale cambio di direzione che
comporta una contrazione della vena a valle del foro.
Si chiama “sezione contratta”, la prima sezione dopo la luce in cui i filetti
fluidi si presentano sensibilmente rettilinei e paralleli e quindi la corrente risulta
gradualmente variata. In questa sezione si ha una distribuzione idrostatica delle
pressioni ed essendo la sezione contratta, in questo caso, orizzontale (z=cost)
anche la pressione risulterà costante e pari al valore assunto sul contorno della
vena ovvero in tutta la sezione contratta si ha pressione nulla. Tale risultato è
stato anche confermato dai rilievi sperimentali.
Si consideri (Figura 10-2) un punto B della sezione contratta e una
traiettoria passante per esso. Si scelga inoltre su tale traiettoria un punto A, a
grande distanza dalla luce, per il quale in considerazione delle basse velocità
che si realizzano nel serbatoio, si possa considerare trascurabile la velocità e, di
conseguenza, l’altezza cinetica. Nell’ipotesi di fluido perfetto e moto
stazionario, il teorema di Bernoulli si scrive:
g
Vz
pz B
B
A
A2
2
+=+γ
(10-1)
e cioè
g
Vh B
B2
2
+−= δ (10-2)
Essendo la distanza della sezione contratta dal fondo dell’ordine del
diametro della luce e quindi molto minore del carico sulla luce, si ottiene
l’espressione della velocità detta torricelliana:
ghVB 2= (10-3)
Tale valore, denominato velocità torricelliana, rappresenta il valore della
velocità in tutta la sezione contratta, essendo il punto B generico. Esso è stato
ricavato in alcune ipotesi semplificative e, in particolare, in quella di fluido
perfetto che ne sovrastima il valore. Si è soliti quindi correggere il valore
torricelliano moltiplicandolo per un coefficiente correttivo, Cv, denominato
“coefficiente di velocità“ e che sperimentalmente, per le luci a spigolo vivo, è
risultato pari a 0,98-0,99. Ciò significa che il valore torricelliano risulta
superiore a quello effettivo dell’uno-due per cento, valore esiguo che testimonia
la vferidicità delle ipotesi fatte.
La portata può quindi scriversi come
ghCQ c 2vσ= (10-4)
dove σc rappresenta l’area della sezione contratta.
Foronomia
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Definendo il “coefficiente di contrazione“, Cc, il rapporto tra l’area della
sezione contratta e quella della sezione della luce σ, la portata può scriversi
ghCCQ c 2v σ= (10-5)
Infine, introducendo il coefficiente di efflusso µ, come prodotto tra quello
di contrazione e quello di velocità si ha l’espressione della portata effluente:
ghQ 2µσ= (10-6)
Il coefficiente di efflusso è riportato nei testi tecnici in funzione della forma
della luce e del carico sulla stessa. Per le luci a spigolo vivo di piccole
dimensioni, esso è posto generalmente pari 0,6.
Può essere interessante osservare la distribuzione della pressione nel fluido
nel piano della luce. Le pressioni si riducono progressivamente fino allo
spigolo, dove la pressione è nulla in quanto pari a quella atmosferica, per poi
incrementarsi nuovamente fino in asse alla luce per effetto della curvatura delle
traiettorie, dove si raggiunge un valore di altezza piezometrica pari a 0,6h.
Figura 10-3
10.3. Luce a battente sulla parete verticale di un serbatoio
Si ipotizzi di praticare una luce circolare a spigolo vivo (parete sottile) sulla
parete verticale di un serbatoio determinando un efflusso libero in atmosfera
(Figura 10-4). Anche qui si ipotizzi il serbatoio il fenomeno stazionario e la luce
di piccole dimensioni.
In questo caso il processo di contrazione, per effetto dell’ortogonalità tra
accelerazione di gravità e inerzia, non comporta la formazione di una sezione di
corrente lineare dove la pressione sia distribuita idrostaticamente.
Dispense di Idraulica
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Figura 10-4
La prova di ciò sta nel fatto che una qualunque sezione verticale, è
caratterizzata da punti a contatto con l’atmosfera (p=0) e a quota geodetica
diversa: ciò prova che la pressione non risulta distribuita idrostaticamente
(schema a sinistra di Figura 10-5). Se si osserva però il fenomeno dall’alto
(schema a destra di Figura 10-5) si può ritenere che a partire da una determinata
sezione il processo di contrazione si sia esaurito. Tale sezione, σc, viene ancora
denominata contratta ma in questo caso non è caratterizzata da distribuzione
idrostatica delle pressioni.
Figura 10-5
Dall’ingradimento della vena effluente di Figura 10-5, si può allora
affermare che nella sezione contratta i filetti presentano curvature solo nel piano
zx; con riferimento alla terna intrinseca la binormale coincide pertanto con
Foronomia
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l’asse orizzontale y. Ciò significa che lungo y la quota piezometrica risulta
costante, ed essendo la pressione nulla alle estremità a contatto con l’atmosfera,
la pressione è nulla su ogni segmento orizzontale. La pressione si può quindi
ritenere nulla in tutti punti, come è stato anche provato sperimentalmente. La
sintesi di tale ragionamento è che quindi le masse fluide si muovono senza
pesare su quelle inferiori ovvero come gravi ognuno di essi lanciati
singolarmente.
Applicando il teorema di Bernoulli in modo analogo a quanto fatto per la
luce posta sul fondo del serbatoio, si ottiene
g
Vz
pz B
BA
A2
2
+=+γ
(10-7)
e cioè
( )BB zHgV −= 2 (10-8)
Ciò significa che, mentre per la luce posta sul fondo di un serbatoio la
velocità si mantiene costante in tutta la sezione contratta, in questo caso a rigore
la velocità varia da punto a punto al variare della quota geodetica zB. Il
diagramma delle velocità è pertanto quello parabolico riportato in Figura 10-4.
Chiaramente a parità di diametro della luce, maggiore è il carico tanto più
lineare risulta il diagramma di velocità relativo alla sola sezione contratta. Per
luci di piccole dimensioni appare quindi naturale valutare la velocità media
nella sezione contratta come:
ghV 2= (10-9)
Con lo stesso ragionamento fatto per la luce su fondo orizzontale si giunge
alla seguente espressione della portata
ghQ 2µσ= (10-10)
mostrando che pur essendo concettualmente differenti, i due schemi di luce a
battente di piccole dimensioni hanno in comune la stessa formula per l'efflusso:
in tale formula compare quindi il carico senza specificare il tipo di luce.
Se la luce presenta un diametro non più trascurabile rispetto al carico, la
velocità nella sezione contratta non può più essere considerata costante. Per il
calcolo della portata occorre pertanto risolvere l’integrale:
( ) ( ) dzgzzlzQ
z
z
22
1
∫= µ (10-11)
Dispense di Idraulica
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dove l(z) è la profondità della luce alla generica quota z, z1 e z2 sono
rispettivamente le quota del punto più depresso e di quello in sommita del
contorno della luce.
Nel caso di luce a spigolo vivo scolpita su parete posta tra due serbatoi
contenenti liquido con quote di pelo libero rispettivamente pari a H1 e H2,
l’efflusso dipende anche dalle condizioni di valle e viene quindi denominato
efflusso rigurgitato (Figura 10-6).
Figura 10-6
In questo caso si si parla ancora di sezione contratta con distribuzione
idrostatica delle pressioni che coincide con quella del liquido circostante di
valle. Si può quindi scrivere
g
Vpz
pz BB
BA
A2
2
++=+γγ
(10-12)
ovvero
g
VHH B
2
2
21 += (10-13)
Esplicitando la velocità in B, si ha:
( )212 HHgVB −= (10-14)
La portata può quindi scriversi come:
( )212 HHgQ −= µσ (10-15)
Foronomia
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10.4. Luce a battente posta sul fondo di un canale
Si consideri il caso di luce rettangolare di profondità, b, realizzata tramite
l’apertura di una paratoia piana innalzata di a rispetto al fondo orizzonatale di
un canale largo anch’esso b (Figura 10-7).
Figura 10-7
Considerando un livello a monte della paratoia invariabile nel tempo,
l’applicazione del teorema di Bernoulli porta a scrivere:
g
Vpz
pz BB
BA
A2
2
++=+γγ
(10-16)
ovvero
g
VaCH B
c2
2
+= (10-17)
La velocità del punto B si scrive quindi
( )aCHgV cB −= 2 (10-18)
ottenendo per la portata la seguente espressione
( )aCHgQ c−= 2µσ (10-19)
Dispense di Idraulica
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10.5. Tubo addizionale esterno
Il tubo addizionale esterno si realizza applicando all’esterno del serbatoio un
tubo dello stesso diametro della luce, di lunghezza compresa tra 2 e 5 volte il
diametro stesso (Figura 10-8).
Figura 10-8
Possono essere osservate due diverse condizioni di deflusso:
• a pieno sbocco con la corrente che impegna tutta la sezione del tubo (schema
a sinistra di Figura 10-8). La vena che fuoriesce dal tubo addizionale si
presenta generalmente opaca a testimonianza della presenza in esse di
bollicine d’aria;
• a sbocco libero (schema a destra di Figura 10-8) in cui la vena si distacca dal
contorno della luce senza toccare il tubo: il fenomeno d’efflusso coincide
quindi con quello che si osserva nelle luci a battente su parete verticale a
spigolo vivo.
Il fenomeno dell’efflusso a pieno sbocco è stato affrontato per primo da
Venturi che, ammettendo l’esistenza di una sezione contratta all’interno del
tubo addizionale e misurando in corrispondenza di essa una depressione pari a
3/4 h (con h carico sulla luce, Figura 10-9), giunse ad una formula per l’efflusso
dalla struttura analoga a quella relativa alle luci a battente in parete sottile.
Figura 10-9
Foronomia
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Considerando infatti, nelle ipotesi di fluido perfetto e moto stazionario, una
generica traiettoria e due punti di essa A e B, rispettivamente a grande distanza
dal foro e in corrispondenza della sezione contratta, si può scrivere
g
Vpz
pz BB
BA
A2
2
++=+γγ
(10-20)
ovvero per quanto misurato da Venturi e considerando come piano di
riferimento delle quote quello passante per il baricentro del foro:
g
Vhh B
24
3 2
+−= (10-21)
Poiché il punto B è un punto generico della sezione contratta, la sua
velocità coincide con quella media e quindi si può scrivere
=
+= hghhgV
4
72
4
32 (10-22)
che passando alla portata diventa
=
= hgChgQ cc
4
72
4
72 σσ (10-23)
Ipotizzando che nella sezione in cui si realizza la massima depressione, si
formi una sezione contratta pari a quella che si avrebbe nell’efflusso libero
(Cc=0,61), si può scrivere:
ghhgQ 282,04
7261,0 σσ ≅
= (10-24)
in cui la portata effluente da una luce con tubo addizionale esterno è calcolabile
con la formula precedentemente ricavata nel caso di efflusso libero ma con un
coefficiente di efflusso maggiore.
In Figura 10-9 sono anche tracciate la lineaa dei carichi e la piezometrica.
La prima mostra che il carico si mantiene costante fino alla sezione contratta
(trascurando le piccole perdite di tipo continuo) mentre subito a valle il carico si
riduce di una quantità pari alla meta dell’altezza cinetica. Ovviamente nella
sezione di sbocco la linea dei carichi dovrà trovarsi innalzata rispetto al
baricentro di una quantità pari all’altezza cinetica della corrente. La linea
piezometrica invece è caratterizzata dal fatto che nella sezione contratta dovrà
portarsi allo stesso livello del menisco del piezometro posizionato nella sezione
contratta stessa.
Dispense di Idraulica
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Le considerazioni sinora fatte sono valide nel caso di depressione nella
sezione contratta minori, in valore assoluto, del valore massimo pari a 10.33 m,
ovvero per carichi h sulla luce minori di 13.77 m (10.33*4/3 m). Per valori del
carico maggiori di 13.77 m, la (10-21) diventa
g
Vh B
233.10
2
+−= (10-25)
e la (10-24) diventa
( )33.10261,0 += hgQ σ (10-26)
In definitiva quindi il legame tra il carico h e la portata defluente a pieno
sbocco in un tubo addizionale esterno è descritto dal grafico di Figura 10-10.
Figura 10-10
Il passaggio da efflusso libero a efflusso a pieno sbocco avviene creando
una chiusura idraulica (ad esempio ponendo un ostacolo per qualche istante in
prossimità della sezione di sbocco del tubo addizionale).
Il passaggio inverso da efflusso a pieno sbocco a efflusso libero avviene
aumentando il carico h a valori tali da far allungare la zona in depressione fino a
portarla in prossimità dello sbocco, permettendo quindi un ingresso di aria a
pressione atmosferica.
10.6. Reazione d’efflusso
Le pressioni lungo la parete della luce si discostano dalla distribuzione
idrostatica per effetto dell’incremento di velocità che si manifesta lungo la
traiettoria verticale prossima alla parete. Il massimo scostamento si osserva in
