Prof. Dr. Admilson T. Franco([email protected]) UTFPR -
Curso de Engenharia Industrial MecnicaMecnica dos Fluidos B
1Captulo 1 (Baseado no cap. 9 do Fox e McDonald) EscoamentoExterno
Viscoso Incompressvel
Escoamentosexternossoescoamentossobrecorposimersosemumfluidosem
fronteiras.Osescoamentossobreumaplacaplanasemi-infinita(Fig.1.1)esobreumcilindro
(Fig. 1.2) so exemplos de escoamentos externos. Nosso objetivo
nesse captulo quantificar o comportamento dos fluidos viscosos e
incompressveis em escoamentos internos. Fig. 1.1 Escoamento sobre
uma placa plana Fig. 1.2 Escoamento sobre um cilindro Diversos
fenmenos que ocorrem no escoamento externo sobre um corpo so
ilustrados no esboo do escoamento viscoso com alto nmero de
Reynolds sobre um aeroflio, Fig. 1.3. O
escoamentonacamadalimiteinicialmentelaminar(CLL).Atransioparaescoamento
turbulentoocorrealgumadistnciadopontodeestagnao,dependendodascondiesda
correntelivre,rugosidadedasuperfcieegradientedepresso(CLT).Ospontosdetransio
esto indicados por T. Numa regio de presso crescente (um gradiente
adverso de presso)
aseparaodoescoamentopoderocorrer.Ofluidoqueestavanascamadaslimitesda
superfcie do corpo forma a esteira viscosa atrs dos pontos de
separao.
Existesoluoexataparaoescoamentonacamadalimitelaminar,enquantoquepara
camada limite turbulenta, somente possvel soluo aproximada. Prof.
Dr. Admilson T. Franco([email protected]) UTFPR - Curso de
Engenharia Industrial MecnicaMecnica dos Fluidos B 2O aeroflio da
Fig. 1.3 submetido a uma fora resultante das foras de cisalhamento
e
depressoqueatuamnassuperfcies.Acomponentedaforaresultanteperpendicularao
escoamentouniformeamontante,U,chamadadesustentao,enquantoacomponente
paraleladenominadaarrasto.Apresenadeseparaodoescoamentoimpedea
determinao analtica da sustentao e do arrasto. Fig.1.3 Detalhes de
escoamento viscoso em tono de um aeroflio PARTE A CAMADAS LIMITES
1.1 CONCEITO DE CAMADA LIMITE
OconceitodeumacamadalimitefoiintroduzidoprimeiroporLudwigPrandtl[1],um
alemoestudiosodeaerodinmica,em1904.Talconceitomarcouocomeodaeramoderna
da mecnica dos fluidos.
Prandtlmostrou[1]quemuitosescoamentosviscosospodemseranalisadosdividindo-osemduasregies,umapertodasfronteirasslidas(acamadalimite),naqualoefeitoda
viscosidade importante, e outra cobrindo o restante do escoamento,
para a qual o fluido pode ser tratado como invscido.
Nacamadalimite,tantoasforasviscosasquantosdeinrciasoimportantes.Por
isso,parafacilitaracaracterizaodeescoamentosnacamadalimite,define-seonmerode
Reynolds ( Rex) como a razo entre as foras de inrcia e as foras
viscosas, dada pela frmula abaixo: RexU x U x v= =onde:(1.1) Prof.
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Engenharia Industrial MecnicaMecnica dos Fluidos B 3U a velocidade
do fluido distante da parede (U); a massa especfica do fluido; a
viscosidade dinmica; v a viscosidade cinemtica ( / ); x o
comprimento caracterstico, dependente da geometria do escoamento.
Sobcondiestpicasdeescoamento,acamadalimiteapresentaumescoamento
laminardesdeoinciodaplacaatumaregiodetransio,apartirdaqual,oescoamento
passaaserturbulento.Entreosfatoresqueafetamatransiodeumacamadalimite,esto
gradiente de presso, a rugosidade superficial, a transferncia de
calor, as foras de campo e
perturbaesdacorrentelivre.Emgeral,atransioocorreparaumcomprimento
correspondente a um nmero de Reynolds de 500.000.
Emmuitassituaesreais,umacamadalimitedesenvolve-sesobreumasuperfcie
longaessencialmenteplana.Osexemplosincluemescoamentossobrecascosdenaviosede
submarinos, asas de avies e movimentos atmosfricos sobre terreno
plano.
AFig.1.4ilustraocrescimentodacamadalimitesobreumaplacaplana.Pode-se
verificarpelafiguraocrescimentomaisaceleradodaespessuradacamadalimitenaregio
turbulenta que na laminar. Fig.1.4 Camada limite sobre uma placa
plana (espessura vertical exageradamente ampliada) 1.2 ESPESSURAS
DE CAMADA LIMITE A camada limite a regio adjacente a uma superfcie
slida na qual as foras viscosas so
importantes.Aespessuradeperturbaoousimplesmenteespessura,o
,dacamadalimite,
usualmentedefinidacomoadistnciadasuperfcieaopontoemqueavelocidade99%da
velocidade da corrente livre,/ 0,99 u U = . ( ) x oProf. Dr.
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Engenharia Industrial MecnicaMecnica dos Fluidos B 4A espessura de
deslocamento, *o , a distncia pela a qual a fronteira slida teria
que ser deslocada num escoamento sem atrito paradar o mesmo dficit
de vazo em massaque existe na camada limite. Para escoamento
incompressvel, =constante e *0 01 1u udy dyU Uoo| | | |= ~ ||\ . \
.} }(1.2) Aespessuradaquantidadedemovimento,u
,definidacomoaespessuradeuma camada de fluido, com velocidadeU ,
para qual o fluxo de quantidade de movimento igual ao dficit do
fluxo de quantidade de movimento atravs da camada limite. Para
=constante ( )20U uU u dy u = } e 0 01 1u u u udy dyU U U Uou| | |
|= ~ ||\ . \ .} } (1.3) *e o u
soespessurasintegrais,cujosintegrandosdesaparecemnacorrentelivre,elasso
apreciavelmente mais fceis de avaliar, com preciso, a partir de
dados experimentais, do que a espessura de perturbao, o , da camada
limite.
Hiptesessimplificadorasusualmentefeitasemanlisesdeengenhariaparao
desenvolvimento da camada limite so: 1. u U paray o =2. 0 u y paray
o c c =3. v U ,umacondionecessriaparaa separao.A separao no pode
ocorrer a menos que/ 0 dp dx > . O perfil turbulento muito mais
obtuso do que o laminar. Para a mesma velocidade de corrente livre,
o fluxo de quantidade de movimento dentro da camada limite
turbulenta maior do que dentro da camada limite laminar (Fig.1.8b).
A separao ocorre quando a quantidade de
movimentodecamadasdefluidoadjacentespertodasuperfciereduzidaazeropelaao
combinada de foras viscosas e de presso. Conforme mostrado na Fig.
1.8b, a quantidade de
movimentodofluidoprximodasuperfciesignificativamentemaiorparaoperfilturbulento.
Conseqentemente a camada turbulenta mais capaz de resistir a
separao num gradiente de presso adverso. Prof. Dr. Admilson T.
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17Osgradientesdepressoadversoscausamimportantesmudanasnosperfisde
velocidadeparaambososescoamentosdecamadalimite,turbulentoelaminar.Solues
aproximadas para escoamento com gradiente de presso diferente de
zero podem ser obtidas da equao integral da quantidade de movimento
( )2 * wd dUU Udx dxtu o = + (1.18) Expandindo o primeiro termo,
podemos escrever 2 *( 2 )wd dUU Udx dxt uo u = + +ou ( )222fwCd
dUHU dx Udxt u u= = + + (1.28) onde *Hou=
umfatordeformadoperfildevelocidade.Ofatordeformaaumentanum
gradientedepressoadverso.Paraescoamentodecamadalimiteturbulento,H
aumentade 1, 3paragradientedepressozeroparaaproximadamente2,
5naseparao.Para escoamento laminar com gradiente de presso zero, 2,
6 H = ;na separao3, 5 H = . A distribuio de velocidade de corrente
livre,( ) Ux , deve ser conhecida antes que a Eq.
1.28possaseraplicada.Como/ / dp dx UdU dx = ,especificar( ) Ux
equivalentea
especificarogradientedepresso.Podemosobterumaprimeiraaproximaode( )
Ux da teoria do escoamento ideal para o escoamento no viscoso nas
mesmas condies. Fig. 1.8Perfis adimensionais para escoamento de
camada limite sobre placa plana.
