Frågor från förra gången

1

3

Frågor från förra gången• ?

4

Inledning matematiska modeller• Kan användas för att analysera mätningar –

ofta en typ av kurvanpassning- innebär ofta en förenkling

• Kan användas för att förutsäga resultatet• Kan innehålla tekniska eller fysikaliska

resonemang eller vara helt empiriska • Empirisk = är erfarenheter som inte

grundar sig på resonemang eller liknande, utan på verkliga erfarenheter, undersökningar och experiment.

5

Inledning matematiska modeller

Mätdata/resultat Modellförenkling

Förutsägelser Matematiska slutsatser

förklaring/uttolkning

analysverifikation

6

Inledning matematiska modellerNo exponential is forever ... but we can delay forever Gordon Moore, Intels grundareftp://download.intel.com/research/silicon/Gordon_Moore_ISSCC_021003.pdf

ftp://download.intel.com/research/silicon/Gordon_Moore_ISSCC_021003.pdf

7

Lagar och formler• Vi utgår ifrån matematiska samband

av typen A = BC och diskturerar om de är approximativa eller helt ’sanna’

• Visar med exempel att det finns många andra situationer mellan ytterligheterna

8

Lagar och formlerFysikaliska

teorierDefinitioner

Abstrakta begrepp

Naturlag

Approximation inom gränser

Serieutveckling

Approximation

9

Lagar och formler• Som exempel på approximation ges

friktionslagen, sambandet mellan friktion- och normalkraften på formen:

• Oberoende av ex.vis kontaktarean, föremålets massa och med en konstant som inte kan variera

10

Lagar och formler• Som exempel på approximation

mha serieutveckling ges Ohms lag:

• Men på formen:• +

11

Lagar och formler• Som exempel på approximation

mha serieutveckling ges Ohms lag:

• Men på formen:• +• Här finns en definition av

resistansen:

12

Lagar och formler• Hookes lag är god approximation

inom vissa gränser

http://sv.wikipedia.org/wiki/Hookes_lag

13

Lagar och formler• Newtons rörelseekvation är en

naturlag

• Kan kombineras med en relativistisk massa på följande sätt


14

Lagar och formler• Definiera ett begrepp av typen

’våglängd ’ se boken för exakt formulering

• Abstrakt begrepp kan man definiera med matematiska samband

• Sambandet mellan frekvens och våglängd för en idealiserad våg är ett exempel på detta


15

Lagar och formler• När storheter definieras genom en

matematisk relation är relationen givetvis alltid sann

• Vi jobbade med sådana definitioner i avsnittet om SI-enheterna

• Ex: trycket p ges av kraften F jämnt fördelad över arean A


16

Modeller och problemslösningsmetodik• Har två viktiga extremfall• Modeller där:

– Den fysikaliska principen bakom ett fenomen är viktigast– Där vi söker ett numeriskt svar med rimlig noggrannhet

17

Volym-Area förhållande• Exempel på

kroppstemperatur/avkylning kan diskuteras genom undersök volym-area förhållande för en sfär

• Area=?• Volymen=?

h h𝑓 𝑓𝐴𝐴𝑎

jgjfgj

18

Volym-Area förhållande• Exempel på

kroppstemperatur/avkylning kan diskuteras genom undersök volym-area förhållande för en sfär

• Area=?• Volymen=?

h h𝑓 𝑓𝐴𝐴𝑎

19

Robusta modeller• Börjar med en definition:• ”En modell vars slutsatser inte beror

känsligt på antaganden och parametervärden sägs vara robust”

• Illustreras med en modell för golfklubba och golfboll

• Ska undersöka dessa ekvationer…• Hur? Prova värden eller göra grafer i

MATLAB!

20

Robusta modeller• Undersök ekvation av typen:

• Ändring i M +/- 10 % ger ändring i v med mindre än 1,5%

21

Robusta modeller

Den inre resistansen hos ett batteri kan mätas upp med hjälp av en voltmeter och en känd yttre resistans :

Där är batteriets polspänning uppmätt utan yttre resistansen och där är det uppmätta spänningsvärdet över en given yttre resistans. Undersök om detta uttryck är robust. Enligt Grimvall är detta definierat som att: ”En modell vars slutsatser inte beror känsligt på antaganden och parametervärden sägs vara robust” Polspänningen har bestämts till 1,608 V. Använd värden från Tabell 2 för att göra uträkningar som motiverar ditt svar!

10

Vyi U

URR

22

Robusta modellerYttre

resistans ()Uppmätt

spänning (V)98,2 1,59798,2 1,59898,2 1,59921,6 1,57321,6 1,57721,6 1,568

u0 1.608 medelvärdevariation i uv (%) ri=ry*(uo/uv)-1) medelvärde

variation i ri (%)

98.2 1.597 1.598 -0.062578223 0.676393237 0.614543945 10.064398.2 1.598 0 0.614518148 -0.004298.2 1.599 0.062578223 0.55272045 -10.0621.6 1.573 1.57267 0.021195422 0.480610299 0.485411462 -0.989121.6 1.577 0.275540483 0.424603678 -12.52721.6 1.568 -0.296735905 0.551020408 13.5162

Tabell 2. Uppmätta spänningar för olika yttreresistanserGenom beräkningen av medelvärden och variation kring dessa för de två olika yttre motstånden konstaterar man att modellekvationen inte är robust, se tabellen nedan.En variation på mindre än 0,1% i den uppmätta spänningen för motståndet 98,2 motsvaras av en variation på så mycket som 10% i den inre resistansen om man bestämmer den på detta sätt.För det andra motståndet är modellekvationen mer robust ty där motsvaras ungefär samma variation i Ri (12-13 %) av en större variation i UV (0,2 %).

23

Moores lag – exponentiell tillväxt (Grimvall 10.4)

24

Moores lag – exponentiell tillväxt

25

Tillväxt i population2 generationer och båda har drabbats av samma virus

26

Tillväxt i population• Frågeställning, ökning, minskning

eller jämnvikt?• I fallet med konstant befolkning är

modellen enkel - 2 barn per kvinna krävs i ett I-land

• För virus är både sjukdomen och antalet bärare intressanta för att spridning ska kunna ske

27

Modeller• Modeller som innehåller ett mått på

förändring kallas dynamiska• Matematiskt skrivs de som

differensekvationer eller system av derivator

• Modeller kan innehålla bara kända parametrar som inte ändrar sig

• Eller en viss slumpmässighet, kallas ofta stokastiska processer

28

Ytterligheterna• Välkända lagar och konstanter tex

elektonernas rörelse kring atomkärnan eller planeternas bana kring solen

• Kaotiska icke-linjära dynamiska system tex väderrapporter och klimatmodeller

• En liten slumpmässig förändring ger upphov till en kraftig reaktion

29

• Den amerikanske meteorologen Edward Lorenz är en av kaosteorins pionjärer. Han har myntat begreppet "fjärilseffekten". En fjärils vingslag i Brasilien kan vålla en tornado i Texas, sa Edward Lorenz i en föreläsning en gång. Formuleringen har blivit berömd. Den mikroskopiska vibration i luften som fjärilens vingslag vållar förstärks av de kaotiska krafterna, och kan få drastiska följder på någon helt annan plats på jorden. Förloppet beror inte på några mystiska fenomen. Det följer strikt fysikens kända lagar. Men vi kan inte hålla reda på alla diminutiva dallringar i luften. Världen är full av fjärilar. Därför är vädret oförutsägbart.

Exempel på kaosteori

30

Sammanfattning• Kap 8 – se bilden

• Kap 9 – begreppet robust modell• Ur kapitel 10 - Tillväxtexempel av

typen Moore’s lag

31

Nästa föreläsning F11 Torsdag 29/9• Problemlösningar med datorer (läs

kapitel 1 i MATLAB boken som anknyter till dagens material!

• Sedan fortsätter vi med kurvanpassning enligt MATLAB kap 8.1-3, detta motsvarar Grimvalls kapitel 10.1-3 men med en mer praktisk approach

32

Peer-instruction1. Beskriv de fyra kurvorna, vad finns på

axlarna vad händer vid variationer2. Vad kan detta motsvara i verkligheten?

33

Diskussionuppgift på KTH Social• Efter denna vecka kommer de flesta USB

loggers att vara lediga.• Ge förslag på vad mer man skulle kunna

logga över en längre tid.

34

Räntetillväxt

• Växer snabbt är exempel på exponentiell tillväxt

• Inte så intressant rent matematiskt eller för en ingenjör

• Exempel en skuld som växer med räntan 10% = 1.1 x för varje tidsintervall

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20

a k a k

k

Figur 5.2

,1331,1210,1100,1000A

35

En enkel ekvation• Kan skriva upp ekvationen• Om räntan r=1.1 så• Detta betyder obgränsad tillväxt

• Finns andra fall för SAMMA ekvation

nraan 1

36

Räntetillväxt• Viktigt fall när tillväxt och avtagande

konkurerrar!• Ändra ekvationen lite genom att lägga till ‘b’

som kan vara ett positivt eller negativt tal:

braa nn 1

37

Matlab koda0=0.1;antal=50a(1)=a0;r=0.5;b=0.1;for n=1:1:antal a(n+1)=a(n)*r+b;end

38

Resultat• Exemplet visar att man når jämnvikt

oberoende av var man startar• Varför? |r| < 1

0 2 4 6 8 10 12 14

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

39

Räntetillväxt• Vad händer då för |r| >1• Bara meningsfullt för b negativt annars

tillväxt• Tag r=1.01 och b=-1000• Prova olika startvärden• 90000, 100000, 110000

40

Resultat

0 10 20 30 40 50 600.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2x 10

5 • Avbetalningen måste vara tillräckligt stor för en viss ränta och storlek på skulden

• Mycket KÄNSLIGT för var man startar!

41

Sammanfattning

r=1 Värdet ändras inte bara en linje

|r|<1 Stabil jämvikt

|r|>1 Instabil jämvikt

42

Von Kochs snöflingekurva definieras enligt följande regler, bilden visar hur den ser ut till och med den fjärde upprepningen.

Tag en linje.

Dela linjen i tre lika stora delar. Gör en kopia av den mellersta delen. Sätt upp de två kopiorna i vinkel mot varandra så att de får plats inom samma sträcka som en ensam linje annars gör. Upprepa (iterera) från steg 2 för alla de nya linjer som uppkommit av operationen.

Ställ upp en formel för antalet ingående linjer i snöflingekurvan efter ett visst antal upprepningar!

Exempel på tillväxt

43

Lösning 7 Genom att studera bilderna får man antalet linjer till 1, 4, 16, 64, 256, ...

Ges av potenserna: Man bör också ange en lösning som följer metodbeskrivningen: Antag att ursprungliga antalet linjer betecknas:

När man delar denna linje i tre delar och sedan infogar ytterligare en likadan del har man fyrdubblat antalet linjer. Då har man i nästa upprepning:

Osv, till slut får man efter upprepning n:

Exempel på tillväxt

Documents

Frågor från förra gången