FrecuenciaCompleja TRR

Frecuencia ComplejaCircuitos elctricos 2

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Introduccinv(t) = Vmest cos (wt + q)v(t) = V0s = w = 0s = 0v(t) = Vm cos (wt + q)w = 0v(t) = VmestFuncin senoidal amortiguada

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Frecuencia Complejaf(t) = Kests = 0v(t) = V0v(t) = Vmests = s + j0s = s1 = jw, s = s2 = -jwK1 = VmejqK2 = K1* = Vme-jqv(t) = Vmcos (wt + q)s = 0s = s + j ws = frecuencia neper, w = frecuencia realv(t) = Vmest cos (wt + q)s 0

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ejemploIdentificar las frecuencias complejas presentes en las funciones en tiempo real siguientes:a) (2e100 t + e200 t)sen 2000 t. (2e100 t + e200 t)sen 2000 t = 2e100 t sen 2000 t + e200 tsen 2000 t 2e100 t sen 2000 t 100 + 2000j, 100 2000je200 tsen 2000 t 200 + 2000j, 200 2000jb) (2 e10 t)cos(4t + f).(2 e10 t)cos(4t + f) = 2cos(4t + f) e10 tcos(4t + f)2cos(4t + f) 4j, 4j,e10 tcos(4t + f) 10 + 4j, 10 4jc) e10 tcos 10t sen 40 t e10 tcos 10t sen 40 t = e10 t(sen(40t 10 t) + sen(40t + 10 t))/2 e10 tsen(30t) 10 + 30j, 10 30j e10 tsen(50t) 10 + 50j, 10 50j

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Funcin senoidal amortiguadaUn voltaje senoidal amortiguado v(t) = Vmest cos (wt + q)Puede escribirse comov(t) = Re(Vmest ej(wt + q)) o v(t) = Re(Vmest ej(wtq))factorizando ejq.v(t) = Re(Vmeq je (s + wt)t)ov(t) = Re(Vmeq je st)

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EjemploSe aplica una funcin senoidal amortiguada v(t) = 60e2t cos(4t + 10) V a un circuito RLC serie R = 2 Ohms, L = 3H, y C = 0.1 F, encuentre la corriente en el dominio del tiempo.v(t) = 60e2t cos(4t + 10) = Re(60e2tej(4t+10))= Re(60ej10e(2+j4)t)ov(t) = Re(Ves t)con V = 6010 y s = 2 + 4jLa corriente debe ser de la forma Ies t con I = Imf.Sustituyendo en la ec. de Kirchhoff se obtiene6010es t = 2 Ies t + 3 s Ies t + 10/ s Ies tEliminando es t y despejandoI = 6010/(2 + 3 s + 10/ s)

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Ejemplo (cont.)Sustituyendo s = 2 + j4 nos daI = 5.37106.6La corriente en funcin del tiempo esi(t) = 5.37e2t cos(4t 106.6)

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TareaExpresar cada una de las corrientes siguientes en el dominio de la frecuencia: a) 4 e-20t cos(1000t + 60) mA; b) 4 sen(800t + 60) mA; c) -4 e-5t sen(1000t 60) mA

Si V = 64/_80 V, hallar v(0.001) si s = : a) -800 + j600; b) j600; c) -800 j600.

4/_-30, 4/_30, 4/_60; -11.9, 20.1, 44.8

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Z(s) y Y(s)v(t) = Re(Vest)El voltaje y la corriente se representan comoi(t) = Re(Iest)Para una bobinaRe(Vest) = Re(sLIest) Eliminando estV = sLIImpedancia: Z(s) = I/V = sL Admitancia: Y(s) = V/I = 1/sL

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Z(s) y Y(s)

RLCZ(s)RsL1/sCY(s)R1/sLsC

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EjemploI = 60/_10/(2 + (-6 + j12) +(-1 j2)) = 5.37/_106.6

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La respuesta en frecuencia como funcin de sPara un circuito RLLa respuesta en el tiempo es

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Circuito RLPolo en -R/LVm/R%respuesta en funcin de sigma, circuito RLR = 1;L = 1;Vm = 1;sigma = -5:0.1:5;I = (Vm/L)./(sigma+R/L);plot(sigma,abs(I));axis([-5,5,0,2]);gridtitle('magnitud de I vs. sigma');

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Anlisis de la respuestaLa respuesta tiene un cero en y un polo en R/L.Al aplicar una seal finita a la frecuencia del polo se obtiene un respuesta infinita.Al aplicar una seal de magnitud cero en la frecuencia del polo se obtiene una respuesta finita, la respuesta natural del circuito RL.i(t) = ImeRt/L

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%respuesta en funcin de sigma, circuito RCsigma = -60:1:40;V0 = 10*(sigma + 20)./(sigma + 10);plot(sigma,abs(V0));axis([-60,40,0,40]);gridtitle('magnitud de V0 vs. sigma');

Cero en 20 Polo en 10

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%respuesta en funcin de sigma, circuito RLCsigma = -7:0.05:1;I = 100*sigma./((sigma + 1).*(sigma + 5));plot(sigma,abs(I));axis([-7,1,0,300]);gridtitle('magnitud de I vs. sigma');

-mnimo relativo

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Ejercicio 12-8% +---R1---+---R2---+% | | |% Ven C1 C2 Vsal% | | |% +--------+--------+% Encontrar Vsal/Ven a) frecuencias criticas% b) evaluar en% sigma = -200, -80, -40, 0 Np/s c) graficar

% R1 = 20000;% R2 = 10000;% C1 = 2.5e-6;% C2 = 2e-6;

sigma = -120:1:20;%h = 1000./((sigma+100).*(sigma+10));plot(sigma,abs(h))gridFrecuencias crticas:s = 10, 100, polos: 10, 100ceros:

h(-200)= 0.0526h(-80) = -0.7143h(-40) = -0.5556h(0) = 1.0000

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+

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TareaSi vs representa una funcin excitatriz exponencial en el circuito que se muestra en la figura. Hallar todas las respuestas crticas de la respuesta I1 en el dominio de la frecuencia y representar grficamente |I1| respecto a s. I1 -->+---+---R1---+---+ R1 = 3 W| | | | R2 = 2 Wvs L1 L2 R2 L1 = 6 H| | | | L2 = 3 H+---+--------+---+

Grficos de magnitud y faseImpedancia de una resistencia de 3 Ohms y una bobina de 4 H.Z(s) = 3 + 4sZ(s) = 3 + 4sZ(jw) = 3+4jw

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Magnitud en funcin de w

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Fase en funcin de w

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El plano de la frecuencia complejajwss>0s>0s

Naturaleza de la respuestatttttttttsjw

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Grfica en 3Dsigma = -5:0.2:0;omega = -4:0.2:4;[x,y] = meshgrid(sigma,omega);Y = 1./(x+j*y + 3);z = abs(Y);mesh(x,y,z);xlabel('sigma');ylabel('jw');zlabel('|Y|');title('Y(s)=1/(s + 3)');axis([-5,0,-4,4,0,2]);

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Grficas en 2D%Admitanciasigma = -5:0.2:0;Y = 1./(sigma + 3); plot(sigma,abs(Y));grid

%Admitanciaw = -4:0.2:4;Y = 1./sqrt(w.^2 + 3);plot(w,abs(Y));

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Patrn de polos y ceros

-2sjw-1+j5-1-j5|Z(s)||Z(jw)|-1+j5

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Z(s) a partir de polos y cerosA partir del mapa de polos y ceros anterior podemos obtener la impedanciaSi suponemos Z(0) = 1, obtenemos h = 13

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Obtencin de la grfica mediante vectoresRepresentacin de s1 = 3 + j4 en el plano complejos13j4126.9jws0Representacin de s1 = 3 + j4 y s = j7 en el plano complejos13j4126.9jws0j7Diferencia de s s1 = 3 + j3 = 4.2445s13j4126.9jws0j7s s145

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Ejemplos + 23jws0s + 3w|V(jw)|jws2/3w|ang(jw)|1

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TareaPara las configuraciones de polos y ceros de las figuras suponga que representan una razn de tensin V2/V1, y que el valor de la razn a frecuencia infinita es 20. Expresar las razones como razones de polinomios en s.jws

1020jws

2040

20j-20j-50j50jjws

2j2

22j

Respuesta natural en el plano sLa respuesta forzada de un circuito RL se obtiene a partir de:if (t) se obtiene al sustituir s, R y L por sus valores, reinsertar est y tomar la parte real.La respuesta natural se obtiene a partir de los polos de la frmula anterior.I(s) = Aen s = -R/L+j0in(t) = Re(Ae-Rt/L)in(t) = Ae-Rt/L i(t) = Ae-Rt/L + if(t)

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Respuesta natural en el plano s

Red sin fuentesindependientes

VsV2(s)I1(s)

+-+-

Red sin fuentesindependientes

IsV2(s)I1(s)

+-La respuesta deseada I(s) o V2(s) puede obtenerse como un cociente de polinomios:La respuesta natural esLos polos determinan la forma de la respuesta natural que ocurre cuando las fuentes son cero.

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Ejemploi1i2i1(0) = i2(0) = 11Ai1(t) = Ae2t + Bet/6Evaluando condiciones iniciales:i1(t) = 8e2t + 3et/6Insertando una fuente Vs entre xx y calculando la I(s) producida, obtenemos

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V(-1 + 2j) = Z(-1 + 2j)I(-1 + 2j)

Sntesis de H(s)Se busca una red que tenga una H(s) especificada.

Red

Vent+-Vsal

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Sntesis de H(s)ZfZ1VentVsal++--

+-

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Bloques bsicosVentVsal++--

+-RfCfR1VentVsal++--

+-RfC1R1

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EjemploSintetizarEl polo se logra contomandoRfA = 100 kW yCfA = 2 mF

El cero se logra contomandoR1B = 100 kW yC1B = 5 mFLa funcin final estomandoRfB = 100 kW y R1A = 25 kW

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Red finalVent+-

+-Vsal+-

+-100 kW100 kW100 kW25 kW5 mF2 mF

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