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FÍSICA GERAL III
FRANKLIN(1706-1790)
Benjamin Franklin, nasceu em Boston,
na Filadélfia.Líder da revolução
americana, é conhecido por
suas citações e experiências com
eletricidade.Estudou a repulsão
e atração de cargas elétricas,
introduziu o conceito de um
único fluido elétrico e foi o inventor do
pararraios. Em 15 de junho de 1752,
comprovou que o raio é apenas
uma corrente elétrica de grandes
proporções.
Maringá2010
FÍSICA GERAL III
Editora da UnivErsidadE EstadUal dE Maringá
Reitor Prof. Dr. Décio Sperandio Vice-Reitor Prof. Dr. Mário Luiz Neves de Azevedo Diretor da Eduem Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado Editor-Chefe da Eduem Prof. Dr. Alessandro de Lucca e Braccini
ConsElho Editorial
Presidente Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado Editor Associado Prof. Dr. Ulysses Cecato Vice-Editor Associado Prof. Dr. Luiz Antonio de Souza EditoresCientíficos Prof. Adson C. Bozzi Ramatis Lima Profa. Dra. Ana Lúcia Rodrigues Profa. Dra. Analete Regina Schelbauer Prof. Dr. Antonio Ozai da Silva Prof. Dr. Clóves Cabreira Jobim Profa. Dra. Eliane Aparecida Sanches Tonolli Prof. Dr. Eduardo Augusto Tomanik Prof. Dr. Eliezer Rodrigues de Souto Prof. Dr. Evaristo Atêncio Paredes Profa. Dra. Ismara Eliane Vidal de Souza Tasso Prof. Dr. João Fábio Bertonha Profa. Dra. Larissa Michelle Lara Profa. Dra. Luzia Marta Bellini Profa. Dra. Maria Cristina Gomes Machado Profa. Dra. Maria Suely Pagliarini Prof. Dr. Manoel Messias Alves da Silva Prof. Dr. Oswaldo Curty da Motta Lima Prof. Dr. Raymundo de Lima Prof. Dr. Reginaldo Benedito Dias Prof. Dr. Ronald José Barth Pinto Profa. Dra. Rosilda das Neves Alves Profa. Dra. Terezinha Oliveira Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco Profa. Dra. Valéria Soares de Assis
EqUipE téCniCa
ProjetoGráficoeDesign Marcos Kazuyoshi Sassaka Fluxo Editorial Edneire Franciscon Jacob Mônica Tanamati Hundzinski Vania Cristina Scomparin Edilson Damasio ArtesGráficas Luciano Wilian da Silva Marcos Roberto Andreussi Marketing Marcos Cipriano da Silva Comercialização Norberto Pereira da Silva Paulo Bento da Silva Solange Marly Oshima
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE FÍSICA
REITOR Prof. Dr. Carlos Edilson de Almeida Maneschy
VICE-REITOR
Prof. Dr. Horacio Schneider
PRÓ-REITORA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO Profa. Dra. Marlene Rodrigues Medeiros Freitas
COORDENADOR GERAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Prof. Dr. José Miguel Veloso
DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS Prof. Dr. Mauro de Lima Santos
COORDENADORA DO CURSO DE FÍSICA À DISTÂNCIA
Profa. Dra. Fátima Nazaré Baraúna Magno
E a
Este material foi gentilmente cedido pela UEM Universidade stadual de Maringa, para o uso restrito da Licenciatura em Físic na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.
Maringá2010
FoRmAção dE PRoFESSoRES Em FÍSICA - EAd
FÍSICA GERAL III
Ivair Aparecido dos Santos João Mura
Mauricio Antonio Custodio de Melo
12
Copyright © 2010 para o autor
Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo
mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor. Todos os direitos
reservados desta edição 2010 para Eduem.
Endereço para correspondência:
Eduem - Editora da Universidade Estadual de Maringá
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87020-900 - Maringá - Paraná
Fone: (0xx44) 3011-4103 / Fax: (0xx44) 3011-1392
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Coleção Formação de professores em Física - Ead
Apoio técnico: Rosane Gomes Carpanese
Normalização e catalogação: Ivani Baptista - CRB 9/331
Revisão Gramatical: Perseu Angelo Santoro
Projeto Gráfico: Carlos Alexandre Venancio
Edição e Diagramação: Renato William Tavares
Capas: Arlindo Antonio Savi
Kellis Germano de Freitas
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Mura, João Física geral III / João Mura, Maurício, Antonio Custodio Melo, Ivair Aparecido dos Santos. -- Maringá: Eduem, 2010. 144p. il. (Formação de professores em física – EAD; v.12) ISBN: 978-85-7628-239-6 1. Física geral. I. João Mura. II. Melo, Maurício Antonio Custodio de. III. Santos, Ivair Aparecido dos.
CDD 21. ed. 530
M972f
3
Sobre os autores ................................................................................... 5
Apresentação da coleção ..................................................................... 7
Apresentação do livro ........................................................................... 9
1 Carga Elétrica .........................................................................................11
2 Campo Elétrico .................................................................................... 23
3 lei de gauss .........................................................................................31
4 potencial Elétrico ................................................................................. 39
5 Capacitência ....................................................................................... 49
6 Corrente e resistência ........................................................................ 67
7 Campo Magnético .............................................................................. 89
8 lei de ampère ....................................................................................103
9 lei de indução, de Faraday ................................................................117
10 indutância .........................................................................................133
11 referências .......................................................................................144
umárioS
5
Ivair Aparecido dos Santos
Possui graduação em Física (Licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de
Maringá (1994). Obteve seu Mestrado em 1997 na Universidade Estadual de Campinas. Em
2001 terminou o seu doutorado em Física na Universidade Federal de São Carlos, onde,
na sequência, realizou um estágio de pós doutoramento. Desde 2002 é professor do
Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá e atualmente ocupa o cargo de
Professor Adjunto.
João Mura
Possui graduação em Física (licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de
Campinas (1975) e graduação em Direito pela Universidade Estadual de Maringá (1983). O prof.
Mura obteve sua especialização em Ensino de Física Experimental (1979), mestrado (2000) e
doutorado em Física (2005) pela Universidade Estadual de Maringá. Desde 1976 é professor do
Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá. Atualmente ocupa o cargo de
Professor Associado.
Mauricio Antonio Custodio de Melo
Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (1987), mestrado em Físico-
Química pela Universidade Federal de Santa Catarina (1990), doutorado em Ciências Naturais
– Física pela Technische Universität Braunschweig na Alemanha (1995) e realizou um pós-
doutorado no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1995-1997). Professor da Universidade
Estadual de Maringá desde 1997, sendo atualmente Professor Associado.
obre os autoresS
7
EmborarelativamenterecentenoBrasil,aEducaçãoaDistânciafoiimaginadaeim-
plantada com relativo sucesso, há muito tempo em diversas partes ao redor do mundo.
Já em 1833, na Suécia, uma publicação se referia ao ensino por correspondência, e
poucos anos depois, na Alemanha, foi fundada a primeira escola por correspondência
destinadaaoensinodelínguas.Comoadventodatransmissãoradiofônica,asfacilida-
dessetornaramreaiseastrocasdeinformaçõesseagilizarame,consequentemente,
aEducaçãoaDistânciaexperimentouumcrescimentosignificativo.Fatosemelhante
ocorreucomaevoluçãodossetoresdecomunicaçãotelevisiva,edefinitivamente,a
Educação a Distância se consolidou incorporando novas formas de comunicação.
O Ministério da Educação, através da Secretaria de Educação a Distância (SEED)
tem promovido uma ampla difusão de vários cursos a distância, em parceria com di-
versas Instituições Públicas de Ensino Superior (IPES). O curso de Física em EAD da
UniversidadeEstadualdeMaringá(UEM)foi implantadocomtotalapoiodessesór-
gãosoficiais.Possuidisciplinasidênticaseomesmoconteúdoprogramáticodocurso
presencial.
Entretanto, existem pontos entre ambos, que não podem convergir devido ao
enfoque: enquanto o curso presencial requer umametodologia característica, com
a relação professor-discente acontecendo quase que exclusivamente dentro de um
espaçofísicopróprio,ocursoadistânciadeveabrangereconsiderararelaçãoespaço-
temporalpara efetivaro aprendizado.A coleçãoqueora apresentamos reflete essa
preocupação.Os volumes foramescritosporprofessoresquepossuemexperiência
suficienteparaelaboraroconteúdoadequadoacadadisciplinae,deformabastante
consistente,elegerostópicosexigidosparaaformaçãodeumlicenciadoemFísica.O
leitorperceberáque,mesmodentrodeumúnicolivroescritopordiversosautores,
a linguagem não é uniforme e os enfoques são diferenciados; enfim, preservamos
tantoquantopossívelasparticularidadesrespeitando-seasexperiênciasindividuaise,
certamente,issoserefletenaapresentaçãodoconteúdoenoestilodeexposiçãodo
presentação da ColeçãoA
FÍsiCa gEral iii
8
material didático.
Adicionalmente uma parcela do corpo docente do Departamento de Física – UEM
tem se dedicado à tarefa de produção de textos direcionados a Educação a Distância,
os Departamentos de Matemática, de Química, de Fundamentos da Educação e de
Informáticatêmcontribuídocomostextospertinentesàsdisciplinasqueusualmente
ministramnamodalidadePresencial.Aofinaldoquartoano,acoleçãocontarácom
maisdetrintavolumes.Essesforamgeradoscomoobjetivodeproporcionaraodis-
cente da Educação a Distância um material produzido pelo empenho de um conjunto
deprofessoresqueacreditamqueaEducaçãoaDistânciasejaumaalternativapara
supriradeficiênciadeprofessoresdeFísicanoensinomédio.Percebe-setambémque
nãoéamodalidadedeensinoquedeterminaoaprendizado,maseledepende,acima
detudo,doesforçoedadedicaçãodecadaum.Esperamosqueessacoleçãosejauma
forma de tornar essa tarefa mais fácil de Física em EAD.
Sonia Maria Soares Stivari
Organizadora da Coleção
9
Física,instrumentoparaentendimentodomundoquevivemos,possuiumagrandebelezaconceitual,emquenamaioriadoscasossópodeserrealmenteentendidaquandodo uso do instrumental matemático. No curso de física Geral III você vai se deparar fre-quentementecomoperaçõesvetoriais,derivadas,integraisdesuperfícieedelinhaeou-trosinstrumentosmatemáticos.Émuitoimportantequevocêsaibausarcomdestrezaoinstrumentalmatemáticoparaumbomentendimentodosconceitosaquiapresentados.Oeletromagnetismoclássicoaserestudadonestecursopodeserresumidoemqua-
troequações fundamentais.Este resumo foipropostopelogrande físico JamesClerkMaxwell,edenominam-seasequaçõesdeMaxwell.Elasrelacionamosvetorescampoelétricoemagnéticoassuasfontes,quepodemsercargaselétricas,correntesoucamposvariáveiscomotempo.Apartirdessasequaçõesépossíveldemonstrartodasasleisfun-damentaisdaeletricidadeedomagnetismo.AsequaçõesdeMaxwellexercemumpapelnoeletromagnetismoclássicocomparávelaodasleisdeNewtonnamecânicaclássica.Emprincipio,qualquerproblemaclássicodeeletromagnetismopodeserresolvidousan-doasequaçõesdeMaxwell,oqueenvolveumtratamentomatemáticosofisticado.AsequaçõesdeMaxwellsãofundamentaistambémparaoentendimentodasOndaseletro-magnéticas,quetêmcomoexemploaluzvisível.NossoobjetivoéchegaracompreensãodasequaçõesdeMaxwell.Nãoseassuste.Para issovamosutilizaralgunsconceitos jáconhecidose,duranteocurso,aprofundarosnossosconhecimentosdoeletromagnetis-mo,edaprópriafísica.Cadacapitulotemumasériedeexemplosresolvidos,quetêmointuitodemostrara
você a aplicação dos conhecimentos estudados. Todos eles precisam analisados e refeitos porvocêcommuitaatençãoparaquevocêpossaassimilarosconceitosalidiscutidos.Aofinal de cada capitulo existeumpequeno conjuntode Problemas.OObjetivo
desteconjuntodeproblemaséconduziroalunoaumaexperiênciadirigidadecom-preensãoefixaçãodoconteúdoestudado.Você,aluno,temcomotarefafazertodososproblemase,sepossível,compoucoauxilioexterno.Acompreensãoefixaçãotêmmaiorsucessoquandocadaumencaraatarefaproposta.Porfim,osautoresdedicamestaobraàmemóriadaProfessoraDoutoraMarleteApa-
recidaZamprônio.Aela,nossahomenagempeloesforço,dedicaçãoe,principalmente,amizadedemonstradosnosnossoslongosanosdetrabalhoeconvivência.
OS AUTORES
presentação do livroA
FÍsiCa gEral iii
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Carga Elétrica1
1.1 Um pouco de história - o átomo
1.2 Carga e Matéria - processos de Eletrização
1.3 lei de Coulomb
FÍsiCa gEral iii
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1 CARGA ELÉTRICA
1.1 Um Pouco de História – O Átomo
Nossa aventura começa na cidade de Abdera, região da Trácia, porto marítimo localizado na costa norte do mar Egeu, onde o lendário fi lósofo grego Leucipo, nascido em 500 a.C., fora morar por volta de 478 a.C. Leucipo foi discípulo de Zenon e mestre de Demócrito, sendo considerado o fundador da Escola de Abdera, que se notabilizou por estudar um dos problemas fundamentais da Filosofi a e da Ciência da época, ou seja: a constituição da matéria que compõe o nosso Universo. A Escola de Abdera é considerada a criadora da teoria atomística da matéria.
Muitas hipóteses a respeito da constituição do Universo foram formuladas. Thales de Mileto propunha que o elemento fundamental constituinte da matéria seria a água, dizendo que “tudo se compõe de água e tudo em água se dissolve”. Empédocles propôs a teoria de que a matéria seria constituída de quatro elementos: água, ar, fogo e terra, denominados de raízes, sendo constituídas de partículas que se achavam submetidas às forças de atração e repulsão (amor e ódio), responsáveis pela constituição e decomposição dos corpos, habitando, portanto, o mundo sublunar. Junto com Heráclito e Anaxágoras, defendia o princípio da conservação e indestrutibilidade da matéria.
Aristóteles de Estagira viveu no século IV a.C., sendo considerado um dos maiores sábios da antiguidade. Discípulo de Platão, outro gigante da cultura grega, adotava a teoria dos quatro elementos à qual acrescentava um quinto elemento, o éter, elemento imaterial que não teria peso e nem leveza, além de ser eterno e imutável. Não possuiria movimento ascendente ou descendente e nem habitaria o mundo sublunar. Habitaria os espaços celestiais, sendo o símbolo da perfeição. A visão Aristotélica do éter é entendida, atualmente, como sendo o vácuo. No entanto, Aristóteles e seus discípulos, não aceitavam a teoria atomística da matéria, propondo outra teria, denominada de teoria plena da matéria, que dizia “ter a matéria uma estrutura perfeitamente contínua e poderia ser subdividida para sempre, sem limite”. A teoria plena da matéria, juntamente, com a teoria geocêntrica defendida por ele, perdurou por mais de 15 séculos, até serem enterradas pela renovação das idéias ocorrida durante a Renascença.
Leucipo e Demócrito, discípulos da Escola de Abdera, diziam que o Universo era constituído de duas coisas fundamentais, os átomos e o vazio, ou seja, de um agregado de matéria e de um vácuo total. Acreditavam que as diversas espécies de matéria poderiam ser subdivididas até atingirem um limite, além do qual nenhuma divisão seria possível. Epicuro, quase 100 anos depois, batizou tais partículas indivisíveis de átomos. Diziam também que as substâncias seriam diferentes porque seus átomos difeririam quanto à forma ou pela maneira que estariam agregados, podendo ser mais duros ou mais maleáveis, explicando nossas sensações de visão, audição, paladar, tato e olfato.
Outro discípulo da Escola de Abdera, Epicuro, nascido em Gargeta, cidade próxima de Atenas, no ano de 341 a.C., retomou e ampliou as terias de seus mestres sob a constituição do Universo, dizendo, dentre outras coisas, que: “nada vem do nada ou do que não existe, pois se assim não fosse, tudo nasceria de tudo sem necessitar de sementes”; “há o vácuo, pois se ele não existisse, criando o espaço e a extensão, não teriam os corpos um local para estar, nem onde se movimentar”; “o universo é infi nito pela grandeza do vácuo e pela quantidade dos átomos, que se movem continuamente. Quando no vácuo, os átomos
13
Carga Elétrica
possuem igual velocidade, pois supõe que nada os detenha, nem os mais pesados correm mais que os mais leves, nem os menores que os maiores”; “os átomos não têm princípio já que eles e o vácuo são a causa de tudo. Não tem nenhuma qualidade a não ser sua confi guração, a grandeza e o peso”.
É importante ressaltar que a Escola de Abdera já propunha o princípio da conservação da matéria, a constituição da matéria por átomos, que seriam imutáveis, indivisíveis, impenetráveis, invisíveis, possuindo movimentos próprios, além de propor a existência do vácuo. Também indicava que os corpos poderiam existir como agregados de átomos ou por átomos simples, afi rmando ainda, que os átomos apresentavam certo peso.
Coube a Lucrécio, fi lósofo nascido em 95 a.C., difundir as idéias atomísticas da Escola de Abdera entre os romanos, principalmente pelo seu livro intitulado “De Rerum Natura”. As obras de Lucrécio foram muito difundidas na época do Renascimento, principalmente por Pierre Gassend, solidifi cando a teoria atomística da matéria, em substituição à teoria plena da matéria de Aristóteles. Coube a Proust e Dalton, no século XVIII d.C., ao proporem as leis das proporções constantes e múltiplas, a aceitação geral de que quando substâncias elementares se combinam, o fazem como entidades discretas ou átomos. Finalmente, a ciência aceitou a teoria atomística (corpuscular) da matéria, que é a teoria adotada neste livro.
1.2 Carga e Matéria - Processos de Eletrização
A eletricidade e o magnetismo são fenômenos naturais conhecidos pelo homem desde a antiguidade. Sabe-se que os antigos gregos, há mais de 25 séculos atrás, já conheciam a atração elétrica que o âmbar, quando atritado, exercia sobre pequenos pedaços de palha. Afi nal, o nome grego do âmbar é elektron, daí, originando-se a palavra eletricidade.
Também, a palavra magnetismo, deriva do nome de uma região localizada na Ásia Menor, chamada de Magnésia, onde os seus moradores conheciam uma pedra, a magnetita, que tinha a propriedade de atrair minério de ferro, propriedade esta denominada de magnetismo. A partir desse minério, os antigos chineses construíram as primeiras bússolas, que tiveram papel decisivo no ciclo das grandes navegações, inclusive no descobrimento do Brasil.
Entretanto, só a partir do século XVI da nossa era, é que os estudos da eletricidade e do magnetismo começaram a se desenvolver de forma sistemática, mas ainda sem que houvesse uma junção entre eles. Em 1820, Oersted observou uma conexão entre as duas ciências, quando percebeu, acidentalmente, que ao passar uma corrente elétrica por um fi o ocorria a defl exão do ponteiro de uma bússola que estava próxima. Esta experiência demonstrou que uma corrente elétrica podia gerar um campo magnético e vice-versa. Nascia assim uma nova ciência, o eletromagnetismo, cuja infl uência no mundo moderno é muito grande.
Os primeiros fenômenos de natureza elétrica conhecidos pelo homem eram de natureza estática, isto é, não envolviam o movimento contínuo de cargas elétricas. Por essa razão receberam o nome de fenômenos eletrostáticos, e serão tratados nesta parte do curso.
Sabemos que a matéria é constituída por pequenas partículas chamadas de átomos (teoria atomística da matéria) e, posteriormente, descobriu-se que cada átomo é formado por uma parte central denominada de núcleo, onde se localizam os prótons
FÍsiCa gEral iii
14
e nêutrons, e por uma parte periférica, denominada de eletrosfera, onde se encontram os elétrons. Atualmente, associamos aos prótons carga elétrica positiva e, aos elétrons, carga elétrica negativa. Os nêutrons não possuem carga elétrica. Os termos, positivo e negativo (convenção de sinais), foram introduzidos por Benjamin Franklin (1750), sendo que, anteriormente, usavam-se termos com eletricidade atrativa, eletricidade do âmbar, eletricidade repulsiva, etc.
O átomo é uma porção de matéria muito pequena. Seu diâmetro é da ordem de 10-8 cm e seu núcleo é da ordem de 10-12 cm. No interior do átomo, onde não existe matéria, existe vácuo. É como um sistema solar em miniatura, onde não existe a massa dos planetas e do sol (do núcleo e dos elétrons), existe vácuo, que, aliás, é a parte dominante dos sistemas, tanto do átomo quanto do sistema solar. O modelo atômico com núcleo, proposto por Rutherford e adotado didaticamente neste livro, pode ser visualizado na fi gura 1 ao lado.
Na época de Franklin, a carga elétrica era imaginada como se fosse um “fl uido” contínuo e não discreto. Hoje, sabemos que os próprios fl uidos não são contínuos, mas sim discretos, pois são formados por átomos e moléculas, portanto, o “fl uido elétrico” não é contínuo, mas composto por múltiplos de uma determinada carga elementar, ou seja, qualquer carga q que pode ser observada e medida, pode ser escrita como q = n.e, onde n é um número inteiro positivo ou negativo e e é a carga elementar. Sempre que uma grandeza física, como a carga elétrica, existir apenas através de “unidades”, ao invés de aparecer de forma “contínua”, diz-se que essa grandeza é quantizada.
A quantidade de carga associada a um próton é igual, em módulo, á quantidade de carga associada a um elétron, denominada de carga elementar, simbolizada pela letra “e”, sendo uma das constantes fundamentais do universo. Seu valor no Sistema Internacional de Unidades (SI) é igual a “1,60 x 10-19 C”, não existindo no universo, carga menor do que ela (quantização da carga).
Exemplo 1 – Uma moeda de cobre (Z=29) com m = 3,11 gramas é eletricamente neutra. Qual é o valor da carga de cada espécie?
Solução:Se a moeda é eletricamente neutra, ela possui igual quantidade de carga negativa e positiva por átomo, ou seja, cada átomo contém 29 prótons (Z = número atômico) e 29 nove elétrons. A moeda é composta por um número N de átomos, portanto, o módulo da carga q de cada espécie (positiva ou negativa) é dado por q = N.Z.e, sendo e a carga elementar (e = 1,6 x 10-19 C). Para saber o número de átomos que a moeda possui, deve-se usar a relação N = NA.m/A, onde NA é o número de Avogrado (6,02 x 1023 átomos /mol), m é a massa da moeda e A é o número de massa do isótopo mais estável do Cobre (A = 63,54 g/mol)1. Assim,
N = 2,95 x 1022 átomosO valor total da carga positiva ou negativa (em módulo) é dado por,
q = 1,37. 105 C
Obs. A carga calculada é uma enorme carga elétrica, tanto negativa quanto positiva! Veja que a carga negativa média espalhada sobre a superfície da Terra é de, aproximadamente, 5 x 105 C. Na realidade, a moeda acumula uma carga desse valor em elétrons e em prótons, mas não indi-vidualmente, sendo que a carga total da moeda é nula. Observe que pequenos corpos possuem imensas cargas elétricas.
1 Ver tabela periódica dos elementos químicos.
Figura 1 – Modelo atômico com núcleo
central.
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Carga Elétrica
A matéria, de uma forma geral, é neutra, isto é, possui igual quantidade de carga positiva e negativa em seus átomos e moléculas. Se certa substância está eletrizada é porque a quantidade de prótons contidos nos núcleos é diferente da quantidade de elétrons que ela possui na periferia destes.
A eletrização de corpos ocorre sempre com o ganho ou perda de elétrons, pois as forças que os prendem ao núcleo são mais fracas sobre as últimas camadas de energia (no caso de metais), bastando uma pequena quantidade de energia para deixá-los livres. Assim, se um corpo está carregado positivamente, é porque está com falta de elétrons e, se está carregado negativamente, é porque está com excesso de elétrons.
Os átomos com falta ou com excesso de elétrons são denominados de íons, positivos ou negativos. O número de prótons no interior do núcleo atômico permanece sempre o mesmo. O núcleo se comporta como uma bola compacta difícil de ser fracionada.
a) b) c)Figura 2 – a) ion negativo, b) Átomo neutro e
c) íons positivo. (o núcleo deste átomo é constituído de 3 protons e 3 neutrons)
A experiência mostra que ao se aproximar um corpo carregado positivamente de outro também positivo, eles se repelem, enquanto que, ao se aproximar um corpo carregado positivamente de outro corpo carregado negativamente, eles se atraem. Desta observação empírica, conhecida pelos povos antigos, pode-se concluir que, “cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e cargas elétricas de sinais contrários se atraem” (Fig. 3). É importante observar que coube ao pesquisador francês Charles Du Fay (1730) a proposição de que a força elétrica podia ser tanto atrativa quanto repulsiva.
Figura 3 – Forças de repulsão e atração eletrostáticas
Corpos cujos elétrons podem ser removidos com facilidade são chamados de condutores (Ex: metais) e os que apresentam difi culdade de remoção são denominados de isolantes ou dielétricos. Os intermediários são denominados de semicondutores.
Três processos de eletrização de um corpo são possíveis: eletrização por atrito; eletrização por contato e eletrização por indução.
FÍsiCa gEral iii
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Quando dois corpos são atritados, pode ocorrer a passagem de elétrons de um corpo para outro. Observe que somente os elétrons são transferidos de um corpo a outro. Este processo é denominado de eletrização por atrito (Fig. 4)
Conclusão - Na eletrização por atrito, os dois corpos fi cam carregados com cargas iguais, porém de sinais contrários. Há a transferência de elétrons de um corpo a outro. O núcleo não se altera!!
Quando dois corpos são postos em contato, estando um eletrizado e outro neutro, pode ocorrer a passagem de elétrons do corpo eletrizado para o corpo neutro. Este é o processo de eletrização por contato.
Observe que as cargas em excesso do bastão carregado negativamente se repelem (fi cam separadas o máximo possível), e assim, algumas passam para o corpo neutro, carregando-o negativamente (Fig. 5).
No caso seguinte, o bastão está carregado positivamente (falta de elétrons), mas continua haver passagem de elétrons, só que desta vez, do corpo neutro para o corpo eletrizado, visto que o bastão está com falta de elétrons. No fi nal, a esfera fi ca carregada positivamente, pois cedeu elétrons para o bastão (Fig. 6). Um dado importante é que a soma das cargas dos corpos é igual antes e depois do contato, válido, também para o caso anterior.
Figura 6 – Eletrização por contato.
Conclusão - Na eletrização por contato, os corpos fi cam eletrizados com cargas de mesmo sinal.
Quando um corpo eletrizado é colocado próximo de outro neutro, pode ocorrer a separação dos centros de cargas no corpo neutro, que desloca seus elétrons para pontos mais distantes ou para pontos mais próximos do corpo carregado, dependendo do sinal das cargas do corpo carregado. Neste caso, não ocorre transferência de carga elétrica, havendo somente uma separação dos centros de carga no corpo neutro, polarizando o corpo. Este é o processo de eletrização por indução (Fig. 7). Separando os corpos, a eletrização induzida no corpo neutro terminará.
Figura 7 – Eletrização por indução.
Figura 4Eletrização por atrito.
Figura 5Eletrização por contato
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Carga ElétricaConclusão - Na indução eletrostática ocorre apenas uma separação entre as cargas positivas e negativas no corpo induzido (anteriormente neutro).
Para obter uma eletrização permanente no corpo induzido, basta ligá-lo á Terra (que funciona como pólo negativo), mantendo-o na presença do corpo carregado (indutor). Após alguns instantes, desfaz-se a ligação com a Terra, e, assim, o corpo induzido fi cará com um excesso de cargas. Neste caso, fi cará com um excesso de cargas positivas (Fig. 8). Ocorreria o contrário se o bastão estivesse carregado positivamente.
Figura 8 – Eletrização por indução – Carga permanente.
1.3 Lei de Coulomb
Esta lei se refere à intensidade das forças de atração ou de repulsão eletrostáticas existente entre duas cargas elétricas puntiformes (puntuais). Denomina-se carga puntiforme, um corpo eletricamente carregado, cuja dimensão material é desprezível quando comparada com as distâncias envolvidas nos fenômenos elétricos, por exemplo, entre as cargas elétricas ou ions.
Como já foi explicitada anteriormente, a força é atrativa se as cargas entre os corpos tiverem sinais contrários e, repulsiva, se as cargas possuírem sinais iguais (Fig. 9). A Lei de Coulomb também é denominada de lei do inverso do quadrado da distância ou de lei de força central.
Figura 9 – Forças de repulsão e atração entre cargas puntuais.
As forças sempre existem aos pares, como prediz a 3ª Lei de Newton. Entre um par de cargas, uma das forças é denominada de ação, enquanto que a outra é denominada de reação, sendo que elas possuem a mesma intensidade (módulo), agem na mesma direção, mas atuam em sentidos opostos. As forças de ação e reação agem em corpos distintos, portanto nunca se anulam. Pergunta: “de acordo com a 3ª Lei de Newton, o número de forças no universo é um número par ou ímpar?”.
Coulomb1, no fi nal do século XVIII, utilizando a variação do pêndulo de torção (balança de torção), verifi cou que:“A força de atração ou de repulsão entre duas cargas elétricas é diretamente proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa”.
FÍsiCa gEral iii
18
O enunciado é praticamente idêntico ao da Lei da Gravitação Universal de Newton, bastando, somente, trocar as massas dos corpos pelas cargas elétricas.
Matematicamente, o módulo da Lei de Coulomb, para o vácuo, é escrito como:
, onde
onde, Q e q são as cargas elétricas, d é a distância que separa seus centros e ko é uma constante denominada de permissividade elétrica do espaço livre (vácuo), e vale 8,85 x 10-12 C2/N.m2. A constante eletrostática do vácuo (Constante Coulombiana), determinada experimentalmente, no Sistema Internacional de unidades (SI), para o vácuo ou para o ar seco (o valor difere muito pouco), vale:
, assim;
Assim,
Tendo várias cargas puntiformes presentes, o valor da força resultante é a soma vetorial das várias forças individuais, de acordo com o Princípio da Superposição.
Já foi visto em Física Geral I, que toda força é um vetor, fi cando caracterizado por um módulo ou intensidade (número), uma direção, um sentido e um sistema de unidades. Assim, as características do vetor força F são:
a- Módulo ou Intensidade: é um número que resulta da aplicação da fórmula da Lei de Força (Lei de Coulomb) defi nida acima.
b- Direção da força: é a direção dada pela reta que une os centros das cargas elétricas puntiformes.
c- Sentido da força: O sinal é positivo (+) se as cargas forem de sinais iguais, sendo a força de repulsão. O sentido é negativo (-) se as cargas possuírem sinais contrários, sendo a força de atração.
d- Sistema de Unidades: Depende do sistema de unidades que estiver sendo utilizado, que pode ser o SI, ou outros sistemas.
Uma visualização gráfi ca da força de interação elétrica em função da distância de separação entre os centros das cargas é uma curva representada por uma hipérbole.
Figura 10 – Módulo da força em relação à distância entre as cargas
19
Carga ElétricaExemplo 2Qual o módulo da força eletrostática atrativa média entre o elétron e o próton em um átomo de Hidrogênio, cuja distância média de separação é igual a 5,3 x 10-11m. Compará-la com a força gravitacional entre as mesmas partículas. Dados: q = ± 1,6 x 10-19C; meletron= 9,11 x 10-31kg; mproton=1,67 x 10-27kg; Constante gravitacional G = 6,67 x 10-11m3/kg.s2; Constante eletrostática do vácuo Ko= 8,99 x 109 N.m2/C2.
Solução:A força eletrostática é dada por,
Substituindo os valores temos que o módulo da forca é,
A força gravitacional é dada por,
Substituindo os valores fi camos com,F = 3,6 x 10-47 N
Nota-se então, que a força gravitacional é 1039 vezes menor do que a força eletrostática que age entre as partículas. A força gravitacional entre partículas ou corpos é sempre atrativa e age no sentido de agregar massa, provocando a formação de grandes massas cósmicas, poeiras gasosas, planetas e estrelas, situação onde as forças gravitacionais são enormes. No caso em questão, ela é desprezível em relação à força eletrostática. As forças eletrostáticas são repulsivas para cargas de mesmo sinal, donde se pode concluir que elas não ajudam agregar grandes cargas de mesmo sinal, visto agirem no sentido de separá - las o máximo possível. É por isso que temos, quase sempre, as duas cargas juntas, para que uma compense a outra. As quantidades de cargas que conhecemos no nosso dia-a-dia são bem pequenas, ao contrário das massas.
FÍsiCa gEral iii
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Exercícios
1) Duas cargas elétricas puntiformes iguais a 5x10-6 C e 0,5x10-6 C , estão no vácuo e separadas por uma distância de 1 m . Calcule a intensidade das forças entre elas. As forças são de repulsão ou de atração?
2) Duas cargas elétricas puntiformes Q= 2x10-6 C e q= -1x10-6 C, estão no vácuo. a) A força entre elas é de atração ou de repulsão. b) Calcular a intensidade da força entre elas em 11cm, 20cm, 30cm e 40cm. c)Usando os pontos calculados, faça um esboço do gráfi co.
3) Um corpo eletrizado possui uma carga de 6,4 μC (μ=10-6). Quantos elétrons estão faltando no corpo?
4) Quantos elétrons devemos fornecer a um corpo inicialmente neutro para eletrizá-lo com uma carga de 4,8 μC (μ=10-6)?
5) Três cargas elétricas positivas iguais a 5 nC (n=10-9) ocupam os vértices de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 5 cm. Calcule a força resultante que atua sobre a carga colocada no ângulo reto do triângulo.
6) Duas pequenas esferas condutoras de mesmo raio, no vácuo, cada uma com massa igual a 1 g, estão suspensas de um mesmo ponto por fi os leves e isolantes de 1 m de comprimento. Eletrizadas com cargas iguais verifi ca-se que elas se repelem permanecendo em equilíbrio a 0,1 mm uma da outra. Determine a carga de cada esfera, tomando g=10 m/s2.
7) Três cargas +q , -q e +6q (q= 2 x 10-6 C) estão dispostas numa linha separadas por 10 cm (+q e –q) e 40 cm (-q e +6q), Determine a intensidade da força resultante sobre a carga –q.
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Carga Elétrica
Anotações
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Anotações
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Campo Elétrico2
2.1 Campo Elétrico - linhas de Força para Cargas em repouso
2.2 linhas de Força de
FÍsiCa gEral iii
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2 CAMPO ELÉTRICO
2.1 Campo Elétrico – Linhas de Força para Cargas em Repouso
Uma carga elétrica cria ao seu redor uma perturbação que altera as propriedades elétricas do espaço em sua volta. Uma outra carga , chamada de carga de prova, quando colocada no espaço perturbado, “sente” ou “percebe” a presença da primeira carga pela ação de uma força que atua sobre ela, atraindo-a ou repulsando-a, dependendo dos sinais das cargas envolvidas na interação. Neste sentido, diz-se que há um Campo Elétrico E, produzido pela carga na região, atuando sobre a carga de prova (parte a da fi gura 1). É um campo vetorial que atua em todas as direções do espaço nas vizinhanças da carga que o produz.
Obviamente que a carga de prova também cria um Campo Elétrico em sua volta, que também atuará sobre a carga (parte b da fi gura). Assim, adotando a Teoria dos Campos para explicar os fenômenos elétricos, existe uma interação entre os dois campos elétricos criados pelas cargas elétricas, que são quantifi cados pelas forças que atuam nas cargas de forma recíproca, de acordo com a 3ª Lei de Newton. Se uma das forças for chamada de Ação, a outra será denominada de Reação, e vice-versa. É por isso que se diz que as forças na natureza sempre aparecem aos pares.
Figura 1 – Campo elétrico criado pelas cargas elétricas
O campo elétrico desempenha o papel de transmissor da interação (das forças) entre as cargas. Podemos expressar esta afi rmação pela relação seguinte:
A palavra interação signifi ca que sempre existem duas forças agindo de forma independente, mas interligadas pelas ações dos dois campos elétricos presentes. É necessário fi car claro que as forças não agem sobre uma mesma carga, caso isso ocorresse, a resultante das forças seria zero e nunca teríamos qualquer movimento (velocidade nula).
Na tabela 1 estão registrados alguns valores aproximados do modulo de campos elétricos comuns.
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Campo ElétricoCampo E [N/C]
Dentro de um fi o de cobre dos circuitos domésticos 10-2
Nas ondas de rádio 10-1
Na atmosfera 102
Na luz solar 103
Próximo a um pente de plástico carregado 103
Em uma nuvem de tempestade 104
No cilindro carregado de uma copiadora 105
Num tubo de raios X 106
No elétron de um átomo de hidrogênio 6 x 1011
Na superfície de um átomo de urânio 2 x 1021
Tabela 1: Alguns campos elétricos (valores aproximados)
O valor do campo elétrico presente num certo ponto do espaço, produzido por um corpo carregado ou por uma simples carga e, “sentido” por uma carga de prova q1, é representado pelo vetor , cujo módulo, matematicamente, é dado por:
Exemplo 1Quando um elétron é colocado em um campo elétrico 510 10 /E N C= ×
, qual a força que age sobre ele?
Solução:
( )5
191
1
101,6 10 10F NE F q E Cq C
− = → = = − × ×
141,6 10F N−= − ×
Assim, como para as forças, os campos também obedecem ao Princípio da Superposição, que diz: se tivermos “n” cargas presentes, elas devem interagir de forma independente, sendo que o campo resultante sobre certa carga, será a soma vetorial dos campos produzidos pelas outras cargas sobre ela. Por exemplo, o módulo do campo resultante sobre a carga de prova q1 devido à presença de “n” cargas, será dado por:
onde, por exemplo, é o valor do campo elétrico que age na carga q1 devido à presença da carga q3, e assim por diante.
O módulo do campo elétrico produzido pela carga Q, num certo ponto do espaço distante d de uma carga de prova q, é dado por:
(Lei de Coulomb para uma carga)
sendo que, a direção do campo é a da linha radial a partir da carga Q, apontando para fora se a carga Q for positiva, ou apontando para dentro, se a carga Q for negativa. A partir da equação anterior podemos reescrever a Lei de Coulomb (em módulo) de outra maneira, ou seja,
FÍsiCa gEral iii
26
Exemplo 2Quando uma carga de prova de 2nC é colocada num certo ponto do espaço, sofre uma forca de 4x10-4N na direção x. Qual o campo elétrico neste ponto.
Como , o campo resultante sobre a carga de prova q1 devido à presença de “n” cargas, puntiformes se calcula pela soma vetorial dos campos das cargas tomadas separadamente:
onde é a distância d da carga q1 até a carga Qi, e é um vetor unitário na direção que liga as duas cargas q1 e Qi.
Exemplo 3Uma carga +q e uma carga –q estão dispostas conforme a fi gura abaixo. a) calcular o campo elétrico num ponto arbitrário do eixo x.
Solução: Temos que estudar o problema em três regiões diferentes: x > a,-a <x < a e x < -a.Para x > a: O campo elétrico é dado pela somatória do campo da carga positiva e da carga negativa. A dis tância d da carga positiva para um ponto x qualquer é x - a e a distância d da carga negativa é x + a, então,
Quando x >> a, podemos desprezar diante de no denominador, portanto,
Para x < -a: A distância d da carga positiva para um ponto x qualquer é x + a e a distância d da carga negativa é x - a. A contribuição da carga positiva tem a direção negativa, e a contribuição da carga negativa tem direção positiva, portanto o campo elétrico é dado por:
A equação acima é idêntica ao do caso anterior, a menos do sinal negativo, portanto
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Campo Elétrico
Da mesma forma, para quando x <<- a, temos,
O campo elétrico é sempre positivo para x < -aPara -a < x < a: entre as cargas a contribuição de cada termo tem a direção negativa, portanto,
O campo elétrico para -a < x < a é sempre negativo. Quando x = 0 o campo elétrico é igual a .
Abaixo um esboço do gráfi co de campo elétrico em função da posição x, para as três regiões.
Um sistema de duas cargas puntiformes de valor q e -q , separadas por uma pequena distância L, é um dipolo elétrico (fi gura 2a). A intensidade e a orientação do dipolo elétrico se descrevem pelo momento de dipolo elétrico (o vetor aponta da carga negativa para a positiva), cujo o modulo é . O campo elétrico nos pontos sobre o eixo do dipolo, a uma grande distância x das cargas (ver exemplo 1), tem direção coincidente com a do momento de dipolo e é dado por:
Algumas moléculas têm momento de dipolo permanente, em virtude de distribuição inomogênea das cargas elétricas (fi gura 2b). Exemplo é a molécula de água, que é constituído de dois íons de hidrogênio positivo de carga combinado com um íon de oxigênio de carga . Estas moléculas em um campo elétrico externo uniforme têm a força resultante nula sobre o dipolo elétrico, porém o torque sobre o dipolo não é nulo , de modo que o momento de dipolo gira no sentido do campo . Se o momento de dipolo estiver perpendicular ao campo magnético, a energia potencial do dipolo é . Os fornos de microondas aproveitem-se do momento de dipolo das moléculas para provocar o cozimento dos alimentos. Como todas as ondas eletromagnéticas, as microondas têm um campo elétrico oscilante que provoca a vibração dos dipolos elétricos.
Figura 2 – a) dipolo elétrico separadas por uma distância L. b)Molécula de H2O com momento de dipolo permanente.
FÍsiCa gEral iii
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2.2 Linhas de Força de Para uma visão e percepção mais fácil do campo elétrico E, Michael Faraday (1791-1867) introduziu o conceito de Linhas de Força do vetor campo elétrico, atualmente, usada somente de forma qualitativa. Assim, quando a carga geradora do campo for positiva, o sentido do vetor campo elétrico é radial e saindo da carga (sentido de afastamento), como é visto na fi gura 3.
Figura 3 – Campo elétrico criado por uma carga puntiforme positiva
Se a carga criadora do campo for negativa, o sentido do vetor campo elétrico é radial, mas entrando na carga (sentido de aproximação). Se, numa região do espaço existir duas cargas elétricas, uma positiva e outra negativa (dipolo elétrico), as linhas de força do vetor campo elétrico tem a visualização, da fi gura 4.
Exercícios
1) Determine o valor do campo elétrico criado por uma carga puntiforme igual a 4μC, no vácuo, num ponto localizado a 40 cm dela.
2) Num ponto situado a uma distância “x” de uma carga de 10 μC, o campo elétrico vale 9x105 N/C. Determine o valor de “x”.
3) Determine as características do vetor campo elétrico criado por uma carga puntiforme igual a 8μC (no vácuo) em um ponto a 10 cm de distância dela. Se naquele ponto estiver uma outra carga igual a 2μC, dê as características da força que atua na carga menor.
4) Duas cargas puntiformes iguais a 40 μC e -50μC estão separadas por 50 cm uma da outra. Determine a intensidade do vetor campo elétrico num ponto a meia distância entre elas.
5) Nos vértices de um quadrado de lado igual a 10 cm, colocam-se 4 cargas de mesmo módulo, sendo que nos vértices superiores colocam-se cargas +q e nos vértices inferiores cargas –q. Determine a intensidade do vetor campo elétrico no centro do quadrado.
6) Duas placas paralelas metálicas, eletrizadas com cargas iguais e de sinais contrários, estão colocadas no vácuo a 10 cm uma da outra. O campo elétrico produzido por elas vale 6 . 10 7 N/C. Uma carga de prova puntiforme positiva igual a 2μC e massa igual a 5 x 10-6 kg, é abandonada na placa positiva, Supondo desprezível a força gravitacional sobre a carga de prova, determine: a)- força elétrica constante atuante sobre a carga; b)- a aceleração adquirida por ela; c)- a velocidade com que atinge a placa negativa; d)- o tempo gasto para ir de uma placa a outra. Comentar a trajetória real da carga.
7) Determinar a energia potencial de um dipolo elétrico perpendicular a um campo elétrico .
8) Desenhe as linhas de força do Campo Elétrico para duas cargas positivas iguais, para duas cargas negativas iguais e para duas cargas iguais, mas de sinais contrários, colocadas no vácuo e a certa distância entre elas.
Figura 4 – Linhas de força do campo elétrico existente entre duas cargas pontuais de sinais opostos.
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Campo Elétrico
Anotações
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Anotações
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Lei de Gauss3
3.1 lei de gauss - superfície gaussiana
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3 LEI DE GAUSS
3.1 Lei de Gauss – Superfícies Gaussiana
Na Física, sempre podemos tirar vantagens da situação de simetria entre os corpos. A simetria se refere à forma como a massa de um corpo está distribuída no seu volume, ou, no caso de cargas elétricas, como elas estão distribuídas no espaço. Um corpo altamente simétrico, por exemplo, é a esfera ou uma elipsóide.
A Lei de Coulomb é a principal lei da Eletrostática, podendo ser usada em qualquer problema onde haja alto ou baixo grau de simetria, em especial, ela é bastante utilizada em problemas com baixo grau de simetria entre as cargas distribuídas num corpo. Quando o grau de simetria for alto, é vantajoso utilizar a Lei de Gauss, que é uma nova forma de expressar a Lei de Coulomb, porque a aplicação da lei facilita muito a resolução de problemas de eletrostática. A Lei de Gauss é uma das quatro leis fundamentais do eletromagnetismo estabelecidas por Maxwell, daí sua importância no estudo do eletromagnetismo e da óptica.
A Lei de Gauss (assim como a Lei de Coulomb) estabelece a relação entre a carga elétrica e o campo elétrico criado pela carga numa certa região do espaço simétrico, sendo uma outra maneira de resolver problemas de eletrostática com alta simetria.
A questão central da Lei de Gauss é uma hipotética superfície fechada (uma envoltória) que engloba o corpo carregado, denominada de “superfície gaussiana”. Ela pode ter o formato que se deseja, mas será útil se o formato for compatível com a simetria do problema a ser resolvido. Ela pode ser uma superfície esférica, uma elipsóide, uma superfície cilíndrica ou qualquer outra forma simétrica, porém deve ser sempre uma superfície fechada de modo a separar os pontos que estão em seu interior dos pontos que estão em seu exterior.
Se os vetores do campo elétrico forem uniformes em módulo e apontarem radialmente para fora, pode-se concluir que existe dentro da superfície uma distribuição total de carga positiva e com simétrica esférica. Neste caso, a superfície gaussiana é esférica (simetria esférica).
De um modo geral, pode-se dizer que:“A Lei de Gauss nos diz como o campo elétrico encontrado na superfície gaussiana está relacionado com as cargas contidas em seu interior”.
Antes de conceituarmos a Lei de Gauss, vamos introduzir um novo conceito, intimamente relacionado com a Lei de Gauss, denominado de fl uxo de um campo vetorial, símbolo Φ. É um conceito que se aplica a qualquer campo vetorial, e em especial, ao campo elétrico. Ele é uma grande escalar, resultante do produto escalar entre dois vetores.
Figura 2 – (a) Uma superfície plana (área A) imersa num campo uniforme. (b) Superfície inclinada em relação ao fl uxo do campo.
Figura 1 – Campo elétrico e superfície Gaussiana em sua volta.
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lei de gauss
Para defi nir o fl uxo do campo elétrico Φ, vamos considerar uma superfície gaussiana qualquer imersa num campo elétrico, que pode ser uniforme ou não. Vamos dividir esta superfície em quadrados muito pequenos, cada um com uma área , sufi ciente pequena para poder ser considerada como área plana. Para cada área, associamos um vetor , com módulo igual ao valor da área, mas com direção perpendicular à área e voltado para fora da superfície gaussiana (fi gura 2a). Devido a área de cada quadradinho ser muito pequena, podemos considerar que o vetor campo elétrico em cada uma deles tenha um valor igual em módulo e também seja constante para todos os pontos desta área pequena.
Os vetores , e , que caracterizam cada quadrado fazem entre si um ângulo θ, que pode variar de 0 a 180 graus, dependendo da posição do quadrado sobre a superfície gaussiana (fi gura 2b), de tal forma que o produto escalar será dado por:
Podemos defi nir o fl uxo do campo elétrico Φ como sendo o número de linhas de força do campo elétrico que atravessa uma superfície gaussiana, e que, para uma dada superfície fechada, pode ser negativo, positivo ou nulo, dependendo do ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor associado à área do quadrado pertinente. Matematicamente, temos que:
A somatória implica que devemos somar uma a uma as contribuições em cada
quadradinho, o que é muito trabalhoso. Uma maneira exata de se fazer a somatória é fazer a área dos quadradinhos cada vez menor, aproximando-as do limite diferencial . Assim fazendo, substitui-se a somatória por uma integral sobre toda a superfície, tal que:
(1)Uma vez defi nido o fl uxo do campo elétrico que atravessa uma superfície fechada,
estamos aptos a escrever a lei de Gauss. O fl uxo resultante produzido pela carga interna que atravessa uma superfície gaussiana é dado por,
Fazendo uso da equação do fl uxo (1) fi camos com:
(Lei de Gauss)onde, representa a carga total envolvida pela superfície (contida dentro da superfície). As cargas que porventura estiverem fora da superfície gaussiana não serão consideradas no cálculo, mas o valor do campo vetorial é o valor do campo resultante de todas as cargas presentes, tanto no interior como no exterior da superfície fechada. A lei de Gauss é aplicada para cargas que se encontram no vácuo, mas também vale para cargas localizadas no ar.
Exemplo 1 - Simetria esférica. Se a Lei de Gauss e a Lei de Coulomb são equivalentes, é possível partir de uma delas e chegar à outra, considerando as simetrias do problema. No exemplo que segue, vamos partir da Lei de Gauss e chegar à Lei de Coulomb fazendo uso da uma superfície gaussiana esférica em torno de uma carga puntual (fi gura 3). Dividindo a superfície da área esférica em pequenos quadradinhos (área elementar dA) e sabendo que em cada área elementar o vetor campo elétrico é perpendicular (campo radial) a ela, então, o produto escalar entre o vetor campo elétrico e o vetor associado a cada área é sempre igual a , pois o ângulo entre os vetores é igual a zero graus.
Na fi gura 3, a superfície gaussiana circunda a carga positiva (carga interna) com raio d. Como a carga está no centro da superfície, o campo elétrico é normal à mesma e
Figura 3 – Campo de uma carga puntual positiva e superfície gaussiana de raio r. Força sobre uma carga de prova q’.
FÍsiCa gEral iii
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seu valor é constante em qualquer ponto da superfície. Apesar da representação estar no plano (duas dimensões), deve-se ter em mente que a superfície gaussiana é tridimensional. Assim, aplicando a Lei de Gauss temos,
Como o vetor campo elétrico tem sempre o mesmo valar em cada ponto da superfície gaussiana (mesmo valor em cada área elementar), pode-se retirá-lo da integral, assim,
A integral é, simplesmente, a área da superfície gaussiana esférica de ra io d (Área=4πd2), de modo que a equação anterior fi ca,
Esta equação permite calcular o campo elétrico Er produzido pela carga q numa região distante d do centro da carga. Pela Lei de Coulomb, o módulo da força de repulsão exercida pela carga q sobre uma determinada carga de prova q’>0 (no vácuo), localizada na sua vizinhança (distância d) é dada por,
Exemplo 2 - Simetria plana. A fi gura ao lado mostra a seção de um plano não condutor, fi no e infi nito, carregado com uma densidade superfi cial uniforme de cargas σ (C/m2). Uma fi na chapa de plástico, carregada uniformemente por fricção, é uma boa representante para o exemplo. O objetivo é encontrar o campo elétrico nas proximidades (a uma distância r do mesmo). Como o plano está carregado positivamente, o vetor campo elétrico deve ser perpendicular ao plano e saindo dele e, ainda mais, deve ter o mesmo valor numérico em pontos situados em lados opostos e equidistante, mesma direção, mas sentidos contrários. Uma superfície gaussiana apropriada ao caso (que refl ete a simetria do sistema), é um cilindro fechado, cada lado com área A, equidistante, e altura 2r, com eixo perpendicular ao plano, atravessando-o (altura igual em ambos os lados).
Observando a fi gura, é possível perceber que o campo E é paralelo às superfícies curvas do cilindro, mas perpendicular às suas bases, onde associamos um vetor infi nitésimo
em cada uma delas. Nas partes curvas, o ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor é igual a 90°, portanto, não há fl uxo atravessando as partes curvas (lado). Só há fl uxo
saindo das bases do cilindro, assim, pela Lei de Gauss, temos
Como , o campo elétrico é paralelo à ( e o campo elétrico é constante na base, então,
A carga , portanto,
Figura 4 – Superfície gaussiana cilíndrica atravessando o plano de cargas.
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lei de gauss
Como a distância do plano ao ponto calculado (distância d), não aparece na equação acima, conclui-se que o campo possui valor único em qualquer ponto, sendo, portanto, um campo uniforme em toda parte. Como exemplo, calcule o campo em pontos dentro de um sistema constituído por duas placas paralelas carregadas com a mesma densidade superfi cial de cargas, mas de sinais contrários (capacitor de placas paralelas).
Exemplo 3 - Condutores em equilíbrio eletrostático. Um bom condutor elétrico, como o cobre, a prata, o ouro, o alumínio (metais de uma forma geral), contém inúmeras cargas elétricas (elétrons) que não estão presas a nenhum átomo, sendo, portanto, elétrons livres que podem se mover dentro do corpo metálico. Se nenhum movimento de carga ocorrer dentro do corpo, diz-se que o corpo está em equilíbrio eletrostático. Cada carga livre é uma partícula em equilíbrio, portanto, a resultante das forças sobre ela é nula. Para um condutor isolado (que não esteja aterrado) em equilíbrio eletrostático, as seguintes propriedades são verifi cadas:
a)- O campo elétrico é nulo em qualquer ponto de seu interior;b)- Se ele tiver uma carga líquida (elétrons livres), a carga em excesso fi cará
localizada totalmente em sua superfície externa;c)- O campo elétrico em seu exterior (da face externa para fora) é perpendicular à
sua superfície e tem uma magnitude igual a E = σ/εo (Lei de Gauss) em cada ponto;d)- Se o condutor tiver formato irregular, a densidade de carga σ (carga por unidade
de área) será máxima nos locais onde é mínimo o raio de curvatura da superfície do corpo (ponto P) e mínima nas regiões mais lisas (ponto R), propriedade denominada de poder das pontas (ver para-raio)
Como exercício, para verifi car as propriedades acima, o aluno deverá pesquisar em textos próprios, procurando entendê-las e demonstrá-las. Procure calcular, também, o campo elétrico médio sobre a superfície terrestre.
Exercícios
1) Seja o campo elétrico uniforme . a) Qual o fl uxo deste campo através de um quadrado de 1m de lado num plano yz? Qual é o fl uxo através do mesmo quadrado cuja normal faz um ângulo de 30o com o eixo dos x?
2) Uma carga de 5µC está 10 cm acima do centro de um quadrado cuja lado tem 50cm. Calcular o fl uxo do campo através do quadrado (sugestão: não integre).
3) Considere uma esfera condutora de raio igual a 20 cm. Ela está carregada com carga igual a 4 . 10-8 C. Calcule o campo elétrico em pontos no interior da esfera e num ponto a 40 cm do seu centro.
4) Considere uma esfera maciça uniformemente carregada com carga Q e de raio R. Calcule o campo elétrico em pontos no interior e no exterior da esfera.
5) Explicar por que o campo elétrico no interior de uma esfera maciça uniformemente carregada cresce com r e não diminui com 1/r2, no interior da esfera.
6) Determinar, usando a lei de Gauss, o campo elétrico a uma distância r de um fi o infi nito, uniformemente carregado. (sugestão: utilize uma superfície cilíndrica circular, de comprimento L e raio r, coaxial ao fi o)
7) Se o fl uxo liquido através de uma superfície fechada for nulo, o campo elétrico E é nulo em qualquer ponto da superfície? O que pode se concluir sobre a carga no interior da superfície fechada?
Figura 5 – Corpo com formato irregular. Campo elétrico e poder das pontas.
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Anotações
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lei de gauss
Anotações
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Anotações
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Potencial Elétrico4
4.1 potencial Elétrico - Energia pontencial Elétrica
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4 POTENCIAL ELÉTRICO
4.1 Potencial Elétrico - Energia Potencial Elétrica
Antes de conceituarmos a energia potencial elétrica, faremos uma distinção entre forças conservativas e não conservativas. As forças são os agentes que realizam trabalho sobre os corpos (vale a pena revisar o conceito de trabalho tratado no capitulo 6 do livro de Física Geral I). A força é conservativa se for nulo o trabalho realizado por ela sobre uma carga ou partícula que descreve um circuito fechado (ciclo). Se o trabalho não for nulo, a força não é conservativa. Também, uma força é dita conservativa se o trabalho realizado por ela sobre uma partícula ou carga que se desloca entre dois pontos num campo, depender somente destes pontos e não da trajetória em si. Se depender da trajetória, ela é uma força não conservativa. Exemplo de forças conservativas: força gravitacional, força elétrica, força elástica. Os vários tipos de atrito são exemplos típicos de forças não conservativas.
A força elétrica que age sobre uma partícula carregada, devido a um campo elétrico, é uma força conservativa, ou seja, o trabalho realizado por ela ao deslocar uma carga de um ponto a outro do campo só depende destes pontos e não do caminho percorrido pela carga.
Energia potencial é uma forma de energia armazenada em um campo, independentemente do tipo de campo (gravitacional, elétrico), portanto, a energia potencial elétrica, símbolo U, é uma forma de energia armazenada no campo elétrico. Vamos supor que uma determinada carga de prova qo>0 (cuja carga por ser muito pequena, praticamente não infl uencia o Campo Elétrico existente no local) esteja se movimentando em um campo elétrico, desde um ponto inicial i até um ponto fi nal f. Pode-se defi nir a diferença de energia potencial elétrica como “A diferença de energia potencial elétrica de uma carga de prova, entre dois pontos (inicial e fi nal) de uma trajetória, é igual ao valor negativo do trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga durante seu movimento, independentemente da trajetória percorrida”.
Matematicamente podemos escrever quef i ifU U U W∆ = − = −
onde, Wif é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga de prova entre os pontos especifi cados. A fi gura 1 ilustra o enunciado acima
Na fi gura 2, a carga de prova q’ é movimentada ao longo do eixo y, partindo do ponto a (início = ya) até o ponto b (fi nal = yb) ao longo de uma trajetória que está na mesma direção e sentido do campo elétrico E. Neste caso, há um decréscimo da energia potencial porque, quando se desloca uma carga positiva na direção o campo, há a realização de um trabalho positivo sobre a carga e assim a energia potencial diminui.
fU < iU ifW→ > 0
Também é possível deslocar uma carga de prova no sentido contrário ao vetor campo elétrico (deslocamento da posição ya para a posição yb). Nesta nova situação, há um incremento na energia potencial quando uma carga positiva se move em sentido contrário ao campo elétrico E, pois o campo realiza um trabalho negativo sobre ela, e assim, a energia potencial aumenta.
Obs. Se a carga de prova for negativa, a situação se inverte em termos da energia potencial e trabalho.
Assim, pode-se dizer que “a variação na energia potencial elétrica (ΔU), quando a
Figura 1 – Força eletrostática (F = qoE) atua sobre uma carga de prova submetida a um campo elétrico E uniforme dirigido para baixo.
41
potencial Elétrico
carga se movimenta entre os pontos de um campo elétrico, é igual em magnitude, mas de sinal contrário, ao trabalho feito pelo campo sobre ela (-Wif)”.
Se escolhermos, arbitrariamente, a localização da carga de prova no infi nito (ponto muito distante das outras cargas), podemos atribuir o valor da Ui = 0, assim, podemos escrever que
∞−= WU Nesta situação podemos dizer que “a energia potencial U de uma carga-teste em
um ponto qualquer, é igual ao valor negativo do trabalho W∞ realizado sobre a carga pelo campo elétrico para trazê-la do infi nito até a posição em questão”. É importante que haja a escolha do ponto inicial como um ponto de referência padrão.
O potencial elétrico, tensão ou voltagem, símbolo “V”, é defi nido como sendo a variação da energia potencial elétrica por unidade de carga, tendo um único valor para qualquer ponto do campo, independentemente do valor da carga-teste utilizado para prová-lo.
Defi nimos a diferença de potencial elétrico (ddp) “ΔV”, entre dois pontos quaisquer de um campo de forças como sendo igual a
/ ′ ′∆ = ∆ ⋅⋅⋅ ⇒⇒ ∆ = ∆U q V U q V (1)Assim, a diferença de potencial elétrico, é escrito como:
( )′∆ = − = − ⋅⋅⋅ ⇒⇒ = − −′if
f i i f f i
WV V V W q V V
qO trabalho “Wif” realizado pela força elétrica sobre a carga de prova positiva, no
seu movimento desde o ponto “i” até o ponto “f”, pode ser positivo, negativo ou nulo, correspondendo no ponto fi nal “f” a um potencial maior, menor ou igual ao potencial no ponto “i”, como consequência do sinal negativo do trabalho. Quando o ponto inicial “i” estiver sufi cientemente afastado (no infi nito), podemos arbitrar um valor nulo para seu potencial (V∞ = 0), de tal forma que fi camos com:
∞
∞ ′= − = ⇒⇒ = − = −′ ′
W UV W q V Uq q
Uma forma simplifi cada de relacionar o trabalho realizado por uma força elétrica (quando se desloca uma carga de prova desde um ponto inicial “A” até um ponto fi nal ”B”) com a diferença de potencial entre os pontos, é dada por
( ) ( )AB A B B AW q V V q V V= − = − − (2)A diferença de potencial elétrico (ddp) mede o desnível de potencial elétrico entre
dois pontos de um circuito ou de superfícies equipotenciais de uma carga.Para calcular o trabalho realizado pela força elétrica quando desloca uma carga-
teste de um ponto inicial até um ponto fi nal, numa região onde existe um campo elétrico (uniforme ou não), deve-se somar (integrar) todos os trabalhos elementares feitos pela força ao longo de cada intervalo infi nitesimal em que foi subdividida a trajetória realizada pela carga, conforme mostra a fi gura 2.
O trabalho realizado é dado por
sdEqsdFWf
i
f
ifi ⋅=⋅= ∫∫ 0 A integral acima é denominada de integral de linha sendo o produto entre o campo E
e o elemento de linha ds um produto escalar. Assim, para o ponto inicial no infi nito (Vi=0), o potencial será dado por
sdEVf
i
⋅−= ∫ (3)
Figura 2 – Deslocamento da carga de prova no sentido do campo elétrico. Trabalho positivo. Decréscimo na energia potencial.
FÍsiCa gEral iii
42
A equação anterior permite calcular o potencial elétrico a partir de um campo elétrico conhecido, ou seja, conhecendo-se o campo elétrico numa certa região do espaço, podemos calcular o potencial elétrico entre dois pontos quaisquer do campo. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a diferença de potencial elétrico (ddp) ou voltagem é medida em Joule/Coulomb, que por ser tão frequente, foi-lhe dado uma unidade especial chamada de Volt, símbolo V. Assim,
1 Volt = 1 Joule/Coulomb→→ 1 V = 1 J/CComo consequência, o campo elétrico também pode ter a unidade de medida dada por,
1 N/C= 1 V/mVamos considerar duas cargas separadas por uma grande distância e mantidas fi xas
em suas posições. Para juntá-las até uma determinada posição, será necessário realizar um trabalho, ou seja, “alguém” gastou energia para juntá-las. Esta energia gasta pelo agente externo (força externa), ou seja, o trabalho realizado pela força externa, fi cará acumulado como energia potencial elétrica “U” no sistema de duas cargas. Assim, podemos escrever que,
1 2.
0 12
1( )4πε
⋅= =ext
q qU W fr
onde r12 é a distância entre os centros das cargas.Entendido dessa forma e para várias cargas puntiformes, pode-se dizer que,
“a energia potencial elétrica de um sistema de cargas puntuais fi xas é equivalente ao trabalho que deve ser realizado por um agente externo para reunir o sistema, trazendo cada carga desde o infi nito até a posição desejada”.
Nesse caso, o potencial total deve ser calculado utilizando-se o princípio da superposição, isto é, calcula-se o potencial de cada carga separadamente no ponto de desejado (referência), e depois se soma algebricamente todos os potenciais calculados individualmente.
Exemplo 1Três cargas são mantidas fi xas nos vértice de um triângulo isósceles, separadas por uma distância d, conforme fi gura 3. Calcule a energia potencial elétrica da confi guração.
Solução: A energia potencial resultante é a soma da energia de cada par na confi guração dada, assim,
12 13 23RU U U U= + +
( )( ) ( )( ) ( )( ) 24 2 4 21 104 4R
o o
q q q q q q qUd d d dπε πε
+ − + + − += + + =
Supondo d = 12 cm e q = 150 ηC, a energia potencial resultante da confi guração vale,
17RU mJ= −Obs. O fato da energia potencial ser negativa quer dizer que será preciso realizar um trabalho negativo para trazer as três cargas fi xas e no infi nito até a separação d. Por outro lado, signifi ca, também, que um agente externo (força externa) deve realizar um trabalho positivo de 17 mJ para desfazer a confi guração dada.
Podemos também calcular o campo elétrico a partir do potencial elétrico. Conhecendo-se o potencial elétrico em todos os pontos vizinhos de um conjunto de cargas elétricas, podemos traçar uma família de superfícies que possuem o mesmo potencial V em todos os seus pontos, chamadas de superfícies equipotenciais. As linhas de força do campo elétrico produzido pelo conjunto de cargas são sempre perpendiculares às
Figura 3 – Três cargas puntuais fi xas nos vértices de um triângulo isósceles.
43
potencial Elétrico
superfícies equipotenciais em cada ponto e descrevem como o campo varia de uma posição à outra, conforme pode ser visualizado pela fi gura 4.
De acordo com a fi gura, o campo elétrico é perpendicular à superfície equipotencial que passa pelo ponto P. O deslocamento que a carga faz entre duas superfícies vale ds e faz um ângulo θ com a direção do campo E. O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga de prova enquanto ela se move ao longo da trajetória entre as duas superfícies equipotenciais é dado pela equação 1, ou seja, W = - qodV, onde dV é a diferença de potencial entre as duas superfícies em questão. Também, o trabalho pode ser calculado pela equação 2, isto é, W = qoE(cosθ)ds, já resolvido o produto escalar, considerando o deslocamento infi nitesimal ds e a forma diferencial das equações. Igualando as duas equações para o trabalho, temos,
0 (cos )oq dV q E dsθ− =Assim fi camos com
cos dVEds
θ = −
onde Ecosθ = Es é a componente do campo na direção do deslocamento. Considerando a variação de V somente na direção do deslocamento, podemos escrever a derivada parcial do campo, ou seja,
sVEs ∂
∂−=
A equação acima é o inverso da equação 3, quando fazemos V inicial igual a zero (infi nito) e diz, matematicamente, que “a taxa de variação do potencial em função da distância, observada em qualquer direção, é igual à componente do campo E naquela direção, com o sinal inverso”. Utilizando os eixos ortogonais XYZ e conhecendo a função V(x,y,z), podemos obter as três componentes do campo em qualquer ponto, através das derivadas parciais.
Vamos utilizar a equação 3 para determinar o valor do potencial elétrico num ponto P, a uma distância radial r de uma carga positiva isolada. Para tal, vamos supor que uma carga de prova qo seja trazida do infi nito até o ponto P ao longo da linha radial que une a carga positiva ao ponto P. Num determinado instante a carga de prova encontra-se a uma distância r’ da carga positiva. O campo elétrico é radial e aponta para fora (sentido crescente de r’), conforme pode ser visualizados pelas linhas de força, mas o deslocamento da carga-teste tem sentido contrário ao campo (sentido decrescente de r’). Assim, rdsd ′−= (fi g. 5).
Figura 5 – Carga de prova trazida do infi nito até o ponto P. Campo criado pela carga positiva.
Temos então que( )(cos180 )( )E d s E dr Edr′ ′⋅ = ° − =
Figura 4 - Superfícies equipotencias de um campo elétrico não uni-forme. Deslocamento da carga de prova entre duas superfícies equipoten-ciais.
FÍsiCa gEral iii
44
Substituindo na equação 3 fi camos comf r
i
V E d s Edr∞
′= − ⋅ = −∫ ∫
O campo elétrico da carga positiva em r’ é dado pela equação
2
14 o
qErπε
=′
Assim, o potencial fi ca,
2
1 14 4
rr
o o
q qV drr rπε πε ∞∞
′= − = − − ′ ′ ∫ou
0
14
qVrπε
=
(4)
Obs. O sinal do potencial é o mesmo da carga que cria o campo. Se quisermos determinar a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer próximos de uma carga puntual isolada, aplica-se a equação 4 para cada um dos pontos e depois subtrair um potência do outro.
Exemplo 2Qual deve ser o valor de uma carga puntual positiva isolada, para que o potencial V, a 15 cm dela, seja igual a +120 Volts.
Solucao:Pela equação 4 temos,
0(4 )q V rπε=
Substituindo os valores, fi camos comq = 2,0 x 10-9 C.
45
potencial ElétricoExercícios
1) Uma vaca encontra-se próxima a uma árvore (fi gura abaixo) que é atingida por um raio. Durante um curto intervalo de tempo, acumula-se na base da árvore uma carga elétrica de 1,0 μC. Considere K = 9 x 109 (Nm2/C2). Determine:a) o potencial elétrico gerado pela descarga na região da pata dianteira da vaca (A) e na região da pata traseira do animal (B);b) a ddp entre as duas regiões;c) a mínima distância da pata dianteira da vaca à árvore, admitindo-se que o animal resiste, no máximo, a uma ddp de 300 V, para não sofrer danos biológicos.
Figura 7– Distâncias das patas a árvore para o problema em questão.
2) A ddp entre uma nuvem e a Terra é da ordem de 1,2 x 109 Volts. Qual é a variação de energia potencial de um elétron nesta descarga elétrica?
3) Um relâmpago típico tem uma ddp da ordem de 1 bilhão de Volts e a quantidade de carga transferida é de cerca de 30 C. Pergunta-se: a)- Qual é a energia potencial liberada na descarga? b)- Se toda a energia liberada fosse utilizada para acelerar um carro de 1000 kg de massa, que partiu do repouso, qual seria a velocidade fi nal do carro? c)- Que quantidade de gelo a 0 oC, seria possível derreter se toda a energia liberada fosse utilizada para tal fi m? Dados: O calor latente de fusão do gelo vale 3,3 x 105 J/Kg.
4) Grande parte do material contido nos anéis de Saturno tem a forma de minúsculas partículas de poeira cósmica cujos raios são da ordem de 1μm. Tais grãozinhos estão numa região que contém gás ionizado diluído e adquirem elétrons em excesso devido ao contato com o gás. Se o potencial elétrico na superfície de um certo grão é de cerca de – 400 Voltes, quantos elétrons são adquiridos por ele?
5) Dois prótons existentes no núcleo de um átomo de U238 estão separados por uma distância de 6,0 x 10-15 m. Calcule o valor da energia potencial elétrica relacionada á força repulsiva entre eles, sabendo-se que a carga do próton é de 1,6 x 10-19 C.
6) No KCl, a distância entre os átomos é de 2,80x10-10m. Calcular a energia necessária para separar os íons K+ e Cl- até uma distancia infi nitamente grande. Dar a resposta em eV. (1 eV = 1,602x10-19J)
7) Três cargas pontuais são mantidas fi xas nos vértices de um triângulo isóscele de lado igual a d = 12 cm. As cargas são q1= +q ; q2 = -4q e q3 = +2q, sendo q = 150 nC. Calcule a energia potencial elétrica da confi guração.
8) O potencial elétrico numa certa região é dada por V(x) = ax2 + b, Calcular o vetor campo elétrico nesta região.
9) O campo elétrico é Ex = 6x3 N/C. Calcule a diferença de potencial entre x=1m e x=2m.
FÍsiCa gEral iii
46
Anotações
47
potencial Elétrico
Anotações
FÍsiCa gEral iii
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Anotações
49
Capacitância5
5.1 introdução
5.2 Capacitância
5.3 Capacitores
5.4 Energia potencial Eletrostática
5.5 armazenamento de Energia Elétrica
5.6 Combinação de Capacitores
5.7 dielétricos
FÍsiCa gEral iii
50
5 CAPACITÂNCIA
5.1 Introdução
Podemos aumentar a energia potencial do sistema, elevando um peso até uma altura h, esticando uma mola ou comprimindo um gás. De forma análoga, quando uma carga é posta num condutor isolado, a energia potencial do mesmo aumenta. A razão entre a carga e o potencial é a capacitância do condutor. A partir disso podemos construir um dispositivo para “acumular” um campo elétrico e também carga. Este dispositivo é chamado de capacitor. O primeiro capacitor foi a garrafa de Leyden, inventado por Mushenbroeck e Cuneus no século XVIII, que constituía um frasco de vidro revestido interna e externamente por folhas de ouro (ver fi gura 1). Funcionou tão bem que o experimentador levou um choque que o derrubou. Benjamin Franklin percebeu que um capacitor não necessariamente tinha que ter a forma de uma garrafa, mas podia ser simplesmente um vidro de janela com as faces recobertas por folhas metálicas. No natal de 1750, usando um conjunto de garrafas de Leyden, Franklin tentou matar um peru com a descarga elétrica, mas recebeu um poderoso choque que o derrubou. Depois de refeito, comentou: “Tentei matar um peru, mas quase consegui matar um pato”.
Capacitores microscópicos formam a memória DRAM (dynamic random Access memory), que são usadas em computadores. Na eletrônica é comum o uso de capacitores. Capacitores médios são usados em fl ash de máquinas digitais e em desfi libradores. Banco de capacitores podem gerar potências de 1014 W. A fi gura 2 mostra alguns tipos de capacitores que são usados em circuitos elétricos.
5.2 Capacitância
O potencial de um condutor fi nito, isolado, com a carga é proporcional a esta carga e depende do tamanho e da forma do condutor. O potencial para um condutor esférico de raio R com carga é:
A razão entre a carga Q e o potencial de um condutor isolado é a capacitância C:
A capacitância é a medida da capacidade de um condutor armazenar carga para uma diferença de potencial. Como o potencial é sempre proporcional à carga, a razão entre e é sempre igual para um determinado condutor. Para um condutor esférico, a capacitância é
A unidade de capacitância no Sistema Internacional (SI) é farad (F), que é coulomb por volt. O Farad é geralmente muito grande e assim usa-se subunidades como µF = 10-6 F ou nF = 10-9 F.
Figura 1 - Garrafa de Leyden, observe que a garrafa é revestida externamente (A) e internamente (B) por uma folhas metálicas não conectadas.
Figura 2 - Capacitores que normalmente são encontrados em circuitos eletrônicos.
51
CapacitânciaExemplo 1Se numa esfera de capacitância CA a carga inicial for duplicada, qual o novo valor da capacitância?
Solução:
Como , e substituindo a diferença de potencial , temos que para uma esfera
Que independe da carga. Se a carga for duplicada, a diferença de voltagem será dividida por 2. Portanto, a capacitância CA não será alterada.
5.3 Capacitores
Um sistema de dois condutores com cargas iguais e opostas é um capacitor. Frequentemente o capacitor é carregado pela transferência de uma carga de um para outro condutor, de modo que um deles fi ca com a carga e o outro com a carga .
Para determinar a capacitância de um capacitor, temos que conhecer bem a sua geometria. Primeiramente temos que determinar o campo elétrico entre os dois condutores. O campo elétrico relaciona-se com a carga Q dos condutores pela lei de Gauss:
Para facilitar os cálculos, escolheremos uma superfície de gaussiana em que o campo elétrico seja constante e que e sejam paralelos em toda a superfície. Assim,
Depois de determinar o campo elétrico E, podemos calcular a diferença de potencial V entre os dois condutores. A diferença de potencial entre os condutores é relacionada ao campo elétrico E por:
onde a integral é calculada ao longo de qualquer trajetória que inicie em um condutor e termine no outro. Escolheremos uma trajetória que acompanhe uma linha de campo elétrico que vai do condutor positivo até o condutor negativo. Nesta trajetória, os vetores
e estão apontados na mesma direção. Usaremos este plano descrito para determinar a seguir a capacitância de capacitores
de placas paralelas, capacitores cilíndrico e capacitores esféricos.
FÍsiCa gEral iii
52
5.3.1 Capacitor de placas planas paralelas
Figura 3
Um capacitor bastante comum é o de placas paralelas, que tem duas placas condutoras montadas paralelamente uma à outra. Vamos supor que as placas deste capacitor sejam tão largas e estejam tão próximas uma da outra que podemos ignorar a distorção do campo elétrico nas bordas. Assim, podemos tomar o campo elétrico E como uniforme entre as placas. Na fi gura 3 temos uma superfície gaussiana que engloba a carga Q da placa positiva. Usando a lei de Gauss, temos,
onde A é a área da placa. Como:
Como já discutimos o campo elétrico E é uniforme entre as placas e pode ser removido da integral. A integração é de 0 até d.
Portanto, temos que e , e assim podemos escrever que
A capacitância C é defi nida por , consequentemente para um capacitor de placas paralelas,
Esta equação mostra que a capacitância não depende de Q e V e que só depende dos fatores geométricos, particularmente, da área A e da separação d das placas. Um bom exemplo de capacitores paralelos e planos são os teclados de computadores e outros instrumentos, que são constituídos de duas placas metálicas, conforme mostrado na fi gura 4. A placa a, a qual está colada a tecla, pode mover-se e a placa b é fi xa. Ao ser pressionada a tecla, diminui a separação entre as duas placas e portanto aumenta a capacitância do capacitor. O circuito do computador é então disparado para registrar e processar o sinal.
Figura 4 - Teclado capacitivo
53
CapacitânciaExemplo 2Um capacitor de placas planas e paralelas tem placas circulares com o raio de 10 cm e separadas por 0,1 mm. a) qual a capacitância do capacitor? b) Se o capacitor for carregado a 12V, qual a quantidade de carga no capacitor?
Solução:a) A capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas é:
( )( )2
0
8,85 0,12780 2,780
0,0001
pF mA mC pF nFd m
πε
× = = = =
b) ( )( ) 92,789 12 33,36 10 33,33Q CV nF V C nC−= = = × =
5.3.2 Capacitor Cilíndrico
Figura 5Um capacitor cilíndrico é constituído por um cilindro ou um cabo metálico de
pequeno raio montado coaxialmente a um tubo cilíndrico condutor de raio . A fi gura 5 mostra uma superfície gaussiana que engloba a carga Q do cilindro de raio . Usando a lei de Gauss, temos,
A superfície gaussiana é um cilindro. Como o campo elétrico na base é paralelo à superfície, , temos só a contribuição da lateral. O campo elétrico E é constante na lateral do cilindro, portanto,
Como:
Substituindo o valor do campo elétrico encontrado E na expressão acima, temos
A capacitância C é defi nida por , consequentemente para um capacitor cilindrico,
FÍsiCa gEral iii
54
Exemplo 3Estime a capacitância de uma Garrafa de Leyden (fi gura 1) considerando a garrafa com 5cm de raio interno, 5,5 cm de raio externo e 20 cm de altura (não se esqueça da base da garrafa).
Solução:A garrafa tem que ser dividida em duas partes: a lateral e a base.A lateral pode ser considerada com um capacitor cilíndrico de altura 0,2 m e com
e , assim,
A base pode ser considerada com um capacitor de placas planas circulares e paralelas com o raio de 5 cm e separados por 0,5 cm.
A situação mostra que o cilindro e as base estão em paralelo, portanto a capacitância total é a soma das capacitâncias, assim
5.3.3 Capacitor Esférico
Figura 6 - Capacitor Esférico
Vamos agora considerar duas camada esféricas concêntricas, de raios a e b. Aplicando a lei de Gauss para a superfície tracejada, podemos obter o campo elétrico E.
Na superfície gaussiana o campo elétrico E é constante e perpendicular, fi cando assim somente a integral , portanto,
onde é a área da superfície esférica gaussiana. Assim o campo elétrico E é dado por:
55
Capacitância
Como:
Substituindo o valor do campo elétrico encontrado E na expressão acima, temos
A capacitância C é defi nida por , consequentemente para um capacitor esférico,
Exemplo 4a) Determine a capacitância de um capacitor esférico em que as placas esféricas têm raios de 40 e 42 mm. b) Qual será a área da placa de um capacitor de placas paralelas cujas placas têm a mesma separação e capacitância?
Solução:a) Para um capacitor esférico temos,
00,040 0,0424 4 8,85 93,420,040 0,042
ba pF m mC pFb a m m m
πε π × = = = − −
b) A capacitância de um capacitor de placas paralelas é 0ACd
ε= , portanto,( )( ) 2
0
0,002 93,420,021
8,85
m pFdCA mpFm
ε= = =
que equivale a um capacitor de placas retangulares de aproxidamente 15 cm de lado.
5.4 Energia Potencial Eletrostática
Rediscutiremos agora a energia potencial eletrostática. Se tivermos uma carga puntiforme , o potencial à distancia é dado por
Para ter uma segunda carga puntiforme , inicialmente no infi nito, e no fi nal na distancia , devemos efetuar o trabalho:
Para trazer do infi nito uma terceira carga, devemos efetuar trabalho contra o campo elétrico das cargas e , assim
O trabalho total para montar a confi guração de três cargas é a energia potencial eletrostática do sistema de três carga:
Este trabalho não depende da ordem de montagem, mas somente das posições fi nais das cargas. Duplicando todos os membros da direita da equação anterior e dividindo por 2, temos,
FÍsiCa gEral iii
56
O termo é o potencial das cargas e , o termo
é o potencial das cargas e e fi nalmente o termo
é o potencial das cargas e . Assim,
Portanto, a energia potencial eletrostática de um sistema de partículas é:
Para um condutor carregado colocado sob uma diferença de potencial V, temos,
5.5 Armazenamento de Energia Elétrica
Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. Começamos com um capacitor descarregado transferindo elétrons de uma placa para a outra. O campo elétrico situado no espaço entre as placas está apontando numa direção que tende a impedir a transferência. Deste forma, já que as cargas se acumulam sobre a placa do capacitor, nós teremos que aumentar cada vez mais, a quantidade de trabalho para transferir os elétrons adicionais. Na prática este trabalho é realizado por uma bateria. Podemos considerar o trabalho necessário para carregar um capacitor, como se ele estivesse armazenando na forma de energia potencial elétrica U, num campo elétrico localizado entre as placas. Esta energia também pode ser recuperada, se permitirmos a descarga do capacitor. Vamos considerar novamente o processo de carga de um capacitor. Se uma pequena quantidade de carga dq for transferida do condutor negativo para o positivo, através de uma diferença de potencial V, a energia potencial dessa carga dq aumenta de
O aumento da energia potencial U é a integral de dU sobre a carga, de 0 até a carga fi nal Q:
A energia potencial de um capacitor carregado pode ser vista como se estivesse armazenada no campo elétrico entre as placas. Como já vimos na seção anterior 5.4, podemos escrever a energia potencial também como:
57
CapacitânciaExemplo 5Dado uma esfera condutora , isolada, de raio R=10cm e carga q=1,0nC, calcule a energia potencial acumulada no campo elétrico?
Solução:Usando a lei de Gauss podemos descobrir a capacitância. Fazendo uma superfície gaussiana esférica concêntrica a esfera condutora, o campo elétrico é constante e perpendicular a superfície gaussiana. Assim, fi ca fi cando assim somente a integral , portanto,
onde é a área da superfície esférica gaussiana. Assim o campo elétrico E é dado por:
Como:R
V Edr∞
= ∫Substituindo o valor do campo elétrico encontrado E na expressão acima, temos
2 20 0 0 0
1 1 14 4 4 4
R RQ Q dr Q QV drr r R Rπε πε πε πε∞ ∞
= = = − = ∞ ∫ ∫
A capacitância C é defi nida por , assim ,
Como , temos,
Exemplo 6Na fi gura abaixo observamos uma Balança de Kirchhoff, que é usada para medidas absolutas de carga ou de diferença de potencial. Usando a Lei de Gauss para determinar o campo interno entre as placa 1 e 2, determine .
Solução:Quando entre as placas colocamos uma diferença de potencial , temos um campo
homogêneo . Este campo vem de uma carga . Se colocarmos uma pequena carga dQ em um das placas, a energia potencial aumenta
Como (defi nição no capitulo 7 do livro Física Geral I), temos,
FÍsiCa gEral iii
58
5.6 Combinação de Capacitores
Comumente usamos dois ou mais capacitores combinados. A capacitância equivalente signifi ca que capacitância da combinação de capacitores usados pode ser substituída pela capacitância de um único capacitor sem que haja mudança na operação do circuito. Apresentaremos dois casos de combinação de capacitores.
5.6.1 Capacitores em Paralelo (mesma diferença de potencial)
A fi gura 7 mostra três capacitores, todos ligados a uma bateria, de tal forma que a diferença de potencial em todos os três é idêntica. Este tipo de ligação é chamado de ligação em paralelo. Se as capacitâncias forem , e , as cargas nos capacitores serão:
A carga total nos capacitores é entao
Isolando as capacitância, temos,
Portanto a combinação dos capacitores em paralelo pode ser substituída por um só capacitor capaz de reter a mesma quantidade de carga para uma certa diferença de potencial . O capacitor que substitui os outros tem capacitância equivalente igual a
Assim sendo, no caso de capacitores ligados em paralelo, a capacitância equivalente é igual a soma dos capacitores. Este resultado é compressível, pois a área das placas aumenta e mais carga pode ser armazenada sem alterar a diferença de potencial. Para uma quantidade de capacitores ligados em paralelo, temos
Exemplo 7Determine a capacitância equivalente da combinação mostrada na fi gura 8, com
, e .
Solução:
Como , temos,
5.6.2 Capacitores em Série (mesma carga)
A fi gura 8 mostra três capacitores ligados em série. Mesmo sendo diferentes, todos os capacitores terão a mesma carga . Para percebermos isto, devemos notar que o elemento do circuito englobado pela linha tracejada na fi gura 8 está eletricamente isolado
Figura 7 - Capacitores em paralelo. Os três capacitores estão sob a mesma diferença de potencial.
59
Capacitância
do resto do circuito e neutra. No inicio a área delimitada pela linha tracejada não está submetida a nenhum campo elétrico e é neutra. Quando uma carga estiver na placa de cima da capacitor C1, o campo elétrico desta carga induz uma carga igual e negativa na placa de baixo do capacitor C1. Esta carga provém dos elétrons que saem da placa de cima do capacitor C2. Esta placa fi ca com uma carga e seu campo provoca a carga
na placa de baixo do capacitor C2. Este processo de indução de cargas se repete para as próximas placas, sendo que a placa de baixo do capacitor C3 fi ca com uma carga . Isto é a carga é a mesma para todos os capacitores.
Em um circuito onde os capacitores são ligados em série a soma das diferenças de potencial de cada um deles é igual a diferença de potencial aplicada pela fonte, assim
Para reter a mesma quantidade de carga para uma certa diferença de potencial de uma combinação dos capacitores em série, podemos substituir por um só capacitor
com a capacitância equivalente igual a
O valor da capacitância equivalente é sempre menor do que a menor das capacitâncias individuais que compõem o sistema em série. Podemos facilmente estender para um numero de capacitores em série como:
Exemplo 8Determine a capacitância equivalente da combinação mostrada na fi gura 8, com
, e .
Solução:
Como , temos,
Podemos perceber que o valor de capacitância equivalente é menor que o valor de todos os capacitores.
Figura 8 Capacitores ligados em série. A soma das diferenças de potencial através de cada capacitor deve ser igual à diferença de potencial .
FÍsiCa gEral iii
60
5.7 Dielétricos
O que ocorre quando preenchemos o espaço entre as placas de um capacitor com um material isolante, como óleo mineral ou plástico, o que acontece com a capacitância? Michael Faraday foi o primeiro a testar preencher o espaço entre as placas com tais materiais. Ele determinou que a capacitância aumentava por um fator numérico k do valor obtido em um capacitor sem nada entre as placas, assim,
onde k é chamada de constante dielétrica do material introduzido. Observando a tabela 1, vemos que a constante dielétrica depende do material utilizado.
MaterialConstantedielétrica k
Rigidezdielétrica (kV/mm)
Vácuo 1
Ar (1 atm) 1,00054 3
Polistireno 2,6 24
Papel 3,5 16
Óleo de transformador 4,5
Vidro pirex 4,7 14
Mica 5,4 10-100
Porcelana 5,6
Silício 12
Germânio 16
Etanol 25
Água (20OC) 80,4
Água (25OC) 78,5
Cerâmica 130
Titanato de estrôncio 310
Tabela 1 Figura 9
Figura 10 a) capacitor de placas paralelas sem dielétrico e b) com dielétrico.
O que ocorre é que o dielétrico enfraquece o campo elétrico de um capacitor, por as suas moléculas provocam um outro campo em direção oposta à do campo original (fi gura 10). Este novo campo elétrico se deve aos momentos de dipolo das moléculas do
61
Capacitância
dielétrico. Na presença de um campo elétrico externo, as cargas positivas e negativas sofrem forças em direções opostas. Nos dielétricos polares, como a água, o dipolo elétrico é permanente, pois os centros de cargas positivas e negativas não coincidem (fi gura 9a). Sob a ação de um campo elétricos externo este dipolos se alinham a este campo. Nos dielétricos não-polares os momentos de dipolo são induzidos pelo próprio campo elétrico externo.
a) b)
Figura 11
A fi gura 11 mostra a infl uência dos dielétricos. Na fi gura 11a, não há uma bateria e portanto a carga deve permanecer constante quando colocamos o dielétrico. Como
sem dielétrico e com dielétrico, assim, . Consequentemente,
a diferença de potencial decresce por um fator de k. Na fi gura 11b, a bateria garante a diferença de potencial V entre as placas permanece constante. Como sem dielétrico e com dielétrico, assim, . Deste modo a presença de um dielétrico no capacitor faz com que a carga aumente por um fator k se a diferença de potencial se mantiver constante.
Vamos analisar um capacitor de placas paralelas em duas situações: com e sem dielétrico, conforme visto na fi gura CC. Consideremos a mesma carga Q sobre as placas nos dois casos. No capacitor sem dielétrico (vácuo), a lei de Gauss nos dá
Se colocarmos um material dielétrico entre as placas, haverá o aparecimento de uma carga na superfície do dielétrico. Desta forma, a carga contida dentro da superfície de Gauss é . Assim, a lei de Gauss passa a nos dar
onde , portanto
FÍsiCa gEral iii
62
Consequentemente, o efeito do dielétrico é o enfraquecimento do campo por um fator , ou seja,
A lei de Gauss com um dielétrico pode ser escrita com
Esta equação, apesar de ser obtida para o caso de um capacitor, é verdadeira e geral. Usando a obtida lei de Gauss com um dielétrico, o campo elétrico de uma carga pontual a uma distância r contida num dielétrico é
Esta expressão é a lei de Coulomb decrescida por um fator k . Podemos perceber que o efeito do dielétrico é a redução do campo elétrico. Estes resultados sugerem:
Em regiões completamente preenchidas por um dielétrico, todas as equações eletrostáticas que contêm a permissividade podem ser modifi cadas se colocarmos a constante em lugar de .
Exemplo 9Um capacitor de placas paralelas, inicialmente sem dielétrico, de área A = 0,1 m2 e separação entre as placas de 1mm, é carregado por uma fonte até atingir 6 Volts e depois isolado da fonte. Então o espaço entre as placas é preenchido por água. Calcule a) capacitância, b) a diferença de potencial antes e depois de preenchido o capacitor com água.
Solução:a) Capacitância sem o dielétrico:
Capacitância com dielétrico, o campo elétrico é dado por:
onde k é a constante dielétrica. No caso de capacitor de placas planas e paralelas, a diferença de potencial é
A nova capacitância é dado por:
b) a diferença de potencia antes de colocar o dielétrico é 6 Volts. Depois que foi colocado o dielétrico,
63
CapacitânciaExercícios
1) O que acontece com a capacitância se a voltagem entre as placas de um capacitor de placas planas e paralelas for triplicada?
2) Um condutor esférico isolado, com 10 cm de raio está carregado a 2 kV. a) Qual a carga no condutor? Qual a capacitância da esfera?
3) A carga em um capacitor é de 30 μC. A diferença de potencial entre os condutores é de 100V. Qual a capacitância?
4) Um capacitor de 10 μF é carregado com uma carga de 3 μC. Que energia eletrostática fi ca no capacitor? Se um terço da carga for removida, que energia fi ca restante?
5) Um capacitor de placas planas e paralelas, com ar entre as placas, é ligado a uma bateria de voltagem constante. A separação entre as placas do capacitor é então duplicada, sem haver desligamento da bateria. O que acontece com a energia eletrostática no capacitor?
6) O campo elétrico da terra da superfície até 1000 metros tem um valor quase constante de 200V/m. Estimar a energia eletrostática presente na atmosfera. (considere a atmosfera como uma camada plana com área igual à superfície terrestre)
7) A fi gura abaixo mostra um sistema de três capacitores. Determine a capacitância equivalente e a carga.
8) Um capacitor de variável que usa ar como dielétrico foi muito empregado na sintonia de aparelhos de radio. As placas de área A estão separadas por uma distância d e ligadas alternadamente. Um grupo de placas é fi xo e o outro pode girar em torno de um eixo. Sendo n o número de placas, mostre que o valor máximo da capacitância é
FÍsiCa gEral iii
64
9) Qual é a capacitância dos capacitores paralelos e de placas planas com dielétricos?
10) No capacitor d do exercício anterior, determine que fração de energia é armazenada nos espaços com ar e a fração que é armazenada no dielétrico?
65
Anotações
Capacitância
FÍsiCa gEral iii
66
Anotações
67
Corrente e Resistência6
6.1 Corrente
6.2 resistência e a lei de ohm
6.3 Energia nos Circuitos Elétricos
6.4 Combinação de resistores
6.5 Circuitos rC
FÍsiCa gEral iii
68
6 CORRENTE E RESISTÊNCIA
6.1 Corrente
Computadores, televisores, celulares e outros aparelhos domésticos só trabalham quando são conectados a fontes de energia, tais como tomadas ou baterias. Quando isto é feito, uma corrente de elétrons fl ui no interior desses aparelhos através de fi os metálicos e outros materiais condutores. Feixes de elétrons movem-se também através do espaço vazio no tubo de imagem de televisores.
Em um condutor desligado de uma fonte de energia, os elétrons livres movem-se desordenadamente no interior da rede cristalina com velocidades bastante grandes, da ordem de 106 m/s. Como os vetores velocidade desses movimentos dos elétrons livres estão orientados aleatoriamente, conforme fi gura 1a, a velocidade media é nula e o tal movimento não constitui a corrente elétrica. Neste caso o condutor está em equilíbrio eletrostático, isto quer dizer, encontra-se inteiramente sob o mesmo potencial. Quando ligamos o condutor a uma fonte de energia, aparece uma força que age sobre cada um dos elétrons livres (fi gura 1b). Ao serem acelerados por esta força, acabam produzindo um movimento adicional que é a corrente elétrica nos metais. Esta força é devida à existência de um campo elétrico no interior do fi o quando o mesmo é conectado à fonte de energia. A energia cinética que os elétrons livres adquirem é rapidamente dissipada nas colisões com íons da rede cristalina. Como conseqüência das colisões, os elétrons possuem uma pequena velocidade na direção oposta ao campo elétrico. A corrente dos elétrons livres em uma típica fi ação elétrica de uma casa tem uma velocidade de migração de 10-4m/s. Se a velocidade dos elétrons é tão pequena, por que a luz do quarto acende tão velozmente quando ligamos o interruptor? Não podemos confundir a velocidade de migração com a velocidade de propagação das perturbações do campo elétrico no condutor, que é muito rápido. Quando o interruptor é fechado, os elétrons em todo o condutor do interruptor até a lâmpada começam quase que imediatamente a se moverem. Este fenômeno é análogo ao que ocorre quando abrimos uma torneira em uma mangueira de jardim previamente cheia. Quase que imediatamente após a abrirmos a torneira a água jorra no fi nal da mangueira.
A fi gura 2 mostra uma seção de um condutor, no qual uma corrente foi estabelecida. A quantidade de carga dq que passa pelo plano imaginário A em um determinado espaço de tempo dt é defi nido como a corrente i.
De acordo com as condições do estado estacionário, a corrente é a mesma para todos os planos (A, A´e A´´), conforme mostrado na fi gura 2. Não importa onde os planos estejam situados ou qual seja a sua orientação. Esse fato é uma conseqüência da conservação das cargas. Ainda, sob as mesmas condições do estado estacionário, enquanto um elétron entra no condutor por uma das extremidades, o outro elétron deve deixar a outra extremidade. Do mesmo modo, se temos um fl uxo estacionário de água, passando por uma mangueira, uma gota de água deve deixar o bico para cada outra gota que entra na mangueira pela extremidade oposta. Portanto o fl uxo é idêntico em toda a mangueira de água, pois a quantidade de água na mangueira permanece constante.
Figura 2
A unidade do Sistema Internacional (SI) para corrente é o Coulomb por segundo ou Ampere (A). A corrente é um escalar. Frequentemente representamos uma corrente num condutor através de uma seta que indica a direção do movimento das cargas. Estas
a)
b)
Figura 1
69
Corrente e resistência
setas não são vetores. Assim podemos somar ou subtrair valores escalares de corrente em um circuito. A fi gura 3 mostra um conector que divide em dois. Pelo fato da carga ser conservada, os módulos das correntes e devem ser somados para a obtenção do módulo da corrente , assim,
A orientação da corrente é desenhada no sentido do movimento dos portadores positivos, mesmo sabendo que, na realidade, estes portadores não são positivos. Esta convenção foi adotada muito antes de se ter conhecimento que os elétrons livres (negativos) eram as partículas que se deslocavam, transportando cargas, nos condutores metálicos. Um portador de cargas positivas, que se move da esquerda para a direita, tem o mesmo efeito externo que um portador negativo movendo-se para da direita para a esquerda. Necessitamos prestar atenção nos sinais dos portadores de carga somente quando estamos interessados no mecanismo detalhado do transporte de cargas.
Seja o número de portadores de carga por unidade de volume num condutor de seção reta A. é a densidade dos portadores de carga por volume. Consideremos que cada partícula tenha a carga e se desloque com a velocidade de migração . No intervalo de tempo , todas as partículas no volume cruzarão o elemento de área , conforme mostrado na fi gura 3. Logo, o número de partículas neste volume é
. A carga elétrica total destas partículas é
Figura 3: os portadores de carga negativa arrastando-se no sentido oposto da corrente i.
Podemos escrever a corrente como . Substituindo o carga elétrica total das partículas , temos
Exemplo 1Em um fi o de cobre 2,053 mm de diâmetro Ø(AWG 12 - tabela 1), calcular a velocidade de migração dos elétrons neste condutor percorrido por uma corrente de 10A. Admitir que haja um elétron livre por átomo.
Solução:Conforme a tabela 1, o fi o de cobre AWG 12 tem uma área da sessão reta de
. Como , e se houver um elétron livre por átomo, podemos calcular a densidade dos portadores de carga pela densidade
e massa molecular do cobre , juntamente com o número de
Avogadro .
FÍsiCa gEral iii
70
assim
Como discutimos anteriormente, a velocidade de migração ou velocidade de deriva têm um valor bastante reduzido.
AWGØ
Diâmetromm
Áreamm2
Ohm/kmCorrrenteMáxima
Amp0000 11,68 107,1 0,161 321000 10,39 84,74 0,203 25400 9,266 67,40 0,256 2020 8,252 53,46 0,323 1601 7,348 42,39 0,406 1272 6,544 33,62 0,513 1013 5,827 26,65 0,646 79,74 5,189 21,14 0,815 63,55 4,621 16,76 1,03 50,46 4,115 13,29 1,30 39,97 3,665 10,54 1,64 31,58 3,264 8,363 2,07 25,19 2,906 6,629 2,59 19,9
10 2,588 5,258 3,27 15,812 2,053 3,309 5,22 9,9015 1,450 1,650 10,4 4,9520 0,8118 0,517 33,5 1,5425 0,4547 0,162 108 0,42730 0,2546 0,051 351 0,14740 0,07987 0,005 3400 0,01546 0,03980 0,001 15130 0,003
Tabela 1 – Tabela de alguns fi os padrão AWG, com diâmetro, área da seção reta, resistência e amperagem máxima de trabalho.
Para fazer:Calcular a velocidade de migração para um fi o de cobre de 11,68 mm Ø (AWG 0000) e um fi o de 0,039 mm Ø(AWG 46) (diâmetro e corrente dados na tabela 1). Comparar com o valor obtido no exemplo 1.
6.2 Resistência e a Lei de Ohm
Quando aplicamos a mesma diferença de potencial entre os extremos de duas barras, de mesma dimensão e comprimento, uma de cobre e outro de vidro, vemos que as correntes que passam por cada barra é diferente. A característica do condutor que é relevante nesta situação é chamada de resistência. Defi nimos resistência entre dois pontos quaisquer de um condutor, aplicando uma diferença de potencial entre os pontos e medindo a corrente resultante. A resistência R é, então,
A unidade da resistência é volt por ampère, A ocorrência desta combinação é tão frequente, que se denomina ohm (Ω), assim,
71
Corrente e resistência
Um elemento, cuja sua função num circuito é fornecer uma certa resistência à corrente elétrica, é chamado de resistor. A fi gura 4 mostra alguns resistores comumente usados. Representamos um resistor em um diagrama do circuito pelo símbolo .
Em muitos materiais, a resistência não depende da voltagem nem da corrente. Estes materiais são chamados de materiais ôhmicos. Nos materiais ôhmicos, a queda de potencial num segmento de condutor é proporcional à corrente. A resistência de um fi o condutor é proporcional ao comprimento do condutor e inversamente proporcional à área da seção reta:
A constante de proporcionalidade é a resistividade do material condutor. A unidade SI de resistividade
Além do comprimento e da espessura do condutor, a resistência elétrica também está sujeita ao material utilizado no condutor, conforme podemos ver na tabela 2. A resistividade pode variar de material para outro por dois motivos:
1. O número de elétrons livres varia para cada material (tabela 2).2. Cada material tem estrutura diferente (tamanho e forma de distribuição dos
átomos), que determina o espaço e a forma para o movimento do elétrons livres (a estrutura dos matérias será melhor vista no curso de física da matéria condensada) .
MaterialResistividade ρa 200C (Ω.m)
n = Concentração de elétrons livres por cm3.
Coefi ciente detemperatura αa 200C (K-1)
Condutor Prata 1,6 x 10-8 5,8 x 1022 3,8 x 10-3
Cobre 1,7 x 10-8 8,5 x 1022 3,9 x 10-3
Prata 1,6 x 10-8 5,8 x 1022 3,8 x 10-3
Alumínio 2,8 x 10-8 6 x 1022 3,9 x 10-3
Tungstênio 5,5 x 10-8 6,3 x 1022 4,5 x 10-3
Níquel 7,8 x 10-8 9 x 1022 6,0 x 10-3
Ferro 10 x 10-8 5,0 x 10-3
Platina 10 x 10-8 3,9 x 10-3
Chumbo 22 x 10-8 4,3 x 10-3
Nichrome 100 x 10-8 0,4 x 10-3
SemicondutoresCarbono 3500 x 10-8 -0,5 x 10-3
Germânio 0,45 -4,8 x 10-3
Silício 640 -7,5 x 10-3
IsolantesMadeira 108 - 1014
Vidro 1010 - 1014
Quartz 1016
Borracha 1013 - 1016
Tabela 2: Resistividade ρ e Coefi cientes de temperatura α.
Figura 4
FÍsiCa gEral iii
72
Exemplo 2Calcular as resistências, por unidade de comprimento, de um fi o de prata e de um fi o de nichrome de 0,5 mm de raio (dados da tabela 2)
Solução:Como e a área da seção reta de ambos os fi os são idênticas , assim,
Para a prata ( 81,6 10 .mρ −= × Ω ), temos,
Para o nichrome ( 8100 10 .mρ −= × Ω ), temos,
Exemplo 3Dado uma fi lme fi no de cobre de 100μm de espessura, 10 cm de largura e 20cm de comprimento percorrida por uma corrente de 1mA. Calcular a) qual a resistividade e b) estimar o campo elétrico E.
Solução:a) A área da seção reta é e a resistividade é dada por
b) Admitindo que o campo elétrico seja uniforme, então e , portanto,
Para metais a resistência aumenta com o aumento da temperatura. Um aumento da temperatura corresponde, principalmente, a um maior movimento desordenado dos elétrons livres. Deste modo, o intervalo de tempo entre um choque e o outro diminui, fazendo com que o número de choques entre os elétrons e os íons da rede aumente. Assim, um aumento da temperatura, aumenta a difi culdade de avanço dos elétrons livres, que corresponde a um aumento da resistência do material. Esta dependência da resistividade com a temperatura é quase linear dentro de uma faixa de temperatura, deste modo,
( )0 01 t tρ ρ α = + − .onde é a temperatura do material, é a temperatura de referência, geralmente tomada com sendo 20OC, é a resistividade do material à temperatura e α é o coefi ciente de temperatura. Os valores de e α para diversos materiais são mostrados na tabela 2.
Contrário ao comportamento dos metais, os semicondutores (ver tabela 2) apresentam o coefi ciente de temperatura α negativo, portanto menor resistência com o aumento da temperatura. Os portadores de carga, também elétrons, nos semicondutores são obtidos através de um aumento de temperatura.
A partir das propriedades da resistividade podemos classifi car os materiais como: Condutores: Materiais que apresentam até três elétrons de valência e apresentam muitos elétrons livres à temperatura ambiente e, portanto, possuem baixa resistência elétrica.Semicondutores: Silício, o Germânio, e outros, possuem a característica de apresentarem alta resistência sob determinadas condições e baixa resistência em outras. As propriedades
73
Corrente e resistência
desses materias são utilizadas para a fabricação de componentes eletrônicos como os diodos, os transistores, os circuitos integrados e os microprocessadores. Isolantes: Materiais que apresentam muitos elétrons de valência, com esta camada praticamente completa e estável. Assim, apresentam poucos elétrons livres à temperatura ambiente e, portanto, possuem alta resistência elétrica.Supercondutores: São os materiais que, sob determinadas condições como baixas temperaturas, apresentam resistência elétrica nula. Têm a grande vantagem de não apresentarem perdas térmicas na condução de corrente elétrica. A supercondutividade foi observada pela primeira vez em 1911 pelo físico holandês Kammerlingh Onnes. Ele resfriou o mercúrio até a temperatura do Hélio líquido (-273,15OC) e observou o efeito. O mecanismo da supercondutividade. Em 1972 John Bardeen, Leon Cooper e Robert Schrieffer fi zeram a proposta que os portadores de carga não são os elétrons individuais, mais sim pares de elétrons. Um elétron, ao move-se através do material, pode distorcer ligeiramente e localmente as cargas do material e, assim, deixa no seu rastro uma maior concentração de cargas positivas do que o normal. Se um segundo elétron estiver próximo, ele poderá ser atraído para esta região de maior concentração de cargas positivas, portanto temos uma corrente. Em 1986 J. Georg Bednorz e K. Alexander Muller obtiveram a supercondutividade utilizando uma cerâmica com óxido de cobre a uma temperatura mais alta de aproximadamente –238OC, abrindo novas perspectivas de materiais supercondutores. A supercondutividade tem sido muito pesquisada atualmente e já se tem notícia de se obter o fenômeno em cerâmicas de mercúrio a temperaturas de -150 OC.
6.3 Energia nos Circuitos Elétricos
a) b)
gás inerte
filamento
condutores
suporte de vidor
rosca
isolante
contatos
Figura 5
Quando esta corrente passa por um condutor, geralmente, há um aquecimento do mesmo e até emissão de luz. Este aquecimento pode acarretar a quebra do fi o, que em alguns casos é prejudicial, em outros casos é favorável, pois pode ser utilizada, para controlar a corrente, que é o caso de fusíveis. Vamos agora interpretar, de acordo com o modelo clássico, o processo de aquecimento nos condutores. Utilizaremos um modelo bem simples.. Em um segmento de fi o ab com corrente i (fi gura 5a), os elétrons livres estão sob a ação do campo elétrico, e portanto a uma força que os acelera na direção deste campo, fazendo que a energia cinética dos elétrons aumente. Com esse o movimento ocorrem diversos choques dos elétrons livres com os átomos da rede cristalina. Com a ocorrência
FÍsiCa gEral iii
74
dos choques, parte da energia cinética dos elétrons é transferida à rede cristalina, fazendo que ela vibre intensamente. Esse aumento de vibração é percebido macroscopicamente com aumento da temperatura do condutor, como visto em um fi lamento de uma lâmpada incandescente (fi gura 5b). O incremento de energia térmica no condutor através das colisões é o chamado de efeito Joule.
Usaremos o mesmo segmento ab do fi o, de comprimento L e área da seção reta A, conforme mostrado na fi gura 5a. Existe uma corrente i atravessando este segmento que tem uma determinada resistência R e uma diferença de potencial entre a e b. Se uma carga elementar atravessar o segmento de a para b, sua energia potencial diminuirá de
, portanto,
A taxa de dissipação de energia é portanto
Como é a corrente e como a variação de energia potência é igual a variação do trabalho realizado com sinal trocado , temos
Portanto a dissipação de energia por unidade de tempo é a potência P dissipada no resistor:
Sempre que há queda de potencial elétrico em um circuito elétrico, existe uma taxa de transferência de energia elétrica. Portanto esta potência pode ser transferida para um resistor, como vimos, ou, por exemplo, para um acumulador, ou para um motor. No caso do acumulador a energia surgirá sob a forma de energia química acumulada, no caso do motor, a energia aparecerá sob a forma de um trabalho mecânico produzido pelo motor.
Figura 6 Analogia mecânica de um circuito simples. As bolas são soltas de uma altura h sobre um plano inclinado e são aceleradas por um campo gravitacional até as bolas encontrarem um prego. Nas colisões as bolas transferem sua energia cinética para os pregos. Logo após uma colisão, a bola é novamente acelerada e novamente colide com outro prego. Em função das muitas colisões a velocidade de avanço das bolas no fi nal do plano é relativamente pequena. Uma pessoa faz trabalho sobre as bolas, levando–as da parte inferior até a superior. O plano inclinado com os pregos é o análogo do resistor em um circuito elétrico e a mão é a fonte de força eletromotriz.
Para mantermos uma corrente constante em um circuito, precisamos de um dispositivo que realize trabalho sobre os portadores de carga, movendo de um ponto de potencial mais baixo (terminal negativo) para outro de potencial mais alto (terminal positivo). Isto quer dizer, mantém uma diferença de potencial entre os seus terminais. Chamamos tal dispositivo de fontes de força eletromotriz, abreviadamente fem.Uma das fontes fem mais comuns é uma bateria. Geradores, células solares, células de combustível, termopilhas são outros exemplos de fem. A fi gura 6 mostra uma fonte fem em um circuito elétrico simples. A fem tem a função de manter uma diferença de potencial entre os terminais a e b.
75
Corrente e resistência
Podemos escrever a potência dissipada em função da resistividade. Como a
potência e resistência , temos
A relação entre a resistência e a resistividade é , onde L é o
comprimento e A é a área da seção reta. Portanto,
Isto é a potência dissipada é maior quando a área da seção reta aumenta. Isto é, com o aumento da espessura há um aumento da intensidade da corrente i, e conseqüentemente, um maior número de elétrons livres que se movimentam no interior do material, aumentando o numero de colisões. Logo, uma lâmpada de baixa potência tem um fi o mais fi no que uma de maior potência.
Como podemos explicar que para uma dada corrente, um fusível de fi lamento mais fi no queima e um mais grosso não queima.. Com a diminuição da espessura (fi gura 5a) a resistência no segmento aumenta, acarretando um aumento de tensão V (resistores em série serão discutidos na próxima seção). Sabemos a potência P é proporcional a , assim, um aumento em V acarrete um aumento da potência. Assim, este aumento da tensão aumenta o campo elétrico e aumenta a energia cinética dos elétrons livres, acarretando uma maior transferência de energia para a rede. Com o aumento da transferência de energia para a rede e a menor quantidade de material, o aquecimento obtido atinge rapidamente a temperatura de fusão do fi lamento do fusível.
Exemplo 4Um chuveiro tem uma potência de 5000W, para uma tensão de 120V. Calcule a resistência do chuveiro e a corrente. Quais as resistências e as correntes se o chuveiro tivesse uma potência de 4000W e 3000W?
Solução:
Como , temos para uma potência de 5000W,
A corrente pode ser determinada sabendo que V=RI,
Para 4000W,
Para 500W,
Podemos perceber que conforme a potência diminui, a resistência aumenta e a corrente diminui. Observando a tabela 1, veremos que os fi os ideais serão 4,621 mm Ø (AWG 5), 4,115 mm Ø (AWG 6) e 3,264 mm Ø (AWG 8) para 5000W, 4000W e 3000W, respectivamente.
FÍsiCa gEral iii
76
6.4. Combinação de Resistores
6.4.1 Resistores em Série
A fi gura 7 mostra dois resistores em série. Os dois resistores são atravessados pela mesma corrente. Como , a queda de potencial entre a e b é igual a e entre b e c é . Portanto, a queda de potencial entre os pontos a e c é dada por:
A resistência equivalente que proporciona a queda de potencial percorrida pela mesma corrente é calculada fazendo-se , então,
Assim, quando existem resistores em série ( igual a dois ou mais), temos
Figura 7 Dois resistores em série. A diferença de potência e a corrente é igual para os dois resistores.
Exemplo 5Dado o circuito da fi gura 7 e R1=10Ω, R2=10Ω, e Vac=12V, a) calcule a resistência equivalente dos resistores, b) a corrente I e c) as tensões Vab, e Vbc.
Solução:Para dois resistores em série, temos,
A corrente pode ser determinada, sabendo que onde I é a corrente que passa por todo o circuito e , assim,
Usando a mesma relação agora para cada resistor em separado e com (a mesma corrente passa pelos dois resistores), por conseguinte,
A soma e é igual a
6.4.2 Resistores em Paralelo
A fi gura 8 apresenta dois resistores em paralelo. A queda de potencial é a mesma para ambos resistores. A corrente se divide em duas partes, no resistor e no resistor , portanto,
77
Corrente e resistênciaComo , temos
A resistência equivalente é, portanto,
Quando temos resistores em paralelo, a resistência equivalente é dada por:
Figura 8 Dois resistores em paralelo. A corrente e a diferença de potencial V é igual para os dois resistores.
Exemplo 6Dado o circuito da fi gura 8 e R1=10Ω, R2=10Ω, e Vac=12V , a) calcule a resistência equivalente dos resistores, e b) as correntes I, I1, e I2 .
Solução:Para dois resistores em paralelo, temos,
A corrente pode ser determinada sabendo que onde , assim,
A corrente se divide entre os dois resistores, e como para ambos os resistores temos a mesma diferença de potencial, e usando a relação , temos
Podemos perceber que
FÍsiCa gEral iii
78
Exemplo 7Dado o circuito ao lado, a) calcule a resistência equivalente dos resistores, b) as correntes I, I1, I2 e I3, e c) a tensão Vab e Vbc. (R1=100Ω, R2=100Ω, R3=1000Ω e Vac=12V).
Solução:a) Os resistores R2 e R3 estão em paralelo, portanto
Os resistores R1 e Req23 estão em série, assim,
A corrente pode ser determinada sabendo que onde , assim,
b) A corrente .A queda de potencial no resistor é de , portanto a queda de potencial . A corrente se divide entre os dois resistores, e como para ambos os resistores temos a mesma diferença de potencial
, e usando a relação , temos
c) As quedas de potencial e (já calculado anteriormente).
6.4.3 Circuitos (uma malha e várias malhas)
Há muitos circuitos, como da fi gura 9, que não podem ser estudados pela simples substituição de resistores por outros equivalentes (resistores em paralelo e resistores em série). Para isso, duas regras gerais aplicam-se a este e a qualquer outro circuito:1. Quando se percorre uma malha fechada num circuito, a soma algébrica das variações de potencial é necessariamente nula. 2. Em qualquer nó do circuito, onde a corrente se divide, a soma das correntes que fl uem para o nó é igual à soma das correntes que saem do nó.
Estas são as regras de Kirchhoff. A primeira regra de Kirchhoff, a regra das
malhas, é uma implicação direta da conservação da energia. Se tivermos uma carga q num ponto do circuito onde o potencial seja V, a energia potencial desta carga é qV. Isto é, a variação líquida do potencial é necessariamente nula. Num circuito, quando um resistor é percorrido no mesmo sentido da corrente, existe uma queda de potencial igual a –IR. Se o resistor for percorrido no sentido contrário da corrente haverá um aumento do potencial de IR. Quando uma fonte eletromotriz (gerador ou uma bateria) for atravessada no mesmo sentido positivo da sua tensão, a variação do potencial será positiva, e negativa se percorrida no sentido contrário.
79
Corrente e resistência
A segunda regra de Kirchhoff, a regra dos nós, é decorrência da conservação da carga. Na fi gura 9, o nó b mostra as três correntes I, I1 e I2. Como a carga não é gerada, nem acumulada, no nó, a conservação da carga acarreta a regra dos nós, assim I = I1 + I2.
Figura 9
Vamos analisar o circuito da fi gura 9. Usando as regras de Kirchhoff podemos obter uma série de equações e então descobrir as correntes elétricas que fl uem no circuito. Como já vimos, podemos empregar a regra dos nós no ponto b e, encontramos,I = I1 + I2 A mesma relação encontrada no ponto b pode ser encontrada no ponto e.
Figura 10: Circuito da fi gura 9, mostrando a malha abcdefa (em sombreado a parte que não pertencente a esta malha). Potencial em função do caminho percorrido abcdefa.
Podemos aplicar a regra de malhas no percurso abcdefa no sentido horário do ponto a e voltando ao ponto a (ver fi gura 10). De a a c o potencial se mantêm constante. Entre c e d, como o resistor de 2Ω é percorrido no mesmo sentido da corrente I2, temos uma queda de potencial de -(2Ω) I2. Entre c e d, temos também uma queda de potencial no f.e.m. de -5V, pois o ele é percorrido no sentido contrário a da voltagem. De d a e o potencial se mantêm constante. Entre e e f temos mais uma queda de potencial -(3Ω)I . Entre f e a temos um aumento do potencial de +12V, pois aqui a f.e.m. é percorrida no sentido positivo da voltagem criada. Assim, temos,-(2Ω)I2 - 5V -(3Ω)I + 12V = 0
Se mudarmos o sentido horário para anti-horário, obteremos a mesma equação com todos os sinais contrários. Substituindo o resultado obtido pela regra dos nós (I = I1 + I2) na equação anterior, temos7V -(2Ω)I2 -(3Ω)(I1 +I2) = 07V -(3Ω)I1 -(5Ω)I2 = 0
Dividindo tudo por 1Ω7A -3I1 -5I2 = 0 (1)
FÍsiCa gEral iii
80
Figura 11: Circuito da fi gura 9, mostrando a malha abefa (em sombreado a parte que não pertencente a esta malha). Potencial em função do caminho percorrido abefa.
Percorremos a malha abefa no sentido horário do ponto a e voltando o ponto a (fi gura 11). Entre a e b o potencial se mantém constante. De b a e, temos uma queda de potencial de -(4Ω)I1. -(4Ω)I1 -(3Ω)I + 12V = 0
Como I = I1 + I2,-(4Ω)I1 -(3Ω)(I1 + I2) + 12V = 012V -(7Ω)I1 -(3Ω)I2 = 0
Dividindo tudo por 1Ω12A -7I1 -3I2 = 0 (2)
Para eliminar I2, multiplicando a equação (1) por -3 e a equação (2) por 5, assim, -21A +9I1 +15I2 = 060A -35I1 -15I2 = 0
Somando as duas equações, temos,39A -26I1 = 0I1=1,5A
Substituindo este valor na equação (2), obtemos12A -7(1,5A) -3I2 = 01,5A -3I2 = 0I2 = 0,5A
Como I = I1 + I2,I = 1,5A + 0,5A,
I=2,0AAssim,
I=2,0A I1=1,5A I2 = 0,5A Vocês já devem estar desconfi ados que este não é o único método de solução. Podemos fazer outras substituições ou mesmo utilizar a malha bcdeb e o resultado fi nal será o mesmo.
Para fazerResolva o circuito da fi gura 9, utilizando a malha bcdeb e a malha befab. Faça os gráfi cos do potencial em função do caminho (não esqueça que quando um resistor é percorrido no sentido contrario da corrente temos um aumento do potencial)
81
Corrente e resistência
6.5 Circuitoes RC
Um circuito com um resistor e um capacitor é um circuito RC. A corrente neste circuito varia com o tempo. Um exemplo de circuito RC é o de uma lâmpada de fl ash de máquinas digitais.
Em um circuito RC (fi gura 12), uma bateria carrega um capacitor através de um resistor em série. Depois de carregado, o capacitor se descarrega através de uma lâmpada, produzindo um clarão que ilumina a cena. O objetivo é obter a carga e a corrente em função do tempo na carga e descarga de um capacitor através do circuito.
6.5.1 Como carregar um capacitor
Vamos admitir que o capacitor esteja inicialmente descarregado. Então, ligamos a chave S ao terminal a, introduzimos a fem , e assim, carregamos o capacitor através do resistor R. Aplicando a lei das malhas ao circuito da fi gura 13, percorrendo-o no sentido horário. Teremos
Como
Esta é a equação diferencial que descreve a variação da carga Q com o tempo. Temos que descobrir uma função Q(t) que satisfaça esta equação diferencial e também satisfaça a condição de que o capacitor esteja inicialmente descarregado . A solução é
A solução satisfaz a condição inicial para qual e em que é a carga fi nal (máxima). Podemos observar na fi gura 14a, que a carga inicial é igual a zero. Ligando a chave s ao terminal a aparecerá uma diferença de potencial e o capacitor começa a ser carregado. Na mesma fi gura 14a e para um tempo muito longo, vemos que valor de Q tendo para o valor máximo, chamado de carga de equilíbrio .
Figura 12: Quando a chave S esta ligada em a, o ca-pacitor é carregado através do resistor R. Quando a chave S está ligada em b, o capacitor é descarregado.
Figura 13 - Carga do Capacitor
Figura 14
FÍsiCa gEral iii
82
A corrente em função do tempo pode ser obtida usando a relação :
Conforme a fi gura 14b, a corrente inicial é . Como 0 tempo o valor da corrente diminui, mostrando que o capacitor esta sendo carregado e tem já um pouco de carga. Para um tempo muito longo a corrente tende a zero, pois o capacitor já está totalmente carregado. O produto RC, que aparece nas equações da carga e da corrente em função da temperatura, tem as dimensões de tempo. Este produto RC é chamado de constante de tempo capacitiva do circuito, que é simplesmente chamado de τ. Quando o tempo
, temos que a carga
onde, como já vimos, é a carga de equilíbrio do capacitor, correspondente a um tempo muito longo.
6.5.2 Descarga de um capacitor
Com o capacitor carregado ligamos a chave S ao terminal b (ver fi gura 15). O capacitor estará ligado diretamente o resistor . A corrente é provocada pelo movimento da carga de uma placa para a outra, passando pelo resistor. A corrente inicial é
A diferença de potencial inicial no capacitor é , portanto,
Aplicando a lei das malhas ao circuito da fi gura 15, percorrendo-o no sentido horário. Teremos
Com o tempo a carga do capacitor diminui. Se a corrente tiver o sentido horário, ela mede a taxa de diminuição da carga do capacitor. Portanto,
. Substituindo na equação anterior, temos,
O que queremos descobrir é a equação . Para isso faremos a seguinte modifi cação:
Figura 15
Figura 16
83
Corrente e resistênciaIntegrando o lado esquerdo de até , e do lado direito de 0 até um tempo ,
Aplicando a função exponencial em ambos os lados e ajeitando, temos
O gráfi co da carga em função do tempo pode ser vista na fi gura 16a.A corrente em função do tempo pode ser obtida usando a relação :
Esta equação obedece a condição que quando , a corrente inicial é , conforme discutimos anteriormente (ver fi gura 16b). A constante de tempo
RC aparece novamente nas equações da carga e da corrente em função da temperatura. RC é chamado de τ.
Exercícios
1) Uma corrente de 1,0 A percorre um resistor durante 100 segundos. a) Quantos coulombs e b) quantos elétrons passam através da seção transversal do resistor neste intervalo.
2) A corrente num feixe de elétrons de um terminal de vídeo é de 200μA. Quantos elétrons chegam a tela por segundo.
3) Um fi o condutor tem um diâmetro de 2,0 mm, um comprimento de 5,0m e uma resistência de 124,2 mΩ. Qual a resistividade do material? Compare o valor da resistividade com a tabela 2 e indique qual é o material?
4) Uma bobina de 10 cm de diametro é formada por 200 voltas de um condutor de cobre de 0,4547 mm Ø(AWG 25 – tabela 1) em uma única camada. Determine a resistência da bobina.
5) A resistência dos enrolamentos de um motor elétrico parada é igual a 20 Ω a 20oC. Após algumas horas de funcionamento a resistência dos enrolamentos aumenta. Desprezando as alterações nas dimensões dos enrolamentos, determine a temperatura dos enrolamentos quando a resistência tem o valor de 40 Ω.
6) Um determinado condutor tem uma resistência R. O que acontece com a resistência de se duplicarmos o comprimento e o duplicarmos o diâmetro do condutor?
7) O cobre e o alumínio são usados para linhas de transmissão de alta voltagem. A resistência por unidade de comprimento é 0,323Ω/km. Calcule para o cobre e o alumínio a massa por metro de cabo. As densidades do cobre e do alumínio são 8960 e 2700kg/m3, respectivamente.
8) Os faróis de um carro consomem cerca de 10 A do alternador de 12 V, que é acionado pelo motor. Suponha que o alternador seja 80 por cento efi ciente, calcule a potência fornecida pelo alternador.
FÍsiCa gEral iii
84
9) Um ferro elétrico tem uma resistência de 18 Ω e opera sob uma tensão de 120 V. Qual é a potênciado ferro elétrico. Um kW.h custa 0,10 reais. Qual é o custo de 5 horas de ferro elétrico ligado?
10) A fi gura abaixo mostra um circuito contendo um amperímetro e duas chaves S1 e S2. Ache o valores marcados no amperímetro quando a) S1 e S2 estão abertas, b) S1 esta fechada e S2 aberta, c) S1 esta aberta e S2 esta fechada e d) S1 e S2 estão fechadas.
11) Na fi gura abaixo, determine as resistências equivalentes entre os pontos a) A e B, b) A e C e c) A e D
12) A fi gura abaixo mostra duas baterias de 1,5V com uma pequena resistência interna r (desprezível), que estão ligadas a um resistor de 4 Ω, em duas confi gurações. Ache, entre as duas confi gurações, a que tem o maior valor de energia térmica dissipada?
13) Dado o circuito abaixo, calcular a corrente, a potência fornecida ou absorbida em cada fonte de fem e a taxa de aquecimento pelo efeito Joule em cada resistor.
85
Corrente e resistência
14) Um capacitor, um resistor e uma bateria estão ligados em série. Se R duplicar, como se altera a) a energia no circuito, b) a taxa de armazenamento de energia e c) o tempo necessário para a energia atingir metade do seu valor fi nal?
15) No circuito abaixo calcular a corrente em cada resistor, a diferença de potencial entre os pontos a e b e a potência fornecida por cada bateria.
16) Um resistor de 3 MΩ e um capacitor de 1,0 μF estao ligados em um circuito de uma única malha com uma fonte de fem de 4.0V. Após 1s da conexão ter sido feita, a) qual é a taxa de carga do capacitor, e b) qual a taxa de energia sendo armazenada no capacitor?
17) Em um circuito RC-série, a diferença de potencial entre as placas de um capacitor de 2,0μF cai para um quarto do seu valor inicial em 2s. Qual a resistência R do círculo?
18) Uma lâmpada de fl ash opera com um bateria de de 3,7V, que carrega um capacitor de 15 μF, que descarrega através de um fi lamento de lâmpada de 10 Ω. Que energia é descarregada na lâmpada pelo capacitor?
FÍsiCa gEral iii
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Anotações
87
Anotações
Corrente e resistência
FÍsiCa gEral iii
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Anotações
89
Campo Magnético7
7.1 Campo Magnético e Força Magnética
7.2 linhas de Campo e Fluxo Magnético
7.3 Movimento de partículas Carregadas em um
Campo Magnético
7.4 Força Magnética sobre um Condutor transportando Corrente
7.5 Força e torque sobre uma Espira de Corrente
FÍsiCa gEral iii
90
7 CAMPO MAGNÉTICO
Introdução
O magnetismo, e as forças magnéticas advindas das interações magnéticas, estão presentes de forma muito marcante em nossas vidas. De fato, a força magnética está presente em muitos dos nossos aparelhos eletro-eletrônicos de uso cotidiano, tais como lavadoras de roupa, televisores, microcomputadores, telefones celulares, aparelhos de MP4, etc. Contudo, ela pode ser observada e experimentada principalmente quando manuseamos um ímã de geladeira. Nesse experimento simples podemos facilmente constatar que o ímã de geladeira, ou ímã permanente, atrai outros objetos metálicos não imantados e também atrai ou repele outros ímãs permanentes. É fácil verifi car também que a ação de atritar um ímã permanente e uma agulha de costura faz com que mesma fi que imantada, o que nos possibilita construir artesanalmente uma bússola, que é um conhecido dispositivo de orientação geográfi ca. A própria Terra, por sua vez, também é um ímã que possui características magnéticas semelhantes às dos ímãs de geladeira. De fato, o alinhamento da agulha imantada de uma bússola com o campo magnético terrestre é o que nos permite utilizá-la como equipamento de orientação geográfi ca.
De um ponto de vista muito simples, sem nos preocuparmos com as origens do magnetismo, afi rmamos que o magnetismo pode ser entendido em termos da existência de polos magnéticos que podem atrair-se ou repelir-se mutuamente. A experiência cotidiana nos ensina que se tomarmos um ímã permanente em forma de barra e o deixarmos livre para girar no espaço, uma de suas extremidades apontará para o norte. Essa extremidade denomina-se Polo Norte (polo N), enquanto a outra extremidade do ímã permanente denomina-se Polo Sul (polo S). Tal qual em nossos estudos de eletricidade estática, nos quais aprendemos que cargas de sinais diferentes se atraem, enquanto cargas de sinais iguais se repelem mutuamente; no estudo de magnetismo verifi camos que polos de naturezas distintas se atraem, enquanto polos de mesma natureza se repelem mutuamente. Voltando a questão do magnetismo terrestre, constatamos que o polo Sul magnético da Terra está próximo de seu polo norte geográfi co, já que o polo norte da bússola deve ser atraído por um pólo de sinal oposto, que nesse caso só pode ser o polo Sul magnético da Terra. A Figura 1 ilustra a Terra com seus polos em destaque, assim como as linhas de campo magnético terrestre. Podemos observar na Figura 1 que a linhas de campo entram pelo polo Sul magnético da Terra (polo norte geográfi co) e saem pelo polo Norte magnético (polo sul geográfi co), perfazendo um circuito fechado. Na próxima seção discutiremos com maiores detalhes os conceitos relacionados a campo magnético e a linhas de campo magnético.
Figura 1 – Figura ilustrativa do campo magnético terrestre. As linhas de campo magnético entram no polo Sul magnético (Norte geográfi co) e saem no polo Norte magnético (Sul geográfi co), perfazendo um circuito fechado. A agulha imantada se alinha ao campo magnético terrestre.
91
Campo Magnético
A despeito do fenômeno do magnetismo já ser conhecido e utilizado pela humanidade há milênios, sua origem se baseia em fenômenos puramente quânticos que só podem ser explicados sob a ótica da Mecânica Quântica. Contudo, podemos afi rmar que a natureza fundamental do magnetismo está relacionada à interação produzida por cargas elétricas que se movem. Aqui reside uma grande diferença entre magnetismo e eletricidade, já que os fenômenos puramente elétricos advêm da interação entre cargas que estão tanto em repouso quanto em movimento. Ou seja, as forças magnéticas só atuam em cargas que estão se movimentando. A primeira evidência experimental entre o magnetismo e o movimento de cargas elétricas foi observada em 1819 pelo cientista dinamarquês Hans Christian Oersted. Ele verifi cou que a orientação de uma agulha imantada era desviada (defl etida) por um fi o colocado próximo a agulha e conduzindo uma corrente elétrica, e que o desvio dependia do sentido da corrente no fi o. Alguns anos mais tarde Michel Faraday, na Inglaterra, e Joseph Henry, nos Estados Unidos da América, descobriram que um ímã se movimentando próximo a uma espira condutora podia produzir corrente elétrica na bobina. Tais evidências experimentais lançaram as bases para a unifi cação das ciências do magnetismo e da eletricidade, que até então eram estudadas separadamente. Mais adiante veremos que os trabalhos atribuídos a James Clark Maxwell culminaram na proposição dos princípios unifi cadores do eletromagnetismo e da ótica, dando lugar a um dos grandes ramos da Física, denominado Eletrodinâmica.
Como veremos, as chamadas Equações de Maxwell sintetizam de forma clara e elegante toda a Eletrodinâmica. Porém, voltando ao nosso assunto principal, o magnetismo, podemos afi rmar que hoje em dia sabemos que as forças magnéticas entre dois corpos são produzidas pelo movimento coordenado de alguns dos elétrons existentes no interior dos átomos que compõem esses corpos. Esse movimento coordenado de elétrons é observado, por exemplo, no interior de corpos imantados, tais como os ímãs permanentes. Em corpos onde esta coordenação de movimentos eletrônicos não é observada, também não se observam efeitos magnéticos macroscópicos.
7.1 Campo Magnético e Força Magnética
Para introduzirmos o conceito de campo magnético em nossos estudos da forma mais clara possível, vamos fazer uma comparação entre o conceito de campo elétrico e o conceito de campo magnético. Com base nas afi rmações que fi zemos até aqui sobre os fenômenos magnéticos observados em nosso cotidiano, apresentamos o quadro abaixo:
Campo Elétrico Campo Magnético Uma distribuição qualquer de cargas
elétricas em repouso cria um campo elétrico E no espaço em torno da distribuição.
Uma carga móvel ou uma corrente elétrica, além de criarem um campo elétrico em suas vizinhanças, também criam um campo magnético em torno destas vizinhanças.
O campo elétrico exerce uma força EqFE = sobre qualquer carga que
esteja presente no campo.
O campo magnético exerce uma força F sobre qualquer carga em movimento ou corrente elétrica que esteja presente nesse campo.
Podemos fazer dois questionamentos importantes quando analisamos as afi rmações contidas no quadro acima, ou seja, devemos responder a duas questões básicas:
FÍsiCa gEral iii
92
1a. Considerando a existência de um campo magnético em uma dada região do espaço, como podemos descrever a força que ele exerce sobre uma carga em movimento ou sobre uma corrente elétrica que fl ui nessa região do espaço?
2a. Como determinar os campos magnéticos criados por cargas em movimento ou correntes elétricas em uma dada região do espaço?
Por hora, nos ocuparemos da primeira questão, que se refere em como determinar a força magnética. Para tanto, precisamos fazer uma análise prévia da natureza do campo magnético, ou seja, suas características básicas. O campo magnético, assim como o campo elétrico, é um campo vetorial. Ele associa uma grandeza vetorial, que possui módulo, direção e sentido, a um dado ponto no espaço. Vamos usar o símbolo B para designar o campo magnético, analisando alguns de seus aspectos, colhidos de experimentações cotidianas ou observados em laboratório. Em cada ponto do espaço a direção de B é dada pela direção da agulha na bússola e o sentido aponta para o norte da agulha. Como afi rmamos anteriormente, o campo magnético da Terra, assim como de qualquer outra corpo magnetizado, entra pelo polo Sul magnético e sai pelo polo Norte magnético, perfazendo um circuito fechado. Esse é um aspecto diferente do campo magnético em relação ao campo elétrico, que sempre se origina em uma carga positiva e termina em uma carga negativa. Esta diferença marcante entre esses dois campos vetoriais nos leva a inferir que na natureza, em função dos campos magnéticos sempre perfazerem um circuito fechado, não existem Monopolos Magnéticos.
A experimentação também nos leva a desvendar as principais características da força magnética que atua sobre uma carga elétrica em movimento. O módulo da força é diretamente proporcional à intensidade do campo magnético da região onde a carga se movimenta, assim como ao valor da carga em movimento. Um comportamento bem diferente da força magnética em relação a força elétrica reside no fato de que esta depende da velocidade da carga em movimento e que também não atua na mesma direção do campo magnético B . De fato, a força magnética F atua sempre em uma direção simultaneamente perpendicular a B e a direção da velocidade v
. Ou seja, ela atua em uma direção sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores v
e B . Concluímos então que a força magnética F que age sobre uma carga elétrica que se move com uma certa velocidade v
em uma dada região do espaço onde existe um campo magnético Bpossui módulo, direção e sentido dados por
BxvqF = (1).
Lembramos que por tratar-se de um produto vetorial (equação 1), a direção de F pode ser encontrada aplicando-se a regra da mão direita, enquanto seu sentido vai depender do sinal da carga, ou seja, se ela é positiva ou negativa. Como a equação 1 é válida tanto para cargas positivas como para cargas negativas, o módulo da força elétrica fi ca dado por
φvBsenqF = (2),
sendo φ o ângulo entre os vetores v
e B . A despeito da equação 2 nos fornecer o módulo da força elétrica através do cálculo do produto vetorial, podemos escrever uma expressão matemática para o módulo da força magnética F de um modo equivalente interpretando o produto Bsenφ como o componente de B perpendicular a v
, ou seja, B⊥. Com essa notação, o módulo da força fi ca dado por
F=|q|vB⊥ (3).
93
Campo MagnéticoAnalisando a equação 1 vemos que as unidades de B no SI são equivalentes a
mCsN ⋅⋅ /1 ou mAN ⋅/1 . Essa unidade denomina-se tesla (T) em homenagem a Nicola Tesla (1857-1943).
Quando uma partícula carregada se move em uma região do espaço onde existe simultaneamente um campo magnético e um campo elétrico, ambos os campos exercem forças sobre a partícula. A soma vetorial dessas forças resulta na força resultante, denominada Força de Lorentz, representada na forma
)( BxvEqF += (4).
Exemplo 1:O campo magnético da Terra, em um dado ponto situado sobre o polo Norte
geográfi co, possui um módulo de 10,0 x 10-4 T e está dirigido para baixo e para o norte, fazendo um ângulo de 80o com a horizontal (como o módulo e a direção do campo magnético terrestre variam de lugar para lugar, os valores apresentados são valores aproximados para um ponto a cerca de 42o de latitude norte). Um próton de carga elementar e = 1,6 x 10-19 C está em movimento horizontal na direção norte, com velocidade v = 107 m/s. Calcule a força magnética sobre o próton.
Figura 2 – Força magnética sobre um próton que se move para o norte sob a ação do campo magnético terrestre em um ponto onde a inclinação do vetor campo magnético com relação a horizontal e a direção
norte é de 80o.
Solução:Lembremos, primeiramente, que o polo Norte geográfi co quase coincide com
o pólo Sul magnético. Por isso o campo magnético está dirigido para baixo, ou seja, está entrando no pólo Norte geográfi co terrestre. A fi gura 2 ilustra a situação descrita no enunciado do Exemplo 1. A força magnética é perpendicular ao plano formado pelos vetores v e B , e segundo a regra da mão direita está direcionada na direção leste-oeste, no sentido oeste. Usando a equação 2, o módulo da força magnética é dado por
F = qvBsenφ = (1,6 x 10-19 C)(107 m/s)(10x10-4 T)(0,984) = 15,74 x 10 -15 N
Vamos resolver o exemplo utilizando os vetores unitários. Escolhendo a direção x para leste e y para norte, a direção z será a vertical apara cima. Neste caso, o vetor velocidade só tem componente vetorial na direção y, enquanto o vetor campo magnético possui três componentes vetoriais, ou seja: Bx = 0, By = Bcos 80o = 1,73 x 10-4 T e Bz = -Bsen 80o = - 9,84 x 10-4 T. O vetor campo magnético fi ca dado por
B = 0 T i + 1,73 x 10-4 T j – 9,84 x 10-4 T k
Utilizando a equação 1, escrevemos a força magnética na formaBxvqF = = (1,6 x 10-19 C) (10-7 m/s j ) x (0 T i + 1,73 x 10-4 T j – 9,84 x 10-4 T k )
= -15,74 x 10-15 N i
FÍsiCa gEral iii
94
7.2 Linhas de Campo e Fluxo Magnético
Qualquer campo magnético pode ser representado por linhas de campo magnético que, de modo semelhante às linhas de campo elétrico, são desenhadas de tal forma que a linha que passa em cada ponto do espaço seja tangente ao vetor campo magnético B . Vale lembrar que como B só tem uma direção e um sentido em cada ponto, as linhas de campo magnético não podem se interceptar ou se cruzar. Além disso, quanto mais agrupadas estiverem essas linhas em uma dada região do espaço, maior será a intensidade do campo magnético B nessa região específi ca. As linhas de campo magnético, diferentemente das linhas de campo elétrico, que apontam na mesma direção da força elétrica, não guardam uma relação simples e direta com a direção da força magnética que atua sobre uma partícula carregada que se mova na região do campo magnético B . A equação 1 nos revela que, a despeito da força magnética ser sempre ortogonal ao campo magnético B , a direção desta força também depende da direção do vetor velocidade da carga elétrica que se move na região do campo magnético B .
Podemos também defi nir o fl uxo magnético fazendo uma análise comparativa deste com o fl uxo elétrico através de uma superfície gaussiana. Podemos dividir qualquer superfície fechada em elementos de área Ad , e também determinar a componente vetorial de B perpendicular a esse elemento. Neste caso, o fl uxo magnético que atravessa um elemento Ad fi ca defi nido na forma
cosBd B dA B dA B d Aϕ⊥Φ = = = ⋅
(5).
O fl uxo magnético total através de toda a superfície gaussiana será então a soma das contribuições de todos os elementos de área individuais, ou seja
∫ ⋅=Φ AdBB (fl uxo magnético através da superfície) (6).
A unidade SI do fl uxo magnético denomina-se weber, em homenagem ao físico alemão Wilhem Weber (1804-1891), sendo que:
1 Wb = 1 T.m2 = 1 N.m/A.
A Figura 3(a) ilustra o comportamento das linhas de campo magnético de um ímã permanente contido em uma superfície gaussiana. Essas linhas de campo magnético geradas pelo ímã podem ser facilmente visualizadas se espalharmos limalha de ferro nas vizinhanças de um ímã permanente, como o ilustrado na Figura 3(b). Quando analisamos o fl uxo magnético através da superfície gaussiana representada na Figura 3(a), percebemos que a mesma quantidade de fl uxo (ou de linhas de campo magnético) que entra em uma das extremidades da superfície fechada, sai na outra extremidade. Ou seja
0=⋅=Φ ∫ AdBB
(fl uxo magnético através da superfície fechada) (7).
Como o fl uxo magnético total nessa superfície gaussiana (assim como em qualquer outra que conseguirmos imaginar!) é nulo, esse resultado nos indica que as linhas de campo magnético devem sempre representar circuitos fechados. Diferentemente do caso das linhas de campo elétrico que sempre começam e terminam em uma carga, as linhas de campo magnético nunca apresentam pontos extremos, pois tais pontos indicariam a existência de monopolos magnéticos.
95
Campo Magnético
imã reto
S N
B
superfíciegaussiana
N S
Figura 3 – (a) Linhas de campo magnético de um ímã permanente contido em uma superfície gaussiana fechada. (b) Visualização experimental, empregando-se limalha de ferro, das linhas de
campo magnético criadas em torno de um ímã permanente. N – polo Norte e S – polo Sul.
Exemplo 2:Um plano com área de 5,0 cm2 está posicionado em um campo magnético uniforme horizontal que fl ui na direção de x positivo. O ângulo do vetor Ad que defi ne o elemento de área plano faz um ângulo φ de 30o com o vetor campo magnético, como ilustra a fi gura 4. Sabendo que a intensidade do campo magnético que atravessa o plano é de 1,5 T, calcule o fl uxo magnético através do plano.
Figura 4 – área plana em um campo magnético BSolução:Vamos utilizar a equação 6 na resolução deste exemplo, lembrando que φ e B permanecem constantes em todos os pontos sobre a superfície do plano. Assim,
4 2 4
cos30 cos30
(1,50 )(5,0 10 )(cos30 ) 6,49 10
o oB
o
B d A B dA BA
T x m x Wb− −
Φ = ⋅ = = =
= =
∫ ∫
7.3 Movimento de Partículas Carregadas em um Campo Magnético
Empregando corretamente a equação 1, podemos estudar, com base da correta aplicação das Leis de Newton, o movimento de partículas carregadas, tais como elétrons, prótons e íons, submetidas à ação de campos magnéticos externos. Analisando cuidadosamente a equação 1, percebemos que a força magnética age sempre em uma direção perpendicular ao plano formado pelos vetores v
e B , ou seja, ela é uma força lateral, que não altera o módulo do vetor velocidade da partícula e que faz um ângulo de 90o com o mesmo. Ou seja, uma partícula carregada que se move em uma região onde só existe campo magnético tem somente a direção de seu vetor velocidade alterada, enquanto o módulo do vetor velocidade permanece sempre constante. A fi gura 5 ilustra a situação
FÍsiCa gEral iii
96
na qual um elétron, com carga elementar –e, se move em uma dada região do espaço sob a ação de um campo magnético uniforme B com velocidade v
. Comparando a situação especifi cada na fi gura 5 com a discussão relacionada ao movimento circular uniforme, vemos que a trajetória da partícula é circular e sua aceleração centrípeta é v2/R. Ou seja, uma partícula carregada que se movimenta em um campo magnético uniforme descreve um movimento circular uniforme na região do campo. De acordo com a segunda lei de Newton temos,
2
| | vF q vB mR
= = (8),
sendo m a massa do elétron. Como a partícula carregada se movimentando em um campo magnético uniforme descreve um movimento circular uniforme, a velocidade angular pode ser calculada como segue
| | | |v q B q BvR mv m
ω = = =
(9).
Figura 5 – representação esquemática de um elétron que se move com velocidade de módulo constante | v | e uma região espaço onde existe um campo magnético B . A força magnética, F , é
centrípeta e simultaneamente perpendicular aos vetores v
e B .
Exemplo 3:O magnetron dos fornos de microondas é um dispositivo eletrônico que emite ondas eletromagnéticas em seu interior, com freqüências em torno de 2,45 GHz, que são fortemente absorvidas por moléculas de água, causando o aquecimento dos alimentos. Determine o módulo do campo magnético necessário para que elétrons de movam em órbitas circulares com essa freqüência, e a velocidade angular dos elétrons nesta órbita.
Solução:
Usando a equação 8 podemos escrever| |
mvBq R
= . Como Rv
=ω , temos
31 92
19
2 (9,11 10 )(2 )(2,45 10 ) 8,8 10| | | | (1,6 10 )m m f x kg x HzB x Tq q x Cω π π−
−−= = = =
A velocidade angular dos elétrons pode ser encontrada através da equação ω = 2πf, ou
utilizando a equação 9 como segue19 2
10 131
| | | | (1,6 10 )(8,8 10 ) 1,5 10(9,11 10 )
v q B q B x C x Tv x sR mv m x kg
ω− −
−−= = = = =
97
Campo Magnético
7.4 Força Magnética Sobre um Condutor Transportando Corrente
Vamos analisar o que acontece com um condutor elétrico, situado em uma região do espaço onde existe um campo magnético B , e que transporta uma dada corrente elétrica I. A fi gura 6 ilustra tal situação para um dado condutor de comprimento L e volume AL, que contém um número de cargas igual a nAL, sendo n o número de cargas por unidade de volume. Os pontos da fi gura representam o campo magnético, que emerge (sai da folha) na direção perpendicular ao plano da folha. A força total sobre todas as cargas que se movimentam nesse segmento possui módulo dado por
( )( ) ( )( )F nAL qvB nqvA LB= = (9).
A densidade de corrente que fl ui no condutor e dada por J = nqv e ao produto JA nos fornece a corrente total I que fl ui no condutor. Assim, a equação 9 pode ser reescrita na forma
ILBF = (10).
Observando a fi gura 6 notamos que a força magnética é perpendicular tanto ao condutor quanto ao campo magnético. Representando o segmento do condutor pelo vetor L , a força que atua sobre um condutor transportando corrente fi ca dada por
BxLIF = (11).
Devemos observar que o sentido da força vai depender da direção da corrente elétrica. Na fi gura 4, por exemplo, se o sentido da corrente elétrica for invertido, o sentido da força F também será invertido.
Figura 6 – Força magnética que atua sobre um condutor transportando corrente elétrica.
Exemplo 4:A barra de cobre ilustrada na fi gura 7 abaixo conduz uma corrente elétrica de 10,0 A, da esquerda para a direita, em uma região espaço onde existe um campo magnético de 1,5 T, que faz um ângulo θ de 30o com a horizontal. Determine o módulo, direção e sentido da força magnética que atua sobre uma seção de 1,0 m da barra.
Figura 7 – Barra de cobre transportando uma corrente elétrica em uma região do espaço onde existe um campo magnético B que faz um ângulo de 30o com a horizontal.
FÍsiCa gEral iii
98
Solução:Usando a equação 10 podemos encontrar o módulo da força na forma
F = iLBsenθ = (10,0 A)(1,0 m)(1,5 T)(0,5) = 7,5 NComo se trata de um produto vetorial, sabemos que a direção da força é perpendicular ao plano formado pelos vetores B e L .Alternativamente, podemos utilizar o sistema de coordenadas Cartesiano desenhado na fi gura e escrever estes vetores em termos de seus componentes vetoriais e dos vetores unitários i , j e k . Ou seja,
L = (1,00 m) i e B = (1,5T)(cos30o) i + (1,5T)(sen30o) jLogo
BxLIF = = (10,0A) [(1,0 m) i ] x [(1,5T)(cos30o) i + (1,5T)(sen30o) j ] = 7,5N k
7.5 Força e Torque Sobre uma Espira de Corrente
Quando um condutor, com o formato de uma espira fechada, é submetido à ação de um campo magnético B
, um torque externo age sobre essa espira. Vamos então encontrar a força total e o torque total sobre um condutor em forma de espira (circuito fechado). Como exemplo, estudaremos uma espira de corrente retangular disposta em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme, como ilustrado na fi gura 8. A fi gura 8(a) ilustra uma espira retangular de lados a e b e linha normal (paralela ao eixo x – fi gura 8(b)). O campo magnético uniforme está direcionado perpendicularmente à normal, o plano da espira faz um ângulo φ com a normal e a espira conduz uma corrente elétrica I no sentido anti-horário.
As forças que incidem sobre os lados de comprimento a da espira se anulam aos pares. Os lados de comprimento b, por sua vez, formam um ângulo de 90o-φ com a direção de B . O módulo das forças - F e F , cujas linhas de ação estão sobre o eixo Oy, são dados por
F = IbBsen(90o-φ) = IbBcosφ (12).
Como as forças que atuam sobre os lados de comprimento b também se anulam aos pares, concluímos que a força total sobre uma espira de corrente em um campo magnético uniforme é igual a zero. Todavia, o torque resultante na espira, advindo da ação das forças sobre os lados de comprimento b, que estão dispostas sobre linhas diferentes, não é nulo. O torque resultante, por sua vez, fi ca dado por
τ = 2F(b/2)senφ = (IBa)bsenφ = IBAsenφ (13),
sendo A = ab a área da espira. Como podemos perceber o torque é máximo quando φ = 90o (fi gura 8(b)) e é nulo quando φ = 0o (fi gura 8(c)). Se defi nirmos o momento de dipolo magnético ou momento magnético na forma
µ = IA (14),
podemos representar o torque sobre uma espira de corrente em um campo magnético na forma de um produto vetorial, como segue
Bxµτ = (15).
99
Campo Magnético
Figura 8 – (a) forças magnéticas atuando sobre uma espira que conduz uma corrente elétrica disposta em um campo magnético. (b) o torque é máximo quando a normal a espira é perpendicular ao vetor campo magnético B . (c) quando a normal a espira a paralela a B a torque é nulo.
Quando um dipolo magnético muda de orientação em um campo magnético, o campo realiza trabalho sobre ele. De fato, para um dado deslocamento infi nitesimal dφ, o campo realiza um trabalho τdφ, que resulta em uma variação na energia potencial do sistema. A energia potencial é mínima quando µ e B são paralelos ou antiparalelos (situação na qual o torque é nulo). Fazendo uma analogia direta entre as interações de um dipolo elétrico e o campo elétrico e de um dipolo magnético e um campo magnético, podemos expressar a energia potencial de um dipolo elétrico em uma campo magnético uniforme na forma
φµµ cosBBU −=⋅−= (16).
U é nula quando o momento de dipolo magnético é perpendicular ao campo magnético.
Exemplo 5:Uma espira de corrente retangular, similar àquela ilustrada na fi gura 8(a), com a = 5,0 cm e b = 8,0 cm, conduz uma corrente elétrica I = 5,0 A no sentido anti-horário. A espira está um em campo magnético uniforme de 2,0 T , orientado de um ângulo φ = 30o com o vetor momento de dipolo da espira. Calcule o módulo do momento magnético, o módulo do torque e a energia potencial da espira nesta confi guração.
Solução:A área da espira é
A = ab = (5,0 x 10-2 m)(8,0 x 10-2 m) = 4,0 x 10-3 m2.O módulo do momento magnético da espira pode ser encontrado por substituição direta dos dados do problema na equação 14, ou seja
µ = IA = (5,0 A)(4,0 x 10-3 m2) = 2,0 x 10-2 A.m2.Para o módulo do torque, usando a equação 15, temos
τ = µBsenφ = (2,0 x 10-2 A.m2)(2,0 T)(0,5)=2,0 x 10-2N.m.A energia potencial da espira, na confi guração apresentada na fi gura 8(a), com o auxílio da equação 16, vale
φµµ cosBBU −=⋅−= = (2,0 x 10-2 A.m2)(2,0 T)(0,86)= - 3.46 J
FÍsiCa gEral iii
100
Exercícios
1. Um próton se desloca ao longo do eixo x de um sistema de coordenadas cartesianas, no sentido de x positivo, a uma velocidade de 7,0 x 107 m/s. Ele entra em uma região do espaço onde existe um campo magnético de 0,05 T, direcionado em um ângulo de 30o com relação ao eixo x, estando no plano xy. Determine o módulo, direção e sentido da força magnética que atua sobre o próton e sua aceleração.
2. Um elétron se desloca em linha reta a uma velocidade de 2,0 x 106 m/s. Quando o elétron entra em uma região do espaço onde existe um campo magnético de 2,0 T, direcionado perpendicularmente à direção de propagação do elétron, ele passa a descrever uma trajetória circular em função da presença do campo. Determine o raio da trajetória do elétron e sua velocidade angular. Para que o elétron descreva um a trajetória circular com um raio de 15,0 cm, qual deve ser sua velocidade de translação ao entrar na região do campo?
3. Um fi o de cobre reto, horizontal e de densidade linear de 46,6 g/m é percorrido por uma corrente elétrica de 25,0 A. Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética necessária para fazer com que esse fi o fi que fl utuando, parado, no espaço.
4. Uma espira circular de raio 5,0 cm é colocada em uma região do espaço onde existe um campo magnético de 0,25 T. Sabendo que o campo magnético faz um ângulo de 60o com o plano da espira, determine a fl uxo magnético que atravessa essa espira.
5. Uma bobina circular, com 100 espiras por metro, conduz uma corrente elétrica de 2,0 A. Um campo magnético uniforme de 1,5 T é aplicado fazendo um ângulo de 30o com plano circular da espira. Determine o módulo do momento de dipolo magnético da bobina e o módulo do torque atuando sobre a bobina.
6. Se a bobina descrita no exercício 5 girar de forma que o campo magnético fi que paralelo ao vetor momento magnético da bobina, qual a variação da energia potencial magnética?
7. Considere uma bobina circular de raio R, localizada no plano xy, conduzindo uma corrente I. Usando a Lei de Biot e Savart determine o módulo do campo magnético em um ponto P situado a uma distância x do plano da espira.
101
Campo Magnético
Anotações
FÍsiCa gEral iii
102
Anotações
103
Lei de Ampère8
8.1 Campo Magnético de uma Carga em Movimento
8.2 Campo Magnético de um Elemento de Corrente
Elétrica - lei de Biot e savart
8.3 Força entre Condutores paralelos transportando
Corrente Elétrica
8.4 lei de ampère
FÍsiCa gEral iii
104
8 LEI DE AMPÈRE
Introdução
No capítulo anterior estudamos os efeitos (força magnética) causados por campos magnéticos atuando sobre cargas em movimento ou condutores elétricos transportando corrente elétrica. Nesses estudos não nos importamos em saber como esses campos magnéticos eram produzidos. Neste capítulo, porém, estudaremos como os campos magnéticos são criados e identifi caremos as possíveis fontes de campo e apresentaremos o equacionamento necessário para estudá-las. Em nossos estudos prévios de eletrostática, relacionados e criação de campos elétricos por cargas elétricas pontuais ou distribuições de cargas elétricas, uma relação direta e conceitualmente profunda entre e carga e campo elétrico pôde ser apontada, ou seja
carga ⇔ campo elétrico ⇔ carga
Esta relação simples, porém fi sicamente consistente, pode ser interpretada como segue
“Uma carga elétrica ou distribuição de cargas elétricas gera um campo elétrico em suas vizinhanças. O campo elétrico gerado atua em uma outra carga elétrica ou distribuição de cargas elétricas exercendo uma força de natureza elétrica sobre a
mesma.”
Podemos, por analogia, imaginar uma relação relativamente simples, mas de profundo embasamento conceitual, como a apresentada acima para campos magnéticos. Contudo, neste ponto, aparece uma grande diferença entre os efeitos advindos de campos elétricos e magnéticos. Neste último caso identifi camos anteriormente que a força magnética só atua em cargas elétricas em movimento ou correntes elétricas. Assim, a relação que estamos procurando assume a forma
corrente elétrica ⇔ campo magnético ⇔ corrente elétrica Podemos interpretar esta relação como segue
“Uma carga elétrica em movimento ou uma corrente elétrica gera um campo magnético em suas vizinhanças. O campo magnético gerado atua em uma outra carga elétrica em movimento ou em uma corrente elétrica exercendo uma força de natureza magnética
sobre a mesma.”
No capítulo anterior tratamos da segunda parte dessa interação, ou seja, estudamos como atuam as forças magnéticas em cargas elétricas ou correntes elétricas sujeitas a ação de campos magnéticos. O estudo da primeira parte desta interação, ou seja, de como surgem ou são gerados os campos magnéticos será nosso principal objeto de estudo neste capítulo. Vale ressaltar que nos estudos prévios relacionados a fontes de campo e criação de campos elétricos, uma questão simples, porém de suma importância, teve que ser equacionada. Ou seja
Como calcular o campo elétrico que uma carga elétrica ou distribuição de cargas elétricas cria no espaço circunjacente?
105
A questão central deste capítulo pode então ser enunciada como segue
Como calcular o campo magnético que uma carga elétrica em movimento ou uma distribuição de correntes cria no espaço circunjacente?
8.1 Campo Magnético de uma Carga em Movimento
Aprendemos no capítulo passado que um campo magnético exerce força somente sobre cargas em movimento. Nesta seção, estamos interessados em descobrir como uma carga puntiforme em movimento, com velocidade constante, cria um campo magnético em torno de si. A fi gura 1 ilustra uma carga pontiforme positiva de movimentando com velocidade constante v na direção Ox no sentido de x positivo.
Figura 1 – Campo magnético (alguns vetores) produzido por uma carga elétrica positiva que se desloca no sentido Ox. O campo magnético é sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores v e r .
A experiência nos revela que o campo magnético B é proporcional a |q| e a 1/r2. Contudo, a direção de B é sempre perpendicular ao vetor velocidade v da carga em movimento, e da linha reta ( r )que une a carga ao ponto do campo magnético B , como ilustra a fi gura 1. Ainda, o módulo de B é proporcional ao módulo do vetor velocidade v da carga em movimento e ao seno do ângulo entre v e B . Podemos, então, escrever a expressão para a determinação do módulo do campo magnético produzido por uma carga em movimento em um dado ponto situado a uma distância r dessa carga na forma
20 ||
4 rvsenqB φ
πµ
= (1).
Na equação 1, µ0 = 4π x 10-7 T.m/A, é a permeabilidade magnética do vácuo. Usando a defi nição de produto vetorial e de vetor unitário ( rrr /= ), podemos reescrever a equação 1 como segue
20
4 rrxvqB
πµ
= (2).
Uma carga puntiforme em movimento também cria um campo elétrico em torno de si, que no caso daquela ilustrada na fi gura 1, emerge radialmente para fora da carga positiva, desenhando linhas de campo abertas que alcançam o infi nito. Todavia, o campo magnético gerado pela carga em movimento é completamente diferente, pois cria linhas de campo fechadas, que neste caso, circundam a carga puntiforme em uma trajetória circular, conforme indicado na fi gura 1.
lei de ampére
FÍsiCa gEral iii
106
Exemplo 1:Dois elétrons se movem paralelamente na direção horizontal e em sentidos opostos, a uma velocidade de 2,0 x 105 m/s, como ilustra a fi gura 2. No instante de tempo em que eles se cruzam na origem de um sistema de coordenadas cartesiano, a distância vertical entre os dois é de 5,0 cm. Calcule o módulo do campo magnético gerado pelo elétron da parte inferior sobre o elétron da parte superior no instante em que eles se cruzam. Calcule também a força magnética que o elétron da parte superior experimenta no instante do cruzamento.
Solução:Vamos encontrar o módulo do campo magnético que atua no elétron da parte superior utilizando a equação 1, mas recordando que, neste caso, |q|=1,6 x 10-19 C. Assim
7 19 5
02 2 2
21
.(4 10 )( 1,6 10 )(2,0 10 / ) (90 )| |4 4 (5,0 10 )3,2 10
oT mx x C x m s senq vsen ABr x m
B x T
πµ ϕπ π
− −
−
−
−= =
=
Em uma análise mais completa, podemos determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor campo magnético empregando a equação 2 e utilizando a notação relativa aos vetores unitários, como segue
5210 0
2 2 2
( )(2,0 10 / ) ( ) 3,2 104 4 (5,0 10 )
qvxr e x m s i x jB x T kr x m
µ µπ π
−−
−= = = −
Para encontrarmos o módulo da força magnética que o elétron da parte inferior faz sobre o elétron da parte superior, vamos empregar a equação 2 do capítulo 7, ou seja
19 5 21
35
| | (90 ) (1,6 10 )(5,0 10 / )(3,2 10 )(1)25,6 10
oF q vBsen evBsen x C x m s x TF x N
ϕ − −
−
= = =
=
Da mesma forma, podemos proceder a uma análise mais completa utilizando a equação 1 do capítulo 7 e a notação relativa a vetores unitários na forma
19 5 21
35
ˆˆ| | ( 1,6 10 )(5,0 10 / )( 3,2 10 )ˆ25,6 10
F q vxB x C x m s i x T k
F x N j
− −
−
= = − −
=
Figura 2 – Campo magnético e força magnética produzidos sobre um elétron por outro elétron em movimento.
107
8.2 Campo Magnético de um Elemento de Corrente Elétrica - Lei de Biot e Savart
Um elemento de corrente, que serve como modelo para determinarmos a força magnética entre condutores que transportam corrente elétrica, é apresentado na fi gura 3. Um ponto importante que devemos ressaltar é que o princípio da superposição de campos magnéticos é válido no estudo de condutores transportando corrente. De fato, o campo magnético total produzido por diversas cargas que se movem em um condutor é a soma vetorial dos campos magnéticos produzidos pelas cargas elétricas individuais em movimento. Um segmento ld
de um condutor, como o ilustrado na fi gura 3, possui um volume V = Adl, sendo A a seção transversal do fi o, no qual n portadores de carga, com carga total dQ, se movem. Ou seja
dQ = nqAdl (2).
O módulo do elemento de campo magnético Bd
, para qualquer ponto P, é dado então por
0 02 2
| |4 4
dn q v Adlsen IdlsendBr r
µ ϕ µ ϕπ π
= = (3),
sendo vd a velocidade de arraste dos portadores de carga no condutor e I = n|q|vdA a corrente elétrica total que fl ui no segmento ld
. A fi gura 3 nos revela que os elementos de campo magnético Bd
são sempre perpendiculares ao plano formado pelos vetores ld
e r . Ou seja, Bd
pode ser expresso sob a forma de um produto vetorial entre esses dois vetores. Usando a notação de vetor unitário, podemos, então, reescrever a equação 3 como segue
024
IdlxrdBr
µπ
=
(4).
As equações 3 e 4 são formas equivalentes da chamada lei Lei de Biot e Savart, que nos permite calcular o campo magnético gerado por distribuições de corrente elétrica de baixa simetria em um determinado ponto do espaço. Integrando a equação 4 chegamos à expressão matemática que nos permite calcular a contribuição para a geração do campo magnético devida a todos os segmentos ld
que conduzem corrente elétrica na forma
024
IdlxrBr
µπ
= ∫
(5).
Figura 3 – Campo magnético (alguns vetores) produzido por um elemento de corrente que fl ui em um segmento ld
de um condutor elétrico.
lei de ampére
FÍsiCa gEral iii
108
Exemplo 2:Um fi o de cobre que conduz uma corrente elétrica constante de 200,0 A para um quadro de alimentação de energia elétrica de uma indústria. Um segmento ld
desse fi o, tal qual o apresentado na fi gura 2, possui 1,0 cm de comprimento. Determine o módulo do campo magnético gerado em um ponto P situado a uma distância de 0,8 m perpendicular a borda desse fi o.
Solução:Para encontramos o módulo do campo magnético gerado pelo elemento de corrente elétrica de segmento ld
, vamos utilizar a equação 3, ou seja0 0
2 2
7 2
2
9
| |4 4
.(4 10 )(200,0 )(1,0 10 )( 90 )
4 (0,80 )250,0 10
d
o
n q v Adlsen IdlsendBr r
T mx A x m senAdB
mdB x T
µ ϕ µ ϕπ π
π
π
− −
−
= =
=
=
8.3 Força entre Condutores Paralelos Transportando Corrente Elétrica
Dois condutores dispostos paralelamente um ao outro, transportando correntes elétricas, exercem forças um sobre o outro. Isso se deve ao fato de que ambos geram um campo magnético em torno de si. Ou seja, mas uma vez vale a relação
corrente elétrica ⇔ campo magnético ⇔ corrente elétrica A fi gura 4 ilustra tal situação, na qual dois fi os condutores paralelos transportam correntes elétricas que fl uem no mesmo sentido. O fi o a produz um campo magnético, aB
, em todos os pontos ao seu redor. Sobre o fi o b, seu módulo é dado por
diB a
a πµ2
0= (6),
sendo d distância que separa os fi os. O fi o b, por sua vez, transporta uma corrente elétrica ib e está imerso no campo magnético externo aB
. Um elemento de comprimento L
deste fi o experimenta uma força lateral, cujo módulo é dado por
0
2b a
ba b ai i LF i LB
dµ
π= = (7).
ad
b
Lia
ib
Fba
Ba( )Devido a ia
Figura 4 – Força de atração entre fi os paralelos transportando correntes elétricas que fl uem no mesmo sentido.
109
Se invertermos o sentido de nossa análise, ou seja, fazendo-a a partir da força exercida pelo fi o b sobre o fi o a, perceberemos que a força em a aponta para a direita, ou seja
Correntes elétricas paralelas produzem forças magnéticas atrativas entre si, enquanto correntes elétricas anti-paralelas produzem forças repulsivas entre si.
A essa altura podemos redefi nir o Ampère, que é a unidade de corrente elétrica no SI, como segue
“O Ampère é aquela corrente constante que, se mantida em dois condutores paralelos de comprimento infi nito e de secção circular desprezível, colocados a um metro de distância um do ouro no vácuo, pode produzir, em cada um desses condutores, uma força igual a 2 x 10-7 N por metro de comprimento.”
Exemplo 3:Dois fi os retilíneos de cobre, separados por uma distância de 5,0 mm, estão dispostos paralelamente um ao outro e transportam correntes elétricas de 25,0 A cada um, que fl uem em sentidos opostos. Qual o módulo da força por unidade de comprimento que é exercida sobre cada um desses fi os?
Solução:Como as correntes fl uem em sentidos opostos os dois fi os se repelem mutuamente. De acordo com a equação 7 podemos escrever
7
603
.(4 10 )(25,0 )(25,0 )2,5 10
2 2 (5,0 10 )b a
T mx A Ai iF NA xL d x m m
πµπ π
−
−−= = =
8.4 Lei De Ampère
A lei de Biot e Savart nos possibilita encontrar o campo magnético gerado por distribuições de corrente de baixa simetria. Na verdade, ela nos permite calcular o elemento de campo magnético Bd
produzido por um determinado elemento de corrente, para então posteriormente somar todos os vetores Bd
e encontrar o campo magnético total em um dado ponto do espaço. No capítulo 3 estudamos a lei de Gauss que, em situações de elevada simetria, apresentava-se muito vantajosa quando empregada na resolução de problemas em cuja aplicação da Lei de Coulomb mostrava-se extremamente complexa. De forma similar, quando estamos interessados na determinação de campos magnéticos gerados por distribuições de correntes elétricas, a lei de Ampère surge como uma ferramenta muito poderosa, principalmente quando se deseja determinar o campo magnético produzido por uma distribuição de correntes com simetria elevada. Porém, quando comparada a Lei de Gauss, a lei de Ampère possui um caráter completamente diferente, já que a Lei de Ampère afi rma que o fl uxo magnético através de qualquer superfície fechada é sempre igual a zero, existindo ou não correntes no interior da superfície. Ou seja, a lei de Ampère não é defi nida em termos de uma integral de fl uxo em torno de uma superfície fechada, mas sim em termos de uma integral de linha de B
em torno de uma trajetória fechada. A lei de Ampère é expressa na forma
isdB 0µ=⋅∫
(8).
lei de ampére
FÍsiCa gEral iii
110
A lei Ampère deve ser aplicada em um percurso fechado arbitrário e a corrente i é a corrente total englobada nesse percurso. Na fi gura 5 ilustramos uma situação na qual três fi os retilíneos dispostos perpendicularmente ao plano da página e que conduzem correntes elétricas distintas. A linha em vermelho denota nossa curva de integração fechada, chamada de amperiana. Para encontrarmos o campo magnético em P, devido às duas correntes i1 e i2, já que i3 não é englobada pela amperiana, podemos fazer a integração no sentido anti-horário, ou seja
cosB ds B dsθ⋅ =∫ ∫
(9).
Com vistas à corrente total englobada pela amperiana, temos
i = i1 - i2 (10).Logo
0 1 2cos ( )B ds B ds i iθ µ⋅ = = −∫ ∫
(11).
É interessante notar que não podemos avaliar a integral da equação 11 a priori. Contudo, a Lei de Ampère nos informa que seu resultado será µ0(i1 – i2). Ou seja, a Lei de Ampère possui elegância e praticidade em sua essência.
Figura 5 – Três fi os retilíneos (i1, i2 e i3) dispostos perpendicularmente ao plano da página, transportando corrente elétrica. A amperiana engloba engloba duas correntes de sentidos opostos i1 e i2
Vamos utilizar a lei de Ampère em um problema prático, que é o de encontrar o campo magnético gerado por um condutor retilíneo de comprimento infi nito e de secção reta circular (um fi o de cobre, por exemplo) transportando corrente elétrica, em um ponto P situado a uma distância R do condutor, como ilustrado na fi gura 6(a). Como os vetores
Bd
e sd são paralelos ao longo da amperiana, e segundo a regra da mão direita entram na página no ponto P (conforme indicado na fi gura 6(b)), o módulo de B
é sempre constante ao longo deste percurso. Assim, podemos reescrever a lei da Ampère (equação 8) retirando o módulo do campo do integrando, como segue
0B ds B ds iµ⋅ = =∫ ∫
(12).
B
(b)
i
Figura 6 – (a) Condutor retilíneo infi nito transportando uma corrente elétrica i. (b) regra da mão direita aplicada a um condutor retilíneo infi nito transportando corrente – o dedo indicador indica a direção e sentido do vetor B
.
111
Como ds = 2πR, o módulo do campo magnético no ponto P devido a corrente elétrica i que fl ui no condutor retilíneo infi nito é
RiB
πµ2
0= (13).
Exemplo 4:Um fi o de cobre infi nito, disposto verticalmente no espaço, transporta uma corrente elétrica de 50,0 A no sentido de cima para baixo. Determine o módulo, direção e sentido do campo magnético em um ponto P distante 10,0 cm da borda direita do fi o de cobre (ver fi gura 6 e 7).
Solução:Vamos utilizar como amperiana o percurso circular ilustrado na fi gura 6(a). Aplicando a lei de Ampère chegamos ao resultado descrito através da equação 13 para o cálculo do módulo campo magnético. Ou seja
7
402
.(4 10 )(50,0 )1,0 10
2 2 (10 10 )
T mx Ai AB x TR x m
πµπ π
−
−−= = =
Para encontrarmos a direção e o sentido de B
, vamos aplicar a regra da mão direita como ilustrado na fi gura 6(b), mas lembrando que neste caso o sentido da corrente é o oposto, ou seja, de cima para baixo. A fi gura 7 ilustra a situação descrita neste exemplo. Como podemos perceber, o campo magnético em P está direcionado perpendicularmente ao plano da página, emergindo da mesma.
B
i
B
P
Figura 7 – Regra da mão direita aplicada à situação descrita no exemplo 4.
Exemplo 5:O solenóide é um dispositivo eletromagnético muito utilizado em circuitos eletro-eletrônicos, que consiste em um fi o enrolado formando uma bobina helicoidal comprida, que em geral possui seção reta circular. Solenóides podem ser construídos com milhares de espiras enroladas em forma compacta, com cada uma delas sendo considerada como uma espira circular. Pode ainda existir diversas camadas de enrolamento. Em nosso exemplo, vamos considerar a seção reta de um solenóide ideal (de comprimento infi nito para que os efeitos de borda possam ser desprezados), como a ilustrada na fi gura 8. Todas as espiras do solenóide conduzem a mesma corrente elétrica i e o campo magnético total B
em cada ponto é a soma vetorial da contribuição de cada espira para a formação do campo. No interior do solenóide as linhas de campo magnético são praticamente paralelas, fazendo com que o campo magnético seja praticamente uniforme, enquanto que nas as regiões fora do solenóide as linhas de campo são mais espaçadas, fazendo com que o mesmo seja muito fraco. Vamos aplicar a lei de Ampère para determinar o módulo do campo magnético no interior deste solenóide ideal.
lei de ampére
FÍsiCa gEral iii
112
Solução: Para determinarmos o módulo do campo magnético no interior do solenóide vamos primeiramente defi nir a densidade linear de enrolamentos (ou espiras), n, ou seja, o número N de enrolamentos por unidade de comprimento. Assim
LNn =
Escolhemos como amperiana o retângulo abcd ilustrado na fi gura 7. O percurso de integração segue o sentido horário. Vamos considerar que o lado bc do retângulo seja tão grande de modo que o campo magnético sobre o segmento cd seja praticamente nulo. Além disso, B
e sd são perpendiculares nos lados bc e ad, fazendo com que a integral relativa a equação 8 seja nula nestes percursos. Por sua vez, por simetria, o campo magnético ao longo percurso ab é constante e paralelo a este lado da amperiana. Assim
BLsdBb
a
=⋅∫
A corrente total no segmento ab equivale ao número de espiras contidas em ab vezes a corrente em cada espira, ou seja
I = NiSubstituindo a corrente total I na lei da Ampère, temos
IBLsdBb
a0µ==⋅∫
Substituindo I na equação acima, o módulo do campo magnético no interior de um solenóide fi ca dado por
B = µ0ni
Como podemos perceber, em um solenóide ideal o módulo do campo magnético depende somente da densidade linear de espiras e da corrente elétrica que fl ui em cada espira.
B
B
L
P
S Nab
dc amperiana
Figura 8 - Representação esquemática de um solenóide.
113
Exercícios
1. Dois prótons se movem paralelamente na direção horizontal e em sentidos opostos, a uma velocidade de 6,0 x 105 m/s. No instante de tempo em que eles se cruzam na origem de um sistema de coordenadas cartesiano, tal qual o ilustrado na fi gura 2, a distância vertical entre os dois é de 6,0 cm. Calcule o módulo o campo magnético gerado pelo próton da parte superior sobre o próton da parte inferior no instante em que eles se cruzam. Calcule também e a força magnética que o próton da parte inferior experimenta no instante do cruzamento.
2. Um fi o reto infi nito conduz uma corrente elétrica de 0,5 A. Determine o campo magnético em um ponto P situado a 5,0 cm do eixo do fi o.
3. Dois fi os retilíneos de 10,0 m cada um, separados por uma distância de 8,0 mm, estão dispostos paralelamente um ao outro e transportam correntes elétricas de 15,0 A cada um, que fl uem no mesmo sentido. Qual o módulo da força que é exercida sobre cada um desses fi os?
4. Um fi o de cobre infi nito, de raio 5,0 mm, transporta uma corrente elétrica de 60,0 A. Qual o módulo do campo magnético em sua superfície do fi o e em um ponto P situado a R = 1,0 mm?
5. Usando a Lei de Ampère, determine o campo magnético no interior de um condutor cilíndrico de raio R que conduz uma corrente I nas situações em que r < R e r > R.
6. Dois fi os retilíneos e infi nitos, dispostos perpendicularmente ao plano da página e afastados 5,0 cm um do outro, conduzem correntes elétricas idênticas, que fl uem em sentidos opostos. Usando a Lei de Ampère, encontre o módulo do campo magnético em um ponto P distante 2,0 m desses fi os?
7. Um solenóide de 2,0 m de comprimento, com 100 espiras por metro e diâmetro interno de 10,0 cm conduz uma corrente elétrica de 25,0 A. Qual o módulo do campo magnético no centro desse solenóide?
lei de ampére
FÍsiCa gEral iii
114
Anotações
115
Anotações
lei de ampére
FÍsiCa gEral iii
116
Anotações
117
Lei de Indução, de Faraday
9
9.1 indução Eletromagnética
9.2 lei de Faraday
9.3 lei de lenz
9.4 Força Eletromotriz produzida pelo Movimento
9.5 Campos Elétricos induzidos
FÍsiCa gEral iii
118
9 LEI DE INDUÇÃO, DE FARADAY
Introdução
A maioria dos equipamentos elétricos ou eletrônicos usados em nosso cotidiano não utiliza como fonte de força eletromotriz uma pilha ou bateria, mas sim uma usina geradora de energia elétrica geralmente construída a milhares de quilômetros de nossas residências ou locais de trabalho. Essas usinas “produtoras” de energia elétrica o fazem mediante a conversão de outras formas de energia, tais como a hidrelétrica (energia potencial gravitacional convertida em energia elétrica) ou a nuclear (energia nuclear convertida em energia elétrica). Uma questão importante, já que em última análise tais usinas geradoras de energia elétrica são as responsáveis pela estrutura de nossa sociedade tecnológica, é como essa conversão de energia ocorre? Ou ainda, quais os princípios físicos envolvidos na produção de quase toda a energia que consumimos em nosso cotidiano? Neste capítulo estudaremos a fundo o importante fenômeno físico responsável pela geração de energia elétrica em usinas geradoras, denominado de indução eletromagnética. Como veremos a seguir, quando o fl uxo magnético varia através de um circuito, ocorre a indução de uma força eletromotriz e de uma corrente elétrica nesse circuito. Em uma usina geradora de energia elétrica um ímã permanente se movimenta em relação a uma bobina fazendo com que haja uma variação de fl uxo magnético na mesma, com a conseqüente indução de uma força eletromotriz e de uma corrente elétrica nos enrolamentos dessa bobina. Além disso, outro componente fundamental nos circuitos de distribuição de energia elétrica, os transformadores que elevam ou abaixam a tensão elétrica nesses circuitos, também funcionam graças ao fenômeno da indução eletromagnética. A indução eletromagnética é governada por uma lei básica denominada Lei de Faraday, que relaciona e força eletromotriz induzida com o fl uxo magnético variável em qualquer tipo de espira. Outra lei importante que aparecerá em nossos estudos de indução eletromagnética é a Lei de Lenz, que advém do princípio da conservação de energia e nos ajudará a encontrar o sentido da força eletromotriz e da corrente elétrica induzidas. No capítulo 7 deste livro investigamos como agem as forças magnéticas em condutores transportando corrente elétrica submetidos a ação de campos magnéticos. Um fenômeno importante, relacionado a espiras condutoras transportando correntes em campos magnéticos, pode ser sucintamente descrito como segue
Quando colocamos uma espira fechada, que transporta corrente elétrica em um campo magnético, verifi ca-se que aparece um torque sobre a essa espira.
O surgimento desse torque, por sua vez, é a base do princípio de funcionamento do motor elétrico. Com vistas aos estudos a cerca da indução eletromagnética, podemos, considerando aspectos de simetria do problema da espira colocada em um campo magnético, formular a seguinte questão
O que acontece quando colocamos uma espira fechada em um campo magnético e a fazemos rodar, aplicando na mesma um torque externo?
Nessa situação verifi ca-se experimentalmente o aparecimento de uma corrente elétrica induzida na espira. O aparecimento desta corrente elétrica induzida é governado pela lei de Indução de Faraday e é a base do princípio de funcionamento do gerador elétrico encontrado nas usinas geradoras de energia elétrica.
119
9.1 Indução Eletromagnética
O fenômeno da indução eletromagnética foi observado ao longo da década de 1830 simultaneamente por Michel Faraday, na Inglaterra, e Joseph Henry, nos Estados Unidos da América. Esses pesquisadores empregaram experimentos relativamente simples que os possibilitaram chegar a conclusões semelhantes a respeito do fenômeno da indução eletromagnética. Uma típica experiência de indução eletromagnética é apresentada na fi gura 1, que ilustra um experimento relativamente simples que nos conduz a conclusões muito interessantes a respeito dos fenômenos observados. Nesse experimento é utilizado um ímã permanente, com seu polo Norte magnético voltado para baixo e uma bobina condutora conectada a um galvanômetro. Três situações distintas podem ser verifi cadas com este simples aparato experimental. A saber
1a. ⇒ com o ímã em repouso em relação à espira, não há corrente elétrica circulando pelo galvanômetro.
2a. ⇒ quando o ímã se aproxima da bobina, o galvanômetro acusa a passagem de uma corrente elétrica provocada por uma força eletromotriz induzida na bobina.
3a. ⇒ quando o ímã se afasta da bobina, o galvanômetro acusa a passagem de uma corrente elétrica no sentido oposto ao verifi cado quando o ímã se aproxima da bobina, ou seja, aparece uma força eletromotriz induzida na bobina, mas no sentido contrário àquela observada anteriormente.
0
N
S
0
N
S
0
N
S
V
V
l
l
Figura 1 – Aparato experimental para a verifi cação da induçãoeletromagnética nas três situações visualizadas acima.
lei de indução,de Faraday
FÍsiCa gEral iii
120
Vamos interpretar essas três situações analisando o comportamento do fl uxo magnético em cada uma delas com o auxílio da fi gura 2, que ilustra o movimento de um ímã permanente em relação à seção transversal da bobina condutora usada no experimento. Vale ressaltar que a área da seção transversal da bobina é constante e perpendicular à direção de B
. Neste caso o fl uxo magnético é dado por B BAΦ = . Analisando cada caso em separado, chegamos às seguintes conclusões: → Na primeira situação não há movimento relativo entre o ímã e a bobina. Como não há nenhuma mudança, é natural que o galvanômetro na registre a passagem de nenhuma corrente elétrica em seu interior. → Na segunda situação (ver fi gura 2(a)), quando o ímã permanente se aproxima da bobina, a quantidade de linhas de campo que emanam do ímã e que atravessam a seção transversal da bobina aumenta, fazendo com que o valor do módulo de B
no interior da bobina aumente com o tempo, aumentando assim o fl uxo magnético que atravessa a
bobina 0BddtΦ >
.
→ Na terceira situação (ver fi gura 2(b)), quando o ímã se afasta da bobina, a quantidade de linhas de campo que atravessam a seção transversal da bobina diminui, fazendo com que o módulo de B
no interior da bobina diminua com o tempo, diminuindo
assim o fl uxo magnético que atravessa a bobina 0BddtΦ <
.
Ou seja, a força eletromotriz e a corrente elétrica induzidas na bobina só aparecem quando ocorre variação temporal do fl uxo magnético que a atravessam. Além disso, o sentido da força induzida e o sinal da corrente elétrica induzida dependem diretamente de como o fl uxo magnético varia, ou seja, se ele aumenta ou diminui com o tempo. É importante ressaltar que a variação do fl uxo magnético na bobina pode ser efetuada de outras formas, como por exemplo, inclinando a bobina em relação ao seu eixo vertical. Em todas as situações possíveis só haverá o surgimento da força eletromotriz induzida e da corrente elétrica induzida na bobina condutora se houver uma variação temporal do fl uxo magnético.
S
Nv
B
l(a)
S
Nv
B
l(b)
Figura 2 – (a) imã permanente se aproximando da seção transversal da bobina ilustrada na fi gura 1. (b) imã permanente se aproximando da seção transversal da bobina ilustrada na fi gura 1.
121
9.2 Lei de Faraday
Considerando as muitas experiências que levam à observação do fenômeno da indução eletromagnética, podemos identifi car duas situações distintas em que uma corrente é induzida em uma espira condutora devido ao aparecimento de uma força eletromotriz induzida. Ou seja
1a. ⇒ quando há uma variação (mudança em função do tempo) no campo magnético em que a espira está embebida.
2a. ⇒ quando colocamos, próximo a essa espira, uma outra espira condutora que é percorrida por uma corrente elétrica variável no tempo.
Em nossas análises vamos considerar uma superfície (plana ou não) limitada por uma espira fechada. O fl uxo magnético, defi nido no capítulo 7, pode ser escrito formalmente como segue
∫ ⋅=Φ AdBB
(1).
Considerando a equação 1 e os experimentos de indução eletromagnética descritos anteriormente, a Lei de Faraday por ser enunciada como segue
“A força eletromotriz induzida num circuito é igual (exceto por uma mudança de sinal) à taxa pela qual o fl uxo magnético através do circuito está mudando no tempo.”
AssimBd
dtε Φ
= − (2).
Quando o experimento é realizado com um número N de espiras, a força eletromotriz induzida total é a somatória das forças eletromotrizes induzidas em cada espira, ou seja
BdNdt
ε Φ= − (3).
O sinal negativo que aparece nas equações 2 e 3, em última análise, indica o sentido da força eletromotriz induzida por uma variação temporal de fl uxo magnético. Sua origem será objeto de nossas discussões na seção que segue.
Exemplo 1:Uma bobina com 100 espiras de fi o condutor, esta enrolada sobre uma armação cilíndrica de 10,0 cm de raio. Cada volta tem a mesma área, igual a da base do cilindro, e a resistência total da bobina é 3,0 Ω. O campo magnético, no qual a bobina está inserida, é perpendicular ao plano da bobina e uniforme em todo o espaço. Se a magnitude do campo magnético mudar a uma taxa constante de 0,0 T a 0,5 T em um período de 0,5 s, qual será a magnitude da força eletromotriz induzida na bobina enquanto o campo estiver variando? Qual a magnitude da corrente elétrica induzida na bobina quando o campo estiver variando?
lei de indução,de Faraday
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Solução:Como o campo magnético é uniforme através da área da bobina e também é perpendicular as espiras do enrolamento, o fl uxo magnético através da bobina em qualquer instante de tempo será sempre o produto da área da bobina e do módulo do campo magnético que a atravessa. Para encontrar a magnitude da força eletromotriz induzida na bobina podemos então utilizar a equação 3 na forma
| | Bd dBN NAdt dt
ε Φ= =
Como o campo magnético varia a uma taxa constante, a derivada do campo é igual a razão entre a variação no campo e o intervalo de tempo durante o qual a variação ocorre. Ou seja
2 (0,5 0,0 )(100)[ (0,10 ) ] 9,860,5
| | Bd B T TN NA m Vdt t s
πε Φ ∆ −= = = =
∆
Podemos considerar o fi o que compõe as espiras da bobina como um resistor ôhmico e aplicar a lei de Ohm a este resistor para encontrar a magnitude da corrente elétrica induzida na bobina como segue
9,86| | 3, 293
Vi ARε
= = =Ω
Exemplo 2:Uma pequena bobina, com 10 espiras quadradas e 10,0 cm de lado e resistência elétrica total de 2,0 Ω, é colocada em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme, que possui magnitude de 1,5 T e incide perpendicularmente ao plano da bobina. A bobina está ligada a um galvanômetro, que mede a corrente total que passa por ele. Encontre a magnitude da força eletromotriz e a magnitude da corrente elétrica induzidas no circuito (bobina + galvanômetro) se a bobina girar 180o em torno de seu diâmetro.
Solução:O fl uxo através de cada espira da bobina, quando esta é colocada em um campo magnético uniforme e perpendicular a sua área, é o produto da área da espira pela magnitude do campo magnético que a atravessa. Ou seja
ABΦ =B
Quando a bobina gira 180o o fl uxo através dela se inverte, de modo que a variação total do fl uxo tem o módulo 2NBA. Enquanto o fl uxo está variando, há uma força eletromotriz e uma corrente elétrica induzidas na bobina. A magnitude da força eletromotriz induzida na bobina é
22 2(10)(0,1 ) (1,5 ) 0,3| | BdN NAB m T Vdt
ε Φ= = = =
Enquanto a magnitude da corrente elétrica induzida na bobina vale
0,3| | 0,152,0
Vi ARε
= = =Ω
123
9.3 Lei de Lenz
Qual o sentido da força eletromotriz para que o efeito observado, ou seja, para que a indução eletromagnética seja compatível com o princípio da conservação de energia? Para responder essa questão, vamos formular a Lei de Lenz, que é uma lei empírica que decorre do princípio da conservação de energia no fenômeno da indução eletromagnética como segue
“Uma corrente induzida surgirá numa espira condutora fechada com um sentido tal que ela se oporá à variação que a produziu.”
Vamos considerar o exemplo prático apresentado na fi gura 3 para investigarmos melhor a Lei de Lenz. Neste experimento esquemático, um ímã, com seu pólo norte voltado para a bobina, é utilizado para promover a variação do fl uxo magnético na bobina. Na situação descrita na parte superior da fi gura vemos que, a medida que o ímã se aproxima, o fl uxo magnético na bobina aumenta em função do aumento do módulo do vetor campo magnético B
(∆B). Quando o fl uxo magnético é variado a corrente elétrica induzida na bobina (setas em vermelho) surge no sentido de enfraquecer o campo magnético do ímã, minimizando a variação de fl uxo magnético. Na situação descrita na parte inferior da fi gura ocorre justamente o contrário, ou seja, a corrente elétrica induzida na bobina aparece no sentido de evitar a diminuição do campo magnético, e consequentemente o fl uxo magnético, em seu interior.
BV
Afasta
ΔB
BInduzido
VAproxima
BΔB
BInduzido
Figura 3 – Experimento esquemático empregado para a verifi cação da Lei de Lenz. As setas em vermelho indicam o sentido da corrente elétrica induzida na bobina pela aproximação ou distanciamento do ímã em relação à bobina.
A questão que ainda não foi respondida é por que, a luz do princípio da conservação da energia, a força eletromotriz e a corrente induzidas na bobina surgem nos sentidos propostos no experimento ilustrado na fi gura 3? De fato, analisando detalhadamente o experimento percebemos que, para que o ímã realize seu movimento de vai e vem, variando assim o fl uxo magnético na bobina, é necessário que um agente externo realize um trabalho sobre o ímã, ou seja, que esse agente externo transfi ra energia mecânica para o mesmo. Por sua vez, para que o princípio da conservação de energia seja respeitado, a força eletromotriz e a corrente induzidas na bobina surgem de forma a se opor a causa que as fez surgir. De qualquer forma, a corrente elétrica induzida na bobina dissipa energia térmica (todo condutor possui resistência elétrica!) através do efeito Joule. Ou seja, no compito global a energia do sistema como um todo é conservada.
lei de indução,de Faraday
FÍsiCa gEral iii
124
9.4 Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
A força eletromotriz produzida em uma espira que se movimenta em um campo magnético, que é a base do funcionamento dos geradores elétricos, pode ser estudada considerando um exemplo simples, que é o de uma bobina retangular que é introduzida em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme com uma velocidade constante, v . Esse experimento está ilustrado na fi gura 4. Na fi gura, o campo magnético B
é uniforme e está dirigido para fora da página e deslocamos a espira condutora para a direita com uma velocidade constante, v . Uma carga q, no interior da espira, sofre a ação de uma força magnética BxvqF
= , cujo módulo é F = |q|vB, a direção é vertical e o sentido de cima para baixo, como ilustrado na fi gura. A força magnética promove o movimento das cargas na espira, fazendo com que haja um acúmulo de cargas positivas na parte superior da espira e de cargas negativas na parte inferior da mesma. As cargas vão se acumulando continuamente nas extremidades da espira até que o módulo da força elétrica, qE, se iguale ao módulo da força magnética, |q|vB. Na condição de equilíbrio, qe = |q|vB. A diferença de potencial de potencial entre os pontos a e b é igual ao módulo do campo elétrico E entre esses pontos, multiplicado pela distância L. Ou seja:
Vab = EL = vBL (4).
Essa diferença de potencial, criada em função do movimento da espira na região do campo, faz surgir uma corrente através da espira, que é um circuito fechado. Ou seja, há a indução de uma corrente elétrica na espira condutora, relacionada a uma força eletromotriz dada na forma
vBL=ε (5).
Podemos generalizar o conceito de força eletromotriz associado a condutor que se move em um campo magnético uniforme ou não e que possua qualquer forma. Para um elemento sd do condutor, a contribuição dε da força eletromotriz será dada pelo módulo de sd multiplicado pelo componente de Bxv
paralelo a sd , ou seja
( ) sdBxvd
⋅=ε (6).
Para qualquer espira fechada, teremos
( )∫ ⋅= sdBxv
ε (7).
v
Bv
L
W
Motora
F = qvBPara baixo
B v
Figura 4 – Uma bobina condutora deslizando com uma velocidade constante sob a ação de um campo magnético uniforme que sai da página.
125
Exemplo 3:Considere o comprimento L da fi gura 4 como 10,0 cm e a velocidade igual a 50,0 cm/s. Se a magnitude do campo magnético na região da espira vale 0,8 T e se a resistência total da espira for 0,2 Ω, calcule a força eletromotriz e a corrente elétrica induzidas na espira. Qual o valor da corrente elétrica que fl ui na espira?
Solução:De acordo coma equação 5 a força eletromotriz induzida na espira é dada por
(0,5 / )(0,8 )(0,1 ) 0,04vBL m s T m Vε = = =
Podemos considerar que o material que compõe a espira é ôhmico, o que nos possibilita encontrar a magnitude da corrente elétrica induzida na espira, que é dada na forma
0,04 0,200,2
Vi ARε
= = =Ω
Exemplo 4:Uma barra condutora de comprimento 0,1 m gira com uma velocidade angular de 20,0 rad/s ao redor do eixo que passa por uma de suas extremidades em um campo magnético uniforme. O campo magnético possui magnitude de 2,5 T e está orientado perpendicularmente ao plano de rotação da barra, como ilustrado na fi gura 5. Encontre a força elétrica induzida entre as extremidades da barra.
Solução:Vamos considerar um segmento de barra de comprimento dr, cuja velocidade é v . Podemos utilizar a equação 5 para encontrar a força eletromotriz induzida no elemento dr como segue
vBdrd =εCada segmento dr está se deslocando perpendicularmente a B
. A somatória das forças eletromotrizes induzidas em cada segmento, que estão ligados em série, fornece a força eletromotriz total entre as extremidades da barra. Ou seja
∫= BvdrεComo a velocidade linear de cada segmento dr está relacionada a velocidade angular da barra na forma
rv ω= e B e ω são constantes, temos
2 1 2
0 0
1 1 (2,5 )(20 . )(0,2 ) 1,02 2
L L
B vdr B rdr B L T rad s m Vω ωε −= = = = =∫ ∫
Figura 5 – Uma barra condutora girando em torno de um eixo fi xo em um campo magnético uniforme que é perpendicular ao plano de rotação e entra na página. Uma força eletromotriz é induzida nas extremidades da barra.
lei de indução,de Faraday
FÍsiCa gEral iii
126
9.5 Campos Elétricos Induzidos
Quando um condutor de movimenta em um campo magnético aparece no mesmo uma força eletromotriz induzida, que tem sua origem nas forças magnéticas que atuam sobre o condutor. Todavia, quando um condutor é colocado em repouso em uma dada região do espaço onde existe um campo magnético variável, uma força eletromotriz atua sobre esse condutor. Ou seja, qual a força que atua sobre as cargas desse condutor nesta situação? Vamos analisar a situação apresentada na fi gura 6(a), que ilustra um condutor metálico circular, uma espira condutora, colocado em repouso em um campo magnético
variável. À medida que a intensidade do campo aumenta com o tempo (dBdt
positivo),
o fl uxo magnético que atravessa a espira circular também aumenta, fazendo surgir uma força eletromotriz induzida na mesma. O sentido da força eletromotriz, segundo a Lei de Lenz, é o mesmo do vetor campo elétrico ilustrado na fi gura 6(a). Essa força eletromotriz faz surgir uma corrente elétrica no condutor, e em última análise, um campo elétrico E
em cada ponto da espira. Esse campo elétrico induzido é tão real quanto, por exemplo, aquele gerado por cargas elétricas estáticas. Qualquer carga de teste colocada em um ponto do condutor onde este campo elétrico está presente estará sujeita a ação de uma força elétrica
EFq
. A fi gura 6(b) ilustra uma situação na qual o condutor metálico é retirado da região do campo magnético variável, sendo substituído por uma trajetória circular imaginária de raio r. Como antes, vamos supor que a magnitude do campo magnético esteja aumentando
a uma taxa positiva dBdt
. Desta forma, a trajetória circular imaginária engloba um fl uxo
magnético BΦ que também varia com o tempo. Como o fl uxo muda com o tempo, uma força eletromotriz induzida surgirá em volta desta trajetória imaginária, dando origem também aos campos elétricos induzidos mostrados na fi gura 6(b). Estas análises, relativas aos efeitos de indução eletromagnética observados em condutores situados em campos magnéticos variáveis, dão origem a um importante resultado, que pode ser enunciado na forma
“Um campo magnético variável no tempo produz um campo elétrico”
Vamos supor que uma carga teste q0 se movimente em volta da trajetória imaginária da fi gura 6(b). O trabalho realizado pelo campo elétrico para movimentar a carga nesta trajetória é dado por
0( )(2 )W q E rπ= (8).
Em termos da defi nição de força eletromotriz, o trabalho efetuado pelo campo elétrico sobre a carga também é dado por
ε0qW = (9).
Combinando as equações 8 e 9, temos
r.E πε 2= (10).
Em um caso mais geral, podemos escrever
∫ ⋅= sdE
ε (11).
Combinando a equação 11 com a equação 2, podemos reescrever a Lei de Faraday, como segue
dtdsdE BΦ
−=⋅∫
(12).
127
A equação 12 nos revela que um campo magnético variável produz um campo elétrico. Ela os indica também que a Lei de Faraday pode ser aplicada a qualquer trajetória fechada traçada em um campo magnético. Outro ponto interessante refere-se à natureza da força eletromotriz estabelecida pelo processo de indução eletromagnética. Na verdade ela não está associada a cargas estáticas, mas sim a existência de um fl uxo magnético variável. Assim, a linhas de força do campo elétrico associadas aos processos de indução formam circuitos fechados, como o ilustrado na fi gura 6(b). Por outro lado, as linhas de força do campo elétrico associadas a cargas estáticas sempre começam em uma carga negativa e terminam em uma carga positiva. Assim, percebemos que o potencial elétrico estático só tem sentido quando está relacionado a campos elétricos formados por cargas estáticas. O potencial elétrico não tem signifi cado físico para campos elétricos estabelecidos em processos de indução eletromagnética.
BEE
E E
r
(a) (b)
Figura 6 – Campo elétrico induzido por um campo magnético variável. (a) o campo elétrico surge em todos os pontos do condutor. (b) o campo elétrico induzido surge em todos os pontos do espaço sobre a trajetória tracejada mesmo sem a presença do condutor.
lei de indução,de Faraday
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Exemplo 5:A fi gura 7 ilustra uma situação similar a fi gura 6(b). Suponha que R = 20,0 cm e que
0,2 /dB T sdt
= . Qual o módulo do campo elétrico para r = 10 cm e para r = 30 cm?
Solução:Vamos utilizar a equação 12, que é a forma mais completa da lei de Faraday, para encontrar o módulo do campo elétrico induzido nas duas situações propostas. Ou seja
2( )(2 )
2
BdE dsdt
dBE r rdt
r dBEdt
π π
Φ⋅ = −
= −
=
∫
Para r = 10,0 cm, o módulo do campo elétrico fi ca
(0,1 ) (0,2 / ) 0,01 /2mE T s V m= =
Para r = 30,0 cm, r > R, e o fl uxo total que passa através do condutor circular é dado por
BRB )( 2π=Φ
Logo
2
2
( )(2 )
2
dBE r Rdt
R dBEr dt
π π= −
= −
Assim, o campo elétrico induzido a r = 30,0 cm fi ca
2 21(0, 2 ) (0,2 ) 0,044 /
2 2(0,3 )R dB mE Ts V m
r dt m−= = =
E
r
BE
EE
R
Figura 7 – Campo elétrico induzido por um campo magnético variável em uma dada região do espaço.
Exemplo 6:Considere um longo solenóide ideal, que possui uma seção reta circular com raio de 5,0 cm e 200 espiras por metro, no qual a corrente elétrica em seu enrolamento cresce a uma taxa de 10,0 A/s. Se uma espira condutora circular de 10,0 cm de raio que circunda o solenóide como ilustrado na fi gura 8, qual o módulo da força eletromotriz e do campo elétrico induzidos na espira?
129
Solução:Para encontrar o módulo da força eletromotriz induzida na espira exterior, podemos utilizar a equação 3, ou seja
BdNdt
ε Φ= −
Como o campo magnético gerado por um solenóide é dado por µ0Ni, temos
0
7 2 6(4 10 / . )(200 ) (0,05 ) (10,0 / ) 19,8 10
diNAdt
x Wb A m espiras por metro m A s x V
µ
π π
εε − −
= − =
= − = −
Como o fl uxo magnético aponta para a direita, de acordo com a regra da mão direita, vemos que a força eletromotriz e corrente elétrica induzida na espira possuem sentido horário. Este resultado, por sua vez, também é consistente com a lei de Lenz.Usando a equação 12 podemos determinar o módulo do campo elétrico induzido utilizando o valor absoluto da força eletromotriz, como segue
65
(2 ) | || | (19,8 10 ) 31,4 10 /2 2 (0,10 )
BdE dsdt
E rx VE x V m
r m
π ε
επ π
−−
Φ⋅ = −
=
= = =
∫
Figura 8 – Campo elétrico induzido em uma espira condutora circundando um solenóide que conduz uma corrente elétrica i variável.
lei de indução,de Faraday
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130
Exercícios
1. Qual a força eletromotriz e acorrente induzidas em uma espira, como na situação ilustrada na fi gura 2(a), se o módulo do campo magnético aumenta a uma taxa de 0,25 T/s e se a espira possui uma área de seção reta transversal de 100,0 cm2 e resistência elétrica de 2,0 Ω?
2. Uma bobina circular de raio de 5,0 cm e com 200 espiras é colocada em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme, que faz um ângulo de 45o com o plano da bobina. Se a intensidade do campo aumenta a uma taxa de 0,25 T/s, qual o módulo e o sentido da força eletromotriz induzida na bobina?
3. Considere uma bobina retangular, tal qual a ilustrada na fi gura 4, com 90 espiras compactamente enroladas feitas com fi os de cobre. Se L = 15,0 cm, B = 1,5 T e R = 8,0 Ω e v = 30 cm/s, qual a força eletromotriz e a corrente elétrica induzidas na bobina?
4. Uma bobina circular de raio de 10,0 cm e com 100 espiras, disposta em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme desconhecido, gira em torno de um eixo perpendicular ao campo a uma freqüência de 60,0 Hz. Qual a magnitude do campo magnético se a força eletromotriz máxima induzida na espira for 5,0 V?
5. Uma espira retangular, de área A = L.M, com L > M, gira com velocidade angular ω em torno de um eixo fi xo paralelo a L centrado em M/2, em um campo magnético uniforme e constante B
. No instante t = 0,0 s, o ângulo φ entre B
e Ad
é zero. Determine a força eletromotriz induzida nessa espira.
6. Considere um solenóide de 2,0 m de comprimento, com área seção reta transversal de 5,0 cm2 e 200 espiras. Qual a força eletromotriz induzida no solenóide se a corrente elétrica através de seus enrolamentos diminuir a uma taxa de 30,0 A/s?
7. Considere um longo solenóide ideal, que possui uma seção reta circular com raio de 8,0 cm e 300 espiras por metro, no qual a corrente elétrica em seu enrolamento cresce a uma taxa de 5,0 A/s. Uma espira condutora circular de 3,0 cm de raio é colocada concentricamente no interior do solenóide. Determine o módulo da força eletromotriz e do campo elétrico induzidos na espira enquanto a corrente elétrica em seus enrolamentos está sendo alterada?
131
Anotações
lei de indução,de Faraday
FÍsiCa gEral iii
132
Anotações
133
Indutância10
10.1 indutância e indutores
10.2 auto-indução
10.3 Energia do Campo Magnético
10.4 o Circuito rl
FÍsiCa gEral iii
134
10 INDUTÂNCIA
Introdução
No capítulo 5 vimos que um capacitor, cujo símbolo é um circuito elétrico é --| |--, é um dispositivo utilizado para gerar um campo elétrico em uma dada região do espaço e também para armazenar energia neste campo. Vimos também que podemos associar capacitores em série ou em paralelo a fi m de ajustar o valor da capacitância de um dado circuito, e que a capacitância de um dado capacitor depende somente de fatores geométricos. Neste capítulo defi niremos um novo dispositivo, o indutor, cujo símbolo é
, com o qual podemos de uma maneira conveniente gerar um campo magnético em uma dada região do espaço. Como um modelo apropriado para nosso indutor podemos considerar um extenso solenóide (mas especifi camente uma região próxima a seu centro, onde o campo magnético é uniforme!). De uma maneira bem simples podemos relacionar duas conexões importantes em eletromagnetismo como segue
capacitor ⇔ campo elétrico indutor ⇔ campo magnético
A partir destas conexões poderemos explorar questões relacionadas às simetrias da natureza, que nos darão informações importantes a cerca dos processos físicos estudados. De fato, no capítulo 5 vimos que energia pode ser armazenada no campo elétrico de um capacitor. Podemos pensar que, por simetria, energia também pode ser armazenada, e realmente o é, no campo magnético de um indutor. Além disso, vimos no capítulo 5 que se ligarmos uma bateria a um resistor e um capacitor conectados em série, o circuito atingirá seu estado de equilíbrio de forma gradual, aproximando-se deste segundo uma curva exponencial. Verifi caremos também, que no caso de ligarmos uma bateria a um resistor e um indutor conectados em série, o equilíbrio também será atingido de forma gradual, seguindo uma curva exponencial.
10.1 Indutância e Indutores
O indutor (neste caso um solenóide ideal é utilizado como modelo), nosso principal objeto de estudo neste capítulo, é um dispositivo tal que, quando uma corrente elétrica i é estabelecida em suas espiras, um fl uxo magnético BΦ atravessará cada uma de dessas espiras. Contudo, no indutor o fl uxo magnético é diretamente proporcional a corrente elétrica que fl ui em suas espiras. A constante de proporcionalidade entre a corrente elétrica e o fl uxo magnético é defi nida como a indutância do indutor. Ou seja
iNL BΦ
= (1),
sendo N o número de espiras do indutor. O produto B.N Φ é denominado fl uxo concatenado. A unidade de indutância no S.I. é o henry (1 H = 1 T.m2/A), em homenagem ao Físico norte americano Joseph Henry, co-autor da lei de Indução de Faraday e contemporâneo de Michael Faraday. A fi gura 1 ilustra nosso indutor ideal, um solenóide, e alguns exemplos de indutores comerciais utilizados em circuitos elétricos.
135
Figura 1 – (a) Modelo de indutor – um solenóide ideal. (b) alguns solenóides comerciais empregados em circuitos elétricos.
Utilizando a equação 1, vamos determinar a indutância por unidade de comprimento de um longo solenóide circular (mas especifi camente nas proximidades de seu centro) com uma seção transversal da área A. Se considerarmos um dado comprimento l próximo ao centro do solenóide, a densidade linear de espiras fi ca dada por n = N/l. Devemos então encontrar o fl uxo concatenado por uma dada corrente nas espiras do solenóide cuja intensidade do campo magnético em seu interior é B, ou seja
( )( )BN nl BAΦ = (2).
Como o campo magnético no interior de um solenóide ideal é B = µ0ni, a indutância do solenóide fi ca dada por
200
( )( )( )( )( )B nl ni AN nl BAL n lAi i i
µ µΦ= = = = (3).
Desta forma, a indutância por unidade de comprimento para este longo solenóide ideal, que tal qual nos capacitores só depende de fatores geométricos, fi ca dada por
AnlL 2
0µ= (4).
Quando o comprimento do solenóide for muito maior que seu raio, a equação 3 fornece uma boa aproximação para sua indutância. Neste caso, os efeitos de borda, relacionados ao espalhamento das linhas de campo magnético próximo às extremidades do solenóide podem ser desprezados.
Exemplo 1:Um solenóide ideal, com 500 espiras por metro e seção transversal de 4,0 cm2, é percorrido por uma corrente elétrica de 2,0 A. Determine a indutância de um pequeno segmento de 5,0 cm desse solenóide e sua indutância por unidade de comprimento.
Solução:Vamos utilizar as equações 3 e 4 para encontrar a indutância e a indutância por unidade de comprimento do solenóide ideal. Ou seja
2 7 2 2 4 2 60 (4 10 / . )(500) (0,05 10 )(4,0 10 ) 6,28 10L n lA x Wb A m x m x m x Hµ π − − − −= = =
e
2 7 2 4 2 40 (4 10 / . )(500) (4,0 10 ) 1,256 10 /L n A x Wb A m x m x H m
lµ π − − −= = =
indutância
FÍsiCa gEral iii
136
10.2 Auto-Indução
Quando dois indutores são colocados um próximo ao outro e uma corrente elétrica fl ui por um deles, a corrente elétrica i que fl ui em um dos indutores produz um fl uxo magnético no outro. No capítulo 9 vimos que se alteramos a corrente elétrica no primeiro indutor, alterando consequentemente o fl uxo magnético no segundo indutor, uma força eletromotriz induzida aparecerá nesse indutor, de acordo com a lei de Faraday. Contudo, ao alterarmos a corrente no primeiro indutor, uma força eletromotriz também aparecerá em seus enrolamentos, já que o fl uxo magnético que o atravessa, que é criado por ele mesmo, também varia no tempo. Ou seja
“Uma força eletromotriz induzida também aparece em um indutor quando variamos a corrente elétrica que fl ui através de seus enrolamentos”
Este efeito é chamado de auto-indução e a força eletromotriz produzida pela auto-indução é chamada de força eletromotriz auto-induzida. Podemos encontrar a força eletromotriz auto-induzida combinando a equação 1 e a expressão para a lei de Faraday, como segue
( ) ( )Bd N d Li diLdt dt dt
ε Φ= − = − = − (força eletromotriz auto-induzida) (5).
Analisando a equação 5 percebemos que a força eletromotriz auto-induzida só aparece quando a corrente elétrica está variando, e que ela sempre atua no sentido oposto ao da variação da corrente no indutor, obedecendo a lei de Lenz. A fi gura 2 ilustra esta situação. Quando a corrente no indutor aumenta a força eletromotriz auto-induzida surge num sentido qual que ela se opõe a este crescimento. Quando a corrente no condutor diminui, o oposto é observado.
i (aumentando)
i (diminuindo)
Figura 2 – Indutores percorridos por correntes elétricas variáveis. (a) Quando a corrente no indutor aumenta a força eletromotriz auto-induzida surge num sentido qual que ela se opõe a este crescimento. (b) Quando a corrente no condutor diminui, o oposto é observado.
Exemplo 2:Determine o módulo e o sentido da força eletromotriz auto-induzida no solenóide do Exemplo 1 quando a corrente elétrica em seus enrolamentos cresce uniformemente de zero até 5,0 A em 2,0 ms.
Solução:A taxa de variação da corrente no solenóide é
33
(5,0 0,0 ) 2,5 10 /(2 10 0,0 )
di i A A x A sdt t x s s−
∆ −= = =
∆ −De acordo com a equação 5, a força eletromotriz auto-induzida é
6 3(6, 28 10 )(2,5 10 / ) 15,7diL x H x A s Vdt
ε −= − = − = −
Como a corrente elétrica no solenóide está aumentando com o tempo, o sentido da força eletromotriz, indicado pelo sinal negativo, é o oposto ao sentido da corrente. Esta situação está ilustrada na Figura 2(a).
137
10.3 Energia do Campo Magnético
Em um experimento simples, quando, por exemplo, separamos duas cargas elétricas de sinais opostos a uma certa distância d uma da outra, costumamos dizer que a energia potencial elétrica resultante, que está associada á confi guração do sistema físico estudado, fi ca armazenada no campo elétrico das cargas. Esta energia pode ser recuperada a qualquer tempo simplesmente deixando essas cargas voltarem a suas posições iniciais, aproximando-se uma da outra. De outra forma, podemos pensar que para fazer uma corrente elétrica circular em um indutor, ou em um circuito simples como o ilustrado na fi gura 3, que contém uma fonte de força eletromotriz e um indutor de indutância L, é necessário fornecer uma certa quantidade de energia ao indutor. Ou seja, o indutor que conduz uma corrente elétrica possui uma certa quantidade de energia nele armazenada. Na fi gura 3, tanto o indutor quanto a fonte possuem resistência interna nula. A diferença de potencial entre os terminais a e b é Vab. Assim, potência instantânea dissipada no circuito, que é a taxa de transferência de energia para o indutor, será P = Vabi. Para encontrarmos a energia total U acumulada no indutor, vamos supor que a corrente no indutor aumente de modo que di/dt > 0. Neste instante, a voltagem entre os terminais do indutor será
abdiV Ldt
=
(6).
A taxa com a qual a energia é fornecida ao indutor, ou seja, a potência instantânea P fornecida pela fonte externa ao indutor, é dada por
abdiP V i Lidt
= =
(7).
Como P = dU/dt, temosdU Lidi= (8).
Assim, a energia total U fornecida ao indutor pela fonte, quando a corrente elétrica está aumentando de zero até um valor fi nal I é
2
0
12
i
U L idi Li= =∫
(9).
i (aumentando)
a b
FEMFigura 3 – Um circuito elétrico contendo uma fonte de força eletromotriz (FEM) e um indutor. Quando a corrente aumenta surge uma força eletromotriz auto-induzida no indutor.
Podemos defi nir a densidade de energia magnética armazenada no indutor na forma
VUu =
(10).
No caso de um indutor no formato de um solenóide ideal, seu volume é dado por V = Al. Substituindo V e a equação 9 na equação 10, temos
2 21 ( / )2 2
Li L l iuAl A
= = (11).
indutância
FÍsiCa gEral iii
138
Usando a equação 4 no lugar de L/l, e substituindo B = µ0ni na equação 11, temos
0
222
0 221
µµ Binu == (12).
Exemplo 3:Uma bobina possui uma indutância de 100,0 mH, uma resistência de 0,5 Ω e 100 espiras por metro. Quando ela é ligada a uma bateria de automóvel de 12,0 V, estabelece-se uma corrente elétrica nesse circuito. Determine a energia magnética armazenada na bobina depois que a corrente elétrica no circuito se estabiliza e a densidade de energia da bobina.
Solução:Para encontrarmos a energia magnética armazenada na bobina vamos utilizar a equação 9. Ou seja
22 31 1 12,0(100,0 10 ) 28,8
2 2 0,5VU Li x H J−
= = = Ω A densidade de energia magnética cumulada na bobina pode ser encontrada se calcularmos o campo magnético gerado por essa bobina quando ele é percorrida pela corrente elétrica. Assim,
7 20
12,0(4 10 / . )(100) 3,0 100,5
VB ni x Wb A m x Tµ π − − = = = Ω
Usando a equação 12, temos2 2 2
37
0
(3 10 ) 1,2 /2 2(4 10 / . )B x Tu MJ m
x Wb A mµ π
−
−= = =
10.4 O Circuito RL
Vamos analisar como os indutores se comportam em circuitos elétricos. Por simplicidade, vamos estudar o circuito RL, que consiste em um indutor e um resistor ligados em série. De antemão, e em função do fenômeno da auto-indução, podemos inferir que um indutor inserido em um circuito elétrico qualquer torna difícil a ocorrência de variações bruscas na corrente elétrica que fl ui nesse circuito. De fato, a equação 6 nos revela que quanto maior a taxa de variação da corrente no circuito, maior a intensidade da força eletromotriz auto-induzida e maior a diferença de potencial nos terminais do indutor. A fi gura 4, apresentada abaixo, ilustra um circuito RL composto de duas chaves S1 e S2, um indutor de indutância L e um resistor de resistência R. Quando a chave S1 é fechada, podemos conectar o circuito RL com uma fonte de força eletromotriz com uma fem, ε, constante, com resistência interna desprezível. Por outro lado, abrindo S1 e fechando S2 podemos obter a confi guração na qual o indutor está ligado em série com o resistor. Em um dado instante t = 0 s, fechamos a chave S1. Como não pode haver variação brusca de corrente no circuito, em função da presença do indutor, a corrente começa a aumentar a uma taxa que depende do valor de indutância L do indutor. Por outro lado, em um dado tempo t, uma corrente elétrica i fl ui no circuito, com uma taxa de variação di/dt. A diferença de potencial Vab nos terminais do resistor no tempo t é
abV iR= (13),
enquanto nos terminais do indutor a diferença de potencial vale
bcdiV Ldt
= (14).
139
a b c
R Li
S2
S1
Figura 4 – Circuito RL. Fechando a chave S1 podemos conectar o circuito RL a uma fonte de força eletromotriz com fem igual a ε V. Abrindo a chave S1 e fechando a chave S2, desconectamos a combinação da fonte.
Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff ao circuito da fi gura 4 no sentido anti-horário, temos
0diiR Ldt
ε − − = (15).
Podemos explicitar di/dt em 15 na formadi iR R idt L L L
ε ε−= = − (16).
Analisando 16 percebemos que quanto maior L, menor a variação da corrente, pois em t = 0 s, a corrente no circuito é nula. Ou seja
didt L
ε= (17).
Por outro lado, quando a corrente atinge seu valor estacionário I, a taxa de variação da corrente di/dt vai a zero, e I = ε/R. Vamos reescrever a equação 16 com o intuito de separar as variáveis i e t na forma
( / )di R dt
i R Lε= −
− (18).
Vamos substituir as variáveis i e t por i’ e t’ para usá-las como limites de integração. Integrando 18 temos
0 0
' '( / )
( / )ln( / )
i tdi R dti R L
i R R tR L
ε
εε
= −−
−= − −
∫ ∫ (19).
Tomando a função exponencial dos dois lados da equação 19 e explicitando i, temos
/(1 )Lti eR
τε −= − (20).
Podemos defi nir a constante de tempo indutiva, τL, na forma
RL
L =τ (21).
indutância
FÍsiCa gEral iii
140
A constante de tempo indutiva é o tempo necessário para que a corrente no circuito alcance o valor (1-1/e), que é 63% de seu valor fi nal de equilíbrio. Vamos supor agora que a chave S1 tenha permanecido fechada até a corrente elétrica no circuito atingir seu valor fi nal de equilíbrio I. Recomeçando nosso experimento, vamos considerar o tempo t = 0 s quando abrirmos a chave S1 e fecharmos simultaneamente a chave S2. Assim estaremos eliminando a fonte de força eletromotriz do circuito. Contudo, em função do fenômeno da auto-indução, mais uma vez a corrente no circuito RL (sem a fem) não pode variar bruscamente. Ou seja, a corrente elétrica em L e em R diminui lentamente até se anular completamente. Se aplicarmos a Lei das Malhas de Kirchhoff ao circuito RL sem a fonte de força eletromotriz no sentido anti-horário, e se repetirmos as etapas anteriores (realizadas quando S1 estava fechada), chegaremos a seguinte expressão para a corrente elétrica que fl ui no circuito RL sem fonte de força eletromotriz na forma
L/tt)L/R( eIeIi τ−− == 00 (22).
Quando a corrente está diminuindo no circuito RL, a constante de tempo indutiva τL é o tempo necessário para que a corrente diminua para 1/e, ou seja, para 37% de seu valor inicial. A fi gura 5 ilustra as duas situações distintas de variação de corrente elétrica no circuito RL, ou seja, quando a corrente elétrica aumenta ou diminui no circuito. Em ambos os casos a corrente elétrica varia exponencialmente em função do tempo.
tt = L
RO
I=R I
e
i
(a)
tt = L
RO
I0e
i
(b)
I0
Figura 5 – (a) Gráfi co de i em função do tempo para o aumento da corrente elétrica no circuito RL ligado a uma fem (fi gura 4, chave S2 ligada e chave S1 desligada). (b) Gráfi co de i em função do tempo para a diminuição da corrente elétrica no circuito RL desconectado da fem (fi gura 4, chave S1 ligada e chave S2 desligada).
Exemplo 5:No circuito RL da fi gura 4, R = 5,0 Ω , L = 100,0 mH e ε = 6,0 V. (a) Qual a constante de tempo do circuito? (b) Qual a corrente elétrica no circuito em t = τL s e em t = 2,5τL s?
Solução:(a) A constante de tempo é dada pela equação 21. Logo
3100 10 20,05,0
L x H msR
τ−
= = =Ω
(b) A corrente no circuito é dada por
)e(R
i L/t τε −−= 1
Pata t = τL s/6,0 (1 ) 0,76
5,0L
Vi e Aτ τ−= − =Ω
E para t = 2,5τL s2,56,0 (1 ) 0,92
5,0Vi e A−= − =Ω
141
Exemplo 6:Uma bobina circular de indutância de L e resistência de R é ligada a uma bateria de
ε Volts, de resistência interna desprezível. Depois de quantas constantes de tempo terá sido armazenada no campo magnético metade da energia correspondente àquela quando a corrente no circuito atinge seu valor de equilíbrio?
Solução:No equilíbrio, a energia armazenada no campo magnético é dada por
2
21 LiU )equilíbrio(B = , com
Ri )equilíbrio(
ε= . Perguntamos então:
Para que tempo vale a relação UB = 0,5UB(equilíbrio)?Vamos substituir os valores de UB na relação proposta, ou seja
= 22
21
21
21
)equilíbrio(LiLi
Logo
Ri ε
21
=
Como ( )L/teR
i τε −−= 1 , temos:
( )R
eR
L/t εε τ
211 =− −
)/ln(t
e
L
/t L
21
21
−=
=−
τ
τ
Assimt = 0,69τL
indutância
FÍsiCa gEral iii
142
Exercícios
1. Qual a indutância de um solenóide de 2,0 m de comprimento, com área seção reta transversal de 5,0 cm2 e 200 espiras? Se a corrente elétrica nesse solenóide cresce uniformemente de zero a 5,0 A em 2,0 ms, qual o módulo e o sentido da força eletromotriz auto-induzida?
2. Qual seria a indutância necessária para armazenar 10,0 kWh de energia em uma bobina conduzindo uma corrente de 500,0 A?
3. Uma bobina circular possui uma indutância de 60,0 mH e uma resistência desprezível. Se ligarmos essa bobina a uma bateria de 12,0 V, também de resistência interna desprezível, qual será o valor da energia armazenada no campo magnético depois que a corrente na bobina atingir seu valor de equilíbrio?
4. Uma bobina circular possui uma indutância de 20,0 mH e uma resistência de 2,0 Ω. Se ligarmos essa bobina a uma bateria de 1,5 V, de resistência interna desprezível, quanto tempo levará para a corrente no circuito alcançar um terço de seu valor fi nal de equilíbrio?
5. A corrente elétrica em um circuito RL diminui exponencialmente. Depois de 1,5 constantes de tempo, qual a fração de energia dissipada no resistor e no indutor?
6. Considere a fi gura 4, tomando ε = 12,0 V, L = 10,0 mH e R = 3,0 Ω, qual a constante de tempo indutiva do circuito e qual o valor da corrente de estado estacionário fi nal? Quanto tempo leva para a corrente atingir 90% de seu valor máximo?
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indutância
Anotações
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Referências11Grupo de Reelaboração do Ensino de Física. Física 3: eletromagnetismo/GREF. 5. ed., 2. reimpr. São Paulo: Edusp, 2005. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de Física: eletromagnetismo. Rio de Janeiro: LTC, 1991, v. 3.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC Livros técnicos, 1999. v. 2.
145
