Función Lineal y Sistemas

Unidad No. 2: Función Lineal y Sistemas

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Armado y diseño de la Unidad: Prof. Andrea Gandolfi

Página web: http://acgandolfi.wix.com/matematica

Mail: [email protected]

Unidad No. 2

Función

Lineal y

Sistemas

Nombre: ………………………….………………

4to. Año 2019

Prof. Andrea Gandolfi Prof. Américo Castello

Casa Salesiana Juan Segundo Fernández

CJSF 4to. Año 2019


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CJSF 4to. Año 2019


Pág. 1

Unidad 2: Función Lineal y Sistemas

Características de la Función Lineal

Una función es lineal, si se expresa de la forma, : /f A B f x mx b siendo m y b números reales.

La ecuación una recta es:

f x m x b

Indica el incremento de la variable dependiente frente a un incremento de la variable independiente. Al cociente de los incrementos o variación de dichas variables es:

Variación de V.D

Variación de V.I

y

mx

Si la pendiente es:

0 m 0 m 0 m

Indica la intersección con el eje de ordenadas.

Es la imagen de 0, 0f

Forma factorizada:

1

f x m x x

Calcular las Raíces o conjunto

de ceros de la función lineal

genérica:

1es la raiz de

la función lineal

x

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Ejemplos de funciones lineales:

1. Completar la siguiente tabla:

Función : Pendiente Ordenada Crecimiento 0C Forma

Factorizada

4 1 y x

5y x

33

2 y x

2y

2 3 1y x

M: Forma factorizada: B:



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Aunque dos puntos determinen una recta, para graficarla es conveniente hallar por lo menos tres

puntos; de este modo, si los puntos están alineados, tendremos la certeza de no haber cometido

ningún error.

Ejemplo 1:

: / 2 1 f f x x

En este caso .......... y ..........m b

Forma factorizada:

Ejemplo 2:

3: / 1

2 h h x x

En este caso .......... y ..........m b

Forma factorizada:

Representamos las siguientes funciones lineales en un mismo sistema (sin tabla de valores):

1: /

2 f f x x

1: / 1

2 g g x x

1: / 3

2 h h x x

¿Cuál es la pendiente de todas las funciones?

¿Las funciones son crecientes o decrecientes?

¿Qué características tienen estas rectas?

x f x

1

0

-1

x h x

-2

0

2

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Representamos las siguientes funciones lineales en un mismo sistema (sin tabla de valores):

1: / 1

2 f f x x

: / 2 3 g g x x ¿Cuál es la pendiente de cada una de las funciones? ¿Las funciones son crecientes o decrecientes? ¿Qué características tienen estas rectas?

2. Representen en un sistema de ejes, sin tabla de valores las siguientes funciones. (teniendo en cuenta la pendiente y la ordenada al origen) y completar analíticamente el conjunto de ceros y la forma factorizada:

a. : / ( ) 4f f x x

Forma factorizada:

b. : / ( ) 3 3g g x x

ImDom

0CCC

II

ejeod

ImDom

0CCC

II

ejeod

Forma factorizada:

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c. : / ( ) 2 1h h x x

d. 2: / ( ) 3

3m m x x

e. : / ( ) 2 n n x

ImDom

0CCC

II

ejeod

ImDom

0CCC

II

ejeod

ImDom

0CCC

II

ejeod

Forma factorizada:

Forma factorizada:

Forma factorizada:

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3. Graficar las siguientes funciones lineales sabiendo que están expresadas en su forma factorizada.

a. : / ( ) 3 1 f f x x b. : / ( ) 2 1 f f x x

c. : / ( ) 0.5 2 f f x x

d. 1: / ( ) 2

3 f f x x

4. Dadas las siguientes fórmulas de funciones lineales:

2 3 0x y

2 2 5x y

1

6 22

y x

3 9 6y x

a. Escribir las mismas de la forma ( )f x mx b y de la forma factorizada

b. Indicar, para cada una, el valor de la pendiente, la ordenada al origen y el conjunto de ceros.

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5. Encontrar la función lineal cuyo gráfico sea una recta que verifique las condiciones pedidas:

a. con pendiente m = -2 y ordenada al origen 4;

b. con pendiente m = -2 y que pase por el punto (2;5)

c. con pendiente m = -2 y que tenga 3oC

d. Paralela a 2 13

y x y que

pase por el punto (3; 2)

e. Paralela a 3 1y x y con ordenada al origen 3

f. Perpendicular a

2 13

y x y con

ordenada al origen -2

g. Perpendicular a 3 2y x y que pase por ( 2; 1)

h. con ordenada al origen 4 y que tenga 2oC

i. con ordenada al origen 3 y que pasa por el punto (3;0)

6. Una empresa de servicios médicos ofrece un plan de $5000 por grupo familiar, con un adicional de $450 por cada estudio de alta complejidad. Expresen la situación mediante una fórmula.

7. Los alumnos de una escuela están juntando dinero para su viaje de egresados. Ya tienen

ahorrados $ 12000 y logran juntar $500 por mes. Indicar cuál sería la fórmula que representa la plata ahorrada (A) en función de los meses (t).

( )A t

8. Una compañía de servicios eléctricos detalla en su factura esta forma de tarifa: Cargo fijo: $171.26, cargo variable $0,8020 por Kwh., (en los valores están incluidos los impuestos)

a. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el importe de la factura?

b. ¿Cuánto abona un usuario que en un bimestre consume 2048KWh?

c. ¿Cuánto consume un usuario que abona $1313.63?

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......f x x b

A Martín le regalaron un autito a pila que viaja a velocidad constante y una pista de madera. Jugando realizó las siguientes mediciones:

a. ¿a. ¿Cuál es la velocidad del autito?

b. ¿A qué distancia del inicio de la pista

largó Martin el auto?

c. ¿Cuál será la fórmula que me permite calcular la distancia al inicio de la pista en función del tiempo?

d. ¿Cuánto tiempo tardó en estar a 60 cm del inicio de la pista?

¿Cómo encontrar la ecuación de una recta?

Si nos presentan un gráfico, tendremos que encontrar la pendiente y la ordenada al origen.

Para calcular la pendiente, determinamos cual es el incremento de un punto a otro.

Por ahora la formula está dada por:

Para calcular la ordenada al origen, (la imagen de cero) podemos generar una ecuación, reemplazando en

la fórmula algún “punto seguro”, por ejemplo ;

La ecuación de la recta es:

Tiempo en marcha (seg) 10 15 25

Distancia al inicio de la pista (cm) 65 90 140

x y

-3 2

1 3

x

f x

y

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9. Hallen analíticamente la ecuación que corresponde a cada recta:

a.

b.

10. Para la recta que pasa por los puntos ( 2;1) y (10;9) :

a. Calcular su pendiente b. Hallar la fórmula

11. Para la recta que corta al eje de abscisas en 2 y al eje de ordenadas en 4:

a. Calcular su pendiente b. Hallar la fórmula

12. Dados los puntos ( 1,3), (3,2) (2, 2)a b y c se pide:

a. Graficar los puntos en un sistema de ejes

b. Hallar analíticamente las ecuaciones de las recta: Ecuación: ab

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Ecuación: bc Ecuación: ca

13. Analicen las siguientes tablas de valores e indiquen cuáles de ellas pueden corresponder a funciones lineales. Hallar su ecuación. Justificar:

14. De un platillo adosado a una viga colgamos diferentes pesos. La posición del platillo, en función del peso se indica en la tabla

a. ¿Se trata de una función lineal?

b. ¿Cuál será la posición del platillo vacio?

c. Hallar la ecuación que relaciona la posición del platillo en función del peso

a. b. c.

x y x y x y

-1 -5 -2 0 -2 -4

0 -3 0 2 -1 -3,5

1 -1 2 5 0 -3

2 1 4 7 3 -1,5

peso 10 g 14g 25 g

Posición del platillo

7cm 7,8cm 10cm

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15. La escala centígrada de temperaturas (escala Celsius) está graduada de 0 a 100. La escala Fahrenheit-usada en los países anglosajones-está graduada de 32 a 212. En ambas escalas , el extremo inferior corresponde al punto de congelación del agua, y el superior al punto de ebullición:

a. Dos puntos determinan una recta. Los puntos 32,0 y 212,100 permiten conocer la fórmula que pasa grados Fahrenheit a centígrados. Calcúlala (deberán llegar a

5 1609 9

y x )

b. Pasa de Fahrenheit a centígrados

i. 15º ºF C ii. 18º ºF C iii. 0º ºF C iv.

451º ºF C

c. Expresa en grados Fahrenheit:

i. 15º ºC F ii. 0º ºC F iii. 90º ºC F

d. ¿Qué temperatura se expresa con el mismo número en ºC y ºF?

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En ocasiones, se presentan situaciones que se pueden representar a través de varias

ecuaciones lineales. Estos sistemas de ecuaciones y su resolución nos permiten abordar

otro tipo de problemas.

Consideren las siguientes rectas; 13

2y x 3

12

y x

a. ¿Se cortan? ¿En qué punto?

b. ¿Se puede decir que ese punto es solución de ambas ecuaciones? ¿Por qué?

1

32

y x 31

2y x

...................

...................

i

II

Estas dos ecuaciones consideradas en forma simultánea representan un sistema de dos ecuaciones

lineales con dos incógnitas.

Resolver un sistema de ecuaciones significa: encontrar, cuando existan, los valores de las

incógnitas que verifiquen las dos igualdades simultáneamente.

Hay diferentes métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Método de Sustitución Método de Igualación Método por Sumas y Restas

Método por Determinantes Método Gráfico

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Interpretación Gráfica

Cada una de las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales puede asociarse a una función lineal, cuya representación gráfica es una recta.

Resolver el sistema significa encontrar las coordenadas del punto que tienen en común ambas rectas.

Ejemplo:

3 1

4 2 18

x y

x y

Despejamos la variable y de las dos ecuaciones, para llevar las ecuaciones a la forma y mx b

1 3y x 4 2 18

4 18 2

2 9

x y

x y

x y

Graficamos dichas rectas en un mismo sistema de coordenadas:

Las rectas se cortan en el punto

2; 5 , por lo tanto la solución del

sistema es 2; 5S

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16. Resuelvan gráficamente los siguientes sistemas y verifiquen la solución.

a.

0,5 1 0,52 3 0x y

y x

b.

3 2 53

x yx y

c.

2 53 2 3

x yx y

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Método de Sustitución

Despejamos una de las variables de cualquiera de las dos ecuaciones; en este caso despejamos: …….. de la ecuación …….

(III)

Sustituimos la expresión que obtuvimos en la otra ecuación. El problema queda reducido a la resolución de una sola ecuación con una sola incógnita.

Resolvemos la ecuación y averiguamos el valor de la variable x

Reemplazamos en (III) el valor de obtenido para averiguar la otra variable.

Para verificar las soluciones que obtuvimos, reemplazamos los valores obtenidos en las

ecuaciones originales

;S

17. Hallen el conjunto solución de los siguientes sistemas mediante el método de sustitución y verifiquen las soluciones.

a.

2 10 35 6 25

x yx y

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2 1 5

11 5

2

1 5

2 2

x y

x y

x y

31 4

22

1 43

2 8

3 3

x y

x y

x y

2 8 1 5

3 3 2 2y y

b.

3 4 122 5 1

x y

x y

c.

4 5 29 2 12

x y

y x

Método de Igualación

Vamos a resolver este sistema aplicando el método de igualación

Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones; en este caso elegimos despejar la variable x

Ecuación I Ecuación II

Igualamos las expresiones que obtuvimos en el paso anterior.

34 1

22 5 1

x y I

x y II

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Resolvemos la ecuación y averiguamos la variable y

Hallamos el valor de x, reemplazando el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones

2 8.

3 3 x

Verificamos

2;1S

18. Hallen el conjunto solución de los siguientes sistemas mediante el método de igualación y verifiquen las soluciones.

a.

53 2 25x yx y

b.

3 4 12 35 2 16

x y

x y

34. 1 3 4 1

24 5 1

2 12

1

5.1

2

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c.

4 3 132 3 8

y xx y x y

Método por reducción de Sumas y Restas

El método de reducción por sumas y restas se basa en la idea de lograr que al sumar o restar las dos ecuaciones, una de las incógnitas se cancele. De este modo podremos reducir el sistema a otro más simple que nos permita despejar la otra incógnita.

Es importante destacar que, antes de sumar o restas las ecuaciones, conviene que estas estén ordenadas o “encolumnadas”

Vamos a resolver este sistema aplicando el método por reducción de sumas y restas

Si calculamos 2.I II cancelamos la variable x

6 2 0

6 8 2 2.

0 6 2 2.

x y I

x y II

x y I II

Resolvemos la ecuación obtenida

2 16 2

6 3y y y

Para hallar el valor de x, reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones originales el valor obtenido.

1 2 2 1 16 2 0 6 .

3 3 3 6 9x x x x

Verificamos

6 2 0

3 4 1

x y I

x y II

1

9

1

9

6 26 2 0 01

3

1

3

9 33 4

13 4 19 3

1 1;

9 3S

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19. Hallen el conjunto solución de los siguientes sistemas mediante el método por reducción de sumas y restas. Verifiquen las soluciones.

a.

62 3 1

x yx y

b.

2 12 5

y xy x

c.

42 6x y

x y

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Método por Determinantes

Vamos a resolver este sistema aplicando el método por determinantes

Es importante destacar que, antes aplicar este método, conviene que las ecuaciones estén ordenadas o “encolumnadas”

Si a b

Ac d

, llamamos determinante de A, y lo denotamos det A ó A , al

resultado del siguiente calculo:ad bc

Realizamos el determinante de los coeficientes:

1 11.3 4.1 1

4 3

Reemplazamos la columna de los coeficientes de x, por los resultados, y realizamos el determinante

8 1

8.3 10 .1 24 10 3410 3

x

Reemplazamos la columna de los coeficientes de y, por los resultados, y realizamos el determinante

1 8

1. 10 4.8 10 32 424 10

y

Definimos xx

e y

y

Entonces 3434

1

x e 4242

1

y

Verificamos:

8 34 42 8

4 3 10 136 126 1

42

4 02

34

34

34; 42S

8

4 3 1 0

x y

x y

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20. Hallen el conjunto solución de los siguientes sistemas mediante el método de determinantes y verifiquen las soluciones.

a.

2 10 35 6 25

x yx y

b.

3 4 122 5 1

x y

x y

c.

4 5 29 2 12

x y

y x

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Pág. 22

Clasificación de los sistemas según su solución

Según el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones pueden clasificarse de la siguiente manera:

Clasificación Ejemplo Resolución analítica Interpretación Gráfica

Sistema Compatible determinado

Solución única

4 3 22

2 5 18

x y

x y

Por reducción: 2

4 3 22

4 10 36

7 14

2

I II

x y

x y

y

y

Entonces: 2 5 .2 1 8

4

x

x

Verificación:

4.4 3.2 22

2.4 5.2 18

4;2S

Sistema Compatible

indeterminado

Infinitas soluciones

4 2 6

8 4 12

x y

x y

Por reducción:

2

8 4 12

8 4 12

0 0

I II

x y

x y

Todos los puntos que verifican las ecuaciones son

solución

0,3 ; 1;1 ; 2; 1 ,...S

Sistema Incompatible

No tiene solución

4 2 10

4 2 20

x y

x y

Por reducción:

4 2 10

4 2 20

0 10

I II

x y

x y

Absurdo

S

Las rectas se cortan en el punto (4,2), la solución del sistema

Se obtienen rectas coincidentes. Por lo tanto, la solución son todos los puntos pertenecientes a la recta

Se obtienen rectas paralelas. Por lo tanto no tienen puntos en común.

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Pág. 23

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Pág. 24

21. Resuelvan utilizando, el método que crean más conveniente. Verifiquen la solución graficando con el . Clasificar.

a. 2

4 1x y

y x

b. 6 42 8x yy x

c. 2 12

52

x yxy

d. 3 0

2 6x y

y x

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Forma Matricial

1 2 2 3 4 3

1 1 12 1 2 1 13 2 3 2 1

1 1 1 1 1 2 1 2 12 1 1 1 1 1 3 ( 1) 7 52 1 3 1 3 23 2 1

11 115 524 24

115 112

11 1

4

1

2 1x

x y z xx y z y

x y z z

1 1 1 11 1 33 ( 19) 34 202 1 1 2

1 1 1 2 1 22 1 1 1 19 11( 1) 33 251 3 1 3

5 524 24

11 5 553 11 1 1 2 2 12 1 1 1 34 33 77 102 3 3 2

1124 242411 5 55 1124 2423 2 4

y

z

Sistemas de 3x3. Regla de Cramer

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que

cumplan las siguientes condiciones:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Forma Matricial

e i f h d i f g d h e g

yx

a b c a b cd e f d e fg h i g h i

a b c e f d f d ed e f a b

j jk kl l

j

ch i g i g hg h ib c a ce

x y z xx y z yx y z z

jk f d f

h ix y

kl g l

z

a b jkd e

i g h lz

Ejemplo:

20 25 104 5 25 5 5

yxx y z

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20 25 104 5 25 5 5

yxx y z

Otra forma de calcular:

a b ca b c d e fd e f g h i

a b ch id e f

g

1 1 11 1 1 2 1 1 111

524

1 11 1 12 1 1 3 2 1 1 1 5 1 13 2 1 2 1 24 2

11 15 1

1 1 1 24 22 1 1

1x

1 1 111 112 1 2 1

15 5243 1 43 2 2

y z

22. Hallar la solución los siguientes sistemas por el método que te resulte más conveniente. Justificar

a.

3 5 1

4 7 5 3

2 3 2

x y z

x y z

x y z

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Pág. 27

b.

2 2 5

3 1

3 2 4

x y z

x y z

x y z

c.

4

2 3 14

0

x y z

x y z

x y z

d.

3 1

2 2 5

3 2 4

x y z

x y z

x y z

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Pág. 28

Aplicaciones. Circuitos Eléctricos

Unidades:

Tensión (U, E) [V]

Corriente o Intensidad (I) [A]

Resistencia (R) [Ω]

V Volt

A AmperOhm

1

A AmperA Amper Ohm V Volt

Ohm

23. Hallar la tensión en el nodo α [alfa] (Uα).

24. Hallar las tensiones de los nodos α y γ [gamma] (Uα y Uγ).

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Pág. 29

25. Hallar las tensiones de los nodos α, γ y δ [delta] (Uα, Uγ y Uδ)

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Pág. 30

Repaso para la evaluación

1. Representen en un sistema de ejes, sin tabla de valores las siguientes funciones. (teniendo en cuenta la pendiente y la ordenada al origen) y completar analíticamente el conjunto de ceros y la forma factorizada:

a. 2: / ( ) 4

3f f x x

Forma factorizada:

b. : / ( ) 3 2f f x x

2. 3. 4. 5. Encontrar la función lineal cuyo gráfico sea una

recta que verifique las condiciones pedidas y realizar el gráfico:

a. Paralela a 1

32

f x x y que pase

por el punto (3; 2)

b. Perpendicular a 1

32

f x x y que

pase por el punto (1; 1)

ImDom

0CCC

II

ejeod

ImDom

0CCC

II

ejeod

Forma factorizada:

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Pág. 31

6. Hallar analíticamente la ecuación de la recta que pasa por : a. los puntos 1,3 y 1,4

b. los puntos

1 ,1 y 1, 32

7. Un bebe al nacer pesa 3,8 kg y tres años después alcanza un peso de 11,5 kg.. Suponga que el peso P de la infancia está relacionado linealmente con la edad t (tiempo medido en años) durante los primeros 5 años de vida.

a. Expresar la fórmula P en función de t .

b. Indicar dominio e imagen en el contexto de la situación.

c. ¿A qué edad pesará 15 kg. d. ¿Cuál será el peso del niño a los 4 años?

8. Resuelvan utilizando, el método que crean más conveniente. Realicen la gráfica. Clasificar.

a. 55

x yx y

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Pág. 32

b. 22

x y xx y y

c.

4 14

y xx y

9. Hallar la solución los siguientes sistemas por el método que te resulte más conveniente. Justificar

a.

2 9

6 2 4 12

3 4 7 15

x y z

x y z

x y z

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Pág. 33

b.

2 1

6 4 4 10

5

x y z

x y z

x y z

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