FUNCIN LINEAL

Una funcin lineal es una funcin cuyo dominio son todos los nmeros reales, cuyo codominio tambin todos los nmeros reales, y cuya expresin analtica es un polinomio de primer grado.

La funcin lineal se define por la ecuacinf(x) = mx + by = mx + bllamadaecuacin cannica, en dondemes la pendiente de la recta ybes el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones linealesf(x) = 3x + 2g(x) = - x + 7h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuacin).

Esta es lagrficade lafuncinlinealy = 3x + 2Vemosque m = 3 y b = 2 (de la formay = mx + b)

Este nmeromse llama pendiente de la recta y es larelacinentre la altura y labase,aquvemos que por cada unidad recorrida enxla recta sube 3 unidades enypor lo que la pendiente es m = 3. &bes el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que laxse incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es,f(x), se incrementa en3unidades.Si el valor de la pendiente es positivo la funcin es Creciente.Preste atencin en que los valores de x y def(x) NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son losincrementos.

g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7

Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que laxse incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es,g(x), disminuye en3unidades.Si el valor de la pendiente es negativo la funcin es Decreciente.h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4

Si x= 98 entonces h(98) = 4

Cada vez que laxse incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es,h(x), NO aumenta.Es la funcin constante. Su grfica es una recta paralela al eje X.

Esta es larepresentacingrafica de los tres tipos de funciones descritas.

FUNCION CUADRATICA

Unafuncin cuadrticaes aquella que puede escribirse como una ecuacin de la forma:

f(x) = ax2+ bx + cdondea,byc(llamadostrminos) son nmeros reales cualesquiera yaes distinto decero(puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor deby decs puede sercero.

En la ecuacin cuadrtica cada uno de sus trminos tiene un nombre.

As,

ax2es el trminocuadrticobxes el trminolinealces el trminoindependienteCuando estudiamos laecuacin de segundo grado o cuadrticavimos que si la ecuacin tiene todos los trminos se dice que es unecuacin completa, si a la ecuacin le falta el trmino lineal o el independiente se dice que la ecuacin esincompleta.

Representacin grfica de una funcin cuadrtica

Si pudisemos representar en una grfica "todos" los puntos[x,f(x)]de unafuncin cuadrtica, obtendramos siempre una curva llamadaparbola.

Parbola del puente, una funcin cuadrtica.

Como contrapartida, diremos que unaparbola es la representacin grficade unafuncin cuadrtica.

Dicha parbola tendr algunas caractersticas o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuacin que la generan.

Estas caractersticas o elementos son:

Orientacin o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (races)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetra

Vrtice

Orientacin o concavidadUna primera caracterstica es laorientacinoconcavidadde la parbola. Hablamos deparbola cncavasi sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos deparbola convexasi sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientacin est definida por el valor (el signo) que tenga el trmino cuadrtico(la ax2):

Si a > 0 (positivo) la parbola es cncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 3x 5

Si a < 0 (negativo) la parbola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = 3x2+ 2x + 3

Adems, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), ms cerrada es la parbola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Races o soluciones) (eje de las X)Otra caracterstica o elemento fundamental para graficar una funcin cuadrtica la da el valor o los valores que adquierax, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las races (soluciones) de cualquier funcin cuadrtica calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las races (soluciones) de una funcin cuadrtica son aquellosvalores de x para los cuales la expresin vale 0; es decir, losvalores de x tales que y = 0; que es lo mismo quef(x) = 0.

Entonces hacemos

ax + bx +c = 0Como la ecuacinax + bx +c = 0posee un trmino de segundo grado, otro de primer grado y un trmino constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la frmula:

Entonces, las races o soluciones de la ecuacin cuadrtica nos indican los puntos de interseccin de la parbola con eleje de las X (abscisas).

Respecto a esta interseccin, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta caracterstica se puede determinar analizando eldiscriminante, ya visto en lasecuaciones cuadrticas.

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Tradicionalmente, el estudio de los logaritmos ha ido inevitablemente acompaado de las tablas logartmicas y del estudio de conceptos tales como el de mantisa, caracterstica, cologaritmo...

Hoy en da esto ya no es necesario. Con la creciente utilizacin de las calculadoras en todos los niveles, el clculo logartmico se ha simplificado enormemente.

Por tanto, en este tema se prescindir del manejo de las tablas y de su explicacin.

La invencin de los logaritmos (palabra de origen griego: logos (logos) = tratado, arithmos (riqmos) = nmeros), se debe al matemtico escocs John Napier, barn de Merchiston (1550-1617), quien se interes fundamentalmente por el clculo numrico y la trigonometra. En 1614, y tras veinte aos de trabajo, public su obraLogarithmorum canonis descriptio, donde explica cmo se utilizan los logaritmos, pero no relata el proceso que le llev a ellos.

Un ao despus, en 1615, el matemtico ingls Henry Briggs (1561-1631), visit a Napier y le sugiri utilizar como base de los logaritmos el nmero 10. A Napier le agrad la idea y se comprometieron a elaborar las tablas de los logaritmos decimales. Napier muere al cabo de dos aos escasos y se queda Briggs con la tarea.

En 1618, Briggs publicLogarithmorum Chiliaes prima, primer tratado sobre los logaritmos vulgares o de Briggs, cuya base es el nmero 10. Briggs hizo el clculo de las tablas de logaritmos de 1 a 20 000 y de 90 000 a 100 000.

En 1620, el hijo de Napier public la obra de su padreMirifici logarithmorum canonis constructio(Descripcin de la maravillosa regla de los logaritmos) donde ya se explica el proceso seguido por Napier, mediante la comparacin de progresiones y la utilizacin de unas varillas cifradas, llamadas varillas o regletas de Napier, para llegar a sus resultados sobre los logaritmos.

Las tablas de los logaritmos decimales de Briggs fueron completadas de 1 a

100 000 en 1628 por el matemtico Vlacq.

Estos resultados fueron muy bien acogidos por el mundo cientfico del momento, que no dud en utilizarlos para la resolucin de clculos numricos.

FUNCION EXPONENCIAL

Se llamafuncin exponencialde base a, siendo a un nmero real positivo y distinto de 1, a la funcin

f:x f(x) = axEsta funcin se escribe tambin comof(x) = expax y se lee exponencial en base a de x.

Antes de dar un ejemplo de funcin exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:

1-a = 1

2-a-n= 1/an

Ejemplos de funciones exponenciales

1-la funcin y = 2xes una funcin exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta funcin,f:Rf(-3) = 2 = 1/2 = 1/8

f(-1/2) = 2-1/2= 1/21/2= 1/2f(1) = 2 = 2

2.la funcin y = 1/2xes una funcin exponencial de base 1/2.Alguno de los valores que toma esta funcin,f:, son:

f(-4) = 2-4= 1/24= 1/16

f(0) = (1/2) = 1

f(2) = (1/2) = 1/4

Propiedades de la funcin exponencial y = ax1a. Para x = 0, la funcin toma el valor 1: f(0) = a = 1

2a. Para x = 1, la funcin toma el valor a: f(1) = a = a

3a. La funcin es positiva para cualquier valor de x:f(x)>0.

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un nmero positivo.

4a. Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la funcin es creciente.

5a. Si la base de la potencia es menor que 1,a 1

En este caso, para x = 0, y = a = 1

para x = 1, y = a = a

para cualquier x, la funcin es creciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la funcin y = 2x.

b)a 0ybesdiferentedecero,entonceslogby = xsiyslosiy =bx.Nota:Lanotacinlogby = xseleeellogaritmode y en la base besx.Ejemplos:1)Aquexponentehayqueelevarla base 5paraobtener25?Alexponente2,yaque52= 25.Decimosqueellogaritmode25 en la base 5es2.Simblicamenteloexpresamosde la forma log525 = 2.Demaneraque,log525 = 2esequivalentea52= 25.(Observaqueunlogaritmoesunexponente.)2)Tambinpodemosdecirque23= 8esequivalentealog28 = 3.Nota:Eldominiodeunafuncinlogaritmoeselconjuntodetodoslosnmerosrealespositivosy elrecorridoelconjuntodetodoslosnmerosreales.Demaneraque, log103estdefinido,peroel log100ylog10(-5) no loestn.Estoes, 3esunvalordeldominiologartmico,pero0 y -5 no lo son.Ejemploparadiscusin:Expresalossiguienteslogaritmosen formaexponencial:

Ejerciciodeprctica:Expresalossiguienteslogaritmosen formaexponencial:

Ejemploparadiscusin:Expresade la formaexponenciala la formalogartmica:

Ejerciciodeprctica:Expresade la formaexponenciala la formalogartmica:

TRABAJO DE CALCULO INTEGRAL

SEGUNDO TRABAJO

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA

ADMINISTRACION DE EMPRESAS I SEMESTRE

MODALIDAD A DISTANCIA

CUCUTA 2014

INTRODUCCIONUna funcin lineal es una funcin cuyo dominio son todos los nmeros reales, cuyo codominio tambin todos los nmeros reales, y cuya expresin analtica es un polinomio de primer grado.

Cuando estudiamos laecuacin de segundo grado o cuadrticavimos que si la ecuacin tiene todos los trminos se dice que es unecuacin completa, si a la ecuacin le falta el trmino lineal o el independiente se dice que la ecuacin esincompleta.

Tradicionalmente, el estudio de los logaritmos ha ido inevitablemente acompaado de las tablas logartmicas y del estudio de conceptos tales como el de mantisa, caracterstica, cologaritmo...

Hoy en da esto ya no es necesario. Con la creciente utilizacin de las calculadoras en todos los niveles, el clculo logartmico se ha simplificado enormemente.

Tomando en cuenta lo sealado, en el presente trabajo se relacionan un conjunto de propiedades reportadas en la literatura sobre las sumatorias y se deducen otras que pueden facilitar clculos tales como la solucin deSistemasdeEcuacionesLineales resultantes del planteamiento del problema de la obtencin de expresiones analticas para la derivada de funciones de variable independiente discreta.

OBJETIVOS

Proporcionar los elementos bsicos de las ecuaciones lineales en sus diversas formas de solucin y representacin, con aplicaciones a situaciones de decisin de la vida real.

Aprender a hacer ecuaciones lineales en una variable o ms ecuaciones cuadrticas y su sistema que se emplea para despejar las incgnitas con dos o tres variables.

Aprender a reconocer y aplicar una funcin cuadrtica.

CONCLUSIONES

Como conclusin de este trabajo puede sealarse que se relacionan un conjunto de propiedades de las sumatorias descritas en la literatura, a partir de las cuales se dedujeron diversas propiedades, que son de particular utilidad para el clculo de los determinantes asociados a la solucin delSistemade Ecuaciones Lineales resultante delplanteamiento del problemade obtencin de expresiones analticas para el clculo de la derivada de funciones de variable discreta.

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