Función Lineal 2016

7/24/2019 Funcin Lineal 2016

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CURSO DE INGRESO 2016.

MATERIAL TERICO DE

MATEMTICA

Unidad 1.2

Funcin lineal.


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INGRESO SEMIPRESENCIAL.

MATEMTICA. AO 2016.

UNIDAD 1.2. FUNCIN LINEAL. 2

Funcin lineal

Introduccin

Analicemos el siguiente ejemplo:

Un automvil sale de una ciudad situada a 50km de la nuestra alejndose a 120km/h. Se

quiere conocer la distancia del auto a nuestra ciudad a medida que transcurre el tiempo.

Podramos comenzar nuestro anlisis confeccionando una tabla de valores en la que se

relacionen las variables distancia a nuestra ciudad y tiempo transcurrido

En horas la distancia, en km, a nuestra ciudad ser

= 120. 50

Esta es la expresin algebraica de la funcin que relaciona las variables: distancia a

nuestra ciudad con tiempo transcurrido.

Esta expresin tiene sentido si la variable independiente, tiempo transcurrido, toma

valores no negativos, es decir

= [0,)

Graficando los puntos anteriores tenemos:

() 0 1 2 2,5 5

()

120.0 50 = 50 120.1 50 = 170 120.2 50 = 290 120.2,5 50 = 350 120.5 50 = 650


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A simple vista podemos observar que todos los puntos estn sobre una lnea recta.

Debido a la naturaleza de las variables, es posible unir los puntos obtenidos para tener la

grfica del problema.

Las funciones de este tipo se encuadran dentro de las funciones polinmicas de primer

grado, ms conocidas como funciones linealesy su grfica siempre es una recta.

Definicin de funcin lineal.

Una funcin: , es lineal si existen nmeros reales y de tal manera que sufrmula es de la forma

()=

En nuestro ejemplo = 120 que representa la distancia en kilmetros que recorre porcada hora transcurrida, mientras que = 50 representa la distancia inicial en kilmetros.

Significado de los valores y Dado que una funcin lineal es de la forma()= ; resulta natural preguntarnosqu significado tienen y para la funcin.

Como

(0)= . 0 , esto es

(0)=

El nmero es la ordenada al origende la funcin lineal.


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Para analizar el nmero tomemos dos valores diferentes y del dominio yllamemos e , respectivamente, a sus imgenes, esto es

=

=

La variacin de la variable dependiente es

=( ) ( )

=

Cancelando y extrayendo factor comn = ( )

Despejando obtenemos

=

Podemos observar que mes la razn entre la variacin de la variable dependiente y lavariacin de la variable independiente y no depende de los valores elegidos del dominio

de la funcin. Este valor recibe el nombre de pendientey est asociado con la inclinacinde la recta.

Definicin de pendiente.

La pendiente de una funcin lineal es el cociente entre la variacin de la variable

dependiente y la variacin de la variable independiente entre dos puntos cualesquiera de

la grfica, esto es,

=

Siendo = (; )y =(; )dos puntos de la grfica de la funcin lineal.

En nuestro ejemplo inicial, si tomamos dos puntos cualesquiera de la grfica de la funcin

= (; )y =(; )y supongamos que > , la diferencia representael tiempo transcurrido entre los dos instantes y y la diferencia representa ladistancia que se recorri en dicho tiempo.

En este caso la pendiente tiene un significado especial

= = = = 120/


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Como nos muestra la grfica, si tomamos

dos puntos de la recta y realizamos el

cociente entre las variaciones,

obtenemos siempre el valor 120. Estevalor es la velocidad, en /, con laque se desplaza el automvil.

Caractersticas de las funciones lineales

Las funciones lineales son montonas, esto es, son crecientes, decrecientes o

constantes en todo su dominio, de acuerdo al valor de la pendiente.

Si > 0, es decir la pendiente es positiva, a valoresmayores de le corresponden mayores imgenes, esto es lafuncin es creciente.

Si < 0, es decir la pendiente es negativa, a valoresmayores de le corresponden menores imgenes, esto es lafuncin es decreciente.

Si = 0, es decir la pendiente es nula, a cualquier valorde le corresponde siempre la misma imgen, esto es, lafuncin es constante.


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SI la funcin es constante, es decir()= , la imagen est formada por un nico

valor, ={}. Si la funcin no es constante, la funcin tiene como imagen al conjunto de los

nmeros reales = .

Si = 0la grfica es una recta que pasa por el origen y recibe el nombre de

funcin de proporcionalidad directa.

Cmo se obtiene la grfica de una funcin lineal?

Si deseamos construir el grfico de una funcin lineal, sabiendo que su grfica es una

recta y quepor dos puntos pasa una nica recta, nuestro objetivo ser encontrar dos

puntos de la grfica de la funcin para luego trazar la recta que pasa por ellos.

Analicemos las diferentes posibilidades al trabajar con el siguiente ejemplo:

Representar grficamente()= 4

1 opcin: con una tabla

Elegimos dos valores al azar de la variable independiente y calculamos sus imgenes

Marcamos los puntos un sistema de ejes cartesianos y trazamos la recta que pasa por

ellos.

=23 4 (; )

3

=23 . (3) 4 = 6 (3; 6)

9 =23 . 9 4 = 2 (9;2)


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Podemos observar que, en este caso, la ordenada al origen es 4y al ser la pendiente, = , un nmero positivo la funcin es creciente.

2 opcin: con la pendiente y la ordenada al origen.

En primer lugar marcamos la ordenada al origen que en este caso es 4. Luego, desde laordenada, siempre en sentido hacia la derecha se corren tantos lugares como indique el

denominador de la pendiente (en nuestro ejemplo es3); luego se corren hacia arriba ohacia abajo (dependiendo del signo de la pendiente) tantos lugares como indique elnumerador de la pendiente (en este caso son 2lugares hacia arriba porque es positiva).


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3 opcin: con la interseccin de los ejes

Como las races de una funcin son los valores de xtalesque() = 0igualando la funcin a cero esto es:

23 4 = 0

y resolviendo la ecuacin determinamos que la raz es = 6.

Esta recta corta al eje xen el punto (6;0)y al eje en(0;4). Marcamos estos dospuntos y graficamos

Ecuacin de la recta

Sabemos que la grfica de una funcin lineal es una recta,

por lo tanto es natural intentar asociar a cada recta, no

vertical, del plano una funcin lineal, es decir, conociendo

cierta informacin de una recta podramos encontrar una

funcin lineal que tenga a sta como su grfica. En ese caso decimos que la frmula de la

funcin lineal es la ecuacin de la recta.

Definicin de ecuacin de la recta.

=

Al valor se lo conoce como pendiente de la recta y al valor como ordenada al origen.

Para pensar: todas las funciones

lineales tienen interseccin con el eje

de las abscisas?

Para pensar: toda funcin lineal tiene

como grfica una recta, pero toda

recta es la grfica de una funcinlineal?


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Conociendo la pendiente y un punto de la recta

Hagamos un ejemplo

Determinar la ecuacin de la recta que tiene pendientey que contiene al punto

= (2,4).

Tomando la ecuacin de una recta

=

Se debe hallar la ordenada al origen ya que:

=12

Pero si = (2,4)es un punto de la recta, entonces satisface su ecuacin, esto es, si = 2, entonces = 4

4 =12 (2)

Luego, despejando la ordenada resulta = 5

La ecuacin de la recta es

=12 5

Conociendo dos puntos de la recta

Veamos el siguiente ejemplo

Determinar la ecuacin de la recta pasa por los puntos

= (2,3)y

= (5;1)

Deseamos determinar y para encontrar la ecuacin de la recta

=

Podramos designar las componentes de cada punto como

= 2, = 3, estas son las componentes del punto y

= 5, = 1las componentes del punto .

Para calcular la pendiente:

Recordemos que la pendiente de la

recta que pasa por los puntos = (; )y = (; )es =


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=1 (3)5 2 =23

Luego, tomando uno de los puntos, es posible calcular la ordenada al origen en

=23

Eligiendo a = (2;3), por lo tanto:

3 =23 . 2

= 133

Entonces la ecuacin de la recta es:

=23 133

Relaciones entre rectas

Rectas paralelas

Para Identificarlas tenemos: dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

Por ejemplo, las rectas = 3 6 y = 3 4son paralelas porque ambastienen pendiente 3, como observamos en el grfico dichas rectas no se cortan.


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Rectas secantes

Dos rectas son secantes si se cortan en algn punto. Las rectas secantes son las que tienenpendientes diferentes.

Como caso particular de rectas secantes tenemos las rectas que se cortan formando

ngulos de 90, estas rectas se denominan perpendiculares.

Para Identificarlas tenemos: dos rectas son perpendiculares si la multiplicacin entre las

pendientes da como resultado -1.

Como ejemplo tenemos las rectas = 6 y = 1que son

perpendiculares ya que . = 1

Podemos observar que las pendientes de rectas

perpendiculares tienen distinto signo y, dadas en forma de

fraccin, los numeradores y denominadores estn

invertidos.

Para aplicar los ltimos conceptos resolvamos el siguiente ejercicio:

Dada la recta : = 4 5

a) Hallar la ecuacin de la recta paralela a que pasa por = (1,1).b) Hallar la ecuacin de la recta perpendicular aque pasa por el origen.

Para pensar: hay alguna recta

perpendicular a = 2?


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La resolucin podra ser de esta manera

a)

Para hallar la ecuacin de la recta debemos conocer su pendiente. Como la rectaes paralela a , ambas pendientes son iguales, es decir si la ecuacin de la recta es

=

Debe ser = 4

Luego la ecuacin de la recta paralela es

= 4

Para hallar , reemplazamos las coordenadas del punto 1 = 4.1

= 5

Por lo tanto, podemos afirmar que la ecuacin de la recta paralela a que pasa por , es

: = 4 5

b) Para hallar la recta perpendicular debemos recordar la relacin entre las

pendientes de dos rectas perpendiculares, con lo cual si la ecuacin de la recta quedeseamos determinar es

=

Debe ser =

Luego como la recta pasa por el origen de coordenadas,

0 = . 0

Resulta que debe ser cero

Por lo tanto la ecuacin de la recta perpendicular a quepasa por (0,0)es,

: = 14 .

En el grfico de la derecha podemos observar las rectas

, y .


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Estudio analtico de funciones lineales

Analicemos los siguientes ejemplos de funciones lineales:

i) ()= 2 7

El dominio de la funcin es

=

Su pendiente es = 2, al ser negativa, indica que es decreciente en todo su dominio y,dado que no es una funcin constante,

= La ordenada al origen es(0)= 7.

Para calcular , el conjunto de ceros, igualamos la funcin a cero, esto es:

()= 0

2 7 = 0

2 = 7

=72

Por lo que =

Para calcular el conjunto de positividad, +, resolvemos la inecuacin()> 0, esto es:

()> 0

2 7 > 0

2 > 7


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Podemos observar la informacin extrada en la grfica de la funcin:

ii) ()= 6

El dominio de la funcin es,

= Pero al ser la pendiente 0resulta que la funcin es constante, es decir toma nicamenteel valor6, en consecuencia la imagen est formada slo por ese valor

={6}

La ordenada al origen es (0)= 6

La funcin nunca vale cero de modo que

=

Y como toma siempre el valor6, que espositivo, resulta que: += y=


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Funcin de proporcionalidad directa

Se desea relacionar el peso de una persona en la Luna conociendo su peso en la Tierra,sabiendo que una persona que en la Tierra pesa 60 en la Luna su peso es 10 .

Podramos comenzar construyendo una tabla que relacione las variables peso en la

Tierra y peso en la Luna, siendo la ltima dependiente de la primera.

Peso en la Tierra (kgf) 60 120 30 6 1

Peso en la Luna (kgf) 10 20 5 1 1/6

Podemos observar que si el peso en la tierra se duplica o se triplica, el peso en la Luna

tambin lo hace y si el peso en la Tierra disminuye a la mitad o a la dcima parte, ocurre

lo mismo con el peso en la Luna.

En general si una de las dos variables aumenta la otra aumenta en la misma proporcin y

si una disminuye la otra disminuye en la misma proporcin, esto es, las variables se

relacionan de manera directamente proporcional.

Si llamamos

al peso en la Luna y

al peso en la Tierra, observamos que

=

1060=

20120=

530=

16=

1/61 = 0,16

El valor 0,16 (expresado en fraccin) es lo que se conoce como constante deproporcionalidad y la frmula que relaciona las variables es

=16


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Definicin de funcin de proporcionalidad directa.

Una funcin: , es de proporcionalidad directa si existe un nmero real , distintode cero, de tal manera que su frmula es de la forma

()=

Como mencionamos anteriormente, las funciones de proporcionalidad directa, son un

caso particular de las funciones lineales en las que la ordenada al origen es cero, el valor

, la pendiente de la recta, es la constante de proporcionalidad.

Modelizacin de situaciones con funciones lineales

Las funciones nos sirven para modelizar y resolver situaciones de la vida real, y dar

respuesta a problemas concretos. En los siguientes ejemplos la modelizacin se har

utilizando funciones lineales.

1) La boleta de gas se factura a razn de $0,35 por consumido, ms $50 de abonomensual.

a)Escribir la expresin que permite calcular el dinero que se deber pagar en

funcin del volumen, en , de gas consumido.b)Si una familia consumi 170 cunto pagar?c)

Cul fue el consumo de una familia que gast $91,44?

a) El dinero a abonar y el volumen de gas consumido corresponden al modelo lineal.

Llamamos a

: Volumen de gas consumido ()

: Dinero a pagar ($)

Para determinar la frmula, que por ser lineal es de la forma

=

Debemos hallar y .

En este caso, la pendiente es 0,35debido a que es el costo por de gas consumido.

Si no se consume nada, de igual manera se deben abonar $50, por lo que la ordenada alorigen es 50. La frmula viene dada por

= 0,35 50


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b) Si la familia consumi 170, sustituyendo en la ecuacin anterior a por 170seobtiene:

= 0,35 .170 50

= 109,5

Es decir que si una familia consume 170 , deber pagar $109,5

c) SI la familia gast $91,44se conoce el valor de la variable , con lo cual se debecalcular el valor de que se corresponde con l.

Como

= 0,35 50

Siendo = 91,44

91,44 = 0,35 50

Despejando , resulta

= 118,4

Es decir que si una familia paga $91,44 consumi 118,4 de gas.2) Un carpintero que fabrica sillas calcula que el costo diario por producir 3 sillas es

de $100 y $200 si produce 11. Determinar la ecuacin del costo diario, suponiendo

que la relacin es lineal.

Consideremos las variables

: Cantidad de sillas producidas

: Costo diario

Siendo el costo diario dependiente de la cantidad de sillas producidas.

Sabemos que si produce = 3sillas, el costo es = 100y, si produce = 11entonces el costo es = 200, considerando los pares ordenados

=(3; 100) y = (8; 200)

La pendiente de la recta es:

= =200 10011 3 =1008 = 12,5


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Sustituyendo en la frmula:

=

= 12,5

Tomando el punto (3; 100)y despejando

100 = 12,5 . 3

= 62,5

Por lo tanto la funcin costo diario es

= 12,5 62,5

Es importante notar que el grfico de esta funcin no

es una recta, sino un conjunto infinito de puntos

alineados ya que, al ser la variable independiente

cantidad de sillas producidas, la frmula tiene sentido

en el problema slo para nmeros naturales. Esto es

=

A MODO DE RESUMEN

En este apunte trabajamos las funciones lineales,

aquellas funciones cuya frmula es de la forma

()= , es decir, un polinomio de primergrado. Todas las funciones lineales tienen como

grfica una recta.

El nmero se llama pendiente y estrelacionado con la inclinacin de la recta.

Si la pendiente es positiva la funcin es creciente,

si es negativa es decreciente y si es cero la

funcin es constante.

Si la funcin es constante la imagen est formada

por un nico valor, si no es constante es .

El nmero es la ordenada al origen y es el valordonde la recta corta al eje .

Si la ordenada al origen es cero funcin lineal, de

la forma()= con 0, es una funcin deproporcionalidad directa, en ellas si una variable

aumenta o disminuye, la otra tambin lo hace en

la misma proporcin.

La ecuacin de una recta no vertical tiene la

forma = , si conocemos la pendiente ylas coordenadas de un punto de la misma es

posible determinar su ecuacin.

De la misma manera si conocemos las

coordenadas de dos puntos de la recta, vimos


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que es posible determinar su pendiente con la

frmula = y luego su ecuacin.

Las rectas paralelas son las que tienen la misma

inclinacin, es decir las pendientes iguales.

Las rectas que no tienen la misma pendiente, las

rectas secantes, se cortan en un punto. Como

caso particular de rectas secantes vimos las

rectas perpendiculares, ests son las que se

cortan en un punto formando ngulos rectos.

En las rectas perpendiculares el producto de las

pendientes es igual a 1, de manera equivalente,las rectas perpendiculares son las que tienen las

pendientes de distinto signo y, en forma de

fraccin, estn invertidos su numerador y

denominador.

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