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ANALISIS DE CIRCUITOS IIREPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
• Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.
• Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.• Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada• No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema
DIAGRAMAS DE BLOQUES
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.
RESPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Es usual emplear representaciones graficas de la función de transferencia. Ello es especialmente patente en los métodos clásicos, en los que se trabaja en el dominio de la frecuencia.
DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS
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El término cero se refiere al número mientras la palabra polo es una traducción del inglés pole, que podría traducirse como polo. Estos términos adquieren sentido cuando se grafica la magnitud de como una función de la frecuencia compleja . Esto se realiza en lo que se denomina el plano- , que es simplemente un plano donde el eje de ordenadas representa los números reales y el eje de abscisas números puramente imaginarios. Dado que es una variable compleja, ésta puede graficarse como un vector que parte desde el origen y cuya distancia al origen representa su magnitud mientras su ángulo respecto al eje de los números reales representa la fase.
El plano z
La magnitud de H(Z) es real y puede interpretarse como la distancia sobre el plano- . El gráfico de H(Z) aparece entonces como una superficie infinitamente delgada que se extiende en todas las direcciones del plano. Los ceros son puntos donde la superficie casi toca el plano- . Por el contrario, los polos representan puntos donde ésta superficie alcanza una gran altitud y se hacen cada vez más angostos a medida que se alejan del plano.
Este tipo de diagrama resulta útil porque muestra una representación gráfica tanto de la respuesta de amplitud como de fase de un filtro digital. Todo lo que se necesita conocer son los valores de los polos y ceros para poder estimar en forma gráfica la respuesta de fase y magnitud.
Estimación de la respuesta de amplitud mediante un diagrama de polo y ceros
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Estimación de la respuesta de fase mediante un diagrama de polo y ceros
La magnitud de la respuesta de frecuencia, o respuesta de amplitud para cada frecuencia está dada por el producto de las magnitudes de los vectores dibujados desde los ceros hacia el círculo unitario dividido por el producto de las magnitudes de los vectores dibujados desde los polos hacia el círculo unitario.
La respuesta de fase de obtiene dibujando líneas desde todos los polos y ceros hacia el círculo unitario. Los ángulos de las líneas de los ceros se suman y los ángulos de las líneas de los polos se restan.
DIAGRAMA DE NYQUIST
El diagrama de Nyquist es una curva parametrizada en ω que para cada punto o frecuencia da el modulo y el argumento de la función de transferencia.
Una forma de mostrar cómo se comporta un sistema sobre un intervalo de frecuencias angulares es trazar los datos de la respuesta para el sistema en un diagrama de Nyquist. El diagrama de Nyquist es una traza polar de la respuesta en frecuencia del sistema.
El diagrama de Nyquist de una FdT isócrona es una gráfica de la magnitud de
contra el ángulo de fase de en coordenadas polares, conforme varía de cero a infinito.
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Por lo tanto el diagrama de Nyquist es el lugar geométrico de los vectores conforme varia de cero a infinito. El diagrama de Nyquist también se denomina traza o curva polar.
La magnitud y el ángulo de fase deben calcularse directamente para cada frecuencia con el propósito de construir el diagrama de Nyquist. Sin embargo dado que es fácil construir diagramas de bode asintóticos, los datos necesarios para graficar la traza polar deben obtenerse directamente del diagrama de Bode. O bien, por supuesto, puede usarse
MATLAB para obtener una traza polar , de forma precisa para diversos valores de en el rango de frecuencias que interesa.
VENTAJA: En una sola gráfica podemos ver la respuesta en frecuencia de un sistema en el rango de frecuencias completo
DESVENTAJA: La traza no indica en forma clara la contribución de todos los factores individuales de la función de transferencia.
Geometría de las curvas polares:
Dada la siguiente FdT: de orden 5 (l=5), donde se cumple:
; ;
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En el diagrama de Nyquist se observa que el trazado da 5 cuartos de vuelta alrededor del punto 0,0, cosa que coincide con el orden del sistema (l):
Realizamos las siguientes transformaciones
Analicemos el factor W(s)
:
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Esto nos lleva a la conclusión que siempre que se añde un factor con parte real positiva (s-a), el sistema presenta un retroceso de 2 cuartos de vuelta.
Para una FdT general se tiene:
donde:
CV: Cuartos de vueltal: orden de L(s)p: numero de raíces reales positivasm: orden de H(s)q: numero de raíces reales positivas de H(s)
Criterio de estabilidad de Nyquist
Sea un sistema realimentado tenemos:
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Transferencia en anillo abierto:
Función de transferencia en anillo cerrado:
Tal como vimos en el apartado de influencia de polos y ceros para que el sistema sea estable todos los polos de W(s) deben estar en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto de T(s) con el número de polos y ceros de W(s) que se encuentran en el semiplano derecho s. Este criterio que se debe a H.Nyquist, es útil en ingeniería de control porque la estabilidad absoluta del sistema en lazo cerrado se puede determinar gráficamente a partir de las curvas en frecuencia en lazo abierto y no hay necesidad de determinar realmente los polos de lazo cerrado. El criterio de estabilidad de Nyquist se puede expresar de la forma siguiente:
DIAGRAMA DE BODE
Una función de transferencia isócrona puede representarse mediante dos gráficas distintas:
una que ofrece el logaritmo de la ganancia, y otra que muestra el ángulo de la fase (en
grados) contra la frecuencia en escala logarítmica. Estas gráficas son conocidas como el
Diagrama de Bode, herramienta esencial en el análisis frecuencial.
Se trata de la representación frecuencial de la FdT mediante dos curvas en función de la
frecuencia en escala logarítmica. La primera es la relación de amplitudes y la
segunda el ángulo de fase
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Un sistema en lazo cerrado es estable en el sentido entrada-salida si la traza
polar de la función de transferencia en anillo abierto recorrida en el
sentido creciente de las pulsaciones describe en torno al punto (-1,0) tantas medias vueltas como numero de polos de parte real positiva tenga
donde p es el numero de polos de parte real positiva de
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Características:
Se parte de la FdT en notación polar
Se trabaja con ganancias logarítmicas
El ángulo de fase en grados
El diagrama se hace a partir del trazado de las formas canónicas ya que la FdT en
notación polar se puede descomponer , lo que facilita el trazado del diagrama.
El proceso de obtener la traza logarítmica se simplifica todavía más mediante aproximaciones asintóticas para las curvas de cada factor.
Representación de las formas canónicas:
a) Proporcionalidad
b) Factor integrador
c) Factor diferencial
d) Sistema de primer orden en el numerador
e) Sistema de primer orden en el denominador
f) Sistema de segundo orden en el numerador
g) Sistema de segundo orden en el denominador
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RESUMEN DIAGRAMA DE BODE
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FdT GANANCIA [dB] FASE [ º]
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Se puede decir que el diagrama de bode consiste en la representación grafica de la función de transferencia mediante dos curvas una relativa a la amplitud y una a la fase.
En ambas curvas, en abscisas se representa el logaritmo de ω. En coordenadas se representa en un caso la relación de amplitudes en escala logarítmica, mientras que en el segundo la fase en escala natural (en grados o en radianes).
BIBLIOGRAFÍA:
Libros:
- Hayt, Kemmerly; Análisis de circuitos eléctricos en ingeniería, Ed. McGraw Hill 7ma. Edición
- DORF, Richard - Circuitos Eléctricos Introducción al Análisis y Diseño - Segunda edición - Ed. Alfaomega
Internet:
http://www.esi2.us.es/~guiller/CD%200506-tema%205.pdf
http://www.ie.itcr.ac.cr/marin/lic/el3212/Diagramas%20de%20Bode.pdf
http://usuarios.multimania.es/automatica/temas/tema5/pags/nyquist/inicio.htm
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