Función matemática 151015

8/19/2019 Función matemática 151015

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Función matemática

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada

polígono le corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u ojetos de «entrada» en los

valores u ojetos de «salida»

En matem!ticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de laprimera depende e"clusivamente del valor de la segunda. #or ejemplo el !rea A deun círculo es función de su radio r $ el valor del !rea es proporcional al cuadrado delradio, A % π &r '. (el mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudadesseparadas por una distancia d de )*+ m depende de la velocidad v a la que este sedesplace$ la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d - v . A la primera magnitudel !rea, la duración/ se la denomina variale dependiente, y la cantidad de la que depende elradio, la velocidad/ es la variale independiente.

En an!lisis matem!tico, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere auna regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de unsegundo conjunto correspondencia matem!tica/. #or ejemplo, cada número entero posee un

único cuadrado, que resulta ser unnúmero natural incluyendo el cero/$... −2 → +4, −1 → +1, ±0 → ±0,

+1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y elconjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son lasm!s conocidas, no son el único ejemplo$ puede imaginarse una función que a cada palaradel espa0ol le asigne su letra inicial$

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palaras del espa0ol y el conjunto de las letrasdel alfaeto espa0ol.

1a manera 2aitual de denotar una función f es$

https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_bipartitohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_bipartitohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_bipartitohttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Lado_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Lado_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Caja_negra_(sistemas)https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(%C3%A1lgebra)https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_composici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_composici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(%C3%A1lgebra)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_espa%C3%B1olhttps://es.wikipedia.org/wiki/Letrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Letrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_espa%C3%B1olhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Lado_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Caja_negra_(sistemas)https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(%C3%A1lgebra)https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_composici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(%C3%A1lgebra)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_espa%C3%B1olhttps://es.wikipedia.org/wiki/Letrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_espa%C3%B1olhttps://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_bipartito


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f $ A 3 B

a 3 f a/,

donde A es el dominio de la función f , su primer conjunto o conjunto de partida4y B es el codominio de f , su segundo conjunto o conjunto de llegada. #or f a/ sedenota la regla o algoritmo para otener la imagen de un cierto ojeto aritrario a deldominio A, es decir, el único/ ojeto de B que le corresponde. En ocasiones estae"presión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio ycodominio por el conte"to. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e«inicial», ll!meseles f y g , se denotarían entonces como$

f $ Z 3 N k 3 k ', o sencillamente f k / % k '4

g $ V 3 A

p 3 5nicial de p4

si se conviene V % 6#alaras del espa0ol7 y A % 6Alfaeto espa0ol7.

Una función puede representarse de diversas formas$ mediante elcitado algoritmo o ecuaciones para otener la imagen de cadaelemento, mediante una tala de valores que empareje cada valor dela variale independiente con su imagen 8como las mostradas arria8, o como una gr!fica que d9 una imagen de la función.

2. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que

llamamos imagen o transformado.

A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable inde

• Variable independiente: la que se fija previamente

• Variable dependiente: a que se deduce de la variable independiente.

as funciones son como m!quinas a las que se les introduce un

elemento x y devuelven otro valor y, que tambi"n se designapor f(x).

#or ejemplo, la función f(x) $ %x& ' es la que a cada númerole asigna el cuadrado del número multiplicado por % y luegosumado .

As f(2) $ %*&& ' $ %*+ ' $ & ' $ 13

Ejercicio 1:

a función f asigna a cada número natural el resultado de sumarle % yelevar la suma al cuadrado.

a función g asocia a cada número natural el resultado de elevarlo alcuadrado y sumarle %.

https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Codominiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Codominiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Codominiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n


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ados dos conjuntos A y -, llamamos función a lacorrespondencia de A en en la cual todos los elementos deA tienen a lo sumo una imagen en , es decir una imagen oninguna.

!unción real de "ariable real es toda correspondencia f #ueasocia a cada elemento de un determinado subconjunto den$meros reales% llamado dominio% otro n$mero real&

f : ' x f(x) y

l subconjunto en el que se define la función se llama dominio ocampo existencia de la función. /e designa por .

l número x perteneciente al dominio de la función recibe elnombre de "ariable independiente.

Al n$mero% y% asociado por f al "alor x% se le lla ma "ariabledependiente& a imagen de x se designa por f(x) . uego

y f(x)

/e denomina recorrido de una función al conjunto de los"alores reales #ue toma la "ariable y o f(x) .

x

*onjunto inicial *onjunto final

'ominio *onjunto imagen o recorrido

El dominio es el conjunto de elementos #ue tienen imagen&

' +x ∈ , ∃ f (x)-


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El recorrido es el conjunto de elementos #ue son im.genes&

/ +f (x) , x ∈ '-

ominio, codominio y rango

n su forma m!s simple el dominio

son todos los valores a los que aplicar

una función, y el rango son los

valores que resultan.

#ero de 0ec0o son conceptos

importantes cuando sedefine unafunción. 1/igue leyendo2

Por favor, primero lee " ¿Qué es una función? "...

Funciones

Una función relaciona una entrada con una salida.

jemplo3 este !rbol crece &4 cm cada a5o, as que

la altura del !rbol est! relacionada con la edad por

la función a3

a(edad) edad 0 2

As que si la edad es 4 a5os, la altura es a(4) $&44 cm

ecir que 6a(1) 26 es como relacionar 4 con &44. 7 bien 4 3 &44

Entrada y salida

#ero muc0as veces es importante decir qu" valores pueden entrar y pueden salir deuna función.

Aqu tienes algunas ra8ones3

• a función no funciona si das valores equivocados (como una edad negativa)

• imitar los valores de entrada te puede permitir 0acer despu"s cosas especiales

con la función

• /aber el tipo de valores de salida (por ejemplo siempre positivos) tambi"n

ayuda

http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html


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ntonces, 9cómo se dice lo que entra o sale en una función: respuesta: seusan conjuntos&&&

Un conjunto es una colección de cosas, por

ejemplo números.

Aqu tienes unos e!e"#$os%

Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}

Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}

Mútipos positi!os de 3 "ue son menores "ue 10: {3, #,$}

e 0ec0o, las funciones se definen sobre conjuntos3

Definición formal de una función

Una función relaciona cada elemento de

un conjunto

con exactamente un elemento de otro

conjunto

(puede ser el mismo conjunto).

Dominio y rango

;ay nombres especiales para lo #ue puede entrar, y tambi"n lo #ue puede salir deuna función3

o que puede entrar en una función se llama el dominio

o que es posible #ue salga de una función se llamael codominio

o que en realidad sale de una función sellama rango o imagen

ntonces, en el diagrama de arriba el conjunto 6


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Parte de la función

o que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero defines eldominio.

e 0ec0o el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una

función diferente.

jemplo3 una simple función como f(x) $ x& puede tener dominio (lo que entra) losnúmeros de contar >,&,%,...?, y el rango ser! entonces el conjunto >,+,@,...?

= otra función g(x) $ x& puede tener como dominio los enteros >...,%,&,

,4,,&,%,...?, entonces el rango ser! el conjunto >4,,+,@,...?

Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado,operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidasdiferentes.

Bambi"n tienen diferentes propiedades.

#or ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede darla misma respuesta para dos entradas (como g(42)5 y g(2)5)

As que el dominio es una parte muy importante de la función.

ntonces, 9todas las funciones tienen su dominio:

/, pero en matem!ticas sencillas no lo notas, porque el dominio se supone3

• Cormalmente se supone que es algo as como 6todos los números que 0acen

que funcione6.

• 7 si est!s estudiando números enteros, el dominio ser! los enteros.

• etc.

1#ero en matem!ticas m!s avan8adas tienes que tener cuidado2


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Codominio y rango

l codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo

mismo.

l codominio es el conjunto de valores que podr6an salir.

l rango es el conjunto de valores que realmente salen.

jemplo3 puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros

(porque tú lo eliges as).

#ero si lo piensas, ver!s que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los

enteros pares.

As que el codominio son los enteros (lo 0as elegido tú) pero el rango son los enteros

pares.

As que rango es un subconjunto del codominio.

78or #u9 los dos -ueno, a veces no conoces exactamente el rango (porque lafunción es complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto en el que

está (como los enteros o los reales). As que defines el codominio y sigues trabajando.

La importancia del codominio

"jame que te 0aga una pregunta3 9la raíz cuadrada es una función:

/i tú dices que el codominio (las salidas posibles) es el conjunto de los n$merosreales, 1entonces la ra8 cuadrada no es una función2 ... 9te sorprende:

a ra8ón es que podra 0aber dos respuestas para una entrada, por ejemplo f(9) =

3 o -3

Una función debe ser univaluada. Co puede dar & resultados para el mismo valor de

entrada. 1#or ejemplo 6f(&) $ D o @6 no est! bien2

#ero se puede arreglar simplemente limitando el codominio a los números reales nonegativos.

; e 0ec0o, el smbolo radical (como en ;x) siempre significa la ra8 cuadradapositiva (la principal), as que ;x es una función porque su codominio es correcto.

As que el codominio #ue elijas puede afectar el que algo sea o no una función.

Notación

A los matem!ticos no les gusta escribir muc0as palabras cuando unos pocos smbolos

0acen el mismo trabajo. As que 0ay maneras de decir que 6el dominio es6, 6el

codominio es6, etc.

sta es la mejor manera que cono8co3

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/cuadrados-raices-cuadradas.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/cuadrados-raices-cuadradas.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html


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sto dice que la función 6f 6 tiene dominio 6


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La grfica de una función de primer grado !e llama "am#i$n función lineal por%ue!u grfica e! !iempre una l&nea rec"a.

La grfica de una función de !egundo grado !e llama "am#i$n función cuadr"ica! '!u grfica e! una cur(a llamada par#ola.

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