ORGANIZACIÓN MATEMÁTICA DE LA FUNCIÓN LINEAL Y …

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

ESCUELA DE POSGRADO

ORGANIZACIÓN MATEMÁTICA DE LA FUNCIÓN LINEAL Y

FUNCIÓN AFÍN EN UN LIBRO DE TEXTO DE SEGUNDO

AÑO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

Tesis para optar el grado de Magíster en Enseñanza de las Matemáticas

que presenta

JOSÉ MIGUEL TIBURCIO RIVAS

Dirigido por

FLOR ISABEL CARRILLO LARA

San Miguel, 2017

A mis padres, por guiarme en el camino del bien y por su apoyo incondicional.

A mis hermanas, por estar siempre conmigo.

A mi esposa e hija, por su apoyo y motivación.

A mi asesora, un agradecimiento muy especial,

por su dedicación y apoyo brindados.

A mis formadores y amigos.

RESUMEN

El presente trabajo de investigación tiene por objetivo describir y analizar la organización

matemática presente en un libro de texto del segundo año de educación secundaria en torno a

los objetos matemáticos función lineal y función afín; dicho texto es distribuido de manera

gratuita a todos los estudiantes de los colegios públicos del Perú.

Para realizar este estudio tomamos en cuenta investigaciones relacionados a los objetos

matemáticos función lineal y función afín, según las dificultades que presentan los estudiantes

cuando se enfrentan al desarrollo de problemas de dichos objetos.

Sobre la base de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) de Chevallard describimos la

organización matemática (OM) presente en el libro de texto a analizar. Para ello, usamos los

elementos que nos proporciona dicha teoría como las tareas, los tipos de tareas, técnicas,

tecnologías y teoría. Además tomamos como referencia el Diseño curricular Nacional (2009)

y tesis doctorales para analizar el contenido de cada uno de los problemas presentados en el

libro de texto que tratan el tema de la función lineal y la función afín.

Finalmente, se presenta un análisis sobre el grado de completitud de las organizaciones

matemáticas locales de nuestros objetos en estudio en el libro de texto Matemática 2

secundaria.

Palabras Clave: Función lineal, Función afín, praxeología, Teoría Antropológica de lo

Didáctico.

ABSTRACT

This research aims to describe and analyze the present organization math textbook in the

second year of secondary education around the mathematical objects related linear function

and function; the text is distributed free of charge to all students in public schools of Peru.

To do this we consider research related to mathematical objects related linear function and

function as the difficulties presented by students when faced with development problems such

objects.

Based on anthropological theory of the didactic (TAD) of Chevallard describe the

mathematical organization (OM) present in the textbook to analyze, for this we use the

elements that gives us the theory including: the types of tasks, tasks, techniques, technologies

and theory. In addition we consider the National Curriculum Design 2009 and doctoral theses

to analyze the content of each of the problems presented in the text around the linear function

and affine function.

Finally notes the degree of completeness for the selected text and relate these results to the

difficulties presented by the students when facing the treatment of these mathematical objects.

Keywords: linear function, related function, praxeology, Anthropological Theory of Didactic.

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Actividad 6. Noción de la pendiente para dos casos. ................................................ 20

Figura 2: Actividad 6. Gráfica de una recta según sus parámetros. ......................................... 21

Figura 3: Actividad 4. Gráfica de una recta según su expresión algebraica. ............................ 22

Figura 4: Actividad 3. Problema dado en lenguaje natural. ..................................................... 23

Figura 5: Descripción del nivel VI ciclo. ................................................................................. 26

Figura 6: Actividades para recordar saberes previos. ............................................................... 56

Figura 7: Ejercicio propuesto de introducción a la función lineal. .......................................... 58

Figura 8: Definición de función lineal. ..................................................................................... 58

Figura 9: Ejercicio propuesto 2 - subtítulo 1. ........................................................................... 59

Figura 10: Ejercicio propuesto 5 - subtítulo 1. ......................................................................... 59

Figura 11: Gráfico sobre dominio y rango de una función....................................................... 60

Figura 12: Solución del ejemplo 2- dominio y rango. .............................................................. 60

Figura 13: Ejercicio propuesto 2 – subtítulo 2. ........................................................................ 61


Figura 15: Ejemplo 4 modelización. ........................................................................................ 62






Figura 21: Ejercicio propuesto 4 - subtítulo 4. ........................................................................ 65


Figura 23: Ejercicio propuesto 1 - ítem para el cuaderno......................................................... 66





Figura 28: Ejercicio propuesto - matemática en los medios. .................................................... 68

Figura 29: Ejercicio propuesto 1 - evaluación en proceso........................................................ 69

Figura 30: Ejercicio propuesto 2 - evaluación en proceso........................................................ 69

Figura 31: Ejercicio propuesto 1 - heteroevaluación. ............................................................... 70

Figura 32: Ejercicio propuesto 2 - heteroevaluación. ............................................................... 70

Figura 33: Ejercicio propuesto 5 - heteroevaluación. .............................................................. 71

Figura 34: Ejercicio 3 - subtítulo 1. .......................................................................................... 87

Figura 35: Ejemplo 1 - función lineal. ...................................................................................... 88

Figura 36: Ejemplo 6. ............................................................................................................... 89

Figura 37: Ejercicio 7- subtítulo 3. ........................................................................................... 90

Figura 38: Ejercicio 3 de evaluación en proceso. ..................................................................... 90

Figura 39: Ejercicio 6 - primer subtítulo. ................................................................................. 91

Figura 40: Ejercicio propuesto de introducción a la función afín. ........................................... 92

Figura 41: Definición de función afín. ..................................................................................... 92

Figura 42: Ejercicio propuesto 1 - subtítulo 1 función afín. ..................................................... 93

Figura 43: Ejercicio propuesto 4 - subtítulo 1 sobre función afín. .......................................... 93


Figura 45: Ejemplo 3 - subtítulo 1 dominio y rango de la función afín. .................................. 94




Figura 49: Ejercicio propuesto 7 - subtítulo 2 función afín. .................................................... 96

Figura 50: Ejemplo 5 - subtítulo 3 función afín. ...................................................................... 96





Figura 55: Ejercicio 3 - subtítulo 4 función afín. ..................................................................... 98


Figura 57: Ejercicio propuesto 4 - sección para el cuaderno función afín. .............................. 99

Figura 58: Ejercicio propuesto 7 - sección para el cuaderno función afín. .......................... 100

Figura 59: Ejercicio propuesto 9 - sección para el cuaderno función afín. ............................ 100

Figura 60: Ejercicio propuesto 2 - sección evaluación función afín. ..................................... 101

Figura 61: Ejercicio propuesto 1 - sección evaluación función afín. ..................................... 101

Figura 62: Ejercicio propuesto 4 - heteroevaluación función afín. ........................................ 102

Figura 63: Ejercicio 6 - sección 2 función afín. ..................................................................... 117


Figura 65: Ejemplo 1 función afín. ......................................................................................... 118





INDICE DE TABLAS

Tabla 1. Dificultades que presentan los estudiantes sobre función lineal y función afín. ....... 24

Tabla 2. Adaptación de los Indicadores de Fonseca para la completitud de una OM. ............ 51

Tabla 3. Actividades previas para el desarrollo de la unidad 2. .............................................. 56

Tabla 4. Praxeologías del libro de texto sobre función lineal.................................................. 85

Tabla 5. Presencia de praxeologías en el libro de texto sobre función lineal. ......................... 86

Tabla 6. Praxeologías del libro de texto sobre función afín. ................................................. 115

Tabla 7. Presencia de Paxeologías en el libro de texto sobre función afín. ........................... 116

INDICE INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 11

CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA ........................................................................................... 13

1.1. Antecedentes ............................................................................................................... 13

1.2. Dificultades que presentan los alumnos en tareas sobre función lineal y función afín19

1.3. Justificación ................................................................................................................. 24

1.4. El problema de investigación ...................................................................................... 28

1.4.1. Pregunta y objetivos de la investigación .................................................................... 28

1.5. Metodología de investigación .................................................................................... 29

CAPITULO II: MARCO TEÓRICO ........................................................................................ 32

2.1. Teoría Antropológica de lo Didáctico ....................................................................... 32

2.2. Praxeologías ............................................................................................................... 33

2.3. La modelización ecuacional y funcional ................................................................... 36

2.4. Tipos de organizaciones praxeológicas ..................................................................... 36

2.5. Categorías de una Organización Matemática (OM) .. ¡Error! Marcador no definido.

2.6. Indicadores de las Organizaciones Matemáticas Locales (OML)¡Error! Marcador

no definido.

2.7. La función lineal y función afín desde la perspectiva de la TAD¡Error! Marcador

no definido.

CAPÍTULO III: ESTUDIO DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS¡Error! Marcador no

definido.

3.1. Aspectos matemáticos ................................................ ¡Error! Marcador no definido.

3.1.1. Función lineal ............................................................................................................ 43

3.1.2. Función afín ............................................................................................................... 46

3.2. Aspectos didácticos .................................................................................................. 48

3.2.1. Aspectos didácticos del libro de texto ................................................................... 48

CAPÍTULO IV: CRITERIOS PARA EL ANÁLISIS DE LIBROS DE TEXTO .................... 50

4.1. Criterios para la descripción del libro de texto determinados por la TAD. ................... 50

4.2. Criterios para obtener el grado de completitud de una OML. ....................................... 50

CAPÍTULO V: ANÁLISIS DE LA ORGANIZACIÓN MATEMÁTICA EN UN LIBRO DE

TEXTO ..................................................................................................................................... 52

5.1. Descripción del libro de texto matemática 2.............................................................. 52

5.2. Descripción de la función lineal en el libro de texto matemática 2 ........................... 57

5.3. Praxeologías de la función lineal en el libro de texto matemática 2 .......................... 71

5.4. Análisis de las praxeologías de la función lineal en el libro de texto matemática 2 . 85

5.5. Descripción de la función afín en el libro de texto matemática 2 ............................. 91

5.6. Praxeologías de la función afín en el libro de texto matemática 2 .......................... 102

5.7. Análisis de las praxeologías de la función afín en el libro de texto matemática 2 .. 114

VI: CONCLUSIONES ........................................................................................................... 121

Referencias ............................................................................................................................. 124

11

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo describe y analiza la organización matemática de los objetos matemáticos

función lineal y función afín en un libro de texto del nivel secundario desde la perspectiva de

la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD).

La comprensión de los temas función lineal y función afín son de vital importancia para todo

estudiante que se encuentre en el nivel superior educativo, por ello, en los cursos de

matemática básica se desarrollan los temas mencionados. Por tal motivo, el Diseño Curricular

Nacional, 2009 propone que sean enseñados a partir del segundo grado del nivel secundario y

proporciona, además, los libros de textos tanto para el docente como para cada estudiante de

colegios públicos a nivel nacional. Aun así, puede detectarse que los estudiantes de nivel

secundario muestran diversas dificultades al resolver problemas sobre función lineal y/o

función afín.

En la presente investigación, presentamos un estudio que muestra cómo aparecen los objetos

función lineal y función afín en un libro de texto del segundo año de educación secundaria.

Para ello, inicialmente, damos a conocer algunas dificultades particulares que presentan los

alumnos cuando se enfrentan a problemas con respecto a nuestros objetos matemáticos en

estudio.

En el primer capítulo, mostramos investigaciones referentes a las dificultades presentes en los

estudiantes respecto del tema propuesto y las consideramos como antecedentes de nuestra

investigación; también presentamos la justificación de nuestro trabajo así como la pregunta de

investigación y los objetivos a alcanzar: el general y los específicos.

En el segundo capítulo, presentamos algunos aspectos de nuestro marco teórico, el cual se

basa en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), la cual nos brinda los elementos

necesarios para poder realizar tanto la descripción como el análisis de la organización

matemática de nuestros objetos en estudio en el libro de texto Matemática 2 de educación

secundaria.

En el tercer capítulo, presentamos el estudio de nuestros objetos matemáticos desde un punto

de vista más riguroso, lo que comúnmente llama Chevallard el saber sabio. En esta sección,

también damos a conocer las definiciones que se presentan en el libro de texto seleccionado.

En los capítulos cuarto y quinto, presentamos tanto los criterios brindados por la TAD así

como la descripción y análisis del texto seleccionado. En dicho análisis, usamos los

12

indicadores de Fonseca para verificar la completitud de la organización matemática local

presente en el libro seleccionado con respecto a nuestros objetos de estudio.

Finalmente, en el sexto y último capítulo, se mencionan algunas conclusiones, así como

recomendaciones para futuros trabajos de investigación.

13

CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA

En este capítulo, exponemos los antecedentes relacionados con las dificultades que presentan

los estudiantes en el aprendizaje de los objetos en estudio, la función lineal y la función afín.

También presentamos investigaciones relacionadas con el marco teórico que empleamos en

nuestro trabajo, seguido de la justificación y problema de investigación. Además, en esta

última sección se presentan la pregunta de la investigación y los objetivos de la misma.

1.1. Antecedentes

Para el desarrollo de nuestra investigación, que consiste en el análisis de un libro de texto,

presentamos nuestros antecedentes basados en los siguientes criterios: i) dificultades en el

aprendizaje que presentan los estudiantes cuando trabajan los objetos matemáticos “función

lineal y función afín”, e ii) investigaciones relacionadas con la Teoría Antropológica de lo

Didáctico (TAD). En investigaciones de educación matemática concernientes a los objetos

matemáticos, función lineal y función afín, señalamos las investigaciones de Gonzales y

Martin (2006), Guzmán (2006), Agnelli, H., Konic, P., Peparelli, S., Zon, N., y Flores, P.,

(2009), Vanegas y Escalona (2013), y Martínez y Sánchez (2011); quienes identifican las

dificultades que presentan los estudiantes del nivel secundario para el aprendizaje de la

función lineal y función afín. Además, respecto a la Teoría Antropológica de lo Didáctico,

consideramos la investigación de Rey, G., Boubée, C., Sastre, P. y Cañibano, A. (2009),

Carrillo, F. (2013) y Gonzales, C. (2014).

A continuación, detallamos las investigaciones que hemos citado.

i) Investigaciones relacionadas a las dificultades en el aprendizaje de los estudiantes

según los objetos matemáticos función lineal y función afín.

La investigación de Gonzales y Martin (2006) presenta la problemática acerca de cómo los

estudiantes relacionan los coeficientes de las expresiones funcionales con las características

geométricas de sus respectivas gráficas en el plano cartesiano. Se tiene como objetivo

descubrir las concepciones de los alumnos en relación con la conversión de la representación

algebraica de una función lineal a su representación gráfica, así como también analizar los

errores de los estudiantes cuando trabajan con dichas transformaciones. Esta investigación fue

desarrollada con estudiantes de 4to grado de Educación Secundaria Obligatoria (ESO), de 15

y 16 años de edad, de un colegio público en la ciudad de Salamanca y se utilizó como

14

herramienta teórica la Teoría de Registros de Representación. Dicha investigación se basó en

la coordinación de registros gráfico y simbólico; los aspectos metodológicos se llevaron a

cabo en dos fases en las cuales se aplicó un cuestionario a los alumnos para luego analizar los

resultados. Estos últimos permitieron conocer las concepciones de los estudiantes sobre las

expresiones algebraicas de las funciones y su representación gráfica, así como los errores que

cometían al trabajar con ellas. Esta investigación es relevante, ya que presenta información

sobre cómo el alumno distinguía entre pendiente y ordenada en el origen. Asimismo, se pudo

conocer la manera cómo el estudiante analizaba la expresión algebraica de una función lineal

al ejercer sobre ella una traslación horizontal. En las conclusiones, los autores afirmaron que

los alumnos deberían tener una idea más completa de lo que es una función, ya que el

desconocimiento los lleva a cometer numerosos errores al asociar la representación algebraica

de una función con su gráfica. Determinaron, además, que los estudiantes manejan el

concepto de función de forma operacional (como un proceso) y no de forma estructural (como

un objeto). Esto último es fundamental tomando en cuenta el análisis histórico-epistemológico

realizado por Sfard (1991, citado por Gonzales y Martin 2006), el cual menciona que la

noción de función se concibe de esas dos formas:

“Ver una entidad matemática como un objeto significa ser capaz de referirnos a ella como si fuera un objeto real, una estructura estática, con existencia en alguna parte del espacio y del tiempo… por el contrario, interpretar una noción como un proceso implica manejarlo de una manera potencial más que como una entidad real, que adquiere existencia como elemento de una sucesión de acciones.” (p. 34)

De la misma manera, Guzmán (2006), quien llama indistintamente función lineal o modelo

lineal a ambas funciones (función lineal y función afín), afirma que “las funciones reales de

variable real, que tienen la forma bmxxf +=)( , son uno de los modelos lineales más simples

y representan para estudiantes de tercer grado de educación secundaria el primer contacto

formal con el concepto de función” (p.8). En su investigación, busca determinar la

problemática de conocer cuáles son las dificultades que presentan los alumnos de secundaria

al trabajar con las diferentes formas de representación de la función lineal. Su objetivo es

identificar dichas dificultades. Esta investigación fue desarrollada con estudiantes de tercer

grado de educación secundaria, de entre 13 y 15 años de edad, de un colegio nacional en la

ciudad de Acapulco. En este trabajo, se empleó la Teoría de Registros de Representación.

Para su efecto se aplicó un cuestionario con seis actividades para los estudiantes

solicitándoles, además, que presenten una explicación de sus respectivas respuestas para, así,

15

poder detectar algunas dificultades en la transformación de una representación a otra. Este

estudio es importante para nuestro trabajo debido a que en los resultados se detectó, entre

otras dificultades, que los estudiantes querían ubicar los valores de m y b directamente en el

plano cartesiano, dada la expresión lineal: bmxy += donde x es la variable y “ m”, “ b ”

son números reales.

Esto muestra el notorio descuido de las actividades de transformación en el proceso de la

enseñanza. Esta dificultad de convertir una representación en otra puede interpretarse como

resultado de una conceptualización pobre del objeto matemático dada por el docente o por el

texto escolar utilizado, mecanizando a los estudiantes en un mismo tipo de tarea. Finalmente,

el autor concluye que los estudiantes muestran deficiencias conceptuales, de interpretación y

de coordinación entre los registros algebraico, gráfico y tabular; y que la interacción con estas

representaciones y la exitosa traducción entre ellas permite al estudiante explorar y

aproximarse a la noción del concepto de función, por lo que resulta de gran interés prestar

atención a las operaciones que el alumno realiza al ir de una forma de representación a otra.

En el mismo aspecto, y también para el nivel secundario, Agnelli, et al. (2009) mencionan que

una incompleta e insuficiente enseñanza del objeto función lineal y función afín podría

generar dificultades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de otros temas en grados

superiores al generar confusión cuando el estudiante afirma, por ejemplo, que regresión lineal

es lo mismo que función lineal. Esto sucede porque, cuando se trabaja con función lineal, la

metodología didáctica es mayormente operativa o determinística; sin embargo en la regresión

lineal la metodología y los problemas son de carácter probabilístico o aleatorio, ya que son

situaciones de carácter estadístico. Esta dificultad surge de las “formas o medios de

enseñanza” para provocar algún aprendizaje de otros temas en los estudiantes; así se evidencia

cuando analizan una tarea sobre regresión lineal, extraída de un libro de texto (Agnelli et al.

(2009)):

“Dibujar la nube de puntos, para lo cual se provee una tabla de “tipo” de las que se presentan para graficar una función. Esta situación puede favorecer el obstáculo didáctico señalado, al relacionar de manera abusiva la regresión y el estudio de funciones.” (p.58)

Esta investigación tuvo como objetivo mostrar que las inadecuadas actividades diseñadas para

los estudiantes sobre regresión lineal pueden llevar a la errada concepción de la misma, y

generan confusiones con el concepto de función lineal. Para arribar a esta conclusión, los

autores analizaron algunas tareas propuestas en un libro de texto de circulación nacional de

16

matemática para alumnos de primer año polimodal, de 14 y 15 años, de un colegio público

argentino.

De la misma manera, pero sobre una muestra de estudiantes del primer ciclo del nivel

superior, Vanegas y Escalona (2013) exponen su preocupación por el poco dominio en el

manejo del concepto de función y en el trazado de gráficas por parte de los estudiantes de

dicho nivel de estudio. Dado que los alumnos ya tienen conocimiento del tema desde la

educación secundaria, los autores centraron su trabajo en obtener información sobre cuáles

son las concepciones o representaciones mentales que poseen los estudiantes acerca del objeto

función lineal y función afín. Su investigación tuvo por objetivo mostrar los resultados sobre

concepciones respecto al concepto de función matemática de una variable. En esta

investigación, se trabajó con alumnos de 17 y 18 años de edad, del primer ciclo de la facultad

de ingeniería de la Universidad del Zulia en Maracaibo. La base teórica de la investigación

fue la Teoría Cognitiva y especialmente se enfocó en el constructivismo y el aprendizaje

significativo. La parte metodológica se realizó en dos fases: una prueba diagnóstica que fue

aplicada al inicio del ciclo y la misma prueba al finalizar el curso. Las preguntas solicitaban

que expresaran, con palabras o a través de sus ideas acerca de lo que es la función, la función

lineal y la función afín, y su respectiva representación gráfica. Luego de comparar ambas

pruebas se obtuvo que solo uno de cada diez estudiantes lograron mejorar sus concepciones;

el resto de estudiantes mantuvo sus concepciones erradas (que posiblemente arrastran de la

educación secundaria); finalmente, los autores concluyeron en que los estudiantes pueden

tener un aprendizaje mecánico sin interiorizar significativamente el concepto de función. Al

respecto, Vanegas y Escalona (2013) expresan:

“…no se puede seguir haciendo diseños instruccionales o enseñar contenidos vacíos sin conocer cuáles son las concepciones y representaciones mentales en nuestros alumnos. Por el contrario éstas deben ser el punto de partida si se quiere que el alumno logre establecer relación entre el objeto de estudio y sus propias concepciones. “(p.112)

Finalmente, sobre el objeto función lineal y función afín presente en los textos, Martínez y

Sánchez (2011) concluyen que se debe tener cuidado con las concepciones de ambos objetos:

“Las diferentes concepciones que se tiene en algunos libros de texto matemáticos y escolares sobre el concepto de función lineal, es que en gran parte no corresponden a la definición contemplada desde las transformaciones lineales, que son los criterios para definir la linealidad de la función lineal, como característica fundamental y que por tanto difiere de la función afín.” (p. 1)

17

Además, refuerzan la idea de que los libros de texto son una herramienta de apoyo del saber,

ya que contienen las transformaciones didácticas primordiales que se hacen al objeto

matemático, las cuales provienen del saber sabio, hasta transformarlo en un saber enseñado.

Indican que, en los textos, se pueden encontrar conceptos erróneos, obstáculos didácticos y

diferentes limitaciones que influyen directamente en las prácticas de la enseñanza y

aprendizaje de los objetos matemáticos tratados.

Martínez y Sánchez (2011) examinan estas dificultades en un trabajo de investigación

realizado en Colombia titulado: “Tratamiento didáctico de la función lineal en libros de texto

de matemática para la educación básica secundaria” tomando como referencia los ocho libros

de texto más usados en dicho país durante el periodo del 2000 al 2005. Los autores concluyen

en que los libros de texto definen la función lineal partiendo de la expresión

bmxyxf +==)( , con “ m” y “ b ” números reales, además afirman que la función lineal se

llama así, porque su gráfica respectiva es una línea recta. Todo ello, según los autores, es

erróneo, pues se olvida “que los verdaderos principios matemáticos de donde emerge el

concepto de función lineal se encuentra en los fundamentos del algebra lineal” (p. 5).

Todas las investigaciones examinadas resultan pertinentes para nuestro trabajo, porque nos

brindan algunos aspectos sobre las dificultades más recurrentes que presentan los estudiantes

en su aprendizaje de los objetos función lineal y función afín, al presentar, por un lado,

problemas para interpretar la pendiente “ m” y ordenada en el origen “ b ”, dado:

bmxyxf +==)( ; y, como consecuencia de ello, también tienen dificultades para

representar gráficamente dichos objetos matemáticos en el plano cartesiano, así como también

para modelar un problema contextualizado.

ii) Investigaciones relacionadas con la Teoría Antropológica de lo Didáctico

Rey et al. (2009) consideran que las limitaciones que presentan los estudiantes sobre el tema

de función y, en particular, el de función lineal, se deben a que “aprendieron” el tema

mediante un excesivo uso de representaciones algebraicas; además, es necesario resaltar que

no logran articular representaciones, no dominan la idea de variabilidad y dependencia, y

trabajan de forma descontextualizada. Ahora bien, si a ello se agrega el análisis de diferentes

textos, en muchos casos, se concluye que “primero se formaliza el conocimiento a enseñar y

18

luego se lo aplica en la resolución de ejercicios que, en general, están construidos

exclusivamente para la aplicación directa del concepto aprendido, sin ningún tipo de

transformación” (p. 154). Esta investigación se basa en aportes didácticos para abordar el

concepto de función con alumnos ingresantes a la universidad. Se desarrolló caracterizando

brevemente a la actividad matemática y al proceso de estudio de la matemática siguiendo la

teoría de Chevallard. Los investigadores proponen que un contenido matemático - ecuación de

la recta que pasa por dos puntos, por ejemplo- sea desarrollado con actividades

contextualizadas, las actividades descontextualizadas solo deben usarse si se tiene la

seguridad de que el estudiante ya se apropió del concepto. Otro ejemplo, es trabajar la

ecuación de la recta dados un punto y la pendiente con fórmulas y sin fórmulas.

Además Ruiz Higueras (1998), (citado en Rey et al. 2009) afirma que:

“Nuestros alumnos de secundaria manifiestan en general una concepción de la noción de función como un procedimiento algorítmico de cálculo... Podemos decir que sus definiciones no determinan el objeto función, sino las relaciones que han mantenido con él.

Tanto se ha descompuesto el objeto función en segmentos para su enseñanza que el alumno no logra unificarlos dándoles una significación global. El alumno ha visto muchos objetos allí donde sólo debía existir uno.” (p. 154)

Ante ello, afirman que las dificultades que presentan los estudiantes se deben a las rutinas y

procesos algorítmicos como la elaboración de tablas, el cálculo de dominios, la representación

de funciones, etc. En general, se utilizan fórmulas como “recetas” sin aprovechar su gran

poder para modelizar; de esta manera, dichas fórmulas algebraicas son usadas para encontrar

el valor de la incógnita y este procedimiento o concepción elimina el sentido de variabilidad,

al movilizar incógnitas en lugar de variables. Ante ello concluyen que:

“En algún momento del aprendizaje del concepto de función, el alumno debería poder distinguir la función de sus representaciones. Las actividades de articulación entre registros podrían favorecer dicha diferenciación.

En la mayoría de los libros de texto referidos a función lineal, el alumno encuentra fórmulas para hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto, conocida la pendiente, o que pasa por dos puntos, y sus respectivas deducciones.

Esas fórmulas son válidas, pero si el alumno no alcanza a apropiarse de su verdadero significado, pasan a ser simples fórmulas memorizadas, y si falla la memoria, la fórmula carecerá de utilidad.” (p. 159)

19

Finalmente, Carrillo (2013) y Gonzales (2014) nos presentan una organización matemática de

libros de texto en la que describen y analizan las praxeologías en textos seleccionados.

Carrillo (2013), al describir y analizar la Organización Matemática OM de función cuadrática

en un libro de texto de economía en el nivel superior, concluye que dicho texto presentaba

pocas tareas resueltas como para que el estudiante pueda, por sí mismo, superar sus

dificultades para resolver problemas sobre dicho tema; tampoco presentaba suficientes

conceptos para la comprensión del objeto; y, finalmente, carecía de tareas que involucraran el

aprendizaje de propiedades importantes para la función cuadrática. De manera similar,

Gonzales (2014) trabajó con la descripción y análisis de los objetos escala y proporción en un

libro de texto para estudiantes de arquitectura y concluyó que dicho texto no relaciona la

teoría de proporcionalidad con la teoría de funciones ni con la teoría de ecuaciones. Además,

cabe añadir que solo predomina un tipo de tarea: no hay mucha diversidad de estas.

De estas investigaciones, se puede inferir que la TAD es una poderosa herramienta para

describir y analizar un libro de texto.

1.2 Dificultades que presentan los alumnos en tareas sobre función lineal y función

afín

En esta sección, vamos a detallar, según los antecedentes vistos anteriormente, cada una de las

dificultades que presentaron los alumnos al resolver las tareas propuestas en algunas de las

investigaciones citadas. Vamos a agruparlas de la siguiente manera: i) Dificultades de los

estudiantes en comprender la definición de pendiente como también la de ordenada al origen

dada la forma algebraica de una función lineal y/o afín, ii) Dificultades de los estudiantes para

relacionar la forma algebraica de una función lineal y/o afín con su forma gráfica en el plano

cartesiano y iii) Dificultades de los estudiantes para transformar en lenguaje algebraico un

problema dado en lenguaje natural (proceso conocido también como modelización). Pasamos

a detallar a continuación.

i) Dificultades de los estudiantes en comprender la definición de pendiente como

también la de ordenada al origen dada la forma algebraica de una función

lineal y/o afín:

Según el estudio de Gonzales y Martin (2006), los estudiantes muestran las

siguientes dificultades:

20

1. Los estudiantes realmente no distinguen entre pendiente y ordenada en el origen, y se

presentan diferentes situaciones: pendiente positiva/negativa, ordenada en el origen

positiva/negativa/nula.

2. Al graficar una función lineal, los estudiantes suelen hacerlo solamente usando una

tabla de valores y no usando la definición de cada uno de sus parámetros; por ello,

tienden a equivocarse más por el hecho de realizar operaciones para completar una

tabla.

3. Los estudiantes no saben responder una situación en la que se les pide que analicen

qué variable varia y qué variable no varía en la expresión algebraica de una función

lineal al ejercer sobre ella una traslación horizontal.

Según el estudio de Guzmán (2006), los estudiantes muestran las siguientes dificultades:

1. Los estudiantes no manejan la noción de pendiente; como ejemplo se muestra una

actividad en la que, al solicitarles que bosquejen la gráfica de la forma: mxy ,

según los casos dados por el parámetro “ m ”, caso I: 0m y caso II: 0m , se

obtuvieron algunos resultados como el que sigue:

Figura 1: Actividad 6. Noción de la pendiente para dos casos.

Fuente: Guzmán (2006, p. 54)

2. Los estudiantes no dominan la noción conjunta de pendiente y ordenada al origen.

Como ejemplo se muestra una actividad en la que, al solicitarles que bosquejen la

gráfica de la forma: bmxy , según los casos dados por los parámetros “ m ” y “

b ”, caso I: 0m , 0b ; caso II: m>0, 0b ; caso III: 0m , 0b y caso IV:

0m , 0b , se obtuvieron algunos resultados como el que sigue:

21

Figura 2: Actividad 6. Gráfica de una recta según sus parámetros.


ii) Dificultades de los estudiantes para relacionar la forma algebraica de una función

lineal y/o afín con su forma gráfica en el plano cartesiano:

Según el estudio de Gonzales y Martin (2006), los estudiantes muestran las siguientes

dificultades:

1. Los estudiantes realizan una mala transformación de la representación gráfica

de una función lineal y función afín en el plano cartesiano a su expresión

algebraica o simbólica, y al hacer la transformación confunden el tipo de

función.

2. Los estudiantes no identifican la expresión algebraica correcta de una función

afín paralela al eje de abscisas.


3. Al solicitarles que grafiquen algunas funciones lineales, se observó que

algunos estudiantes ubican directamente los valores de “ m ” y “ b ” en los ejes

cartesianos, como se ve a continuación:

22

Figura 3: Actividad 4. Gráfica de una recta según su expresión algebraica.


Como podemos notar estas dos dificultades están relacionadas entre sí, ya que el estudiante al

no superar la primera dificultad, no podría superar la segunda como una manera alternativa

para graficar una función lineal o afín dada en su forma algebraica.

iii) Dificultades de los estudiantes para transformar en lenguaje algebraico un problema

dado en lenguaje natural o modelización:


4. Al solicitarles que representen de forma algebraica un problema dado en

lenguaje natural, muchos de los estudiantes no lo hacen o solo mencionan que

se usa la multiplicación, pero tienen dificultad al momento de expresar de

forma escrita su respuesta. A continuación, presentamos la actividad propuesta:

23

Figura 4: Actividad 3. Problema dado en lenguaje natural.


Como se puede observar, esta dificultad se refiere a que el estudiante no logra realizar la

transformación de un problema dado en lenguaje natural a su forma algebraica. Superar este

problema es fundamental, ya que, según la TAD, las elaboraciones matemáticas son

actividades naturales de todo ser humano en la medida en que nos permite resolver problemas

cotidianos.

A continuación, resumimos en un cuadro estas dificultades que presentan los estudiantes al

resolver diferentes tareas sobre función lineal y función afín.

24

Tabla 1. Dificultades que presentan los estudiantes en cuanto a función lineal y función afín.

N° LAS DIFICULTADES ENCONTRADAS EN LOS ESTUDIANTES SON:

1 Desconoce la noción de pendiente y ordenada en el origen.

2 No emplea los parámetros “ m ” y “ b ” para graficar la expresión bmxy .

3 No interpretan la relación de los parámetros “ m ” y “ b ” con los desplazamientos de

una recta en el plano cartesiano.

4 No grafican correctamente una función lineal mxy , tomando a “ m ” como

parámetro dado 0m , o 0m .

5 No grafican correctamente una función afín bmxy , tomando a “ m ” y “ b ” como

parámetros, dados distintos casos para “ m ” y “ b ”.

6 Realizan de forma equívoca la transformación de la gráfica de una función lineal en

el plano cartesiano a su representación algebraica.

7 No representan correctamente la gráfica de una función lineal paralela al eje X.

8 No logran modelar un problema contextualizado.

1.3 Justificación

Diversas investigaciones se han preocupado por el insuficiente aprendizaje sobre distintos

contenidos matemáticos, en especial el de función lineal y función afín, pues el aprendizaje de

este concepto es importante para el nivel escolar, ya que las funciones lineales se utilizan o

son empleadas para describir diversos fenómenos en los que se relacionan dos magnitudes que

varían proporcionalmente; además, usamos estos conceptos para comprender otros temas

como la geometría analítica, las funciones trigonométricas o para poder diferenciarlos de otros

objetos matemáticos como el de función cuadrática, e, incluso, para adquirir la capacidad de

modelar situaciones reales dadas en otras disciplinas como la Física, Química, etc.

En nuestra experiencia como docentes, hemos notado que la mayoría de los estudiantes del

último año del nivel secundario presenta escasos conocimientos sobre función lineal y función

25

afín. Este problema es importante en el sentido que se trata de un tema que debería ser

abordado por los estudiantes en el primer y segundo año de educación secundaria, según el

Diseño Curricular Nacional (2009), documento curricular oficial que rige el sistema educativo

en todo el Perú.

Es importante resaltar los cambios curriculares que se han producido últimamente y que han

involucrado notoriamente a nuestro objeto de estudio. Por ejemplo, en el DCN (2005) se

desarrollaba el tema de función lineal y función afín por primera vez en el VII ciclo (4to

grado del nivel secundario) y no como tema central, sino, más bien, como un subtema dentro

de un conglomerado de temas de mayor complejidad conceptual como función, composición,

inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, inversa, valor absoluto, máximo entero, etc. también

relativos a funciones. Esto implicaba dedicar menos horas de clase para el desarrollo de

nuestro objeto de estudio por parte de los docentes, hecho grave, ya que se trata de un tema

esencial que el estudiante debería asimilar en su totalidad. Luego, se publicó el DCN (2009),

de acuerdo con el cual se elaboraron los libros de texto brindados a los estudiantes, textos que

son usados en la actualidad. En este documento se observa un considerable cambio en la

estructura de los temas y en particular en lo referente al de función lineal y función afín, pues

aparece el componente números, relaciones y funciones. En este punto, los conocimientos a

impartir son: función lineal, función lineal afín, dominio y rango de una función lineal,

modelos lineales, representación verbal, tabular y gráfica de funciones lineales; todo ello

enmarcado para el VI ciclo (2do grado del nivel secundario).

Según el DCN (2009), en la página 324, las capacidades que deben adquirir los estudiantes

sobre el tema función lineal y función afín al finalizar el año académico; por tanto, tomarlo

como referencia es sumamente importante. Estas capacidades son:

Determina el dominio y rango de una función.

Establece relaciones entre la proporcionalidad directa y la función lineal.

Formula modelos de fenómenos del mundo real con funciones lineales.

Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: verbal, tablas,

gráficos, etc.

Representa relaciones y funciones a partir de tablas, gráficos y expresiones simbólicas.

Resuelve problemas que involucran funciones lineales, afín lineal y segmentada, como

también la relación de proporcionalidad directa.

26

Como hemos mencionado, esta nueva secuencia de contenidos se centra en nuestro objeto de

estudio, la función lineal y la función afín, para ser desarrollados con mayor número de horas

por bimestre desde el 2do año de educación secundaria. Esto representa un cambio con

relación al currículo anterior. Además, el Ministerio de Educación (MINEDU) para

complementar de forma práctica el trabajo en clase, a partir del año 2014 hasta la actualidad,

otorga una serie de herramientas para trabajar los diferentes objetos matemáticos. Dicho

documento oficial llamado “Rutas del Aprendizaje, ¿Qué y cómo aprenden nuestros

adolescentes?” aborda los temas matemáticos con problemas o ejercicios contextualizados.

Particularmente, nuestro objeto de estudio lo encontraremos en el fascículo 1: Número y

operaciones, cambio y relaciones, VI ciclo, primer y segundo grado de educación Secundaria.

Con respecto a los Mapas de Progreso de Cambio y Relaciones (2013), resulta pertinente

considerar que el estudiante demanda desarrollar un conjunto de capacidades que le permitan

describir, analizar, modelar y realizar predicciones para enfrentarse a los cambios de los

fenómenos naturales, económicos, entre otros. Este documento aborda tres aspectos, los

cuales se van complejizando en los distintos niveles: i) Interpretación y generalización de

patrones, ii) Comprensión y uso de igualdades y desigualdades y iii) Compresión y uso de las

relaciones y funciones.

Con respecto a los aspectos mencionados, identificamos nuestro objeto de estudio en el tercer

aspecto, en el cual el documento indica que esta competencia implica el desarrollo de

capacidades para identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes, analizar la

naturaleza del cambio y modelar situaciones o fenómenos del mundo real mediante funciones.

De la misma manera, podemos observar en la descripción de los niveles del Mapa de Cambio

y Relaciones en el VI ciclo (1° y 2° de secundaria) la presencia de función lineal y función

afín, como presentamos en la siguiente figura:

Figura 5: Descripción del nivel VI ciclo.

Fuente: Mapas del Progreso del Aprendizaje Matemática (Perú, 2013, p.9)

De acuerdo con lo descrito anteriormente, notamos que existe una preocupación por parte del

MINEDU de mejorar la calidad educativa, hecho que se refleja en el currículo, en el que se

27

otorga especial importancia al tema de la función lineal y la función afín dentro de la

educación básica regular. Ahora bien, cabe preguntarnos si es que el libro de texto que usan

nuestros estudiantes (brindados de forma gratuita a nivel nacional por el Estado) facilita o no

la comprensión de nuestro objeto de estudio por parte de los estudiantes.

Al respecto, Mayorga (2013) menciona que los libros de texto son los recursos didácticos más

usados para apoyar al docente, quien, finalmente, debe ser un mediador en la construcción del

conocimiento por parte del estudiante. Dicho material educativo, debe permitirle al estudiante

obtener, ampliar y profundizar sus conocimientos sobre un tema; por ello, debe estar

adecuado a las necesidades actuales de acuerdo al nivel educativo. Además, menciona que el

libro de texto de matemática se debe entender como un “texto comunicativo” al momento que

el estudiante construya su conocimiento, ya que le sirve de apoyo o guía en el quehacer

matemático, sin embargo comenta: “se puede decir hoy en día [que] los libros de textos que

existen en el mercado poseen poca fuerza comunicativa, no logran establecer una conexión

con el lector.” (p.76)

La autora manifiesta que toda obra se construye por las necesidades presentadas en los

individuos, las cuales deben estar construidas por cuatro componentes principales, como los

presentan Chevallard, Bosh y Gascón (1997), (citados en Mayorga 2013): “…los tipos de

problemas que surgen de las cuestiones; las técnicas que permiten resolver estos problemas,

las tecnologías que justifican y hacen comprensibles las técnicas; y las teorías que sirven de

fundamento a las tecnologías” (p. 125). En su trabajo, Mayorga (2013) observó que el libro de

texto analizado presentaba el uso reiterado de una sola técnica para los problemas propuestos,

y era notoria la ausencia de la técnica de tabulación en la representación algebraica y gráfica

del concepto de función lineal así como la inexistencia del uso de la fórmula bmxy += para

el cálculo de la pendiente de una recta dados dos puntos. La autora concluye expresando que

el texto escolar debe propiciar las condiciones para que el estudiante se sitúe en disposición de

aprendizaje, además afirma que “el libro de texto puede ocupar un papel fundamental,

siempre y cuando, la lectura y la repetición verbal de ciertas definiciones no sean las únicas

actividades facilitadas por dicho material educativo”. (p. 81)

En la misma línea, Carrillo (2013) presenta la importancia de un libro de texto tomando como

referencia a diferentes investigadores:

- “El libro de texto constituye uno de los pilares básicos sobre los que se sustenta la

acción docente en cualquier nivel educativo y muy a menudo se transforma en el

28

referente exclusivo del saber científico tanto para los docentes como para los

estudiantes. Además, el libro de texto ejerce diferentes roles: puede ser mirado como

un objeto de estudio, como un material de consulta, como registro de actividades del

estudiante, como una recopilación de ejercicios y problemas por resolver.” (Villella,

2001)

- “Un libro de texto se considera como un segundo nivel de transposición didáctica (el

primer nivel estaría formado por los currículos y programas oficiales).” (Ortiz, 1999)

- “En un libro de texto se manifiestan las transformaciones entre el saber sabio y el

saber enseñado; entre ellos existe un escalón intermedio correspondiente al saber

enseñar.” (Chevallard y Joshua, 1982)

De lo expuesto, resulta evidente la importancia del uso de un libro de texto en el proceso de

enseñanza aprendizaje de objetos matemáticos y, por ello, nuestro trabajo de investigación se

enmarca en este contexto. Además, al describir y analizar cómo un libro de texto presenta la

OM del objeto función lineal y función afín, se proporciona al docente una herramienta para

poder percibir una adecuada o inadecuada secuencia de las actividades que están presentes en

los textos -las definiciones, las propiedades, los ejemplos, los ejercicios resueltos, etc.- antes

de utilizarlos en su sesión de clases.

1.4 El problema de investigación

En el presente trabajo de investigación, luego de presentar las diversas dificultades de

aprendizaje que existen en los estudiantes sobre los objetos función lineal y función afín,

vamos a realizar el estudio de la organización matemática en el libro de texto, y, de acuerdo a

la teoría de la TAD se van a describir y a analizar los tipos de tareas, tareas, técnicas y

tecnologías en el libro de texto seleccionado para nuestro estudio. El texto de uso nacional a

analizar es: “Matemática Secundaria 2” del 2do año del nivel secundario. El tema elegido es

la función lineal y la función afín.

1.4.1 Pregunta y objetivos de la investigación

De acuerdo con el problema que nos proponemos investigar y la justificación previa, nos

planteamos la siguiente pregunta: ¿Cómo está presente la organización matemática de la

función lineal y función afín en un libro de texto oficial del 2do año del nivel secundario?

29

De esta pregunta se desprenden los siguientes objetivos

Objetivo General

Analizar la organización matemática de los objetos función lineal y función afín en un

libro de texto oficial del 2do año del nivel secundario.

Objetivos específicos

Identificar y organizar los tipos de tareas, tareas, técnicas y tecnologías relacionadas

con la función lineal y función afín en un libro de texto seleccionado de acuerdo a la

TAD.

Describir la organización matemática en un libro de texto seleccionado.

Determinar el grado de completitud de la OM de función lineal y función afín

encontrado en un libro de texto de segundo grado de educación secundaria.

1.5 Metodología de investigación

Nuestro trabajo se realiza dentro del enfoque de la investigación cualitativa de tipo

bibliográfico debido a que vamos a describir una realidad en su contexto natural, en este caso,

un libro de texto.

En esta aproximación, seguimos a Hernández, Fernández y Baptista (2010), quienes señalan:

“que la investigación cualitativa se enfoca a comprender y profundizar los fenómenos,

explorándolos desde la perspectiva de los participantes en un ambiente natural y en relación

con el contexto”. (p. 364)

Los autores nos manifiestan que este enfoque se selecciona cuando se busca comprender la

perspectiva de los participantes acerca de los fenómenos que los rodean, profundizar en sus

experiencias, perspectivas, opiniones y significados; con esto se refiere a estudiar la forma en

que los participantes perciben subjetivamente la realidad. Es importante reconocer que los

investigadores proponen los contenidos que debe incluir un estudio cualitativo: los objetivos,

las preguntas de investigación, la justificación y la viabilidad, una exploración de las

deficiencias en el conocimiento del problema y la definición inicial del ambiente o contexto.

30

Por su parte, Cuba y Lincoln (1981), citados en Gonzales, (2014) manifiestan que las ventajas

de trabajar con esta metodología se debe a que estos documentos constituyen una fuente rica y

estable, y pueden ser la base de diferentes estudios en los que podemos obtener evidencia para

fundamentar las afirmaciones y declaraciones del investigador; por ello, resultan una fuente

natural de información.

Procedimiento Metodológico:

A continuación, vamos a indicar el procedimiento realizado para lograr nuestros objetivos.

Primero, se buscó información referente a investigaciones relacionadas con nuestro objeto

matemático, función lineal y función afín, de acuerdo a las dificultades en el aprendizaje que

presentan los estudiantes cuando realizan tareas con dichos objetos matemáticos. A su vez se

consultaron investigaciones relacionadas con la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD)

debido a que es el marco teórico que guiará nuestro trabajo de investigación.

Luego, se adquirió una postura respecto a la Organización Matemática de Referencia,

considerando algunos trabajos relacionados con las Organizaciones Matemáticas asociadas a

la función lineal y la función afín. Estos se van a emplear como referentes para la

identificación y organización de los elementos de estudio en nuestro trabajo. También, se

consideraron los libros de textos de Lages, E., Pinto, P., Wagner, E. y Cézar, A. (2000),

Kenneth Hofmann y Ray Kunze (1971), Grossman (2012) y de Lages (2001) para definir el

saber sabio y poder contrastarlo con el libro de texto a analizar.

Después, presentamos una breve descripción de nuestro marco teórico, la TAD, el cual nos

brindó los elementos necesarios para la investigación: los tipos de tareas, tareas, técnicas,

tecnologías y teorías. Estos elementos se identifican en el libro de texto matemáticas 2 con

respecto a la función lineal y función afín.

Adicionalmente, se definieron los criterios para realizar el análisis de las praxeologías de

nuestros objetos matemáticos en el libro de texto seleccionado tomando en cuenta los

elementos de nuestro marco teórico.

Seguidamente, se realizó la descripción y el análisis de las Organizaciones Matemáticas de la

función lineal y función afín en el libro de texto considerando los criterios definidos

previamente.

Finalmente, presentamos las conclusiones de nuestra investigación así como las sugerencias

para futuras investigaciones.

31

A continuación, presentamos una breve descripción de algunos elementos de la Teoría

Antropológica de lo Didáctico.

32

CAPITULO II: MARCO TEÓRICO

El presente capítulo contiene algunos aspectos de la TAD que será nuestro marco teórico

porque nos brinda las herramientas necesarias que serán algunos de los criterios usados para

la descripción y el análisis del libro de texto seleccionado para este trabajo de investigación.

2.1 Teoría Antropológica de lo Didáctico

Chevallard (1991) considera que cotidianamente nosotros utilizamos nociones matemáticas: al

comprar y pagar, al realizar mediciones, al calcular el ángulo o la posición adecuada, al pedir

un préstamo y pagar los intereses, etc. Y si además pensamos en que fuimos “obligados”

desde muy pequeños a ir al colegio y recibir, por ende, saberes matemáticos de nuestros

maestros, entonces podemos deducir que la práctica del ejercicio matemático es parte de la

vida de todo ser humano en contextos cotidianos, y realizar operaciones matemáticas no nos

es ajeno; por lo tanto, no habría por qué separarla de nuestro entorno social, sino que debe

tratarse desde un punto de vista antropológico; por ello, acudimos a la Teoría Antropológica

de lo Didáctico (TAD), la cual nos brindará las herramientas necesarias para los fines de

nuestra investigación.

La TAD nace con la Teoría de la Transposición Didáctica, la cual hace referencia al paso del

saber sabio al saber enseñado, enunciado por Chevallard (1985); y se resume en que toda

actividad matemática es una actividad humana más y como tal, se puede modelar mediante

una expresión llamada “praxeología” (praxis + logos) la cual (Bosch et. al., 2006) divide en

dos niveles:

El nivel de la praxis o del “saber hacer”, que abarca un cierto tipo de problemas y

cuestiones que se estudian, así como las técnicas para resolverlos.

El nivel del logos o del “saber” en el que se sitúan los discursos que describen,

explican y justifican las técnicas que se utilizan, y que recibe el nombre de tecnología.

Dentro del “saber” se postula un segundo nivel de descripción-explicación-

justificación (esto es, el nivel de la tecnología) que se denomina teoría.

Por tanto, los tipos de tareas, técnica, tecnología y teoría son los cuatro elementos que

componen una praxeología, la cual pasamos a detallar a continuación con algunos ejemplos

relativos a la matemática.

33

2.2 Praxeologías

A continuación, resumimos los elementos de nuestro marco teórico: los tipos de tareas, las

tareas, las técnicas, las tecnologías y teorías; con ejemplos para cada uno de los casos y

presentamos las referencias textuales del creador de esta teoría.

Tipos de tareas T

Con respecto a los tipos de tareas, Chevallard (1999) menciona que, son la base de la

praxeología. Se definen como un conjunto de tareas t específicas que están relacionadas a un

mismo objeto, por tanto Tt , la cual mayormente esta expresada por un verbo, por ejemplo:

dividir un entero entre otro, calcular el valor de )(xf cuando 2=x , expresar el decimal 0.23

como número fraccionario, reconstruir un triángulo dada la medida de los tres lados, etc.

Ahora bien, dividir un entero entre otro es un tipo de tareas, pero dividir, simplemente, no lo

es. De la misma forma, calcular el valor de )(xf cuando 2=x es un tipo de tareas, pero

calcular, simplemente, es lo que se denominará un género de tareas.

“Concretamente, un género de tareas no existe más que bajo la forma de diferentes tipos de tareas, cuyo contenido está estrechamente especificado. Calcular... es, se ha dicho, un género de tareas; pero calcular el valor (exacto) de una expresión numérica conteniendo un radical es un tipo de tareas, lo mismo que calcular el valor de una expresión conteniendo la letra cuando se da a un valor determinado. Durante los años de colegio, el género calcular... se enriquece de nuevos tipos de tareas; ocurrirá lo mismo en el instituto, donde el alumno va, en primer lugar, a aprender a calcular con vectores, después, más tarde, a calcular una integral o una primitiva, etc. Y se repetirá lo mismo, por supuesto, con los géneros Demostrar..., Construir..., o también Expresar... en función de...

Por último, tareas, tipos de tareas, géneros de tareas no son datos de la naturaleza, son “artefactos”, “obras”, construcciones institucionales, cuya reconstrucción en tal institución, por ejemplo en tal clase, es un problema completo, que es el objeto mismo de la didáctica.” (Chevallard, 1999, p.224)

Darle respuesta a cada una de las tareas t mencionadas anteriormente, puede resultar

problemático o no, dependiendo si son realizables de forma inmediata, y si, además, no

solamente queremos responder con éxito a cada una de forma particular, sino responder a

todas del mismo tipo; entonces nuestro objetivo será convertir un tipo de tareas en tareas

realizables con éxito. Para ello hay que “saber hacer”, es decir, saber la manera de hacerlo de

forma segura: es lo que se denomina técnica

34

Técnicas

Chevallard (1999) menciona que, dado un tipo de tareas T , se requiere realizar las tareas

Tt : a una determinada manera de hacer, se le da el nombre de técnica (del griego tekhnê,

que significa saber hacer). Por ejemplo, para expresar el decimal 0,23 como numero

fraccionario, una técnica podría ser escribir todo el número que se observa sin la coma ni el

cero como numerador y luego dividirlo entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras

haya después de la coma; esta técnica permite abordar muchos problemas o tareas del mismo

tipo. Para el caso de reconstruir un triángulo, dada la medida de los tres lados, una técnica

asociada para ella podría ser la de los dos lugares geométricos y, de igual manera, esta técnica

permitiría resolver muchos problemas o tareas del mismo tipo. Como se evidencia, las

técnicas permiten agrupar los problemas en determinados tipos de tareas o problemas, de ahí

que estos dos elementos se asocian mutuamente en una primera parte llamado bloque

practico-técnico, la praxis.

“Una praxeología relativa al tipo de tareas T contiene pues, en principio, una técnica ô relativa a T . Contiene así un “bloque” designado por [T /ô], que se denomina bloque práctico-técnico y que se identificará genéricamente con lo que comúnmente se denomina un saber-hacer: un determinado tipo de tareas, T y una determinada manera, ô de realizar las tareas de este tipo.” (Chevallard, 1999, p.225).

Para que una técnica pueda ser usada de forma normal sin ningún “temor”, es porque es

correcta y comprensible. Cabe acotar que la técnica trae consigo un discurso justificativo para

su validez y, según su ámbito de aplicabilidad: a dicho discurso se le llama tecnología.

Tecnologías

Con respecto a las tecnologías, Chevallard afirma que al discurso cuyo primer objetivo es

justificar “racionalmente” la técnica para realizar de forma “correcta” las tareas del tipo T , se

le llama tecnología (de tékhne, técnica, y logos, discurso). La tecnología, aparte de justificar

la técnica, también podría brindar más elementos para modificar la técnica a fin de que posea,

probablemente, un mayor alcance sobre la tarea. Por ejemplo: una tecnología para justificar la

técnica que sirve para expresar un decimal como número fraccionario podría ser la división de

enteros o el estudio de los números racionales. Del mismo modo, una tecnología para

justificar la técnica de reconstruir un triángulo, dada la medida de los tres lados, podría ser el

uso de un teorema como “el conjunto de puntos del plano a igual distanciar de un punto A es

35

la circunferencia de centro A y radio d ” u otro teorema. Esto depende de los criterios de

cada institución I .

El estilo de racionalidad puesto en juego varía por supuesto en el espacio institucional y, en una institución dada, al filo de la historia de esta institución, de manera que una racionalidad institucionalmente dada podrá aparecer… como poco racional en otra institución. (Chevallard, 1999, p.226).

Cabe resaltar que una tecnología puede ser un tema, como los números complejos, los

números racionales o el estudio de teoremas como el teorema de Pitágoras. Al discurso

matemático, adecuadamente amplio y preciso para explicar y justificar la tecnología, se le

denomina teoría.

Teorías

De acuerdo con nuestro marco teórico, a la razón por la cual se usa una tecnología se le llama

teoría, la cual es, pues, un nivel superior de justificación y explicación, y cumple el mismo

papel que cumple la tecnología respecto de la técnica. Las teorías son frecuentemente más

“abstractos” ya que se usan axiomas, demostraciones rigurosas, cuestiones metafísicas, etc.

Por ejemplo, una teoría que justifica nuestra tecnología para el caso de la expresión de un

decimal como número fraccionario podría ser tener en cuenta la teoría de anillos ordenados; y

una para el caso del triángulo podría ser el axioma de que el plano está conformado por

puntos, o que tres puntos no alineados determinan un triángulo. Sobre esto podemos inferir

que los dos últimos elementos (tecnología y teoría) se asocian mutuamente en una segunda

parte llamada, bloque tecnológico - teórico, el logos:

“En la enseñanza de las matemáticas, un tema de estudio, (“Pitágoras”, “tales”, etc.), se identifica a menudo con una tecnología Θ determinada (teorema de Pitágoras, teorema de Tales) o, más bien, implícitamente, con el bloque de saber [ /Θ] correspondiente, dado que esta tecnología permite producir y justificar, a título de aplicaciones, técnicas relativas a distintos tipos de tareas. Se señalará, sin embargo, que otros temas de estudio (“Factorización”, “Desarrollo”, “Resolución de ecuaciones”, etc.) se expresan, muy clásicamente, en términos de tipos de tareas. Chevallard” (1999, p.227)

Por todo ello, Chevallard, Bosch y Gascón (1997) concluyen que toda obra matemática (obra

puede ser un contenido brindado en el currículo) se edifica por las necesidades presentadas

por uno o más individuos en respuesta a las diferentes interrogantes exteriorizadas en su

entorno, las cuales deben estar conformadas por cuatro componentes principales: “…los tipos

de problemas que surgen de las cuestiones; las técnicas que permiten resolver estos

36

problemas, las tecnologías que justifican y hacen comprensibles las técnicas; y las teorías que

sirven de fundamento a las tecnologías” (p. 125).

2.3 La modelización ecuacional y funcional

Gonzales (2014), en su trabajo de investigación referido a las proporciones, menciona que un

problema contextualizado, es decir, expresado en lenguaje natural, presenta la relación

proporcional de dos magnitudes, la cual lleva a la transformación en términos de ecuaciones

y, a partir de ahí, se usa la teoría del álgebra entre magnitudes. Esto, según los elementos

presentados anteriormente, lleva a la creación de nuevas técnicas y tecnologías para la

resolución de un problema contextualizado, ya que, al convertirlo en términos de una

ecuación, se está haciendo una primera intención de modelización. Esto evoluciona, puesto

que, cuando se relaciona con la ecuación y la proporción, es decir, cuando dos magnitudes se

igualan a una constante de proporcionalidad k , despejando se obtiene la propiedad de

linealidad, es decir, se convierte en una función lineal kxxf )( , por tanto el estudio de la

modelización es parte de nuestros objetos matemáticos de estudio. Todo ello, Gonzales lo

presenta basado en García (2005).

2.4 Tipos de organizaciones praxeológicas

La TAD menciona dos tipos de praxeologías u organizaciones praxeológicas: las

Organizaciones Matemáticas (OM) y las Organizaciones Didácticas (OD). Las primeras se

refieren a la realidad matemática que se pretende estudiar y las segundas, a la forma en que

eso ocurre. Ambas praxeologías presentan los cuatro elementos ya mencionados, los cuales,

además, son imprescindibles también para construir cualquiera de ellas.

De lo mencionado anteriormente sobre los elementos de la TAD, vemos que alrededor de un

tipo de tareas T , existe una tripleta formada por al menos una técnica, por una tecnología y

una teoría, ahora cabe señalar que Chevallard (1999) introdujo diferentes tipos de

praxeologias según el grado de complejidad de sus componentes. Estas son:

Praxeologías puntuales: es el tipo de problema y la técnica dada para esta (la

praxeología). Está generada por un único tipo de tareas T . Es el punto de partida de la

praxis que, sin embargo, es difícil de hallar aislada en una OM, ya que debe estar

justificada por una tecnología. Esto nos conduce a la siguiente praxeología.

37

Praxeologías locales: en este nivel se habla de una primera integración dada por una

tecnología que integra diversas praxeologías puntuales, de tal manera que dicha

tecnología sirva para justificar las diferentes técnicas de las praxeologías puntuales

que la integran para poder resolver una situación problemática que no pudo ser

resuelta por ninguna praxeología puntual a priori.

Praxeologías regionales: en este nivel se habla de una teoría matemática común que

integra diversas praxeologías locales, de tal manera que el discurso teórico sirva para

justificar las diferentes tecnologías de las praxeologías locales que la integran.

Praxeologías globales: se producen cuando se unen varias praxeologías regionales a

partir de la integración de diferentes teorías.

Carrillo (2013) menciona que en diferentes investigaciones desarrolladas bajo el enfoque de la

TAD se han encontrado conclusiones que informan que las OM locales que se ofrecen en

diferentes instituciones escolares son incompletas. Además, las estructuras de las OM locales

relativamente completas deben cumplir con la integración de los tipos de tareas, técnicas,

tecnologías y teorías así como con la interrelación de ellas. Debe preponderar, además, el

discurso tecnológico.

Para este trabajo de investigación sobre función lineal y función afín, se consideran las

organizaciones matemáticas puntuales (OMP), como un único tipo de tarea; las

organizaciones matemáticas locales (OML), las cuales resultan de integrar diferentes

praxeologías puntuales; y la organización matemática regional, en la que hallamos la teoría de

la función lineal y función afín como la teoría matemática que justifica las diferentes

praxeologías locales que la integran.

2.5 Categorías de una Organización Matemática (OM)

En esta sección, mencionamos los trabajos de Parra y Otero (2007), los cuales categorizan las

Organizaciones Matemáticas de la siguiente manera:

OMR: (Organización Matemática de Referencia). Es aquel espacio en el que

encontramos el saber sabio. Esto no solo depende de las nociones matemáticas, sino

también de las consideraciones personales del investigador así como de las

características propias de la institución en la que se desarrollan las OM. Serán

utilizadas para ser comparadas con los libros de texto a analizar, ya que la OMR es un

modelo de OM en el que quedan definidos los tipos de tareas y las diferentes técnicas,

y permite analizar las reconstrucciones propuestas en los libros de texto sobre ciertos

38

temas de estudio.

OMPE: (Organización Matemática Propuesta para Enseñar). En esta instancia,

se realiza el análisis de la OM de diversos libros de texto con referencia al objeto en

estudio. Existen dos tipos de OMPE: i) Organización matemática propuesta para

enseñar en los libros de texto y ii) Organización matemática propuesta para enseñar en

un material teórico – práctico usado por el docente.

OMEE: (Organización Matemática Efectivamente Enseñada). Se construye

considerando los registros de clase y las notas de campo.

Para nuestro trabajo tomaremos en cuenta la OMR y la OMPE. La primera debido a que

tomaremos los libros de texto como un saber sabio y tomaremos de ellos las definiciones

matemáticas sobre nuestros objetos de estudio. La segunda será utilizada porque nuestra

investigación consiste en el estudio de la OM en un libro de texto.

2.6 Indicadores de las Organizaciones Matemáticas Locales (OML)

Carrillo (2013) afirma que en la TAD toda actividad de estudio e investigación parte de una

cuestión generatriz formada en una institución y que permite crear un tipo de problemas y una

técnica de resolución para dicho problema, así como una tecnología coherente para justificar y

entender mejor dicha actividad matemática que se va llevar a cabo.

Para medir el grado de completitud de una Organización Matemática Local se deben utilizar

los indicadores dados por Fonseca (2004):

OML1: deben mostrarse tipos de tareas asociados al “cuestionamiento

tecnológico”; dicho de otro modo, tareas que hagan referencia a la interpretación y a la

justificación de las técnicas, así como también a la comparación entre ellas. El grado

de completitud dependerá del grado de integración de todos los tipos de tareas, en

otras palabras, una OML será menos completa cuantos más tipos de tareas aisladas

existan, es decir, tareas realizables mediante técnicas que no están relacionadas entre

sí por ningún elemento tecnológico.

39

OML2: deben existir diferentes técnicas para cada tipo de tareas y criterios

para elegir entre ellas. Una OML será más completa si para un tipo de tarea, existen

dos o más técnicas que permitan realizar dicho tipo de tarea y, además, se permita

optar por la técnica más fiable y económica para llevarla a cabo según los elementos

tecnológicos.

OML3: deben existir diferentes representaciones de la actividad matemática.

Las técnicas usadas deben permitir utilizar distintas formas de representaciones y, a la

vez, deben haber criterios para elegir la representación más adecuada según la

actividad.

OML4: deben existir tareas y técnicas “inversas”, por ejemplo, que, a partir de

la respuesta, se analice la situación de partida, o que se intercambien los datos con la

incógnita del problema.

OML5: deben existir tipos de tareas que permitan al estudiante interpretar el

funcionamiento y el resultado de la aplicación de las técnicas, y que, a la vez, se pueda

percibir su beneficio matemático o ventaja en relación con las otras técnicas.

OML6: deben existir tareas matemáticas “abiertas”. En las tareas abiertas los

datos se tratan como si fueran desconocidos (parámetros) y las incógnitas no son

valores concretos, sino las relaciones que se establecen entre ellas. De esta manera, el

estudiante, ante una situación matemática, debe decidir cuáles son los datos que va a

utilizar y reconocer, quién o cuáles son las incógnitas. En este nivel se incluyen las

tareas de modelización matemática.

OML7: deben construirse técnicas nuevas capaces de ampliar los tipos de

tareas. Se sabe que la tecnología y la teoría son capaces de construir técnicas nuevas y

también susceptibles de ampliar los tipos de problemas que se pueden abordar.

Hay que considerar que la noción de “completitud” es relativa, ya que no se puede hablar de

OML “completas” ni de OML “incompletas”. Se debe entender como una cuestión de grado el

hecho de que existen OML más o menos “completas” que otras en función de que tanto sus

40

componentes cumplen con las condiciones descritas por los indicadores de Fonseca. Este

aspecto es importante, ya que nos servirá en adelante para el análisis del libro de texto

seleccionado en nuestra investigación.

2.7 La función lineal y la función afín desde la perspectiva de la TAD

Se tomarán en cuenta las investigaciones de Parra et al. (2006) y García (2005) como las

organizaciones matemáticas de referencia con respecto a la función lineal y la función afín, y

que, finalmente, nos servirán para poder identificar y organizar los tipos de tareas y, por

consiguiente, las técnicas y tecnologías presentes en el libro de texto seleccionado.

El texto a analizar, el cual es nuestro sujeto de investigación, es el libro de texto para el 2do

año del nivel secundario de uso nacional. Este se analizará de acuerdo con la teoría de la

TAD. En el libro se van a describir y analizar los tipos de tareas, tareas, técnicas y tecnologías

presentes sobre función lineal y función afín.

• Libro de texto a analizar: Matemática 2 secundaria de la editorial Norma usado en

colegios públicos que en adelante llamaremos “libro de texto”.

Nuestro estudio considera como organización matemática de referencia a las investigaciones

de García (2005) y Parra et al. (2006). Por tal motivo, se emplean para identificar y organizar

los elementos de la organización matemática sobre función lineal y función afín en el libro de

texto seleccionado. A continuación, mencionamos los tipos de tareas como problemática en

sus investigaciones respectivas.

De acuerdo a García (2005) en la página 297, tomamos en cuenta los diversos tipos de

problemas en el tema función lineal y función afín:

Interpretar relaciones de proporcionalidad directa a través de funciones lineales

Obtener la ecuación y la gráfica de una función lineal derivada de una relación

enmarcada en la vida cotidiana de los alumnos

Obtener la ecuación y la gráfica de una función afín derivada de una relación enmarcada

en la vida cotidiana de los alumnos

Representar rectas en el plano cartesiano a partir de sus ecuaciones

Interpretar, en casos sencillos, una función a través de su gráfica

Conocer las propiedades básicas de los distintos tipos de funciones elementales en

cualquiera de sus expresiones y familiarizarse con su terminología

41

Reconocer el tipo de familia funcional a la que pertenece una función dada por una

gráfica o una ecuación

Realizar operaciones elementales entre funciones

De igual manera, Parra et al. (2006) destaca la OMR que se debe tener en cuenta en torno a la

noción de función; estas son cuatro, según el nivel superior en el cual hizo su estudio. La

OMR gira en torno a los siguientes géneros de tareas:

Analizar el dominio de funciones

Analizar qué expresiones resultan ser relación funcional

Representar gráficamente funciones de una y dos variables

Analizar casos particulares de curvas de nivel

Con respecto a estos trabajos presentados, podemos concluir que algunos de los temas

mencionados son importantes para nuestro trabajo de investigación debido a que nos dan una

referencia sobre cómo organizar de manera adecuada las praxeologías de nuestro marco

teórico.

A continuación, presentamos los objetos matemáticos a analizar; es decir un breve estudio de

la función lineal y la función afín.

42

CAPÍTULO III: ESTUDIO DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS

En este capítulo, presentamos un estudio de nuestros objetos matemáticos función lineal y

función afín, considerando los aspectos matemáticos y didácticos. En primer lugar, abordamos

los conceptos y algunas propiedades fundamentales de función lineal y función afín desde un

punto de vista formal en matemáticas. Para ello, en primer lugar, definimos la función lineal

usando como base el álgebra lineal; luego, definimos la función afín. En segundo lugar,

describimos como el libro de texto seleccionado presenta la función lineal y la función afín.

3.1 Aspectos matemáticos

En esta sección, vamos a definir de manera formal y estrictamente matemática cada uno de

nuestros objetos matemáticos en estudio, es decir, vamos a evidenciar el saber sabio según la

TAD tomando como referencia la teoría del algebra lineal.

Sobre el álgebra lineal debemos tomar en cuenta algunas definiciones elementales como el

espacio vectorial, los sub espacios vectoriales, las transformaciones lineales, etc. Según Lages

(2001) un espacio vectorial es un conjunto de objetos, denominados vectores, que no

necesariamente se refieren al vector comúnmente usado en física como velocidad, fuerza, etc.,

sino a cualquier elemento u objeto matemático como una matriz, un polinomio, una recta, un

número, etc. junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un

escalar que satisface los diez axiomas siguientes:

Sean los vectores u , v , w en V y los escalares y ,

1. Ley de composición interna: la suma de vu está en V (la suma de dos vectores es

un vector)

2. Vvuuvvu ,, , axioma conmutativo.

3. Vwvuwvuwvu ,,,)()( , axioma asociativo.

4. Vuuuu ,00 , donde “0” se denomina elemento neutro aditivo o cero.

5. 0)()( uuuu , donde “-u” se denomina opuesto de u.

6. Ley de composición externa: el múltiplo escalar xu denotado por u. está en V (el

producto de un escalar por un vector es un vector).

7. RVvuvuvu ,,,)( .

8. RVuuuu ,,,)( .

9. RVvvv ,,),()( .

43

10. Vuuxu ,1 , donde “1” se denomina elemento neutro multiplicativo.

Como ejemplo de espacios vectoriales tenemos: el plano , el espacio , la recta real , el

conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, las matrices con coeficientes

reales, etc.

La definición de función lineal se fundamenta en el álgebra lineal; para ello, vamos a basarnos

en las definiciones proporcionadas por Kenneth Hofmann y Ray Kunze (1971), Elon Lages

Lima (2001) y Stanley Grossman (2012).

3.1.1 Función lineal

En esta sección, presentamos algunas definiciones, propiedades y teoremas sobre función

lineal tomadas de libros de texto seleccionados para su estudio.

3.1.1.1 Algunas definiciones sobre la función lineal

Lages (2001), en su libro Geometría analítica y álgebra lineal, en el capítulo titulado

“Transformaciones lineales”, afirma que “Transformación es sinónimo de función” (p.142) y

esto lo dice en referencia a que una transformación “T ” es el proceso de hacer corresponder

un elemento de un conjunto de partida a otro elemento de un conjunto de llegada, siendo este

último imagen del primero vía “T ”.

Por otro lado, Grossman (2012) menciona que una transformación “T ” se llama lineal si

sucede lo siguiente:

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una

función que asigna a cada vector Vv , un vector único WvT )( y que satisface, para cada

u y v en V y cada escalar , lo siguiente:

1. ),()()( vTuTvuT es decir, que la imagen de la suma de dos vectores de V es

igual a la suma de sus imágenes en W .

2. )(.)( vTvT , es decir, que la imagen del producto de cualquier escalar por todo

vector de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector en W .

44

En otras palabras, si una transformación “T ” o función “ f ” cumplen con las condiciones

anteriores, se llamará transformación o función lineal y “Se escribirá WVT : para indicar

que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W ; esto es, T es

una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen” (p. 481).

Además, en su libro Álgebra lineal en el capítulo titulado “Transformaciones lineales”, el

autor afirma que “Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma

xmxf .)( para algún número real m . Así, entre todas las funciones cuyas gráficas son

rectas, las únicas que son transformaciones lineales son aquellas que pasan por el origen”

(p.485).

A continuación, presentamos su demostración:

Sea xmxf .)( , Rm , entonces:

)()(..)()( vfufvmumvumvuf , luego: )()()( vfufvuf

)(.).().().( vfvmvmvf , luego: )(.).( vfvf

Al respecto, Hofmann K. y Kunze R. (1971) mencionan que es probable llamar función lineal

a aquella gráfica que es una línea recta, pero esto no resulta suficiente, ya que una

transformación lineal de R en R es una función de R en R cuya gráfica es una línea recta

que pasa por el origen de coordenadas.

“Este punto es a menudo confuso para la persona que está estudiando álgebra lineal por primera vez, ya que probablemente ha estado expuesto a un diferente uso del término "función lineal"... Supongamos que V es el espacio del vector R1. Una transformación lineal de V en V es entonces un tipo particular de función de valor real sobre la línea R. En un curso de cálculo, uno probablemente llamaría a tal función lineal si su gráfica es una recta. Una transformación lineal de R1 en R1, según nuestra definición, será una función de R en R, la gráfica de que es una línea recta que pasa por el origen.” (p.68)

De esta manera, se deduce que una transformación lineal es un caso particular de función real

sobre el campo real R , llamado función lineal. Además, se debe resaltar que en toda

transformación lineal T de V en W se debe cumplir que 0)0( T ; veamos:

)0()0()00()0( TTTT

45

Además, estos autores señalan otra propiedad importante que se cumple en toda

transformación lineal T en general: estas "preservan" combinaciones lineales, es decir, si

nvvv ,..., 21 son vectores en V y nccc ,..., 21 son escalares, entonces se cumple lo siguiente:

)(....)(.)(.)......( 22112211 nnnn vTcvTcvTcvcvcvcT

Y, de manera particular, se deduce: )(.)(.)..( 22112211 vTcvTcvcvcT

Otro ejemplo en el que se cumplen las dos condiciones de linealidad es para la función

identidad. Sea WVI : tal que xxI )( , Vyx , y , escalares entonces es una

transformación lineal porque cumple lo siguiente:

)(.)(...)..( yIxIyxyxI

Como vemos, tratar el tema de función lineal es tomar en cuenta el álgebra lineal con sus

temas de espacios vectoriales y transformaciones lineales, por tanto una función lineal es una

transformación de R en R sí y solo si xmxf .)( , con dominio Rx y m cualquier real.

3.1.1.2 Algunas propiedades y teoremas sobre función lineal

Según, Lages, E., Pinto, P., Wagner, E. y Cézar, A. (2000) la función lineal es el modelo

matemático de los problemas de proporcionalidad y es el tema matemático más difundido en

todo el mundo. Para ahondar en este tema, tomaremos como referencia el libro Aritmética

Progressiva de Antonio Trajano, cuya primera edición data de 1883 y en la que se rescata la

siguiente definición:

“Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando ellas se corresponden de tal modo que, multiplicándose una cantidad de una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. En el primer caso, la proporcionalidad se llama directa y, en el segundo, inversa; las magnitudes se dicen directamente proporcionales o inversamente proporcionales.” (p.86)

Según lo anterior, los autores concluyen que una proporcionalidad es una función RRf : ,

tal que, para cualesquiera números reales c , x se tiene )(.).( xfcxcf llamada

proporcionalidad directa, y además, si )1(fa , se tendría que acfccfcf .)1(.)1.()( ,

esto es cacf .)( , siendo c cualquier real. En general, si consideramos xc , tenemos que

xaxf .)( , lo cual equivale a decir que la magnitud y es directamente proporcional a la

46

magnitud x cuando existe un número a (llamado constante de proporcionalidad) tal que

xay . para todo valor de x , luego f es una función lineal.

Al respecto podemos citar un ejemplo: si un litro de aceite cuesta a soles entonces x litros

cuestan xay . soles.

Ahora bien, cabe preguntarnos: ¿cómo estar seguros que una correspondencia es una

proporcionalidad o función lineal? Para responder a esta interrogante, los autores presentan el

Teorema Fundamental de la Proporcionalidad, de la siguiente manera:

Para que RRf : sea una función lineal, basta verificar lo siguiente:

i) )(.).( xfnxnf para todo Zn y todo Rx .

ii) Poniendo )1(fa , se tiene xaxf .)( para todo Rx .

iii) )()()( yfxfyxf para cualquier Ryx , .

3.1.2 Función afín

En esta sección, presentamos algunas definiciones, propiedades y teoremas sobre función afín

tomados de libros de texto seleccionados para su estudio.

3.1.2.1 Algunas definiciones sobre la función afín.

Grossman (2012) afirma que una función afín es aquella que asocia a cada número “ x ” el

número “ bmx ”, donde m y b son dos valores fijos, tales que Rm y 0 Rb . Esta

forma es casi similar al de función lineal demostrada anteriormente, pero que, al no cumplir

con la condición de ser una transformación lineal, no se denomina así, lo cual se demuestra a

continuación:

Sea Rmbmxxfy ,)( y 0 Rb con x e y variables en R , entonces:

bmvmubmvbmuvfufbmvmubvumvuf 2)()()()()()(

bmubmuufbmubumuf )()()()()()(

47

Con lo anterior, queda demostrado que la expresión funcional bmxxf )( no es una

transformación lineal; por tanto, queda descartado el nombre de función lineal para esta. Por

ello, el autor concluye que no toda transformación que parece lineal lo es. Por ejemplo,

definimos RRT : por 43)( xxT . Entonces la gráfica de RxxTx ;)(, es una línea

recta en el plano XY , pero T no es lineal porque 4334)(3)( yxyxyxT y

833)43()43()()( yxyxyTxT .

Por otro lado, Lages, et al. (2001) definen a la función afín como una ecuación de la recta con

bmxy , mencionando que hay tres tipos principales de ecuación que definen rectas en el

plano.

Sean RRf : / bmxyxf )( , Rm y 0 Rb , se tratará de una función afín si

a “x” e “y” se les llama variables a las que se les puede asignar un conjunto de valores

cualesquiera. Estas son de dos tipos: la variable independiente y la variable dependiente

respectivamente. “b” que es el término independiente recibe el nombre de constante u

ordenada al origen, ya que de ella depende en qué punto del eje de ordenadas cortará la

gráfica, además la pendiente de la función afín está determinada por el valor que toma “ m ”

quien determina el grado de inclinación de la gráfica y es un valor que permanece constante

sin importar los valores que adopte “x”.

La gráfica de la función afín es una línea recta dado que, si la pendiente es un valor positivo,

la función será creciente; si la pendiente es negativa la función será decreciente; y, si la

pendiente es cero, la función no tendrá pendiente y se llamará función constante cuya grafica

será una línea recta paralela al eje X .

Como vemos, “afín” significa que tiene afinidad con otro o que tiene cosas en común con

otro, por tanto el nombre de función afín resulta pertinente porque esta posee un elemento

común con la función lineal: ambas se representan mediante líneas rectas en el plano XY .

3.1.2.2 Algunas propiedades y teoremas sobre función afín

Lages et al. (2001) toman como ejemplo un caso muy sencillo de función afín, el de la tarifa

de un taxi, la cual se modela de la forma: ,)( baxxf donde x es la distancia recorrida,

48

)(xf es el precio a pagar, b es el precio por solicitar el servicio y a es el precio por km

recorrido.

Además, presentan el siguiente teorema: sea RRf : una función monótona inyectiva, si el

aumento )()()( hxfhxf dependiese apenas de h , y no de x, entonces f es una

función afín; es decir, que los aumentos sufridos por )(xf son proporcionales a los aumentos

dados a x. Además afirman que existe una relación interesante entre las funciones afines y las

progresiones aritméticas, ya que estas pueden ser vistas geométricamente como una sucesión

de puntos ixxxx ,...,,, 321 igualmente espaciados en la recta. De esta manera, la razón

ii xxh 1 no depende de i, ya que: ...... 12312 ii xxxxxxh

Por tanto, de acuerdo con los autores, si se tuviera una recta no-vertical (gráfico de una

función afín) en 2R y tomamos sobre ella los puntos:

),...,(),...,,2(),,1( 21 iyiyy

cuyas abscisas son los números naturales ,....,...,3,2,1 i , las ordenadas ...,...,,, 321 iyyyy de

esos puntos forman una progresión aritmética. Y, recíprocamente, si una función monótona

RRf : transforma cualquier progresión aritmética ixxxx ,...,,, 321 ,… en una progresión

aritmética )...(),...,(),( 2211 ii xfyxfyxfy entonces f es una función afín.

3.2. Aspectos didácticos

En esta sección, vamos a presentar las definiciones de los objetos función lineal y función afín

presentes en un libro de texto: Matemática 2 secundaria de la Editorial Norma usado en

colegios públicos, para, luego, formular unos comentarios al respecto, basados en las

definiciones formales presentadas anteriormente por Lages (2001) y Grossman (2012).

3.2.1. Aspectos didácticos del libro de texto

La definición de función lineal presente en el libro de texto matemáticas 2 es: “Una función

lineal es aquella cuya regla de correspondencia es de la forma mxxf )( , donde m es un número

diferente de cero que se llama constante de proporcionalidad. Una función lineal se llama también

función de proporcionalidad directa.” (Perú, 2012, p. 44)

49

Tomando en cuenta el paso del saber sabio al saber enseñado (La transposición didáctica

según la TAD) se dejan de considerar algunos criterios que suelen ser “rigurosos” y a veces

pensados como “difíciles” de ser asimilado por el estudiante, pues en la definición notamos

que la transposición didáctica se da en un aspecto, cuando se menciona que ""m es distinto de

cero. Sin embargo, de acuerdo a las definiciones formales ya presentadas, se refieren a que

Rm "" ; además, cabe resaltar que el libro matemáticas 2 mantiene el nombre original para la

expresión: mxxf )( , al llamarla función lineal.

Por otro lado, la definición de función afín presente es: “Una función lineal afín es aquella

cuya regla de correspondencia es bmxxf )( , donde m y b son números racionales

diferentes de cero.” (Perú, 2012, p. 44)

En el caso de esta definición, notamos que la transposición didáctica se produce con muchos

cambios y, por ende, ya se distancia del saber sabio, pues se afirma que los parámetros “ m ” y

“ b ” son números racionales distintos de cero y, también, les da el nombre de función lineal

afín, cuando se considera por referencias que el parámetro “ b ” pertenece a R y que el

parámetro “ m ” es cualquier número real menos el cero; además, de acuerdo a las referencias

tomadas es apropiado llamar a esta función como función afín.

Como vemos el texto Matemática 2 secundaria no realiza una buena transposición didáctica

para definir cada uno de los objetos matemáticos de nuestro estudio (función lineal y función

afín) sobre todo en lo que respecta a las restricciones que se les da a los parámetros “ m ” y “

"b según sea el caso. Respecto a los nombres que se les otorga a cada función, tienden a

acercarse con los nombres formales, pero aún se continúa con el error de llamar a la función

afín como función lineal afín.

Mencionadas las definiciones de nuestros objetos de estudio dadas en el libro de texto

seleccionado y comparadas con el saber sabio según la TAD, para mostrar cómo fue la

transposición didáctica, procedemos a presentar algunos elementos sobre la TAD desarrollada

por Chevallard.

En el capítulo que sigue, presentamos los criterios empleados en nuestro trabajo, dichos

criterios nos permiten realizar la descripción y el análisis de los objetos función lineal y

función afín en el libro de texto seleccionado.

50

CAPÍTULO IV: CRITERIOS PARA EL ANÁLISIS DE LIBROS DE TEXTO

En este capítulo, presentamos los criterios para el análisis del libro de texto seleccionado para

nuestra investigación, además de una descripción y organización de las praxeologías presentes

en el libro de texto; finalmente, analizamos la completitud de dicha OM considerando los

indicadores de Fonseca (2004).

Estos criterios se derivan de los elementos que nos proporciona la TAD, las cuales son: tipos

de tarea, tareas, técnicas y tecnologías en torno a la teoría de la función lineal y función afín.

Sobre la base de estos elementos se realiza la descripción y el análisis del libro de texto

seleccionado para esta investigación.

A continuación, detallamos los criterios antes mencionados.

4.1 Criterios para la descripción del libro de texto determinados por la TAD

Primero se presenta una descripción detallada sobre el desarrollo de la función lineal y

función afín en el libro de texto seleccionado. Luego, identificamos y organizamos las

praxeologías encontradas en el libro de texto, es decir, se agrupan y contabilizan los tipos de

tareas, tareas, técnicas y tecnologías presentes en dicho material. Adicionalmente,

identificamos si las técnicas presentes son suficientes para dar solución a los problemas

propuestos. Esta labor nos dará información sobre si los tipos de tareas encontradas son las

propicias para abarcar y comprender el objeto matemático en función de las referenciales

dadas por García (2005) y Parra (2006). Por ejemplo, un tipo de tarea debería ser: determinar

el dominio y rango de una función lineal y de aquí se deberían desprender diversas tareas con

sus respectivas técnicas y tecnologías (justificaciones) para obtener una adecuada solución del

problema.

4.2 Criterios para obtener el grado de completitud de una OML

Como se mencionó en el capítulo anterior, la noción de “completitud” es relativa, ya que no

se puede hablar de OML “completas” ni de OML “incompletas”. Se debe entender como una

51

cuestión de OML más o menos “completa” que otras en función de que sus componentes

cumplen con las condiciones descritas por los indicadores de Fonseca (2004).

A continuación, en la tabla 2 mostramos una adaptación de los siete indicadores que nos

proporciona Fonseca (2004).

Tabla 2. Adaptación de los Indicadores de Fonseca para la completitud de una OM.

OML DESCRIPCIÓN

1 Distintos tipos de tareas que se asocien a un mismo discurso tecnológico

2 Distintas técnicas para un mismo tipo de tareas

3 Distintas representaciones para una misma actividad matemática

4 Debe haber distintas tareas y técnicas “inversas”.

5 Se debe elegir de varias técnicas, la mejor para un tipo de tarea.

6 Trabajar con tareas “abiertas” tales que los coeficientes sean parámetros a

variar

7 Se deben construir nuevas técnicas para ampliar los tipos de tareas o

problemas.

Con todo lo mencionado anteriormente, vamos a analizar el libro de texto Matemáticas 2

secundaria identificando y describiendo previamente cada una de las tareas, técnicas y

tecnologías presentes en él; para, luego, comparar estos elementos con las OML presentadas

por Fonseca (2004) y así poder analizar la completitud de la OM de la función lineal y

función afín en el libro de texto seleccionado.

A continuación, presentamos la descripción, las praxeologías y el análisis de los objetos

matemáticos en estudio en el libro de texto seleccionado.

52

CAPÍTULO V: ANÁLISIS DE LA ORGANIZACIÓN MATEMÁTICA EN UN LIBRO

DE TEXTO

En este capítulo, presentamos una descripción y el análisis de la organización matemática del

libro de texto Matemática 2 Secundaria que es distribuido de forma gratuita a las instituciones

educativas públicas por el Ministerio de Educación del Perú a los estudiantes de segundo

grado de educación secundaria.

Primero vamos a presentar una descripción de los objetos matemáticos función lineal y

función afín en el libro de texto seleccionado. Luego, presentaremos las praxeologías de dicho

texto y, finalmente, realizaremos el análisis tomando en cuenta los indicadores de

completitud de Fonseca (2004).

Para realizar nuestro trabajo de investigación, se eligió el libro de texto Matemática 2

Secundaria debido a que es el único libro oficial de matemática para el segundo año del nivel

secundario. Este libro de texto debe ser trabajado de forma obligatoria en todas las

instituciones educativas públicas del Perú, ya que en él se presentan los contenidos y

capacidades estipulados por el Diseño Curricular Nacional (2009).

A continuación, describimos el libro de texto seleccionado en relación a la función lineal y

función afín.

5.1 Descripción del libro de texto Matemática 2 Secundaria

El Libro de texto Matemática 2 Secundaria ha sido elaborado por la Editorial Norma en el

Perú. Su primera edición fue realizada en mayo del 2012, impreso en Perú, con más de medio

millón de ejemplares. El libro de texto presenta los siguientes autores: Ramón Donato Marín

Córdova, Jorge Silva Santisteban Chero, Álvaro Vergaray Dulanto, Nora Ysela Espinoza

Chirinos y Esther Onsihuay Acosta.

El libro de texto seleccionado está conformado por ocho unidades, y cada unidad está

organizada secuencialmente en cuatro partes:

53

PRIMERA PARTE: SECCIÓN INICIAL

Situaciones matemáticas en nuestro entorno: se muestran imágenes y breves

historias de situaciones de la vida real en la que se relaciona la matemática con las

actividades de todo ser humano; además, se dan a conocer los aprendizajes esperados

por los estudiantes.

¿Qué sabemos?: se presentan ejercicios propuestos, que el estudiante deberá resolver

previamente antes de comenzar la unidad, con la intención de que recuerde lo que ya

aprendió con el texto del año anterior llamado Matemática 1 secundaria y, así,

“active” los conocimientos previos y los “conecte” o los relacione con los nuevos

conocimientos que se le brindarán en la unidad.

SEGUNDA PARTE: SECCIÓN CENTRAL

Presentación de los temas a desarrollar: se redacta de forma resumida todo lo que

contiene la unidad: títulos, subtítulos, etc.

Observa y analiza: se presentan textos que complementan el tema en desarrollo.

Anota: se presenta textos sobre el tema en desarrollo con la finalidad de ampliar los

conocimientos.

Actividades para desarrollar capacidades matemáticas: está compuesto de

ejercicios propuestos de introducción a un tema para que sean desarrollados por los

estudiantes de forma individual o grupal, y de diversos ejercicios propuestos para que

sean desarrollados con ayuda del maestro.

Evaluación permanente: está compuesto de ejercicios propuestos (llamada

evaluación de proceso) para que sean desarrollados por los estudiantes y así ellos

mismos puedan medir su nivel de aprendizaje.

Actividades para reforzar lo aprendido: esta parte es llamada “para el cuaderno” y

está compuesta de ejercicios propuestos para que el estudiante practique en casa.

Matemática en los medios/TIC: se presentan textos cortos de diarios o revistas en los

cuales se evidencia como la matemática es necesaria para comprender las noticias de

la vida cotidiana. También se hace notar la manera cómo la tecnología puede ayudar a

comprender mejor los procesos matemáticos.

54

Pruebas: se presentan diversos ejercicios propuestos semejantes a ejercicios dados en

exámenes de concursos nacionales e internacionales con la finalidad de que el

estudiante se prepare para participar en alguno de ellos.

Organizador visual: se presentan, a manera de resumen, todos los conocimientos

desarrollados en la unidad.

Historia de la matemática: se presentan infografías en las que se dan a conocer los

aportes y el desarrollo de la matemática en el tiempo.

TERCERA PARTE: PROYECTOS DE APRENDIZAJES

Está compuesto por actividades relacionadas a situaciones cotidianas con la finalidad de que

el estudiante ponga en práctica lo aprendido en la unidad.

CUARTA PARTE: EVALUACIÓN Y METACOGNICIÓN

Evaluación: encabezada con el nombre “heteroevaluación”, está compuesta por

ejercicios propuestos de tal manera que le permitan al estudiante medir si logró

desarrollar las capacidades planteadas al inicio de la unidad.

Metacognición: está compuesto por actividades que le permiten al estudiante

reflexionar sobre su trabajo en el desarrollo de la unidad.

Los objetos matemáticos en estudio, función lineal y función afín, se encuentran en la unidad

2 llamada: “Funciones en mi vida diaria”, la cual está compuesta de dos temas:

El tema 1, llamado “función lineal” está dividido en cuatro subtítulos:

i) Función lineal y función lineal afín.

ii) Dominio y rango de una función lineal.

iii) Modelos lineales.

iv) Representación verbal, tabular y gráfica de las funciones lineales.

Así mismo, contiene dos ítems llamados: “para el cuaderno” y “evaluación / metacognición”;

El tema 2, llamado “proporcionalidad directa e inversa” consta cinco subtítulos:

i) Proporcionalidad directa

ii) Proporcionalidad inversa

iii) Regla de tres simple

55

iv) Regla de tres compuesta

v) El porcentaje

y de cuatro ítems llamados “para el cuaderno”, “evaluación / metacognición”, “organizador

visual” e “historia de la matemática”. Para nuestro trabajo presentamos la descripción del

tema 1 en la unidad 2.

En la sección inicial de la unidad 2 se relatan las vivencias que tuvo un niño durante su viaje a

Huaraz, donde, al notar el deshielo de los glaciares y recordar lo que le había mencionado su

profesor, concluye que el calentamiento global está en función de la contaminación ambiental.

Luego se mencionan los aprendizajes esperados, entre los que se destacan:

Determina el dominio y rango de una Función.

Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables.

Resuelve problemas de contexto real y matemático.

En la segunda parte de esta sección inicial, el libro de texto presenta, en la página 42, cinco

ejercicios propuestos con el nombre “¿Qué sabemos?”. En esta parte, se proporcionan

problemas en los que se aprecian ejercicios para recordar la definición de función, completar

una tabla de valores y modelar problemas contextualizados. El objetivo de estas actividades es

recordar los saberes previos de los estudiantes que son necesarios para este tema, los que

mostramos en la figura 6:

56

Figura 6: Actividades para recordar saberes previos.

Fuente: Libro de texto de Matemática 2. (Perú, 2012, p.42)

El estudiante necesita recordar ciertas técnicas de resolución de problemas y manejo de

conceptos y temas; por tal motivo, en la siguiente tabla presentamos los temas necesarios para

la resolución de las actividades previas presentes en el libro de texto seleccionado.

Tabla 3. Actividades previas para el desarrollo de la unidad 2

Actividad previa Temas necesarios para la resolución

Actividad 1 Producto cartesiano, relaciones, conjuntos, pares ordenados

Actividad 2 Definición de función, diagrama sagital

Actividad 3 Regla de tres simple, proporciones, graficar en el plano

Actividad 4 Tabulación, diagrama sagital, regla de tres simple

Actividad 5 Magnitudes, tabulación, inducción, modelización

57

Para la realización de estas actividades previas, el estudiante debe tomar en cuenta lo que

aprendió el año anterior con el texto Matemática 1 secundaria de la editorial norma la cual en

su unidad 5 llamada “Funciones y álgebra”, página 136, presenta los siguientes temas:

Funciones: producto cartesiano, representación tabular y gráfica

Proporcionalidad: relación directamente proporcional, regla de tres simple

Ecuaciones: ecuación lineal, valor numérico de polinomios

Sobre estos temas el texto Matemática 1 secundaria presenta la técnica de la tabulación y la

del reemplazo o valor numérico; también usa los diagramas sagitales y el plano cartesiano

para el desarrollo de diversos ejercicios. Además, se usa la técnica de los patrones numéricos

y la regla de tres simple para el desarrollo de problemas contextualizados. Si el estudiante

recuerda estas técnicas para el desarrollo de las actividades propuestas anteriormente, estaría

preparado para comenzar la unidad 2: “Funciones en mi vida diaria”.

Adicionalmente, el libro de texto Matemática 2 secundaria presenta una sección central que

se inicia con los objetivos que se busca alcanzar en los estudiantes. También les proporciona

herramientas para que puedan identificar y representar la correspondencia entre dos variables

así como para poder interpretar lo que sucede cuando una de las variables aumenta o

disminuye; además, se menciona que los ejercicios son redactados a partir de situaciones

reales.

Ahora, nos centraremos en el objeto de estudio función lineal en el tema 1, que se presenta de

forma explícita desde la página 43 hasta la página 54.

5.2 Descripción de la función lineal en el libro de texto Matemática 2

Esta OM se inicia con una pequeña lectura sobre la vida real, la cual genera un ejercicio

grupal. De esta manera se introduce al estudiante en el tema de la función lineal. Veamos la

figura 7:

58

Figura 7: Ejercicio propuesto de introducción a la función lineal.


Como se puede observar, el ejercicio propuesto, representado en lenguaje natural, es seguido

de una tabla con algunos valores ya determinados a manera de “ayuda” para que el estudiante

pueda dar con la solución de cada pregunta. Se concluye con su expresión algebraica

respectiva xy 5 . A partir de este ejercicio como introducción se presenta la definición de la

función lineal.

En la figura 8, presentamos la definición de función lineal

Figura 8: Definición de función lineal.


A partir de la definición dada, podemos señalar que al coeficiente de la variable “x” se le da el

nombre de constante de proporcionalidad y, por ello, a la función lineal también se le

59

denomina función de proporcionalidad directa. Luego de esto se presenta el “Ejemplo 1” en

el cual se proporciona una función lineal en su representación algebraica y se solicita la

representación geométrica así como el análisis de su gráfica respectiva.

Finalmente, en este subtítulo, el libro presenta una lista de ejercicios propuestos, siete en total,

que pertenecen a función lineal que deberán ser desarrollados por los estudiantes junto con el

docente. Estos son los ejercicios 2, 3, 5 y 6; los cuales detallamos a continuación.

Ejercicios propuestos 2a y 2c del subtítulo 1: se pide reconocer la representación

algebraica de una función lineal, dada una lista de cinco expresiones algebraicas, como se

muestra en la figura 9:

Figura 9: Ejercicio propuesto 2-subtítulo 1.


Ejercicios propuestos 5 y 6 del subtítulo 1: se pide expresar en su representación

algebraica un problema de la vida real dado en lenguaje natural y resolver otras preguntas

que se desprenden de la modelización. A continuación, en la figura 10 presentamos el

ejercicio propuesto 5.



En el subtítulo 2, página 46, se presenta el dominio y el rango de una función lineal,

presentando, primero, la definición de ambos términos y, luego, una gráfica en la que se

60

muestran dos conjuntos A y B y la relación funcional entre ambos, determinando que todos

los elementos “x” del conjunto de partida A, son el dominio de la función f , expresado de esta

manera: Dom (f)=A; y que el rango de la función f son todos los elementos “f(x)” que le

corresponde a “x” y que están contenidos en el conjunto B y se expresa de esta manera: Ran

(f) B. Veamos la siguiente figura:

Figura 11: Gráfico sobre dominio y rango de una función. Fuente: Libro de texto de Matemática 2. (Perú, 2012, p.46)

Luego, el texto presenta el “ejemplo 2” en el que se pide determinar el dominio y rango de la

función lineal a partir de la expresión algebraica xxf 3)( definida en Z, mostrando la

representación tabular, esto significa, darle valores a la variable x (cuatro valores en total)

pertenecientes a Z, y así obtener los correspondientes valores de yxf )( . Se llega a la

siguiente conclusión:

Figura 12: Solución del ejemplo 2-dominio y rango.


Finalmente, en esta sección, el texto presenta una lista de ejercicios propuestos, ocho en total

que deberán resolver los estudiantes con ayuda del maestro. Los que interesan a nuestra

investigación son los que tratan el tema función lineal, es decir, los ejercicios propuestos 1

(dos primeros enunciados), 2a y 2c. Colocamos alguno de ellos en la figura 13.

Ejercicio propuesto 2 del subtítulo 2: se pide determinar la representación algebraica de

una función lineal a partir de un conjunto de pares ordenados o puntos.

61

Figura 13: Ejercicio propuesto 2-subtítulo2.


El subtítulo 3 página 48, titulado modelos lineales, se inicia con un ejercicio propuesto como

introducción, llamado "Ejercicio 3" presentado en lenguaje natural, el cual debe ser resuelto

en parejas. Veamos la figura 14:



El ejercicio anterior presenta cuatro preguntas, de las cuales 3b, 3c y 3d corresponden a

función lineal.

A continuación, el libro presenta el “ejemplo 4”, el cual muestra la modelización de un

problema de la vida real dado en lenguaje natural a una representación algebraica. Obsérvese

la figura 15:

62

Figura 15: Ejemplo 4 modelización.


Así mismo, en esta sección, el libro presenta una lista de ejercicios propuestos, siete en total,

que deberán resolver los estudiantes con ayuda del maestro. Los pertinentes para nuestra

investigación sobre función lineal son: 1 (la segunda modalidad), 2, 3, y 7., los cuales

presentamos a continuación.

Ejercicio propuesto 1 del subtítulo 3: se pide modelar; es decir, representar en lenguaje

algebraico un problema dado en lenguaje natural y compararlo con otra expresión también

modelada bajo el mismo contexto del ejercicio, pero con diferente condición. Veamos la

figura 16:



63

Ejercicio propuesto 2 del subtítulo 3: en este ejercicio se pide hallar la representación

algebraica y representación tabular de un problema contextualizado. Veamos la figura 17:



Ejercicio propuesto 3 del subtítulo 3: se pide hallar la representación algebraica de un

problema dado en lenguaje natural, como podemos ver en la figura 18:



Luego, en el ejercicio 7, el texto muestra una expresión algebraica de una función lineal y

solicita verificar si corresponde al contexto presentado.

El subtítulo 4, página 50 el cual se titula “Representación verbal, tabular y gráfica de las

funciones lineales” presenta inicialmente un ejercicio resuelto llamado “Ejemplo 6”, el cual

consta de seis actividades desarrolladas. En su solución, se muestra el paso de la

representación verbal a la representación algebraica así como a la representación tabular y,

finalmente, la representación gráfica de una función lineal.

De la misma manera, en esta sección el texto presenta otra lista de ejercicios propuestos, seis

en total en la página 52, que deberán resolver los estudiantes con ayuda del maestro. Los de

función lineal son: 1, 3a, 3c, 4, 5b y 5d, los mismos que presentamos a continuación.

64

Ejercicio propuesto 1 del subtítulo 4: requiere la resolución de tres preguntas, las cuales

consisten en hallar la representación algebraica, la representación tabular y la

representación gráfica a partir de un problema dado en lenguaje natural. Veamos la figura

19:



Ejercicio propuesto 3 del subtítulo 4: consiste en representar gráficamente cada una de las

representaciones algebraicas dadas. Corresponden a función lineal 3a y 3c, como podemos

apreciar en la siguiente figura 20:



Ejercicio propuesto 4 del subtítulo 4: consiste en resolver dos ítems, para ello primero se

solicita que el estudiante realice la representación tabular, luego que halle la gráfica en

función de los valores de la tabla y, finalmente, se le pide hallar la representación

algebraica del problema dado en lenguaje natural. Veamos la figura 21:

65



Ejercicio propuesto 5 del subtítulo 4: con respecto a función lineal identificamos dos

ítems b y d, los cuales están expresados en forma algebraica con dominio restringido y se

pide realizar la representación tabular de dichas expresiones según sus valores dados; y,

por último, se pide determinar su dominio y rango en cada caso. Veamos la figura 22:



Luego de estos cuatro subtítulos, el texto presenta los ítems denominados: para el cuaderno,

página 53 y evaluación en las páginas 54 y 71. Sobre el primer ítem, el texto muestra una lista

de ejercicios propuestos para que sean desarrollados por el estudiante en su cuaderno, sobre

función lineal encontramos cinco ejercicios que corresponden a los números 1, 2, 3, 8 y 9.

Dichos ejercicios los detallamos a continuación:

Ejercicio propuesto 1 del ítem para el cuaderno: se pide completar una tabla con valores

específicos tanto para la variable independiente como para la variable dependiente usando

la expresión algebraica lineal dada. Veamos la figura 23:

66

Figura 23: Ejercicio propuesto 1- ítem para el cuaderno.


Ejercicio propuesto 2 del ítem para el cuaderno: presenta un problema contextualizado,

veamos la figura 24:

Figura 24: Ejercicio propuesto 2-ítem para el cuaderno.


Ejercicio propuesto 3 del ítem para el cuaderno: se pide determinar el dominio y rango de

una función lineal, dada en su representación algebraica y con un conjunto numérico

definido para su variable independiente. Veamos la figura 25:



67

Ejercicio propuesto 8 del ítem para el cuaderno: se pide expresar en lenguaje algebraico

un problema dado en lenguaje natural. Veamos la figura 26:



Ejercicio propuesto 9 del ítem para el cuaderno: consiste en verificar la representación

gráfica dado un problema en lenguaje natural, uno de los casos propuestos corresponde a

una función lineal (Transportista A), luego se pide hallar su representación gráfica.



68

Esta sección finaliza con un ejercicio propuesto que relaciona la matemática con las noticias

periodísticas publicadas diariamente. La sección se denomina “matemática en los medios”, y,

en este caso, el ejercicio consiste en hallar la representación algebraica con respecto a la

longitud final de una seda de araña. Hemos identificado que dicha expresión corresponde a

una función lineal. Veamos la figura 28:

Figura 28: Ejercicio propuesto-matemática en los medios. Fuente: Libro de texto de Matemática 2. (Perú, 2012, p.54)

Sobre el segundo ítem, el libro de texto muestra una lista de ejercicios propuestos para que

sean desarrollados por el estudiante, de tal manera que pueda medir sus aprendizajes sobre el

tema. Este ítem está dividido en dos partes, y sobre función lineal tenemos:

Evaluación en proceso (página 54): consta de cuatro ejercicios propuestos (1, 2, 3 y 4).

Heteroevaluación (página 71): que consta de tres ejercicios propuestos (1, 2 y 5).

A continuación describimos estos ejercicios.

Ejercicios propuestos 1 a 4 sobre evaluación en proceso: los ejercicios están dados en

lenguaje natural y se pide determinar la regla de correspondencia; es decir, hallar su

representación algebraica para luego obtener valores particulares sobre la misma. A

manera de ejemplo, mostramos el ejercicio 1 y el ejercicio 2. En la siguiente figura 29

vemos el ejercicio 1:

69

Figura 29: Ejercicio propuesto 1-evaluación en proceso.


Ejercicio propuesto 2 sobre evaluación en proceso: este ejercicio tiene dos condiciones,

una que corresponde a una función lineal y otra que corresponde a una función afín, como

vemos a continuación en la figura 30:

Figura 30: Ejercicio propuesto 2-evaluación en proceso.


En este último ejercicio, luego de obtener la representación algebraica para ambos casos

presentados, se pide comparar cuál de las dos expresiones algebraicas es conveniente según el

contexto del problema. Con respecto al ejercicio 3, el libro de texto presenta una

representación gráfica de una función lineal y pide hallar las representaciones en lenguaje

natural y tabular; y, por último, en el ejercicio 4 se pide hallar la regla de correspondencia de

una función lineal dado un problema en lenguaje natural.

Con respecto a los ejercicios propuestos en Heteroevaluación, en la página 71, tenemos:

70

Ejercicio 1 sobre heteroevaluación: se pide determinar el dominio y rango de una función

lineal dada en su expresión algebraica en la que, además, la variable independiente está

definida en un campo numérico específico, en este caso el conjunto de los números

naturales. Veamos la figura 31:

Figura 31: Ejercicio propuesto 1-heteroevaluación.


Ejercicio propuesto 2 sobre heteroevaluación: en este ejercicio se pide completar una tabla

empleando la expresión algebraica dada; luego, se pide establecer la relación que existe

entre las variables x e y. Veamos la figura 32:

Figura 32: Ejercicio propuesto 2-heteroevaluación.


Ejercicio propuesto 5 sobre heteroevaluación: se muestran dos tablas completas con

valores dados de un problema de la vida real, en la cual se pide determinar cuál de ellas

representa a una función lineal y se debe argumentar la respuesta. Veamos la figura 33:

71

Figura 33: Ejercicio propuesto 5- heteroevaluación. Fuente: Matemática 2 secundaria. Perú (2012, p.71)

Con respecto al ejercicio 5, podemos concluir que la primera tabla corresponde a la

representación tabular de una función lineal.

La descripción de la función lineal nos va a permitir identificar y organizar las praxeologías

presentes en el libro de texto Matemática 2 secundaria.

5.3 Praxeologías de la función lineal en el libro de texto Matemática 2 secundaria

A continuación, describimos las praxeologías, es decir, los tipos de tareas, las tareas

correspondientes a cada tipo de tarea, técnicas y tecnologías sobre la función lineal en el libro

de texto seleccionado.

Con respecto a la función lineal se han identificado 12 tipos de tareas. La presentación de las

praxeologías se inicia con un tipo de tarea, luego se desarrollan las tareas correspondientes a

ese tipo, se continúa con la presentación de cada una las técnicas y las tecnologías, y, por

último, se concluye con la teoría de la función lineal. Procedemos de la misma manera con

cada tipo de tarea hasta concluir con todos los tipos de tareas identificados en el libro de texto.

Por ello, consideramos las siguientes notaciones:

:iT es el tipo de tarea .i

:, jit es la tarea j del tipo de tarea iT

Ôi,j,k : es la técnica, donde i indica el tipo de tarea, j el número de tarea y k indica el

número de técnica de la tarea correspondiente.

:m es la tecnología.

72

:n es la teoría.

:1T Identificar una función lineal.

:1,1t Dada una expresión algebraica, identificar si corresponde a una función lineal.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 2a, 2c; pág. 71: 2b; pág. 54: ítem 1.

Técnica Ô1,1,1 : consiste en

Paso 1: Aplicar la definición de función lineal

El libro de texto muestra está técnica en la página 44.

:1 Definición de función lineal

:1 Teoría de función lineal

:2,1t Dado un problema contextualizado, identificar si su modelización corresponde a una

función lineal.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 5c, 6c; página 50; ejemplo 6ª.

También en la página 48: ejercicio 3b.


Paso 1: aplicar inducción matemática para generalizar una expresión

algebraica, en este caso depende de una variable independiente (dada por el

libro de texto en la página 51 ítem a).

Paso 2: tener en cuenta la expresión algebraica y aplicar la técnica (Ô1,1,1) que

consiste en aplicar la definición de función lineal.

El libro de texto muestra está técnica en la página 51, solución del ejemplo 6a.

:2 Propiedades del principio de inducción



:3,1t Dada una representación gráfica, identificar si corresponde a una función lineal.

73

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 53: 9a.

Técnica Ô1,3,1: consiste en

Paso 1: observar si la gráfica de la función dada pasa por el origen del

sistema de coordenadas.

El libro de texto muestra está técnica en la página 51, en la indicación Anota- ítem 1.

:9 Propiedades gráfico de una función lineal


:4,1t Dada una representación tabular, identificar si corresponde a una función lineal.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 71: 5b.


Paso 1: observar en la tabla que la relación entre la variable independiente

y la variable dependiente corresponde a un modelo lineal.

El libro de texto muestra está técnica en la página 51, solución del ejemplo 6e.


:10 Definición de variables


:2T Identificar la variable independiente.

:1,2t Dado un problema contextualizado de una función lineal, identificar la variable

independiente.


Técnica Ô2,1,1: consiste en:

Paso 1: identificar la variable independiente de acuerdo al contexto dado.

El libro de texto muestra esta técnica en la indicación llamada “Observa y analiza” en

la página 43.

74




:3T Hallar el valor de la variable independiente de la función lineal.

:1,3t Dada la imagen de una función lineal, hallar el valor de la variable independiente.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 5e; página 51: ejercicio 6d.


Paso 1: Se reemplaza el valor dado como imagen en la expresión y=f(x).

Paso 2: se resuelve la ecuación.

Paso 3: identificar la variable independiente

El libro de texto muestra esta técnica en la página 51 ejemplo 6d.

:4 Propiedades de los números reales

:11 Teorema de ecuación lineal de una variable


:4T Interpretar la variación de la variable dependiente.

:1,4t Dado un problema contextualizado de una función lineal, interpretar la variación de la

variable dependiente.



Paso 1: tomar en cuenta la noción de magnitudes proporcionales, si una

magnitud aumenta en la misma proporción que otra, se dice que son

directamente proporcionales.

75

El libro de texto muestra esta técnica en la página 43 en la indicación “Observa y

analiza”.

:4 Definición de proporcionalidad


:5T Hallar la imagen de una función lineal.

:1,5t Dada la expresión algebraica de la forma mxxf )( y un punto de la función, hallar su

imagen para otro valor de x.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 3a, 3b, 3c, 3d.


Paso 1: reemplazar el valor de x en la expresión algebraica

Paso 2: resolver las operaciones aritméticas

Paso 3: identificar la imagen

El libro de texto muestra esta técnica en la página 51 ítem c.

:3 Definición de regla de correspondencia


:12 Definición de imagen de una función


:2,5t Dado un problema contextualizado y un punto conocido de la función, hallar otro valor

de la imagen en la función.

Esta tarea se presenta en el libro de texto página 51: ejercicio 6c; página 53: 2; página 54: 3b.


Usamos el paso 1 de la técnica Ô1,2,1, luego la técnica Ô5,1,1

El libro de texto no muestra técnica.


76



:3,5t Dado un problema contextualizado con valores conocidos para su variable independiente,

hallar su imagen.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 43: ejercicio 1c; página 45: 5d.


Paso 1: identificar la variable independiente

Paso 2: aplicar la técnica Ô5,2,1





:4,5t Dado un problema contextualizado, hallar el costo.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 43: ejercicio 1; página 49: 2b; página

54: 2b.


Paso 1: identificar los valores de la variable independiente

Paso 2: reemplazar los valores de la variable independiente según el contexto

del problema dado


Paso 4: identificar el costo hallado para cada valor dado según el problema

El libro de texto muestra la técnica en la página 43 en la indicación “Observa y

analiza”.



77



:6T Hallar la constante de proporcionalidad.

:1,6t Dado un problema contextualizado con su representación gráfica, hallar su constante de

proporcionalidad.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 53: 9d.


Paso 1: reemplazar las coordenadas de los puntos dados en la tabla de

valores, en su expresión mxxf )(

Paso 2: resolver la ecuación

Paso 3: identificar la constante de proporcionalidad

El libro de texto no muestra la técnica Ô6,1,1, pero muestra otra técnica en la

página 56 ejemplo1.


:5 Definición de proporcionalidad



:7T Determinar la regla de correspondencia de una función lineal

:1,7t Dado un problema contextualizado de una función lineal, hallar su regla de

correspondencia.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 6b; página 48: ejercicio 3c; página

48: ejemplo 4; página 49: 1a; página 50: 3; página 52: 1a; página 54: ejercicio propuesto

ítems 1, 1a, 2a, 4.


Se usa el paso 1 de la técnica Ô1,2,1.

78

El libro de texto muestra la técnica en la página 48 ejemplo 4.


:2 Propiedades del principio de inducción



:2,7t Dado un problema contextualizado y dos puntos de la función, hallar la regla de

correspondencia de dicha función.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 49: 2a; página 53: 8.


Paso 1: reemplazar un punto dado en la expresión lineal mxxfy )(

Paso 2: resolver la ecuación, donde se halla el valor del parámetro m

Paso 3: reescribir la expresión original que es la regla de correspondencia

pedida

El libro de texto no muestra la técnica.





:3,7t Dado un conjunto de pares ordenados de una función lineal, hallar su regla de

correspondencia.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 47: 2a, 2c.


Paso 1: identificar el conjunto de partida y de llegada

Paso 2: hallar valores particulares de la función

Paso3: identificar la regla de correspondencia


79





:4,7t Dado un problema contextualizado y la representación tabular de una función lineal,

hallar su regla de correspondencia.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 5b; página 52: 4b.

Técnica Ô7,4,1 : consiste en:

Aplicar el Paso 1 de la técnica Ô7,2,1

Luego el Paso 3 de la técnica Ô7,3,1

El libro de texto muestra la técnica en la página 43 en la indicación “Observa y anota”




:8T Determinar el dominio y el rango.

:1,8t Dada la expresión algebraica de la forma mxxf )( definida en un conjunto numérico,

hallar su dominio y rango.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 46: ejemplo 2; página 48: ejercicio 3d;

página 52: 5b; página 53: 3; página 71:1b.


Paso 1: identificar posibles valores de la variable independiente

Paso 2: reemplazar todos los valores que toma la variable x en la expresión mxy

Paso 3: resolver las operaciones aritméticas necesarias

Paso 4: identificar el rango de la función

El libro de texto muestra la técnica en la página 46, ejemplo 2.

80


:6 Definición de dominio de una función lineal

:7 Definición de rango de una función lineal


:2,8t Dado un conjunto de pares ordenados, hallar su dominio y rango de la función lineal.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 47: 1a, 1b.


Paso 1: identificar los valores de la variable independiente

Paso 2: reescribir los valores identificados en el paso 1 como un conjunto

Paso 3: identificar los valores de la variable dependiente

Paso 4: reescribir los valores identificados en el paso 3 como un conjunto






:9T Hallar la representación tabular de una función lineal.

:1,9t Dada una expresión algebraica de la forma mxxf )( , hallar su representación tabular.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 52: 5b, 5d; página 53: 1; página 71: 2.


Paso 1: tomar valores arbitrarios para la variable x

Paso 2: reemplazar los valores de x en la expresión mxxf )(


Paso 4: identificar las imágenes respectivas



81



:12 Definición de imagen de una función lineal


:2,9t Dada la gráfica de una función lineal, hallar su representación tabular.



Paso 1: identificar los puntos de la gráfica de la función

Paso 2: ubicar las coordenadas de los puntos en una tabla, teniendo en cuenta

el orden de las abscisas y ordenadas.







:3,9t Dado un problema contextualizado de una función lineal, hallar su representación

tabular.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 43: ejercicio 1; página 45: 5a, 6a;

página 49: 2b; página 51: ejemplo 6e; página 52: 1b, 4.


Paso 1: identificar los valores de la variable independiente en el problema

Paso 2: hallar la regla de correspondencia del problema de la forma mxxf )(

Paso 3: remplazar los valores de m y x según el problema

Paso 4: realizar las operaciones aritméticas necesarias

Paso 5: hallar la imagen para cada valor de x

82

Paso 6: construir una tabla donde se identifican los valores de x y de )(xf

El libro de texto muestra esta técnica en la página 51 ejemplo 6e




:10 Definición de variable


:10T Graficar la función lineal.

:1,10t Dada una expresión algebraica de la forma mxxf )( , hallar su representación gráfica.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 44: ejemplo 1; página 52: 3a, 3c.


Paso 1: reemplazar valores del dominio en la expresión algebraica de la

función

Paso 2: realizar operaciones aritméticas

Paso 3: identificar los valores de y

Paso 4: ubicar los pares ordenados ),( yx en el plano cartesiano XY

El libro de texto muestra esta técnica en la página 44 en el ejemplo 1a.



:8 Definición de gráfico de una función

:9 Propiedades de gráfico de una función


:2,10t Dada la representación tabular de una función lineal, hallar su representación gráfica.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 51: ejemplo 6f; página 52: 1c, 4a.

83


Paso 1: identificar los pares ordenados dados en la tabla

Paso 2: ubicar los pares ordenados en el plano cartesiano XY

Paso 3: unir los puntos que se encuentran en el plano cartesiano XY

El libro de texto muestra esta técnica en la página 51 en el ejemplo 6f.



:9 Propiedades de gráfico de una función


:11T Verificar que la expresión algebraica corresponde a una función lineal.

:1,11t Verificar si la expresión algebraica corresponde a la modelización de una función lineal

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 50: 7.

Ô11,1,1: consiste en:

Paso 1: identificar el dominio de la expresión dada

Paso 2: reemplazar valores particulares que pertenecen al dominio, en la

expresión dada


Paso 3: verificar que el dominio hallado corresponde a una función lineal



:6 Definición de dominio de una función



:12T Dar la representación verbal de una función lineal.

84

:1,12t Dado un problema contextualizado y su expresión algebraica de la forma mxxf )(

proporcionar su representación verbal.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 51: ejemplo 6b.


Paso 1: reconocer como dos magnitudes a las variables x e y presentes en

dicha expresión

Paso 2: expresar en lenguaje natural que las dos magnitudes son directamente

proporcionales para dicho problema

El libro de texto muestra esta técnica en la página 51 en el ejemplo 6b.


:5 Propiedades de proporcionalidad


:2,12t Dada la representación gráfica de una función lineal, proporcionar su representación

verbal.



Paso 1: identificar las coordenadas de los puntos en la gráfica dada

Paso 2: identificar una relación directamente proporcional entre los valores de

las abscisas y las ordenadas dadas

Paso 3: expresar en lenguaje natural que los valores de las abscisas y de las

ordenadas son directamente proporcionales



:5 Propiedades de proporcionalidad


85

5.4 Análisis de las praxeologías de la función lineal en el libro de texto Matemática 2

secundaria

Para el análisis de la función lineal en este libro de texto, vamos a tomar en cuenta los

elementos de nuestro marco teórico, los cuales son: tipos de tareas, tareas, técnicas y

tecnologías así como también los indicadores de las Organizaciones Matemáticas Locales de

Fonseca (2004).

Con respecto a los elementos de nuestro marco teórico:

En el libro de texto seleccionado, se han identificado 12 tipos de tareas, con 26 tareas, cada

una de ellas relacionadas con una técnica, tecnología y teoría dadas. A continuación,

presentamos la tabla 4, en la que se organizan los tipos de tareas y tareas resueltas y

propuestas en el libro de texto.

Tabla 4. Praxeologías del libro de texto sobre función lineal.

Tipos de tareas (Ti) y tareas (ti,j) Total Resueltos Propuestos

T1: t1,1(4), t1,2(4), t1,3(1), t1,4(1) 10 1 9

T2: t2,1(1) 1 0 1

T3: t3,1(2) 2 1 1

T4: t4,1(1) 1 0 1

T5: t5,1(4), t5,2(3), t5,3(3), t5,4(3), 13 3 10

T6: t6,1(1) 1 0 1

T7: t7,1(10), t7,2(2), t7,3(2) t7,4(2) 16 2 14

T8: t8,1(6), t8,2(2) 8 2 6

T9: t9,1(4), t9,2(1), t9,3(7) 13 2 11

T10: t10,1(3), t10,2(3) 6 2 4

T11: t11,1(1) 1 0 1

T12: t12,1(1) t12,2(1) 2 1 1

Total 74 14 60

86

De acuerdo a la tabla anterior se puede observar que el número de ejercicios propuestos (60)

es mayor al número de los resueltos (14). Solo ocho tipos de tareas contienen tareas resueltas,

estas son: T1, T3, T5, T7, T8, T9, T10 y T12.

A continuación, presentamos la tabla 5, en la que se muestran las técnicas para la resolución

de las tareas presentes en el libro de texto y las páginas donde se encuentra las mismas.

También se proponen técnicas para las tareas que no las presentan en el libro de texto.

Tabla 5. Presencia de praxeologías en el libro de texto sobre función lineal.

Tipos de tareas (Ti) y tareas (ti,j)

Presencia de Técnicas

Página en el libro

de texto

Presencia de tecnologías

T1:

t1,1 Sí 44 Sí:1

No:2

No:3

No:4

Sí:5

Sí:6

Sí:7

No:8

No:9

Sí:10

No:11

No:12

t1,2 Sí 51

t1,3 Sí 51

t1,4 Sí 51

T2: t2,1 Sí 43

T3: t3,1 Sí 51

T4: t4,1 Sí 43

T5:

t5,1 Sí 51

t5,2 No -

t5,3 No -

t5,4 Sí 43

T6: t6,1 Sí 56

T7:

t7,1 Sí 48

t7,2 No -

t7,3 No -

t7,4 Sí 43

T8: t8,1 Sí 46

t8,2 No -

T9:

t9,1 No -

t9,2 No

t9,3 Sí 51

87

T10: t10,1 Sí 44

t10,2 Sí 51

T11: t11,1 No -

T12: t12,1 Sí 51

t12,2 No -

De acuerdo a la tabla anterior se pueden observar 12 tipos de tareas, de las cuales se

desprenden 25 tareas, se cuenta con la presencia de 16 técnicas distintas para los diferentes

tipos de tareas y 12 tecnologías que se identificaron en el desarrollo de las técnicas.

Asimismo, se muestra que para la resolución de algunas tareas propuestas el libro de texto

matemáticas 2 no muestra técnica alguna como son: t5,2, t5,3, t7,2, t8,2, t9,1, t9,2, t11,1, y t12,2 , lo cual

supone una carencia de herramientas de resolución considerable para el estudiante. Además,

se observa que en solo 4 páginas del libro de texto se pretende mostrar al estudiante todas las

técnicas necesarias y suficientes como para que aprenda el objeto función lineal. Finalmente,

el libro de texto muestra de forma explícita cinco de doce tecnologías empleadas en la OM.

Ahora bien, considerando los indicadores de Fonseca (2004) para el análisis del presente libro

y con la intención de medir el grado de completitud de esta OM, se describe lo siguiente:

OML 1: El cual menciona que pueden haber distintas tareas, pero todas ellas se deben asociar

a un mismo discurso tecnológico; al respecto, el texto presenta diversos ejercicios que están

asociadas al mismo discurso tecnológico, esto significa que hacen referencia a las mismas

técnicas de tabular, de reemplazar y de modelar, pero no muestra una comparación de técnicas

para la solución de una misma tarea. También se nota la presencia de tareas aisladas, aquellas

para las que el texto no muestra técnicas para su resolución y que, además, no se asemejan a

otras, como el ejercicio 3 del subtítulo 1. Veamos:

Ejercicio 3 del subtítulo 1: se muestra el ejercicio en lenguaje algebraico con parámetro

“ m ” donde se pide reconocer y reemplazar valores para x y )(xf , luego de ello se debe

resolver 4 ítems que se desprenden del ejercicio. Veamos la figura 34:

Figura 34: Ejercicio 3- subtítulo 1.

Fuente: Matemática 2 secundaria. Perú (2012, p.45)

88

El ejercicio anterior pertenece a la tarea T5 y solo hay un solo ejercicio de este tipo, además,

cabe resaltar que el libro de texto matemática 2 no presenta una tarea resuelta similar para que

el estudiante se pueda guiar en su resolución.

OML 2: El cual menciona que existen distintas técnicas para una misma tarea; al respecto, el

texto no presenta tareas con este tipo de criterio, ya que no muestra variedad de técnicas para

una misma tarea, solo muestra una técnica para una misma tarea; por ejemplo, para graficar

una función solo muestra la técnica de la tabulación, como puede observarse en los ejemplos

1 y 6 del libro de texto. A continuación mostramos uno de ellos, en la figura 35:

Figura 35: Ejemplo 1-función lineal.


Como se puede notar en la figura anterior, para realizar la gráfica de una función lineal

expresada en forma algebraica solo se muestra una sola técnica para su resolución, que es la

tabulación.

OML 3: El cual menciona que debe haber distintas representaciones para una misma

actividad matemática; al respecto, el texto presenta tareas resueltas con este tipo de criterio,

ya que se puede observar el uso de las cinco maneras de representación: lenguaje natural,

lenguaje algebraico, representación verbal, tabular y lenguaje gráfico; sin embargo, no se

menciona cual es la representación más adecuada para un ejercicio especifico. Una muestra de

ello es el ejemplo 6 del texto, como puede observarse en la figura 36:

89

Figura 36: Ejemplo 6.


En el gráfico anterior se puede notar el uso de tres formas de representación: la tabular, que

se desprende de la algebraica, y la representación gráfica.

OML 4: El cual menciona que debe haber distintas tareas y técnicas “inversas”; al respecto, el

texto no presenta tareas resueltas considerando este criterio, por ende, tampoco técnicas, pero

si presenta dos tareas propuestas donde considera este indicador, pues generalmente se da el

lenguaje natural para luego ser tabulado y graficado, pero ahora se da de manera “inversa” y

lo podemos observar en las siguientes figuras:

Ejercicio 7 del subtítulo 3: se pide crear una tarea redactada en lenguaje verbal a partir de

una expresión algebraica dada, como se puede ver en la figura 37:

90

Figura 37: Ejercicio 7- subtítulo 3.


Ejercicio 3 de la parte evaluación en proceso: Se proporciona una tarea de forma gráfica y

se pide representarlo en su forma verbal y tabular para, luego, calcular un valor en

particular.

Figura 38: Ejercicio 3 de evaluación en proceso.


OML 5: El cual menciona que se debe elegir la mejor técnica para una tarea; al respecto, el

texto no presenta tareas con las descripciones de este indicador, ya que solo muestra una sola

técnica para el desarrollo de una tarea. Esto puede observarse en los ejercicios1, 4.

OML 6: El cual menciona que se deben trabajar con tareas “abiertas” o aquellas que lleven a

la modelización de ejercicios dados en lenguaje natural al matemático; al respecto, el texto

presenta 15 ejercicios propuestos y 2 ejercicios resueltos con este criterio cabe resaltar que

91

más de la mitad de todos sus ejercicios resueltos y propuestos cumplen con las descripciones

de este indicador. A continuación, mostramos como ejemplo uno de ellos:

Ejercicio 6 del primer subtítulo: se pide deducir la forma algebraica dado el lenguaje

natural de una situación problemática de la vida real. Veamos la figura 39:

Figura 39: Ejercicio 6-primer subtítulo.


De lo anterior, podemos afirmar que el libro de texto seleccionado sobre función lineal solo

cumple con cuatro de los siete indicadores para el grado de completitud de su OML; por tal

motivo, podemos concluir que la organización matemática del texto Matemática 2 secundaria

está parcialmente completa.

5.5 Descripción de la función afín en el libro de texto Matemática 2 secundaria

En el libro de texto Matemática 2 Secundaria se presenta a la función afín bajo la

denominación de función lineal afín. Nosotros la llamaremos función afín en nuestro trabajo,

tomando en cuenta las definiciones dadas en la sección 3.1.2 en el capítulo III.

El libro de texto se inicia con un ejercicio propuesto en la página 44, expresado en lenguaje

natural. El libro de texto propone que debe ser resuelto por el estudiante de manera individual.

Veamos la figura 40:

92

Figura 40: Ejercicio propuesto de introducción a la función afín.


A partir de este problema, como introducción al tema, se da el primer subtítulo que se refiere

a la definición de la función afín, como podemos ver en la figura 41:

Figura 41: Definición de función afín.


Luego, en la página 44, se presenta un ejercicio resuelto llamado Ejemplo 1 en el que

podemos identificar a la función afín en el inciso b, de la forma 42 xy . En este ejemplo

se presenta su representación geométrica y también se analiza la representación gráfica de

dicha función.

Finalmente, en este primer subtítulo, el libro de texto, en la página 45, presenta una lista de

siete ejercicios propuestos que deberán resolver los estudiantes con ayuda del maestro.

Identificamos a la función afín en los ejercicios cuyos números son: 1, 4 y 7., los cuales

presentamos a continuación.

Ejercicio propuesto 1 del primer subtítulo: se pide relacionar de manera

coherente, según la definición brindada, la representación algebraica de la

función afín de la forma baxy , con las condiciones dadas para sus

parámetros a y b . Veamos la figura 42:

93

Figura 42: Ejercicio propuesto 1-subtítulo 1 función afín.


Ejercicio propuesto 4 del primer subtítulo: se pide hallar la regla de

correspondencia y completar la tabla de valores de un problema dado en

lenguaje natural, previamente se presenta una tabla con algunos datos. Veamos

la figura 43:



Ejercicio propuesto 7 del primer subtítulo 1: se pide completar una tabla de

valores y hallar la imagen de valores específicos dados en el problema.




94

En el subtítulo, 2 página 46, el libro de texto presenta el dominio y rango de una función;

luego presenta un ejercicio resuelto sobre función afín, llamado ejemplo 3, el cual parte de un

problema dado en lenguaje natural. Se pide determinar su regla de correspondencia para

posteriormente determinar el dominio y rango. Veamos la figura 45:

Figura 45: Ejemplo 3-subtítulo 1 dominio y rango de la función afín.


Finalmente, en esta sección, el libro de texto presenta una lista de ejercicios propuestos, ocho

en total, que deberán resolver los estudiantes con ayuda del maestro. Los más interesantes, en

la medida en que tratan sobre función afín, son los ejercicios 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, los cuales

presentamos a continuación:

Ejercicio propuesto 2 del subtítulo 2: se pide relacionar cada función afín con

su respectiva regla de correspondencia, donde las funciones están dadas como

un conjunto de pares ordenados. Veamos la figura 46:

95



Ejercicio propuesto 3 del subtítulo 2: se pide determinar el dominio y rango

para cada una de las cuatro expresiones propuestas. Veamos la figura 47:



Ejercicios propuestos 4 y 5 del subtítulo 2: se pide completar una tabla de

valores dada la expresión algebraica, para luego determinar el dominio y rango

de la función afín respectiva. Veamos el ejercicio 5 en la figura 48:



Ejercicios propuestos 7 y 8 del subtítulo 2: se pide la representación algebraica

de un problema en lenguaje natural para luego determinar el dominio y rango.

Veamos el ejercicio 7 en la figura 49:

96



El subtítulo 3 trata sobre modelos lineales. En este, luego de definir lo que es modelización, el

libro de texto presenta un ejercicio resuelto llamado ejemplo 5, en el que, a partir de un

problema de la vida real, se pide determinar una representación algebraica: a ello le llama

modelización. Se muestran, además, técnicas para modelar y para graficar una función afín.


Figura 50: Ejemplo 5-subtítulo 3 función afín.


Finalmente, en la página 49, el libro de texto presenta una lista de siete ejercicios propuestos,

que deberán resolver los estudiantes con ayuda del maestro. Los que tratan sobre función afín

son los ejercicios, los cuales presentamos a continuación.

97

Ejercicio propuesto 1 del subtítulo 3: se pide la regla de correspondencia de un

problema dado en lenguaje natural y se debe comparar con otra expresión

algebraica e indicar si corresponde al problema dado. Veamos la figura 51:



Ejercicio propuesto 5 del subtítulo 3: se pide expresar la regla de

correspondencia de un problema contextualizado dado en representación

tabular con valores ya determinados. Veamos la figura 52:

Figura 52: Ejercicio propuesto 5- subtítulo 3 función afín.


Ejercicio propuesto 6 del subtítulo 3: se pide identificar las variables

dependiente e independiente de un problema dado en lenguaje natural para, así,

obtener su representación algebraica y, finalmente, calcular un valor

específico. Veamos la figura 53:

98

Figura 53: Ejercicio propuesto 6- subtítulo 3 función afín.


En el subtítulo 4, página 50, con título “Representación verbal, tabular y gráfica de las

funciones lineales” se presentan seis ejercicios propuestos que deberán resolver los

estudiantes con ayuda del maestro. Los que tratan el tema de función afín son los ejercicios: 2,

3, 5 y 6, los cuales presentamos a continuación.

Ejercicio propuesto 2 del subtítulo 4: se pide identificar, de una lista de cuatro

representaciones gráficas, cuál o cuáles representan una función afín. Veamos

la figura 54:



Ejercicio 3 del subtitulo 4: se pide graficar las funciones dadas en su expresión

algebraica, dos de las cuales son funciones afines. Veamos la figura 55:

Figura 55: Ejercicio 3-subtítulo 4 función afín.


99

Ejercicio propuesto 5 del subtítulo 4: consiste en desarrollar dos problemas

sobre función afín 5a y 5c, en los cuales se pide la representación tabular de

dichos expresiones algebraicas y, además, determinar su dominio y rango.




Por otra parte, la sección que se titula “Para el cuaderno” consta de cuatro ejercicios

propuestos sobre función afín cuyos números son 4, 6, 7 y 9. La finalidad es que el estudiante

ponga en práctica lo que ha aprendido en clase sobre función afín. Dichos ejercicios se

detallan a continuación:

Ejercicio propuesto 4: se pide determinar el dominio de una función afín dada

su expresión algebraica, partiendo de su rango, esto es, de valores que toma

)(xf . Veamos la figura 57:

Figura 57: Ejercicio propuesto 4-sección para el cuaderno función afín.


Ejercicio propuesto 7: se pide determinar la expresión algebraica de la función

afín, conociendo un par de puntos de la función. Veamos la figura 58:

100



Ejercicio propuesto 9: consiste en modelar un problema de la vida real en dos

situaciones una de las cuales consiste en una función afín (Transportista B),

luego se pide la representación gráfica y se compara con la función lineal.




101

En la sección que se titula “Evaluación”, en la página 54, se presentan ejercicios propuestos

de evaluación. Dicha sección está dividido en dos partes: i) Evaluación en proceso, la cual

consta de un ejercicio sobre función afín: ejercicio propuesto 2; y ii) Heteroevaluación, la cual

presenta dos ejercicios sobre función afín: ejercicios propuestos 1 y 4. A continuación,

veamos los ejercicios propuestos en Evaluación en proceso:

Ejercicio propuesto 2: consiste en modelar dos problemas de la vida real (uno

de ellas es función afín) para, luego, compararlos. Veamos la figura 60:

Figura 60: Ejercicio propuesto 2-sección evaluación función afín.


Con respecto a los ejercicios en Heteroevalución, tenemos:

Ejercicio propuesto 1 sobre heteroevaluación: consta de dos problemas sobre

función afín en los que se debe determinar el dominio y rango de la función

afín dada en representación algebraica. Veamos la figura 61:

Figura 61: Ejercicio propuesto 1-sección evaluación función afín.


102

Finalmente, en la página 71, los autores presentan otra sección de Heteroevaluación, con ejercicios propuestos entre los que podemos identificar la función afín en los ejercicios 1 y 4 A continuación los presentamos en detalle:

Ejercicio propuesto 4 de heteroevaluación: se pide modelar un problema de la

vida real, hallar su representación tabular con valores específicos y, finalmente,

graficar dicha función afín. Veamos la figura 62:

Figura 62: Ejercicio propuesto 4-heteroevaluación función afín.


5.6 Praxeologías de la función afín en el libro de texto Matemática 2 secundaria

A continuación, describimos las praxeologías; es decir, tipos de tareas, las tareas

correspondientes a cada tipo, técnicas y tecnologías sobre la función afín en el libro de texto

seleccionado.

Con respecto a la función afín, se han identificado 10 tipos de tareas. La presentación de las

praxeologías se inicia con un tipo de tarea, luego se presentan las tareas correspondientes a

ese tipo se continúa con cada una de las técnicas y las tecnologías y, por último, se concluye

con la teoría de la función afín. Este proceso ocurre en todos los casos; por ello, presentamos

otro tipo de tarea, con sus tareas correspondientes, y continuamos el mismo procedimiento

hasta concluir con todos los tipos de tareas identificados en el libro de texto.

Para ello, consideramos las siguientes notaciones:

:iT es el tipo de tarea .i

:, jit es la tarea j del tipo de tarea iT

103

Ôi,j,k : es la técnica; donde i indica el tipo de tarea, j el número de tarea y k indica el

número de técnica de la tarea correspondiente.

:m es la tecnología.

:n es la teoría.

T1: Identificar una función afín.

t1,1: Dado un problema contextualizado, identificar si corresponde a una función afín.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 4c; página 50: 4.


Paso 1: identificar los datos con valores constantes y valores variables del

problema dado

Paso 2: establecer una regla de correspondencia de la forma bmxxf )(

Paso 3: identificar que la expresión obtenida corresponde a una función afín



:1 Definición de función afín


:1 Teoría de función afín

t1,2: Dada una representación algebraica de la forma bmxxf )( y condiciones para sus

parámetros m y b, identificar si corresponde a una función afín.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 1d.


Paso 1: dar valores particulares para m y b, según las condiciones dadas

Paso 2: identificar si la expresión corresponde a una función afín



104



t1,3: Dada una representación gráfica, identificar si corresponde a una función afín.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 52: 2a, 2d.


Paso 1: observar si la recta cruza al eje Y en el punto (0,b), con 0b .

El libro de texto muestra esta técnica en la página 51, en la indicación “Anota- ítem 2”.


:9 Propiedades gráfico de una función afín


T2: Identificar la variable independiente y variable dependiente.

t2,1: Dada una expresión algebraica de la forma bmxxf )( , identificar las variables

dependiente e independiente.



Paso 1: identificar los valores de la variable independiente x en la expresión dada

Paso 2: realizar operaciones aritméticas necesarias

Paso 3: identificar los valores de la variable dependiente

El libro de texto muestra esta técnica en la página 45, en la indicación “Anota”.




105

T3: Hallar el valor de la variable independiente de una función afín.

t3,1: Dada la imagen de una función afín, hallar el valor de la variable independiente

empleando la expresión bmxxf )(

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 47: 7c.


Paso 1: reemplazar el valor dado en la expresión bmxxfy )(

Paso 2: resolver la ecuación

Paso 3: identificar el valor de la variable independiente

El libro de texto muestra esta técnica en la página 51-ejemplo 6d.





T4: Hallar la imagen de una función afín.

t4,1: Dada la expresión algebraica de la forma bmxxf )( y un valor particular de la

variable independiente, hallar la imagen de la función afín.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 4d; página 47: 8c; página 53: 9e.


Paso 1: reemplazar el valor de la variable independiente en la expresión algebraica

dada


Paso 3: identificar la imagen

El libro de texto muestra esta técnica en la página 51-ejemplo 6c.



106



t4,2: Dada una representación tabular con valores para su variable independiente, hallar su

imagen.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 7b; página 50: 5c.


Paso 1: determinar la regla de correspondencia

Paso 2: reemplazar los valores de la variable independiente en la expresión algebraica


Paso 4: identificar el valor de la imagen







T5: Dada la representación algebraica de la forma bmxf(x) , hallar los parámetros

“m” y “b”.

t5,1: Dado un par de puntos definidos en la expresión bmxxf )( , hallar los parámetros m

y b.

Esta tarea se presenta en el libro de texto página 53: 6.


Paso 1: reemplazar los puntos en la expresión bmxxf )(

Paso 2: resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Paso 3: identificar los valores de m y b

107


:4 Propiedades de los números reales.


:13 Métodos de solución para sistema de ecuaciones lineales


T6: Determinar la regla de correspondencia de una función afín.

t6,1: Dado un problema contextualizado de una función afín, determinar su regla de

correspondencia.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 44: ejercicio 2; página 45: 4b; página

46: ejemplo 3; página 47: 7a, 8a; página 49: ejemplo 5, 1a -ítem 1; página 50: 4, 5a, 6a;

página 53: 9d; página 54: 2a; página 71: 4a.


Paso 1: identificar la variable independiente, la llamamos x

Paso 2: identificar el valor del parámetro m, valor constante del problema dado

Paso 3: identificar el valor del parámetro b, valor constante del problema dado

Paso 3: determinar la regla de correspondencia de la forma bmxxf )(

El libro de texto muestra esta técnica en la página 46: ejemplo 3.






t6,2: Dados dos o más puntos de una función afín, determinar su regla de correspondencia.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 47: 6; página 53: 7.


108

Paso 1: tomar dos puntos dados

Paso 2: reemplazar los puntos en la expresión de la forma bmxxf )(

Paso 3: resolver el sistema de ecuaciones con dos incógnitas

Paso 4: identificar los valores de m y b

Paso 5: determinar la expresión de la forma bmxxf )( con los valores de m y b

hallados

El libro de texto no muestra esta técnica.



:13 Métodos de solución para sistema de ecuaciones lineales




t6,3: Dado un conjunto de pares ordenados de la forma ),( yx de una función afín, determinar

su regla de correspondencia.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 47: 2b, 2d, 2e.


Paso 1: identificar la variación de x

Paso 2: identificar la variación de y

Paso 3: determinar que el parámetro m es la variación de x

Paso 4: determinar que el parámetro b es variación de y

Paso 5: determinar la expresión de la forma bmxxf )( , con los valores de

m y b hallados




109



T7: Determinar el dominio y rango de una función afín.

t7,1: Dada la expresión algebraica de la forma bmxxf )( definida en un conjunto

numérico, determinar su dominio y rango.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 46: ejemplo 3; página 47: 4, 5, 7b, 8b;

página 52: 5a, 5c; página 71: 1a, 1c.


Paso 1: elegir los valores posibles que toma la variable x

Paso 2: identificar el conjunto formado por todos los valores de la variable x

Paso 3: evaluar los valores de x en la expresión de la forma bmxxf )( Paso 4: identificar el conjunto formado por todos los valores de f(x)

El libro de texto muestra esta técnica en la página 46: ejemplo 3.






:7 Definición de rango de una función


t7,2: Dado un conjunto de pares ordenados de una función afín, determinar su dominio y

rango.

Esta tarea se presenta el libro de texto página 47: 1c, 1d; página 47: 3a, 3b, 3c, 3d.


110

Paso 1: identificar los valores de la variable independiente x

Paso 2: identificar los valores de f(x)






t7,3: Dado el rango y la regla de correspondencia de una función afín, hallar su dominio.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 53: 4.


Paso 1: evaluar en su regla de correspondencia los valores dados para el rango

Paso 2: resolver las ecuaciones determinadas

Paso 3: elaborar un conjunto de los valores hallados en las ecuaciones

Paso 4: identificar el dominio de la función dada






T8: Determinar la representación tabular de una función afín.

t8,1: Dada una expresión algebraica de la forma bmxxf )( , determinar su representación

tabular.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 47: 4, 5; página 52: 5a, 5c; página 71:

4b.


111

Paso 1: reemplazar los valores de la variable x en la regla de correspondencia

dada


Paso 3: identificar los valores de la variable dependiente y=f(x)





t8,2: Dada la representación gráfica y la regla de correspondencia de una función afín,

determinar su representación tabular.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 52: 6a, 6b, 6c.


Paso 1: identificar los puntos de la recta que corta con los ejes del plano

cartesiano XY

Paso 2: identificar otros valores del dominio de la función

Paso 3: evaluar en la regla de correspondencia dada


Paso 5: identificar los valores de f(x)


:14 Definición del plano cartesiano






112

t8,3: Dado un problema contextualizado de una función afín, determinar su representación

tabular.



Paso 1: determinar la regla de correspondencia del problema

Paso 2: evaluar con valores del dominio en la regla de correspondencia


Paso 4: colocar los valores hallados en una tabla







t8,4: Dada una tabla de valores, completar la representación tabular de una función afín.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 45: 7a; página 50: 5b.


Paso 1: identificar las variables independientes x

Paso 2: determinar la regla de correspondencia de la función dada

Paso 3: determinar la imagen que corresponden a los valores de x

Paso 4: determinar los valores de x que corresponden a la imagen dada






113


T9: Hallar el costo.

t9,1: Dado un problema contextualizado de una función afín, hallar el costo.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 50: 6c.


Paso 1: determinar la regla de correspondencia del problema dado

Paso 2: evaluar los valores dados para la variable independiente


Paso 4: identificar el costo








T10: Graficar una función afín.

t10,1: Dada una expresión algebraica de la forma bmxxf )( , graficar la función afín.

Esta tarea se presenta en el libro de texto en la página 44: ejemplo 1b; página 49: ejemplo 5;

página 52: 3b, 3d; página 71: 4c.


Paso 1: construir una tabla de valores

Paso 2: identificar los pares ordenados de la tabla de valores

Paso 3: construir el plano cartesiano

114

Paso 4: ubicar los pares ordenados en el plano cartesiano

El libro de texto muestra esta técnica en la página 44: ejemplo 1-item b.




:14 Definición de plano cartesiano


:9 Propiedades de gráfico de una función afín


5.7 Análisis de las praxeologías de la función afín en el libro de texto Matemática 2

secundaria

Para el análisis de la función afín en el libro de texto, vamos a tomar en cuenta los elementos

de nuestro marco teórico (las tareas, técnicas y tecnologías) así como los indicadores de

Fonseca.

Con respecto a los elementos de nuestro marco teórico:

En el libro de texto seleccionado, hemos organizado 10 tipos de tareas de donde se

desprenden 18 tareas. Cada una de ellas relacionadas con su técnica, tecnologías y teoría

dadas.

A continuación presentamos la tabla 6, en la que se organizan los tipos de tareas y tareas

resueltas y propuestas en el libro de texto seleccionado.

115

Tabla 6. Praxeologías del libro de texto sobre función afín

Tipos de tareas (Ti) y

tareas (ti,j)

Total Resueltos Propuestos

T1: t1,1(2), t1,2(1), t1,3(2) 5 0 5

T2: t2,1(1) 1 0 1

T3: t3,1(1) 1 0 1

T4: t4,1(3), t4,2(2) 5 0 5

T5: t5,1(1) 3 3 3

T6: t6,1(13), t6,2(2), t6,3(3) 18 3 15

T7: t7,1(9), t7,2(6), t7,3(1) 16 1 15

T8: t8,1(5), t8,2(3), t8,3(1) 9 0 9

T9: t9,1(1) 1 0 1

T10: t10,1(5) 5 2 3

Total 64 9 55

De acuerdo a la tabla anterior se puede observar que el número de ejercicios propuestos (64)

es mayor al número de los resueltos (9). Solo cuatro tipos de tareas muestran tareas resueltas.

Estas son: T5, T6, T7 y T10.

A continuación, mostramos una tabla en la que aparecen los criterios, técnicas y tecnologías

identificadas en esta OM.

116

Tabla 7. Presencia de Paxeologías en el libro de texto sobre función afín

Tipos de tareas (Ti)

y tareas (ti,j)

Presencia de

Técnica

Página en el

libro de texto

Presencia de

Tecnología

T1: t1,1 No -

Sí:1 No:2 No:3 No:4 Sí:5 Sí:6 Sí:7 No:8 No:9

Sí:10

No:11

No:12

No:13

No:14

t1,2 No -

t1,3 Sí 51

T2: t2,1 Sí 45

T3: t3,1 Sí 51

T4: t4,1 Sí 51

t4,2 No -

T5: t5,1 No -

T6: t6,1 Sí 46

t6,2 No

t6,3 No

T7: t7,1 Sí 46

t7,2 No -

t7,3 No -

T8: t8,1 No -

t8,2 No -

t8,3 No -

t8,4 No -

T9: t9,1 No -

T10: t10,1 Sí 44

De acuerdo con la tabla anterior, se pueden observar 20 tareas, divididas en diez tipos; el uso

de siete técnicas distintas para diferentes tipos de tareas; y, finalmente, 14 tecnologías que se

117

identificaron en la resolución de las tareas presentadas en el libro de texto seleccionado. Cabe

destacar la ausencia de técnicas en el libro de texto para la resolución de 13 tareas propuestas.

Existe, pues otro vacío (ya que el anterior fue para función lineal) considerable para el

estudiante. Además, se observa que en solo 5 páginas del libro de texto se pretende mostrar al

estudiante todas las técnicas necesarias y suficientes como para que aprenda el objeto función

afín (algunas de estas páginas también muestran técnicas para la función lineal).

Finalmente, el libro de texto muestra de forma explícita cinco de catorce tecnologías

empleadas en la OM.

A continuación, tomando en cuenta los indicadores de Fonseca (2004) para el análisis del

presente libro y con la intención de medir el grado de completitud de esta OM, se describe lo

siguiente:

OML 1: el texto presenta relativamente distintos tipos de tareas (ya que son considerables las

tareas aisladas presentes en este) que están asociadas con el mismo discurso tecnológico, es

decir, que hacen referencia a las mismas técnicas así como a sus justificaciones para los

distintos tipos de tareas. Cabe añadir que el texto no muestra una comparación de técnicas

para la solución de una tarea.

Sobre las tareas aisladas encontradas, mostramos dos ejemplos:

Ejercicio 6 de la sección 2: se pide determinar la expresión algebraica de la función afín a

partir de notaciones que se entienden como cuatro puntos o pares ordenados, como

podemos observar en la figura 63:

Figura 63: Ejercicio 6-sección 2 función afín.


Ejercicio 6 de la sección 5: se pide calcular los valores de los parámetros a y b de una

función afín de la forma baxxf )( , conociendo un par de puntos de la misma, esto es,

valores de “ x ” y “ )(xf ”, como podemos ver en la figura 64:

118



OML 2: el texto no presenta tareas con este tipo de criterio, ya que no muestra variedad de

técnicas para una misma tarea, solo muestra una técnica para un mismo tipo de problema; por

ejemplo, para graficar una función solo muestra la técnica de la tabulación, como lo

demuestran los ejemplos 1 y 5 del texto. A continuación, presentamos un ejemplo en la figura

65:

Figura 65: Ejemplo 1 función afín.


En el ejercicio anterior, se observa el uso de la representación tabular para calcular los pares

ordenados, cinco en total, que luego servirán para construir la representación geométrica, todo

ello mediante la expresión algebraica 42 xy .

OML 3: el texto presenta tareas resueltas con este tipo de criterio, ya que se puede observar

cuatro formas distintas de representación: lenguaje natural, lenguaje algebraico,

representación tabular y representación gráfica; sin embargo, no se indica la representación

más adecuada; una muestra de ello es el ejemplo 4 dado en el texto. Veamos la figura 66:

119



OML 4: el texto no presenta tareas resueltas con este tipo de criterio, por ende, tampoco

técnicas, pero si presenta cinco problemas propuestos con este tipo de criterio. Lo podemos

observar en las figuras 5.46, 5.54, 5.55, 5.56, y 5.57 del presente trabajo de investigación.

Veamos uno de estos ejercicios en la figura 67:



OML 5: el texto no presenta tareas con las descripciones de este indicador.

OML 6: el texto presenta tareas con este criterio, el cual incluye las tareas de modelización

matemática, y en ese sentido el presente texto presenta poco menos de la mitad de sus

problemas resueltos y propuestos con las descripciones de este indicador, para ello mostramos

dos ejemplos. Veamos la figura 68:

120



Ejercicio 4 del subtitulo 3: se pide expresar en lenguaje algebraico un problema dado en

lenguaje verbal que expresa una situación real. Asimismo se pide que se justifique y

demuestre con ejemplos que dicha expresión es una función afín. Veamos la figura 69:



OML 7: el texto no presenta tareas con las descripciones de este indicador.

De lo anterior, podemos afirmar que el libro de texto Matemática 2 secundaria sobre el tema

función afín solo cumple con cuatro de los siete indicadores para el grado de completitud de

su OML. Por ello podemos concluir que la organización matemática del texto Matemática 2

secundaria es parcialmente completa.

A continuación, presentamos las conclusiones de nuestro trabajo y las sugerencias para

futuras investigaciones.

121

VI CONCLUSIONES

Al finalizar este trabajo de investigación, obtenemos las siguientes conclusiones:

Con respecto a nuestro objetivo general, podemos manifestar que se concluyó con este de

manera satisfactoria, ya que se realizó el análisis de la organización matemática de la función

lineal y de la función afín en el libro de texto seleccionado.

Para lograr dicho objetivo, se llevaron a cabo, de manera ordenada, los objetivos específicos

propuestos en este trabajo: primero se describieron los criterios adecuados en base a la TAD

para realizar nuestro estudio, luego, se tomaron como referencia los trabajos de García (2005)

y Parra et al (2006) y, por último, se organizaron y describieron las praxeologías presentes en

la OM del libro Matemática 2 secundaria.

Finalmente, queremos comentar que con respecto a los objetos en estudio: la función lineal y

la función afín, los autores presentan una diferencia, ya que presentan a la función afín bajo la

denominación de función lineal afín. Nosotros seguimos la denominación función afín debido

a que se tomó como referencia a las definiciones encontrada en los saberes sabios.

Resultados de análisis del libro de texto sobre la función lineal

La organización matemática, con respecto a la función lineal en el libro de texto Matemática

2 secundaria, presenta 12 tipos de tareas, 26 tareas (con un total de 74 ejercicios en total, de

los cuales 14 están resueltos y 60 están propuestos). Con respecto a la presencia de técnica

solo presenta 9 de cada una de estas para diferentes tipos de tareas. Finalmente, muestra de

manera explícita 5 de 12 tecnologías empleadas en la organización matemática sobre función

lineal.

En el libro de texto analizado, se pudo identificar cuatro de siete criterios con respecto a la

OML considerados por Fonseca (2004), estos son: OML 1, debido a que el libro de texto

presenta tareas que hacen referencia a la interpretación y justificación de la función lineal,

pero no se observa la comparación entre las técnicas presentes, también identificamos tareas

aisladas debido a que el libro de texto no presenta técnica alguna para algunas tareas en

particular. Con respecto a la OML 3, el texto presenta tareas donde se puede observar cuatro

formas distintas de representación: lenguaje natural, lenguaje algebraico, lenguaje gráfico y

tabular; sin embargo, el texto no hace referencia a la representación de la función lineal más

adecuada según la técnica usada. En el texto identificamos la OML 4 debido a que presenta

122

dos ejercicios propuestos con tareas inversas. En el libro de texto se han identificado tareas

que llevan a la modelización, es decir, tareas dadas en lenguaje natural en las que se solicita

su representación algebraica; al respecto se ha identificado 15 ejercicios propuestos y 2

ejercicios resueltos correspondiendo a la OML 6.

Resultados de análisis del libro de texto sobre la función afín

La organización matemática, con respecto a la función afín en el libro de texto Matemáticas 2

secundaria, presenta 10 tipos de tareas, 18 tareas (de las cuales el texto presenta 64 ejercicios

en total: 9 están resueltos y 55 están propuestos). Con respecto a la presencia de técnica, solo

presenta 7 de cada una de estas para diferentes tareas. Finalmente, muestra de manera

explícita 5 de 14 tecnologías empleadas en el libro de texto.

En el libro de texto analizado se pueden identificar cuatro de siete criterios con respecto a la

OML considerados por Fonseca (2004), estos son: OML 1 debido a que el libro de texto

presenta tareas que hacen referencia a la interpretación y justificación de la función afín, pero

no se observa la comparación entre las técnicas presentes; también identificamos tareas

aisladas debido a que el libro de texto no presenta técnica alguna para algunas tareas en

particular. Con respecto a la OML 3, el texto presenta tareas en las que se puede observar

cuatro formas distintas de representación: lenguaje natural, lenguaje algebraico, lenguaje

gráfico y tabular; sin embargo, el texto no hace referencia a la representación de la función

afín más adecuada según la técnica usada. En el texto identificamos la OML 4 debido a que

presenta cinco ejercicios propuestos con tareas inversas. Asimismo, se han identificado tareas

que llevan a la modelización, es decir, tareas dadas en lenguaje natural para las que se solicita

su representación algebraica, al respecto se ha identificado 13 ejercicios propuestos y un

ejercicio resuelto, correspondiendo a la OML 6.

De manera general, podemos concluir que el libro de texto Matemática 2 secundaria, en

cuanto al tema analizado, no presenta diversidad de técnicas para una misma tarea, solo

muestra una técnica para una tarea; y con respecto a la tarea de graficar una función afín, solo

presenta la técnica de tabulación, lo cual indica una ausencia importante de variedad de

técnicas para una misma tarea. Se debe tener en cuenta que existen otras técnicas para la

resolución de dicha tarea que podrían economizar el tiempo de su resolución.

Otra característica de la organización matemática del libro de texto en la unidad analizada es

la presencia de una gran variedad de problemas propuestos contextualizados relacionados con

123

el quehacer de la vida real. Cabe acotar que varios de estos problemas propuestos no tienen

ninguna relación con los problemas resueltos; es decir forman parte de las tareas aisladas.

Por lo expuesto, en los resultados del análisis de la función lineal y función afín en el libro de

texto Matemática 2 secundaria, podemos reconocer que se cuenta con la presencia de algunos

aspectos de los siete indicadores de completitud de una organización matemática local. Con

relación a la función lineal y función afín se puede identificar que cumplen con los

indicadores OML1, OML3, OML4 y OML6; por tal motivo, podemos concluir que el grado

de completitud en la organización matemática local del libro de texto seleccionado es

medianamente completa en lo referente a estos temas.

Sugerencias para futuras investigaciones

Un futuro trabajo podría consistir en el estudio de la organización matemática de la función

lineal y función afín en otros libros de texto usados por las instituciones privadas del Perú

para poder hacer una comparación con el presente trabajo. Asimismo, resultaría interesante

comparar los resultados académicos de los estudiantes que lleven el curso con libros

organizados de manera distinta.

Se sugiere para futuras investigaciones con respecto a la función lineal y función afín

construir las tareas de referencia, de tal manera que los textos en el futuro se basen en ellas

para así poder contribuir con los adecuados tipos de tareas, tareas, técnicas y tecnologías en

una institución.

También, se recomienda una investigación sobre la organización didáctica de la función lineal

y función afín en el segundo año de secundaria.

Se recomienda el estudio de la organización matemática de las funciones elementales en los

libros de texto de los primeros años de la educación secundaria, ya que respecto a los

antecedentes de nuestro trabajo podemos identificar que los estudiantes presentan dificultades

tanto en los últimos años del nivel secundario como en el nivel superior. Cabe agregar que el

tema de funciones resulta vital en el nivel académico superior puesto que se desarrolla en

todas las carreras profesionales.

124

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