FUNCIONES TRIGONOMTRICASDA 35 * 1 BAD CT

SIMETRASSIMETRAS

Sea la funcin y = f(x). Si se cumple que f(x) = f(-x) Hay SIMETRA PAR

Significa que la funcin es simtrica respecto al eje de ordenadas , eje Y. O sea que el eje de las y es eje de simetra de la funcin.

Si se cumple que f(x) = - f(-x) Hay SIMETRA IMPAR

Significa que la funcin es simtrica respecto al origen de coordenadas ( 0,0). O sea que lo dibujado en el primer cuadrante es idntico a lo del tercer cuadrante.(Es la simetra respecto a un punto que se vi en 3 ESO)

Ejemplo 1 SIMETRA PAR f(x) = x2

TABLAx y-2 4-1 10 0 1 4

yf(x) = x2. Veamos si se cumple que;f(x) = f(-x)

f(x) = x2f(-x) = (-x)2 = x2

Hay SIMETRA PAR

Lo mismo sucedera con:f(x) = x2 3f(x) = x2 + 5

Pero no con:f(x) = x2 3.xf(x) = 2.x 5

Ejemplo 2SIMETRA IMPAR f(x) = x3

TABLAx y-2 - 8-1 - 10 0 1 8

Of(x) = x3. Veamos si se cumple que;f(x) = - f(-x)

f(x) = x3f(-x) = (-x)3 = - x3- f(-x) = - (- x3 )= x3

Hay SIMETRA IMPAR

Lo mismo sucedera con:f(x) = x3 3.xf(x) = x3 + 5.xPero no con:f(x) = x3 + 2.x2 f(x) = x3 5

ACOTACINUna funcin y = f(x) decimos que est acotada inferiormente si existe un nmero real k tal que para todo x se cumple f(x) k.

Al nmero k se le llama cota inferior.

Una funcin y = f(x) decimos que est acotada superiormente si existe un nmero real k tal que para todo x se cumple f(x) k.

Al nmero k se le llama cota superior.

Una funcin y = f(x) decimos que est acotada si lo est superior e inferiormente.

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Sea la funcin: f(x) = x2 2 La funcin est acotada inferiormente,La cota inferior es k=-2Pues f(x) -2

TABLAx y-2 2-1 -10 -2 -1 2

yxSea la funcin: f(x) = x2 + 3.x 2 La funcin est acotada superiormente.La cota superior es k=025Pues f(x) 025

TABLAx y-1 -60 -2 0

1,5 0,25 0

3 -2 yx

Ejemplo 3 Ejemplo 4Sea la funcin:f(x) = x3La funcin no est acotada, ni superior ni inferiormente.

TABLAx y-2 - 8-1 - 10 0 1 8

0Sea la funcin:f(x) = 2 + x La funcin est acotada inferiormente.La cota inferior es k=2Pues f(x) 2

TABLAx y-1 ---0 2 3 3,41

4 4

EJEMPLO_5 La electricidad

La funcin seno , f(x) = sen x , es una funcin acotada.Est acotada inferiormente y su cota inferior vale k= -1Est acotada superiormente y su cota superior vale k= 1Por lo que: - 1 sen x 1

En la aplicacin prctica de la electricidad, los 220 Voltios que nos llega a los enchufes de nuestros hogares no es el valor absoluto, sino un valor que se llama valor eficaz.As: - 220.2 tensin elctrica 220.2

1 311,1269 v-1 - 311,1269 v

FUNCIONES PERIDICASPERIODICIDAD Una funcin y = f(x) decimos que es peridica cuando su forma se repite a intervalos iguales.

La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, T. Si se cumple que f(x) = f(x + n.T), siendo n un nmero entero ( 1, 2, 3, ) , entonces la funcin es peridica y de periodo T.

Ejemplos de funciones peridicas

Con periodo T = 1 ao, podan ser los consumos de agua, luz o gas en una vivienda, aunque sea de forma aproximada. No as lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los aos.

Ejemplo 1 La noria.

5mn 10 mn 5 mn 5 mn5mn 10 mn 5 mn 5 mnP = 25 mnEn una atraccin de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros.Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando.Durante otros 5 su velocidad se mantiene altaY por ltimo durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse.Este proceso es peridico, pues se repite cada 25 minutos. El periodo es t = 25 mn

P = 25 mn

EJEMPLO_2 La electricidad

La funcin senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ngulo. Es una de las funciones trigonomtricas.

Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360 . En Europa, Espaa incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0,020 segundos.Eso significa que cada segundo se recibe en los hogares, fbricas, etc 50 ciclos completos, 50 ondas senoidales.

Segn lo dicho en la definicin:sen 30 = sen (30+nT)=sen (30+360) = sen (30+720) = sen (30+1080) = Etc

P = 0,02 sP = 0,02 s

OsciloscopioEl osciloscopio es el aparato elctrico diseado para visualizar y medir todo tipo de seales elctricas.Podemos ver cmo la corriente elctrica que llega a los electrodomsticos, aparatos de imagen y sonido en los hogares, as como la que llega a las diferentes empresas, tiene forma de onda senoidal.

ngulos NGULOS Y CUADRANTES

Todas circunferencia al ser cortada por los ejes de coordenadas , queda dividida en cuatro partes iguales independientemente de la medida del radio. Cada una de dichas partes se llama CUADRANTE y se numeran en sentido antihorario, al igual que los ngulos.

El 1 Cuadrante ira de 0 a 90 (de 0 a n/2 radianes)El 2 Cuadrante ira de 90 a 180 (de n/2 a n radianes)El 3 Cuadrante ira de 180 a 270 (de n a 3n/2 radianes)y El 4 Cuadrante ira de 270 a 360 (de 3n/2 a 2n radianes)

A todos los efectos, si un ngulo o suma de ngulos pasara de 360, se le resta tantas veces 360 como sea necesario. As, tener 370 es como tener 10, tener 750 es como tener 30.

El radianEL RADIAN

Un radian ser aquel ngulo cuyo ARCO mide IGUAL que el RADIO que lo forma. Esa medida es independiente del valor del radio. Una circunferencia tiene 2.n radianes. Un radian valdr : 360 1 rad = = 57,29578 2.nSUMA DE NGULOS

En todo tringulo la suma de sus tres ngulos es siempre de 180. El inconveniente de esta propiedad es que para conocer un ngulo es necesario saber la medida de los otros dos. Ese inconveniente se salva con la Trigonometra.

TRIGONOMETRA.- Es la parte de las matemticas que estudia la relacin entre los ngulos y los lados de un tringulo.

TrigonometraSENO DE UN NGULO

Sea el tringulo rectngulo ABC.La razn entre el cateto AB y la hipotenusa OA se llama:SENO DEL NGULO

sen = AB / OA Se llama razn trigonomtrica.

Ese valor slo depende del ngulo, no de la medida del tringulo.

OAB

FUNCIN SENO

TrigonometraCOSENO DE UN NGULO

Sea el tringulo rectngulo ABC.La razn entre el cateto OB y la hipotenusa OA se llama:COSENO DEL NGULO

cos = OB / OA Se llama razn trigonomtrica.

Ese valor slo depende del ngulo, no de la medida del tringulo.

OAB

FUNCIN COSENO

TrigonometraTANGENTE DE UN NGULO

Sea el tringulo rectngulo ABC.La razn entre el cateto AB y el cateto OB se llama:TANGENTE DEL NGULO

tg = AB / OB Se llama razn trigonomtrica.

Ese valor slo depende del ngulo, no de la medida del tringulo.

OAB

FUNCIN TANGENTE

F. trigonomtricas inversasARCOSENO DE UN NGULO

La funcin y = arcsen x asocia a cada valor del intervalo [-1, 1] un valor del intervalo [- /2, /2], que verifica que sen y = x.

ARCOCOSENO DE UN NGULO

La funcin y = arcos x asocia a cada valor del intervalo [-1, 1] un valor del intervalo [ 0, ], que verifica que cos y = x.

ARCOTANGENTE DE UN NGULO

La funcin y = arctg x asocia a cada valor real un valor del intervalo [- /2, /2], que verifica que tg y = x.

OTRAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

Son menos empleadas y = arcsec x, y = arccosec x e y = arccotg x

FUNCIN ARCSENO

FUNCIN ARCOSENO

FUNCIN ARCTANGENTE