FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Rafael Torres Simón

8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn

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FUNCIONES

TRIGONOMTRICAS

Un tratado elemental en el clculo

Rafael Torres Simn


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ADVERTENCIA

La presente versin del material educativo noes la versin final o definitiva del mismo. Setrata de una versin de prueba en formatoelectrnico correspondiente al !" de

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ara el uso de este material es necesario citarlos cr/ditos correspondientes del autor elpro%rama 0ateriales Educativos de la 1iblioteca

del Estudiante ' la 2niversidad Autnoma de laCiudad de 0/-ico.


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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

UN TRATADO ELEMENTAL EN EL CLCULO

RAFAELTORRESSIMN


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Figura de la portada: Representacin grfca de un hipotrocoide, que es una ruletatrazada por un punto conectado a un crculo de radio r, rodando alrededor del interior

de un crculo fjo de radio R, donde el punto est a una distancia ddesde el centro del

crculo interior. Su expresin matemtica es una ecuacin paramtrica.

A los patrones geomtricos resultantes se les conoce como guillochesy, por su belleza,

han sido utilizados ampliamente en las artes decorativas durante siglos.

UNIVERSIDADAUTNOMADELACIUDADDEMXICO

ENRIQUEDUSSELAMBROSINIRECTOR

ERNESTOARCHIGACRDOBASECRETARIOGENERAL

MARADELRAYORAMREZFIERROCOORDINADORAACADMICA

RALSOTOPEREDOCOORDINADORDELCOLEGIODECIENCIAYTECNOLOGA


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Funciones trigonomtricas.

Un tratado elemental en el clculo

Rafael Torres Simn


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Funciones trigonomtricas. Un tratado elemental en el clculo,

primera edicin, 2013

Rafael Torres Simn

D.R. Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico

Dr. Garca Diego 168, Col. Doctores,

Delegacin Cuauhtmoc, C.P. 06720, Mxico, D.F.

ISBN

Academia de Matemticas, Colegio de Ciencia y Tecnologa, Ciclo Bsico,

Coleccin Materiales Educativos de la Biblioteca del Estudiante, Coordinacin Acadmica, UACM

Biblioteca del Estudiante: [email protected]

http://www.uacm.edu.mx/Estudiantes/BibliotecadelEstudiante/tabid/276/Default.aspx

Materiales Educativos: [email protected]

https://sites.google.com/site/materialeseducativosuacm

Responsable de la edicin: Ana Beatriz Alonso Osorio

[email protected]

Diseo de la portada: Amaranta Mrquez Villanueva

Compilacin y diagramas del texto elaborados por el autor

Material educativo universitario de distribucin gratuita para estudiantes de la UACM

Prohibida su venta

Hecho e impreso en Mxico /Printed in Mexico


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La Ley de la Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico, en su Exposicin de

motivos, establece:

7. Contribuir al desarrollo cultural, profesional y personal de los estudiantes:

(...) El empeo de la Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico deber ser

que todos los estudiantes que a ella ingresen concluyan con xito sus estudios. Para

ello deber construir los sistemas y servicios que stos necesiten para alcanzar este

propsito de acuerdo con su condicin de vida y preparacin previa. (...). 1

De igual manera, en su Ttulo I, Captulo II, Artculo 6, Fraccin IV, dice:

Concebida como una institucin de servicio, la Universidad brindar a los

estudiantes los apoyos acadmicos necesarios para que tengan xito en sus estudios.

(...). 2

Atendiendo a este mandato, los profesores - investigadores de la UACM preparan

materiales educativos como herramienta de aprendizaje para los estudiantes de los

cursos correspondientes, respondiendo as al principio de nuestra casa de estudios deproporcionarles los soportes necesarios para su avance a lo largo de la licenciatura.

Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico

Nada humano me es ajeno

__________________1Ley de la Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico, publicada en la Gaceta Ofcial del Distrito Fede-ralel 5 de enero de 2005, reproducida en el Taller de Impresin de la UACM, p. 14.2dem., p. 18.


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Indice general

Introduccion 5

1. Geometra Plana 9

1.1. Las nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3. Congruencia de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4. Teoremas de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5. Semejanza de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.7. Recproco del teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2. Trigonometra 55

2.1. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2. Relaciones trigonometricas de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3. Razones trigonometricas en un triangulo rectangulo . . . . . . . . . 712.4. Ley de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.5. Funciones trigonometricas de numeros reales . . . . . . . . . . . . . 91

2.6. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.7. Funciones hiperbolicas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3. Aplicaciones de la trigonometra en el calculo 135

3.1. Introduccion a los lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.2. Lmites trigonometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.3. Derivadas trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.4. Regla de LHopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.5. Introduccion a la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.6. La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3.7. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

3


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4

3.8. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

3.9. Ecuaciones parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3.10. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Apendice 295

A. Principio de Induccion 295

Referencias 301

Sitios web consultados 303


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Introduccion

La motivacion de escribir este libro ha sido en base a la experiencia de los cursos de

matematicas del ciclo basico que he impartido en la Universidad Autonoma de la

Ciudad de Mexico, y darme cuenta de las principales necesidades que han requeridolos estudiantes de esta universidad, sobre todo, de aquellos que cursan alguna de

las carreras de ingeniera. Los temas que se abordan cubren nociones elementales de

geometra y trigonometra, temas fundamentales del Calculo Diferencial e Integral,

haciendo un analisis basico en el estudio de las funciones trigonometricas, exponen-

ciales, logartmicas e hiperbolicas. De acuerdo a esto, el libro contiene un captulo

de geometra plana, uno de trigonometra y uno de aplicaciones de la trigonometra

al calculo.

El origen de la geometra se remonta al Medio Oriente (Antiguo Egipto), a par-

tir de la necesidad de medir predios agrarios y en la construcci on de piramides y

monumentos. Estos conocimientos se extendieron a los griegos y fue Thales de Mileto

quien inicio la geometra desde un punto vista formal. Las propiedades se demostra-

ban por medio de razonamientos logicos. Posteriormente, el gran matematico griego

Euclides quien en su famosa obra titulada Elementos, recopila, ordena y sistemati-

za todos los conocimientos de la geometra. Una limitacion del trabajo de Euclides

fue no reconocer la posibilidad de sistemas geometricos perfectamente consistentes,

donde el quinto postulado no era valido (por un punto exterior a una recta, se puede

trazar una unica paralela a la recta dada). De esta forma, para Euclides y los geome-

tras posteriores hasta el siglo XVIII paso inadvertida la posibilidad de geometrasno euclidianas, hasta los trabajos de Lobatschevsky, Gauss y Riemann.

En cuanto a la trigonometra, fueron los babilonios y egipcios los primeros en uti-

lizar los angulos de un triangulo y las razones trigonometricas. Con el estudio de la

astronoma, la trigonometra tuvo un desarrollo sustancial mediante sus numerables

aplicaciones como: la prediccion de los movimientos y posiciones de los cuerpos

celestes; otras aplicaciones fueron el mejoramiento a la exactitud en las rutas de

navegacion; en el calculo del tiempo y en los calendarios, etcetera.

Los temas que se abordan en este libro son ampliamente conocidos. Estos se estudian

generalmente en alguna unidad o en algun(os) subtema(s) de algunas materias de

las carreras de Ingeniera de la UACM, como son: Algebra y Geometra Analtica,

Calculo Diferencial, Calculo Integral, Calculo Vectorial, entre otras. Por ejemplo,


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en Algebra y Geometra Analtica se da una introduccion a la trigonometra y se

estudia el teorema de Pitagoras, las razones trigonometricas del triangulo rectangulo

y la ley de senos y cosenos. En el contexto del Calculo Diferencial se estudian las

propiedades de las funciones trigonometricas y de la funcion exponencial y logarit-

mo. Las coordenadas y graficas polares en Calculo Integral, etcetera.Regularmente, estos temas se encuentran dispersados en diferentes bibliografas, de

acuerdo a las necesidades que tiene cada autor para su exposicion o de acuerdo a

la materia referente. La intencion de este libro, es integrar los temas fundamentales

relacionados con la trigonometra en un solo ejemplar.

Antes de entrar al estudio de la trigonometra, es importante estudiar con dete-

nimiento algunos temas relacionados con la geometra plana, como son: razones y

proporciones, semejanza y congruencia de triangulos. Estos explican el porque del

uso de las razones trigonometricas en los triangulos rectangulos y de aqu tambien la

deduccion de las leyes de seno y cosenos. Por esta raz on, el libro comienza su primer

captulo con geometra plana.

El segundo captulo de este libro aborda el estudio de la trigonometra. Aqu se

definen las funciones trigonometricas, la ley de senos y cosenos, las inversas de las

funciones trigonometricas, las funciones hiperbolicas y las funciones trascendentes

(logaritmo y exponencial).

En el tercer captulo se aplica lo aprendido de los dos primeros captulos a lmites,

derivadas e integrales. Tambien se incluye una seccion a las coordenadas polares y

como estas se relacionan con las coordenadas rectangulares, as como las versiones

en forma polar de algunas formulas conocidas en el calculo.

En cada una de las secciones se expone un amplio numero de ejemplos, y para poner

en practica los temas que se vayan estudiando, se proponen una serie de actividades

a resolver antes de una lista de ejercicios propuestos al final de cada secci on. Es-

tas actividades tienen la finalidad de comprender, retener y madurar los conceptos

fundamentales estudiados en ese momento antes de avanzar con el estudio de otros

temas.

Para enriquecer el aprendizaje del estudiante, se demuestran con detalle la mayora

de los teoremas y proposiciones expuestos en este libro para una mayor comprensi on

en los temas y de esta forma evitar la mecanizaci on en el aprendizaje.


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Por ultimo, queda por agradecer a todas aquellas personas que contribuyeron a la

mejora de esta obra y de manera muy especial a Catalina Trevilla, Claudia America

Serrano Liceaga y Fausto Jarqun por ser ellos quienes revisaron minuciosamente

cada detalle de este libro. Tambien debo agradecer a Ana Beatriz Alonso por todo

el apoyo editorial brindado.

Espero que este libro tenga la utilidad que se requiere para el aprovechamiento

de un mejor aprendizaje en los temas que se exponen, sobre todo para los estudian-

tes de ingeniera y de modelacion matematica de la UACM en quienes con mucho

carino se escribio la presente obra.

Rafael Torres Simon.


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Captulo 1

Geometra Plana

1.1. Las nociones basicas

La geometra plana es una rama de la geometra que estudia las figuras cuyos

puntos estan contenidos en un plano, como la recta, el triangulo o el crculo. Es-

ta parte de la geometra tambien se conoce como geometra eucldea, en honor al

matematico griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso

tratado Elementosde Geometra se mantuvo como texto autorizado de geometra

hasta la aparicion de las llamadas Geometras no eucldeas en el siglo XIX.

Se comenzara explicando algunos conceptos basicos de la geometra.

Por punto se entiende a aquel ente que no se divide en partes, es decir, el

punto no posee magnitud ni tamano. Para representar puntos se emplearan

letras mayusculas:A, B, C, etcetera.

A

Porlnea1 se entiende a aquel ente que tiene longitud pero carece de ancho y seextiende de manera indefinida en dos direcciones. En lo sucesivo, se empleara la

letral para representar a una lnea recta.

l

1Una lnea no necesariamente es recta.

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10

Por plano se entiende a aquel ente que tiene una superficie uniformementedistribuida con lneas que se cruzan sobre el. Un plano tiene area pero carece

de volumen.

Nota: Se debe tener presente que ninguno de los enunciados anteriores de punto,

recta y plano constituyen una definicion, son secillamente explicaciones o ideas de

lo que nos imaginamos acerca de estos conceptos.

Actividad 1. ConsideraA y B dos puntos.

(a) Cuantas lneas pasan por los dos puntos?

(b) Cuantas de estas lneas son rectas?

A

B

Seguramente, habras contestado que por A y B pasa una unica lnea recta. De

esta manera, se puede decir que una lnea recta o simplemente recta, es la que

esta determinada por cualquiera dos de sus puntos.

Observemos la figura:

A

B

l

Por A y B pasa una infinidad de lneas, pero solo una es lnea recta. En esta

figura,A yB determinan la recta l .


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LAS NOCIONES BASICAS 11

Nota: Una recta divide al plano en tres partes: la recta y dos semiplanos.

Por segmento, se entiende como la porcion de una recta. Es decir, si A y B son

dos puntos sobre una recta, al pedazo de recta comprendido entre estos puntos,

incluyendo los puntos, es el segmento AB.

A B

En general, el segmento AB es igual que al segmento BA. En algunos casos, se

consideransegmentos dirigidos, es decir, dado un segmento AB , se le puede aso-

ciar un sentido, por ejemplo deA a B . En este caso, el segmento AB es un segmento

dirigido y B Atendra el sentido opuesto. As, se tendra la igualdad BA =

AB.

De igual manera, se entendera por rayo a una porcion de recta que tiene un punto

inicial y se extiende de manera indefinida hacia una direccion. De esta manera, cada

punto O de una recta, divide a esta en dos rayos.

O

B A

De esta figura se tienen dos rayos:OA y

OB.

Nota: Un segmento tiene dos extremos, mientras que un rayo solo tiene un punto inicial.

A

B

O

A

segmento AB rayoOA


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Cuando dos rayos tienen un punto inicial en comun, se dice que forman unangulo

entre ellos. De esta manera, un angulo, se puede definir como la parte comun de dos

semiplanos. El borde del angulo, tambien llamado lados del angulo, lo forman los

dos rayos, mientras que el punto inicial comun de los rayos es el verticedel angulo.

O

A

B

En esta figura se puede apreciar el angulo AOB o BOA, dondeOA y

OB son

los lados del angulo y O es el vertice. Es indiferente que lado se nombra primero,

mas aun, no importa que punto se nombra en cada uno de los dos lados.

Para representar al angulo AOB oBOA, se indicara mediante la notacion:

AOB y BOA respectivamente.

O

A

B

D

E

En esta figura, el angulo correspondiente se puede designar por: AOB, DOB ,

AOE, etcetera, o sencillamente como O, cuando se conocen los lados en referen-

cia.

Mas adelante, en el estudio de la trigonometra, la definicion de angulo aparecera de

manera diferente puesto que importara que lado del angulo se nombre primero. Esto

es, se distinguira entre el AOBy BOA. En el angulo AOB,OAes el lado inicial

yOB el lado terminal, mientras que en el angulo BOA,

OB es el lado inicial y

OA el lado terminal. Estos tipos de angulos se llaman angulos orientados. Por elmomento, los angulos orientados no se emplearan para la geometra plana puesto

que no se necesitan.


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Para entender mas el concepto de angulo, veamos como se puede asociar con una

cantidad de rotacion entre dos rayos:

1. El rayoOA coincide con el rayo

OB.

O

A

B

2. Se hace girar el rayoOA para formar el angulo AOB.

O B

A

3. Se tiene finalmente el angulo AOB.

O B

A

La cantidad de rotacion que asocia un angulo, se mide en el intervalo de 0 a

360. Para entender este hecho, recordemos que con la ayuda de un transportador,

podemos medir el valor de cierto angulo. Para distinguir la cantidad de rotacion de

un angulo con un numero real, se usa el smbolo: a, dondea es un numero entre 0y 360. De esta forma, un angulo se medira de 0a 360. Si haya grados en el anguloAOB, se escribira:

AOB = a.

Dos rectas l1 y l2 son secanteso seintersectan si estas se cortan en algun punto.

En la siguiente figura se muestran dos rectas cuyo punto de interseccion es el punto

O.

O

l1

l2


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14

Cuandol1 yl2 se intersectan para formar cuatro angulos iguales, se dice que las

rectas son perpendicularesy los cuatro angulos son angulos rectos.

l1

l2

90

Un angulo menor a un angulo recto se llama angulo agudo y uno mayor a un

angulo recto se llama angulo obtuso.

Actividad 2. Clasifica los siguientes angulos en: angulo recto, agudo u obtuso,

segun corresponda.

90

angulo

45 135

angulo angulo

angulo

180 360

angulo

Si la suma de dos angulos es 90, los angulos soncomplementarios y cada anguloes el complemento del otro; mientras que si la suma es 180, se dice que los angulosson suplementarios y cada angulo es el suplemento del otro.

Actividad 3. completa las siguientes frases:

1. El complemento de 22 es porque 22+ =

2. Six 90, el suplemento de x es porquex+ =


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1.1.1. Definicion. Si tres rayosOA,

OB y

OCtienen el verticeO en comun, y el

rayoOB esta dentro del angulo AOCentonces los angulosAOB yBOCse llaman

angulos adyacentes.

O B

A

C

Nota:Si los dos angulos adyacentes son iguales, se dice que el rayoOB bisecta

al angulo AOC, yOB se llama la bisectriz del angulo.

Actividad 4. Escribe los pasos a seguir para trazar la bisectriz de un angulo dado,utilizando una regla y compas sin graduar.

Si dos rectas se intersectan en un puntoO, quedan determinados cuatro angulos,

de ellos, cuatro pares son adyacentes. En este caso, cualesquiera dos pares de angulos

adyacentes suman 180. Los angulos no consecutivos: AOB y COD se llamanangulos opuestos.

B

A

O

C

D

l2

l2

Actividad 5. En la figura anterior, los angulos: AOB y AOCson adyacentes.

Hay tres pares mas de angulos adyacentes. Cuales son?

1. y

2. y

3. y


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Actividad 6. Si el suplemento del angulo es 153 y el complemento del anguloes 56, determina:

(a) ( 2)2 (b) (+ )( ).

1.1.2. Proposicion. (Propiedad de los angulos opuestos por el vertice)

Los angulos opuestos por el vertice tienen medidas iguales.

Demostracion:

Se consideran los angulos opuestos AOBy COD. Se comprobara que estos angu-

los son iguales.

B

A

OC

D

1. COD+ COA= 180 por ser angulos adyacentes.Despejando el angulo COD:

COD = 180COA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (I)

2. AOB+ COA= 180 por ser angulos adyacentes.Despejando el angulo AOB:

AOB = 180COA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (II)

Comparando2 las igualdades (I) y (II), se tiene que

COD = AOB.

Actividad 7. Considerando la figura anterior de la proposicion 1.1.2, comprueba

que los angulos opuestos AOC y DOB son iguales. Completa lo siguiente para

tal fin.

2Para la comprobacion de este resultado, se hizo uso de una propiedad de igualdad: Si a = b y

a= c entonces b = c.


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1. AOC+ COD = 180 por ser angulos adyacentes.Despejando el angulo ,

se tiene : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (I)

2. DOB+ = por ser angulos adyacentes.

Despejando el angulo DOB ,

se tiene : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (II)

Comparando las igualdades (I) y (II), se concluye que

1.1.3. Ejemplo. Encuentra la medida de los angulos de las siguientes figuras.

6x

54x+ 19

4x3x 30

(a) (b)

Solucion:

(a) Por ser angulos opuestos, se tiene que 4x+ 19 = 6x5. Se resuelve estaecuacion para encontrar el valor de x.

4x 6x=5 192x=24

x=242 = 12.

Se sustituye el valor de x en los dos angulos: 4(12) + 19 = 48 + 19 = 67 y

6(12) 5 = 72 5 = 67. As que el valor de los angulos opuestos mide 67.

(b) Por ser angulos suplementarios se tiene que 3x 30 + 4x= 180. Resolviendoesta ecuacion se tiene:

7x 30 = 1807x= 180 + 30 = 210

x=210

7 = 30.

Sustituyendo el valor dexen los dos angulos se tiene: 3(30)30 = 9030 = 60y 4(30) = 120. Por lo que los valores de los angulos suplementarios son: 60 y120.


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Actividad 8. Encuentra la medida de los siguientes angulos complementarios,

donde = 12xy = 2x+ 20.

Una rectal es transversal cuando corta a dos rectas.

l2

l1

l

65

78

23

1

4

En esta figura, l es una transversal porque corta a las rectas l1 y l2.

Los angulos: 3, 4, 5 y 6 se llaman angulos internos.

Los angulos: 1, 2, 7 y 8 se llaman angulos externos.

Dos angulos no opuestos (interno y externo) en lados opuestos por la transversal l

se llaman angulos alternos, por ejemplo: 8 y 3 o 2 y 5.

Dos angulos internos no consecutivos y opuestos por la transversall se llamanangu-

los alternos internos, por ejemplo: 6 y 3.

Dos angulos externos no consecutivos y opuestos por la transversall se llamanangu-los alternos externos, por ejemplo: 8 y 1.

Los angulos que estan en la posicion correspondiente respecto a la transversal como

por ejemplo: 8 y 4 o 6 y 2 se llaman angulos correspondientes.

Actividad 9. Apoyandote en la figura anterior,

1. Enlista todos los pares de angulos alternos.

2. Enlista todos los pares de angulos alternos internos.

3. Enlista todos los pares de angulos alternos externos.

4. Enlista todos los pares de angulos correspondientes.


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Actividad 10. Dados l1, l2 dos rectas paralelas3, l una transversal y los 8 angulos

que se forman como en la siguiente figura:

l

l1

l2

21

34

65

78

(a) Enlista todos los pares de angulos iguales (en total son 8).

(b) Enlista todos los pares de angulos que suman 180 que no sean suplementarios(en total son 8).

Observacion: Los pares de angulos alternos internos son iguales. De manera simi-

lar, los pares de angulos alternos externos coinciden.

LISTA DE EJERCICIOS. SECCION 1.1

1. Encuentra la medida de los angulos en las siguientes figuras:

10x+ 1512x 34x 56x + 1

(a) (b)

2. Sil1es paralela al2, determina el valor de los angulos de las siguientes figuras.

2x 5x + 22

l1

l2

(a)

2x + 6

6x 51 l1

l2

(b)3Se dice que dos rectas l1 y l2 son paralelas cuando no se cortan.


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20

3. Si = 110, cuales son los valores de , y ?

4. Si l1 y l2 son paralelas, determina la medida de los angulos a, b y c, donde

a= 180 y, b = 90 + x y c = 2x.

cab

l2

l1

5. Sia = 85 y e= 30, hallar las medidas de los angulos b,c, d y f.

ba

fe

d c

1.2. Triangulos

Por un puntoA pasa una infinidad de rectas y dados dos puntos A y B , determi-

nan una unica recta. Dados tres puntosA,B y C, estos determinan una o tres rectas.

Si los tres puntos estan sobre una recta se llaman colineales. Si los tres puntos no

son colineales, forman un triangulo con las tres rectas que estos determinan. Las

siguientes figuras ilustran estos hechos.


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TRIANGULOS 21

A

B C A B C

A, B y C son colineales A,B y Cforman el triangulo AB C

En la figura de la derecha se forma el triangulo ABC. Los segmentos AB, AC

y BCson los lados del triangulo; A, B y C son sus vertices y ABC, BC A y

CAB, sus angulos (interiores).

A

B CBC

ACAB

En esta figura se puede apreciar el trianguloABC, donde,yson sus angu-

los interiores.

Si se prolongan los lados de un triangulo, quedan determinados todos sus angulos:

interiores y exteriores.

A

BC

b

c

a

En esta figura, los angulos a, b y c son angulos exteriores del triangulo ABC. De

esta manera se tiene que un angulo exterior de un triangulo, es aquel angulo que es

adyacente a un angulo interior del mismo triangulo, es decir, son suplementarios.

Actividad 11. Cuantos angulos exteriores en total se pueden formar de un triangu-

lo AB C? Todos estos angulos son distintos?


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Para la clasificacion de los triangulos, se toman en cuenta dos hechos fundamen-

tales:angulos y lados.

CLASIFICACION DE ACUERDO A SUS ANGULOS

Triangulo rectangulo: el que tiene un angulo recto.

Triangulo acutangulo: el que tiene todos sus angulos agudos.

Triangulo obtusangulo: el que tiene un angulo obtuso.

CLASIFICACION DE ACUERDO A SUS LADOS

Triangulo equilatero: el que tiene todos sus lados iguales.

Triangulo isosceles:el que tiene dos lados iguales.

Triangulo escaleno: el que no tiene lados iguales.

1.2.1. Teorema. La suma de los angulos interiores de un trianguloABCes180.

A

B C

Demostracion:

1. Se traza una recta paralela al ladoB C, pasando por el vertice Adel triangulo

ABC.

2. El angulo es igual al angulo

y el angulo es igual al angulo , por ser

angulos alternos internos.

3. Por lo tanto, + + = +

+

= 180.

1.2.2. Ejemplo. Encuentra la medida de los angulos del triangulo como se muestra

en la siguiente figura, donde = x + 20, =x y = 210 3x.


29/314

TRIANGULOS 23

Solucion: Se sabe que x + 2 0 + x +210 3x= 180. Al resolver esta ecuacion seobtienex= 50. Por lo tanto, la medida de los angulos son:

= x + 20 = 50 + 20 = 70

=x = 50

= 210 3x= 210 3(50) = 210 150 = 60.

Actividad 12. Determina la medida de los angulos y del siguiente triangulo:

115

70

1.2.3. Corolario. En cualquier tri angulo ABC se tiene que el angulo exterior

es igual a la suma de los angulos internos no adyacentes a.

B C

A

Demostracion:

1. Sea

el angulo exterior al vertice C (la argumentacion es la misma si es

considerado otro vertice).

2. Se tiene que

+BC A= 180, por ser angulos suplementarios.3. Por el teorema 1.2.1, ABC+ BC A+ CAB = 180. As que se tiene la

igualdad:

+BC A= ABC+ BC A + CAB.


30/314

24

4. De donde

= ABC+ CAB .

1.2.4. Teorema. La suma de los angulos exteriores de todo trianguloABCes igual

a360.

A

BC

b

c

a

Demostracion:

1. Utilizando el corolario 1.2.3, se tiene quea = + , b = + y c= + .

2. Sumando los tres angulos anteriores, se tiene que

a + b + c= + + + + +

= + + + + +

= 180+ 180

= 360.

3. Se tiene as quea + b + c= 360.

Antes de continuar con mas ejemplos, notemos que en todo triangulo isoscelesABC,donde AB = AC se tiene que ABC = ACB . Para comprobar este hecho, ob-

servemos la siguiente figura:

B C

A

A

B C

Se ha trazado dos veces el triangulo isosceles ABCde tal forma que el lado AC

debe ser paralelo a AB para formar un cuadrilatero como se muestra en el dibujo.

De esta forma, los angulos ABCy ACB deben ser iguales.


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TRIANGULOS 25

1.2.5. Teorema. SiA es un punto de la circunferencia de diametro BC distinto

deB yC, entonces el triangulo ABCes un triangulo rectangulo.

A

B CO

Demostracion:

1. SiO el centro de la circunferencia entonces los segmentos OB, OCy OA son

iguales.

2. Los triangulos ABO yAOCson isosceles.

3. La suma de los angulos del trianguloABCcumple 2 + 2= 180.De aqu sededuce que + = 90.

1.2.6. Ejemplo. Considera el triangulo AB C, de manera que AB = BC. Calcula

la medida de y.

B C

A

y4x x + 10

Solucion:

1. Sea = BAC. Como AB = BC, el triangulo es isosceles, por lo tanto,

BAC= BC A.

2. Por el corolario 1.2.3 se tiene que 4x= 2que es equivalente a tener 2x= .

3. Por otra parte, 4x+x+10 = 180

. Resolviendo esta ecuacion se obtienex= 34.

4. Sustituyendo el valor de x en el angulo, se obtiene 2(34) = 68=.

As que entonces se tiene y + 68= 180, y por lo tanto y = 112.


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26

1.2.7. Ejemplo. En la siguiente figura se tiene queDBC= DC B y ABD =

ACD . Comprueba que ABC= ACB .

B

A

D

C

Solucion:

1. Como dato se tiene que DBC= DCB y ABD = ACD.

2. Sumando estas dos igualdades se tieneDBC+ ABD = DC B+ ACD .

3. Por lo tanto, ABC= ACB .

1.2.8. Ejemplo. Considera los siguientes triangulos, dondeAD = C B. Comprueba

queAC=DB .

A C D B

Solucion:

1. Se sabe que AC+ CD= AD y C D+ DB = C B.

2. Como dato se tiene queAD= C B, por lo que AC+ CD= C D+ DB.

3. Cancelando terminos en la igualdad anterior se concluye que AC=DB .

1.2.9. Ejemplo. En el trianguloP QR, el angulo en el vertice R es un angulo recto,

QT =QV y P S= P V. Comprueba que x = 45.

P

S

R

T

QV

x


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TRIANGULOS 27

Solucion:

1. Sean RP Q= , P QR= , P V S= y y T V Q= z.

2. Se sabe que + = 90, porque el trianguloP QRes un triangulo rectangulo.

3. Como QT =QV y P S=P V, los triangulos P SV y V T Q son isosceles. As,se tiene que 2y+ = 180 y 2z+ = 180.

4. Sumando las dos igualdades anteriores se tiene, 2y+ 2z+ + = 360.

5. Sustituyendo el valor de + obtenido en el paso (2) en la igualdad del paso

anterior y simplificando, se tiene que y+ z = 135.

6. Finalmente, comoy+ x + z= 180, entonces x= 45.

LISTA DE EJERCICIOS. SECCION 2.1

1. Nombra todos los triangulos de la figura siguiente (hay mas de cuatro).

A

B

C

D

E

2. Nombra todos los triangulos de la siguiente figura. Una manera de abordar el

problema es escribir SRTMU Ny, luego, escribir todas las combinaciones de

tres letras y cotejar cada combinacion con la figura.

S

T

M

N

R

U


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28

3. Determina la medida de los angulo a, b,c y d de la figura:

28

47

45

82

a bc

d

4. SiP Q= RS, comprueba que P R= QS.

P Q R S

5. Si ABC= ACB y DBC= DC B, comprueba que ABD = ACD .

B

A

D

C

6. Si a= by c= d, comprueba que el angulo x es recto.

a x b

c

d


35/314

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 29

1.3. Congruencia de triangulos

El concepto de congruencia esta emparentado con el de igualdad. En geo-

metra es comun que se hable de congruencia en vez de igualdad. Por ejemplo, dos

segmentos son congruentes si y solo si tienen la misma medida, y lo mismo es cierto

para angulos, pero en el caso de dos triangulos, la definicion es mas complicada

puesto que no hay una medida (numero) que defina a un triangulo.

Se ha visto que hay diversas clasificaciones de triangulos que dan cuenta de su

diversidad de formas, es por eso que una nocion previa a la definicion de congruencia

de triangulos es la de correspondencia; y esto, porque un triangulo (y cualquier

polgono) es una configuracion que consiste de puntos y segmentos de recta (lados)

que unen pares de esos puntos. Decir que el trianguloABCesta en correspondencia

con el trianguloAB

C

, significa que la correspondencia entre sus vertices es:AA ,

B B,C C ; y en esta correspondencia, queda implcita la correspondencia entresus lados:AB AB ,BCBC yC ACA , y entre sus angulos: el angulo ABCes congruente con el angulo A

B

C

, etcetera.

B

A

C B

A

C

De hecho, dos triangulos son congruentes cuando se hacen coincidir uno sobre el

otro mediante algun giro, translacion y/o reflexion. Sin embargo, este hecho no seempleara para decidir si dos triangulos son congruentes, en vez de esto, se emplean

criterios sobre sus angulos y lados.

La definicion formal utilizada en geometra es como sigue: dos triangulos son con-

gruentes si, en la correspondencia entre sus vertices, resultan iguales los lados co-

rrespondientes y los angulos correspondientes. Esto es, los triangulosABCy AB

C

son congruentes si AB=AB

, BC=B

C

y AC=A

C

; y los angulos en A, B y

Cson iguales a los angulos en A,B

yC

.

Entonces en una congruencia de triangulos se tienen seis igualdades: tres correspon-

dientes a los lados y tres a los angulos. Debido a que son demasiadas igualdades,

resulta muy util tener criterios que nos digan si dos triangulos son congruentes sin

tener que verificarlas todas. El criterio (principio) de congruencia mas basico, es

posiblemente el denominado criterio LAL (lado-angulo-lado) que nos dice que si,

en una correspondencia de triangulos, dos lados de uno y el angulo comprendido


36/314

30

entre ellos son iguales a sus correspondientes elementos en el otro, entonces los dos

triangulos son congruentes.

Algunos textos de geometra, los mas formales en el sentido logico, toman este crite-

rio como axioma y demuestran los dos restantes, el ALA(angulo-lado-angulo) y el

LLL (lado-lado-lado). Otros textos, la mayora, postulan como verdaderos los trescriterios. Es recomendable entonces tomar los tres como postulados ya que, si de

cualquier manera se va a tomar uno como postulado.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

1. Lado-Angulo-Lado (LAL). Dos triangulos son congruentes si tienen dos

lados iguales y el angulo comprendido entre ellos, respectivamente iguales.

B

A

C B

A

C

Por ejemplo:AB=AB

, BC=B

C

y ABC= A

B

C

2. Angulo-Lado-Angulo (ALA). Dos triangulos son congruentes si tienen dos

angulos y el lado entre ellos respectivamente iguales.

B

A

C

A

B

C

Por ejemplo: ABC= AB

C

, BC A= B

C

A

y BC=B

C

3. Lado-Lado-Lado (LLL). Dos triangulos son congruentes si tienen sus tres

lados respectivamente iguales.

B

A

C

A

B

C

AB=AB

, BC=B

C

y AC=A

C


37/314

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 31

Estos criterios que se acaban de enunciar, ayudan a decidir si dos tri angulos son

congruentes sin necesidad de verificar las seis igualdades que dan razon a una con-

gruencia.

Para poder ver la congruencia es necesario buscarla, es decir, en el enunciado de un

problema (una frase, un dato,...) debe sugerir implcitamente que criterio se puedeusar para su solucion.

Si ABCes cualquier triangulo, se usara de aqu en adelante y cuando se necesite,

el smb oloABC, para denotar dicho triangulo. SiABC denota el trianguloA

B

C

, el smbolo=denotara la congruencia entre los dos triangulos:

ABC=ABC

1.3.1. Ejemplo. Dada la siguiente figura, si AE = EB , CE = ED, comprueba

queAEC=EDB.C B

D

E

A

Solucion:

1. AEC= BE D por ser angulos opuestos.

2. De los datos se sabe que AE=EB y C E= ED.

3. Entonces, por el criterioLALse tiene queAEC=EDB .

1.3.2. Ejemplo. Si en el paralelogramo ABCD se tiene que ADB = DBC y

ABD = BDC, comprueba queABD=BC D.

A

D C

B


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32

Solucion:

1. Como DB es comun en los dos triangulos, se tiene que DB = DB .

2. De los datos se sabe que ADB = DBCy ABD = BDC.

3. Entonces se cumple el criterioALA, y por lo tanto,ABD=BC D.

1.3.3. Ejemplo. Si en el triangulo isoscelesABCse tiene queAC=BCyAD =

DB, es decir, D es el punto medio de AB , comprueba queADC=DBC.C

BDA

Solucion:

1. Como DCes lado comun de los dos triangulos, se tiene DC=DC.

2. De los datos se sabe que AC=BCy AD= DB .

3. Por lo tanto se cumple el criterioLLL yADC=DBC.

Actividad 13. Si en los triangulo rectangulos:ABC yABC , se tiene queABC= A

B

C

yBC=B

C

, comprueba queABC=ABC .

A

C C

A

B B


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TEOREMAS DE THALES 33

1.4. Teoremas de Thales

Los teoremas de Thales tienen diversas aplicaciones en la geometra, en especial

para la semejanza de triangulos. Antes de enunciar estos teoremas se daran algunas

definiciones y resultados.

Dado un triangulo ABC, la altura4 desde el vertice A, es la perpendicular AD al

ladoBCque pasa por A. En este caso, el punto de interseccion D, de la altura con

BC, se llama pie de la altura, y en este caso, BCes la basedel trianguloABC.

A

B D C

Se observa que el pie de la altura D, se encuentra dentro del segmento BCo bien

en la prolongacion de B C.

D

A

B C

El area de un triangulo ABC, es la mitad del producto de su base por la altura

correspondiente. Por ejemplo, si B Ces la base y AD la altura, entonces el area deltrianguloABCdenotado pora(ABC) es:

a(ABC) = BC AD2

1.4.1. Proposicion. Si dos tri angulos ABC yAB

C

tienen una misma altura,

entonces, la razon5 entre sus areas es igual a la razon de sus bases donde se levanta

la altura.4La altura de un trianguloABCse puede definir desde cualesquiera de sus tres vertices:A, B o

C.5Al cociente a

b, donde a y b son numeros positivos se le llama razon. Cuando dos razones son

iguales, se dice que hay una proporcion.


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34

B

A

C B

A

C

h h

Demostracion:

1. Sea h la altura comun de los triangulos. Entonces,

a(ABC) = BC h2

a(ABC) = BC

h2

2. Por lo tanto,a(

ABC)

a(ABC) = (BC

h)/2

(BC

h)/2 = BC

BC

.

1.4.2. Proposicion. Si los triangulosABC yAB

C

tienen una base igual, en-

tonces la razon de sus areas es igual a la razon entre las alturas que se levantan

sobre la base igual.

B

A

C B

A

C

h1 h2

b b

Demostracion:

1. Sean b la base comun de los triangulos, h1 la altura del triangulo ABC y h2

la altura del trianguloAB

C

. Entonces,

a(ABC) = b h12

a(A

B

C

) =

b

h2

2

2. Por lo tanto,a(ABC)

a(ABC) =(b h1)/2(b h2)/2=

h1h2

.


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1.4.3. Teorema. (Primer teorema de Thales) En el triangulo AB C, seanD y

Epuntos deAB yACrespectivamente y tales queDEes paralelo aB C. Entonces,

AB

AD =

AC

AE.

B

A

C

D Eh

Demostracion:

1. Se observa que los triangulos ADE y ABEtienen la misma altura desde el

verticeE. Luego, usando la proposicion 1.4.1 se tiene que la razon de sus areas

es igual a la razon de sus bases:

a(ABE)a(ADE) =

AB

AD.

2. Tambien los triangulos ADE y ADCtienen la misma altura desde el vertice

D, por lo quea(ADC)a(ADE) =

AC

AE.

3. Los triangulos DBEy DC E tienen a DE como base comun, y como DE es

paralelo aB C, las alturas de estos triangulos son iguales sobre la base comun.

Por lo tanto,a(DBE)a(DCE) = 1.

De aqu se deduce que a(DBE) =a(DC E).

4. De esto se tiene la siguiente igualdad:

a(ABE) = a(ADE) + a(DBE)= a(ADE) + a(DCE)= a(ADC).

5. Sustituyendo esto ultimo en el paso (1) y comparando con la igualdad del paso

(2), se concluye queAB

AD =

AC

AE.


42/314

36

El recproco de este teorema tambien es cierto.

1.4.4. Teorema. Si en el trianguloABC,D yEson puntos sobreAB yAC, tales

que ABAD = ACAE, entoncesDEes paralelo aBC.

B

A

C

D E

C

Demostracion:

1. Supongamos que DEno es paralelo a BC. Sea C

sobre AC tal que DE es

paralelo aBC.

2. Por el teorema 1.4.3 se tiene que ABAD = AC

AE.

3. Por otra parte, se sabe que ABAD = ACAE.

4. Comparando los resultados de los pasos (3) y (4) se tiene la igualdad:

AC

AE =

AC

AE

De aqu se deduce que AC=AC y DEes paralelo a BC.

En el primer teorema de Thales se ha visto que se cumple la relacion ABAD = ACAE,

donde DEes paralelo a B Cen el trianguloABC.

B

A

C

D E

Como AB = AD+ DB y AC=AE+ EC, la relacion anterior, se puede reducir a

DB

AD =

EC

AE.


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Esta ultima igualdad, tambien es equivalente a ADDB = AEEC. As que en el primer

teorema de Thales, en el triangulo ABC, si DE es paralelo a BC, se cumplen

cualesquiera de las relaciones:

AB

AD =

AC

AE o

DB

AD =

AE

EC o

AD

DB =

AE

EC.

1.4.5. Ejemplo. Encuentra el valor de x en el siguiente triangulo, donde MN es

paralelo a B C.

A

M

B C

Nx

43

2

Solucion:

Aplicando el primer teorema de Thales, se tiene 4x = 32 . Despejando x se obtiene

x= 83 .

1.4.6. Teorema. (Segundo teorema de Thales) Si se tienen tres rectas y

dos transversales a estas, de tal forma queAD, BE yCF son paralelas, entoncesABBC =

DEEF. Recprocamente, si

ABBC =

DEEF y dos de las rectas AD, BE o CF son

paralelas, entonces las tres rectas son paralelas.

A D

B E

C F

G

Demostracion:

1. Se traza la transversal AFa las tres rectas AD, BEy CF, y sea G el punto

de interseccion de AF conBE.


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45/314

SEMEJANZA DE TRIANGULOS 39

El siguiente es un ejemplo de dos triangulos semejantes:

A

B C B

A

C

2 3

4 8

4 6

El triangulo ABCes semejante al triangulo AB

C

, debido a que la longitud de

cada lado del segundo triangulo es dos veces la del lado correspondiente del primero.

Nombremos a = 2, b = 4 y c = 3 la longitud de los lados del tri angulo ABC y

a

= 4, b

= 8 y c

= 6 para el triangulo AB

C

. De esta forma,

a

= 2a, b

= 2b y c

= 2c,

o dicho a la inversa, cada numero de la primera terna es exactamente la mitad del

numero correspondiente de la segunda terna:

a=1

2a, b=

1

2b

y c=1

2c.

De esta forma, se tiene:

a

a =

b

b =

c

c,

porque cada una de las fracciones es igual a 2; y

a

a =

b

b =

c

c,

porque cada una de estas fracciones es igual a 12 . En este caso, se dice que las ternas

a, b, c ya,b

, c

, son proporcionales.

Finalmente, para que dos triangulos sean semejantes, es necesario que los angulos

correspondientes sean congruentes.

1.5.1. Definicion. Se dice que dos triangulosABC yA

B

C

son semejantes; ensmbolos:ABC ABC, si sus angulos correspondientes son iguales y suslados correspondientes son proporcionales.

Ilustracion de la definicion:


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40

A

B C B

A

C

Los triangulos ABCy AB

C

son semejantes, si y solo si

ABC= AB

C

, BC A= B

C

A

, CAB= C

A

B

,

y AB

AB

= BC

BC

= AC

AC

.

As que para que dos triangulos sean semejantes, se deben verificar dos condiciones:

Sus angulos correspondientes deben ser iguales. En este caso, se escribe angulo-

angulo-angulo o simplemente como AAA.

Sus lados correspondientes deben ser proporcionales. En este caso, se escribe

lado-lado-lado o simplemente LLL.

De hecho, si alguna de las condiciones es verdadera, se cumple automaticamente la

otra, es decir, si los angulos correspondientes son iguales AAA, entonces sus lados

correspondientes son proporcionales LLLy viceversa. Se prueba este resultado en el

siguiente teorema.

1.5.2. Teorema. (Teorema de semejanzaAAA)Si dos triangulosABCyDE F

tienen sus angulos correspondientes iguales, entonces sus lados correspondientes son

proporcionales.

A

B C

E

F

D

E F

Demostracion:

Se debe comprobar que los lados correspondientes son proporcionales, es decir:

AB

DE =

AC

DF =

BC

EF.


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1. SeanE

yF

puntos sobreAB yACrespectivamente, tales queAE

=DEy

AF

=DF.

2. Por el criterio de congruenciaLAL, se tiene que los triangulos AEF

yDEF

son congruentes.

3. Por lo tanto, EF

es paralelo a B C, y aplicando el primer teorema de Thales

se tiene:AB

AE =

AC

AF .

4. Como AE

=DEyAF

=DF, la igualdad anterior se transforma en

AB

DE =

AC

DF.

5. De la misma forma, se puede comprobar que BCEF = ABDE. Finalmente, se con-

cluye queABDE

= ACDF

= BCEF

.

Actividad 15. Comprueba el paso (5) de la demostracion del teorema anterior, es

decir:

BC

EF =

AB

DE.

El teorema que se acaba de comprobar, tiene una consecuencia importante que dice

que si dos pares de angulos correspondientes de los triangulos ABC y DEF son

iguales, entonces los triangulos son semejantes, es decir, basta con que dos pares de

angulos sean iguales para que dos triangulos sean semejantes. Se enuncia formal-

mente este resultado en el siguiente corolario.

1.5.3. Corolario. ( Criterio de semejanzaAA)Si dos pares de angulos corres-

pondientes de los triangulosABC yDEF son iguales, entonces los triangulos son

semejantes.

A

B C

D

E F


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42

Demostracion:

1. Supongamos que ABC = DEF y BC A = EF D son los dos pares de

angulos correspondientes iguales.

2. Por otro lado, se sabe que

ABC+ BC A + CAB= 180

DEF+ EF D+ F DE= 180.

3. Por lo tanto, de los pasos (1) y (2), se concluye que CAB = F DE, y por

el teorema de semejanza AAA, los triangulos son semejantes.

1.5.4. Teorema. (Teorema de semejanzaLAL) Si los triangulosAB CyDEFtienen dos lados correspondientes proporcionales y el angulo comprendido entre estos

es igual, entonces los triangulos son semejantes.

A

B C

E

F

D

E F

Demostracion:

1. Sean ABDE = ACDF y BAC=EDF los lados correspondientes proporcionales

y el angulo comprendido iguales.

2. Sean E

y F

sobreAB y AC, tales queAE

=DEy AF

=DF.

3. Por el criterio de congruencia LAL, los triangulos AEF

y DEF son con-

gruentes. Por lo tanto, ABAE

= ACAF

.

4. Por el recproco del primer teorema de Thales, se tiene queEF

es paralelo a

BC.

5. Luego, los angulos ABC y DEFson iguales, y por hipotesis, los angulos

en los vertices en A y D son iguales, entonces por el criterio de semejanzaAA,

los triangulos AEF

y AB Cson semejantes.


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6. Finalmente, como los triangulosAEF

yDEF son congruentes, vease el paso

(3), entonces los triangulos ABCy DEF son semejantes.6

1.5.5. Teorema. (Teorema de semejanza LLL) Si los triangulosAB CyDEF

tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces los triangulos son seme-

jantes.

A

B C

E

F

D

E F

Demostracion:

1. Por hipotesis se tiene que ABDE = BCEF =

ACDF.

2. Sean E

y F

los puntos en AB y AC respectivamente, tales que DE= AE

y DF=AF. Sustituyendo estas igualdades en el paso (1) se tiene:

AB

AE =

AC

AF.

3. Como los triangulos ABC y AEF

comparten el angulo en el vertice A, se

sigue del teorema de semejanza LAL que los triangulos ABC y AEF

son

semejantes.

4. Ahora, por definicion de semejanza, se tiene que EF

BC = AE

AB, de donde

EF

=BC

AE

AB =BC

DE

AB.

5. Por otro lado, en el paso (1) se tiene

EF =BCDE

AB.

Por lo tanto, de los pasos (4) y (5) se concluye que EF

=EF.

6. Entonces, por el criterio de congruencia LLL, los triangulos AEF

y DEF

son congruentes.

6Si los triangulos ABC y A

B

C

son semejantes y A

B

C

es congruente a DEF, entonces el

triangulo ABCes semejante con DEF.


50/314

44

7. Finalmente, los triangulos AB CyDEFson semejantes; vease los pasos (3) y

(6).

1.5.6. Ejemplo. Si los triangulos ABC y DEF son tales que AB, BCy CAson

perpendiculares a las rectasDE,EF yF Drespectivamente, entonces los triangulos

son semejantes.

GH

B

A

CIJO

F

D

E

Solucion:

En la figura se tiene que los triangulos rectangulosB GIyE OI, son semejantes por

tener el angulo comun en el vertice I, y un angulo recto (Criterio de semejanza AA).

Por consiguiente, ABC= IEO.

Por otra parte, los triangulos OJ F y HJC son semejantes, puesto que OJ F =

HJC, por ser angulos opuestos por el vertice. De aqu se deduce que

OF J= HCJ= ACB.

De esta forma se tiene que los triangulos ABC y DEFtienen dos pares de angu-

los iguales, y por el criterio de semejanza AA se concluye que los triangulos son

semejantes.

1.5.7. Ejemplo. Determina la medida de los lados faltantes de los siguientes

triangulos semejantes, donde AB = 8, BC= 12, AC= 11, EF= 4 y el segmento

AB es paralelo a F E.

E

F

A

B Cx

y


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Solucion:

Como los triangulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales,

por lo que11

y =

8

4, entonces y=

11

2 .

Tambien se tiene que

12

x =

8

4, entonces x= 6.

1.5.8. Ejemplo. En la siguiente figura, AB = BC = 12, BDC = CDE,

BD = 16 y C E= 8. Halla la longitud de DE.

B

A DC

E

Solucion:

ComoAB =BC, el trianguloABCes isosceles. Luego, BAC= BC A= DCE.

Por hipotesis, BDC = CDE, por lo tanto, los triangulos ABD y CDE son

semejantes puesto que tienen dos angulos iguales. As, se tiene que

DE16

= 812

.

Despejando se concluye queDE= 323.

LISTA DE EJERCICIOS. SECCION 1.3, 1.4 y 1.5

1. En cada una de las siguientes proporciones, determina el valor dex:

(a)x

2 =

3

4 (b)

5

x=

4

7 (c)

5

4=

2x

13 (d)

2

3=

11

x+ 3

2. Si x40 = y50 =

3020 , cuales son lo valores de x y y ?


52/314

46

3. Si 3p = 5q =

r26 =

q20 , cuales son los valores dep, qy r?

4. Considera el triangulo ABC, donde AB = 12, AC= 15 y BC= 15. Si M N

es paralelo a B C, determina la longitud de N C.

A

B C

M N

5. Sea ABC el triangulo, cuyo segmento MN es paralelo a AB. Determina el

valor de x.

M

N

A

B C4

x

2x + 1

x + 1

6. Considera el triangulo ABC, donde BD = 2, EC = 32 , EF = 12 , ADF =

AEF = 90. Halla la longitud del segmento DF.

A

B C

DE

F

7. En el triangulo ABC, AS es la altura correspondiente al lado BC, BT la

altura correspondiente al lado AC, BC= 8, AS= 9 y BT= 6. Determina la

longitud del segmento AC.

A

B C

T

S

8. En el triangulo ABC, supon que AB=AD + 10, EC= 12, AC= 20, EF =

F C, BAC= EAD. Determina la longitud del segmento AD.


53/314


B

CA ED

F

9. En el trianguloABC,AD = DBy AE=EC. Comprueba queDEes paralelo

aBC.

B

A

C

D E

10. En el trapecio ABCD, AB es paralelo a DCy los triangulos AED y BE C,

son semejantes. Comprueba queAD = BC. [Sugerencia:Que otros triangulos

son semejantes?].

A B

CD

E

11. En el trianguloABC,AB = 16,AC= 30,AE= 11,AF= 25. EsEFparalelo

aBC? Justifica tu respuesta.

A

B C

E F

12. En el trianguloABC,EFes paralelo a BC. Determina todos los valores de x.


54/314

48

A

B C

E F4

x 43x 19

x 3

1.6. Teorema de Pitagoras

En un triangulo rectangulo, el lado opuesto al angulo recto se conoce como la

hipotenusa, y a los lados adyacentes al angulo recto como loscatetosdel triangulo.

Hipotenusa

CatetoCateto

A

B C

El teorema de Pitagoras establece que en todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para la demostraci on7

de este teorema se empleara la semejanza de triangulos.

1.6.1. Proposicion. En un triangulo rectanguloABC, la altura sobre la hipotenusa

lo divide en dos triangulos semejantes a el.

D

A

B C

Demostracion:

1. Sea AD la altura del triangulo AB Csobre la hipotenusa BC.

2. El triangulo ABC es semejante al triangulo DBA puesto que ambos son

triangulos rectangulos y tienen un angulo comun en el vertice B.

7A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones (mas de 300 pruebas) que

matematicos y amantes de las matematicas han proporcionado sobre este teorema.


55/314

TEOREMA DE PITAGORAS 49

3. Tambien los triangulos rectangulos ABC y DCA, son semejantes puesto que

el angulo en el vertice Ces comun. Por lo tanto, los dos triangulos rectangulos

que dividen al triangulo ABCson semejantes a el.

OBSERVACIONES:

De la semejanza entre los triangulos ABC y DBA, se sigue que ABDB = CBAB .

Por lo tanto, AB2 =DB CB.

De la semejanza entre los triangulosABCyDAC, se tiene que CACD = CBCA . Por

lo tanto, CA2 =C D CB.Sumando las dos igualdades anteriores, se tiene:

AB2 + CA2 =DB CB + CD CB= (CD+ DB)CB = C B2.

Esto se puede resumir en el siguiente teorema:

1.6.2. Teorema. (Teorema de Pitagoras) En un triangulo rectanguloABC, el

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

1.6.3. Ejemplo. La diagonal de un rectangulo de lados 5cm y 12cm es igual al

lado de un cuadrado. Cuanto mide la diagonal de ese cuadrado?

12cm

5cmd

D

Solucion:

Primero se determina la longitud de la diagonal d del rectangulo. Por el teorema

de Pitagoras se tiene d2

= 122

+ 52

= 169. Por lo que d = 169 = 13cm. Ahora,se puede obtener la longitud de la diagonal D del cuadrado al emplear otra vez el

teorema de Pitagoras. Esto es, D2 =d2 + d2 = 2d2 = 2(13)2 = 338. Se tiene as que

D=

33818.38cm.


56/314

50

Actividad 16. Una escalera de 10m de longitud esta apoyada sobre una pared. El

pie de la escalera dista 6m de esa pared. Que altura alcanza la escalera sobre esa

pared?

Actividad 17. Calcula la longitud de la diagonal D del ortoedro como se muestra

en la figura.

4

3d

2 D

1.7. Recproco del teorema de Pitagoras

1.7.1. Definicion. Si a, b y c son numeros positivos y ab = bc , entonces b es la

media geometrica o media proporcional dea yc, es decir, b=

ac.

1.7.2. Proposicion. En un triangulo rectanguloABC, la altura sobre la hipotenusa,

es la media proporcional de los dos segmentos en que se divide la hipotenusa por el

pie de la altura.

D

A

B C

Demostracion:

1. Se sabe que el triangulo AB C, es semejante tanto de DBA como de DCA.

2. Por lo tanto, los triangulos rectangulosDBA y DACtambien son semejantes.

As, se tiene queAD

CD=

DB

AD.


57/314

RECIPROCO DEL TEOREMA DE PITAGORAS 51

3. DespejandoAD de la igualdad anterior, se tiene que AD2 =DB CD, es decir,

AD=

DB CD.

1.7.3. Lema. SeaAB Cun triangulo, donde los angulos en los verticesB yC son

menores a 90, y sea D el pie de la altura de A sobre BC. Si AD2 = BDDC,entonces el triangulo ABC es rectangulo.

D

A

B C C

Demostracion:

1. Se traza la perpendicular a AB que pasa por A. Esta, corta a la recta BC

en un punto C

(si no fuera el caso, entonces tal recta sera paralela a BC,

resultando que B = D, por lo que AD2 =BD DCsera falso).

2. Se tiene entonces que el trianguloABC

es rectangulo, con angulo recto en el

vertice A.

3. Por la proporcicion 1.7.2 se tiene que AD2 =BD DC .

4. Por otro lado, por hipotesis se tiene que AD2 =BD DC.

5. Se sigue de las dos igualdades anteriores que DC

= DC y C

= C. Lo que

demuestra que el triangulo AB C es rectangulo.

1.7.4. Teorema. (Recproco del teorema de Pitagoras) Si en un triangulo

rectangulo ABC, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados, entonces el triangulo es rectangulo.

D

A

B C


58/314

52

Demostracion:

1. Supongamos que en el trianguloABC, se tiene BC2 =AB2 + CA2.

2. Como BC > AB y BC > CA, entonces los angulos en B y C son menores a

90.

3. SeaD el pie de la perpendicular deAsobreBC. Entonces, los triangulosABD

yADCson rectangulos, con angulo recto en el vertice D, y por el teorema de

Pitagoras se tiene que

AB2 =BD2 + AD2 y CA2 =AD2 + DC2.

4. Sumando las dos igualdades anteriores se tiene lo siguiente:

AB2 + CA2 = BD2 + 2AD2 + DC2

= BC2

= (BD + DC)2

= BD2 + 2BD DC+ DC2.

5. De esta serie de igualdades, se tiene

BD2 + 2AD2 + DC2 =BD2 + 2BD DC+ DC2.

6. Eliminando terminos se tiene que AD2 =BD DC, y por el lema anterior setiene el resultado.

1.7.5. Ejemplo. En la siguiente figura, comprueba queb a= 4, dondea + b= x.A

B Ca b

x 1 x + 1

xD

Solucion:

Seah= AD. Entonces, por el teorema de Pitagoras se tiene

(x + 1)2 =h2 + b2 y (x 1)2 =h2 + a2.


59/314

RECIPROCO DEL TEOREMA DE PITAGORAS 53

Despejandoh2 e igualando, se tiene (x + 1)2 b2 = (x 1)2 a2. Desarrollando losbinomios y simplificando se tiene que 4x b2 =a2. Cambiando de signo amboslados y tomando en cuenta que a + b= x, la igualdad anterior se transforma en

b2

4(a+ b) =a2.

Quitando parentesis e igualando a cero lo anterior, se tiene b2 a2 4a 4b = 0.Factorizando la expresion del lado izquierdo, se tiene

(b a)(b+ a) 4(a+ b) = (b + a)(b a 4) = 0.

De aqu se deduce que b + a= 0 ob a 4 = 0. Luego, b + a= 0 no puede suceder,por lo tanto, b a 4 = 0 y b a= 4.

LISTA DE EJERCICIOS. SECCION 1.6 y 1.7

1. En la siguiente figura se representa un triangulo equilatero, en el que la longitud

del lado L, supera 2cm a la longitud de su altura h. Calcula el permetro del

triangulo.

L

L Lh

2. En la siguiente figura, la diferencia entre las areas del cuadradoABCD y del

triangulo equilatero DEC, es de 13cm2. Calcula el p ermetro del triangulo.

D

A B

C

E


60/314

54

3. El rectangulo ABCD, tiene permetro de 24cm, y el largo supera al ancho en

5cm. Calcula el area del rectangulo.

B

A D

C

4. Una escuadra de carpintero con ancho constante, tiene un area de 111cm2.

Calcula el ancho de la escuadra.

20cm2

20cm2

5. Calcula el area de un triangulo isoscelesAB C, donde la base B Cmide 3cmy

la alturah mide 4cm.

6. Calcula el area de un triangulo equilatero ABC, donde la longitud de uno de

sus lados mide L = 1cm.


61/314

Captulo 2

Trigonometra

2.1. Angulos

La trigonometra se remonta a la antigua ciudad de Babilonia. Es una rama de

las matematicas que estudia las relaciones entre los lados y angulos de los triangulos.

Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en los campos de la nave-

gacion, la geodesia y la astronoma, en los que el principal problema era determinar

una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no poda ser medida de forma

directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna.

Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonometricas1 en la fsica

y en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo, en el estudio de fenomenos

periodicos, como en el flujo de corriente alterno, etcetera.

En geometra, un angulo se definio como la parte comun de dos semiplanos for-

mados por dos rayosOA y

OB (lados del angulo), que tienen un punto inicial en

comun en O, llamado vertice. El angulo en este caso es AOB o BOA. De esta

forma, no importa que lado del angulo se nombra primero.

O

A

B

Sin embargo, para el estudio de la trigonometra, s importa que lado del angulo se

nombra primero, es decir, hay distincion entre los angulos AOB y BOA. En el

1Son seis las funciones trigonometricas basicas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y

cosecante. Las ultimas cuatro estan en funcion de las dos primeras.

55


62/314

56

angulo AOB,OA es el lado inicial y

OB el lado terminal, mientras que en el

angulo BOA,OB es el lado inicial y

OA ellado terminal.

O

A

B

A

B

O

AOB BOA

Los angulos AOB y BOAas definidos, se llaman angulos orientados.

Aqu, se va a considerar un sistema de coordenadas cartesianas para ubicar a un

angulo, donde la posicion estandar para el vertice del angulo, sera el origen. Si el

lado inicial de un angulo coincide con el eje x positivo, y este gira en direccion

contraria a las manecillas del reloj hasta la posicion del lado terminal del angulo,

entonces tal angulo se considera positivo. Si el lado inicial gira en direccion a las

manecillas del reloj hasta la posicion del lado terminal del angulo, entonces dicho

angulo se consideranegativo.

Comunmente, la notacion que se usa para los angulos, son las letras griegas: , ,

, etcetera.

x

y

x

y

En esta figura, el angulo es positivo, mientras que el angulo es negativo.

Una unidad de medida para los angulos es el grado. Para la medida de angulos

en grados, se utiliza el sistema sexagesimal, donde grado sexagesimal se entiende

como la amplitud del angulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes

iguales.

Un grado tiene 60 minutos () y un minuto tiene 60 segundos ().

1 = 60

= 3600

y 1

= 60

.


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ANGULOS 57

De la misma forma,

1

=

1

60

y 1

=

1

60

=

1

3600

.

Ejemplos:y

x

y

x

y

x

45135

90

La medida en grados para los angulos, se usa en actividades aplicadas como agri-

mensura, navegacion y diseno de equipo mecanico. En aplicaciones cientficas que

requieren calculo, se aconstumbra utilizar radianes.

A

B

r

En esta figura se tiene un crculo de radio r, con un angulo central , cuyo vertice

es el centro del crculo. La porcion de crculo del punto A al puntoB se llamaarcoAB, denotado porAB. Tambien se dice que el arcoABsubtiendeel angulo central. Si la longitud deAB es igual al radio r del crculo, entonces se dice que mideun radian.

A

B

r

r

2.1.1. Definicion. Un radian es la medida del angulo central de una circunferencia

cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.


64/314

58

Se puede ver que en cualquier crculo de radio r, caben aproximadamente 6.28 ra-

dianes, es decir, el radio en el crculo2 cabe exactamente 6 veces y sobra aproxi-

madamente 0.28. Con lo cual, se tiene la relacion

360 = 2

6.28 radianes.

Si se divide entre dos en ambos miembros de la igualdad anterior, se tiene

180 =3.14 radianes.

Ahora, si se divide ambos miembros entre , se concluye que

180

= 1 radian57.2958.

Entonces, hay una relacion entre grados y radianes de un angulo. Para convertir un

angulo medido en grados a radianes se usa la formula:

=

180

.

Analogamente, si se tiene x radianes, dondex R, para convertir a grados, se usala formula:

x = x

180

= x 180.

Por ejemplo,

1. 45 a radianes corresponde a:

45 = 45 180= 4 .2. 56 radianes a grados corresponde a:

5

6 =

5

6

180

= 150.

Esta tecnica se puede usar siempre que se quiera hacer una conversion de grados a

radianes o viceversa.

La siguiente tabla muestra algunos angulos con los valores correspondientes a gradosy radianes.

2Tambien se puede comprobar que el diametro D de un crculo de radio r, cabe en el crculo

exactamente 3 veces y sobra aproximadamente .1416. Luego, como el diametro D es dos veces el

radior , nuevamente se desprende que el radio cabe en el crculo aproximadamente 6.28 veces.


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ANGULOS 59

Radianes 0 64

3

2

23

34

56

76 2

Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 360

Geometricamente, tambien se puede mostrar la posicion de un angulo en radianes.y

x

4

y

x

2

y

x

Se ha visto que un angulo se puede expresar de dos formas: grados y radianes.

Si se require convertir un angulo de radianes a grados junto con los minutos y

segundos, se aplican las conversiones antes mencionadas.

2.1.2. Ejemplo. Realiza las siguientes conversiones.

1. Expresa el angulo = 2 en grados, minutos y segundos.

Solucion:

= 2

180

114.5915

= 114 + (.5915)(60

)= 114 + 35.49

= 114 + 35

+ (.49)(60

)

= 114 + 35

+ 29.4

1143529 .

2. Expresa el angulo 1102524

como decimal, al diezmilesimo de grado mas

cercano.

Solucion:

1102524

= 110+

2560

+ 24

3600

110+ .4166+ .0066

= 110.4232 .


66/314

60

Las calculadoras graficadoras cuentan con funciones que facilitan las conversiones

de grados a radianes y viceversa; la conversion de un angulo que esta en radianes,

a grados minutos y segundos, y convierte una medida decimal que esta en grados,

a grados, minutos y segundos. Es importante saber utilizar estas calculadoras para

aplicar estos tipos de conversiones.

2.1.3. Teorema.

(a) Si un arco de longituds de una circunferencia de radio r subtiende un angulo

central de radianes, entoncess= r.

(b) SiA es el area del sector circular determinado por, entoncesA= 12r2.

Demostracion: Consideremos la figura:

r

s

(a) Como la longitud de arco es proporcional a su angulo central, entonces

s

r =

1.

De aqu se desprende que s = r.

(b) Como el area del sector circular es proporcional a su angulo central, entonces

A

r2 =

2.

Por lo tanto, A= 12r2 .

2.1.4. Ejemplo. Si un arco de circunferencia de longituds = 7.5cm, subtiende un

angulo central de una circunferencia de 3cm de radio, determina:

(a) La medida de en grados.

(b) El area el sector circular determinado por .


67/314

RELACIONES TRIGONOMETRICAS DEANGULOS 61

x

y

r

s

Solucion:

(a) Se sabe que s = r. Despejando y sustituyendo los valores respectivos de s

y r , se tiene

=s

r =

7.5

3 = 2.5.

Este es el valor de en radianes. Entonces, al cambiar a grados se obtiene

= 2.5

180

=

450

143.24.

(b) Utilizando la formula de area del sector circular y sustituyendo los valores

respectivos, se tiene

A=1

2r2=

1

2(3)2(2.5) = 11.25cm2.

2.2. Relaciones trigonometricas de angulos

Se sabe que la ecuacion de lacircunferencia de radior con centro en el origen

es:

x2 + y2 =r2.

Cuandor= 1, la circunferencia se llama circunferencia unitaria.

x

y

y

x

r r= 1

x2 + y2 =r2 x2 + y2 = 1


68/314

62

Nota: Cualquier punto (x, y) de la circunferencia de radio r ,satisface la ecuacion

x2 +y2 =r2, y cualquier punto (x, y) que satisface la ecuacion x2 +y2 =r2, es un

punto de la circunferencia de radio r .

Consideremos la siguiente circunferencia unitaria, un punto P = (x, y) sobre sucircunferencia y , el angulo formado entre el eje x al segmento OP.

x

y P = (x, y) = (cos , sin )

cos

sin

1

1

1

1

O

2.2.1. Definicion. Si R, entonces

1. Elcoseno de, denotado porcos , se define como la coordenadax, es decir,

cos = x.

2. Elseno de, denotado porsin , se define como la coordenada y, es decir,

sin = y.

Esta definicion, dice que cada coordenada (x, y) de la circunferencia unitaria, se

puede escribir como (cos , sin ), es decir,

(x, y) = (cos , sin ).

Por otra parte, se observa que si (x, y) = (cos , sin ) es un punto de la circunferencia

unitaria para cierto angulo, entonces satisface la ecuacionx2+y2 = 1. Por lo tanto,

se tiene la identidad fundamental3:

cos2 + sin2 = 1. (2.1)

3Mas adelante, mencionaremos otras identidades fundamentales.


69/314


2.2.2. Teorema. Si R, entoncescos2 + sin2 = 1.

De la indentidad fundamental, se obtienen las siguientes igualdades:

sin2 = 1 cos2 y cos2 = 1 sin2 .

Equivalentemente,

sin =

1 cos2 y cos =

1 sin2 .

2.2.3. Ejemplo. Calcula sin y cos , donde= 4 .

Solucion: Para determinar el seno y coseno del angulo , se emplea la cicunfe-

rencia unitaria y se usa la definicion anterior.

P(x, y)

= 4

y

x

El angulo = 4 radianes bisecta el primer cuadrante. Por lo tanto, el punto

P(x, y) se encuentra en la recta y = x. ComoP(x, y) es un punto de la circunferencia

unitaria, satisface la ecuacion x2 + y2 = 1. Como y = x, entonces

x2 + x2 = 1 o 2x2 = 1.

Al despejar xy observar que x >0, se obtiene x= 12

. As queP = (

2/2,

2/2).

Por lo tanto, sin 4 = cos4 .

Nota: Para determinar el valor de sin y cos en este ejemplo, basto con saber

las coordenadas del punto P al angulo correspondiente = 4 en la circunferencia

unitaria.

Actividad 18. Por medio de una circunferencia unitaria, determina los valores de

sin y cos , donde = 0, 2 , ,32 y 2.


70/314

64

Para que valores de , sin = 0 y cos = 0?

Es claro que sin = 0, siempre y cuando se esta sutuado en la coordenada (1, 0)

o (1, 0) de la circunferencia unitaria. Pero esto se logra, cuando los valores de

son multiplos de , es decir: = . . . 3, 2, , 0, , 2, 3,. . . , etcetera. Por lotanto,

sin = 0 si, y solo si {n; n Z}.

De la misma forma, para que cos = 0, es necesario que se este situado en el punto

(0, 1) o (0, 1) de la circunferencia unitaria. Los valores de donde se cumple esto,son:

=

2,3

2 ,

5

2 ,

7

2 ,

9

2 , . . .

Y lo mismo sucede, si los valores anteriores de , tienen signo negativo. Esto se

resume como sigue:

cos = 0 si, y solo si (2n + 1)

2 ; n Z

.

2.2.4. Proposicion. Si R, entonces

1.1sin 1 y1cos 1

2. sin() = sin

3. cos() = cos

4. Sik Z, entoncessin(+ 2k) = sin ycos(+ 2k) = cos .

Demostracion:

En el inciso (1), dice que tanto sin como cos no pueden pasar de1 y 1, es decir,sus valores siempre oscilaran entre1 y 1 para cualquier valor de . Esto resultaclaro puesto que si (x, y) = (cos , sin ), es un punto de la circunferencia unitaria,

entonces se satisfacen las desigualdades anteriores.

Para comprobar los incisos4 (2) y (3), se considera la figura:

4Cuando se cumple la igualdad del inciso (2), se dice que sin es par. De igual forma, cuando

se cumple la igualdad del inciso (3), se dice que cos es impar.


71/314


x

y (x, y) = (cos , sin )

1

1

1

1

y (x, y) = (cos(), sin())

Se observa que cos = x y cos() =x. Por lo tanto, cos() = cos .Por otra parte, tambien se tiene que sin = y y sin() =y. De esta ultimaigualdad se puede multiplicar por un signo negativo ambos lados, reduciendose a

sin() = y. Por consiguiente, se tiene que sin() = sin(). Esto ultimo es

equivalente asin() =sin ,

y se concluye la comprobacion de los dos incisos.

El inciso (4) se cumple, puesto que si el angulo se le suma 2k conk Z, entoncesse regresa a la misma posicion del angulo y por consiguiente al punto (x, y). De esta

forma se cumplen las dos igualdades.

Nota: Las propiedades del inciso (4), se expresan diciendo que sin y cos son

funciones periodicas de perodo 2.

2.2.5. Definicion. SeanD1 = R

(2n+1)2 ; n Z

yD2 = R {n; n Z}. Se

definen las funciones:

(a) Funcion tangente: tan = sin cos ; dondeD1(b) Funcion cotangente: cot = cos sin ; dondeD2(c) Funcion secante: sec = 1cos ; dondeD1(d) Funcion cosecante: csc = 1sin ; dondeD2.

Nota: estas funciones tienen perodo 2. Mas aun, es un perodo para tan y

cot , puesto que:

tan(+ ) = sin(+ )

cos(+ )=

sin cos = tan .


72/314

66

De igual forma, cot(+ ) = cot .

Actividad 19. Completa todos los pasos para comprobar que en efecto:

tan(+ ) = tan y cot(+ ) = cot .

2.2.6. Proposicion. Si R, entonces

1. sin2

= cos ycos

2

= sin

2. cos(1 2) = cos 1cos 2 sin 1sin 2

3. sin(1

2) = sin 1cos 2

sin 2cos 1.

Demostracion:

Para comprobar el inciso (1), se considera la figura:

2

(x, y) = (cos , sin )

(y, x) =

cos2

, sin

2

x

y

y

x

1

1

1

1

Se observa que

sin

2

= cos y cos

2

= sin .

(2) Primero se comprueba que

cos(1 2) = cos 1cos 2+ sin 1sin 2.

Consideremos la figura:


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x

yXY

P1

P2

2

1

2

111

O

1

1

Se sabe que P1 = (x1, y1) = (cos 2, sin 2) y P2 = (x2, y2) = (cos 1, sin 1). Ladistancia entre P1 yP2 es:

d =

(x2 x1)2 + (y2 y1)2=

(cos 1 cos 2)2 + (sin 1 sin 2)2.

Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene

d2 = (cos 1 cos 2)2 + (sin 1 sin 2)2

= cos2 1

2cos 1cos 2+ cos2 2+ sin

2 1

2sin 1sin 2+ sin2 2

= 1 + 1 2(cos 1cos 2+ sin 1sin 2)= 2 2(cos 1cos 2+ sin 1sin 2).

Ahora, se rotan los ejes x y y de tal modo que el eje xcoincida con el rayo OP1. Es

claro que la longitud de P1 a P2 no cambia; sin embargo, las coordenadas de P1 y

P2 con respecto a los nuevos ejes Xy Y son:

P1= (x1, y

1) = (1, 0) y P2= (x

2, y

2) = (cos(1 2), sin(1 2)).

Por lo que la distancia entre P1 y P2 es:

d =

(x2 x1)2 + (y2 y1)2

=

(cos(1 2) 1)2 + (sin(1 2) 0)2.


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Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se tiene

d2 = (cos(1 2) 1)2 + (sin(1 2) 0)2

= cos2(1 2) 2cos(1 2) + 1 + sin2(1 2)= 1

2cos(1

2) + 1

= 2 2cos(1 2).Por lo que al comparar los dos resultados para d2, se tiene que

2 2cos(1 2) = 2 2(cos 1cos 2+ sin 1sin 2).Por lo tanto, se concluye que

cos(1 2) = cos 1cos 2+ sin 1sin 2.Ahora es facil comprobar que cos(1+ 2) = cos 1cos 2 sin 1sin 2. Se observaque

cos(1+ 2) = cos(1 (2))= cos 1cos(2) + sin 1sin(2)= cos 1cos 2 sin 1sin 2.

Por lo tanto,

cos(1+ 2) = cos 1cos 2 sin 1sin 2.Con esto se comprueba el inciso (2) de la proposicion. Es decir:

cos(1 2) = cos 1cos 2 sin 1sin 2.Para comprobar el inciso (3), primero se observa que:

sin(1+ 2) = cos

2 (1+ 2)

= cos

2 1 2

= cos

2 1

2

= cos

2 1

cos 2+ sin

2 1

sin 2

= sin 1cos 2+ cos 1sin 2.

Por otra parte, se tiene quesin(1 2) = sin(1+ (2))

= sin 1cos(2) + cos 1sin(2)= sin 1cos 2 cos 1sin 2.


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Finalmente, juntando las dos igualdades anteriores de sin(1+ 2) y sin(1 2), setiene que:

sin(1 2) = sin 1cos 2 sin 2cos 1.

2.2.7. Ejemplo. Comprueba las siguientes igualdades para la suma y diferencia

de angulos en la funcion tangente.

1. tan(1+ 2) = tan 1+tan 21tan 1tan 2

2. tan(1 2) = tan 1tan 21+tan 1tan 2 .

Solucion:

(1) Se empieza desarrollando la parte derecha de la igualdad, y con una serie de

pasos verdaderos, se comprueba que es equivalente a la parte izquierda.

tan 1+ tan 21 tan 1tan 2 =

sin 1cos 1

+ sin 2cos 21 sin 1cos 1

sin 2cos 2

=sin 1cos 2+cos 1sin 2

cos 1cos 2cos 1cos 2sin 1sin 2

cos 1cos 2

= sin 1cos 2+ cos 1sin 2

cos 1cos 2 sin 1sin 2=

sin(1+ 2)

cos(1+ 2)= tan(1+ 2).

Actividad 20. Comprueba el inciso (2) del ejemplo 2.2.7.

De las identidades de la Proposicion 2.2.6, se deducen las as llamadas identi-

dades del angulo doblee identidades del angulo mitad. Estos se enuncian en

el siguiente teorema:

2.2.8. Teorema. Si R, entonces:

1. cos2 = cos2 sin2

2. cos2 = 2 cos2 1

3. cos2 = 1 2sin2

4. sin2= 2 sin cos


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5. sin2 = 1cos22

6. cos2 = 1+cos 22

7. cos2 2 = 1+cos

2

8. sin2 2 = 1cos

2 .

Demostracion: (1) Para comprobar esta propiedad, se descompone 2= + , y

se aplica la propiedad (2) de la proposicion 2.2.6. As,

cos2= cos(+ ) = cos cos sin sin = cos2 sin2 .

(2) Se deja como ejercicio para el lector.

(3) Se desprende inmediatamente del primer inciso. Esto es,

cos2 = cos2

sin2 = 1

sin2

sin2 = 1

2sin2 .

(4) Se comprueba igual que el inciso (1), es decir, 2= + y se aplica la igualdad

(3) de la proposicion 2.2.6.

(5) Para la comprobacion de este inciso, se observa que

sin2 = 1 cos2 = 1 (cos 2+ sin2 ) = 1 cos2 sin2 .

Luego, se tiene que 2 sin2 = 1 cos2. Por lo tanto,

sin2 =1 cos2

2 .

(6) Se deja como ejercicio.

(7) Se aplica el inciso (6), sustituyendo en por 2 .

(8) Se aplica el inciso (5), sustituyendo en por 2 .

Tambien se puede obtener un resultado para el angulo doble y mitad en la fun-

cion tangente. Se observa que

2tan

1 tan2 =

2sincos

1 sin2 cos2 =

2sin cos

cos2 sin2 cos2

= 2sin cos

cos2 sin2 =

sin2

cos2= tan 2.


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RAZONES TRIGONOMETRICAS EN UN TRIANGULO RECTANGULO 71

Por lo tanto,

tan2= 2tan

1 tan2 .Por otra parte, no es difcil comprobar que

tan2

2=

1 cos 1 + cos

.

Existen tres identidades fundamentales, de las cuales, la primera ya se haba

mencionado. Estas son:

sin2 + cos2 = 1.

sec2 = 1 + tan2 .

csc2 = 1 + cot2 .

La segunda identidad fundamental es cierta, puesto que

sec2 = 1

cos2

=cos2 + sin2

cos2

= 1 +sin2

cos2

= 1 + tan2 .

De la misma forma se comprueba la tercera identidad fundamental, y se deja

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Rafael Torres Simón