8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
1/314
FUNCIONES
TRIGONOMTRICAS
Un tratado elemental en el clculo
Rafael Torres Simn
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
2/314
ADVERTENCIA
La presente versin del material educativo noes la versin final o definitiva del mismo. Setrata de una versin de prueba en formatoelectrnico correspondiente al !" de
noviembre de "#!$.
Se a%radecer& escribir al autor '(o a la editorapara )acer cual*uier comentario relativo a estaversin+
rafatos,'a)oo.com.m-anabe.alonso,%mail.com
ara el uso de este material es necesario citarlos cr/ditos correspondientes del autor elpro%rama 0ateriales Educativos de la 1iblioteca
del Estudiante ' la 2niversidad Autnoma de laCiudad de 0/-ico.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
3/314
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
UN TRATADO ELEMENTAL EN EL CLCULO
RAFAELTORRESSIMN
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
4/314
Figura de la portada: Representacin grfca de un hipotrocoide, que es una ruletatrazada por un punto conectado a un crculo de radio r, rodando alrededor del interior
de un crculo fjo de radio R, donde el punto est a una distancia ddesde el centro del
crculo interior. Su expresin matemtica es una ecuacin paramtrica.
A los patrones geomtricos resultantes se les conoce como guillochesy, por su belleza,
han sido utilizados ampliamente en las artes decorativas durante siglos.
UNIVERSIDADAUTNOMADELACIUDADDEMXICO
ENRIQUEDUSSELAMBROSINIRECTOR
ERNESTOARCHIGACRDOBASECRETARIOGENERAL
MARADELRAYORAMREZFIERROCOORDINADORAACADMICA
RALSOTOPEREDOCOORDINADORDELCOLEGIODECIENCIAYTECNOLOGA
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
5/314
Funciones trigonomtricas.
Un tratado elemental en el clculo
Rafael Torres Simn
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
6/314
Funciones trigonomtricas. Un tratado elemental en el clculo,
primera edicin, 2013
Rafael Torres Simn
D.R. Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico
Dr. Garca Diego 168, Col. Doctores,
Delegacin Cuauhtmoc, C.P. 06720, Mxico, D.F.
ISBN
Academia de Matemticas, Colegio de Ciencia y Tecnologa, Ciclo Bsico,
Coleccin Materiales Educativos de la Biblioteca del Estudiante, Coordinacin Acadmica, UACM
Biblioteca del Estudiante: [email protected]
http://www.uacm.edu.mx/Estudiantes/BibliotecadelEstudiante/tabid/276/Default.aspx
Materiales Educativos: [email protected]
https://sites.google.com/site/materialeseducativosuacm
Responsable de la edicin: Ana Beatriz Alonso Osorio
Diseo de la portada: Amaranta Mrquez Villanueva
Compilacin y diagramas del texto elaborados por el autor
Material educativo universitario de distribucin gratuita para estudiantes de la UACM
Prohibida su venta
Hecho e impreso en Mxico /Printed in Mexico
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
7/314
La Ley de la Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico, en su Exposicin de
motivos, establece:
7. Contribuir al desarrollo cultural, profesional y personal de los estudiantes:
(...) El empeo de la Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico deber ser
que todos los estudiantes que a ella ingresen concluyan con xito sus estudios. Para
ello deber construir los sistemas y servicios que stos necesiten para alcanzar este
propsito de acuerdo con su condicin de vida y preparacin previa. (...). 1
De igual manera, en su Ttulo I, Captulo II, Artculo 6, Fraccin IV, dice:
Concebida como una institucin de servicio, la Universidad brindar a los
estudiantes los apoyos acadmicos necesarios para que tengan xito en sus estudios.
(...). 2
Atendiendo a este mandato, los profesores - investigadores de la UACM preparan
materiales educativos como herramienta de aprendizaje para los estudiantes de los
cursos correspondientes, respondiendo as al principio de nuestra casa de estudios deproporcionarles los soportes necesarios para su avance a lo largo de la licenciatura.
Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico
Nada humano me es ajeno
__________________1Ley de la Universidad Autnoma de la Ciudad de Mxico, publicada en la Gaceta Ofcial del Distrito Fede-ralel 5 de enero de 2005, reproducida en el Taller de Impresin de la UACM, p. 14.2dem., p. 18.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
8/314
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
9/314
Indice general
Introduccion 5
1. Geometra Plana 9
1.1. Las nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Congruencia de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. Teoremas de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Semejanza de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7. Recproco del teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2. Trigonometra 55
2.1. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2. Relaciones trigonometricas de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3. Razones trigonometricas en un triangulo rectangulo . . . . . . . . . 712.4. Ley de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5. Funciones trigonometricas de numeros reales . . . . . . . . . . . . . 91
2.6. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.7. Funciones hiperbolicas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3. Aplicaciones de la trigonometra en el calculo 135
3.1. Introduccion a los lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2. Lmites trigonometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.3. Derivadas trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.4. Regla de LHopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.5. Introduccion a la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.6. La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
3.7. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
10/314
4
3.8. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.9. Ecuaciones parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.10. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Apendice 295
A. Principio de Induccion 295
Referencias 301
Sitios web consultados 303
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
11/314
5
Introduccion
La motivacion de escribir este libro ha sido en base a la experiencia de los cursos de
matematicas del ciclo basico que he impartido en la Universidad Autonoma de la
Ciudad de Mexico, y darme cuenta de las principales necesidades que han requeridolos estudiantes de esta universidad, sobre todo, de aquellos que cursan alguna de
las carreras de ingeniera. Los temas que se abordan cubren nociones elementales de
geometra y trigonometra, temas fundamentales del Calculo Diferencial e Integral,
haciendo un analisis basico en el estudio de las funciones trigonometricas, exponen-
ciales, logartmicas e hiperbolicas. De acuerdo a esto, el libro contiene un captulo
de geometra plana, uno de trigonometra y uno de aplicaciones de la trigonometra
al calculo.
El origen de la geometra se remonta al Medio Oriente (Antiguo Egipto), a par-
tir de la necesidad de medir predios agrarios y en la construcci on de piramides y
monumentos. Estos conocimientos se extendieron a los griegos y fue Thales de Mileto
quien inicio la geometra desde un punto vista formal. Las propiedades se demostra-
ban por medio de razonamientos logicos. Posteriormente, el gran matematico griego
Euclides quien en su famosa obra titulada Elementos, recopila, ordena y sistemati-
za todos los conocimientos de la geometra. Una limitacion del trabajo de Euclides
fue no reconocer la posibilidad de sistemas geometricos perfectamente consistentes,
donde el quinto postulado no era valido (por un punto exterior a una recta, se puede
trazar una unica paralela a la recta dada). De esta forma, para Euclides y los geome-
tras posteriores hasta el siglo XVIII paso inadvertida la posibilidad de geometrasno euclidianas, hasta los trabajos de Lobatschevsky, Gauss y Riemann.
En cuanto a la trigonometra, fueron los babilonios y egipcios los primeros en uti-
lizar los angulos de un triangulo y las razones trigonometricas. Con el estudio de la
astronoma, la trigonometra tuvo un desarrollo sustancial mediante sus numerables
aplicaciones como: la prediccion de los movimientos y posiciones de los cuerpos
celestes; otras aplicaciones fueron el mejoramiento a la exactitud en las rutas de
navegacion; en el calculo del tiempo y en los calendarios, etcetera.
Los temas que se abordan en este libro son ampliamente conocidos. Estos se estudian
generalmente en alguna unidad o en algun(os) subtema(s) de algunas materias de
las carreras de Ingeniera de la UACM, como son: Algebra y Geometra Analtica,
Calculo Diferencial, Calculo Integral, Calculo Vectorial, entre otras. Por ejemplo,
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
12/314
6
en Algebra y Geometra Analtica se da una introduccion a la trigonometra y se
estudia el teorema de Pitagoras, las razones trigonometricas del triangulo rectangulo
y la ley de senos y cosenos. En el contexto del Calculo Diferencial se estudian las
propiedades de las funciones trigonometricas y de la funcion exponencial y logarit-
mo. Las coordenadas y graficas polares en Calculo Integral, etcetera.Regularmente, estos temas se encuentran dispersados en diferentes bibliografas, de
acuerdo a las necesidades que tiene cada autor para su exposicion o de acuerdo a
la materia referente. La intencion de este libro, es integrar los temas fundamentales
relacionados con la trigonometra en un solo ejemplar.
Antes de entrar al estudio de la trigonometra, es importante estudiar con dete-
nimiento algunos temas relacionados con la geometra plana, como son: razones y
proporciones, semejanza y congruencia de triangulos. Estos explican el porque del
uso de las razones trigonometricas en los triangulos rectangulos y de aqu tambien la
deduccion de las leyes de seno y cosenos. Por esta raz on, el libro comienza su primer
captulo con geometra plana.
El segundo captulo de este libro aborda el estudio de la trigonometra. Aqu se
definen las funciones trigonometricas, la ley de senos y cosenos, las inversas de las
funciones trigonometricas, las funciones hiperbolicas y las funciones trascendentes
(logaritmo y exponencial).
En el tercer captulo se aplica lo aprendido de los dos primeros captulos a lmites,
derivadas e integrales. Tambien se incluye una seccion a las coordenadas polares y
como estas se relacionan con las coordenadas rectangulares, as como las versiones
en forma polar de algunas formulas conocidas en el calculo.
En cada una de las secciones se expone un amplio numero de ejemplos, y para poner
en practica los temas que se vayan estudiando, se proponen una serie de actividades
a resolver antes de una lista de ejercicios propuestos al final de cada secci on. Es-
tas actividades tienen la finalidad de comprender, retener y madurar los conceptos
fundamentales estudiados en ese momento antes de avanzar con el estudio de otros
temas.
Para enriquecer el aprendizaje del estudiante, se demuestran con detalle la mayora
de los teoremas y proposiciones expuestos en este libro para una mayor comprensi on
en los temas y de esta forma evitar la mecanizaci on en el aprendizaje.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
13/314
7
Por ultimo, queda por agradecer a todas aquellas personas que contribuyeron a la
mejora de esta obra y de manera muy especial a Catalina Trevilla, Claudia America
Serrano Liceaga y Fausto Jarqun por ser ellos quienes revisaron minuciosamente
cada detalle de este libro. Tambien debo agradecer a Ana Beatriz Alonso por todo
el apoyo editorial brindado.
Espero que este libro tenga la utilidad que se requiere para el aprovechamiento
de un mejor aprendizaje en los temas que se exponen, sobre todo para los estudian-
tes de ingeniera y de modelacion matematica de la UACM en quienes con mucho
carino se escribio la presente obra.
Rafael Torres Simon.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
14/314
8
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
15/314
Captulo 1
Geometra Plana
1.1. Las nociones basicas
La geometra plana es una rama de la geometra que estudia las figuras cuyos
puntos estan contenidos en un plano, como la recta, el triangulo o el crculo. Es-
ta parte de la geometra tambien se conoce como geometra eucldea, en honor al
matematico griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso
tratado Elementosde Geometra se mantuvo como texto autorizado de geometra
hasta la aparicion de las llamadas Geometras no eucldeas en el siglo XIX.
Se comenzara explicando algunos conceptos basicos de la geometra.
Por punto se entiende a aquel ente que no se divide en partes, es decir, el
punto no posee magnitud ni tamano. Para representar puntos se emplearan
letras mayusculas:A, B, C, etcetera.
A
Porlnea1 se entiende a aquel ente que tiene longitud pero carece de ancho y seextiende de manera indefinida en dos direcciones. En lo sucesivo, se empleara la
letral para representar a una lnea recta.
l
1Una lnea no necesariamente es recta.
9
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
16/314
10
Por plano se entiende a aquel ente que tiene una superficie uniformementedistribuida con lneas que se cruzan sobre el. Un plano tiene area pero carece
de volumen.
Nota: Se debe tener presente que ninguno de los enunciados anteriores de punto,
recta y plano constituyen una definicion, son secillamente explicaciones o ideas de
lo que nos imaginamos acerca de estos conceptos.
Actividad 1. ConsideraA y B dos puntos.
(a) Cuantas lneas pasan por los dos puntos?
(b) Cuantas de estas lneas son rectas?
A
B
Seguramente, habras contestado que por A y B pasa una unica lnea recta. De
esta manera, se puede decir que una lnea recta o simplemente recta, es la que
esta determinada por cualquiera dos de sus puntos.
Observemos la figura:
A
B
l
Por A y B pasa una infinidad de lneas, pero solo una es lnea recta. En esta
figura,A yB determinan la recta l .
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
17/314
LAS NOCIONES BASICAS 11
Nota: Una recta divide al plano en tres partes: la recta y dos semiplanos.
Por segmento, se entiende como la porcion de una recta. Es decir, si A y B son
dos puntos sobre una recta, al pedazo de recta comprendido entre estos puntos,
incluyendo los puntos, es el segmento AB.
A B
En general, el segmento AB es igual que al segmento BA. En algunos casos, se
consideransegmentos dirigidos, es decir, dado un segmento AB , se le puede aso-
ciar un sentido, por ejemplo deA a B . En este caso, el segmento AB es un segmento
dirigido y B Atendra el sentido opuesto. As, se tendra la igualdad BA =
AB.
De igual manera, se entendera por rayo a una porcion de recta que tiene un punto
inicial y se extiende de manera indefinida hacia una direccion. De esta manera, cada
punto O de una recta, divide a esta en dos rayos.
O
B A
De esta figura se tienen dos rayos:OA y
OB.
Nota: Un segmento tiene dos extremos, mientras que un rayo solo tiene un punto inicial.
A
B
O
A
segmento AB rayoOA
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
18/314
12
Cuando dos rayos tienen un punto inicial en comun, se dice que forman unangulo
entre ellos. De esta manera, un angulo, se puede definir como la parte comun de dos
semiplanos. El borde del angulo, tambien llamado lados del angulo, lo forman los
dos rayos, mientras que el punto inicial comun de los rayos es el verticedel angulo.
O
A
B
En esta figura se puede apreciar el angulo AOB o BOA, dondeOA y
OB son
los lados del angulo y O es el vertice. Es indiferente que lado se nombra primero,
mas aun, no importa que punto se nombra en cada uno de los dos lados.
Para representar al angulo AOB oBOA, se indicara mediante la notacion:
AOB y BOA respectivamente.
O
A
B
D
E
En esta figura, el angulo correspondiente se puede designar por: AOB, DOB ,
AOE, etcetera, o sencillamente como O, cuando se conocen los lados en referen-
cia.
Mas adelante, en el estudio de la trigonometra, la definicion de angulo aparecera de
manera diferente puesto que importara que lado del angulo se nombre primero. Esto
es, se distinguira entre el AOBy BOA. En el angulo AOB,OAes el lado inicial
yOB el lado terminal, mientras que en el angulo BOA,
OB es el lado inicial y
OA el lado terminal. Estos tipos de angulos se llaman angulos orientados. Por elmomento, los angulos orientados no se emplearan para la geometra plana puesto
que no se necesitan.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
19/314
LAS NOCIONES BASICAS 13
Para entender mas el concepto de angulo, veamos como se puede asociar con una
cantidad de rotacion entre dos rayos:
1. El rayoOA coincide con el rayo
OB.
O
A
B
2. Se hace girar el rayoOA para formar el angulo AOB.
O B
A
3. Se tiene finalmente el angulo AOB.
O B
A
La cantidad de rotacion que asocia un angulo, se mide en el intervalo de 0 a
360. Para entender este hecho, recordemos que con la ayuda de un transportador,
podemos medir el valor de cierto angulo. Para distinguir la cantidad de rotacion de
un angulo con un numero real, se usa el smbolo: a, dondea es un numero entre 0y 360. De esta forma, un angulo se medira de 0a 360. Si haya grados en el anguloAOB, se escribira:
AOB = a.
Dos rectas l1 y l2 son secanteso seintersectan si estas se cortan en algun punto.
En la siguiente figura se muestran dos rectas cuyo punto de interseccion es el punto
O.
O
l1
l2
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
20/314
14
Cuandol1 yl2 se intersectan para formar cuatro angulos iguales, se dice que las
rectas son perpendicularesy los cuatro angulos son angulos rectos.
l1
l2
90
Un angulo menor a un angulo recto se llama angulo agudo y uno mayor a un
angulo recto se llama angulo obtuso.
Actividad 2. Clasifica los siguientes angulos en: angulo recto, agudo u obtuso,
segun corresponda.
90
angulo
45 135
angulo angulo
angulo
180 360
angulo
Si la suma de dos angulos es 90, los angulos soncomplementarios y cada anguloes el complemento del otro; mientras que si la suma es 180, se dice que los angulosson suplementarios y cada angulo es el suplemento del otro.
Actividad 3. completa las siguientes frases:
1. El complemento de 22 es porque 22+ =
2. Six 90, el suplemento de x es porquex+ =
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
21/314
LAS NOCIONES BASICAS 15
1.1.1. Definicion. Si tres rayosOA,
OB y
OCtienen el verticeO en comun, y el
rayoOB esta dentro del angulo AOCentonces los angulosAOB yBOCse llaman
angulos adyacentes.
O B
A
C
Nota:Si los dos angulos adyacentes son iguales, se dice que el rayoOB bisecta
al angulo AOC, yOB se llama la bisectriz del angulo.
Actividad 4. Escribe los pasos a seguir para trazar la bisectriz de un angulo dado,utilizando una regla y compas sin graduar.
Si dos rectas se intersectan en un puntoO, quedan determinados cuatro angulos,
de ellos, cuatro pares son adyacentes. En este caso, cualesquiera dos pares de angulos
adyacentes suman 180. Los angulos no consecutivos: AOB y COD se llamanangulos opuestos.
B
A
O
C
D
l2
l2
Actividad 5. En la figura anterior, los angulos: AOB y AOCson adyacentes.
Hay tres pares mas de angulos adyacentes. Cuales son?
1. y
2. y
3. y
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
22/314
16
Actividad 6. Si el suplemento del angulo es 153 y el complemento del anguloes 56, determina:
(a) ( 2)2 (b) (+ )( ).
1.1.2. Proposicion. (Propiedad de los angulos opuestos por el vertice)
Los angulos opuestos por el vertice tienen medidas iguales.
Demostracion:
Se consideran los angulos opuestos AOBy COD. Se comprobara que estos angu-
los son iguales.
B
A
OC
D
1. COD+ COA= 180 por ser angulos adyacentes.Despejando el angulo COD:
COD = 180COA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (I)
2. AOB+ COA= 180 por ser angulos adyacentes.Despejando el angulo AOB:
AOB = 180COA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (II)
Comparando2 las igualdades (I) y (II), se tiene que
COD = AOB.
Actividad 7. Considerando la figura anterior de la proposicion 1.1.2, comprueba
que los angulos opuestos AOC y DOB son iguales. Completa lo siguiente para
tal fin.
2Para la comprobacion de este resultado, se hizo uso de una propiedad de igualdad: Si a = b y
a= c entonces b = c.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
23/314
LAS NOCIONES BASICAS 17
1. AOC+ COD = 180 por ser angulos adyacentes.Despejando el angulo ,
se tiene : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (I)
2. DOB+ = por ser angulos adyacentes.
Despejando el angulo DOB ,
se tiene : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (II)
Comparando las igualdades (I) y (II), se concluye que
1.1.3. Ejemplo. Encuentra la medida de los angulos de las siguientes figuras.
6x
54x+ 19
4x3x 30
(a) (b)
Solucion:
(a) Por ser angulos opuestos, se tiene que 4x+ 19 = 6x5. Se resuelve estaecuacion para encontrar el valor de x.
4x 6x=5 192x=24
x=242 = 12.
Se sustituye el valor de x en los dos angulos: 4(12) + 19 = 48 + 19 = 67 y
6(12) 5 = 72 5 = 67. As que el valor de los angulos opuestos mide 67.
(b) Por ser angulos suplementarios se tiene que 3x 30 + 4x= 180. Resolviendoesta ecuacion se tiene:
7x 30 = 1807x= 180 + 30 = 210
x=210
7 = 30.
Sustituyendo el valor dexen los dos angulos se tiene: 3(30)30 = 9030 = 60y 4(30) = 120. Por lo que los valores de los angulos suplementarios son: 60 y120.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
24/314
18
Actividad 8. Encuentra la medida de los siguientes angulos complementarios,
donde = 12xy = 2x+ 20.
Una rectal es transversal cuando corta a dos rectas.
l2
l1
l
65
78
23
1
4
En esta figura, l es una transversal porque corta a las rectas l1 y l2.
Los angulos: 3, 4, 5 y 6 se llaman angulos internos.
Los angulos: 1, 2, 7 y 8 se llaman angulos externos.
Dos angulos no opuestos (interno y externo) en lados opuestos por la transversal l
se llaman angulos alternos, por ejemplo: 8 y 3 o 2 y 5.
Dos angulos internos no consecutivos y opuestos por la transversall se llamanangu-
los alternos internos, por ejemplo: 6 y 3.
Dos angulos externos no consecutivos y opuestos por la transversall se llamanangu-los alternos externos, por ejemplo: 8 y 1.
Los angulos que estan en la posicion correspondiente respecto a la transversal como
por ejemplo: 8 y 4 o 6 y 2 se llaman angulos correspondientes.
Actividad 9. Apoyandote en la figura anterior,
1. Enlista todos los pares de angulos alternos.
2. Enlista todos los pares de angulos alternos internos.
3. Enlista todos los pares de angulos alternos externos.
4. Enlista todos los pares de angulos correspondientes.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
25/314
LAS NOCIONES BASICAS 19
Actividad 10. Dados l1, l2 dos rectas paralelas3, l una transversal y los 8 angulos
que se forman como en la siguiente figura:
l
l1
l2
21
34
65
78
(a) Enlista todos los pares de angulos iguales (en total son 8).
(b) Enlista todos los pares de angulos que suman 180 que no sean suplementarios(en total son 8).
Observacion: Los pares de angulos alternos internos son iguales. De manera simi-
lar, los pares de angulos alternos externos coinciden.
LISTA DE EJERCICIOS. SECCION 1.1
1. Encuentra la medida de los angulos en las siguientes figuras:
10x+ 1512x 34x 56x + 1
(a) (b)
2. Sil1es paralela al2, determina el valor de los angulos de las siguientes figuras.
2x 5x + 22
l1
l2
(a)
2x + 6
6x 51 l1
l2
(b)3Se dice que dos rectas l1 y l2 son paralelas cuando no se cortan.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
26/314
20
3. Si = 110, cuales son los valores de , y ?
4. Si l1 y l2 son paralelas, determina la medida de los angulos a, b y c, donde
a= 180 y, b = 90 + x y c = 2x.
cab
l2
l1
5. Sia = 85 y e= 30, hallar las medidas de los angulos b,c, d y f.
ba
fe
d c
1.2. Triangulos
Por un puntoA pasa una infinidad de rectas y dados dos puntos A y B , determi-
nan una unica recta. Dados tres puntosA,B y C, estos determinan una o tres rectas.
Si los tres puntos estan sobre una recta se llaman colineales. Si los tres puntos no
son colineales, forman un triangulo con las tres rectas que estos determinan. Las
siguientes figuras ilustran estos hechos.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
27/314
TRIANGULOS 21
A
B C A B C
A, B y C son colineales A,B y Cforman el triangulo AB C
En la figura de la derecha se forma el triangulo ABC. Los segmentos AB, AC
y BCson los lados del triangulo; A, B y C son sus vertices y ABC, BC A y
CAB, sus angulos (interiores).
A
B CBC
ACAB
En esta figura se puede apreciar el trianguloABC, donde,yson sus angu-
los interiores.
Si se prolongan los lados de un triangulo, quedan determinados todos sus angulos:
interiores y exteriores.
A
BC
b
c
a
En esta figura, los angulos a, b y c son angulos exteriores del triangulo ABC. De
esta manera se tiene que un angulo exterior de un triangulo, es aquel angulo que es
adyacente a un angulo interior del mismo triangulo, es decir, son suplementarios.
Actividad 11. Cuantos angulos exteriores en total se pueden formar de un triangu-
lo AB C? Todos estos angulos son distintos?
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
28/314
22
Para la clasificacion de los triangulos, se toman en cuenta dos hechos fundamen-
tales:angulos y lados.
CLASIFICACION DE ACUERDO A SUS ANGULOS
Triangulo rectangulo: el que tiene un angulo recto.
Triangulo acutangulo: el que tiene todos sus angulos agudos.
Triangulo obtusangulo: el que tiene un angulo obtuso.
CLASIFICACION DE ACUERDO A SUS LADOS
Triangulo equilatero: el que tiene todos sus lados iguales.
Triangulo isosceles:el que tiene dos lados iguales.
Triangulo escaleno: el que no tiene lados iguales.
1.2.1. Teorema. La suma de los angulos interiores de un trianguloABCes180.
A
B C
Demostracion:
1. Se traza una recta paralela al ladoB C, pasando por el vertice Adel triangulo
ABC.
2. El angulo es igual al angulo
y el angulo es igual al angulo , por ser
angulos alternos internos.
3. Por lo tanto, + + = +
+
= 180.
1.2.2. Ejemplo. Encuentra la medida de los angulos del triangulo como se muestra
en la siguiente figura, donde = x + 20, =x y = 210 3x.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
29/314
TRIANGULOS 23
Solucion: Se sabe que x + 2 0 + x +210 3x= 180. Al resolver esta ecuacion seobtienex= 50. Por lo tanto, la medida de los angulos son:
= x + 20 = 50 + 20 = 70
=x = 50
= 210 3x= 210 3(50) = 210 150 = 60.
Actividad 12. Determina la medida de los angulos y del siguiente triangulo:
115
70
1.2.3. Corolario. En cualquier tri angulo ABC se tiene que el angulo exterior
es igual a la suma de los angulos internos no adyacentes a.
B C
A
Demostracion:
1. Sea
el angulo exterior al vertice C (la argumentacion es la misma si es
considerado otro vertice).
2. Se tiene que
+BC A= 180, por ser angulos suplementarios.3. Por el teorema 1.2.1, ABC+ BC A+ CAB = 180. As que se tiene la
igualdad:
+BC A= ABC+ BC A + CAB.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
30/314
24
4. De donde
= ABC+ CAB .
1.2.4. Teorema. La suma de los angulos exteriores de todo trianguloABCes igual
a360.
A
BC
b
c
a
Demostracion:
1. Utilizando el corolario 1.2.3, se tiene quea = + , b = + y c= + .
2. Sumando los tres angulos anteriores, se tiene que
a + b + c= + + + + +
= + + + + +
= 180+ 180
= 360.
3. Se tiene as quea + b + c= 360.
Antes de continuar con mas ejemplos, notemos que en todo triangulo isoscelesABC,donde AB = AC se tiene que ABC = ACB . Para comprobar este hecho, ob-
servemos la siguiente figura:
B C
A
A
B C
Se ha trazado dos veces el triangulo isosceles ABCde tal forma que el lado AC
debe ser paralelo a AB para formar un cuadrilatero como se muestra en el dibujo.
De esta forma, los angulos ABCy ACB deben ser iguales.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
31/314
TRIANGULOS 25
1.2.5. Teorema. SiA es un punto de la circunferencia de diametro BC distinto
deB yC, entonces el triangulo ABCes un triangulo rectangulo.
A
B CO
Demostracion:
1. SiO el centro de la circunferencia entonces los segmentos OB, OCy OA son
iguales.
2. Los triangulos ABO yAOCson isosceles.
3. La suma de los angulos del trianguloABCcumple 2 + 2= 180.De aqu sededuce que + = 90.
1.2.6. Ejemplo. Considera el triangulo AB C, de manera que AB = BC. Calcula
la medida de y.
B C
A
y4x x + 10
Solucion:
1. Sea = BAC. Como AB = BC, el triangulo es isosceles, por lo tanto,
BAC= BC A.
2. Por el corolario 1.2.3 se tiene que 4x= 2que es equivalente a tener 2x= .
3. Por otra parte, 4x+x+10 = 180
. Resolviendo esta ecuacion se obtienex= 34.
4. Sustituyendo el valor de x en el angulo, se obtiene 2(34) = 68=.
As que entonces se tiene y + 68= 180, y por lo tanto y = 112.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
32/314
26
1.2.7. Ejemplo. En la siguiente figura se tiene queDBC= DC B y ABD =
ACD . Comprueba que ABC= ACB .
B
A
D
C
Solucion:
1. Como dato se tiene que DBC= DCB y ABD = ACD.
2. Sumando estas dos igualdades se tieneDBC+ ABD = DC B+ ACD .
3. Por lo tanto, ABC= ACB .
1.2.8. Ejemplo. Considera los siguientes triangulos, dondeAD = C B. Comprueba
queAC=DB .
A C D B
Solucion:
1. Se sabe que AC+ CD= AD y C D+ DB = C B.
2. Como dato se tiene queAD= C B, por lo que AC+ CD= C D+ DB.
3. Cancelando terminos en la igualdad anterior se concluye que AC=DB .
1.2.9. Ejemplo. En el trianguloP QR, el angulo en el vertice R es un angulo recto,
QT =QV y P S= P V. Comprueba que x = 45.
P
S
R
T
QV
x
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
33/314
TRIANGULOS 27
Solucion:
1. Sean RP Q= , P QR= , P V S= y y T V Q= z.
2. Se sabe que + = 90, porque el trianguloP QRes un triangulo rectangulo.
3. Como QT =QV y P S=P V, los triangulos P SV y V T Q son isosceles. As,se tiene que 2y+ = 180 y 2z+ = 180.
4. Sumando las dos igualdades anteriores se tiene, 2y+ 2z+ + = 360.
5. Sustituyendo el valor de + obtenido en el paso (2) en la igualdad del paso
anterior y simplificando, se tiene que y+ z = 135.
6. Finalmente, comoy+ x + z= 180, entonces x= 45.
LISTA DE EJERCICIOS. SECCION 2.1
1. Nombra todos los triangulos de la figura siguiente (hay mas de cuatro).
A
B
C
D
E
2. Nombra todos los triangulos de la siguiente figura. Una manera de abordar el
problema es escribir SRTMU Ny, luego, escribir todas las combinaciones de
tres letras y cotejar cada combinacion con la figura.
S
T
M
N
R
U
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
34/314
28
3. Determina la medida de los angulo a, b,c y d de la figura:
28
47
45
82
a bc
d
4. SiP Q= RS, comprueba que P R= QS.
P Q R S
5. Si ABC= ACB y DBC= DC B, comprueba que ABD = ACD .
B
A
D
C
6. Si a= by c= d, comprueba que el angulo x es recto.
a x b
c
d
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
35/314
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 29
1.3. Congruencia de triangulos
El concepto de congruencia esta emparentado con el de igualdad. En geo-
metra es comun que se hable de congruencia en vez de igualdad. Por ejemplo, dos
segmentos son congruentes si y solo si tienen la misma medida, y lo mismo es cierto
para angulos, pero en el caso de dos triangulos, la definicion es mas complicada
puesto que no hay una medida (numero) que defina a un triangulo.
Se ha visto que hay diversas clasificaciones de triangulos que dan cuenta de su
diversidad de formas, es por eso que una nocion previa a la definicion de congruencia
de triangulos es la de correspondencia; y esto, porque un triangulo (y cualquier
polgono) es una configuracion que consiste de puntos y segmentos de recta (lados)
que unen pares de esos puntos. Decir que el trianguloABCesta en correspondencia
con el trianguloAB
C
, significa que la correspondencia entre sus vertices es:AA ,
B B,C C ; y en esta correspondencia, queda implcita la correspondencia entresus lados:AB AB ,BCBC yC ACA , y entre sus angulos: el angulo ABCes congruente con el angulo A
B
C
, etcetera.
B
A
C B
A
C
De hecho, dos triangulos son congruentes cuando se hacen coincidir uno sobre el
otro mediante algun giro, translacion y/o reflexion. Sin embargo, este hecho no seempleara para decidir si dos triangulos son congruentes, en vez de esto, se emplean
criterios sobre sus angulos y lados.
La definicion formal utilizada en geometra es como sigue: dos triangulos son con-
gruentes si, en la correspondencia entre sus vertices, resultan iguales los lados co-
rrespondientes y los angulos correspondientes. Esto es, los triangulosABCy AB
C
son congruentes si AB=AB
, BC=B
C
y AC=A
C
; y los angulos en A, B y
Cson iguales a los angulos en A,B
yC
.
Entonces en una congruencia de triangulos se tienen seis igualdades: tres correspon-
dientes a los lados y tres a los angulos. Debido a que son demasiadas igualdades,
resulta muy util tener criterios que nos digan si dos triangulos son congruentes sin
tener que verificarlas todas. El criterio (principio) de congruencia mas basico, es
posiblemente el denominado criterio LAL (lado-angulo-lado) que nos dice que si,
en una correspondencia de triangulos, dos lados de uno y el angulo comprendido
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
36/314
30
entre ellos son iguales a sus correspondientes elementos en el otro, entonces los dos
triangulos son congruentes.
Algunos textos de geometra, los mas formales en el sentido logico, toman este crite-
rio como axioma y demuestran los dos restantes, el ALA(angulo-lado-angulo) y el
LLL (lado-lado-lado). Otros textos, la mayora, postulan como verdaderos los trescriterios. Es recomendable entonces tomar los tres como postulados ya que, si de
cualquier manera se va a tomar uno como postulado.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
1. Lado-Angulo-Lado (LAL). Dos triangulos son congruentes si tienen dos
lados iguales y el angulo comprendido entre ellos, respectivamente iguales.
B
A
C B
A
C
Por ejemplo:AB=AB
, BC=B
C
y ABC= A
B
C
2. Angulo-Lado-Angulo (ALA). Dos triangulos son congruentes si tienen dos
angulos y el lado entre ellos respectivamente iguales.
B
A
C
A
B
C
Por ejemplo: ABC= AB
C
, BC A= B
C
A
y BC=B
C
3. Lado-Lado-Lado (LLL). Dos triangulos son congruentes si tienen sus tres
lados respectivamente iguales.
B
A
C
A
B
C
AB=AB
, BC=B
C
y AC=A
C
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
37/314
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 31
Estos criterios que se acaban de enunciar, ayudan a decidir si dos tri angulos son
congruentes sin necesidad de verificar las seis igualdades que dan razon a una con-
gruencia.
Para poder ver la congruencia es necesario buscarla, es decir, en el enunciado de un
problema (una frase, un dato,...) debe sugerir implcitamente que criterio se puedeusar para su solucion.
Si ABCes cualquier triangulo, se usara de aqu en adelante y cuando se necesite,
el smb oloABC, para denotar dicho triangulo. SiABC denota el trianguloA
B
C
, el smbolo=denotara la congruencia entre los dos triangulos:
ABC=ABC
1.3.1. Ejemplo. Dada la siguiente figura, si AE = EB , CE = ED, comprueba
queAEC=EDB.C B
D
E
A
Solucion:
1. AEC= BE D por ser angulos opuestos.
2. De los datos se sabe que AE=EB y C E= ED.
3. Entonces, por el criterioLALse tiene queAEC=EDB .
1.3.2. Ejemplo. Si en el paralelogramo ABCD se tiene que ADB = DBC y
ABD = BDC, comprueba queABD=BC D.
A
D C
B
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
38/314
32
Solucion:
1. Como DB es comun en los dos triangulos, se tiene que DB = DB .
2. De los datos se sabe que ADB = DBCy ABD = BDC.
3. Entonces se cumple el criterioALA, y por lo tanto,ABD=BC D.
1.3.3. Ejemplo. Si en el triangulo isoscelesABCse tiene queAC=BCyAD =
DB, es decir, D es el punto medio de AB , comprueba queADC=DBC.C
BDA
Solucion:
1. Como DCes lado comun de los dos triangulos, se tiene DC=DC.
2. De los datos se sabe que AC=BCy AD= DB .
3. Por lo tanto se cumple el criterioLLL yADC=DBC.
Actividad 13. Si en los triangulo rectangulos:ABC yABC , se tiene queABC= A
B
C
yBC=B
C
, comprueba queABC=ABC .
A
C C
A
B B
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
39/314
TEOREMAS DE THALES 33
1.4. Teoremas de Thales
Los teoremas de Thales tienen diversas aplicaciones en la geometra, en especial
para la semejanza de triangulos. Antes de enunciar estos teoremas se daran algunas
definiciones y resultados.
Dado un triangulo ABC, la altura4 desde el vertice A, es la perpendicular AD al
ladoBCque pasa por A. En este caso, el punto de interseccion D, de la altura con
BC, se llama pie de la altura, y en este caso, BCes la basedel trianguloABC.
A
B D C
Se observa que el pie de la altura D, se encuentra dentro del segmento BCo bien
en la prolongacion de B C.
D
A
B C
El area de un triangulo ABC, es la mitad del producto de su base por la altura
correspondiente. Por ejemplo, si B Ces la base y AD la altura, entonces el area deltrianguloABCdenotado pora(ABC) es:
a(ABC) = BC AD2
1.4.1. Proposicion. Si dos tri angulos ABC yAB
C
tienen una misma altura,
entonces, la razon5 entre sus areas es igual a la razon de sus bases donde se levanta
la altura.4La altura de un trianguloABCse puede definir desde cualesquiera de sus tres vertices:A, B o
C.5Al cociente a
b, donde a y b son numeros positivos se le llama razon. Cuando dos razones son
iguales, se dice que hay una proporcion.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
40/314
34
B
A
C B
A
C
h h
Demostracion:
1. Sea h la altura comun de los triangulos. Entonces,
a(ABC) = BC h2
a(ABC) = BC
h2
2. Por lo tanto,a(
ABC)
a(ABC) = (BC
h)/2
(BC
h)/2 = BC
BC
.
1.4.2. Proposicion. Si los triangulosABC yAB
C
tienen una base igual, en-
tonces la razon de sus areas es igual a la razon entre las alturas que se levantan
sobre la base igual.
B
A
C B
A
C
h1 h2
b b
Demostracion:
1. Sean b la base comun de los triangulos, h1 la altura del triangulo ABC y h2
la altura del trianguloAB
C
. Entonces,
a(ABC) = b h12
a(A
B
C
) =
b
h2
2
2. Por lo tanto,a(ABC)
a(ABC) =(b h1)/2(b h2)/2=
h1h2
.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
41/314
TEOREMAS DE THALES 35
1.4.3. Teorema. (Primer teorema de Thales) En el triangulo AB C, seanD y
Epuntos deAB yACrespectivamente y tales queDEes paralelo aB C. Entonces,
AB
AD =
AC
AE.
B
A
C
D Eh
Demostracion:
1. Se observa que los triangulos ADE y ABEtienen la misma altura desde el
verticeE. Luego, usando la proposicion 1.4.1 se tiene que la razon de sus areas
es igual a la razon de sus bases:
a(ABE)a(ADE) =
AB
AD.
2. Tambien los triangulos ADE y ADCtienen la misma altura desde el vertice
D, por lo quea(ADC)a(ADE) =
AC
AE.
3. Los triangulos DBEy DC E tienen a DE como base comun, y como DE es
paralelo aB C, las alturas de estos triangulos son iguales sobre la base comun.
Por lo tanto,a(DBE)a(DCE) = 1.
De aqu se deduce que a(DBE) =a(DC E).
4. De esto se tiene la siguiente igualdad:
a(ABE) = a(ADE) + a(DBE)= a(ADE) + a(DCE)= a(ADC).
5. Sustituyendo esto ultimo en el paso (1) y comparando con la igualdad del paso
(2), se concluye queAB
AD =
AC
AE.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
42/314
36
El recproco de este teorema tambien es cierto.
1.4.4. Teorema. Si en el trianguloABC,D yEson puntos sobreAB yAC, tales
que ABAD = ACAE, entoncesDEes paralelo aBC.
B
A
C
D E
C
Demostracion:
1. Supongamos que DEno es paralelo a BC. Sea C
sobre AC tal que DE es
paralelo aBC.
2. Por el teorema 1.4.3 se tiene que ABAD = AC
AE.
3. Por otra parte, se sabe que ABAD = ACAE.
4. Comparando los resultados de los pasos (3) y (4) se tiene la igualdad:
AC
AE =
AC
AE
De aqu se deduce que AC=AC y DEes paralelo a BC.
En el primer teorema de Thales se ha visto que se cumple la relacion ABAD = ACAE,
donde DEes paralelo a B Cen el trianguloABC.
B
A
C
D E
Como AB = AD+ DB y AC=AE+ EC, la relacion anterior, se puede reducir a
DB
AD =
EC
AE.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
43/314
TEOREMAS DE THALES 37
Esta ultima igualdad, tambien es equivalente a ADDB = AEEC. As que en el primer
teorema de Thales, en el triangulo ABC, si DE es paralelo a BC, se cumplen
cualesquiera de las relaciones:
AB
AD =
AC
AE o
DB
AD =
AE
EC o
AD
DB =
AE
EC.
1.4.5. Ejemplo. Encuentra el valor de x en el siguiente triangulo, donde MN es
paralelo a B C.
A
M
B C
Nx
43
2
Solucion:
Aplicando el primer teorema de Thales, se tiene 4x = 32 . Despejando x se obtiene
x= 83 .
1.4.6. Teorema. (Segundo teorema de Thales) Si se tienen tres rectas y
dos transversales a estas, de tal forma queAD, BE yCF son paralelas, entoncesABBC =
DEEF. Recprocamente, si
ABBC =
DEEF y dos de las rectas AD, BE o CF son
paralelas, entonces las tres rectas son paralelas.
A D
B E
C F
G
Demostracion:
1. Se traza la transversal AFa las tres rectas AD, BEy CF, y sea G el punto
de interseccion de AF conBE.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
44/314
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
45/314
SEMEJANZA DE TRIANGULOS 39
El siguiente es un ejemplo de dos triangulos semejantes:
A
B C B
A
C
2 3
4 8
4 6
El triangulo ABCes semejante al triangulo AB
C
, debido a que la longitud de
cada lado del segundo triangulo es dos veces la del lado correspondiente del primero.
Nombremos a = 2, b = 4 y c = 3 la longitud de los lados del tri angulo ABC y
a
= 4, b
= 8 y c
= 6 para el triangulo AB
C
. De esta forma,
a
= 2a, b
= 2b y c
= 2c,
o dicho a la inversa, cada numero de la primera terna es exactamente la mitad del
numero correspondiente de la segunda terna:
a=1
2a, b=
1
2b
y c=1
2c.
De esta forma, se tiene:
a
a =
b
b =
c
c,
porque cada una de las fracciones es igual a 2; y
a
a =
b
b =
c
c,
porque cada una de estas fracciones es igual a 12 . En este caso, se dice que las ternas
a, b, c ya,b
, c
, son proporcionales.
Finalmente, para que dos triangulos sean semejantes, es necesario que los angulos
correspondientes sean congruentes.
1.5.1. Definicion. Se dice que dos triangulosABC yA
B
C
son semejantes; ensmbolos:ABC ABC, si sus angulos correspondientes son iguales y suslados correspondientes son proporcionales.
Ilustracion de la definicion:
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
46/314
40
A
B C B
A
C
Los triangulos ABCy AB
C
son semejantes, si y solo si
ABC= AB
C
, BC A= B
C
A
, CAB= C
A
B
,
y AB
AB
= BC
BC
= AC
AC
.
As que para que dos triangulos sean semejantes, se deben verificar dos condiciones:
Sus angulos correspondientes deben ser iguales. En este caso, se escribe angulo-
angulo-angulo o simplemente como AAA.
Sus lados correspondientes deben ser proporcionales. En este caso, se escribe
lado-lado-lado o simplemente LLL.
De hecho, si alguna de las condiciones es verdadera, se cumple automaticamente la
otra, es decir, si los angulos correspondientes son iguales AAA, entonces sus lados
correspondientes son proporcionales LLLy viceversa. Se prueba este resultado en el
siguiente teorema.
1.5.2. Teorema. (Teorema de semejanzaAAA)Si dos triangulosABCyDE F
tienen sus angulos correspondientes iguales, entonces sus lados correspondientes son
proporcionales.
A
B C
E
F
D
E F
Demostracion:
Se debe comprobar que los lados correspondientes son proporcionales, es decir:
AB
DE =
AC
DF =
BC
EF.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
47/314
SEMEJANZA DE TRIANGULOS 41
1. SeanE
yF
puntos sobreAB yACrespectivamente, tales queAE
=DEy
AF
=DF.
2. Por el criterio de congruenciaLAL, se tiene que los triangulos AEF
yDEF
son congruentes.
3. Por lo tanto, EF
es paralelo a B C, y aplicando el primer teorema de Thales
se tiene:AB
AE =
AC
AF .
4. Como AE
=DEyAF
=DF, la igualdad anterior se transforma en
AB
DE =
AC
DF.
5. De la misma forma, se puede comprobar que BCEF = ABDE. Finalmente, se con-
cluye queABDE
= ACDF
= BCEF
.
Actividad 15. Comprueba el paso (5) de la demostracion del teorema anterior, es
decir:
BC
EF =
AB
DE.
El teorema que se acaba de comprobar, tiene una consecuencia importante que dice
que si dos pares de angulos correspondientes de los triangulos ABC y DEF son
iguales, entonces los triangulos son semejantes, es decir, basta con que dos pares de
angulos sean iguales para que dos triangulos sean semejantes. Se enuncia formal-
mente este resultado en el siguiente corolario.
1.5.3. Corolario. ( Criterio de semejanzaAA)Si dos pares de angulos corres-
pondientes de los triangulosABC yDEF son iguales, entonces los triangulos son
semejantes.
A
B C
D
E F
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
48/314
42
Demostracion:
1. Supongamos que ABC = DEF y BC A = EF D son los dos pares de
angulos correspondientes iguales.
2. Por otro lado, se sabe que
ABC+ BC A + CAB= 180
DEF+ EF D+ F DE= 180.
3. Por lo tanto, de los pasos (1) y (2), se concluye que CAB = F DE, y por
el teorema de semejanza AAA, los triangulos son semejantes.
1.5.4. Teorema. (Teorema de semejanzaLAL) Si los triangulosAB CyDEFtienen dos lados correspondientes proporcionales y el angulo comprendido entre estos
es igual, entonces los triangulos son semejantes.
A
B C
E
F
D
E F
Demostracion:
1. Sean ABDE = ACDF y BAC=EDF los lados correspondientes proporcionales
y el angulo comprendido iguales.
2. Sean E
y F
sobreAB y AC, tales queAE
=DEy AF
=DF.
3. Por el criterio de congruencia LAL, los triangulos AEF
y DEF son con-
gruentes. Por lo tanto, ABAE
= ACAF
.
4. Por el recproco del primer teorema de Thales, se tiene queEF
es paralelo a
BC.
5. Luego, los angulos ABC y DEFson iguales, y por hipotesis, los angulos
en los vertices en A y D son iguales, entonces por el criterio de semejanzaAA,
los triangulos AEF
y AB Cson semejantes.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
49/314
SEMEJANZA DE TRIANGULOS 43
6. Finalmente, como los triangulosAEF
yDEF son congruentes, vease el paso
(3), entonces los triangulos ABCy DEF son semejantes.6
1.5.5. Teorema. (Teorema de semejanza LLL) Si los triangulosAB CyDEF
tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces los triangulos son seme-
jantes.
A
B C
E
F
D
E F
Demostracion:
1. Por hipotesis se tiene que ABDE = BCEF =
ACDF.
2. Sean E
y F
los puntos en AB y AC respectivamente, tales que DE= AE
y DF=AF. Sustituyendo estas igualdades en el paso (1) se tiene:
AB
AE =
AC
AF.
3. Como los triangulos ABC y AEF
comparten el angulo en el vertice A, se
sigue del teorema de semejanza LAL que los triangulos ABC y AEF
son
semejantes.
4. Ahora, por definicion de semejanza, se tiene que EF
BC = AE
AB, de donde
EF
=BC
AE
AB =BC
DE
AB.
5. Por otro lado, en el paso (1) se tiene
EF =BCDE
AB.
Por lo tanto, de los pasos (4) y (5) se concluye que EF
=EF.
6. Entonces, por el criterio de congruencia LLL, los triangulos AEF
y DEF
son congruentes.
6Si los triangulos ABC y A
B
C
son semejantes y A
B
C
es congruente a DEF, entonces el
triangulo ABCes semejante con DEF.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
50/314
44
7. Finalmente, los triangulos AB CyDEFson semejantes; vease los pasos (3) y
(6).
1.5.6. Ejemplo. Si los triangulos ABC y DEF son tales que AB, BCy CAson
perpendiculares a las rectasDE,EF yF Drespectivamente, entonces los triangulos
son semejantes.
GH
B
A
CIJO
F
D
E
Solucion:
En la figura se tiene que los triangulos rectangulosB GIyE OI, son semejantes por
tener el angulo comun en el vertice I, y un angulo recto (Criterio de semejanza AA).
Por consiguiente, ABC= IEO.
Por otra parte, los triangulos OJ F y HJC son semejantes, puesto que OJ F =
HJC, por ser angulos opuestos por el vertice. De aqu se deduce que
OF J= HCJ= ACB.
De esta forma se tiene que los triangulos ABC y DEFtienen dos pares de angu-
los iguales, y por el criterio de semejanza AA se concluye que los triangulos son
semejantes.
1.5.7. Ejemplo. Determina la medida de los lados faltantes de los siguientes
triangulos semejantes, donde AB = 8, BC= 12, AC= 11, EF= 4 y el segmento
AB es paralelo a F E.
E
F
A
B Cx
y
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
51/314
SEMEJANZA DE TRIANGULOS 45
Solucion:
Como los triangulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales,
por lo que11
y =
8
4, entonces y=
11
2 .
Tambien se tiene que
12
x =
8
4, entonces x= 6.
1.5.8. Ejemplo. En la siguiente figura, AB = BC = 12, BDC = CDE,
BD = 16 y C E= 8. Halla la longitud de DE.
B
A DC
E
Solucion:
ComoAB =BC, el trianguloABCes isosceles. Luego, BAC= BC A= DCE.
Por hipotesis, BDC = CDE, por lo tanto, los triangulos ABD y CDE son
semejantes puesto que tienen dos angulos iguales. As, se tiene que
DE16
= 812
.
Despejando se concluye queDE= 323.
LISTA DE EJERCICIOS. SECCION 1.3, 1.4 y 1.5
1. En cada una de las siguientes proporciones, determina el valor dex:
(a)x
2 =
3
4 (b)
5
x=
4
7 (c)
5
4=
2x
13 (d)
2
3=
11
x+ 3
2. Si x40 = y50 =
3020 , cuales son lo valores de x y y ?
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
52/314
46
3. Si 3p = 5q =
r26 =
q20 , cuales son los valores dep, qy r?
4. Considera el triangulo ABC, donde AB = 12, AC= 15 y BC= 15. Si M N
es paralelo a B C, determina la longitud de N C.
A
B C
M N
5. Sea ABC el triangulo, cuyo segmento MN es paralelo a AB. Determina el
valor de x.
M
N
A
B C4
x
2x + 1
x + 1
6. Considera el triangulo ABC, donde BD = 2, EC = 32 , EF = 12 , ADF =
AEF = 90. Halla la longitud del segmento DF.
A
B C
DE
F
7. En el triangulo ABC, AS es la altura correspondiente al lado BC, BT la
altura correspondiente al lado AC, BC= 8, AS= 9 y BT= 6. Determina la
longitud del segmento AC.
A
B C
T
S
8. En el triangulo ABC, supon que AB=AD + 10, EC= 12, AC= 20, EF =
F C, BAC= EAD. Determina la longitud del segmento AD.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
53/314
SEMEJANZA DE TRIANGULOS 47
B
CA ED
F
9. En el trianguloABC,AD = DBy AE=EC. Comprueba queDEes paralelo
aBC.
B
A
C
D E
10. En el trapecio ABCD, AB es paralelo a DCy los triangulos AED y BE C,
son semejantes. Comprueba queAD = BC. [Sugerencia:Que otros triangulos
son semejantes?].
A B
CD
E
11. En el trianguloABC,AB = 16,AC= 30,AE= 11,AF= 25. EsEFparalelo
aBC? Justifica tu respuesta.
A
B C
E F
12. En el trianguloABC,EFes paralelo a BC. Determina todos los valores de x.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
54/314
48
A
B C
E F4
x 43x 19
x 3
1.6. Teorema de Pitagoras
En un triangulo rectangulo, el lado opuesto al angulo recto se conoce como la
hipotenusa, y a los lados adyacentes al angulo recto como loscatetosdel triangulo.
Hipotenusa
CatetoCateto
A
B C
El teorema de Pitagoras establece que en todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para la demostraci on7
de este teorema se empleara la semejanza de triangulos.
1.6.1. Proposicion. En un triangulo rectanguloABC, la altura sobre la hipotenusa
lo divide en dos triangulos semejantes a el.
D
A
B C
Demostracion:
1. Sea AD la altura del triangulo AB Csobre la hipotenusa BC.
2. El triangulo ABC es semejante al triangulo DBA puesto que ambos son
triangulos rectangulos y tienen un angulo comun en el vertice B.
7A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones (mas de 300 pruebas) que
matematicos y amantes de las matematicas han proporcionado sobre este teorema.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
55/314
TEOREMA DE PITAGORAS 49
3. Tambien los triangulos rectangulos ABC y DCA, son semejantes puesto que
el angulo en el vertice Ces comun. Por lo tanto, los dos triangulos rectangulos
que dividen al triangulo ABCson semejantes a el.
OBSERVACIONES:
De la semejanza entre los triangulos ABC y DBA, se sigue que ABDB = CBAB .
Por lo tanto, AB2 =DB CB.
De la semejanza entre los triangulosABCyDAC, se tiene que CACD = CBCA . Por
lo tanto, CA2 =C D CB.Sumando las dos igualdades anteriores, se tiene:
AB2 + CA2 =DB CB + CD CB= (CD+ DB)CB = C B2.
Esto se puede resumir en el siguiente teorema:
1.6.2. Teorema. (Teorema de Pitagoras) En un triangulo rectanguloABC, el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
1.6.3. Ejemplo. La diagonal de un rectangulo de lados 5cm y 12cm es igual al
lado de un cuadrado. Cuanto mide la diagonal de ese cuadrado?
12cm
5cmd
D
Solucion:
Primero se determina la longitud de la diagonal d del rectangulo. Por el teorema
de Pitagoras se tiene d2
= 122
+ 52
= 169. Por lo que d = 169 = 13cm. Ahora,se puede obtener la longitud de la diagonal D del cuadrado al emplear otra vez el
teorema de Pitagoras. Esto es, D2 =d2 + d2 = 2d2 = 2(13)2 = 338. Se tiene as que
D=
33818.38cm.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
56/314
50
Actividad 16. Una escalera de 10m de longitud esta apoyada sobre una pared. El
pie de la escalera dista 6m de esa pared. Que altura alcanza la escalera sobre esa
pared?
Actividad 17. Calcula la longitud de la diagonal D del ortoedro como se muestra
en la figura.
4
3d
2 D
1.7. Recproco del teorema de Pitagoras
1.7.1. Definicion. Si a, b y c son numeros positivos y ab = bc , entonces b es la
media geometrica o media proporcional dea yc, es decir, b=
ac.
1.7.2. Proposicion. En un triangulo rectanguloABC, la altura sobre la hipotenusa,
es la media proporcional de los dos segmentos en que se divide la hipotenusa por el
pie de la altura.
D
A
B C
Demostracion:
1. Se sabe que el triangulo AB C, es semejante tanto de DBA como de DCA.
2. Por lo tanto, los triangulos rectangulosDBA y DACtambien son semejantes.
As, se tiene queAD
CD=
DB
AD.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
57/314
RECIPROCO DEL TEOREMA DE PITAGORAS 51
3. DespejandoAD de la igualdad anterior, se tiene que AD2 =DB CD, es decir,
AD=
DB CD.
1.7.3. Lema. SeaAB Cun triangulo, donde los angulos en los verticesB yC son
menores a 90, y sea D el pie de la altura de A sobre BC. Si AD2 = BDDC,entonces el triangulo ABC es rectangulo.
D
A
B C C
Demostracion:
1. Se traza la perpendicular a AB que pasa por A. Esta, corta a la recta BC
en un punto C
(si no fuera el caso, entonces tal recta sera paralela a BC,
resultando que B = D, por lo que AD2 =BD DCsera falso).
2. Se tiene entonces que el trianguloABC
es rectangulo, con angulo recto en el
vertice A.
3. Por la proporcicion 1.7.2 se tiene que AD2 =BD DC .
4. Por otro lado, por hipotesis se tiene que AD2 =BD DC.
5. Se sigue de las dos igualdades anteriores que DC
= DC y C
= C. Lo que
demuestra que el triangulo AB C es rectangulo.
1.7.4. Teorema. (Recproco del teorema de Pitagoras) Si en un triangulo
rectangulo ABC, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados, entonces el triangulo es rectangulo.
D
A
B C
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
58/314
52
Demostracion:
1. Supongamos que en el trianguloABC, se tiene BC2 =AB2 + CA2.
2. Como BC > AB y BC > CA, entonces los angulos en B y C son menores a
90.
3. SeaD el pie de la perpendicular deAsobreBC. Entonces, los triangulosABD
yADCson rectangulos, con angulo recto en el vertice D, y por el teorema de
Pitagoras se tiene que
AB2 =BD2 + AD2 y CA2 =AD2 + DC2.
4. Sumando las dos igualdades anteriores se tiene lo siguiente:
AB2 + CA2 = BD2 + 2AD2 + DC2
= BC2
= (BD + DC)2
= BD2 + 2BD DC+ DC2.
5. De esta serie de igualdades, se tiene
BD2 + 2AD2 + DC2 =BD2 + 2BD DC+ DC2.
6. Eliminando terminos se tiene que AD2 =BD DC, y por el lema anterior setiene el resultado.
1.7.5. Ejemplo. En la siguiente figura, comprueba queb a= 4, dondea + b= x.A
B Ca b
x 1 x + 1
xD
Solucion:
Seah= AD. Entonces, por el teorema de Pitagoras se tiene
(x + 1)2 =h2 + b2 y (x 1)2 =h2 + a2.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
59/314
RECIPROCO DEL TEOREMA DE PITAGORAS 53
Despejandoh2 e igualando, se tiene (x + 1)2 b2 = (x 1)2 a2. Desarrollando losbinomios y simplificando se tiene que 4x b2 =a2. Cambiando de signo amboslados y tomando en cuenta que a + b= x, la igualdad anterior se transforma en
b2
4(a+ b) =a2.
Quitando parentesis e igualando a cero lo anterior, se tiene b2 a2 4a 4b = 0.Factorizando la expresion del lado izquierdo, se tiene
(b a)(b+ a) 4(a+ b) = (b + a)(b a 4) = 0.
De aqu se deduce que b + a= 0 ob a 4 = 0. Luego, b + a= 0 no puede suceder,por lo tanto, b a 4 = 0 y b a= 4.
LISTA DE EJERCICIOS. SECCION 1.6 y 1.7
1. En la siguiente figura se representa un triangulo equilatero, en el que la longitud
del lado L, supera 2cm a la longitud de su altura h. Calcula el permetro del
triangulo.
L
L Lh
2. En la siguiente figura, la diferencia entre las areas del cuadradoABCD y del
triangulo equilatero DEC, es de 13cm2. Calcula el p ermetro del triangulo.
D
A B
C
E
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
60/314
54
3. El rectangulo ABCD, tiene permetro de 24cm, y el largo supera al ancho en
5cm. Calcula el area del rectangulo.
B
A D
C
4. Una escuadra de carpintero con ancho constante, tiene un area de 111cm2.
Calcula el ancho de la escuadra.
20cm2
20cm2
5. Calcula el area de un triangulo isoscelesAB C, donde la base B Cmide 3cmy
la alturah mide 4cm.
6. Calcula el area de un triangulo equilatero ABC, donde la longitud de uno de
sus lados mide L = 1cm.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
61/314
Captulo 2
Trigonometra
2.1. Angulos
La trigonometra se remonta a la antigua ciudad de Babilonia. Es una rama de
las matematicas que estudia las relaciones entre los lados y angulos de los triangulos.
Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en los campos de la nave-
gacion, la geodesia y la astronoma, en los que el principal problema era determinar
una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no poda ser medida de forma
directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna.
Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonometricas1 en la fsica
y en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo, en el estudio de fenomenos
periodicos, como en el flujo de corriente alterno, etcetera.
En geometra, un angulo se definio como la parte comun de dos semiplanos for-
mados por dos rayosOA y
OB (lados del angulo), que tienen un punto inicial en
comun en O, llamado vertice. El angulo en este caso es AOB o BOA. De esta
forma, no importa que lado del angulo se nombra primero.
O
A
B
Sin embargo, para el estudio de la trigonometra, s importa que lado del angulo se
nombra primero, es decir, hay distincion entre los angulos AOB y BOA. En el
1Son seis las funciones trigonometricas basicas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante. Las ultimas cuatro estan en funcion de las dos primeras.
55
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
62/314
56
angulo AOB,OA es el lado inicial y
OB el lado terminal, mientras que en el
angulo BOA,OB es el lado inicial y
OA ellado terminal.
O
A
B
A
B
O
AOB BOA
Los angulos AOB y BOAas definidos, se llaman angulos orientados.
Aqu, se va a considerar un sistema de coordenadas cartesianas para ubicar a un
angulo, donde la posicion estandar para el vertice del angulo, sera el origen. Si el
lado inicial de un angulo coincide con el eje x positivo, y este gira en direccion
contraria a las manecillas del reloj hasta la posicion del lado terminal del angulo,
entonces tal angulo se considera positivo. Si el lado inicial gira en direccion a las
manecillas del reloj hasta la posicion del lado terminal del angulo, entonces dicho
angulo se consideranegativo.
Comunmente, la notacion que se usa para los angulos, son las letras griegas: , ,
, etcetera.
x
y
x
y
En esta figura, el angulo es positivo, mientras que el angulo es negativo.
Una unidad de medida para los angulos es el grado. Para la medida de angulos
en grados, se utiliza el sistema sexagesimal, donde grado sexagesimal se entiende
como la amplitud del angulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes
iguales.
Un grado tiene 60 minutos () y un minuto tiene 60 segundos ().
1 = 60
= 3600
y 1
= 60
.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
63/314
ANGULOS 57
De la misma forma,
1
=
1
60
y 1
=
1
60
=
1
3600
.
Ejemplos:y
x
y
x
y
x
45135
90
La medida en grados para los angulos, se usa en actividades aplicadas como agri-
mensura, navegacion y diseno de equipo mecanico. En aplicaciones cientficas que
requieren calculo, se aconstumbra utilizar radianes.
A
B
r
En esta figura se tiene un crculo de radio r, con un angulo central , cuyo vertice
es el centro del crculo. La porcion de crculo del punto A al puntoB se llamaarcoAB, denotado porAB. Tambien se dice que el arcoABsubtiendeel angulo central. Si la longitud deAB es igual al radio r del crculo, entonces se dice que mideun radian.
A
B
r
r
2.1.1. Definicion. Un radian es la medida del angulo central de una circunferencia
cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
64/314
58
Se puede ver que en cualquier crculo de radio r, caben aproximadamente 6.28 ra-
dianes, es decir, el radio en el crculo2 cabe exactamente 6 veces y sobra aproxi-
madamente 0.28. Con lo cual, se tiene la relacion
360 = 2
6.28 radianes.
Si se divide entre dos en ambos miembros de la igualdad anterior, se tiene
180 =3.14 radianes.
Ahora, si se divide ambos miembros entre , se concluye que
180
= 1 radian57.2958.
Entonces, hay una relacion entre grados y radianes de un angulo. Para convertir un
angulo medido en grados a radianes se usa la formula:
=
180
.
Analogamente, si se tiene x radianes, dondex R, para convertir a grados, se usala formula:
x = x
180
= x 180.
Por ejemplo,
1. 45 a radianes corresponde a:
45 = 45 180= 4 .2. 56 radianes a grados corresponde a:
5
6 =
5
6
180
= 150.
Esta tecnica se puede usar siempre que se quiera hacer una conversion de grados a
radianes o viceversa.
La siguiente tabla muestra algunos angulos con los valores correspondientes a gradosy radianes.
2Tambien se puede comprobar que el diametro D de un crculo de radio r, cabe en el crculo
exactamente 3 veces y sobra aproximadamente .1416. Luego, como el diametro D es dos veces el
radior , nuevamente se desprende que el radio cabe en el crculo aproximadamente 6.28 veces.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
65/314
ANGULOS 59
Radianes 0 64
3
2
23
34
56
76 2
Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 360
Geometricamente, tambien se puede mostrar la posicion de un angulo en radianes.y
x
4
y
x
2
y
x
Se ha visto que un angulo se puede expresar de dos formas: grados y radianes.
Si se require convertir un angulo de radianes a grados junto con los minutos y
segundos, se aplican las conversiones antes mencionadas.
2.1.2. Ejemplo. Realiza las siguientes conversiones.
1. Expresa el angulo = 2 en grados, minutos y segundos.
Solucion:
= 2
180
114.5915
= 114 + (.5915)(60
)= 114 + 35.49
= 114 + 35
+ (.49)(60
)
= 114 + 35
+ 29.4
1143529 .
2. Expresa el angulo 1102524
como decimal, al diezmilesimo de grado mas
cercano.
Solucion:
1102524
= 110+
2560
+ 24
3600
110+ .4166+ .0066
= 110.4232 .
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
66/314
60
Las calculadoras graficadoras cuentan con funciones que facilitan las conversiones
de grados a radianes y viceversa; la conversion de un angulo que esta en radianes,
a grados minutos y segundos, y convierte una medida decimal que esta en grados,
a grados, minutos y segundos. Es importante saber utilizar estas calculadoras para
aplicar estos tipos de conversiones.
2.1.3. Teorema.
(a) Si un arco de longituds de una circunferencia de radio r subtiende un angulo
central de radianes, entoncess= r.
(b) SiA es el area del sector circular determinado por, entoncesA= 12r2.
Demostracion: Consideremos la figura:
r
s
(a) Como la longitud de arco es proporcional a su angulo central, entonces
s
r =
1.
De aqu se desprende que s = r.
(b) Como el area del sector circular es proporcional a su angulo central, entonces
A
r2 =
2.
Por lo tanto, A= 12r2 .
2.1.4. Ejemplo. Si un arco de circunferencia de longituds = 7.5cm, subtiende un
angulo central de una circunferencia de 3cm de radio, determina:
(a) La medida de en grados.
(b) El area el sector circular determinado por .
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
67/314
RELACIONES TRIGONOMETRICAS DEANGULOS 61
x
y
r
s
Solucion:
(a) Se sabe que s = r. Despejando y sustituyendo los valores respectivos de s
y r , se tiene
=s
r =
7.5
3 = 2.5.
Este es el valor de en radianes. Entonces, al cambiar a grados se obtiene
= 2.5
180
=
450
143.24.
(b) Utilizando la formula de area del sector circular y sustituyendo los valores
respectivos, se tiene
A=1
2r2=
1
2(3)2(2.5) = 11.25cm2.
2.2. Relaciones trigonometricas de angulos
Se sabe que la ecuacion de lacircunferencia de radior con centro en el origen
es:
x2 + y2 =r2.
Cuandor= 1, la circunferencia se llama circunferencia unitaria.
x
y
y
x
r r= 1
x2 + y2 =r2 x2 + y2 = 1
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
68/314
62
Nota: Cualquier punto (x, y) de la circunferencia de radio r ,satisface la ecuacion
x2 +y2 =r2, y cualquier punto (x, y) que satisface la ecuacion x2 +y2 =r2, es un
punto de la circunferencia de radio r .
Consideremos la siguiente circunferencia unitaria, un punto P = (x, y) sobre sucircunferencia y , el angulo formado entre el eje x al segmento OP.
x
y P = (x, y) = (cos , sin )
cos
sin
1
1
1
1
O
2.2.1. Definicion. Si R, entonces
1. Elcoseno de, denotado porcos , se define como la coordenadax, es decir,
cos = x.
2. Elseno de, denotado porsin , se define como la coordenada y, es decir,
sin = y.
Esta definicion, dice que cada coordenada (x, y) de la circunferencia unitaria, se
puede escribir como (cos , sin ), es decir,
(x, y) = (cos , sin ).
Por otra parte, se observa que si (x, y) = (cos , sin ) es un punto de la circunferencia
unitaria para cierto angulo, entonces satisface la ecuacionx2+y2 = 1. Por lo tanto,
se tiene la identidad fundamental3:
cos2 + sin2 = 1. (2.1)
3Mas adelante, mencionaremos otras identidades fundamentales.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
69/314
RELACIONES TRIGONOMETRICAS DEANGULOS 63
2.2.2. Teorema. Si R, entoncescos2 + sin2 = 1.
De la indentidad fundamental, se obtienen las siguientes igualdades:
sin2 = 1 cos2 y cos2 = 1 sin2 .
Equivalentemente,
sin =
1 cos2 y cos =
1 sin2 .
2.2.3. Ejemplo. Calcula sin y cos , donde= 4 .
Solucion: Para determinar el seno y coseno del angulo , se emplea la cicunfe-
rencia unitaria y se usa la definicion anterior.
P(x, y)
= 4
y
x
El angulo = 4 radianes bisecta el primer cuadrante. Por lo tanto, el punto
P(x, y) se encuentra en la recta y = x. ComoP(x, y) es un punto de la circunferencia
unitaria, satisface la ecuacion x2 + y2 = 1. Como y = x, entonces
x2 + x2 = 1 o 2x2 = 1.
Al despejar xy observar que x >0, se obtiene x= 12
. As queP = (
2/2,
2/2).
Por lo tanto, sin 4 = cos4 .
Nota: Para determinar el valor de sin y cos en este ejemplo, basto con saber
las coordenadas del punto P al angulo correspondiente = 4 en la circunferencia
unitaria.
Actividad 18. Por medio de una circunferencia unitaria, determina los valores de
sin y cos , donde = 0, 2 , ,32 y 2.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
70/314
64
Para que valores de , sin = 0 y cos = 0?
Es claro que sin = 0, siempre y cuando se esta sutuado en la coordenada (1, 0)
o (1, 0) de la circunferencia unitaria. Pero esto se logra, cuando los valores de
son multiplos de , es decir: = . . . 3, 2, , 0, , 2, 3,. . . , etcetera. Por lotanto,
sin = 0 si, y solo si {n; n Z}.
De la misma forma, para que cos = 0, es necesario que se este situado en el punto
(0, 1) o (0, 1) de la circunferencia unitaria. Los valores de donde se cumple esto,son:
=
2,3
2 ,
5
2 ,
7
2 ,
9
2 , . . .
Y lo mismo sucede, si los valores anteriores de , tienen signo negativo. Esto se
resume como sigue:
cos = 0 si, y solo si (2n + 1)
2 ; n Z
.
2.2.4. Proposicion. Si R, entonces
1.1sin 1 y1cos 1
2. sin() = sin
3. cos() = cos
4. Sik Z, entoncessin(+ 2k) = sin ycos(+ 2k) = cos .
Demostracion:
En el inciso (1), dice que tanto sin como cos no pueden pasar de1 y 1, es decir,sus valores siempre oscilaran entre1 y 1 para cualquier valor de . Esto resultaclaro puesto que si (x, y) = (cos , sin ), es un punto de la circunferencia unitaria,
entonces se satisfacen las desigualdades anteriores.
Para comprobar los incisos4 (2) y (3), se considera la figura:
4Cuando se cumple la igualdad del inciso (2), se dice que sin es par. De igual forma, cuando
se cumple la igualdad del inciso (3), se dice que cos es impar.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
71/314
RELACIONES TRIGONOMETRICAS DEANGULOS 65
x
y (x, y) = (cos , sin )
1
1
1
1
y (x, y) = (cos(), sin())
Se observa que cos = x y cos() =x. Por lo tanto, cos() = cos .Por otra parte, tambien se tiene que sin = y y sin() =y. De esta ultimaigualdad se puede multiplicar por un signo negativo ambos lados, reduciendose a
sin() = y. Por consiguiente, se tiene que sin() = sin(). Esto ultimo es
equivalente asin() =sin ,
y se concluye la comprobacion de los dos incisos.
El inciso (4) se cumple, puesto que si el angulo se le suma 2k conk Z, entoncesse regresa a la misma posicion del angulo y por consiguiente al punto (x, y). De esta
forma se cumplen las dos igualdades.
Nota: Las propiedades del inciso (4), se expresan diciendo que sin y cos son
funciones periodicas de perodo 2.
2.2.5. Definicion. SeanD1 = R
(2n+1)2 ; n Z
yD2 = R {n; n Z}. Se
definen las funciones:
(a) Funcion tangente: tan = sin cos ; dondeD1(b) Funcion cotangente: cot = cos sin ; dondeD2(c) Funcion secante: sec = 1cos ; dondeD1(d) Funcion cosecante: csc = 1sin ; dondeD2.
Nota: estas funciones tienen perodo 2. Mas aun, es un perodo para tan y
cot , puesto que:
tan(+ ) = sin(+ )
cos(+ )=
sin cos = tan .
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
72/314
66
De igual forma, cot(+ ) = cot .
Actividad 19. Completa todos los pasos para comprobar que en efecto:
tan(+ ) = tan y cot(+ ) = cot .
2.2.6. Proposicion. Si R, entonces
1. sin2
= cos ycos
2
= sin
2. cos(1 2) = cos 1cos 2 sin 1sin 2
3. sin(1
2) = sin 1cos 2
sin 2cos 1.
Demostracion:
Para comprobar el inciso (1), se considera la figura:
2
(x, y) = (cos , sin )
(y, x) =
cos2
, sin
2
x
y
y
x
1
1
1
1
Se observa que
sin
2
= cos y cos
2
= sin .
(2) Primero se comprueba que
cos(1 2) = cos 1cos 2+ sin 1sin 2.
Consideremos la figura:
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
73/314
RELACIONES TRIGONOMETRICAS DEANGULOS 67
x
yXY
P1
P2
2
1
2
111
O
1
1
Se sabe que P1 = (x1, y1) = (cos 2, sin 2) y P2 = (x2, y2) = (cos 1, sin 1). Ladistancia entre P1 yP2 es:
d =
(x2 x1)2 + (y2 y1)2=
(cos 1 cos 2)2 + (sin 1 sin 2)2.
Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene
d2 = (cos 1 cos 2)2 + (sin 1 sin 2)2
= cos2 1
2cos 1cos 2+ cos2 2+ sin
2 1
2sin 1sin 2+ sin2 2
= 1 + 1 2(cos 1cos 2+ sin 1sin 2)= 2 2(cos 1cos 2+ sin 1sin 2).
Ahora, se rotan los ejes x y y de tal modo que el eje xcoincida con el rayo OP1. Es
claro que la longitud de P1 a P2 no cambia; sin embargo, las coordenadas de P1 y
P2 con respecto a los nuevos ejes Xy Y son:
P1= (x1, y
1) = (1, 0) y P2= (x
2, y
2) = (cos(1 2), sin(1 2)).
Por lo que la distancia entre P1 y P2 es:
d =
(x2 x1)2 + (y2 y1)2
=
(cos(1 2) 1)2 + (sin(1 2) 0)2.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
74/314
68
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se tiene
d2 = (cos(1 2) 1)2 + (sin(1 2) 0)2
= cos2(1 2) 2cos(1 2) + 1 + sin2(1 2)= 1
2cos(1
2) + 1
= 2 2cos(1 2).Por lo que al comparar los dos resultados para d2, se tiene que
2 2cos(1 2) = 2 2(cos 1cos 2+ sin 1sin 2).Por lo tanto, se concluye que
cos(1 2) = cos 1cos 2+ sin 1sin 2.Ahora es facil comprobar que cos(1+ 2) = cos 1cos 2 sin 1sin 2. Se observaque
cos(1+ 2) = cos(1 (2))= cos 1cos(2) + sin 1sin(2)= cos 1cos 2 sin 1sin 2.
Por lo tanto,
cos(1+ 2) = cos 1cos 2 sin 1sin 2.Con esto se comprueba el inciso (2) de la proposicion. Es decir:
cos(1 2) = cos 1cos 2 sin 1sin 2.Para comprobar el inciso (3), primero se observa que:
sin(1+ 2) = cos
2 (1+ 2)
= cos
2 1 2
= cos
2 1
2
= cos
2 1
cos 2+ sin
2 1
sin 2
= sin 1cos 2+ cos 1sin 2.
Por otra parte, se tiene quesin(1 2) = sin(1+ (2))
= sin 1cos(2) + cos 1sin(2)= sin 1cos 2 cos 1sin 2.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
75/314
RELACIONES TRIGONOMETRICAS DEANGULOS 69
Finalmente, juntando las dos igualdades anteriores de sin(1+ 2) y sin(1 2), setiene que:
sin(1 2) = sin 1cos 2 sin 2cos 1.
2.2.7. Ejemplo. Comprueba las siguientes igualdades para la suma y diferencia
de angulos en la funcion tangente.
1. tan(1+ 2) = tan 1+tan 21tan 1tan 2
2. tan(1 2) = tan 1tan 21+tan 1tan 2 .
Solucion:
(1) Se empieza desarrollando la parte derecha de la igualdad, y con una serie de
pasos verdaderos, se comprueba que es equivalente a la parte izquierda.
tan 1+ tan 21 tan 1tan 2 =
sin 1cos 1
+ sin 2cos 21 sin 1cos 1
sin 2cos 2
=sin 1cos 2+cos 1sin 2
cos 1cos 2cos 1cos 2sin 1sin 2
cos 1cos 2
= sin 1cos 2+ cos 1sin 2
cos 1cos 2 sin 1sin 2=
sin(1+ 2)
cos(1+ 2)= tan(1+ 2).
Actividad 20. Comprueba el inciso (2) del ejemplo 2.2.7.
De las identidades de la Proposicion 2.2.6, se deducen las as llamadas identi-
dades del angulo doblee identidades del angulo mitad. Estos se enuncian en
el siguiente teorema:
2.2.8. Teorema. Si R, entonces:
1. cos2 = cos2 sin2
2. cos2 = 2 cos2 1
3. cos2 = 1 2sin2
4. sin2= 2 sin cos
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
76/314
70
5. sin2 = 1cos22
6. cos2 = 1+cos 22
7. cos2 2 = 1+cos
2
8. sin2 2 = 1cos
2 .
Demostracion: (1) Para comprobar esta propiedad, se descompone 2= + , y
se aplica la propiedad (2) de la proposicion 2.2.6. As,
cos2= cos(+ ) = cos cos sin sin = cos2 sin2 .
(2) Se deja como ejercicio para el lector.
(3) Se desprende inmediatamente del primer inciso. Esto es,
cos2 = cos2
sin2 = 1
sin2
sin2 = 1
2sin2 .
(4) Se comprueba igual que el inciso (1), es decir, 2= + y se aplica la igualdad
(3) de la proposicion 2.2.6.
(5) Para la comprobacion de este inciso, se observa que
sin2 = 1 cos2 = 1 (cos 2+ sin2 ) = 1 cos2 sin2 .
Luego, se tiene que 2 sin2 = 1 cos2. Por lo tanto,
sin2 =1 cos2
2 .
(6) Se deja como ejercicio.
(7) Se aplica el inciso (6), sustituyendo en por 2 .
(8) Se aplica el inciso (5), sustituyendo en por 2 .
Tambien se puede obtener un resultado para el angulo doble y mitad en la fun-
cion tangente. Se observa que
2tan
1 tan2 =
2sincos
1 sin2 cos2 =
2sin cos
cos2 sin2 cos2
= 2sin cos
cos2 sin2 =
sin2
cos2= tan 2.
8/14/2019 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Rafael Torres Simn
77/314
RAZONES TRIGONOMETRICAS EN UN TRIANGULO RECTANGULO 71
Por lo tanto,
tan2= 2tan
1 tan2 .Por otra parte, no es difcil comprobar que
tan2
2=
1 cos 1 + cos
.
Existen tres identidades fundamentales, de las cuales, la primera ya se haba
mencionado. Estas son:
sin2 + cos2 = 1.
sec2 = 1 + tan2 .
csc2 = 1 + cot2 .
La segunda identidad fundamental es cierta, puesto que
sec2 = 1
cos2
=cos2 + sin2
cos2
= 1 +sin2
cos2
= 1 + tan2 .
De la misma forma se comprueba la tercera identidad fundamental, y se deja