funciones_clase4

5/9/2018 funciones_clase4 - slidepdf.com

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Ing. F. Buffo Análisis Matemático I 1

Modelos matemáticosModelos matemáticosModelos matemáticosModelos matemáticos

Para plantear y resolver un problema real es necesario:

halla r un modelo matemático que lo d esc r i b a

r esol v e r el pr o b lema matemático ,

inte rpr eta r la r es p uesta matemática o b teni d a en

té r minos d el pr o b lema r eal .




Para construir el modelo matemático Stewardt sugiere los

siguientes pasos :

Lee r d eteni d amente el enuncia d o .

S i es p osi b le hace r un d i b ujo .

U tiliza r let r as p a r a sim b oliza r las v a r ia b les d el pr o b lema . E s

con v eniente que la d enominación esté r elaciona d a con la

canti d a d que r e pr esenta . P o r ejem p lo : m : masa, T: tem p e r atu r a,

t : tiem p o, h : altu r a, V: v olumen, A: á r ea, P: p e rí met r o, etc .E tiqueta r el nom br e d e las v a r ia b les al d i b ujo .




I n d ica r qué canti d a d es son d atos y cuáles son las

v a r ia b les d e p en d ientes e in d e p en d ientes .

E sta b lece r las funciones que r elacionan las v a r ia b les d e p en d ientes y las in d e p en d ientes, p o r ejem p lo le y es

d e fí sica, d e qu í mica, r elaciones geomét r icas, etc .

E sta b lece r el d ominio d el pr o b lema .




E j emplos:

1) Se desea construir una ca j a abierta, sin tapa, utiliz ando una h o j acuadrada de cartó n de 1m d e la d o r eco r tan d o p a r a ello cua dr a d os

iguales en las cuat r o esquinas y d o b lan d o los la d os r esultantes .

E sc r i b i r el v olumen d e la caja en función d el la d o d el cua dr a d o que

se r eco r ta .

D ato : m1L !

V a r ia b le :

x: la d o d el cua dr a d o que se r eco r ta .

y: la d o d e la b ase d e la caja .

x

x

yL

L




La base de la ca j a resulta ser un cuadrado de lado y=L-2x y la

altura de la ca j a es x.

Para este problema el dominio se obtiene a partir de las inecuaciones:

.2

xx20x2

,0x

"

"

D ominio d el pr o b lema : ¹ º

¸©ª

¨

2

1,

.x)x(h,)x21()x( A 2 !!

E l v olumen d e la caja es el á r ea d e la su p e rficie d e la b ase p o r

la altu r a .

x)x21()x(V 2!E l mo d elo matemático es :




2) Se desea construir una pileta de base cuadrada, cuya capacidad

es de 256 . E sc r i b i r el á r ea que co rr es p on d e al r e v estimiento d el fon d o y las p a r e d es en función d e una d e las d imensiones d e la

p ileta .

3

m

D ato : 3m25V !

V a r ia b les : x: la d o d e la b ase

y: altu r a d e la p ileta

2

2

x

25yyx25 !!

A p a r ti r d el v olumen d e la p ileta es p osi b le r elaciona r x e y.

x

x

y




El área de la superficie a revestir es la superficie del fondo y de las

cuatro paredes

x

1 24x)x( A 2!

P a r a este pr o b lema el d ominio es ),( g



Ing. F. Buffo Análisis Matemático I8

3) Se desea construir una canaleta h oriz ontal con una planch a de

1m de largo y 18 cm d e ancho d o b lan d o v e r ticalmente hacia a rr i b a

p a r tes iguales d e am b os costa d os . C alcula r la ca p aci d a d d e la

canaleta en función d e la canti d a d que se d o b la .

D ato : m18.0a,m1L !!

V a r ia b les :

x: altu r a d e la canaleta .

y: ancho d e la b ase d e la canaleta

x

L

La ca p aci d a d d e la canaleta está r elaciona d a con el v olumen

que es ca p az d e r etene r.



Ing. F. Buffo Análisis Matemático I9

x)x218.0()x(V

1.y.x)x(V

!

!

E l v olumen es el á r ea d e la sección t r ans v e r sal d e la canaleta

p o r el la r go que ten dr á la misma .

sección t r ans v e r sal

x

x218.y !

D ominio d el pr o b lema : )9.,(

9.x0x218.0

0x

"

"

P a r a este pr o b lema el d ominio se o b tiene a p a r ti r d e las inecuaciones :




4) Se desea construir un canaló n para la lluvia a partir de una

lámina metálica q ue tiene 30 cm d e ancho, d o b lan d o la te r ce r a

p a r te d e ca d a la d o hasta que fo r me un ángulo . I n d ique la

ex pr esión p a r a la ca p aci d a d d el canalón en función d e .

U

U

D atos : L: ancho d e la cha p a , L=30cm

V a r ia b les :

: ángulo d e inclinación

h : altu r a d e la canaleta

b : b ase d el t r iángulo d e altu r a h e

hi p otenusa 10.

U

10

U U

3

L

3

L

3

L

La sección t r ans v e r sal d e la canaleta es un t r a p ecio .

h

b

1010




El área de la secció n es la suma de las áreas del rectángulo y de

los dos triángulo mostrados en la figura.

Observa que no es necesario saber las expresiones de lasáreas de todas las figuras geométricas planas, só lo se

utilizan las del triángulo, el rectángulo y el círculo.

bhh10 A2

bh

2

bhh10 A

!

!

¿Cómo relacionamos las variables dependientes

h y b con la variable independiente ? U




Dominio del problema:

¹ º

¸©ª

¨ T

2,0

)cos1(sen100)( A

cos10sen10sen10.10)( A

U U! U

U U U! U

b

10

ULos ángulos

alternos internosentre paralelas

son iguales

Los ángulosalternos internosentre paralelas

son iguales

U

.c s1010

c s

,s1010

s

U!! U

U!! U




5) Se desea elaborar un cono para beber a partir de un troz o

circular de papel de radio R. Para ello se recorta un sector

circular determinado por un ángulo y se unen los bordes

OA y OB. Encuentre la ex presió n del volumen del cono en funció n

del ángulo .Datos: R: radio del círculo de papel (generatriz

del cono).

E

V a r ia b les :

r : r a d io d e la b ase d el cono d e p a p el .h : altu r a d el cono

: ángulo d el secto r ci r cula r que se co r ta .E

E

O

A

R

r

A

O B

R

E

h




El perímetro de la base del cono es

El perímetro del arco del sector circular de papel es

r 2T

R)2( ET

T

ET!T!ET

2

R)2(r r 2R)2(

E l v olumen d el cono es :

3hr V

2

T!

¿De qué manera se pueden vincular las variables dependientes r y h con

la variable independiente ?E

O b se rv a que el p e rí met r o d e la b ase d el cono es igual a la me d i d a d el a r co d el secto r ci r cula r d e p a p el .

E

R




A partir del triángulo rectángulo marcado en el cono de la primer

figura se obtiene la relació n entre h y r.

R

r

h

22222r RhRr h !!

TT

ETETTET!E

T

T

ETTET

!E

T

T

ETET

!E

212

)(R)2()(V

12

)2(R)2(

)(V

12

R)2(RR)2(

)(V

2

22232

2

2

2232

2

2

22222

E l v olumen d el cono en función d e es :

3

32

24

)4(R)2()(V

T

ETEET!E

E

D ominio d el pr o b lema :

T2,0

3

r Rr

V

3

hr V

222

2

T

!

T!

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