Fundamentos de valor

del dinero en el tiempo

Dr. Jos Luis Esparza A.

Fundamentos bsicos

Valor del Dinero en el tiempo

En la prctica, siempre es posible invertir eldinero, ya sea en un banco, en inversiones oinclusive prestrselo a algn amigo.

En cualquiera de los casos el dinero podr generarms dinero (intereses).

Esto lleva a concluir que el dinero tiene distintovalor en el tiempo, o que un peso de hoy tienemayor valor a un peso de maana.

Hoy, 0 nPeriodo del tiempo 1, 2, 3, 4, 5 , 6.

$$$ $$$

Factores que determinan el monto del

inters

El inters acumulado (I) por un prstamo, sinpagos intermedios, es funcin de cuatro factores:

1.- Capital o Principal (C): Suma de dinerooriginalmente prestado o pedido en prstamo.

2.- Tiempo (t): Es el numero de unidades de tiempopara el cual se calculan los intereses.

Factores que determinan el monto del

inters

3.- Tasa de inters (i): Es el inters por unidad de tiempo, expresado como tanto por ciento o tanto por uno del capital.

4.- La relacin entre estos tres factores mencionados (C,t,i) y el inters (I), es siempre directa.

Modalidad del Inters

La cuanta del inters va a depender si laoperacin es a inters simple o ainters compuesto. Estas son dosmodalidades de clculo que se diferencianen la base de aplicacin de la tasa deinters.

Inters Simple

Definicin:

Cuando nicamente el capital gana inters portodo el tiempo que dura la transaccin, al intersvencido al final del plazo se le conoce comointers simple. El inters simple sobre el capitalC, por t aos a la tasa i, esta dado por laexpresin:

I= C*i*t

Inters Simple

En este mtodo, la base de clculocorresponde al capital inicial otorgado enprstamo. Los intereses que se generan nose transforman en capital, por tal motivo,los intereses resultantes para los distintosperiodos de tiempo son iguales.

Monto a Inters Simple

El monto de una cantidad ( M ) a una fechadada, corresponde al capital inicial ms losintereses acumulados a esa fecha, es decir:

M = C + I

M = C *( 1 + i*n )

Ejemplo:

Si depositas $200,000 al 10% anual, durante unperiodo de 3 aos.

El inters para un ao lo obtenemos de lasiguiente manera:I = 200,000 x 0.10 x 1 = $ 20,000Si al capital de $200,000 le sumamos losintereses simples acumulados por tres aos($60,000), obtenemos un monto de $260,000.

Aplicando la frmula de monto a inters simple:M = C ( 1 + i*n )M = $ 200,000 ( 1 + 0.10*3 )M = $ 260,000

Inters Compuesto

Esta modalidad de clculo de intersconsiste, en que el inters que genera elcapital para un periodo de tiempo secapitaliza, es decir, se trasforma en capital.Por lo tanto, para el periodo siguiente, elcapital relevante ser el capital inicial ms elinters resultante del primer periodo,generando con ello, un inters mayor en elsegundo periodo, el cual tambin secapitaliza.

Operaciones a Inters Compuesto

Como hemos visto anteriormente, hablamos deInters Compuesto, cuando los intereses secapitalizan, cuando el capital relevante para cadaperiodo de uso del dinero es distinto(generalmente mayor, producto de lacapitalizacin de los intereses), y cuando losintereses resultantes, tambin son mayores.

En esta modalidad de clculo de inters existenalgunas expresiones relacionadas, tales como:

Operaciones a Inters Compuesto

Capitalizacin de intereses: Es el proceso deagregar a un capital, los intereses simples de losperiodos de uso del dinero, entre la fecha en quese form ese capital y la fecha elegida paraagregar intereses.

Periodo de capitalizacin: Es el intervalo detiempo convenido para capitalizar los intereses(meses, trimestres, semestres, aos, etc.).

Inters Compuesto

Supongamos que el ejercicio anterior, se pact a inters

compuesto.

$ 200,000 220,000 242,000 266,200

|______________|_______________|______________|

0 I 1 = 20,000 1 I 2 = 22,000 2 I 3 = 24,200 3 aos

Inters Compuesto

PERIODO CAPITAL INTERES (I) CAPITAL INICIAL (C) C x i ACUMULADO

1 $ 200,000 $20,000 $ 220,000

2 $ 220,000 $22,000 $ 242,000

3 $ 242,000 $24,200 $ 266,200

Operaciones a Inters Compuesto

Tasa de inters compuesto: Es la tasa deinters por periodo de capitalizacin

Frecuencia de capitalizacin: Tambinllamado periodo de capitalizacin o deconversin. Es el nmero de veces en que secapitalizan los intereses en el tiempo de uso deldinero.

Basmonos en el siguiente ejemplo paracomprender el concepto de inters compuesto.

Ejemplo:

Un prstamo por $120,000 a tres aos de plazo,otorgado a una tasa de inters del 18% anual,con capitalizacin anual. Identifica :

1.- Tiempo de uso del dinero

2.- Perodo de capitalizacin

3.- Frecuencia de capitalizacin

FRMULAS INTERS COMPUESTO

En la prctica, cada vez es menos usual encontrar laaplicacin de estos conceptos con la frmula:

MC= C (1 + i )n

Y ms frecuente su manejo con la frmula:

VF= VP (1 + i )n o VF= VP/(1 + i )-n

En donde el monto compuesto se transforma en valorfuturo y el capital en valor presente.

A partir de esta frmula se obtiene la de valor presente:

VP= VF/ (1 + i )n o VP= VF (1 + i )-n

FRMULAS TASAS INTERS

Tnom= Tasa nominalTnom= (Tef*360)/n

Tef= Tasa efectivaTef= (Tnom*n)/360

Tefa= Tasa efectiva anualTefa= [(1+Tef )360/n -1]*100

Teq= Tasa equivalente Teq= [(1+(Tnom*n/360))m/n -1]*(360/m)

n = nmero de das del periodom = nmero de das del plazo final

FRMULAS TASAS DE INTERS

FRMULA GENRICA PARA TASAS EFECTIVAS CUANDO CAMBIAN DE PLAZO

Tef= [(1+Tef)m/n -1]*100

Tef= tasa efectiva inicialm= das plazo final o metan= das plazo inicial

Ejemplo de tasas equivalentes:

Determinar la tasa anual equivalente de uninstrumento de inversin cuya tasa nominal es del30% capitalizable cada trimestre, a periodosbimestrales. Realizar la comprobacin, considerandoque el valor actual del depsito es de $1,000 a 2aos.

Solucin de tasas equivalentes:

Determinar la tasa anual equivalente de uninstrumento cuya tasa nominal es del 30%capitalizable cada trimestre, a periodos bimestrales.

Teq=((1+((0.30*90)/360)60/90-1)*(360/60)= 29.64%

Comprobacin (Ejemplo 1,000 a 2 aos):

VF= 1,000*(1+((0.30*90)/360)8= 1,783

VF= 1,000*(1+((0.29.64*60)/360)12= 1,783

ANUALIDADES

Cantidad igual que se presenta en formaconsecutiva de manera peridica.

Pueden darse al principio de cada periodo y sedenominan anticipadas (pagos de renta aprincipio de periodo, depsitos en un fondo deahorro).

Pueden darse al final de cada periodo y sedenominan vencidas (pagos prstamobancario, compra de autos, casas, etc.).

Las anualidades pueden referirse al valorpresente o al valor futuro.

FRMULAS DE ANUALIDADES

Anualidades anticipadas:

VP= A 1- (1+i)-n (1 + i )

i

A= VP i 1

1- (1+i)-n ( 1 + i )

VF= A (1+i)n - 1 (1 + i )

i

A= VF i 1

(1+i)n - 1 ( 1 + i )

VP= Valor actual o presente

VF= Valor futuro

A= Anualidad o Pago

i= Tasa de inters

n= Nm. Periodos

FRMULAS DE ANUALIDADES

Anualidades vencidas:

VP= A 1- (1+i)-n

i

A= VP i

1- (1+i)-n

VF= A (1+i)n - 1

i

A= VF i

(1+i)n - 1

VP= Valor actual o presente

VF= Valor futuro

A= Anualidad o Pago

i= Tasa de inters

n= Nm. Periodos

Ejemplo de anualidades:

Una empresa negocia un plan de reestructuracin dedeuda por $200,000 a pagar en un plazo de 10 aoscon pagos mensuales iguales al final del mes con unatasa anual de 18%. Determinar el valor de los pagos ysu tabla de amortizacin respectiva.

Con los datos del ejercicio anterior, pero con pagos alinicio del periodo, determinar el valor de lamensualidad.

Solucin de anualidades:

Una empresa negocia un plan de reestructuracinpor $200,000 a pagar en un plazo de 10 aos conpagos mensuales iguales al final del mes con unatasa anual de 18%. Determinar el valor de los pagos.

A=VP*(i/1-(1+i)-n)= 3,603.70

Con los datos del ejercicio anterior, pero con pagos alinicio del periodo, determinar el valor de lamensualidad.

A=VP*(i/1-(1+i)-n)*1/(1+i)= 3,550.45

Solucin de anualidades:

Tabla de amortizacin anualidad vencida a 10 aoscon pagos mensuales:

n Saldoinicial

(SI)

Intereses(i=Tef*SI)

Capital(C=A-i)

Pago(A)

Saldo finalSF=SI-C

1 200,000.00 3,000.00 603.70 3,603.70 199,396.30

2 199,396.30 2,990.94 612.76 3,603.70 198,783.54

3 198,783.54 2,981.75 621.95 3,603.70 198,161.60

. . . . . .

. . . . . .

119 7,049.70 105.75 3,497.95 3,603.70 3,551.74

120 3,551.74 53.28 3,550.42 3,603.70 0.00