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OPERADORES EN MECNICA CUNTICA. SEGUNDO POSTULADOOPERADORES. Un operador es una regla u operacin matemtica que aplicada a una funcin perteneciente a un espacio vectorial la transforma en otra del mismo espacio. Por ejemplo, un operador como transforma una funcin en su primera derivada as: . Otro ejemplo es el operador gradiente (), ya que al multiplicarlo por una funcin vectorial indica la direccin en la cual al campo de dicha funcin varia ms rpidamente as: = () ) .No hay que confundir esta operacin con el gradiente de divergencia, ya que esta se denota con un producto punto escalar entre el operador nabla ( ) y el campo. Si el operador transforma a la funcin en una funcin se denota de la siguiente manera: . En los operadores se identifican algunas operaciones como: Suma de operadores. Est definida por:(De este modo, la suma de operadores hereda las propiedades de la suma de funciones: conmutativa y asociativa.Ejemplo: ( .Para la resta sucede lo mismo: Producto de operadores. Se define por:()=)La notacin significa que primero aplicamos el operador a la funcin y as generar la nueva funcin, luego a esa nueva funcin se le aplica el operador y entonces se genera otra funcin. En general, el producto de operadores no es conmutativo ya que al cambiar el orden de los operadores y aplicarlos en el orden antes mencionado las funciones generadas en cada paso sern diferentes. Ejemplo:()=) Pero este producto siempre es asociativo:

El conmutador de dos operadores lineales es un nuevo operador definido por la diferencia de producto de esos dos operadores :[

Los operadores y conmutan.Ejemplo. Compruebe si conmutan los operadores y. Calcule el conmutador [, /x]. Solucin:( ) f(x) = x [a]( ) f(x)= [b] [a] [b] = (-1) 0 [ ]= -1 ( no conmutan ) Dos operadores son idnticos si cuando actan sobre cualquier vector dan el mismo resultado: si y solo si Valores propios. Para explicar esta operacin, se debe suponer que el efecto que hace un operador cualquiera a una funcin produce una multiplicacin de dicha funcin por una constante k. Se dice, que es una funcin propia de con un valor propio k, dicha funcin no debe ser 0, ya que aunque pueda anularse en algunos puntos, no lo har en todos ellos. Entonces:

El cuadrado de un operador est definido por . Ejemplo:

SEGUNDO POSTULADO.A toda magnitud fsica A medible sobre un sistema fsico se le puede asociar un operador , ha de ser un observable. Un observable es una propiedad que puede ser determinada (observada) por algunas operaciones matemticas.Cada observable en Mecnica Clsica tiene asociado un operador en Mecnica Cuntica que es lineal y hermtico. OPERADORES LINEALES.Un operador es lineal si conmuta con escalares y obedece a la ley distributiva:|OPERADOR HERMITICO.Un operador lineal se dice que es hermtico si es igual a su adjunto o conjugado . En los operadores hermticos, sus valores propios son reales. El operador conjugado se define por la condicin: [1]Las funciones establecidas ( ) que deben cumplir las condiciones de divergencia de las integrales, tambin deben cumplir ciertas condiciones de contorno que hace que las funciones se anulen en el infinito.

Ejemplo: determinar el operador conjugado del operador derivacin .Solucin: Suponiendo que las funciones se anulan en el infinito, e integrando la ecuacin [a], se obtiene: Se encuentra que , entonces concluimos que , es decir el operador de derivacin no es autoconjugado. Pero si se toma como operador el operador , es fcil ver que este operador es hermtico. En efecto, al integrar se tiene:

Y este operador ( cumple la condicin y es hermtico.Las funciones propias de los operadores hermticos son ortogonales, es decir, forman ngulos rectos. En un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores ( son ortogonales si el producto escalar de [m, n] es cero, es decir, m es perpendicular a n.

(Condicin de normalizacin) (Condicin de ortogonalidad)Las funciones propias de los operadores hermticos forman un conjunto completo. Es decir, una funcin de estado no propio de ese operador, puede expresarse como combinacin lineal de sus funciones propias. (Principio de superposicin de estados)

OPERDORES EN MECNICA CUNTICA. En mecnica cuntica a cada propiedad fsica de un sistema le corresponde un operador. Dentro de esos operadores podemos encontrar el operador de posicin, el operador de momento, el operador hamiltoniano y el operador laplaciano.El operador de posicin est representado por y el operador que corresponde a que hace referencia a la componente x del momento de un partcula se describe como y sus correspondientes para

es el operador mecano-cuntico para la propiedad e . El operador que corresponde a la coordenada en x de una partcula es la multiplicacin por x, y el operador que corresponde a siendo una funcin cualquiera..Para encontrar el operador de cualquier propiedad fsica, se escribe la expresin cotidiana para dicha propiedad en funcin de sus coordenadas cartesianas y sus momentos correspondientes y se remplazan las coordenadas y los momentos por operadores; por ejemplo: la energa de una partcula ya que esta se expresa como la suma de su energa cintica y su energa potencial.

Para expresar E como funcin de los momentos y las coordenadas tenemos en cuenta que , entonces:

La expresin anterior en funcin de las coordenadas y los momentos se denomina hamiltoniano, H. Al sustituir por un operador las componentes y V se obtiene el operador de energa u operador Hamiltoniano, as:

Con el fin de minimizar la escritura encontramos el operador laplaciano (delta cuadrado), ya que , y as el operador hamiltoniano escrito de forma corta ser:

Recordando q el signo V va multiplicado por x (posicin) visto en ecuaciones anteriores.Ejemplo: una partcula de masa se mueve en 1D con velocidad . Su energa cintica clsica ser . El operador cuntico ser:

Generalizando al movimiento de una partcula en 3D.

REGLAS PARA LA CONSTRUCCION DE OPERADORES (SIMPLES): Se escribe la magnitud clsica empleando coordenadas de posicin cartesiana( x, y, z), y componentes cartesianas de momento lineal (Px, Py, Pz). La posicin y momento se convierten en sus operadores cunticos Si aparece el tiempo , este es un parmetro y no una variable dinmica. Los operadores se convierten al sistema de coordenadas ms apropiado, ya sean cilndricas, esfricas, entre otras segn las necesidades especficas.A continuacin se muestran ejemplos de otros operadores:Operador impulso = Operador de energa cintica:

En conclusin, un operador es un operacin matemtica que aplicada a una funcin la convierte en otra. Hay operadores lineales y Hermticos, entre ellos se encuentran el operador gradiente, el operador de posicin, el operador de energa cintica, etc. Cada operador ha de ser un observable, es decir, que puede ser determinado (observado) por algunas operaciones matemticas.

BIBLIOGRAFIA. Ball W. David. Fisicoqumica. International Thomson editores. Mxico D.F. 2004. Pg. 273 306. Daniel T. Gillespie. Introduccin a la mecnica cuntica. Editorial Revert S.A. 2002. Pg. 39 42. B. G. Levich. Fsica Terica - Mecnica Cuntica. Editorial Revert S.A. 2003. Pg. 61 72. Luis de la Pea. Introduccin a la Mecnica Cuntica. Ediciones cientfica universitarias. Universidad Nacional Autnoma de Mxico. 2006. Pg. 185 203.