MatrixDefenisi :

Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m x n) adalah :

a11 a12 a13 ….. A1nA = a21 a22 a23 ….. A2n

. . . ….. .am1 am2 am3 ….. Amn

atau sering ditulis dengan A = [aij].

Entry aij disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j. jika m=n maka matriks sering disebut dengan matriks bujursangkar (square matrix)

Contoh : Sebuah matriks yang berukuran 3 x 4:

2 5 0 6A = 8 7 5 4 3 1 1 8

Terdapat beberapa Matriks Khusus antaran lain: matriks diagonal, matriks identitas, dan matriks transpose.

I. Matriks Diagonaladalah matriks bujursangkar dengan aij = 0 untuk i<>j, seluruh elemen yang tidak terdapat pada posisi i<>j bernilai 0.Contoh :

1 0 0Matriks Diagonal berukuran 3x3 : 0 2 0

0 0 3

II. Matriks Identitas

yang dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1.Matriks 3x3: Matriks 4x4: 1 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0

0 0 01

III Matriks Segitiga atas/bawahmatriks jika elemen-elemen di atas/di bawah diagonal bernilai 0, yaitu aij = 0 jika i<j (i>j)Matriks Segitiga atas: Matriks Segitiga bawah :1 0 0 0 2 3 6 42 1 0 0 0 2 8 71 2 3 0 0 0 3 6

5 3 4 1 0 0 0 5

IV Matriks Transpose

Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom.

Misalkan A = [aij] berukuran mxn, maka transpose dari matriks A, ditulis A T adalah matriks nxm dalam hal ini jika A T = [bij] maka bij = aji untuk i=1,2,…,n dan j=1,2..

Contoh :

A = 1 2 3 A T = 1 4

4 6 3 2 6

3 3

V. Matriks Setangkup (symmetry)

A adalah matriks setangkup atau simetri jika A T = A, yaitu jika aij = aji untuk setiap I dan j. Contoh matiks yang setangkup :1 5 6 2 2 6 6 -45 7 0 4 6 3 7 36 0 3 -2 6 7 0 22 4 -2 6 -4 3 2 8

VI. Matriks 0/1 (zero-one)Matriks 0/1 adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1, banyak digunakan untuk merepresentasikan relasi keterhubunganContoh matriks 0/1: 0 1 1 0

1 0 1 00 0 0 0

Operasi Aritmetika MatriksOperasi yang terdapat dalam matriks adalah operasi penjumlahan dan

perkalian dua buah matriks, serta perkalian matriks dengan sebuah skalar.

1. Penjumlahan dua buah matriks

Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika ukuran keduanya sama. Misalkan A=[aij] dan B=[bij] yang masing-masing berukuran mxn. Jumlah A dan B, dilambangkan dengan A+B, menghasilkan matriks C = [cij] yang berukuran mxn, dalam hal ini cij = aij + bij, untuk setiap I dan j.

Contoh : Matriks A = 2 5 B = 5 3

1 4 2 0

Jumlah matriks A dan B = 2 5 + 5 3 = 7 8

1 4 2 0 3 4

2. Perkalian dua buah Matriks

Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.

Misalkan A = [aij] adalah matriks mxn dan B = [bij] adalah matriks nxp, maka perkalian A dan B, dilambangkan dengan AB, menghasilkan matriks C = [cij] yang berukuran mxp,

dimana nilai

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j+ …….. + ainbnj =

Sifat-sifat operasi perkalian matriks :

1.Perkalian matriks tidak komutatif, yaitu AB ≠ BA.

2. Berlaku hukum assosiatif (A*B)*C = A*(B*C)

3. Hukum distributif berlaku pada operasi matriks:

(i) A*(B + C) = A*B + A*C (hukum distributif kiri)

(ii) (B + C)*A = B*A + C*A (hukum distributif kanan)

4. Perkalian matriks dengan matriks identitas I tidak mengubah matriks yaitu A.I = I.A = A

5. Perpangkatan matriks didefenisikan sebagai berikut :

A0 = I, A5 = A*A*A*A*A

6. A adalah matriks ortogonal jika A.AT = AT.A = I

Perkalian matriks dengan skalar.

Misalkan k adalah sebuah skalar. Perkalian matriks A dengan skalar k adalah mengalikan setiap elemen matriks dengan k.Contoh :

1 2 3 A = 5 6 9

2 6 7

Maka hasil perkalian dengan sebuah skalar misalkan skalar k = 5 akan menghasilkan matriks B.B = 5* A

= 5.1 5.2 5.3 = 5 10 15 5.5 5.6 5.9 25 30 45 5.2 5.6 5.7 10 30 35

Fungsi

Defenisi :

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan setiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua atau disebut daerah hasil fungsi.

Contoh :

• 1• 2• 3

• a• b• c

A BB = f(A), merupakan fungsi yang memetakan satu nilai A ke B

Contoh berikut bukan merupakan sebuah fungsi, karena tidak memetakan 1-1

Notasi fungsi, menggunakan huruf tunggal seperti f atau g atau F.f(x), dibaca “f dari x” atau “f pada x”, menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x

Contoh: f(x) = x² + 3 f(1) = 1² + 3 = 4

• 1• 2• 3

• a• b• c

Contoh :

Untuk f(x) = x² + 5x, sederhanakan :a.f(5), b. f(-4), c f(a), d. f(a+h) e. f(a+h) – f(h)

Penyelesaian :a. f(5) = 5² + 5.5 = 25 + 25 = 50b. f(-4) = (-4)² + 5.-4 = 16 - 20 = -4c. f(a) = a² + 5ad. f(a+h) = (a+h)² + 5(a+h)

= a² + 2ah + h² + 5a + 5h= a² + 2ah + 5a + h² + 5h

e. f(a+h) – f(h) = (a+h)² + 5(a+h) - (h² + 5h)= a² + 2ah + 5a + h² + 5h - h² - 5h= a² + 2ah + 5a

Daerah Asal dan Daerah Hasil

Daerah asal merupakan himpunan elemen-elemen yang kepadanya fungsi memberikan nilai.

Daerah hasil merupakan himpunan nilai-nilai yang diperoleh dari padanan terhadap fungsi.

Contoh : F(x) = -2x² + 3

Misalkan daerah asal = {0 ,1, 2, 3} maka daerah hasil akan diperoleh = {3, 1, -5, -15}.

Grafik Fungsi

Bila daerah hasil dari suatu fungsi merupakan bilangan real maka grafiknya dapat digambarkan dalam koordinat empat bidang sumbu x dan sumbu y.

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil, Jika f(-x) = f(x), maka grafik simetris terhadap sumbu y, disebut

dengan fungsi genap, jumlah dari pangkat-pangkat genap x adalah genap.

contoh : f(x) = x² + 3 Jika f(-x) = -f(x), grafik simetris terhadap titik asal, sering disebut

fungsi ganjil, jumlah dari pangkat-pangkat ganjil x adalah ganjil. contoh : f(x) = x + 3.

Operasi pada Fungsi

Operasi yang ada pada bilangan, berlaku juga pada fungsi, contoh, bilangan a + b, maka pada fungsi f + g.

Contoh : f(x) = x² + 3; g(x) = 1/x -5a. (f+g)(x) = f(x) + g(x) = x² + 3 + 1/x – 5b. (f-g)(x) = f(x) – g(x) = x² + 3 – (1/x – 5)c. (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x² + 3) . (1/x – 5)

= x - 5 x² + 3/x -15= - 5 x² + x + 3/x -15

d. (f/g)(x) = f(x)/g(x) = (x² + 3)/(1/x – 5)=

Komposisi Fungsi

Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan g kemudian bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), hal ini sering disebut menyusun g dan f.

Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g dengan f, yang dinyatakan oleh ( g o f ), atau ( g o f )(x) = g(f(x))

Contoh : f(x) = x + 1, g(x) = 1/x – 5 a. (g o f)(x) = g(f(x))

= g(x+1) = 1/(x+1) – 5b. (f o g)(x) = f(g(x))

= f(1/x – 5) = 1/x – 5 +1 = 1/x - 4

Fungsi Trigonometri

Sifat-sifat Dasar Sinus dan Kosinus

Isin tI ≤ 1 Icos tI ≤ 1 Sin(t + 2p) = sin t Cos(t + 2p) = cos t Sin(-t) = -sin(t) Cos(-t) = cos t Sin(p/2 – t) = cos t Cos(p/2 – t) = sin t Sin²t + cos²t = 1