FYZIKA - people.tuke.skpeople.tuke.sk/dusan.olcak/Fyzika.pdf · 6 KAPITOLA 1. O-G-F:MECHANICKY´ POHYB TUHE´HO TELESA nom pohybe sa vsˇetky body telesa pohybuju´ rovnaky´m spoˆsobom,

FYZIKA

DUSAN OLCAK - ZUZANA GIBOVA - OL’GA FRICOVA

Aprıl 2006

2

Obsah

1 o-g-f:Mechanicky pohyb tuheho telesa 51.1 Kinematika hmotneho bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Rychlost’a zrychlenie pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Uhlova rychlost’a uhlove zrychlenie . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Tangencialne a normalove zrychlenie . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Dynamika hmotneho bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.1 Newtonove zakony mechaniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Niektore typy sıl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3 Pohybove rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.4 Pohybova rovnica pri otacavom pohybe. Moment sily a moment

hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.5 Silove posobenie pri relatıvnom pohybe . . . . . . . . . . . . . . 351.2.6 Hodnotenie posobenia sily a jej ucinku . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3 Mechanicky pohyb sustavy hmotnych bodov . . . . . . . . . . . . . . . 461.3.1 Pohybove rovnice sustavy hmotnych bodov . . . . . . . . . . . 491.3.2 Zakony zachovania a podmienky rovnovahy . . . . . . . . . . . 51

1.4 Otacavy pohyb tuheho telesa okolo pevnej osi . . . . . . . . . . . . . . 521.4.1 Pohybova rovnica telesa rotujuceho okolo pevnej osi . . . . . . 521.4.2 Kyvadlovy pohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3

4 OBSAH

Kapitola 1

o-g-f:Mechanicky pohyb tuheho telesa

Vsetky hmotne objekty pocnuc takymi vel’kymi ako su napr., hviezdy a planety azpo mikroskopicke castice, akymi su aj atomy a molekuly, sa nachadzaju v neustalompohybe. Relatıvne najjednoduchsım z rozmanitych druhov pohybov vyskytujucich sav prırode je mechanicky pohyb, ktory sa prejavuje vzajomnymi zmenami poloh telies,resp. castıc. K takemu pohybu patrı napr. pohyb cloveka chodiaceho po zemi, pohybZeme vzhl’adom k Slnku, pohyb mechanizmov zlozenych z roznych sucastı a pod.

Mechanicky pohyb mozu vykonavat’objekty vsetkych skupenstiev. V tuhej latkesu atomy a molekuly v porovnanı s atomami a molekulami v kvapalnych a plynnychlatkach medzi sebou viazane podstatne vacsımi silami, preto sa pri mechanickompohybe tuheho telesa vsetky jeho casti pohybuju rovnakym sposobom. Mechanickypohyb telies je mozne popısat’jednoduchsie ako mechanicky pohyb kvapalın a plynov.Kvapaliny a plyny kvoli ich niektorym podobnym vlastnostiam oznacujeme spoloc-nym nazvom tekutiny. Casti tekutiny sa daju od seba relatıvne jednoducho oddelit’,preto pohyb tekutiny, ktory casto nazyvame prudenım, je mnohotvarnejsı.

Treba mat’na zreteli, ze atomy a molekuly sa v latkach pohybuju aj vtedy, ked’telesoje v pokoji, resp. tekutina neprudi. V tychto latkach sa chaoticky pohybuje obrovskypocet castıc s rozne vel’kymi rychlost’ami a v roznych smeroch. Pohyb uvazovanehosuboru castıc nepatrı medzi mechanicke pohyby a nazyva sa tepelny pohyb.

Telesa sa vplyvom vzajomneho posobenia s inymi telesami mozu deformovat’a mozu menit’ svoj pohybovy stav. Pre skumanie mechanickeho pohybu tuhych te-lies je vyhodne zaviest’ pojem dokonale tuheho telesa. Je to teleso, ktore za ziadnychokolnostı nemenı svoj tvar. To znamena, ze vplyvom posobenia inych telies sa neme-nia vzdialenosti medzi akymikol’vek dvoma casticami uvazovaneho telesa. Je zrejme,ze pojem dokonale tuheho telesa je abstrakcia. Existuje vsak mnoho prıpadov, ked’vplyvom posobiacej sily sa tvar telesa nemenı, alebo sa menı tak nepatrne, ze zmenamoze byt’zanedbatel’na a posobiaca sila sposobuje len zmenu pohyboveho stavu. Vtakych prıpadoch je vyhodne pohyb studovat’pomocou zakonov platnych pre pohybdokonale tuhych telies.

Pri opise pohybu telesa je potrebne specifikovat’pohyb kazdeho bodu telesa. Castosa stretavame s posuvnym (translacnym) a otacavym (rotacnym) pohybom. Pri translac-

5

6 KAPITOLA 1. O-G-F:MECHANICKY POHYB TUHEHO TELESA

nom pohybe sa vsetky body telesa pohybuju rovnakym sposobom, preto pri jehopopise stacı specifikovat’pohyb jedneho, l’ubovol’ne zvoleneho bodu telesa. Teleso sanachadza v rotacnom pohybe, ak trajektorie vsetkych jeho bodov su kruznice, ktorychstredy lezia na spolocnej priamke, ktora sa nazyva osou rotacie.

Pri mechanickom pohybe vzt’ahujeme polohu telesa k nejakemu inemu telesu,ktore mozno povazovat’za nepohyblive. Napr. pohyb vlaku vzt’ahujeme k zemskemupovrchu, pricom Zem v tomto prıpade povazujeme za nepohyblivu. Kvoli pohybuZeme okolo Slnka je pohyb vlaku vzhl’adom na Slnko iny, je zlozitejsı ako vzhl’adom nazemsky povrch. Vidıme, ze pohyb zavisı od telesa, vzhl’adom ku ktoremu jeho pohybvzt’ahujeme. Na zaklade uvedeneho prıkladu a aj d’alsıch prıkladov, ktore poznamezo skusenostı mozeme konstatovat’, ze pohyb telies vzhl’adom na rozne vzt’azne telesaje rozny. Hovorıme, ze pohyb ma relatıvnu povahu.

Pre skumanie pohybu telies je ucelne zaviest’ pojem hmotneho bodu, resp. castice.Budeme nım rozumiet’teleso, ktoreho rozmery mozno pri studovanom pohybe zaned-bat’vzhl’adom na ostatne rozmery. Prirodzene, taky prıstup je len abstrakciou, pretozev prırode ziadne hmotne body nejestvuju. Avsak v mechanike je mnoho problemovtakeho charakteru, pri ktorych tato abstrakcia je vel’mi uzitocna. Napr., pri skumanıpohybu Zeme okolo Slnka mozeme Zem povazovat’za hmotny bod. Na druhej strane,ak chceme vysvetlit’ prıcinu striedania dnı a nocı, musıme skumat’ otacavy pohybZeme okolo jej osi, pri ktorom rozmer Zeme nemozeme zanedbat’. Teda v niektorychproblemoch teleso moze byt’povazovane za hmotny bod bez rozmerov, kym v inychulohach taka abstrakcia nemoze byt’ urobena. Je zrejme, ze ak sa teleso nachadza vtranslacnom pohybe, namiesto pohybu telesa vzdy mozeme skumat’pohyb hmotnehobodu.

Pri studiu mechanickeho pohybu je potrebne charakterizovat’ pohyb telesa a vy-svetlit’ dovody, preco sa teleso pohybuje prave takym sposobom ako sa pohybuje.Prvym problemom, opisom pohybu, sa zaobera cast’mechaniky, ktora sa nazyva kine-matika a vysvetl’ovanım prıcin pohybu sa zaobera dynamika.

1.1 Kinematika hmotneho bodu

Polohu hmotneho bodu a aj jeho pohyb budeme vzt’ahovat’ vzhl’adom k nejakemuzvolenemu bodu O, ktory budeme nazyvat’ vzt’aznym bodom. Poloha l’ubovol’nehobodu A vzhl’adom na bod O je urcena polohovym vektorom r, ktoreho zaciatok jev bode O a koncovy bod v mieste A (obr. 1.1). Polohu je mozne urcit’ aj pomocoupravouhlych suradnıc x, y, z pravouhlej suradnicovej sustavy, ktorej zaciatok je vovzt’aznom bode O alebo pomocou sferickych suradnıc r, ϑ, ϕ . Z obr. 1.1 je zrejme, zeplatia vzt’ahy

r = xi + y j + zk, (1.1)

1.1. KINEMATIKA HMOTNEHO BODU 7

x = r sin ϑ cosϕ, (1.2a)y = r sin ϑ sinϕ, (1.2b)z = r cos ϑ, (1.2c)

kde i, j a k su jednotkove vektory v smere osı X, Y a Z. Z uvedenych rovnıc (1.1)a (1.2) vyplyva, ze urcenie polohy bodu pomocou polohoveho vektora r, alebo po-mocou pravouhlych suradnıc x, y, z, prıpadne sferickych suradnıc r, ϑ, ϕ je celkomrovnocenne. Pri riesenı konkretneho mechanickeho problemu vyberame taky sposoburcovania polohy, ktory poskytuje najjednoduchsie riesenie.

X

Z

Y

x

z

yk

i j

r A

u

j

O

Obrazok 1.1 Urcenie polohy hmotneho bodu po-mocou polohoveho vektora r, pravouhlych suradnıcx, y, z a sferickych suradnıc r, ϑ, ϕ.

Hmotny bod sa vzhl’adom navzt’azny bod pohybuje, ak vzhl’adomna tento bod menı svoju polohu. Ciara,ktoru hmotny bod opisuje pri svojompohybe je trajektoria pohybu vzhl’adomk vzt’aznemu bodu. Trajektoria pohybu,podobne ako aj draha, rychlost’, zrych-lenie a d’alsie parametre pohybu, zavisıod vol’by vzt’azneho bodu. Napr. telesopustene vo vlaku, ktory sa vzhl’adom kZemi pohybuje konstantnou rychlost’ou,sa vzhl’adom k vlaku pohybuje po zvis-lej priamke, avsak trajektoriou pohybuvzhl’adom k Zemi je krivka - parabola.Teda trajektoria pohybu je vzhl’adom kroznym vzt’aznym bodom rozna. O tra-

jektorii mozeme hovorit’ len v relatıvnom zmysle, t. j. ma zmysel o nej hovorit’ lenvtedy, ked’ ju vzt’ahujeme k nejakemu vzt’aznemu bodu. Dlzka vymedzeneho usekuna trajektorii je drahou pohybu hmotneho bodu.

Rovnicu, ktora urcuje polohu hmotneho bodu v l’ubovol’nom okamihu t nazyvamerovnicou trajektorie pohybu. Casovu zavislost’polohy hmotneho bodu mozeme vyjadrit’pomocou vektorovej rovnice

r = r(t), (1.3)

alebo pomocou troch skalarnych rovnıc

x = x(t), (1.4a)y = y(t), (1.4b)z = z(t), (1.4c)

ktore su s vektorovou rovnicou (1.3) rovnocenne. Je zrejme, ze rovnicu trajektorie jemozne urcit’aj pomocou casovej zavislosti sferickych suradnıc r, ϑ a ϕ.


1.1.1 Rychlost’a zrychlenie pohybu

Rychlost’pohybu

Z hl’adiska hodnotenia pohybu je potrebne poznat’, ako rychlo hmotny bod menı svojupolohu vzhl’adom k vzt’aznemu bodu O a ako rychlo hmotny bod prejde urcitu drahu.Uvazujme najprv o jednoduchsom prıpade, ked’hmotny bod sa pohybuje po priamke.Zvol’me si pravouhly suradnicovy system tak, aby os X bola totozna s uvazovanoutrajektoriou pohybu a vzt’azny bod O stotoznıme s pociatkom suradnıcoveho systemu(obr. 1.2).

o x1 x2X

Dx

Obrazok 1.2 Posunutie hmotneho bodu ∆x =x2 − x1 pri jeho pohybe po priamke v kladnomsmere osi X. Posunutie je vektor, ktoreho smer jeurceny algebraickym znamienkom ∆x.

Predpokladajme, ze hmotny bod sapohybuje v kladnom smere osi X. V oka-mihu t1 nech sa hmotny bod nachadza vmieste urcenom suradnicou x1 a neskor,v case t2, nech jeho suradnica je x2. Roz-diel ∆x = x2 − x1 budeme nazyvat’ po-sunutım hmotneho bodu, ktore sa usku-tocnilo za dobu ∆t = t2 − t1. V uvazova-nom prıpade posunutie je kladne, avsakak by sa hmotny bod pohyboval z miesta

x1 v opacnom smere, posunutie ∆x by bolo zaporne. Teda v prıpade pohybu hmotnehobodu po priamke znamienko posunutia urcuje smer pohybu.

V priebehu doby (casoveho intervalu) ∆t sa pohyb hmotneho bodu moze roznymsposobom menit’. Pomocou podielu

vx =∆x∆t

(1.5)

definujeme priemernu (strednu) rychlost’pohybu, pricom pomocou indexu x sme ozna-cili skutocnost’, ze pohyb hmotneho bodu sa uskutocnuje pozdlz osi X. Smer priemer-nej rychlosti vx je urceny smerom posunutia ∆x.

O

r1

r2

Ds

Dr

Obrazok 1.3 Posunutie hmotneho bodu ∆r =r2 − r1 pri krivociarom pohybe. ∆s je draha, ktoruhmotny bod presiel pri jeho posunutı o ∆r.

Vo vseobecnosti hmotny bod sa mozepohybovat’po l’ubovol’nej krivke nacha-dzajucej sa v rovine alebo v priestore.V okamihu t1 nech je poloha hmotnehobodu urcena polohovym vektorom r1 av okamihu t2 vektorom r2 (obr. 1.3). Po-sunutie hmotneho bodu za dobu ∆t jerozdiel ∆r = r2 − r1 a vektor priemernejrychlosti vp hmotneho bodu definujemepodielom

v =∆r∆t

. (1.6)

Draha ∆s prejdena pri krivociarompohybe sa na rozdiel od priamociareho pohybu nerovna vel’kosti posunutia |∆r|, t. j.


∆s 6= |∆r|. Preto priemerna rychlost’, ktoru definujeme vzt’ahom

v =∆s∆t

(1.7)

sa v prıpade krivociareho pohybu nerovna vel’kosti vektora rychlosti v, ktory sme de-finovali vzt’ahom (1.6). Treba si vsak uvedomit’, ze pomocou rov. 1.6 charakterizujemerychlost’zmeny polohy a pomocou rov. 1.7 charakterizujeme rychlost’zmeny drahy.

Smer a aj vel’kost’priemernej rychlosti v sa mozu znacne lısit’od smeru a vel’kostirychlosti v nejakom okamihu t, ktory sa nachadza medzi casmi t1 a t2. Podiel ∆r

∆t vdvoch dostatocne blızkych casovych okamihoch t1 a t2 priblizne urcuje smer pohybua aj vel’kost’ rychlosti v zvolenom okamihu t, a to tym presnejsie, cım je interval ∆tmensı. Preto rychlost’v v okamihu t, ktora sa nazyva okamzita rychlost’, sa vypocıta akolimita

v = lim∆t→0

∆r∆t

, (1.8)

ktorou je definovana prva derivacia polohoveho vektora r podl’a casu t, preto

v =drdt

. (1.9)

Vektor dr, ktory ma vyznam nekonecne maleho posunutia, budeme ho nazyvat’elementarnym posunutım, spada do smeru dotycnice ku trajektorii pohybu a jehovel’kost’|dr| je rovna elementarnej drahe ds.

O

rv

t

Obrazok 1.4 Smer rychlosti v v l’ubovol’nom bodetrajektorie je urceny dotycnicou k trajektorii a sme-rom pohybu hmotneho bodu.

Vektor okamzitej rychlosti mozemevyjadrit’v tvare

v =dsdt

τ , (1.10)

kdev =

dsdt

(1.11)

je vel’kost’okamzitej rychlosti a τ je jed-notkovy vektor urceny dotycnicou v da-nom bode trajektorie a smerom pohybu(obr. 1.4).

Ked’polohovy vektor r vyjadrıme po-mocou jeho zloziek, dostaneme rozklad

vektora rychlosti na zlozky

v =drdt

=ddt

(xi + y j + zk) = vxi + vy j + vzk , (1.12)

pricom pre zlozky rychlostı vx, vy a vz platia vzt’ahy

vx =dxdt

, vy =dydt

, vz =dzdt

. (1.13)


Absolutna hodnota vektora rychlosti sa vypocıta podl’a vzt’ahu

v =√

v2x + v2

y + v2z . (1.14)

Jednotkou rychlosti je 1ms−1.

Zrychlenie pohybu

Pocas pohybu hmotneho bodu moze rychlost’ menit’ bud’ svoju vel’kost’, bud’ svojsmer, alebo vel’kost’a aj smer. Casova zmena rychlosti je charakterizovana vektoromzrychlenia.

Predpokladajme, ze hmotny bod pohybujuci sa po zakrivenej trajektorii nadobudolv case t1 rychlost’v1 a v case t2 jeho rychlost’bola v2 (obr. 1.5).

O

r1

r2

v1

Dv

v1

v2

Obrazok 1.5 Graficke urcenie zmeny rychlostı∆v = v2 − v1 hmotneho bodu pri jeho posunutıo ∆r.

Teda za dobu ∆t = t2 − t1 hmotnybod zmenil svoju rychlost’o ∆v = v2 −v1. Priemerne zrychlenie pohybu a hmot-neho bodu je definovane podielom

a =∆v∆t

. (1.15)

Okamzite zrychlenie, t. j. zrychlenie vcase t, je definovane ako vektor

a = lim∆t→0

∆v∆t

=dvdt

(1.16)

a ked’ze v = drdt zrychlenie

a =dvdt

=d2rdt2 . (1.17)

Podobne ako v prıpade vektora rychlosti aj zrychlenie a mozeme rozlozit’na zlozky:

a =dvx

dti +dvy

dtj +dvz

dtk = axi + ay j + azk , (1.18)

pricom pre zlozky ax, ay, az platı

ax =dvx

dt=d2xdt2 , ay =

dvy

dt=d2ydt2 , az =

dvz

dt=d2zdt2 . (1.19)

Absolutnu hodnotu vektora zrychlenia mozeme vyjadrit’podl’a vzt’ahu

a =√

a2x + a2

y + a2z . (1.20)


Jednotkou zrychlenia je 1ms−2.Zo vzt’ahu (1.9) mozeme urcit’polohu hmotneho bodu v l’ubovol’nom case t. Jed-

noduchou upravou a integraciou dostaneme

r =∫

vdt + r0 . (1.21)

Podobnym sposobom mozeme vypocıtat’ rychlost’ castice v l’ubovol’nom case t. Zdefinıcie zrychlenia (1.17) vyplyva pre rychlost’vzt’ah

v =∫

adt + v0 . (1.22)

Vektory r0 a v0 v rov. (1.21) a (1.22) maju vyznam pociatocneho polohoveho vektoraa pociatocnej rychlosti, t. j. su rovne velicinam r a v v nejakom okamihu t = t0, castot0 = 0.

Pouzitım rovnice (1.11) pre vypocet zavislosti drahy od casu dostaneme

s =∫

vdt + s0, (1.23)

kde s0 ma vyznam pociatocnej drahy. Pri vhodnej vol’be pociatocnych podmienokmoze byt’s0 = 0.

Priamociary pohyb hmotneho bodu

V prıpade priamociareho pohybu vektory v a a lezia v tej istej priamke, preto smerjednotlivych vektorov mozeme vyjadrit’pomocou znamienka a namiesto vektorovejrovnice (1.22) mozeme pısat’skalarnu rovnicu

v =∫

adt + v0 . (1.24)

Priamociary pohyb, pri ktorom a = 0 nazyvame rovnomerny priamociary pohyb. Zrovnıc (1.23) a (1.24) je zrejme, ze draha a rychlost’ pri tomto pohybe sa vypocıtajupodl’a vzt’ahov

s = vt a v = v0 = konst. (1.25)Priamociary pohyb, pri ktorom a = konst 6= 0 nazyvame rovnomerne zrychleny pria-mociary pohyb. Z rovnıc (1.23) a (1.24) vyplyvaju pre drahu a rychlost’ rovnomernezrychleneho pohybu vzt’ahy

s =12

at2 + v0t a v = at + v0 . (1.26)

Z rozboru druhej z rovnıc (1.26) vyplyva, ze ak rychlost’ a zrychlenie maju rovnakeznamienko, hmotny bod rovnomerne zvysuje svoju rychlost’ (pohyb je zrychleny)a v opacnom prıpade pohyb hmotneho bodu je spomaleny.

Specialnym prıpadom rovnomerne zrychleneho pohybu je vol’ny pad, pri ktoromtelesa vyskytujuce sa v blızkosti zemskeho povrchu padaju s konstantnym tiazovymzrychlenım g. Pri skumanı vol’neho padu mozeme pouzit’ rovnice (1.26), v ktorychv0 = 0 a a = g.


1.1.2 Uhlova rychlost’a uhlove zrychlenie

Pomocou polohoveho vektora r, rychlosti v a zrychlenia a vieme kvantitatıvne po-pısat’ l’ubovol’ny pohyb hmotneho bodu. Pri translacnom pohybe telies vsetky bodytelesa sa pohybuju po rovnakych trajektoriach a v danom okamihu maju rovnakerychlosti a rovnake zrychlenia. Ina situacia sa pozoruje pri otacavom pohybe telies.V danom okamihu sa rozne body telesa pohybuju po roznych trajektoriach a v tomistom okamihu nenadobudaju ani rovnake rychlosti ani rovnake zrychlenia. Uvahytykajuce sa otacaveho pohybu sa znacne zjednodusia zavedenım fyzikalnych velicınuhlove posunutie (otocenie), uhlova rychlost’a uhlove zrychlenie.

V prırode a v praktickom zivote sa casto stretavame s otacavym pohybom. Zem saotaca okolo svojej osi, elektrony vykonavaju otacavy pohyb okola jadra atomu, sucastıroznych mechanizmov, napr. koleso auta, vrtul’a lietadla a pod., vykonavaju otacavypohyb. Najjednoduchsı otacavy pohyb sa pozoruje v prıpade, ked’ os rotacie nemenısvoju orientaciu vzhl’adom k telesu, ku ktoremu pohyb vzt’ahujeme (ku vzt’aznemutelesu). Taku os budeme nazyvat’pevnou osou rotacie. Pri otacavom pohybe telesa okolopevnej osi vsetky body sa pohybuju v rovinach, ktore su vzajomne paralelne. Takypohyb je rovinny.

r1

Y

X

r2

o

Dj

j1

j2

Z

Obrazok 1.6 Uhlove posunutie (otocenie) hmot-neho bodu ∆ϕ pri pohybe po kruznici okolo osi o,ktora je totozna s osou Z pravouhlej suradnicovejsustavy.

Pomocou velicın charakterizujucichotacavy pohyb telies (uhlove posunu-tie, uhlova rychlost’, uhlove zrychlenie)je vyhodne popısovat’ aj obezny pohybtelies, ktorych rozmery mozno zaned-bat’. Napr. pri skumanı pohybu dru-zice okolo Zeme, pohybu Zeme okoloSlnka, pohybu elektronu okolo jadra vo-dıka mozeme rozmery jednotlivych ob-jektov zanedbat’a tieto pohyby vysetro-vat’ ako otacavy (obezny) pohyb hmot-neho bodu. Pri otacavom pohybe sanajcastejsie stretavame s prıpadmi, ked’hmotny bod, alebo jednotlive body te-lesa sa pohybuju po kruzniciach. Trebamat’ vsak na zreteli, ze vo vseobecnostiotacavym pohybom rozumieme pohybpo trajektorii, ktorej polomer krivosti nie

je konstantny, ale zavisı od polohy hmotneho bodu. Napr. pohyb hmotneho bodu poelipse mozeme vysetrovat’ako otacavy pohyb.

Nech sa hmotny bod pohybuje po kruznici polomeru r v rovine XY okolo osi Zpravouhlej suradnicovej sustavy (obr. 1.6) a d’alej predpokladajme, ze pohyb je orien-tovany proti smeru pohybu hodinovych ruciciek. Polohu hmotneho bodu je mozneurcit’ pomocou (polohoveho) uhla ϕ. Nech poloha hmotneho bodu v case t1 je urcenapolohovym vektorom r1 a uhol, ktory zviera tento vektor s osou X nech je ϕ1. Predpo-


kladajme, ze v case t2 sa hmotny bod bude nachadzat’v mieste urcenom polohovymvektorom r2, ktory s osou X zviera uhol ϕ2. Pomocou rozdielu ∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 de-finujeme otocenie (uhlove posunutie) hmotneho bodu. Z obrazku je zrejme, ze podl’atoho, ci pohyb je vo smere alebo proti smeru hodinovych ruciciek, otocenie hmotnehobodu ∆ϕ nadobuda kladne alebo zaporne hodnoty. V oblukovej miere uhol a otocenievyjadrujeme v radianoch (rad). Pohyb v priebehu doby ∆t = t2 − t1 sa moze zlozitymsposobom menit’, moze sa napr. zrychl’ovat’, spomal’ovat’, alebo moze byt’ustaleny. Preucely hodnotenia otacaveho pohybu je vyhodne definovat’priemernu (strednu) uhlovurychlost’ ω a okamzitu uhlovu rychlost’ ω. V analogii s postupom v casti 1.1.1 priemernuuhlovu rychlost’ω definujeme podielom

ω =∆ϕ

∆t(1.27)

a okamzita uhlova rychlost’ω je limitou priemernej uhlovej rychlosti pre ∆t → 0, t. j.

ω = lim∆t→0

∆ϕ

∆t, (1.28)

ktora je rovna prvej derivacii uhla podl’a casu. Teda okamzita uhlova rychlost’ (d’alejlen uhlova rychlost’)

ω =dϕdt

. (1.29)

Zo vzt’ahov (1.27) a (1.29) vyplyva, ze priemerna uhlova rychlost’, resp. okamzitauhlova rychlost’maju rovnake znamienko ako otocenie ∆ϕ, resp. elementarne otoceniedϕ.

Nech v okamihu t1 hmotny bod ma uhlovu rychlost’ω1 a v case t2 nech nadobudauhlovu rychlost’ω2, pricom zmena uhlovej rychlosti ∆ω = ω2 −ω1. Priemerne uhlovezrychlenie ε definujeme pomocou podielu

ε =∆ω

∆t. (1.30)

Podl’a toho, ci sa uhlova rychlost’za dobu ∆t zvacsı alebo zmensı, priemerne uhlovezrychlenie nadobuda kladne alebo zaporne hodnoty. Uz zo znamych dovodov defi-nujeme okamzite uhlove zrychlenie (d’alej len uhlove zrychlenie) ε ako limitu

ε = lim∆t→0

∆ω

∆t, (1.31)

ktora je prvou derivaciou uhlovej rychlosti podl’a casu:

ε =dωdt

. (1.32)

Podl’a rov. (1.29) uhlova rychlost’ ω je prvou derivaciou uhla podl’a casu, pretouhlove zrychlenie mozeme vyjadrit’aj pomocou druhej derivacie uhla podl’a casu, t. j.

ε =dωdt

=d2ϕ

dt2 . (1.33)


Z vyssie uvedenych definıciı vyplyva, ze jednotkou uhlovej rychlosti je rads−1 a jed-notkou uhloveho zrychlenia je rads−2.

Z rovnıc (1.29) a (1.33) vyplyvaju pre uhol a uhlovu rychlost’vzt’ahy

ϕ =∫

ωdt +ϕ0 a ω =∫

εdt + ω0, (1.34)

v ktorych ϕ0 je pociatocny uhol a ω0 je pociatocna uhlova rychlost’.

Rovnomerny a rovnomerne zrychleny otacavy pohyb po kruznici

Z otacavych pohybov po kruznici najvacsı vyznam ma rovnomerny otacavy pohyb, priktorom uhlove zrychlenie ε = 0. V takom prıpade pre uhlovu rychlost’ω a pre uholϕ je mozne pomocou rovnıc (1.34) odvodit’vzt’ahy

ω = konst. a ϕ = ωt +ϕ0. (1.35)

Elementarna dlzka kruznice ds = rdϕ, preto suvis medzi rychlost’ou (obeznourychlost’ou) v a uhlovou rychlost’ou ω je

v =dsdt

=rdϕdt

= rω. (1.36)

Doba, za ktoru sa pri rovnomernom otacavom pohybe vykona jedna otacka jeperioda otacaveho pohybu, pre ktoru zrejme platı

T =2πr

v=

2π

ω. (1.37)

Frekvencia otacanian =

1T

=ω

2π(1.38)

vyjadruje pocet otacok za jednotku casu (pocet otacok/s).Pohyb po kruznici, pri ktorom uhlove zrychlenie ε = konst. 6= 0, nazyvame

rovnomerne zrychlenym otacavym pohybom. Po vypocte integralov v rovniciach (1.34)dostaneme pre okamzitu hodnotu uhlovej rychlosti ω a uholϕ, ktory polohovy vektorhmotneho bodu opıse za cas t, vzt’ahy

ω = εt + ω0 a ϕ =12εt2 + ω0t +ϕ0. (1.39)

Spravidla pociatocne podmienky je mozne zvolit’tak, aby pociatocny uhol ϕ0 = 0.

Vektorovy opis pohybu hmotneho bodu po kruznici

V predchadzajucej casti sme videli, ze otocenie ∆ϕ, uhlova rychlost’ω a uhlove zrych-lenie ε nadobudaju ako kladne tak aj zaporne hodnoty. Znamienko otocenia a uhlovejrychlosti zavisı od orientacie otacania sa hmotneho bodu a znamienko uhloveho zrych-lenia zavisı aj od toho, ci sa uhlova rychlost’zvacsuje alebo spomal’uje. Z toho hl’adiskasituacia pri otacavom pohybe okolo pevnej osi (rovinnom otacavom pohybe) je uplneanalogicka tej, ktoru sme pozorovali pri pohybe hmotneho bodu po priamke.


r

dsdr

r´

djdj

e

w

O

.

Z

Obrazok 1.7 Znazornenie vektora uhloveho po-sunutia (otocenia) dϕ, uhlovej rychlosti ω a uhlo-veho zrychlenia ε pri pohybe hmotneho bodu pokruznici nachadzajucej sa v rovine kolmej na os Z.

Na obr. 1.7 je znazorneny rovnakypohyb ako na predchadzajucom obrazku1.6, avsak rovina XY, v ktorej sa hmotnybod otaca po kruznici, je orientovanakolmo na nakresnu. Poloha hmotnehobodu v case t nech je urcena polohovymvektorom r a neskor, po case dt, nechsa hmotny bod nachadza v mieste, kto-reho poloha je urcena polohovym vek-torom r′ = r + dr. Elementarnemu oto-ceniu hmotneho bodu (elementarnemuuhlu, ktory zvieraju vektory r a r′) dϕpriradıme vektor dϕ. Jeho vel’kost’sa rovnavel’kosti uhla dϕ, vektor dϕ lezı v priamkektora je kolma na rovinu urcenu vektormi r ar′ (priamka je kolma na rovinu XY) a je orien-tovany na tu stranu roviny, z ktorej otacaniepozorujeme proti smeru pohybu hodinovychruciciek. V prıpade znazornenom na obr.1.7 vektor dϕ je orientovany v kladnom

smere osi Z.Vektor uhlovej rychlosti je definovany vzt’ahom

ω =dϕdt

(1.40)

a vektor uhloveho zrychlenia

ε =dωdt

=d2ϕ

dt2 . (1.41)

V nami uvazovanom prıpade, ked’ sa hmotny bod stale otaca v tej istej rovine, vsetkyvektory lezia v tej istej priamke. Vektor uhlovej rychlosti ω ma stale rovnaky smerako je smer otocenia dϕ, avsak vzajomna orientacie tychto vektorov s vektorom uhlo-veho zrychlenia ε nemusı byt’ rovnaka. Uvedene vektory su rovnako orientovane,ak otacavy pohyb je zrychleny a su opacne orientovane pri spomalenom otacavompohybe.

Definıcie uvedenych vektorov maju vseobecnu platnost’, t. j. platia aj vtedy, ked’osrotacie nie je pevna a otacavy pohyb nie je rovinny, ale je priestorovy. V takom prıpadevektory ω a ε nelezia v tej istej priamke, podobne ako vektor rychlosti v a zrychleniaa pri krivociarom pohybe.

Pri pohybe po kruznici vektory dr, dϕ a r su navzajom kolme a ich suvis vyjadrujerovnica1

dr = dϕ× r , (1.42)1Dokaz platnosti vzt’ahu prenechavame na citatel’a.


z ktorej pre elementarnu drahu vyplyva vzt’ah ds = |dr| = dϕr. Delenım rovnice (1.42)elementarnym casom dt dostaneme suvis medzi vektorom rychlosti v a vektoromuhlovej rychlosti ω, t. j.

v =drdt

= ω× r . (1.43)

Derivaciou poslednej rovnice podl’a casu dostaneme vzt’ah

a = (ε× r) + (ω× v) , (1.44)

z ktoreho vyplyva, ze vektor zrychlenia hmotneho bodu a je mozne pri otacavom po-hybe vyjadrit’pomocou zloziek (ε× r) a (ω× v). Z hl’adiska hodnotenia krivociarehopohybu maju obidve zlozky vel’ky vyznam, preto sa im budeme podrobnejsie venovat’v d’alsej samostatnej casti.

1.1.3 Tangencialne a normalove zrychlenie

Pomocou pravidla vektoroveho nasobenia dvoch vektorov mozeme zistit’ ze vektor(ε × r) lezı v dotycnici a vektor (ω × v) lezı v normale v danom bode trajektoriea smeruje do stredu kruznice (obr. 1.8). Tieto zlozky zrychlenia oznacıme at a an abudeme ich nazyvat’tangencialnym a normalovym zrychlenım, pre ktore platı

at = ε× r a an = ω× v . (1.45)

Pri otacavom pohybe okolo osi o ≡ Z mozeme orientaciu vektorov ε a ω vyjadrit’pomocou jednotkoveho vektora k a orientaciu vektorov r a v pomocou jednotkovychvektorovρ aτ , pricom jednotkovy vektorρ lezı v normale a smeruje zo stredu kruzniceku hmotnemu bodu (obr. 1.8). Orientaciu osi Z si zvol’me tak, aby zo strany kladnejpolosi sme pozorovali pohyb proti smeru pohybu hodinovych ruciciek.

O

ba

at

an

a

Obrazok 1.8 Rozklad zrychlenia a na tangen-cialnu at a normalovu an zlozku pri pohybe hmot-neho bodu po kruznici.

Vo vzt’ahoch pre tangencialne a nor-malove zrychlenia mozeme pouzitımuvedenych jednotkovych vektorov uro-bit’upravy

at = ε× r = εr (k×ρ) . (1.46)

Ked’ze ε = dωdt a k × ρ = τ , pre tangen-

cialne zrychlenie mozeme d’alej pısat’

at =dωdt

r τ . (1.47)

Sucin uhlovej rychlosti ω a vel’kosti po-lohoveho vektora (polomeru kruznice) r

urcuje vel’kost’rychlosti hmotneho bodu v, preto tangencialne zrychlenie

at =dvdt

τ . (1.48)


Podobnym sposobom mozeme upravit’aj vzt’ah pre normalove zrychlenie

an = ω× v = ωv (k× τ) = ω2r(−ρ) . (1.49)

Vyuzitım vzt’ahu v = ωr mozeme normalove zrychlenie vyjadrit’v tvare

an = −v2

rρ. (1.50)

O

r

vt

r

..r

t

k

Obrazok 1.9 Znazornenie smeru vektorov k, ρ aτ . Os otacania o ≡ Z, ktora prechadza bodom O, jekolma na nakresnu a os Z a aj vektor k su orientovanena tu stranu, z ktorej otacavy pohyb pozorujemeproti smeru hodinovych ruciciek. V znazornenomprıpade os Z smeruje za nakresnu.

Vel’kost’ tangencialneho a norma-loveho zrychlenia je zrejme urcenavzt’ahmi

at =dvdt

, an =v2

r. (1.51)

Celkove zrychlenie pohybu je urcenevektorovym suctom

a = at + an =dvdt

τ − v2

rρ . (1.52)

Pre absolutnu hodnotu vyslednehozrychlenia platı (Obr.)

a =√

at2 + an2 (1.53)

a pre uhly, ktore zviera vektor zrychlenia s dotycnicou, resp. s normalou v danommieste trajektorie platia vzt’ahy

tanα =an

at, tan β =

at

an. (1.54)

Zo vzt’ahov (1.53) a (1.54) vyplyva, ze tangencialnou a normalovou zlozkou zrychleniaje urcena vel’kost’a aj smer zrychlenia pri krivociarom pohybe.

V prıpade krivociareho pohybu sa vo vseobecnosti moze menit’vel’kost’rychlostiv a aj smer rychlosti, ktory urcujeme pomocou jednotkoveho vektora τ . Teda vel’kost’rychlosti v a aj jednotkovy vektor τ su funkciami casu t, preto pre vektor zrychlenia amozeme pısat’

a =dvdt

=ddt

(vτ) =dvdt

τ + vdτdt

. (1.55)

Ked’ze prvy vektor dvdt τ na pravej strane rov. (1.55) je tangencialne zrychlenie at,

druhy vektor vdτdt musı byt’normalovym zrychlenım an. Zo vzt’ahov pre tangencialnea normalove zrychlenie v rov. (1.55) je vidiet’, ze tangencialne zrychlenie charakterizujecasovu zmenu vel’kosti rychlosti a normalove zrychlenie charakterizuje casovu zmenusmeru rychlosti. Teda rozkladom zrychlenia na tangencialnu a normalovu zlozku


vieme zvlast’ posusit’ ako sa menı vel’kost’ rychlosti v zavislosti od casu a zvlast’posudit’ako sa menı smer rychlosti v zavislosti od casu. Uvedene moznosti su hlavnymvyznamom rozkladu vektora zrychlenia na tangencialnu a normalovu zlozku.

Na zaver bez dokazu uvedieme, ze vzt’ahy (1.48) a (1.50) neplatia len v prıpadepohybu hmotneho bodu po kruznici, ale maju vseobecnu platnost’. Podl’a nich savypocıta tangencialne a normalove zrychlenie pri l’ubovol’nom krivociarom pohybe,pricom v takom prıpade r je polomerom krivosti prıslusneho miesta na krivke (po-lomer oskulacnej kruznice) a vektor ρ smeruje do stredu krivosti S prisluchajucemuuvazovanemu bodu trajektorie pohybu.

1.2 Dynamika hmotneho bodu

Zo skusenosti vieme, ze vsetky telesa v prırode nejakym sposobom navzajom naseba posobia. Hovorıme, ze su vo vzajomnej interakcii. Napr. atmosfericky vzduchposobı tlakom na zemsky povrch a na vsetky objekty na Zemi, v dosledku vzajomnehoposobenia medzi molekulami vody a molekulami telesa voda zmaca povrch telesa,existuje vzajomne posobenie medzi Zemou a Slnkom a pod.

Mechanika pojednava o interakciach pri priamych kontaktoch telies a o gravitac-nych interakciach medzi telesami. Dosledkom interakcie medzi telesami moze nastat’zmena rychlosti telesa alebo jeho deformacia, alebo sucasne zrychlenie a deformacia.Pre charakterizovanie vzajomneho posobenia je zavedeny pojem sily ako miery vza-jomneho posobenia telies alebo castıc, z ktorych telesa pozostavaju. Sila je fyzikalnavelicina charakterizujuca vzajomne posobenie aspon dvoch telies a urcujuca zmenu pohybo-veho stavu daneho telesa alebo jeho deformaciu, alebo oboje. Pripomenme si, ze v prıpadedokonale tuheho telesa vonkajsia sila nemoze sposobit’ jeho deformaciu, ale mozesposobit’jedine zmenu jeho pohyboveho stavu.

Hmotnost’a hybnost’telies

Vlastnost’ telesa, ktora suvisı s jeho schopnost’ou zachovavat’ si svoj pohybovy stavsa nazyva zotrvacnost’. Je to objektıvna vlastnost’ vsetkych telies, ktora sa prejavujetym, ze (1) pri rovnakom silovom posobenı na rozne telesa nedochadza k rovnakejzmene ich rychlosti, alebo (2) k rovnakej rychlosti roznych telies je potrebne roznevel’ke silove posobenie. Zo skusenosti vieme, ze ak rovnako vel’ke telesa zhotovenez roznych materialov, napr. z hlinıka a olova, chceme uviest’z pokoja do pohybu pohladkej podlozke takym sposobom, aby po rovnakom case mali rovnake rychlosti,alebo naopak, ak maju rovnake rychlosti a chceme ich rovnakym sposobom zastavit’,potrebujeme na nich posobit’rozne vel’kymi silami. Z uvedenych prıkladov vyplyva,ze uvazovane telesa nemaju rovnake zotrvacne vlastnosti. Kvantitatıvnou mierouzotrvacnosti telies je fyzikalna velicina, ktora sa nazyva hmotnost’. Ako uvidıme neskor,pojem hmotnosti sa nevzt’ahuje len na latku (telesa, castice a pod.) ale aj na pole (napr.gravitacne, elektricke, magneticke). Hmotnost’je mierou zotrvacnych vlastnosti hmoty

1.2. DYNAMIKA HMOTNEHO BODU 19

v jej l’ubovol’nej forme.Jednotkou hmotnosti je 1kg.Vsetky telesa navzajom na seba posobia gravitacnou silou, napr. Zem na Slnko,

Zem na Mesiac, ale aj Zem na telesa nachadzajuce sa na zemskom povrchu. Zo sku-senostı vieme, ze telesa nachadzajuce sa na zemskom povrchu neposobia rovnakovel’kou silou na podlozku, na ktorej su polozene. Je to preto, lebo telesa s rozdielnouhmotnost’ou maju rozdielne gravitacne vlastnosti, t. j. maju roznu schopnost’posobit’prıt’azlivou silou na ine telesa alebo maju roznu schopnost’byt’prit’ahovanymi inymitelesami. Hovorıme, ze hmotnost’je taktiez mierou gravitacnych vlastnostı telies.

Zo skusenosti vieme, ze telesa bez ohl’adu na to, ci su v pokoji alebo sa pohybuju,napr. po zemskom povrchu, maju rovnaku hmotnost’. Toto konstatovanie vsak je platnelen v klasickej (newtonovej) fyzike, t. j. v prıpadoch, ked’ pohybujuce sa telesa majuomnoho mensiu rychlost’ako je rychlost’svetla vo vakuu, ktora je c ≈ 3 · 108ms−1.

Teraz na chvıl’u odbocıme od problemov klasickej fyziky a pripomenme si, zeelementarne castice dosahuju v kozme alebo v urychl’ovacoch rychlosti, ktore su po-rovnatel’ne s rychlost’ou svetla vo vakuu. V takych prıpadoch zakony klasickej fyzikynie su platne a pre prıslusne vypocty je potrebne pouzit’ zavery Einsteinovej teorierelativity. Podl’a tejto teorie hmotnost’castıc nie je konstantna, ale zavisı od ich pohy-boveho stavu a je urcena vzt’ahom

m =m0√1− v2

c2

, (1.56)

v ktorom m0 je hmotnost’castice nachadzajucej sa v pokoji, je to pokojova hmotnost’ a mje hmotnost’castice pri rychlosti v.

Pohybovy stav telies charakterizujeme pomocou hybnosti p, ktora je definovanasucinom hmotnosti telesa m a jeho rychlosti v, t. j.

p = mv . (1.57)

Jednotkou hybnosti je 1kgms−1.

1.2.1 Newtonove zakony mechaniky

Uviedli sme, ze dynamika sa zaobera suvislost’ami medzi zmenou pohyboveho stavutelesa a prıcinami, t. j. silami, ktore uvedenu zmenu sposobili. Na zaklade mnohychpokusov I. Newton sformuloval 3 zakony, ktore tvoria zaklad teorie, dnes nazyva-nej newtonowskou (klasickou) mechanikou. Tato teoria nema vseobecnu platnost’,pretoze pomocou nej nie je mozne vysvetl’ovat’prıpady, ked’ rychlost’ interagujucichobjektov nie je zanedbatel’na voci rychlosti svetla a ani v prıpadoch, ked’ interaguju-cimi objektami su mikrocastice (napr. stavebne castice atomu). Treba vsak povedat’,ze klasicka mechanika ma nesmierny vyznam, pretoze pomocou nej je mozne sku-mat’pohyb objektov, ktore su relatıvne male, ale aj take, ktore dosahuju astronomickerozmery.


Zakon zotrvacnosti

Prvy Newtonov zakon (zakon zotrvacnosti) hovorı, ze teleso zotrvava v pokoji alebo rov-nomernom priamociarom pohybe, pokial’ nie je nutene posobenım inych telies svoj pohybovystav zmenit’.

O tvare trajektorie ako aj o rychlosti pohybu, o ktorych zakon pojednava, nemo-zeme hovorit’bez urcenia referencnej sustavy, vzhl’adom ku ktorej pohyb chceme vzt’a-hovat’. Tie sustavy, v ktorych platı zakon zotrvacnosti sa nazyvaju inercialne vzt’aznesustavy.

Predstava inercialnej vzt’aznej sustavy je len abstrakciou. Vsetky referencne su-stavy su vzt’ahovane na urcite telesa a vsetky telesa nejakym sposobom interaguju.Nie je mozne najst’ teleso (vol’ne teleso), na ktore neposobı ziadna sila a z tohto do-vodu nie je mozne ani prısne vymedzit’ inercialnu vzt’aznu sustavu. Mozeme najst’referencne sustavy, ktore pri riesenı urciteho okruhu problemov mozu byt’ povazo-vane za inercialne. To, ci dana referencna sustava moze byt’povazovana za referencnualebo nie, mozeme urcit’len pomocou experimentu. Z experimentu napr. vyplyva, zevzt’azna sustava spojena so Zemou v niektorych prıpadoch moze byt’povazovana zainercialnu. To znamena, ze existuje oblast’ javov, na ktore rotacie Zeme nema vplyv.Rotacia Zeme neovplyvnuje cinnost’strojov, pohyb dopravnych prostriedkov, neovp-lyvnuje chemicke reakcie, elektromagneticke procesy, biologicke procesy a pod. Tedavzt’azna sustava spojena so Zemou moze byt’pri popisovanı uvedenych procesov po-vazovana za inercialnu. Na druhej strane kazdemu je jasne, ze napr. biologicke procesyastronauta sediaceho v rakete pri jej starte sa neuskutocnuju rovnakym sposobom akocloveka sediaceho doma pri televızore. Vzt’azna sustava spojena s raketou, ktora savoci Zemi pohybuje so zrychlenım je neinercialnou vzt’aznou sustavou.

Zo zakona zotrvacnosti vyplyva, ze kazda vzt’azna sustava, ktora je voci nejakejinercialnej vzt’aznej sustave v pokoji alebo v rovnomernom priamociarom pohybe jetaktiez inercialna. Ak teleso v niektorej inercialnej sustave je v pokoji, potom vociinej inercialnej sustave je bud’ v pokoji alebo v rovnomernom priamociarom pohybe.Stav pokoja telies sa neodlisuje od rovnomerneho priamociareho pohybu. V prvomNewtonovom zakone pokoj a rovnomerny priamociary pohyb su povazovane zarovnocenne pohybove stavy telesa. V kazdom z tychto stavov teleso zotrvava takdlho, pokial’ posobenie inych telies ich nezmenı.

Zakon sily

Druhy Newtonov zakon (zakon sily) hovorı, ze casova zmena hybnosti telesa je rovna sileposobiacej na teleso. Mozno ho vyjadrit’v tvare

F =dpdt

=ddt

(mv) , (1.58)

v ktorom F je vyslednica vsetkych sıl posobiacich na teleso a p, m a v su hybnost’, hmot-nost’ a rychlost’ telesa. Vo vseobecnosti hmotnost’ m moze byt’ premennou velicinou


zavislou od rychlosti v (rov. 1.56). V klasickej fyzike pri mechanickom pohybe teliesprichadzaju do uvahy iba zanedbatel’ne rychlosti v porovnanı s rychlost’ou svetla. Vtakych prıpadoch hmotnost’mozno povazovat’za konstantnu a rovnicu (1.58) vyjadrit’v tvare

F = mdvdt

= ma . (1.59)

Podl’a tejto rovnice sila posobiaca na teleso je rovna sucinu hmotnosti a zrychleniatelesa.

Jednotkou sily je newton (N). Je to sila, ktora telesu s hmotnost’ou 1 kg udel’ujezrychlenie 1 ms−2. Z rovnice (1.59) vyplyva, ze 1 N = 1 kgms−2.

Zakon akcie a reakcie

Zo skusenosti vieme, ze vzajomne posobenie telies je obojstranne. Uviedli sme, zeteleso polozene na podlozke posobı na nu silou, ktora je rovna tiazi telesa. Na druhejstrane aj podlozka posobı na teleso rovnako vel’kou tlakovou silou v opacnom smere.Ked’ sa oprie clovek rukami o stol, posobı aj stol tlakovou silou na ruky. Mesiacobiehajuci okolo Zeme je Zemou prit’ahovany, na druhej strane aj Mesiac prit’ahuje ksebe Zem rovnako vel’kou silou. Vseobecne mozeme povedat’, ze ked’ teleso 1 posobına teleso 2 silou F12 potom teleso 2 posobı na teleso 1 silou F21 (obr. (1.10)).

F21 F12

(1) (2)

Obrazok 1.10 Silove posobenie medzi dvomahmotnymi bodmi. F21 je sila, ktorou hmotny bod(2) posobı na hmotny bod (1).

Jedna z tychto sıl sa nazyva akcia adruha je reakcia. Zakon akcie a reakciehovorı, ze kazda akcia vyvolava opacnu arovnako vel’ku reakciu, alebo sily, ktorymi naseba posobia dve telesa su rovnako vel’ke, aleopacne orientovane. Tretı Newtonow za-kon mozno vyjadrit’pomocou rovnice

F12 = −F21 . (1.60)

Treba si uvedomit’, ze kazda zo sıl posobı na ine teleso, preto tieto sily nemoznoskladat’ a taktiez sa vzajomne nerusia. Na druhej strane, tiazova sila Fg, o ktorejbudeme hovorit’ v d’alsej casti, posobiaca na teleso nachadzajuce sa na podlozke atlakova sila, ktorou posobı podlozka na toto teleso sa navzajom kompenzuju. Tietodve sily posobia na to iste teleso a netvoria akciu a reakciu.

1.2.2 Niektore typy sıl

V tejto casti je podana charakteristika sıl, ktore su uzitocne pri riesenı viacerych ulohalebo pri vysvetl’ovanı problemov v d’alsıch kapitolach.

Tiazova sila

Sila, ktorou Zem (alebo iny astronomicky objekt) posobı na telesa nachadzajuce sav blızkosti povrchu a udel’uje mu zrychlenie vol’neho padu g, sa nazyva tiazova sila Fg.


Tato sila pri vol’nom pade udel’uje vsetkym telesam na tom istom mieste zemskehopovrchu rovnake zrychlenie, preto podl’a rovnice (1.59) suvis medzi tiazovou silou Fga zrychlenım g je vyjadreny vzt’ahom

Fg = mg . (1.61)

Tiazove zrychlenie g a tym aj tiazova sila sa menia v zavislosti od zemepisnej sırkya nadmorskej vysky telesa. Na ilustraciu uvadzame hodnotu tiazoveho zrychlenia2

v Kosiciach, g = 9, 809ms−2, kde severna zemepisna sırka ϕ = 48◦ 43” a nadmorskavyska h = 220m.

Teleso nachadzajuce sa na zemskom povrchu posobı na podlozku silou, napr. naosobne vahy pri vazenı, ktoru nazyvame tiaz G. Vel’kost’a smer tejto sily su take isteako v prıpade tiazovej sily a rozdiel je iba v posobisku sily. Tiazova sila Fg posobı nateleso a tiaz G posobı na podlozku, na ktorej sa teleso nachadza.

Sily pri krivociarom pohybe

V predchadzajucej kapitole sme ukazali, ze zrychlenie hmotneho bodu mozno prikrivociarom pohybe rozlozit’ na tangencialnu a normalovu zlozku, pre ktore platiavzt’ahy

at =dvdt

τ , an = −v2

rρ , (1.62)

v ktorych v je vel’kost’okamzitej rychlosti a r je polomer krivosti trajektorie v mieste,v ktorom pohyb hmotneho bodu vysetrujeme. Pomocou rovnice (1.59) mozeme vy-jadrit’ aj tangencialnu Ft a normalovu Fn zlozku sily posobiacu na hmotny bod.

S

F

F

F

n

t

r

Obrazok 1.11 Rozklad sily na tangencialnu a nor-malovu zlozku pri krivociarom pohybe.

Zrejme platı

Ft = mdvdt

τ , Fn = −mv2

rρ, (1.63)

pricom vyslednica tychto sıl (obr. 1.11)

F = Ft + Fn. (1.64)

Tangencialna zlozka sily, ktorej vel’-kost’Ft = mdv

dt sposobuje zmenu vel’kostirychlosti a normalova sila, ktorej hod-nota Fn = m v2

r zaprıcinuje zmenu smerupohybu. Normalova sila sa kvoli svojejorientacii nazyva dostredivou silou. Touto

silou na hmotny bod (teleso) posobı vazba, ktora nuti hmotny bod sa pohybovat’po2Hodnota tiazoveho zrychlenia sa vypocıta podl’a Hayfordovho empirickeho vzt’ahu g =

9, 78049(1 + 0, 005288 sin2 ϕ− 0, 000006 sin2 2ϕ)− 0, 000002h, v ktorom ϕ je severna alebo juzna ze-mepisna sırka a h je nadmorska vyska.


zakrivenej trajektorii. Vazbou moze byt’napr. lano, na ktorom je upevnene kruziaceteleso, povrch vozovky, ktory trecou silou posobı na pneumatiky a sposobuje pohybauta po zakrivenej trajektorii, gravitacne pole Zeme posobiace na Mesiac pohybujucisa okolo Zeme a pod. V uvedenych prıpadoch dostrediva sila je reprezentovana t’aho-vou silou lana, trecou silou vozovky a gravitacnou silou Zeme. Z tychto prıkladov jezrejme, ze dostrediva sila nereprezentuje novy druh sily.

Podl’a zakona akcie a reakcie (rov. (1.60)) hmotny bod posobı rovnako vel’kousilou ale opacneho smeru na teleso, ktore krivociary pohyb sposobuje. Nazyvame juodstredivou silou.

V prıpade rovnomerneho otacaveho pohybu po kruznici tangencialna sila je rovnanule a na hmotny bod posobı len konstantna dostrediva sila smerujuca do stredukruznice. Bez tejto sily pohyb po kruznici by nemohol existovat’. Ak v urcitom okamihuby dostrediva sila prestala na hmotny bod posobit’, hmotny bod by zacal vykonavat’rovnomerny priamociary pohyb.

Odporova sila pri vonkajsom trenı

Zvlastne postavenie medzi silami maju sily trenia. Ich zvlastnost’spocıva v tom, ze voforme odporu posobia vzdy len proti pohybu telies, zatial’ co ine sily mozu pohyb akopodporovat’tak aj brzdit’.

S prejavom vonkajsieho trenia sa stretavame v dvoch prıpadoch. Odporovu silu(odpor) pozorujeme, ked’su dve telesa k sebe pritlacovane istou silou, telesa su vzhl’a-dom k sebe v kl’ude a vonkajsie sily sa ich snazia uviest’ do relatıvneho pohybu.Prıslusne trenie sa nazyva staticke a vzdy posobı proti vzniku relatıvneho pohybu.Odpor vznika aj pri pohybe tuheho telesa po inom telese, ku ktoremu je pritlaco-vane istou silou. V tomto prıpade hovorıme o dynamickom trenı alebo aj kinetickomtrenı (trenı za pohybu), ktore sa prejavuje od okamihu, ked’ nastal relatıvny pohyb te-lies, je namierene vzdy proti rychlosti pohybu a ma tendenciu tuto rychlost’zmensit’.

Fn

vF

Obrazok 1.12 Trenie v smyku. Trecia sila F jeorientovana proti smeru, v ktorom pohyb chcemevyvolat’ (staticke trenie), alebo proti smeru pohybu(dynamicke trenie).

Podl’a charakteru dotyku telies prirelatıvnom pohybe hovorıme o trenı vsmyku (tiez klznom alebo vlecnom) aleboo trenı valivom. Pri smykovom trenı silatrenia F vzdy posobı v dotycnicovej ro-vine spolocnej stycnej plochy (obr. 1.12).Vel’kost’sily trenia F nezavisı na vel’kostistycnej plochy a je umerna vel’kosti nor-malovej sily Fn, ktorou je jedno teleso pri-tlacane k druhemu.

Pre hodnoty trenia v smyku mozno spomerne dobrym priblızenım pısat’empiricky zıskane vzt’ahy

F = µFn , resp. F′= µ′Fn , (1.65)


v ktorych staticke trenie F odpoveda okamihu, ktory je tesne pred uvedenım telesado pohybu, cize je to maximalna hodnota trecej sily a µ a µ′ su konstanty umernostinazyvane faktormi smykoveho trenia (µ - statickeho, µ′ - kinetickeho), pre ktore platıµ > µ′. Faktory trenia µ a µ′ zavisia od materialov stykajucich sa telies a od akostistycnych ploch (hladkosti, resp. drsnosti).

Pri valivom pohybe jedneho telesa po inom telese sa uplatnuje valive trenie, prektore mozno formalne pısat’ tie iste vzt’ahy (1.65) ako pre trenie v smyku. Faktorvaliveho trenia je vzdy omnoho mensı ako faktor trenia v smyku, najma ak podlozkaa valiace sa teleso su z tvrdeho a pruzneho materialu.

Odporova sila pri vnutornom trenı

Na teleso pohybujuce sa v realnej tekutine posobı sila, ktora je orientovana protismeru pohybu telesa. Je to odporova sila a experimenty ukazuju ze zavisı od tvaru arozmerov pohybujuceho sa telesa, od jeho rychlosti a zavisı aj od vlastnostı tekutiny.

Obrazok 1.13 Laminarne prudenie tekutinyokolo telesa.

Vseobecny vzt’ah pre vypocet odporovejsily neexistuje. V prıpade telesa tvarugul’ocky, ktora sa pohybuje dostatocnemalou rychlost’ou, t. j. takou, aby obteka-nie telesa bolo laminarne (obr. 1.13), priktorom sa v tekutine netvoria vıry, teku-tina kladie odpor F, ktory je umerny jehorychlosti v a je orientovany proti smerupohybu. Mozeme ho vyjadrit’ vzt’ahom(Stokesov vzorec)

F = −Kv , (1.66)

v ktorom konstanta umernosti K = 6πηr, kde η je koeficient dynamickej viskozity (koefi-cient vnutorneho trenia) a r je polomer gul’ocky.

Obrazok 1.14 Turbulentne prudenie tekutinyokolo telesa sa pozoruje v prıpadoch, ked’ prudenieprekrocı kriticku rychlost’.

Pri vyssıch rychlostiach, pri ktorychsa za pohybujucim telesom tvoria vıry(1.14), zavislost’odporu od rychlosti nieje linearna a odporova sila sa vypocıtapodl’a Newtonovho vzorca

F = CS12ρv2, (1.67)

v ktorom S je plocha prierezu telesav smere kolmom na smer pohybu a ρ

je hustota tekutiny. Bezrozmerna kon-stanta C zavisı od tvaru telesa a napr.

ak telesom je gul’a C = 0, 37, pre teleso tvaru kvapky C = 0, 08.


Odporova sila sa pozoruje v dosledku existencie vnutorneho trenia v tekutine, ktoresa prejavuje aj tym, ze susedne vrstvy v prudiacej tekutine sa nepohybuju rovnakymirychlost’ami. Kazda vrstva prudiacej tekutiny je pohybom susednej vrstvy zrychl’o-vana alebo spomal’ovana. Sily vnutorneho trenia sa nazyvaju aj viskoznymi silami.

Sily pruznosti

Sily pruznosti vznikaju pri deformacii telies, ako je to napr. pri stlacenı alebo natia-hnutı pruziny. Po odstranenı prıcin deformacie sa deformovane teleso snazı prave podvplyvom sıl pruznosti vratit’spat’do povodneho stavu, v ktorom bolo pred deforma-ciou. Ak vonkajsia sila vychyli pruzinu z rovnovaznej polohy o dlzku x, potom podl’aHookovho zakona sila pruznosti F, ktora je v rovnovahe s vonkajsou silou, je umernavychylke x (obr. 1.15). T. j.

F = −kx, (1.68)

kde k je kladna konstanta umernosti (tuhost’pruziny), ktorej hodnota zavisı od elastic-kych vlastnosti pruziny.

xF

Obrazok 1.15 Sila pruznosti F, ktora posobı nateleso zavesene na pruzine je umerna vychlke x a jeorientovana proti smeru vychylky.

Elasticke vlastnosti zavisia od mate-rialu, z ktoreho je pruzina zhotovena aod geometrickych rozmerov pruziny.

Pomocou zaporneho znamienka vrov. (1.68) je zohl’adnena skutocnost’, zesila pruznosti je stale orientovana protismeru vychylky (obr. 1.15).

1.2.3 Pohybove rovnice

Druhy Newtonov zakon (rov. (1.59))je zakladnou rovnicou dynamiky. Jejhlavny vyznam spocıva v tom, ze po-mocou nej je mozne vysetrit’priebeh po-hybu hmotneho bodu, t. j. vieme vypocı-

tat’zavislost’rychlosti od casu, vypocıtat’trajektoriu a drahu pohybu. Vo vseobecnostisila moze byt’ funkciou casu t, rychlosti v a polohy hmotneho bodu, ktoru mozemeurcit’pomocou polohoveho vektora r. Pohybovu rovnicu mozeme vyjadrit’vo vekto-rovom tvare

FFF = mdvvvdt

, (1.69)


alebo, ak pohyb vzt’ahujeme k pociatku pravouhlej suradnicovej sustavy, potom vek-torovu rovnicu (1.69) mozeme nahradit’skalarnymi rovnicami

Fx = mdvx

dt, (1.70a)

Fy = mdvy

dt, (1.70b)

Fz = mdvz

dt. (1.70c)

Rychlost’ a draha hmotneho bodu nezavisia len od posobiacej sily, ale aj od pocia-tocnych podmienok, t. j. od rychlosti a drahy v okamihu, ked’ na hmotny bod zacalaposobit’sila. Z uvedenych dovodov uvazovanu ulohu mozeme riesit’vtedy, ked’okremsily su zname aj pociatocne podmienky. Rovnice (1.70) su vo vseobecnosti diferencialnerovnice, ktore sa riesia specialnymi matematickymi postupmi. V jednoduchsıch prı-padoch, ak zlozky sily Fx, Fy a Fz su len funkciami casu t, z rovnıc (1.70) vyplyvaju prezlozky rychlosti vzt’ahy

vx =1m

∫Fxdt + v0x , (1.71a)

vy =1m

∫Fydt + v0y , (1.71b)

vz =1m

∫Fzdt + v0z (1.71c)

a pomocou nich znamym postupom mozno urcit’suradnice trajektorie pohybu

x =∫

vxdt + x0 , (1.72a)

y =∫

vydt + y0 , (1.72b)

z =∫

vzdt + z0 . (1.72c)

Integracne konstanty v0x, v0y, v0z a x0, y0 a z0 v rovniciach (1.71) a (1.72) su urcene po-ciatocnymi podmienkami, ktorymi vo vseobecnosti rozumieme suradnice hmotnehobodu a zlozky jeho rychlosti v l’ubovol’ne zvolenom okamihu t0.

Teda, ak napr. pozname sily vzajomneho posobenia medzi Slnkom a planetami,ako aj suradnice a rychlosti planet v urcitom okamihu (t. j. pociatocne podmienky),mozeme urcit’ pohybovy stav telies, ktory bol pred mnohymi rokmi a predpovedat’polohu planet na mnoho rokov dopredu. Touto metodou je mozne predpovedat’za-tmenie Mesiaca a Slnka alebo urcit’cas, v ktorom Mars sa nachadza najblizsie k Zemi.

Ak pozname rychlost’rakety napr. v okamihu, ked’ dohorı palivo, jej suradnice vnejakom okamihu a sily posobiace na raketu, vieme vypocıtat’trajektoriu po ktorej saraketa pohybuje, urcit’jej polohu v hociktorom okamihu a cas a miesto pristatia.


Pohybove rovnice maju siroke uplatnenie v roznych oblastiach fyziky a technickejpraxe.3 Ich pouzitie sa pokusime ilustrovat’na niekol’kych uzitocnych prıkladoch.

Pohyb telesa v poli zemskej tiaze

Priestor, pre ktory v kazdom jeho mieste je definovana sila posobiaca na objekt na-chadzajuci sa v uvazovanom priestore, sa nazyva silove pole. To znamena, ze silovympol’om je priestor, v ktorom je definovana funkcia F = F(x, y, z). Ak sila posobiaca nahmotny bod ma v kazdom mieste pol’a rovnaku vel’kost’a rovnaky smer, take silovepole sa nazyva homogenne.4

Tiazova sila posobiaca na teleso zavisı od jeho polohy v okolı Zeme. No v mno-hych vyznamnych prıpadoch sa pohyb realizuje v priestore dostatocne malom na to,aby v kazdom mieste uvazovaneho priestoru mohla byt’ tiazova sila povazovana zakonstantnu. Uvazovane pole je teda homogenne a budeme ho nazyvat’ pole zemskejtiaze.

Nech v urcitom mieste uvazovaneho pol’a zemskej tiaze je hmotnemu bodu ude-lena rychlost’v0, ktora s vodorovnym smerom zviera uholα. Teleso sa bude pohybovat’v jednej (zvislej) rovine, preto pre skumanie pohybu stacı uvazovat’dvojrozmerny su-radnicovy system, ktoreho pociatok umiestnime do miesta, v ktorom telesu je udelenarychlost’v0 (obr. 1.16).

X

Y

ox

oy o

v

v

v

F

y

x =vox

v

v

v

a

g

Obrazok 1.16 Pohyb telesa vrhnuteho pociatocnou rychlost’ouv0 v poli zemskej tiaze. Z riesenia pohybovych rovnıc pri sikmomvrhu vyplyva, ze trajektoriou pohybu telesa vplyvom sily Fg jeparabola.

Ak zanedbame odpor vzdu-chu, na hmotny bod v l’ubo-vol’nom mieste trajektorie po-sobı len tiazova sila

F = Fg = mg , (1.73)

ktorej zlozky v uvazovanejsustave maju vel’kosti

Fx = 0 , (1.74a)Fy = −mg . (1.74b)

Znamienko mınus v rovnici(1.74b) vyjadruje tu skutoc-nost’, ze smer tiazovej sily jeopacny smer, nez je orientaciaosi Y. Pouzitım rovnıc (1.71)

dostaneme pre zlozky rychlosti v l’ubovol’nom okamihu t vzt’ahy

vx = v0x , (1.75a)vy = −gt + v0y . (1.75b)

3Z uvedenych prıkladov vyplyva, ze Newtonova mechanika je uspesna pri riesenı roznych dyna-mickych problemov, no napriek tomu nie je to metoda univerzalna. Pohybove rovnice nie je moznepouzit’v oblasti mikrosveta pri riesenı subatomarnych problemov.

4Otazkami silovych polı sa budeme podrobne zaoberat’v d’alsıch kapitolach.


Pomocou rovnıc (1.72) pre suradnice trajektorie pohybu dostaneme

x =∫

vxdt + x0 = v0xt + x0 , (1.76a)

y =∫

vydt + y0 = −12

gt2 + v0yt + y0 . (1.76b)

Z pociatocnych podmienok, v nasom prıpade z polohy a rychlosti hmotneho boduv case t = 0, vyplyva, ze integracne konstanty su: x0 = 0, y0 = 0, v0x = v0 cosα av0y = v0 sinα. Po zohl’adnenı pociatocnych podmienok mozeme vyjadrit’ rychlost’apolohu hmotneho bodu pomocou rovnıc

vx = v0 cosα , vy = v0 sinα − gt , (1.77)

x = v0t cosα , y = v0t sinα − 12

gt2 . (1.78)

V zavislosti od uhla α rozlisujeme tri specialne prıpady pohybu. Ak α = 0◦ dosta-vame rovnice pre vrh vodorovny, ak α = 90◦ je to vrh zvisly a ak α nadobuda hodnotymedzi 0◦ a 90◦ hovorıme o sikmom vrhu. Z rovnıc (1.78) vyplyva, ze trajektoriou pohybupri sikmom vrhu je parabola.

Padanie telesa v tekutine

V predoslych uvahach sme pri skumanı pohybu v poli zemskej tiaze zanedbali odporvzduchu. Pri pohybe telesa v tekutine (v plyne alebo v kvapaline) odpor prostrediaproti pohybu a ani vztlakovu silu casto nie je mozne zanedbat’. Naprıklad je rozdiel, civo vzduchu pada ocel’ova gul’ocka alebo stolnotenisova lopticka, je rozdiel ci ocel’ovagul’ocka pada vo vzduchu alebo v oleji a pod. Je teda zrejme, ze v niektorych prıpadochtreba okrem tiazovej sily zohl’adnit’ d’alsie dve sily. Odporova sila Fo je namierenaproti smeru pohybu a ak pohybujucim sa telesom je gul’ocka, potom podl’a Stokesovhovzorca (1.66) vel’kost’tejto sily je umerna rychlosti gul’ocky a jej smer je opacny ako smerpohybu gul’ocky. Vel’kost’vztlakovej sily Fv sa urcı podl’a dobre znameho Archimedovhozakona. Vztlakova sila Fv je opacne orientovana ako tiazova sila Fg. Vsetky tri sily leziav tej istej priamke (obr. 1.17) a ich vel’kost’a smer mozeme vyjadrit’rovnicami:

Fg = +mg , (1.79a)Fo = −Kv , (1.79b)Fv = −m′g , (1.79c)

v ktorych za kladny smer je povazovany smer tiazovej sily Fg, m je hmotnost’gul’ocky,m′ je hmotnost’ tekutiny s objemom rovnym objemu gul’ocky a K je konstanta (pozrirovnicu (1.66)).


F0F

F

v

g

Obrazok 1.17 Na teleso padajuce vtekutine posobı vzlakova sila Fv, od-porova sila Fo a tiazova sila Fg, ktorama opacny smer ako sily Fv a Fo.

Vidıme, ze vyslednica vsetkych sıl

F = mg−m′g− Kv (1.80)

je funkciou rychlosti gul’ocky, t. j. F = F(v). Vypo-cıtajme, aka je zavislost’rychlosti gul’ocky od casu,ktora je vol’ne pustena do tekutiny a pohybuje savplyvom vyssie spomenutych sıl. Pohyb sa usku-tocnuje po priamke, preto pri riesenı ulohy je po-trebne pouzit’len jednu z troch pohybovych rovnıc(1.70). Pomocou sily (1.80) a pohybovej rovnice vovseobecnom tvare F = mdv/dt dostaneme pohy-bovu rovnicu pre padanie gul’ocky v tekutine. Pojednoduchych upravach dostaneme vzt’ah

dvdt

=∆mg

m− K

mv , (1.81)

v ktorom pomocou symbolu ∆m sme oznacili rozdiel hmotnosti m−m′. Rovnica (1.81)je diferencialnou rovnicou 1. radu a mozeme ju riesit’ tak, ze premenne v a t od sebaoddelıme (metoda separacie premennych). Jednoduchou upravou dostaneme

dvdt

=Km

(vk − v) , (1.82)

pricom pomocou konstanty vk, ktora ma vyznam rychlosti, sme oznacili zlomok ∆mgK .

Po d’alsej uprave dostaneme rovnicu

dv(vk − v)

=Kmdt , (1.83)

ktoru vieme integrovat’. Integraciou rovnice so separovanymi premennymi dostaneme

− ln (vk − v) =Km

t + C . (1.84)

Integracnu konstantu C urcıme z podmienky, ze v case t = 0 gul’ocka bola v pokojia teda rychlost’v tomto okamihu v = 0. Po dosadenı tychto hodnot do rovnice (1.84) preintegracnu konstantu dostaneme C = − ln vk. Dalsou upravou dostaneme hl’adanuzavislost’rychlosti v od casu t, pre ktoru platı

v = vk

(1− e−

Km t

)= vk

(1− e−

tτ

). (1.85)

Vidıme, ze odvodena zavislost’ rychlosti od casu ma zlozitejsı priebeh (obr.) nez privol’nom pade (v = gt), ked’ na teleso posobı len tiazova sila. Rychlost’exponencialnenarasta a teoreticky po nekonecne vel’kej dobe nadobuda limitnu hodnotu vk = ∆mg

K .Z rovnice (1.80) vyplyva, ze gul’ocka nadobuda tuto rychlost’v okamihu, ked’ vysled-nica vsetkych sıl F = 0.


vo

v=gt

v

t

Obrazok 1.18 Graficke znazornenie zavislostirychlosti gul’ocky padajucej v tekutine od casu.Rychlost’ gul’ocky exponencialne rastie k limitnejhodnote v0. Bodkovana ciara znazornuje zavislost’rychlosti od casu pri zanedbanı vztlakovej a odpo-rovej sily, t. j. pri vol’nom pade.

Narast rychlosti gul’ocky charakteri-zuje casova konstanta τ = m

K . L’ahko samozeme presvedcit’, ze po case t = 5τ

hodnota rychlosti je ≈ 0, 99vk. Teda uzpo relatıvne kratkom case t = 5τ rych-lost’gul’ocky je prakticky konstantna a jerovna hodnote limitnej rychlosti vk. Gu-l’ocka od uvedeneho okamihu sa v teku-tine pohybuje rovnomernym priamocia-rym pohybom. Tento poznatok je moznevyuzit’ pri skumanı vlastnostı tekutına napr. z nameranej rychlosti vk je moznevypocıtat’ koeficient dynamickej visko-zity η.

Zavislost’ vel’kosti drahy s, ktoruurazı gul’ocka za dobu t, sa vypocıta po-

uzitım dobre znameho postupu pomocou rovnıc (1.11) a (1.85). Tento vypocet prene-chavame na citatel’a.

Pohyb telesa vplyvom pruznej sily

Usporiadajme experiment tak, ze na vodorovnu podlozku polozıme pruzinu, jedenjej koniec uchytıme o stenu a na druhy upevnıme teleso o hmotnosti m (obr. 1.19).

m

x

O

Obrazok 1.19 Kmitavy pohyb gul’ocky vplyvomsily pruznosti.

Pociatok suradnicoveho systemu sizvol’me v bode, v ktorom sa nachadzateleso, ked’ pruzina nie je deformovana.Po deformaciı (stlacenı alebo natiahnutı)pruziny, ktora je charakterizovana tu-host’ou k, teleso zacne vykonavat’ kmi-tavy pohyb po priamke, ktoru stotoz-nıme s osou X zvolenej suradnicovej su-stavy. Budeme predpokladat’, ze odporvzduchu a aj trecia sila su zanedbatel’nemale a pri vysetrovanı pohybu ich ne-budeme uvazovat’. Teda pohyb sa buderealizovat’jedine vplyvom sily pruznosti

F = −kx (rov. (1.68)), ktora ako vidıme, je vyjadrena ako funkcia polohy hmotnehobodu, t. j. pomocou vychylky x. Vypocıtajme, aka je zavislost’vychylky x hmotnehobodu od casu t. Pre nas ucel je vyhodne vyjadrit’ pohybovu rovnicu (1.70a) v tvareF = md

2xdt2 , do ktorej po dosadenı sily pruznosti dostaneme

md2xdt2 = −kx . (1.86)


0 2 4 6 8 10 12

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

t

x [cm]

xo

Obrazok 1.20 Gul’ocka pohybujuca sa vplyvomsily pruznosti vykonava harmonicky kmitavy po-hyb, pri ktorom zavislost’rychlosti od casu popisujerovnica x = x0 sin (ω0t +α). Hodnoty amplitudyx0 a pociatocnej fazyα su urcene pociatocnymi pod-mienkami. V znazornenej zavislosti amplituda kmi-tov x0 = 1cm a pociatocna faza α = 30◦

Pouzitım substitucie

ω20 =

km

(1.87)

a jednoduchou upravou dostaneme

d2xdt2 + ω2

0x = 0 . (1.88)

Odvodena pohybova rovnica (1.88) je zmatematickeho hl’adiska diferencialnourovnicou druheho radu s konstantnymikoeficientami a bez pravej strany. Poku-sime sa najt’vseobecne riesenie tejto di-ferencialnej rovnice. Charakteristickourovnicou k rovnici (1.88) je kvadratickarovnica

λ2 + ω20 = 0 , (1.89)

ktorej korene su: λ1,2 = ±iω0, preto, ako vieme z prednasok z matematickej analyzy,diferencialnej rovnici vyhovuju funkcie

e+iω0t = cosω0t + i sinω0t , (1.90a)e−iω0t = cosω0t− i sinω0t . (1.90b)

Vseobecnym riesenım uvazovanej diferencialnej rovnice je linearna kombinacia

x = C1 cosω0t + C2 sinω0t , (1.91)

ktora po substituciach konstant C1 a C2 (C1 = x0 sinα, C2 = x0 cosα) nadobudne tvar

x = x0 sin (ω0t +α) . (1.92)

Riesenım diferencialnej rovnice je zavislost’vychylky x od casu t, ktora je znazornenana obr. 1.20

Z riesenia pohybovej rovnice vyplyva, ze teleso vplyvom pruznej sily vykonava

periodicky, harmonicky pohyb s amplitudou x0 a uhlovou frekvenciou ω0 =√

km . α sa

nazyva pociatocna faza alebo fazova konstanta. Vypocet zavislosti rychlosti a zrychle-nia od casu opat’prenechavame na citatel’a. Otazkami kmitaveho pohybu sa budemepodrobne zaoberat’v d’alsıch kapitolach.


1.2.4 Pohybova rovnica pri otacavom pohybe. Moment sily a mo-ment hybnosti

Nech hmotny bod sa voci vzt’aznemu bodu O nachadza v pokoji a nech jeho polohaje urcena pomocou polohoveho vektora r. Predpokladajme, ze na hmotny bod posobısila F‖, ktora je stale rovnobezna s polohovym vektorom r (obr. 1.27). Vplyvom tejtosily sa hmotny bod bude pohybovat’ po priamke urcenej polohovym vektorom r,hmotny bod nebude menit’ svoj smer, t. j. vplyvom uvedenej sily sa nebude otacat’vzhl’adom k vzt’aznemu bodu O. Je zrejme, ze hmotny bod sa bude otacat’vzhl’adomk bodu O, len ak posobiaca sila ma zlozku F⊥, ktora je kolma na polohovy vektor r.Teda za urcitych okolnostı sila posobiaca na hmotny bod moze sposobit’jeho otacavy(obezny) pohyb.

Pre skumanie otacaveho pohybu je vyhodne definovat’moment sily a moment hyb-nosti. Moment sily M vzhl’adom k vzt’aznemu bodu O je definovany vzt’ahom

M = r × F, (1.93)

v ktorom r je polohovy vektor posobiska sily F (obr.). Pre vel’kost’momentu sily platı

M = rF sinϕ = Fd , (1.94)

kde ϕ je uhol, ktory zviera polohovy vektorom r so silou F; d = r sinϕ je rameno sily.

F

F FM

Or

m

j

d

..

.

Obrazok 1.21 Vektor momentu sily M lezı vpriamke, ktora je kolma na rovinu urcenu vektoromsily F a polohovym vektorom r.

Silu F mozeme rozlozit’ na dvezlozky, z ktorych jedna F⊥ je kolma napolohovy vektor r a druha F‖ je s nımrovnobezna. V takom prıpade

M = r × F = r ×(

F⊥ + F‖)

= r × F⊥.(1.95)

Z uvedeneho vyplyva, ze k momentusily prispieva len ta zlozka sily, ktora maotacavy ucinok vzhl’adom k vzt’aznemubodu O. Moment tej zlozky sily, ktoranesposobuje otacanie je r × F‖ = 0.

Ak v mieste, ktore vzhl’adom k vzt’az-nemu bodu O je urcene polohovym vek-torom r, sa nachadza hmotny bod ohmotnosti m a hybnosti p, potom moment

hybnosti L hmotneho bodu vzhl’adom k bodu O je definovany vzt’ahom

L = r × p. (1.96)

Zistıme, aky je suvis medzi momentom sily posobiacim na hmotny bod a momen-tom hybnosti hmotneho bodu. Ak silu vo vzt’ahu (1.93) vyjadrıme pomocou zakona


sily F = dpdt dostaneme

M = r × dpdt

=ddt

(r × p) =dLdt

. (1.97)

Vo vypocte sme zohl’adnili skutocnost’, ze drdt × p = v×mv = 0. Odvodeny vzt’ah

M =dLdt

(1.98)

je pohybovou rovnicou pre otacavy pohyb hmotneho bodu, ktora hovorı, ze casova zmenamomentu hybnosti vzhl’adom k l’ubovol’nemu vzt’aznemu bodu je rovna momentu posobiacejsily vzhl’adom k tomu istemu bodu. Vidıme, ze pohybova rovnica pre otacavy pohyb (1.98)je formalne zhodna so zakladnou pohybovou rovnicou F = dp

dt . Na ilustraciu pouzitiarovnice (1.98) vysetrıme pohyb gul’ocky zavesenej na niti, ak gul’ocka sa pohybujevplyvom zemskej tiaze.

Kyvadlovy pohyb hmotneho bodu

Skumajme pohyb malej gul’ocky o hmotnosti m zavesenej na niti dlzky l, ktora ma za-nedbatel’nu hmotnost’voci hmotnosti gul’ocky. Ak gul’ocku vychylime z rovnovaznejpolohy a potom ju pustıme, gul’ocka zacne vykonavat’otacavy pohyb okolo vodorov-nej osi, ktora prechadza bodom upevnenie nite O (obr. 1.27).

m

j

j

r

O

Fg

Obrazok 1.22 Gul’ocka zavesena na niti vykonavakyvadlovy pohyb vplyvom tiazovej sily Fg = mgokolo vodorovnej osi, ktora prechadza bodom upev-nenia O. Uhol ϕ vyjadruje vychylku kyvadla z rov-novaznej polohy.

Nech poloha gul’ocky je vzhl’adomk bodu O urcena pomocou polohovehovektora r. Na gul’ocku posobı tiazova silaFg = mg, ktorej moment vzhl’adom kbodu O je

M = r ×mg (1.99)

a moment hybnosti gul’ocky vzhl’adomk tomu istemu bodu

L = r ×mv , (1.100)

kde v je rychlost’ gul’ocky v l’ubovol’-nom case t. Z uvedenych vzt’ahov vy-plyva, ze moment sily a moment hyb-nosti stale lezia v tej istej priamke (v osiotacania), preto pri skumanı pohybu gu-l’ocky mozeme namiesto pohybovej rov-

nice vo vektorovom tvare (1.98) pouzit’skalarnu rovnicu

M =dLdt

. (1.101)


Vel’kost’ momentu sily je urcena vzt’ahom M = lmg sinϕ, v ktorom ϕ je uholmedzi vektorom r a tiazovym zrychlenım g. Z obr. je vidiet’, ze pomocou uhla ϕ

je vyjadrena aj vychylka gul’ocky z rovnovaznej polohy. Ak sa obmedzıme na malevychylky (ϕ < 5◦), pri ktorych sinϕ ≈ ϕ, moment sily posobiacej na gul’ocku budepriamo umerny vychylke gul’ocky z rovnovaznej polohy, t. j.

M = −lmgϕ . (1.102)

Z rozboru pohybu gul’ocky vyplyva fakt, ze moment sily je stale opacne orientovanyako je smer vychylky ϕ, ktory sme v rov. (1.102) vyjadrili pomocou znamienka mınus.

Vektor rychlosti gul’ocky v a aj jej hybnosti mv su v kazdom okamihu kolme napolohovy vektor r a suvis medzi vel’kost’ou rychlosti v a uhlovou rychlost’ou ω je danyvzt’ahom v = ωl. Z uvedenych dovodov pre vel’kost’momentu hybnosti mozeme pısat’L = lmv = l2mω. Ked’ze uhlova rychlost’ω = dϕ

dt , vel’kost’momentu hybnosti mozemevyjadrit’v tvare

L = l2mdϕdt

. (1.103)

Po dosadenı odvodenych rovnıc (1.102) a (1.103) do rovnice (1.101) dostanemepohybovu rovnicu pre otacavy pohyb gul’ocky

d2ϕ

dt2 + ω20ϕ = 0 , (1.104)

v ktorej ω20 = g

l . Porovnanım odvodenej rovnice s pohybovou rovnicou (1.88) prepohyb telesa vplyvom pruznej sily vidıme, ze tieto rovnice maju rovnaky tvar, pretoriesenım diferencialnej rovnice (1.104) je zavislost’vychylkyϕ od casu t, ktoru mozemevyjadrit’pomocou vzt’ahu

ϕ = ϕ0 sin (ω0t +α) . (1.105)

Uvedena rovnica popisuje harmonicky otacavy pohyb gul’ocky s amplitudou ϕ0 a

uhlovou frekvenciou ω0 =√

gl .

Otacavy pohyb hmotneho bodu alebo aj telesa okolo pevnej osi, vplyvom sily,ktorej moment stale lezı v osi otacania, avsak menı svoju vel’kost’ a orientaciu sanazyva kyvadlovy pohyb.

Gul’ocka zavesena na niti, ktora vykonava kyvadlovy pohyb sa nazyva jednoduchymalebo niekedy aj matematickym kyvadlom. Perioda jednoducheho kyvadla sa vypocıtapodl’a vzt’ahu

T0 = 2π

√lg

, (1.106)

pomocou ktoreho je mozne urcit’ hodnotu tiazoveho zrychlenia g na danom miestezemskeho povrchu.


1.2.5 Silove posobenie pri relatıvnom pohybe

V predchadzajucich castiach sme sa zaoberali posobenım sily na hmotny bod a sku-manım jeho pohybu v sustave, ktoru sme povazovali za inercialnu. Teraz sa budemezaoberat’ silovym posobenım z hl’adiska sustav, ktore sa voci uvazovanej inercialnejsustave pohybuju.

Uvazujme o dvoch sustavach S a S′, z ktorych sustava S′ sa vzhl’adom k S pohybujetak, ze osi tychto sustav su stale rovnobezne (sustavy sa vzhl’adom k sebe neotacaju)a ich pociatky O a O′ boli v case t = 0 totozne . Poloha sustavy S′ voci S nech je urcenavektorom r0 (obr. 1.23).

X

X´Y

Y´

Z´

Z

O

O´

m

ro r

r´

Obrazok 1.23 Urcenie polohy hmotneho boduvzhl’adom k sustavam S a S´, ktore su v relatıvnompohybe. Sustava S´sa vyhl’adom k S pohybuje tak,ze osi obidvoch sustav su stale rovnobezne a ichpociatky boli na zaciatku pohybu totozne.

Predpokladajme, ze sustava S′ sa vocisustave S moze pohybovat’ l’ubovol’nourychlost’ou v0 = dr0

dt , t. j. sustava S′ mozebyt’inercialnou alebo neinercialnou.

Nech poloha hmotneho bodu je v su-stave S urcena vektorom r a v sustave S′

nech jeho polohu urcuje vektor r′. Z obr.je zrejme, ze

r = r0 + r′. (1.107)

Derivaciou rovnice (1.107) dostanemevzt’ah pre rychlost’ v hmotneho bodu vsustave S

v = v0 + v′, (1.108)

v ktorom v′ = dr′dt je rychlost’hmotneho

bodu v sustave S′. Z odvodenej rovnice

(1.108) vyplyva, ze vsetky telesa, ktore suv sustave S

′v pokoji (v′ = 0), sa v sustave S pohybuju rychlost’ou v0 a telesa, ktore sa

v sustave S′

pohybuju rychlost’ou v′ maju rychlost’ v = v0 + v′ v sustave S. Odvodenarovnica (1.108) je platna pre inercialne sustavy (v0 = konst.) ako aj pre neinercialnesustavy, pri ktorych v0 sa menı v zavislosti od casu, a nazyva sa vetou o skladanı rychlostı.

Silove posobenie v inercialnych sustavach

Teraz predpokladajme, ze rychlost’ v0 je konstantna. V takom prıpade zrychleniehmotneho bodu v sustave S je rovnake ako v sustave S

′a naopak, t. j.

a = a′. (1.109)

Z poslednej rovnice vyplyva, ze vo vsetkych referencnych sustavach, ktore savoci sebe nachadzaju v rovnomernom priamociarom pohybe, zrychlenie pohybujuceho sa


telesa je rovnake. Z uvedeneho rozboru vyplyva a aj experimenty potvrdzuju, ze silyposobiace na telesa5 su nezavisle od vol’by inercialnej vzt’aznej sustavy a pohybovyzakon (1.59) ma rovnaky tvar vo vsetkych inercialnych sustavach. Ina situacia sa vsakpozoruje, ak sustavy nie su inercialne.

Silove posobenie v neinercialnych sustavach

Casto sa stretavame s prıpadmi, ze napr. pri rozbiehanı alebo brzdenı elektricky sa ces-tujuci spravaju tak, ako keby ich niekto sacal dopredu, resp. dozadu; pri jazde automsa teleso polozene na sedadle auta pohne pri prudkom vjazde do zakruty. Tieto efektynevyplyvaju zo vzajomneho posobenia medzi telesami, v uvedenych prıkladoch niktoneposobil silou na cestujucich v elektricke ani na teleso v aute, ale existuju v dosledkutoho, ze ich vnımame z hl’adiska neinercialnych sustav. Sustava spojena s rozbiehaju-cou sa alebo s brzdiacou elektrickou ako aj sustava spojena s autom, ktore vykonavakrivociary pohyb je neinercialnou vzt’aznou sustavou. Problemy uvedeneho typu samozu riesit’ako z hl’adiska inercialnych, v uvedenych prıkladoch inercialnou sustavoumoze byt’ sustava spojena so Zemou) ako aj z hl’adiska neinercialnych sustav, avsakniektore problemy dynamiky sa jednoduchsie riesia z hl’adiska neinercialnej sustavy.V d’alsom sa budeme venovat’ dvom typom neinercialnych sustav, su to sustavy sktorymi sa stretavame najcastejsie.

Najprv predpokladajme, ze sustava S′

znazornena na obr. je takou neinercialnousustavou, ktora vzhl’adom k inercialnej sustave S sa pohybuje priamociaro so stalymzrychlenım a0 = dv0

dt . Nech hmotny bod sa v inercialnej sustave S pohybuje so zrych-lenım a. Derivovanım rovnice (1.108), ktora platı pre inercialne aj pre neinercialnesustavy, podl’a casu a jednoduchou upravou dostaneme vzt’ah

a′ = a− a0, (1.110)

v ktorom a = dvdt je zrychlenie hmotneho bodu v sustave S a a′ = dv′

dt je jeho zrychleniev sustave S′. Vynasobenım predchadzajucej rovnice hmotnost’ou m hmotneho bodudostaneme vzt’ah

F ′ = F + Fz , (1.111)

v ktorom F ′ = ma′ je sila z hl’adiska uvazovanej neinercialnej sustavy S′, F = ma je

interakcna sila posobiaca na hmotny bod a silu

Fz = −ma0 (1.112)

budeme nazyvat’zotrvacnou silou. Rovnica (1.111) hovorı, ze pri riesenı dynamickehoproblemu z hl’adiska uvazovanej neinercialnej sustavy je potrebne ku skutocnej sileF posobiacej na hmotny bod pripocıtat’ aj zotrvacnu silu Fz. Je to fiktıvna sila, jejexistencia nema povahu vzajomneho posobenia a suvisı len s neinercialnost’ou vzt’az-nej sustavy S′. Zotrvacna sila Fz ma opacny smer ako je smer zrychlenia sustavy S′.

5Pripomıname, ze su to sily, ktore existuju v dosledku interakcie telesa s inym telesom, su to tedainterakcne sily.


Prıkladom neinercialnej sustavy pohybujucej sa s konstantnym zrychlenım a0 mozebyt’sustava spojena s rozbiehajucim alebo brzdiacim vozidlom. Predstavme si telesotvaru gule, ktore je polozene na podlahe elektricky. Pri rozbiehanı vozidla z poko-joveho stavu by cestujuci pozorovali zrychleny pohyb gule smerom k zadnej castielektricky. Uvazovaneho telesa sa nikto nedotkol, preto skutocna, t. j. interakcna silaF = ma, je rovna nule. Pozorovany efekt v neinercialnej sustave je vsak vysvetlitel’nypomocou zotrvacnej sily. Rovnakym sposobom je mozne vysvetlit’ zmenu tlaku nachodidla osoby, ktora je vo vyt’ahu, pri jeho rozbiehanı alebo zastavovanı.

Pri riesenı uloh je casto vyhodne vyjadrit’silu v neinercialnej sustave, ktora vzhl’a-dom k uvazovanej inercialnej sustave vykonava otacavy pohyb. Nech sustava S′ savzhl’adom k sustave S otaca konstantnou uhlovou rychlost’ouω tak, ze pociatky tychtosustav su totozne a osou otacania je os Z′ ≡ Z (obr. 1.24). Bez odvodenia tu uvedieme,ze v uvedenom prıpade sila F ′ posobiaca na teleso, ktore vzhl’adom k sustave S

′je v

pokoji sa vypocıta podl’a vzt’ahu

X

X´

YY´

Z

w

Z´

m

O O´

F0

r´

Obrazok 1.24 Znazornenie neinercialnej sustavyS´ rotujucej vzhl’adom k inercianej sustave S. SustavaS´ sa vzhl’adom k S otaca konstantnou uhlovou rych-lost’ou ω okolo osi Z′ ≡ Z.

F′= ma + mω2r′, (1.113)

v ktorom ma = F je opat’ sku-tocnou silou posobiacou na hmotnybod. Sila Fo = mω2r′ je zdanlivasila, ktora sa v rovnici (1.113) objavilav dosledku matematickej transforma-cie zakona sily z inercialnej do uva-zovanej neinercialnej sustavy. Ak su-stavu S

′si zvolıme tak, ze hmotny

bod sa nachadza v rovine X′Y′

po-tom vektor r′ urcuje polohu hmotnehobodu vzhl’adom k pociatku O ≡ O

′.

Sila Fo sa nazyva zotrvacna odstredivasila.

Prikladom neinercialnych sustavtohto druhu moze byt’ sustava pevne

spojena so Zemou. Na teleso o hmotnosti m, ktore sa na zemskom povrchu nachadzav pokoji posobı gravitacna sila

FG = GmMR2 , (1.114)

v ktorej G je gravitacna konstanta6, M je hmotnost’ Zeme a R je polomer Zeme.Z hl’adiska sustavy spojenej so Zemou posobı okrem gravitacnej sily, ktora sme-ruje do stredu Zeme, aj zotrvacna odstrediva sila Fo, ktora je omnoho mensia

6G = 6, 670.10−11N.m2.kg−2


ako gravitacna sila a je orientovana v smere od osi rotacie Zeme (obr. 1.25).

F

F

Fg

o

G

S

Obrazok 1.25 Neinercialna sustava S´ rotujucaspolu so Zemou okolo osi Z´totoznej so zemskouosou. Z hl’adiska neinercialnej sustavy S´posobı nateleso, ktore je na Zemskom povrchu v pokoji, ok-rem gravitacnej sily FG aj zotrvacna odstrediva silaFo

Vyslednica tychto dvoch sıl mavel’kost’, ktora je nepatrne odlisnaod vel’kosti gravitacnej sily a jemierne odchylena od smeru gravitacnejsily.Vyslednica gravitacnej a zotrvacnejsily sa nazyva tiazova sila Fg a smeromtejto sily je urceny smer zvisly.

1.2.6 Hodnotenie posobenia silya jej ucinku

Uz je nam zname, ze teleso vplyvom po-sobiacej sily menı svoj pohybovy stav.Sila sposobuje zmenu rychlosti telesa pritranslacnom pohybe a je aj prıcinou jehootacaveho pohybu. Silove posobenie bu-deme hodnotit’z hl’adiska drahy, na kto-rej sila posobı a z hl’adiska doby, po-cas ktorej sila posobı. Pre hodnoteniedrahoveho a casoveho ucinku sily zave-dieme fyzikalne veliciny, ktore sa nazy-vaju praca a impulz sily.

Mechanicka praca

Posobenie sily po urcitej drahe hodnotıme pomocou fyzikalnej veliciny, ktora sa na-zyva mechanicka praca (d’alej len praca) a hovorıme, ze sila posobiaca na teleso konapracu. Pomocou prace teda hodnotıme mechanicky proces, ktory sa uskutocnuje priinterakcii telesa s okolitymi objektami a sucasne je sprevadzany pohybom posobiskasily.

Praca, ktoru vykona sila F posobiaca na hmotny bod po drahe medzi bodmi urce-nymi polohovymi vektormi r1 a r2 (obr), je definovana pomocou drahoveho integralusily

W =∫ r2

r1

F.dr . (1.115)

Z definıcie (1.115) je vidiet’, ze praca je skalarna velicina, ktoru mozeme vyjadrit’ ajv tvare

W =∫ s2

s1

F cosα ds =∫ s2

s1

Ftds , (1.116)

kde s1, resp. s2 su drahy, ktore hmotny bod presiel od zvoleneho bodu P po miestourcene polohovym vektorom r1, resp. r2, α je uhol, ktory zviera vektor sily F so


smerom posunutia dr. Pomocou symbolu Ft sme oznacili vel’kost’ priemetu sily dosmeru pohybu posobiska sily v danom mieste trajektorie (obr. 1.26). Zo vzt’ahu (1.116)vyplyva, ze praca je urcena drahovym integralom priemetu sily do smeru pohybu posobiskasily.

O

r1

r

v1

F

Ft

r2

v2

dr a

P

Obrazok 1.26 Pohyb hmotneho bodu vplyvomsily F. Praca je urcena drahovym integralom prie-metu sily do smeru pohybu posobiska sily.

Je zrejme, ze ked’ smer sily je totoznyso smerom pohybu posobiska sily, vyrazpre pracu nadobudne tvar

W =∫ s2

s1

Fds . (1.117)

Ak na uvazovanej drahe sila nemenısvoju vel’kost’ a ani orientaciu vzhl’a-hom k smeru pohybu, potom zo vzt’ahu(1.116) vyplyva, ze

W = Fs cosα . (1.118)

Jednotkou prace je 1 joule (J) a platı1J = 1Nm.

Praca pri otacavom pohybe hmotnehobodu po kruznici

Predpokladajme, ze hmotny bod sa otacapo kruznici polomeru r vplyvom sily F. Kvoli jednoduchosti nech vektor sily lezı vrovine, v ktorej sa otaca posobisko sily, t. j. v rovine urcenej uvazovanou kruznicou(obr.). Vypocıtame pracu, ktoru vykona posobiaca sila pri pootocenı hmotneho boduo uhol ∆ϕ = ϕ2 −ϕ1. Hmotny bod sa za dobu dt pootocı o elementarny uhol dϕ,prejde elementarnu drahu ds a jeho posunutie je dr. Podl’a rov. (1.115) mozeme preelementarnu pracu pısat’vzt’ahy

dW = F.dr = Ftds = Ftrdϕ , (1.119)

v ktorych Ft je vel’kost’priemetu sily F do dotycnice ku kruznici. Polomer kruznice r jesucasne ramenom sily Ft vzhl’adom ku stredu kruznice. Sucin Ftr predstavuje vel’kost’momentu sily M, preto elementarna praca

dW = Mdϕ , (1.120)

z ktorej po integracii dostaneme pracu pri pootocenı telesa o uhol ∆ϕ

W =∫ ϕ2

ϕ1

Mdϕ . (1.121)


S

djP

FF

t

r

ds

Obrazok 1.27 Sila konajuca pracupri otacavom pohybe hmotneho boduokolo pevnej osi.

Z predchadzajuceho rozboru vyplyva, ze pracasa vypocıta podl’a vzt’ahu (1.121) aj v prıpade ota-caveho pohybu telesa okolo pevnej osi, ak sila Fposobı v nejakom bode P na telese, ktory sa nacha-dza vo vzdialenosti r od osi.

Vykon

Z fyzikalneho a aj technickeho hl’adiska je dolezitycas, za ktory sa praca vykonala. Pre hodnotenierychlosti konania prace zavedieme fyzikalnu veli-cinu

P =dWdt

, (1.122)

ktoru budeme nazyvat’ okamzity vykon (d’alej lenvykon). Teda vykon je rovny prvej derivacii prace

podl’a casu. Podl’a vzt’ahu (1.115) elementarna praca dW = F.dr, preto vykon

P =F.drdt

= F.v , (1.123)

pricom v = drdt je rychlost’posobiska sily. V specialnom prıpade, ked’za rovnake casove

intervaly sa vykona stale rovnako vel’ka praca, to znamena, ze vykon je konstantny,mozeme vykon vyjadrit’pomocou vzt’ahu

P =Wt

. (1.124)

Ak vykon nie je konstantny a W predstavuje pracu vykonanu za dobu t, potom podl’avzt’ahu (1.124) sa vypocıta priemerny vykon.

V prıpade, ked’ sa posobisko sily pohybuje po kruznici, mozeme na zaklade vzt’a-hov (1.120) a (1.122) pısat’

P =Mdϕdt

= Mω . (1.125)

Teda v nami uvazovanom prıpade vykon je vyjadreny sucinom momentu sily a uhlovejrychlosti posobiska sily.

Jednotkou vykonu je 1 watt (W), pre ktory platı 1W = 1Js−1. Zo vzt’ahu (1.124)vyplyva ze jednotka prace 1J = 1Ws. V praxi sa casto vykon vyjadruje v kilowattoch(kW) a cas v hodinach (h). Po zavedenı tychto jednotiek je mozne pracu vyjadrit’ vkilowatthodinach (kWh).

Kineticka energia hmotneho bodu

Zo zakona sily (1.58) vyplyva, ze vplyvom sily posobiacej na hmotny bod sa menıjeho pohybovy stav, ktory sme charakterizovali pomocou hybnosti p = mv. Nech


v1 je rychlost’ hmotneho bodu v mieste, ktore je urcene polohovym vektorom r1 av2 je jeho rychlost’ v bode urcenom polohovym vektorom r2 (obr.). Vzt’ah pre pracu(rov. (1.116)), ktoru vykona sila F na drahe medzi uvedenymi bodmi mozeme upravit’pomocou vel’kosti tangencialnej sily Ft (rov. (1.63)) nasledovnym sposobom:

W =∫ s2

s1

Ftds =∫ s2

s1

mdvdtds =

∫ v2

v1

mvdv =12

mv22 −

12

mv21 . (1.126)

Pomocou vzt’ahuEk =

12

mv2 (1.127)

definujeme kineticku energiu hmotneho bodu, ktoreho hmotnost’je m a jeho rychlost’jev. Zavedenım kinetickej energie rovnicu 1.126 mozeme vyjadrit’v tvare

W = Ek2 − Ek1 = ∆Ek , (1.128)

ktora hovorı, ze praca sily posobiacej na hmotny bod na urcitej drahe je rovna zmene kinetickejenergie hmotneho bodu na tejto drahe. Teda na dosiahnutie zmeny kinetickej energiehmotneho bodu je potrebne vykonat’pracu, ktora v prıpade zvysenia kinetickej energieje kladna a v prıpade jej znızenia je zaporna. Rovnicu (1.128) budeme nazyvat’vetou okinetickej energii.

Potencialna energia hmotneho bodu

Casto sa stretavame s prıpadmi, ked’pracu je potrebne konat’pri zmene polohy hmot-neho bodu nachadzajuceho sa v nejakom silovom poli a to aj vtedy, ked’ nenastavazmena jeho pohyboveho stavu. Mozeme to ilustrovat’na viacerych jednoduchych prı-kladoch. Silou treba posobit’po urcitej drahe a tym vykonat’pracu, ked’ na zemskompovrchu chceme dvıhnut’ teleso do urcitej vysky, ked’ chceme zmenit’ polohu telesazaveseneho na pruzine a pod. Pracu treba vykonat’aj vtedy, ked’ chceme od tycovehomagnetu odtiahnut’kovovy predmet, alebo, ked’ na vodic nabity zapornym nabojomchceme umiestnit’d’alsı zaporny naboj. V uvedenych prıpadoch vonkajsia sila7 preko-nava tiazovu silu, silu pruznosti, magneticku silu alebo elektricku silu. Vonkajsia sila,ktoru teraz oznacıme F

′, kona pracu, ktoru mozeme vyjadrit’pomocou rovnice

W =∫ r2

r1

F′.dr. (1.129)

Uvazujme o prıpade, ked’pri dvıhanı telesa je potrebne prekonavat’okrem zemskejprıt’azlivej sily aj odpor vzduchu. Za takychto okolnostı praca, ktoru vykona vonkajsiasila pri premiestnovanı telesa po tej istej drahe je vacsia nez praca, ktora by bolavykonana bez prekonavania odporovej sily. Dalsı podstatny rozdiel spocıva v tom,

7Vo vseobecnosti na teleso nachadzajuce sa v silovom poli mozu okrem siloveho pol’a posobit’aj ineobjekty. Sily, ktorymi uvazovane objekty posobia budeme nazyvat’vonkajsimi silami.


ze praca pri premiestnovanı telesa medzi dvoma bodmi zavisı aj od drahy, po ktorejteleso je prenasane a cım je vacsia draha pohybu, tym vacsia je aj praca vykonanavonkajsou silou. Nastala by ina situacia, ak by sme odpor prostredia nebrali do uvahy.L’ahko sa mozeme presvedcit’, ze v takom prıpade praca vykonana vonkajsımi silaminezavisı od vel’kosti drahy, ale len od polohy pociatocneho a konecneho bodu.

Vo vseobecnosti silove polia, v ktorych praca nezavisı na tvare trajektorie hmot-neho bodu, ale len na polohe pociatocneho a konecneho bodu drahy, sa nazyvajukonzervatıvne (potencialove) silove polia. Pri premiestnovanı hmotneho bodu v konzer-vatıvnom silovom poli kona vonkajsia sila F

′pracu pri prekonavanı sily F, ktorou

na hmotny bod posobı konzervatıvne silove pole. Ak pri zmene polohy nenastavazmena pohyboveho stavu, vonkajsia sila F

′je v neustalej rovnovahe so silou F, ktorou

na hmotny bod posobı pole, teda F′= −F.

Pomocou prace vykonanej pri premiestnenı hmotneho bodu v konzervatıvnomsilovom poli definujeme zmenu potencialnej (polohovej) energie hmotneho bodu v uva-zovanom silovom poli. Nech Ep1 je potencialna energia hmotneho bodu v mieste 1 aEp2 je jeho energia v mieste 2. Zmenu potencialnej energie ∆Ep = Ep2 − Ep1 definujemepomocou prace, ktoru vykonaju vonkajsie sily pri premiestnenı hmotneho bodu z polohy 1 dopolohy 2. So zretel’om na vzt’ah pre pracu (1.129) a zohl’adnenım vzt’ahu F ′ = −F me-dzi vonkajsou silou F ′ a silou, ktorou na hmotny bod posobı pole F, mozeme zmenupotencialnej energie definovat’aj vzt’ahom

∆Ep = Ep2 − Ep1 = −∫ r2

r1

F.dr . (1.130)

Vektory r1 a r2 v rov. (1.130) urcuju polohu bodov 1 a 2 a F je sila, ktorou na hmotnybod posobı konzervatıvne silove pole.

Zavislost’sily od potencialnej energie hmotneho bodu

Pomocou vzt’ahu pre elementarnu zmenu potencialnej energie

dEp = −F.dr (1.131)

vyplyvajuceho z rovnice (1.130) mozeme odvodit’zavislost’sily od potencialnej energiev danom mieste siloveho pol’a. Potencialna energia hmotneho bodu Ep zavisı od jehopolohy v konzervatıvnom silovom polı, ktora moze byt’urcena pomocou suradnıc x,y a z. Pre diferencial dEp funkcie Ep(x, y, z) platı:

dEp =∂Ep

∂xdx +

∂Ep

∂ydy +

∂Ep

∂zdz

=(

∂Ep

∂xi +

∂Ep

∂yj +

∂Ep

∂zk)· (dxi + dy j + dzk)

=(

∂∂x

i +∂

∂yj +

∂∂z

k)

Ep · dr .

(1.132)


Vyraz na pravej strane poslednej rovnice, ktory oznacıme pomocou symbolu ∇ (na-bla), t. j.

∇ =(

∂∂x

i +∂

∂yj +

∂∂z

k)

, (1.133)

predstavuje diferencialny operator a vysledkom jeho posobenia na skalarnu velicinuje vektor. Operaciu operatora ∇, ktory sa nazyva aj Hamiltonov operator, na ska-larnu velicinu nazyvame gradient. Pomocou tohto oznacenia mozeme rovnicu (1.132)vyjadrit’v tvare

dEp = ∇Ep · dr = gradEp · dr . (1.134)

Vektor dr = (dxi + dy j + dzk) vyjadruje elementarne posunutie hmotneho bodu.Porovnanım vzt’ahov (1.131) a (1.134) dostavame rovnicu

F = −gradEp , (1.135)

ktora hovorı, ze sila, ktorou konzervatıvne silove pole posobı v danom mieste na hmotny bod,je rovna zaporne vzatemu gradientu jeho potencialnej energie v uvazovanom mieste.

Zakon zachovania mechanickej energie

Uvazujme o dynamicky izolovanom systeme, o ktorom predpokladame, ze na hmotnybod okrem sily konzervatıvneho pol’a neposobı ziadna ina sila. Vplyvom silovehopol’a sa moze zmenit’ poloha hmotneho bodu a aj jeho pohybovy stav, tak ako je tonapr. pri vol’nom pade telesa v poli zemskej tiaze.

Praca, ktoru pole vykona pri premiestnenı hmotneho bodu z polohy 1 do polohy 2,je rovna rozdielu kinetickej energie v tychto bodoch (rovnica (1.128)), preto mozemepre pısat’

W =∫ r2

r1

F.dr = Ek2 − Ek1 . (1.136)

Podl’a rov. (1.130) zmena potencialnej energie pri diskutovanom premiestnenı hmot-neho bodu taktiez suvisı s pracou vykonanou silovym pol’om. Porovnanım vzt’ahov(1.130) a (1.136) dostaneme rovnicu

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 , (1.137)

ktora hovorı, ze sucet kinetickej a potencialnej energie v bode 1 konzervatıvnehosiloveho pol’a je rovnaky ako tento sucet v bode 2. Ked’ze body 1 a 2 mozu byt’l’ubovol’ne, sucet kinetickej a potencialnej energie hmotneho bodu, ktory budemenazyvat’mechanickou energiou E hmotneho bodu, je v kazdom mieste konzervatıvnehosiloveho pol’a rovnaky. Na zaklade uvedeneho mozeme rovnicu (1.137) zapısat’ vovseobecnejsom tvare

E = Ek + Ep = konst. (1.138)

Tato rovnica je matematickym vyjadrenım zakona zachovania mechanickej energie, podl’aktoreho sucet kinetickej a potencialnej energie (mechanicka energia) hmotneho bodu je rovnakyv kazdom mieste konzervatıvneho siloveho pol’a.


V prırode a v technickej praxi sa stretavame s nekonzervatıvnymi silami, ktore sanazyvaju disipatıvne sily. Praca vykonana nekonzervatıvnymi silami zavisı od tvarutrajektorie (od vel’kosti drahy medzi uvazovanymi bodmi), po ktorej sa posobiskosily pohybuje. Je zrejme, ze praca nekonzervatıvnych sıl po uzavretej trajektorii je narozdiel od prace konzervatıvnych sıl rozna od nuly. Prıkladom takej sily je sila trenia aaj pohyb telesa v poli zemskej tiaze, pri ktorom je potrebne zohl’adnit’odpor vzduchuje pohyb v disipatıvnom silovom poli.

Zakon zachovania mechanickej energie je specialnym prıpadom zakona zachovaniaenergie, ktory sa vzt’ahuje na vsetky druhy energie. V prıpade disipatıvnych sıl akymisu napr. trecie sily, cast’mechanickej energie sa menı na tepelnu energiu, avsak celkovaenergia sa zachovava.

Impulz sily

Casovy ucinok sily posobiacej na hmotny bod za dobu ∆t = t2 − t1 budeme hodnotit’pomocou casoveho integralu sily

I =∫ t2

t1

Fdt . (1.139)

Takto definovana vektorova velicina I sa nazyva impulz sily. Substituciou sily pomocoupohyboveho zakona

F =dpdt

dostaneme ∫ t2

t1

Fdt =∫ p2

p1

dp = p2 − p1 , (1.140)

kde p1 a p2 su hybnosti hmotneho bodu v okamihoch t1 a t2. Teda

I = p2 − p1 = ∆p . (1.141)

Z odvodenej rovnice vyplyva, ze impulz sily posobiacej na hmotny bod pocas casovehointervalu ∆t sa rovna zmene hybnosti hmotneho bodu za tuto dobu.

Impulz sily je vhodny pre hodnotenie narazovych sıl, t. j. sıl, ktore posobia kratkudobu a su vel’mi vel’ke. Pocas ich posobenia sa len malo menı poloha telesa, avsakdochadza k vel’kej zmene jeho pohyboveho stavu.

V mnohych prıpadoch narazova sila ma premenlivu vel’kost’, ale jej smer sa nemenı.Namiesto takej sily casto stacı uvazovat’ strednu hodnotu narazovej sily F, ktorasposobuje rovnaky impulz ako premenliva sila. V uvedenych prıpadoch mozemepısat’skalarnu rovnicu

I =∫ t2

t1

Fdt = F(t2 − t1) = ∆p , (1.142)

z ktorej napr. vyplyva, ze rovnaku zmenu hybnosti telesa ∆p mozeme dosiahnut’posobenım vel’kej sily F pocas kratkej doby ∆t = t2 − t1, alebo naopak, posobenımmalej sily pocas dlhsej doby.


Rotacny impulz

Podobne ako v prıpade impulzu sily, ktory sme definovali pre charakterizovaniecasoveho ucinku sily, pomocou impulzu momentu sily (rotacneho impulzu) H, ktory jedefinovany vzt’ahom

H =∫ t2

t1

Mdt , (1.143)

charakterizujeme casovy ucinok momentu sily. Pomocou rovnice (1.143) a pohybovejrovnice pre otacavy pohyb hmotneho bodu (1.98) dostaneme suvis medzi rotacnymimpulzom a momentom hybnosti hmotneho bodu:

H = L2 − L1 = ∆L . (1.144)

Z rovnice vyplyva, ze rotacny impulz posobiaci na hmotny bod v casovom intervale ∆t =t2 − t1 je rovny zmene momentu hybnosti ∆L hmotneho bodu za tuto dobu.


1.3 Mechanicky pohyb sustavy hmotnych bodov

Doteraz pouzıvany prıstup, v ktorom skutocny objekt bol nahradeny hmotnym bo-dom, neumoznuje riesit’vsetky ulohy dynamiky. Pre prıpady, ked’ rozmery objektovnemozu byt’ zanedbane je uzitocne zaviest’ model sustavy hmotnych bodov. Pomocoutakeho modelu je mozne napr. skumat’pohyb sustavy telies, v ktorej kazde teleso jenahradene hmotnym bodom. Predstava sustavy hmotnych bodov je vhodna aj pretuhe telesa a latky v kvapalnom a plynnom stave, v ktorych stavebne castice (atomy,molekuly), mozu byt’povazovane za hmotne body.

Uvazujme o sustave n hmotnych bodov, ktorych hmotnosti su m1, m2, m3, ..., mi,... mn. Kazdy hmotny bod je vo vzajomnom silovom posobenı s ostatnymi hmotnymibodmi. Sily, ktorymi hmotne body navzajom na seba posobia sa nazyvaju vnutornesily. Okrem toho, na kazdy hmotny bod sustavy mozu posobit’objekty, ktore nepatriado uvazovanej sustavy hmotnych bodov. Sily, ktorymi posobia objekty nepatriace douvazovanej sustavy su vonkajsımi silami.

Vyslednica vnutornych sıl

Pri vypocte vyslednice vsetkych vnutornych sıl sustavy vyuzijeme zakon akcie a reak-cie. Kvoli jednoduchosti najprv uvazujme o sustave pozostavajucej z troch hmotnychbodov, ktorych hmotnosti su m1, m2 a m3 (obr. (1.28)).

m3

f23

f32

f13

f31

f21

f12

m2m1

Obrazok 1.28 Vnutorne sily medzi hmotnymibodmi sustavy troch hmotnych bodov.

Ak hmotny bod m1 posobı na hmotnybod m2 silou f 12, potom hmotny bod m2posobı na m1 silou f 21, pre ktoru platıf 21 = − f 12. Analogicky mozeme vyjad-rit’vzt’ahy medzi silami, ktorymi na sebaposobia d’alsie dve dvojice hmotnych bo-dov, t. j. f 31 = − f 13 a f 32 = − f 23. Jezrejme, ze vyslednica vnutornych sıl me-dzi troma hmotnymi bodmi

( f 21 + f 12) + ( f 31 + f 13)++ ( f 23 + f 32) = 0 .

(1.145)

V kazdej sustave hmotnych bodov jemozne vnutorne sily, ktorymi jednotlivehmotne body na seba posobia, zdruzit’do dvojıc f i j a f ji. Tieto sily maju rov-naku vel’kost’ a su opacne orientovane,

preto pre n hmotnych bodov platı

n

∑i=1

n

∑j=1

f ji = 0 , (1.146)

1.3. MECHANICKY POHYB SUSTAVY HMOTNYCH BODOV 47

kde f ji je sila, ktorou posobı hmotny bod m j na hmotny bod mi. Odvodena rovnicahovorı, ze vyslednica vsetkych vnutornych sıl je rovna nule.

Vyslednica momentov vnutornych sıl

rj

ri

fji f

ij

mjmi

O

Obrazok 1.29 Urcenie polohy posobısk sıl, kto-rymi na seba posobia hmotne body mi a m j.

V d’alsom vypocıtame vysledny momentvsetkych vnutornych sıl. Rovnako akov predchadzajucom odstavci predpokla-dame, ze medzi dvoma l’ubovol’nymihmotnymi bodmi sustavy mi a m j po-sobia sily f ji a f i j, ktore su rovnakovel’ke, maju opacny smer a lezia v tej is-tej priamke (obr. (1.29)). Poloha tychtohmotnych bodov je vzhl’adom k zvole-nemu vzt’aznemu bodu O urcena pomo-cou polohovych vektorov ri a r j a vy-sledny moment tychto dvoch sıl vzhl’a-dom k bodu O je rovny vektorovemusuctu momentov jednotlivych sıl. Teda

M ji + Mi j = (ri × f ji) + (r j × f i j) = (ri − r j)× f ji . (1.147)

Vektor ∆ri j = ri − r j lezı na tej istej priamke ako aj vektor f ji, preto

M ji + Mi j = ∆ri j × f ji = 0 . (1.148)

Zovseobecnenım tychto uvah pre vsetky dvojice sıl sustavy n hmotnych bodov dosta-neme

n

∑i=1

n

∑j=1

M ji =n

∑i=1

n

∑j=1

ri × f ji = 0 . (1.149)

Teda vysledny moment vsetkych vnutornych sıl sustavy vzhl’adom k l’ubovol’nemu vzt’aznemubodu sustavy je rovny nule.

Tazisko sustavy hmotnych bodov

V mnohych prıpadoch namiesto pohybu celej sustavy hmotnych bodov postacujeskumat’ pohyb t’aziska sustavy hmotnych bodov. Existuje viacero sposobov definı-cie t’aziska a odvodenia vzt’ahov pre urcenie jeho polohy. Predpokladame, ze pojemt’aziska je pre citatel’a dobre znamy, preto sa obmedzıme na vyjadrenie vzt’ahov preurcenie jeho polohy bez prıslusneho odvodenia.

Ak poloha hmotnych bodov o hmotnostiach m1, m2, m3, ..., mi, ... mn je vzhl’adomku vzt’aznemu bodu O urcena pomocou polohovych vektorov r1, r2, r3, ..., ri, ... rn,


potom polohu t’aziska je mozne urcit’pomocou polohoveho vektora rT, pre ktory platı:

rT =1M

n

∑i=i

miri , (1.150)

kde M = ∑ni=1 mi predstavuje hmotnost’celej sustavy hmotnych bodov.

Ak vzt’azny bod O je pociatkom pravouhlej suradnicovej sustavy a vektory rT a rirozlozıme na zlozky xT, yT, zT a xi, yi, zi, potom suradnice t’aziska sustavy hmotnychbodov mozu byt’vyjadrene pomocou vzt’ahov

xT =1M

n

∑i=1

mixi , (1.151a)

yT =1M

n

∑i=1

mi yi , (1.151b)

zT =1M

n

∑i=1

mizi , (1.151c)

Na obr. (1.30) je znazornena poloha t’aziska sustavy dvoch hmotnych bodov, ktorychpomer hmotnostı m1

m2= 2.

X

Y

x 2x 1

y 1

y 2

x T

y T

T

m1

m 2

Obrazok 1.30 Poloha t’aziska sustavy dvochhmotnych bodov, ktorych pomer hmotnostı m1

m2= 2.

Vzt’ahy (1.150) az (1.151), ktore suplatne pre l’ubovol’nu sustavu hmotnychbodov, platia aj pre latkove objekty v tu-hom, kvapalnom a plynnom stave, v kto-rych stavebne castice (atomy, molekuly,iony) su blızko pri sebe. Kvoli obrov-skemu poctu castıc v latke a ich vel’kejhustote je vyhodnejsie pri popise me-chanickeho pohybu nahradit’ diskretnusustavu hmotnych bodov, napr. sustavumolekul, objektom so spojite distribu-ovanou latkou. Taky prıstup casto bu-deme vyuzıvat’pri skumanı pohybu te-lies.

V uvedenych prıpadoch budeme na-miesto hmotneho bodu s hmotnost’ou m

uvazovat’o nekonecne malom hmotnom elemente o hmotnosti dm, ktory sa nachadzav nekonecne malom objeme dV. Hustota latky je definovana vzt’ahom

ρ =dmdV

, (1.152)

z ktoreho pre hmotnost’ hmotneho elementu vyplyva vzt’ah dm = ρdV. Hmotnost’latky sa vypocıta podl’a vzt’ahu

M =∫

ρdV, (1.153)


avsak v prıpade homogennych latok, t. j. v prıpadoch, ked’ hustota latky je v kazdejjej casti rovnaka, hmotnost’latky mozeme vypocıtat’podl’a vzt’ahu M = ρV.

X

Y

x

y

x T

y T

T

dm

rT

r

Obrazok 1.31 Urcenie polohy t’aziska telesa.

Polohu t’aziska vzhl’adom k vzt’az-nemu bodu O vyjadruje polohovy vektor

rT =1M

∫rdm . (1.154)

Ak vzt’azny bod spajame s pociatkompravouhlej suradnicovej sustavy, potompre suradnice t’aziska platia vzt’ahy

xT =1M

∫xdm , (1.155a)

yT =1M

∫ydm , (1.155b)

zT =1M

∫zdm , (1.155c)

v ktorych x, y, z su suradnice hmot-neho elementu dm, M je hmotnost’ lat-koveho objektu, ktora moze byt’vypocı-tana podl’a vzt’ahu (1.153). Na obr. (1.31)

je znazornena poloha hmotneho elementu dm a t’aziska T telesa tvaru nepravidelnejdosky.

1.3.1 Pohybove rovnice sustavy hmotnych bodov

Prva impulzova veta

Na kazdy hmotny bod sustavy hmotnych bodov mozu vo vseobecnosti posobit’von-kajsie a vnutorne sily. Vyslednicu vsetkych vonkajsıch sıl posobiacich na i-ty hmotnybod oznacıme F i a vyslednica vsetkych vnutornych sıl, ktorymi na uvazovany i-tyhmotny bod posobia vsetky ostatne hmotne body sustavy je f i = ∑n

j=1 f ji. Ked’zezatial’ hovorıme o jednom i-tom hmotnom bode sustavy, mozeme na neho aplikovat’zakon sily (1.58), podl’a ktoreho vyslednica vonkajsıch a vnutornych sıl posobiacichna hmotny bod je rovna casovej zmene hybnosti hmotneho bodu. Teda mozeme pısat’rovnicu

F i + f i =dpidt

, (1.156)

v ktorej pi = mivi je hybnost’i-teho hmotneho bodu. Sumaciou rovnıc (1.156) pre i = 1az n dostaneme

n

∑i=1

F i +n

∑i=1

n

∑j=1

f ji =n

∑i=1

dpidt

=ddt

n

∑i=1

pi . (1.157)


∑ni=1 F i = F v rovnici (1.157) je vyslednica vsetkych vonkajsıch sıl posobiacich na su-

stavu hmotnych bodov, t. j. na vsetky body sustavy. Dvojita suma predstavuje vysled-nicu vsetkych vnutornych sıl a tato podl’a rovnice (1.146) je rovna nule. ∑n

i=1 pi = ppredstavuje hybnost’ sustavy hmotnych bodov. Po uvedenych substituciach dosta-neme rovnicu

F =dpdt

, (1.158)

ktora hovorı, ze vyslednica vsetkych vonkajsıch sıl posobiacich na sustavu hmotnych bodovje rovna casovej zmene hybnosti sustavy hmotnych bodov. Rovnica (1.158) sa nazyva 1.impulzova veta.

Pre 1. impulzovu vetu je mozne najst’ aj ine matematicke vyjadrenie. Hybnost’sustavy hmotnych bodov je mozne pomocou vzt’ahu (1.150) vyjadrit’ nasledovnymsposobom:

p =n

∑i=1

mivi =ddt

n

∑i=1

miri =ddt

(MrT) . (1.159)

Dosadenım vzt’ahu p = ddt(MrT) do 1. impulzovej vety (1.158) dostaneme rovnicu

F = MaT , (1.160)

v ktorej M je hmotnost’ sustavy hmotnych bodov a aT = d2rTdt2 je zrychlenie t’aziska

sustavy hmotnych bodov. Rovnica (1.160), ktora je z fyzikalneho hl’adiska ekvivalentna1. vete impulzovej, je vetou o pohybe t’aziska. Podl’a nej t’azisko sustavy hmotnych bodov sapohybuje tak, ako by sa pohyboval hmotny bod, ktoreho hmotnost’ je rovna hmotnosti sustavy,keby nan posobila sila rovnajuca sa vyslednici vsetkych vonkajsıch sıl posobiacich na sustavuhmotnych bodov.

Druha impulzova veta

Ak na hmotny bod sustavy, ktoreho hmotnost’je mi a hybnost’pi, posobı vonkajsia silaF i a vnutorna sila f i, potom moment tychto sıl vzhl’adom k l’ubovol’nemu vzt’aznemubodu O je

(ri × F i) +n

∑j=1

(ri × f ji) , (1.161)

kde vektor ri urcuje polohu i-teho hmotneho bodu sustavy vzhl’adom k vzt’aznemubodu O. Uvazovany i-ty hmotny bod vzhl’adom na vzt’azny bod O ma moment hyb-nosti Li = ri × pi, ktoreho suvis s momentom sily je dany pohybovou rovnicou (1.98).Teda mozeme pısat’

(ri × F i) +n

∑j=1

(ri × f ji) =dLi

dt. (1.162)

Sumaciou rovnıc (1.162) pre i = 1, 2, 3, ..., n dostanemen

∑i=1

(ri × F i) +n

∑i=1

n

∑j=1

(ri × f ji) =n

∑i=1

dLi

dt=ddt

n

∑i=1

Li . (1.163)


V predchadzajucej rovnici vektorovy sucet momentov vsetkych vonkajsıch sıl poso-biacich na sustavu hmotnych bodov ∑n

i=1(ri × F i) predstavuje vyslednicu momentovvsetkych vonkajsıch sıl M a vektorovy sucet momentov hybnostı jednotlivych hmot-nych bodov ∑n

i=1 Li predstavuje celkovy moment hybnosti sustavy L. Z predchadza-jucich uvah uz vieme, ze dvojita suma ∑n

i=1 ∑nj=1(ri × f ji) predstavuje vektorovy sucet

momentov vsetkych vnutornych sıl, ktory je rovny nule (rov. (1.149)). Po uvedenychoznaceniach dostaneme rovnicu

M =dLdt

, (1.164)

ktora sa nazyva 2. impulzova veta. Z nej vyplyva, ze vektorovy sucet momentov vsetkychvonkajsıch sıl posobiacich na sustavu hmotnych bodov je rovny casovej zmene momentuhybnosti sustavy hmotnych bodov.

1.3.2 Zakony zachovania a podmienky rovnovahy

Sustavu hmotnych bodov, na ktoru neposobia nijake vonkajsie sily budeme nazyvat’dynamicky izolovanou sustavou. V prıpade izolovanej sustavy vyslednica vonkajsıch sılF = 0 a aj vysledny moment vonkajsıch sıl M = 0. Z prvej (1.158) a druhej (1.164)impulzovej vety pre izolovanu sustavu hmotnych bodov vyplyvaju vzt’ahy

p = konst. a L = konst. (1.165)

Rovnice (1.165) su matematickymi vyjadreniami zakona zachovania hybnosti a zakonazachovania momentu hybnosti. Z uvedenych rovnıc vyplyva, ze hybnost’izolovanej sustavya jej moment hybnosti sa vzhl’adom k l’ubovol’nemu vzt’aznemu bodu O zachovavaju, t. j.nemenia svoje vel’kosti ani smery.

Uviedli sme, ze prva veta impulzova je ekvivalentna s vetou o pohybe t’aziska. Vprıpade dynamicky izolovanej sustavy hmotnych bodov rovnica (1.160) nadobudnetvar

F = maT = 0 , (1.166)

z ktorej vyplyva, ze zrychlenie t’aziska sustavy hmotnych bodov aT = dvTdt = 0 a

rychlost’t’aziska sustavyvT = konst. (1.167)

Z odvodenej rovnice vyplyva, ze t’azisko izolovanej sustavy sa pohybuje konstantnourychlost’ou a to bez ohl’adu na to, ako sa pohybuju jednotlive hmotne body sustavy.

V specialnom prıpade rovnice (1.165) platia aj pre sustavu hmotnych bodov, ktoranie je dynamicky izolovana. Taky prıpad nastava, ked’vonkajsie sily posobiace na jed-notlive hmotne body sustavy su rozne od nuly, avsak vyslednica vsetkych vonkajsıchsıl ∑n

i=1 F i = F = 0 a aj vyslednica momentov vonkajsıch sıl ∑ni=1(ri × F i) = M = 0.

Hovorıme, ze sily posobiace na sustavu hmotnych bodov a aj ich momenty su v rov-novahe. V diskutovanom prıpade rovnice (1.165) su podmienkami rovnovahy sustavyhmotnych bodov.


1.4 Otacavy pohyb tuheho telesa okolo pevnej osi

Pomocou pohyvovych rovnıc (1.158) a (1.164) mozeme vysetrovat’pohyb l’ubovol’nejsustavy hmotnych bodov, teda aj pohyb telesa, ktore mozeme povazovat’ za objektzo spojite distribuovanou latkou. Skumanie pohybu telesa je jednoduchsie v prıpa-doch, ked’ sa kazdy bod telesa pohybuje po priamke alebo vykonava otacavy pohybokolo pevnej osi. V obidvoch uvazovanych prıpadoch vsetky vektory popisujuce po-hyb lezia v tej istej priamke, preto namiesto prıslusnych vektorovych rovnıc stacı priskumanı pohybu pracovat’so skalarnymi rovnicami. V prvom nami uvazovanom prı-pade pohyb telesa mozeme skumat’pomocou rovnice F = ma. V d’alsom sa pokusimeodvodit’analogicku rovnicu pre otacavy pohyb telesa okolo pevnej osi.

1.4.1 Pohybova rovnica telesa rotujuceho okolo pevnej osi

Pomocou druhej vety impulzovej (1.164), ktora ma tvar

M =dLdt

, (1.168)

mozeme vysetrovat’l’ubovol’ny otacavy pohyb. Moment sily sposobujuci otacavy po-hyb telesa mozeme vo vseobecnosti vyjadrit’pomocou zloziek v pravouhlej suradni-covej sustave podl’a vzt’ahu

M = Mxi + My j + Mzk . (1.169)

Zmenu pohyboveho stavu telesa, ktore rotuje okolo pevnej osi o ≡ Z pravouhlejsuradnicovej sustavy sposobuje iba zlozka momentu sily spadajuca do smeru osirotacie a ostatne zlozky momentu sily nemaju vplyv na otacavy pohyb okolo pevnejosi. Z uvedenych dovodov nase uvahy nebudu stracat’na vseobecnosti, ked’ budemepredpokladat’, ze moment sily ma len jednu nenulovu zlozku, ktorej vel’kost’ je Mz,teda M = Mz.

Moment hybnosti telesa rotujuceho okolo pevnej osi

Pri odvodzovanı pohybovej rovnice je potrebne vyjadrit’aj zlozku momentu hybnostispadajucu do osi rotacie o ≡ Z.

Pri otacavom pohybe telesa sa rozne jeho casti pohybuju roznymi rychlost’ami,preto je potrebne najprv vyjadrit’ moment hybnosti hmotneho elementu telesa dL.Podl’a definıcie (1.96) moment hybnosti elementu o hmotnosti dm, ktoreho polohavzhl’adom k zvolenemu vzt’aznemu bodu O je urcena pomocou polohoveho vektora ra rychlost’elementu vzhl’adom k tomuto bodu je v, je urceny vzt’ahom dL = r × vdm,z ktoreho pre moment hybnosti rotujuceho telesa vyplyva

L =∫

r × vdm . (1.170)

1.4. OTACAVY POHYB TUHEHO TELESA OKOLO PEVNEJ OSI 53

Kvoli jednoduchosti nech rotujucim telesom je teleso tvaru nepravidelnej dosky za-nedbatel’nej hrubky (obr. (1.32)) a nech os rotacie telesa o je kolma na dosku.

Ox

v

r

dmw

Obrazok 1.32 Otacavy pohyb telesa tvaru nepra-videlnej dosky zanedbatel’nej hrubky okolo pevnejosi, ktora prechadza bodom O a je kolma na dosku.Vektor r urcuje polohu hmotneho elementu o hmot-nosti dm, ktory sa pohybuje po kruznici rychlost’ouv. Vektor momentu hybnosti L je orientovany po-zdlz osi rotacie.

Moment hybnosti L budeme vzt’aho-vat’ k vzt’aznemu bodu O, ktory lezı naosi rotacie v bode, v ktorom os pretınadosku. Vektory r a v lezia v rovine kol-mej na os rotacie, preto vektor r × v a ajvektor momentu hybnosti telesa L lezı vosi rotacie. Uvedene vektory su na sebakolme, preto pre vel’kost’momentu hyb-nosti mozeme pısat’

L =∫

rvdm =∫

ωr2dm = ω

∫r2dm .

(1.171)Pomocou integralu

I =∫

r2dm (1.172)

definujeme moment zotrvacnosti telesa Ivzhl’adom k osi, okolo ktorej teleso ro-

tuje. Teda moment hybnosti telesa rotujuceho okolo pevnej osi sa vypocıta podl’avzt’ahu

L = Iω . (1.173)

Z vypoctov vyplyva, ze vel’kost’ momentu hybnosti telesa rotujuceho okolo pevnej osi jeurcena sucinom momentu zotrvacnosti telesa I vzhl’adom k osi rotacie a uhlovej rychlosti ω

rotacie. Vektor momentu hybnosti L lezı v osi rotacie a jeho orientacia je urcena smerom rotacie.

Pohybova rovnica telesa rotujuceho okolo pevnej osi

V prıpade telesa rotujuceho okolo pevnej osi vektory momentu sily M a momentu hyb-nosti L lezia v tej istej priamke, preto namiesto druhej impulzovej vety vo vektorovomtvare mozeme otacavy pohyb popısat’skalarnou rovnicou

M =dLdt

=d(Iω)dt

, (1.174)

v ktorej moment hybnosti L sme nahradili vzt’ahom (1.173). Moment zotrvacnosti Inie je zavisly od casu, preto pre moment sily dostaneme vzt’ah

M = Iε , (1.175)

v ktorom ε = dωdt je uhlove zrychlenie telesa rotujuceho okolo pevnej osi. Odvodena

rovnica, ktora je platna nielen pre teleso tvaru dosky zanedbatel’nej hrubky, ale platı


pre teleso l’ubovol’neho tvaru, je pohybovou rovnicou telesa rotujuceho okolo pevnej osi.Pohybova rovnica hovorı, ze moment vsetkych vonkajsıch sıl otacajucich teleso okolo pevnejosi je rovny sucinu momentu zotrvacnosti vzhl’adom k tejto osi a uhloveho zrychlenia telesa.

Pouzitie pohybovej rovnice odvodenej pre otacavy pohyb telesa rotujuceho okolopevnej osi si ukazeme v casti 1.4.2 pri skumanı kyvadloveho pohybu telies.

Kineticka energia telesa rotujuceho okolo pevnej osi

Kazdy hmotny element telesa rotujuceho okolo pevnej osi sa otaca rovnakou uhlovourychlost’ou ω, avsak jeho rychlost’ v zavisı od polomeru kruznice r (obr. (1.32)), poktorej sa dany element pohybuje. Ked’ze v = ωr, pre kineticku energiu hmotnehoelementu mozeme pısat’

dEk =12dmv2 =

12dmω2r2. (1.176)

Po integracii dostaneme vzt’ah

Ek =12ω2

∫r2dm , (1.177)

v ktorom I =∫

r2dm je moment zotrvacnosti vzhl’adom k osi rotacie. Teda kinetickaenergia telesa rotujuceho okolo pevnej osi sa vypocıta podl’a vzt’ahu

Ek =12

Iω2. (1.178)

Pohybovu rovnicu telesa rotujuceho okolo pevnej osi (1.175) mozeme napısat’ vtvare

M = Idωdt

. (1.179)

Vynasobenım tejto rovnice elementarnym uhlom dϕ = ωdt dostaneme vzt’ah

Mdϕ = Iωdω . (1.180)

Podl’a (1.120) l’ava strana predchadzajucej rovnice vyjadruje elementarnu pracu dWvykonanu pri pootocenı telesa o uhol dϕ. Praca vykonana pri pootocenı telesa o uholϕ2 −ϕ1 je ∫ ϕ2

ϕ1

Mdϕ =12

Iω22 −

12

Iω21, (1.181)

kde uhlove rychlosti ω1 a ω2 odpovedaju pociatocnemu uhlu ϕ1 a ϕ2 po pootocenı. Zodvodenej rovnice vyplyva, ze praca sily vykonana pri otocenı telesa o uhol ϕ2 −ϕ1je rovna zmene kinetickej energie pri uvazovanom pootocenı. Vo vete o kinetickejenergii, ktoru sme uz skor dokazali pre prıpad translacneho pohybu telesa (rov.(1.128))sa predpoklada, ze moment zotrvacnosti telesa sa pocas pohybu nemenı.


Moment zotrvacnosti telesa, Steinerova veta

Z definıcie (1.172) sa da dedukovat’, ze moment zotrvacnosti telesa zavisı od hmotnostitelesa, od vzdialenosti osi od t’aziska a od jej orientacie vzhl’adom k telesu.

ox

r

r

dmxoo

T

a

Obrazok 1.33 Urcenie polohy hmotneho ele-mentu dm vzhl’adom k osi oT , ktora prechadza t’azis-kom telesa tvaru nepravidelnej dosky a vzhl’adomk osi o, ktora je rovnobezna s t’aziskovou osou oT .Obidve osi su orientovane kolmo na dosku. Vektora urcuje polohu osi oT vzhl’adom k osi o.

Odvodıme suvis medzi momentomzotrvacnosti telesa vzhl’adom k l’ubo-vol’nej osi o a momentom zotrvacnostivzhl’adom k osi oT, ktora prechadzat’aziskom telesa a s uvazovanou osouje rovnobezna. Kvoli jednoduchosti vy-pocty momentu zotrvacnosti urobımepre teleso tvaru nepravidelnej doskyzanedbatel’nej hrubky vzhl’adom k osi,ktora je na dosku kolma. Polohu hmot-neho elementu dm budeme urcovat’po-mocou polohovych vektorov r a r0vzhl’adom k osiam o a oT tak, ako je toznazornene na obr. (1.33)

Poloha osi oT vzhl’adom k osi o je ur-cena pomocou polohoveho vektora a. Zobrazku je zrejme, ze pre uvedene vek-tory platı rovnica

r = r0 + a , (1.182)

umocnenım ktorej dostaneme

r2 = r20 + a2 + 2a · r0 . (1.183)

Vynasobenım tejto rovnice hmotnost’ou dm a integraciou dostaneme∫r2dm =

∫r2

0dm + a2∫dm + 2a ·

∫r0dm , (1.184)

pricom pri upravach na pravej strane rovnice sme zohl’adnili skutocnost’, ze vektora a aj jeho vel’kost’ a su konstantne. Zo vzt’ahu (1.172) vyplyva, ze integral na l’avejstrane rovnice predstavuje moment zotrvacnosti I vzhl’adom k osi o, prvy integral napravej strane predstavuje moment zotrvacnosti I0 vzhl’adom k osi oT a druhy vzt’ahna pravej strane nadobuda po integracii hodnotu ma2. Podl’a definıcie polohovehovektora t’aziska (rov.(1.150)) pre integral v poslednom vzt’ahu predchadzajucej rovniceplatı

∫r0dm = mrT a ked’ze os oT prechadza t’aziskom, potom aj polohovy vektor

t’aziska rT a aj integral∫

r0dm su rovne nule. Teda platı

I = I0 + ma2. (1.185)

Odvodeny vzt’ah, ktory platı nielen pre dosku zanedbatel’nej hrubky, ale aj pre telesol’ubovol’neho tvaru, sa nazyva Steinerova veta. Z rovnice (1.185) vyplyva, ze moment


zotrvacnosti I telesa vzhl’adom k l’ubovol’nej osi je rovny suctu momentu zotrvacnosti I0vzhl’adom k osi prechadzajucej t’aziskom a rovnobeznej s uvazovanou osou a sucinu hmotnostitelesa a druhej mocniny kolmej vzdialenosti obidvoch osı. Zo Steinerovej vety vyplyva,ze moment zotrvacnosti ma v zavislosti od vzdialenosti a minimum a nadobudanajmensiu hodnotu pre os prechadzajucu t’aziskom.

1.4.2 Kyvadlovy pohyb

Pri otacavom pohybe telesa okolo pevnej osi vektor momentu sily stale lezı v tej istejpriamke, avsak moze menit’ svoju orientaciu a svoju vel’kost’. Specialnym prıpadomotacaveho pohybu je kyvadlovy pohyb telesa, pri ktorom moment sily ma vzdy opacnysmer ako je smer vychylky z rovnovaznej polohy a jeho hodnota je priamo umernavel’kosti vychylky. Prıkladom kyvadloveho pohybu je torzne a fyzikalne kyvadlo.Obidve kyvadla su vhodne na experimentalne urcenie momentu zotrvacnosti telies.

Torzne kyvadlo

Pohyb torzneho kyvadla sposobuju pruzne sily, ktore vznikaju pri skrucanı vlaknaalebo tyce. Torzne kyvadlo moze byt’ realizovane pomocou dosky upevnenej v jejstrede na zvislom vlakne (obr. (1.34)).

o

+j-j

Obrazok 1.34 Znazornenie pohybu torzneho ky-vadla okolo zvislej osi o. Kyvadlovy pohyb sa usku-tocnuje vo vodorovnej rovine.

Z experimentov vyplyva, ze suvismedzi momentom sıl M, ktore sposo-buju otacavy pohyb okolo pevnej osi, auhlom pootocenia ϕ z rovnovaznej po-lohy je dany vzt’ahom

M = −M0ϕ . (1.186)

M0 je torzna tuhost’vlakna, ktora je urcenajeho elastickymi vlastnost’ami a geomet-rickymi rozmermi. Pre moment sily su-casne platı pohybova rovnica (1.175)

M = Id2ϕ

dt2 . (1.187)

Porovnanım rovnıc (1.186) a (1.187) ajednoduchou upravou dostaneme pohy-bovu rovnicu torzneho kyvadla

d2ϕ

dt2 + ω20ϕ = 0 , (1.188)

v ktorej ω20 = M0/I. Riesenie pohybovej rovnice moze byt’vyjadrene pomocou zavis-

lostiϕ = ϕ0 sin (ω0t +α) , (1.189)


v ktorej ϕ0 je amplituda pohybu vyjadrujuca maximalnu vychylku kyvadla z rovno-vaznej polohy. Hodnota fazovej konstanty α zavisı od vol’by zaciatku merania casu.Z rovnice (1.189) vyplyva, ze torzne kyvadlo vykonava periodicky pohyb s uhlovoufrekvenciou

ω0 =

√M0

I(1.190)

a periodou pohybu

T =2π

ω0= 2π

√I

M0. (1.191)

Vypoctom je mozne ukazat’, ze torzna tuhost’pre vlakno kruhoveho prierezu polomerur a dlzky l ma hodnotu

M0 =πGr4

2l, (1.192)

kde G je modul pruznosti v smyku materialu, z ktoreho vlakno je zhotovene.Modul pruznosti v smyku G moze byt’urceny meranım periody torzneho kyvadla.

Pre jeho vypocet mozeme pouzit’vzt’ah, ktory dostaneme eliminaciou torznej tuhostiM0 z rovnıc (1.191) a (1.192).

Vzt’ah medzi periodou T a momenom zotrvacnosti I torzneho kyvadla umoznujeexperimentalne stanovenie momentu zotrvacnosti symetrickych telies. Ak torzne ky-vadlo zhotovıme tak, ze na kruhovu dosku povodneho kyvadla polozıme symetricketeleso, pre periodu takehoto zlozeneho kyvadla T′ platı vzt’ah

T′ = 2π

√I + I′

M0, (1.193)

v ktorom I je moment zotrvacnosti kruhovej dosky a I′ je moment zotrvacnosti telesapolozeneho na kruhovu dosku. Z rovnıc (1.191) a (1.193) pre moment zotrvacnostisymetrickeho telesa dostaneme

I′ = I[

T′2

T2 − 1.]

(1.194)

Vypoctom integralu (1.172) dostaneme pre moment zotrvacnosti kruhovej doskyvzt’ah I = mR2/2. Hmotnost’ kruhovej dosky m, jej polomer R a periody T a T′

zistıme meranım.

Fyzikalne kyvadlo

Pod fyzikalnym kyvadlom rozumieme teleso l’ubovol’neho tvaru, ktore vplyvom tia-zovej sily moze vykonavat’kyvadlovy pohyb okolo vodorovnej osi neprechadzajucejt’aziskom (obr. (1.35)). Budeme skumat’ casovu zavislost’ vychylky kyvadla ϕ z jehorovnovaznej polohy. Pre tento ucel si na vodorovnej osi o, ktora na obrazku je kolma


na nakresnu, zvol’me vzt’azny bod O tak, ze jeho vzdialenost’a od t’aziska T je sucasneaj vzdialenost’ou t’aziska od osi o.

Na l’ubovol’ny hmotny element kyvadla posobı tiazova sila gdm, ktorej momentvzhl’adom k bodu O je dM = r × gdm, kde r je polohovy vektor hmotneho elementuvyhl’adom k vzt’aznemu bodu O. Pre moment sily posobiacej na kyvadlo s hmotnost’oum platia vzt’ahy

M =∫

r × gdm =∫

rdm× g = rT ×mg. (1.195)

Vektor M stale lezı v tej istej priamke, preto namiesto vektorovej rovnice (1.195)mozeme pısat’skalarnu rovnicu

M = amg sinϕ, (1.196)

j

x

j

r

mg

O

T

Obrazok 1.35 Pohyb fyzikalneho kyvadla okolopevnej vodorovnej osi vlyvom tiazovej sily. Os rota-cie je kolma na nakresnu a prechadza bodom O.

v ktorej vel’kost’polohoveho vektora t’a-ziska sme oznacili pomocou symbolu a,t. j. |rT| = a. Ak sa obmedzıme na malevychylky (ϕ < 5◦), pri ktorych sinϕ ≈ϕ, potom moment sily M bude pria-moumerny vychylke ϕ a ak pomocouznamienka mınus zohl’adnime orienta-ciu momentu sily vzhl’adom k vychylkeϕ pre moment sily mozeme pısat’

M = −amgϕ. (1.197)

Ked’ze sa opat’ jedna o otacavy po-hyb okolo pevnej osi, mozeme pouzit’rovnicu (1.175). Po dosadenı (1.197) do(1.175) a uprave dostaneme pohybovu

rovnicu fyzikalneho kyvadlad2ϕ

dt2 + ω20ϕ = 0, (1.198)

v ktorej ω20 = mga/l. Vidıme, ze odvodena pohybova rovnica ma taky isty tvar ako

pre torzne kyvadlo. Tedaϕ je opat’harmonickou funkciou casu s uhlovou frekvenciouω0 a periodou T pre ktore platı

ω0 =√

mgaI

(1.199)

a

T = 2π

√I

mga. (1.200)

Odvodeny vzt’ah pre periodu fyzikalneho kyvadla mozeme vyuzit’pre experimentalneurcenie momentu zotrvacnosti I.

Documents

FYZIKA - people.tuke.skpeople.tuke.sk/dusan.olcak/Fyzika.pdf · 6 KAPITOLA 1. O-G-F:MECHANICKY´ POHYB TUHE´HO TELESA nom pohybe sa vsˇetky body telesa pohybuju´ rovnaky´m spoˆsobom,