Perambatan Ralat

Mengapa Perambatan Ralat?

Kebanyakan besaran fisis tidak dapat diukur secara langsung , tetapi dihitung berdasarkan besaran- besaran lain yang dapat diukur secara langsung ataudengan kata lain menggunakan persamaan matematik. Misal: Volume = panjang × lebar × tinggi

Bagaimana caranya memperoleh ketakpastian volume (ΔV)? gunakan rumus perambatan ralat

Rumus Umum Perambatan RalatPada Kasus Umum,

Dimana u,v,w,.... adalah variabel yang mewakili besaran fisis yang dapat diukur. Hal ini berarti terdapat dengan standar deviasinya dan

memiliki dan . Rerata dari fungsi adalah nilai rata-rata dari masing- masing variabel dimasukkan ke dalam fungsi

Untuk masing- masilng nilai terukur

Digunakan ekspansi Taylor di sekitar rata- rata, diperoleh

Rumus Umum Perambatan Ralat, yaitu:Untuk x = f(u, v, w, …) dan u Maka

Perlu diingat rumus tersebut berlaku jika seluruh ketakpastian dari variabel penyusunnya (u, v,w, …) saling tak gayut/tak terkorelasi (independence) dan bersifat acak (random). Jika tidak dapat dipastikan atau tidak memenuhi syarat di atas, maka sebaiknya digunakan rumus non  kuadratis berikut :

Rumus Khusus Perambatan Ralat

Contoh Soal

Contoh Soal

Contoh Soal

Perambatan galat (Error)

Hal ini bertujuan mengkaji bagaimana error dalam bilangan dapat

merambat melalui fungsi matematis. Contohnya , apabila kita ingin

mengalikan dua bilangan yang mempunyai error maka bagaimana

menaksir error dalam hasil kali ini.

Seandainya dipunyai fungsi f(x), dengan x sebai perubah bebas. Dan

merupakan pendekatan dari x. Untuk mengetahui pengaruh penyimpangan

dan x pada nilai fungsi tersebut dapat di perhatikan rumus berikut ,

( 3.12)

Tetapi dengan menggunakan rumus 3.12 muncul kesulitan karena nilai

fungsi sebenarnya yaitu f(x) tidak diketahui. Untuk mengatasinya dapat

digunakan rumus

( 3.13)

dimana f(x) menyatakan suatu taksiran error dari fungsi dan

x menyatakan taksiran error dari x.

Contoh 3.3 :

Tentukan defleksi Y dari puncak tiang perahu layar yang dirumuskan

Dimana F adalah beban samping ( pon/kaki), L adalah tinggi (kaki), E

modulus kekenyalan( pon/kaki2) dan I momen inersi ( kaki4). Taksirlah eror

dalam Y jika

F = 50 pon/kaki , L = 30 pon /kaki , E = 1.5 X 108 pon/ kaki4 dan I = 0.06

kaki4

F = 2 pon/kaki , L = 0.1 pon /kaki , E = 0.01 X 108 pon/ kaki4 dan

I = 0.0006 kaki2

Deret TaylorDeret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.

1) Persamaan deret Taylor Bila suatu fungsi f (x) diketahui di titik xi dan semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor (persamaan 4.6) dapat dinyatakan nilai f pada titik xi + 1 yang terletak pada jarak x dari titik xi.

f (xi + 1) = f (xi) + f (xi) + f (xi) + + f n (xi) + Rn (4.6)

dengan:

f (xi) = fungsi di titik xi.

f (xi + 1) = fungsi di titik xi + 1.

f , f , …, f n = turunan pertama, kedua, . . ., ke n dari fungsi.

x = langkah ruang, yaitu jarak antara xi dan xi + 1.

Rn = kesalahan pemotongan.

! = operator faktorial, misalkan bentuk 2! = 1 x 2; 3! = 1 x 2

x 3.

Gambar 4.1. Perkiraan suatu fungsi dengan deret Taylor

Kesalahan pemotongan (Rn) diberikan oleh bentuk berikut:

(4.7)

Persamaan (4.6) yang mempunyai suku sebanyak tak berhingga akan memberikan perkiraan nilai suatu fungsi sesuai dengan penyelesaian eksaknya, dalam prakteknya sulit memperhitungkan semua suku tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.a) Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

Bila yang diperhitungkan hanya satu suku pertama dari ruas kanan, maka dapat ditulis sebagai berikut:

f (xi + 1) f (xi) (4.8)

Persamaan ini disebut juga sebagai perkiraan order nol, nilai f pada titik xi + 1 sama dengan nilai pada xi, perkiraan tersebut adalah benar jika fungsi yang diperkirakan adalah suatu konstan, jika fungsi tidak konstan, maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.

b) Memperhitungkan dua suku pertama (order 1)Bentuk deret Taylor order satu, yang memperhitungkan dua suku pertama, dapat ditulis dalam bentuk:

f (xi + 1) f (xi) + f (xi) (4.9)

yang merupakan bentuk persamaan linier (garis lurus).

c) Memperhitungkan tiga suku pertama (order 2)Deret Taylor yang memperhitungkan tiga suku pertama dari ruas kanan dapat ditulis menjadi:

f (xi + 1) f (xi) + f (xi) + f (xi) (4.10)

persamaan ini disebut juga perkiraan order dua.

2) Kesalahan pemotongan ( truncation error ) Adanya kesalahan karena tidak diperhitungkannya suku-suku terakhir dari deret Taylor.

Pada deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi dengan benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan, dalam prakteknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasil perkiraan tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik.

Bentuk kesalahan pemotongan (truncation error,Rn) sebagai berikut:

Rn = O (xn + 1)

Indeks n menunjukkan bahwa deret yang diperhitungkan adalah sampai pada suku ke n, sedang n + 1 menunjukkan bahwa kesalahan pemotongan mempunyai order n + 1.

Notasi O (xn + 1) berarti bahwa kesalahan pemotongan mempunyai order xn + 1, atau kesalahan sebanding dengan langkah ruang pangkat n + 1, sehingga kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:

a) Interval x adalah kecil.b) Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor.Pada perkiraan order satu, besarnya kesalahan pemotongan adalah:

O (x2) = f (xi) + f (xi) + (4.11)