Gazdaságstatisztika

Jegyzet és példatár

2011 Csala-Takács Éva Tantárgyfelelős – oktató Email: csala.takacs@gmail.com Tel/sms: 20/3239610

2

Mottó: „ A statisztika olyan, mint a bikini. Csak gondolatokat ébreszt.”☺)) Statisztika oktatás célja:

• Alapvető ismereteket biztosítson a hallgatóknak a statisztika fogalomrendszeréről, a leggyakrabban használt statisztikai eszközökről.

• Fejlessze a hallgatók számarány-érzékét a mikro- és makrogazdaság legfontosabb valós mutatóinak bemutatásával, alkalmaztatásával.

• Felkeltse a hallgatók érdeklődését az összefüggések feltárására, következtetések levonására a vállalat eseményei és a gazdasági élet napi történései között.

Tartalomjegyzék I. Általános statisztika alapfogalmai II. Információsűrítés egyszerűbb eszközei III. Információsűrítés módszerei mennyiségi ismérvek esetén IV. Főátlagok, összetett intenzitási viszonyszámok összehasonlítása standardizálással V. Érték-, ár- és volumenindexek VI. Ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolat VII. Mintavétel VIII. Statisztikai becslések IX. Üzleti statisztika alapfogalmai, X. Információszerzés statisztikai módszerei XI. Idősorok összeállítása, elemzése XII. Árstatisztika XIII. Termelés és készletek statisztikai jellemzése XIV. Pénzügyi statisztika XV. Demográfia XVI. Igazságügyi statisztika XVII. Felhasznált irodalom XVIII. Képletgyűjtemény XIX. Fogalomtár

3

I. ALAPVETŐ FOGALMAK 1.1. Statisztika fogalma, alkotóelemei, ágai Statisztika: Tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk gyűjtése, feldolgozása és ebből a vizsgált jelenségre vonatkozóan következtetések levonása. Három alkotóeleme a következő: a) a valóságról valamilyen információt hordozó jelek, ezeket röviden adatnak nevezzük b) az adatok feldolgozására, elemzésére szolgáló eszközök, a statisztikai módszerek c) adatok pontos definiálásának, összegyűjtésének, rendszerezésének és publikálásának

tevékenységes és intézményi apparátusa, a statisztikai rendszer A statisztikának sokféle ága alakult ki, amelyek közül a legfontosabbak: a) leíró statisztika: amely az adatok feldolgozására, elemzésére szolgáló statisztikai

módszereket tárgyalja b) matematikai statisztika: amely azzal foglalkozik, hogyha a teljes valóságot nem ismerjük,

csak annak egy részét, akkor hogyan lehet megalapozott következetéseket levonni a valóság egészére vonatkozóan

c) népességstatisztika vagy demográfia: amely a népesség statisztikai jellemzőit (pl. családi állapotát, egészségügyi állapotát stb.) vizsgálja

d) gazdaságstatisztika: amely a gazdasági élet jelenségeinek tömör jellemzése, illetve ennek módszertana

Nemzetközi irodalomban elterjedt csoportosítás: a) leíró statisztika b) következtetéses statisztika (segítségével olyan megállapítások tehetőek, amelyek nemcsak

közvetlen megfigyelésen alapulnak) c) statisztikai döntéselmélet (a véletlen környezet által bekövetkező események

figyelembevétele mellett több lehetséges cselekvési lehetőség közül, az optimálisnak vélt kiválasztásához ad számszerű információkat)

Statisztikai munka fázisai 1. a vizsgálati cél eléréshez vezető program elkészítése 2. az ehhez szükséges megfigyelés (adatfelvétel) 3. a célnak megfelelő adatfeldolgozás 4. elemzés, értékelés a feldolgozott adatok alapján 5. eredmények közlése Programkészítés lépései: 1. Az elérendő cél kitűzése és statisztikai megfogalmazása 2. Az elemzés és a közlés megtervezése 3. A feldolgozási terv elkészítése 4. A célnak megfelelő adatgyűjtés tervének elkészítése 5. Szervezési teendők

4

1.2. Az adatok megbízhatósága „Van kis hazugság, nagy hazugság és statisztika”

(Benjamin D’ Israeli) A mondások azért igazak némileg, mert az adatfelvétel, feldolgozás, elemzés során az információkat akaratlanul és esetleg szándékosan is különböző hibák torzíthatják. Hibák lehetséges fő típusai: a) adatfelvételi hiba: az adatokhoz jutás során fellépő hiba. Pl. ha a kérdezőbiztos rosszul,

pontatlanul fogalmazza meg a kérdést b) mintavételi hiba: részleges megfigyelésből származó hiba. Pl. ha a minta nem véletlen,

akkor ez nagyon torzíthatja a megszerzett információkat. c) feldolgozási hiba: az adatok feldolgozása során keletkező hiba. Pl.: az adatok rögzítése

során keletkező torzítás A statisztikai adatoknak minőségi követelményeknek is meg kell felelniük: - pontosság - gazdaságosság - gyorsaság 1.3 Statisztikai sokaság és ismérv Statisztikai sokaság: azoknak az elemeknek az összessége, halmaza, melyekkel egy elemzés során foglalkozunk. Sokaság típusai: a) állósokaság (stock): az a sokaság, amelyet egy időpillanatban érdemes számba venni, mert

állandóan változik. Pl. népesség száma Magyarországon 2009. január 1-jén b) mozgósokaság (flow): számbavétele csak egy időtartam alatt értelmes. Pl. termelés

alakulása, születések száma stb. Statisztikai ismérv: az a szempont vagy tulajdonság, mely alapján a sokaság elemeit jellemezzük. típusai: - minőségi ismérv, pl: nem, hajszín - mennyiségi ismérv, pl: életkor, testsúly A mennyiségi ismérv értékeinek monoton sorozata a rangsor. - területi ismérv, pl: lakhely, születési hely - időbeli ismérv, pl: születés éve stb. Más csoportosítás szerint: a) Csoportosítható és összehasonlítható ismérv b) A mennyiségi ismérv lehet: Diszkrét : csak véges vagy megszámlálhatóan végtelen,

egymástól jól elkülönülő értéket vehet fel. Folytonos : egy adott intervallumon belül bármilyen, tehát kontinuumszámosságú értéket vehet fel.

c) Közös ismérv: azok az ismérvek, melyek szerint a sokaság egységei egyformák. Megkülönböztető ismérv : azok az ismérvek, melyek szerint az egyedek különbőznek egymástól.

5

Speciális ismérv: ALTERNATÍV ismérv, melyek esetében az ismérvnek csak két ismérvértéke, változata lehetséges. Pl: nem: - férfi - nő vizsga kimenetele: - sikerült - nem sikerült Mérési szintek: Mérés : számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez, illetve ezek bizonyos tulajdonságaihoz. A hozzárendelési szabályok alapján négy mérési skálát különbőztetünk meg: A, névleges vagy nominális mérési skála: a számok kötetlen hozzárendelését jelenti. B, sorrendi vagy ordinális skála: a sokaság egyedeinek egy közös tulajdonság alapján való sorba rendezése. C, intervallum vagy különbségi skála: hagyományos értelmében is mérést jelent, ugyanis a skálaértékek különbségei is valós információt adnak a sokaság egységeiről. D, aranyskála: legmagasabb mérési szint, a legtöbb információt nyújtja. Gyakorló feladatok:

1, Az egyik egyetemre járó tanulók anyagi helyzetét kívánjuk felmérni: Feladat: A, Határozza meg a fenti felméréshez szükséges sokaságot! B, Soroljon fel néhány közös és megkülönböztető ismérvet! C, Nevezze meg a megkülönböztető ismérvek típusát! D, Rendezzük az ismérveket aszerint, hogy hány változatuk van. E, Képezzünk sorokat egy 40 fős csoportra vonatkozóan tetszőleges adatokkal. 2, Határozza meg a budapesti kerékpárállomány alakulásának leírásához szükséges sokaságot! 3, Becsülni kívánjuk a székesfehérvári buszbérlettel rendelkezők közül a diákok arányát. Feladat: A, Definiálja a felméréshez szükséges sokaságot! B, Teljes körű vagy részleges megfigyelést célszerű alkalmazni? 4, Definiáljon egy tetszés szerinti sokaságot! Sorolja fel a sokaság közös ismérveit és mondjon megkülönböztető ismérveket a sokaságra vonatkozóan!

6

5, Nevezzen meg mutatószámokat saját környezetére vonatkozóan, amelyek: a, teljes körű, b, részleges megfigyelésből származhatnak. 6, Definiáljon olyan sokaságot, amely: a, álló b, mozgó c, véges d, végtelen Soroljon fel ezeknek a sokaságoknak az elemeire vonatkozóan megkülönböztető jellemzőket, képezze ezeknek a sokaságoknak különböző részsokaságait.

7, 2007. május. 24 -én felsőfokú intézményben 27950 fő végzett. Válaszoljon a következő kérdésekre: A, Mi a megfigyelt sokaság? B, Milyen típusú a megfigyelt sokaság? C, Milyen közös jellemzői vannak a sokaság elemeinek? D, Milyen megkülönböztető jellemzőkkel rendelkeznek a sokaság

elemei? E, A közös és megkülönböztető jellemzők milyen típusúak? 8, Az Olimpiai Bajnokok sokaságára vonatkozóan soroljon fel minőségi, mennyiségi, térbeli, időbeli megkülönböztető jellemzőket!

9, A vízjogilag engedélyezett területre az Országos Vízügyi Főigazgatóság

adatai alapján kiöntözött vízmennyiség millió köbméterben, 2006-ban 539, 2007-ben 218 volt.

A, Írja fel az adatokat statisztikai sor formájában! B, Mennyivel, hány % -kal, hány %-ra, illetve hányad részére

csökkent a kiöntözött vízmennyiség 2007-re, 2006-hoz képest? C, Határozza meg a felvételhez szükséges sokaságot! D, Készítsen kérdőívet a probléma felméréséhez! 10, Néhány sokaság: - 2008-ban Magyarországon kiadott novellák összessége. - Az iskolai könyvtárak összes tankönyvállománya 2008. január 5.-én. - Színházlátogatások száma egy adott napon Budapesten. - Egy áruház ruházati osztályának forgalma a téli kiárusítás hetében. - Üzembe-helyezett beruházások nagysága 2007-ben. - A lakosság gázfogyasztása 2008 decemberében. - Nógrád megye állatállományának nagysága 2008. március. 31-én. - Győr népessége 2009. január 1-jén.

7

Feladat: - Nevezze meg a fenti sokaságok típusait. - Milyen diagrammal ábrázolná őket? - Mondjon közös és megkülönböztető ismérveket a sokaságra vonatkozóan. - Milyen mérési skálákon mérhetőek az egyes ismérvek? 11, Egy egyetemen a műszaki szakokon tanuló hallgatók „nem” szerinti megoszlása a következő volt 2007-ben: Nem Hallgatók száma (fő) Férfi 2731 Nő 1069 Összesen 3800 Feladat:

• Nevezze meg a statisztikai sor típusát. • Számolja ki a nemek megoszlását és a 100 nőre jutó férfiak számát.

8

II. AZ INFORMÁCIÓSŰRÍTÉS EGYSZERŰBB ESZKÖZEI Információsűrítés egyszerűbb módszerei: a) sokaság nagyságának meghatározása valamely ismérv szerint b) sokaság egységeinek sorokba, táblákba rendezése c) grafikus ábrák készítése d) összefüggések jellemzése viszonyszámokkal 2.1. Statisztikai sorok és táblák Statisztikai sor: a sokaság egy ismérv szerinti tömör jellemzése Két fő fajtája: - összehasonlító sor - csoportosító sor Vizsgált ismérv típusa szerint: - mennyiségi sor - minőségi sor - területi sor - idősor Speciális sor: LEÍRÓ sor: amely a sokaság egy egységének több ismérv szerinti tulajdonságát sorolja fel, tehát különböző típusú adatokat tartalmaz egy azon tárgyra vonatkozóan. Statisztikai tábla: a sokaság egyszerre több ismérv szerinti jellemzése Dimenziószám: a táblában egyszerre figyelembe vett ismérvek száma Táblák fő típusai: a) összehasonlító tábla: amelyben minden sor összehasonlítható (egyszerű tábla) b) csoportosító tábla: amely tartalmaz egy csoportosító sort c) kombinációs tábla: amelyben több csoportosító sor is található Egy elemzési tábla csak akkor szolgálja jól az információtömörítés célját, ha néhány táblaszerkesztési szabályt betartunk. Táblaszerkesztési szabályok: 1. A tábla címében egyértelműen meg kell határozni azt a sokaságot (időben és térben

elhelyezve), melyekre adataink vonatkoznak. 2. A fej és oldalrovatokban fel kell tüntetni az ismérvek pontos megnevezését, majd

egyértelműen jelölni kell az ismérvváltozatokat. 3. Fel kell tüntetni az adatok mértékegységét. 4. Ha értelmes az összesen sor vagy oszlop, azt a táblában szerepeltetni kell. 5. A tábla minden cellájába írni kell valamit (vagy értéket, vagy ki kell húzni, vagy 0,00). 6. Ha ismert, közölni kell az adatok forrását is. 2.2. Grafikus ábrázolás eszközei A statisztikai sorok, adatok közti áttekintést, az összefüggések felismerését segíti elő, ha azokat szemléletessé tesszük, azaz grafikusan ábrázoljuk.

9

Egy grafikus ábra akkor tesz jó szolgálatot, ha egyrészt az adatokban rejlő információkat hűen megőrzi, másrészt azokat közérthetőbbé, áttekinthetőbbé teszi. Ábrázolás fő típusai: a) ábrázolás mértani alakzatok felhasználásával koordinátarendszerben vagy azon kívül b) ábrázolás térképeken c) figurális ábrázolás Leggyakrabban használt fajták: - kördiagram - oszlopdiagram - vonaldiagram További ábrázolási módok: - piktogram - pontdiagram - poligon (gyakorisági görbe) - kartogram vagy kartodiagram - illusztrált diagramok - polifogram - stb.

2.3 Viszonyszámok Viszonyszám: két – valamilyen szempontból összetartozó – adat hányadosa.

Viszonyszám (V) = xx

b

i

alap siviszonyítá

adattt viszonyito=

Fő fajtái:

a) Megoszlási viszonyszám: részaránya az egészhez. Vm= (%)100Xe

Xr⋅

b) Intenzitási viszonyszám: különböző mértékegységű adatok hányadosa. Az intenzitási viszonyszámok jellegzetes típusai:

• Sűrűségmutatók: pl. népsűrűség • Ellátottságot kifejező mutatók pl. 10000 lakosra jutó kórházi ágyak száma • Arányszámok pl. halálozási arányszám • Átlagjellegű mutatók pl. 1 főre jutó GDP nagysága, átlagbér, termelékenység

c) Összehasonlító viszonyszám − területi viszonyszám (Vt)

− koordinációs viszonyszám (Vk) = xr2

xr1

− dinamikus viszonyszám (Vd)

10

Dinamikus viszonyszám: két időszak közötti változást mutat %-os formában.

Vd = (%)adataidőszak bázis

100adataidőszak tárgyi

xx

aa

0

1

0

1 ⋅==

Fajtái: - bázis viszonyszám (állandó bázisú)

VB = (%)adat bázis

100adatedik i

a

a

0

1 ⋅−= vagy

Egy adott évi bázisviszonyszám : az addigi láncviszonyszámok szorzata. Pl. Vb4= VL1*VL2*VL3*VL4 - lánc viszonyszám (változó bázisú)

VL = (%)adat előző

100adatedik i

a

a

1)-(i

1 ⋅−= vagy

Egy adott évi láncviszonyszám: a két szomszédos bázisviszonyszám hányadosa. Pl. VL4= (Vb4/Vb3) Teljesítmény-viszonyszámok (tervszerűségi mutatók) A gazdasági tevékenységek során terveket készítünk bizonyos időszakra. A termelő munka végzésekor pedig elérünk valamely tényleges eredményt, azaz teljesítjük a kitűzött feladatot bizonyos mértékben. Tehát abból a célból kell számítani, hogy a vállalat tervteljesítését részleteiben is megláthassuk és szerepe a vállalati munka ellenőrzésében van (controlling). Mutatószámok: 1. Tervfeladat viszonyszám

Vtf = (%)bázisadat

tervadat

a

100x a

0

t

=

2. Tervteljesítési mutató (teljesítmény viszonyszám)

Vtt = (%) 100 x adat terv

adataidőszak tárgyi

a

a

t

1

=

Ha Vtf 100% feletti, vagyis növekedést írnak elő � és Vtt 100% feletti, akkor túlteljesítésről, ha 100% alatti alulteljesítésről beszélünk. Ha Vtf 100% alatti, vagyis csökkentést írnak elő � és Vtt 100% feletti, akkor alulteljesítésről, ha 100% alatti túlteljesítésről beszélünk. Ha pont 100% a mutató értéke, akkor teljesítettük a tervet, se nem teljesítettük túl az előírt adatok és nem is maradtunk el tőle.

11

Árbevétel, forgalom, termelés tekintetében többnyire növekedést írnak elő, de a költségek, létszám tekintetében főleg a csökkentés a jellemző.

3. Vtt · Vtf = Vd (dinamikus viszonyszám) = (%)a

a

0

1

Gyakorló feladatok: 1, Szerkesszen statisztikai táblát, melyben elhelyezhetők az alábbi adatok: Egy gimnázium tanulói közül a 2005/2006. tanévben 350 lány volt, a 2006/2007. tanévben pedig 300 lány volt. Az ismeretlen adatok helyét pontozza ki! Nevezze meg a tábla típusát és a benne található sorokat! 2, "A" megyében 555000 lakos él, ebből 350000 a városokban. "B" megye összes lakosa

852000 fő, melyből 312500 fő lakik községekben és falvakban.

A, Szerkesszen statisztikai táblát, melyben a fenti adatok elhelyezhetők! B, Nevezze meg a tábla típusát, dimenziószámát és a benne szereplő sorok fajtáját! 3, A Magyarországra látogató külföldiek száma 2006-ben 32500 ezer fő volt, ebből

szállodában 1900 ezer fő lakott. A külföldi vendégek hány % -a lakott szállodában?

4, Egy speciális üvegszállító rekeszbe összesen 120 üveg fér be. A szállításkor 6 üveg

összetört.

A, Az üvegek mekkora hányada érkezett meg épen a palackozóüzembe? B, Nevezze meg a kiszámított mérőszámot! 5, Az alapvető fogyasztási javak fogyasztói ára 2006-ról 2007-re 16, 8 %-kal növekedett,

2007-ről 2008-ra 20 %-kal és 2008-ről 2009-re 32, 5 %-kal.

Feladat: Számítsa ki az 2009/2006. évi bázisviszonyszámot és értelmezze! 6, Szegeden az épített új lakások száma 2004 és 2008 között a következő volt: Év Lakás 2004 2400

2005 2500 2006 2520 2007 2510 2008 2250

Feladat: Számítsa ki a bázis és a láncviszonyszámokat!

12

7, 2007- ben Magyarországon 56819 orvos volt, ebből 39910 a férfiak száma.

Feladat: A, Számítsa ki a férfiak és nők arányát! B, Állapítsa meg az 1000 férfira jutó nők számát! C, Nevezze meg a kiszámított viszonyszámokat! 8, Egy vendéglátó-ipari vállalatnál az egy fizikai foglalkozású dolgozóra jutó forgalom 50000

Ft/fő volt. A fizikaiak aránya 80 %.

Feladat. Számítsa ki az egy főre jutó forgalom mutatószámát! 9, Egy mobiltelefonok forgalmazásával foglalkozó cég bevétele az alábbiak szerint alakult 2007. második felében: Időszak Bevétel

(e Ft) Július=100% Előző

hónap=100% Változás előző hónaphoz képest (e Ft)

Július … … … … Augusztus … 105 … … Szeptember … … … +189 Október … … 100 … November … … … +171 December … … … … Töltse ki a táblázatot, ha ismert, hogy a bevétel júliusról decemberre 25%-kal, azaz 300 ezer forinttal nőtt! Hány százalékos volt a bevétel havi átlagos változása a vizsgált időszakban? 10, 2007. I. negyedévben 981, 3 m ft -ot kapott a magyar sajtó a megjelent hirdetésekért,

reklámokért, melynek megoszlása:

Megnevezés millió Ft Napilapok 266, 1 Televízió 546, 9 Hetilapok 74, 4 Közönséglapok 52, 9 Rádió 41, 0 Feladat: Ábrázolja kördiagram segítségével a fenti eloszlást! 11, Egy gazdálkodó tervei szerint a forgalomnak 25 %-kal kellett volna emelkednie, ténylegesen 20 %-os forgalomnövekedés következett be. Számítsa ki, hogyan teljesítette a tervét a gazdálkodó?

13

12, Egy bolt áruforgalmi tervében 12, 5 %-os forgalomnövekedést irányzott elő, tervétől elmaradt 2 %-kal, így ténylegesen forgalma a tárgyi időszakban 46, 2 m Ft volt. Számítsa ki a hiányzó adatokat és elemezze a forgalom alakulását! 13, Egy kereskedelmi vállalat forgalma a bázisévben 120 m Ft volt. A tárgyévre tervezett forgalom 126 m Ft volt, amit 4 %-kal túlteljesített. Hogyan alakult a forgalom a bázisról a tárgyi időszakra? Mennyi a tárgyév tényleges forgalma? 14, Egy üzem áprilisban 500 db terméket állított elő. A májusi termelési terve: 550 db, melyet az üzem túlteljesített 2 %-kal. Számítsa ki a májusi tényleges termelést, és a termelés változását áprilisról májusra. 15, Egy cégnél 2500 fő dolgozik 2006-ban. A létszámot 2006-ról 2007-re csökkenteni akarták 15%-kal, de ténylegesen 2007-ben már csak 2200-an dolgoztak a cégnél. Hogyan alakult a létszámcsökkentés a cégnél? Elemezze teljesítmény-viszonyszámokkal. 16, Egy vállalat forgalma 2005-ben 122 m Ft volt, melyet a tárgyévre 10 m Ft-tal növelni akartak. De tervüket nem sikerült teljesíteni, elmaradtak tőle 5 %-kal. Elemezze a forgalom alakulását. 17, Egy vállalatnál 7200 fő dolgozik, ebből 3050 a szellemiek száma, és 5002 a nők száma. Számítsa ki a fizikai dolgozók és a férfiak számát, majd határozza meg a nemek megoszlását, valamint azt, hogy hány fizikai dolgozó jut 1000 szellemi dolgozóra! 18, Egy vállalat forgalma a tárgyi időszakban 50 m Ft. Ez ténylegesen 20 %-os forgalomnövekedésnek felel meg az előző időszakhoz képest, annak ellenére, hogy a terv 30 %-os növekedés lett volna. Elemezze a tervszerűségi mutatókat. 19, Egy vállalat forgalmának alakulása 2002 és 2007 között: Év m Ft Vbázis(%) Vlánc(%) 2002 25 100 - 2003 20 … … 2004 19 … … 2005 24 … … 2006 31 … … 2007 18 … …

14

Feladat: Számítsa ki a hiányzó adatokat, és határozza meg a forgalomváltozás évi átlagos ütemét. 20, Egy vállalat adózott eredménye a következőképpen alakul 2000 és 2005 között:

Év Adózott eredmény (m Ft) 2000 9 2001 12 2002 17 2003 36 2004 70 2005 105

Feladat: Milyen mértékben, hány %-kal nőtt évről évre az adott eredmény, és milyen a

fejlődés évi átlagos üteme?

21, Egy vállalat gépköltségekre vonatkozó adatai bázis-, és tárgyévben:

Gépköltségek Bázis év (e Ft) Tárgyév (e Ft) Értékcsökkenési leírás (1) 9367 9367 Karbantartási költségek (2) 3800 3960 Energiaköltség (3) 46733 47316 Összesen 59900 60643 Feladat: Számítsa ki a költségek változását a két időszak között, valamint határozza meg a

költségek megoszlását az összes költségen belül, mindkét évben!

22,

Egy vállalkozásnál 2004-ben 580 Fő dolgozik, a termelési érték ebben az évben 200.494.800

Ft. 2005-re a létszám csökkent 2%-kal, a termelési érték viszont nőtt 10 %-kal.

Feladat: Hogyan alakult a termelékenység mutatója a vállalkozásnak a két időszak között?

23,

Egy éjjel – nappali hipermarketben három műszakban dolgoznak. A 120 dolgozó 30%-a a

délelőtti műszakban dolgozik, amikor is minden hatodik munkavállaló szellemi foglalkozású.

A hipermarketben összességében egy szellemi foglalkozásúra öt fizikai foglalkozású jut,

valamint 51 fő délután dolgozik. Az éjjeli műszakban tízszer annyi a fizikai foglalkozású,

mint a szellemi foglalkozású.

Feladat: Készítsen statisztikai táblát a fenti adatok alapján. Nevezze meg a tábla típusát és

dimenziószámát. Határozza meg a benne található sorok fajtáját!

15

III. Információsűrítés eszközei mennyiségi ismérvek esetén 2.2. Gyakorisági sorok és ábrázolások Alapfogalmak: fi - gyakoriság (megoszlás) fi’ – kumulált gyakoriság kumulálás – lépésenkénti összegzés

gi – relatív gyakoriság gi(%) = 100Σfi

fi⋅

gi’ – kumulált relatív gyakoriság Si – értékösszegsor Si = fi · xi = fi · xk Si’ – kumulált értékösszegsor

Zi – relatív értékösszegsor Zi(%) = 100SiΣ

Si⋅

Zi’ – kumulált relatív értékösszegsor Osztályközös gyakorisági sor képzése: azt jelenti, hogy eltekintünk a megfigyelései egységek tényleges értékétől, csak azt figyeljük, hogy milyen határok között helyezkednek el. Ezzel a tömörítés kedvéért persze információt veszítünk. Képletek: 1) Osztályközök számának meghatározása k = 1 + 3,3 lg n k: osztályközök száma n: sokaság egységeinek száma 2) Osztályközök hosszának meghatározása

h = k

xx minmax −

h: osztályköz hossza xmax: sokaság legnagyobb értéke xmin: sokaság legkisebb értéke k: osztályközök száma 3) Osztályközép meghatározása

a) xk = 2

xx (f)(a) ii +

xi(a): osztályköz alsó határa xi(f): osztályköz felső határa xk: osztályközép

b) xk = 2

h + x(i-1)f

h: osztályköz hossza x(i-1)f: előző osztályköz felső határa 4) Azonos osztályközre átszámolás

16

fi* = it

ef

h

h⋅

fi*: az új korrigált gyakoriság he: az új egyenlő osztályköz hossza ht: fi-hez tartozó tényleges osztályköz hossza 2.3. A koncentráció elemzése Koncentráció: az ismérvértékek különbözősége folytán keletkező jelenség, az értékösszeg a nagyobb ismérvértékek felé tolódik el. Lorenz-görbe: a koncentrációt szemléltető négyzet alakú ábra a kumulált relatív gyakoriságokhoz tartozó kumulált relatív értékösszegek alakulását mutatja. Pl:

A Lorenz görbe és az átló által bezárt terület a „koncentrációs terület”. Koncentrációs terület arányát koncentrációs együtthatóval mérjük. (K) K= (G/2*x¯ ), ahol: G: Gini féle szóródási mérőszám, az átlagos különbség és az X az ismérvértékek átlaga. − A koncentráció elemzésének gyakori területe a vállalatok méret szerinti megoszlásnak

vizsgálata. − A Lorenz-görbével mód nyílik arra, hogy az egyes iparágak, országok stb. a mikro-

ökonómiában részletesen tárgyalt monopolizáltságát akkor is összehasonlítsuk, ha a piacon nem egy-két, hanem több vállalat is tevékenykedik.

2.4. Középértékek Középérték: azaz egyetlen számadat, melybe a sokaság egy ismérv szerinti jellegzetességeit tömörítjük. Csoportjai: − számított középértékek: ÁTLAGOK − helyzeti középértékek: pl. MÓDUSZ, MEDIÁN Átlagok:

17

a) számtani vagy aritmetikai átlag (leggyakrabban használt átlag)

ax = n

x

n

x...xx

n

1i

in21∑==

+++

ax =

∑

∑

=

=

⋅

n

1i

n

1i

fi

xifi

b) harmonikus átlag

hx =

∑=

n

1i xi

1

n

hx =

∑

∑

=

=

n

1i

n

1i

xi

fi

fi

c) mértani vagy geometriai átlag Tipikus felhasználási területe: dinamikus viszonyszámok átlagolása

gx = n ...xnx2x1 ⋅⋅

gx = Σfi fn

n

f2

2

f1

1 xxx ...

d) négyzetes vagy quadratikus átlag

qx = n

... xxx2

n

2

2

2

1+++

qx = fxfi

2

ii

Σ

Σ

Az átlagok között bizonyíthatóan a következő nagyságrendi viszony áll fenn:

qagh xxxx ≤≤≤ Kronológikus átlag

18

Y(k)= {((y1/2+y2+y3….+y(n-1)+yn/2)}/(n-1) Használata: átlagkészlet= {(Nyk/2+K2+….+K(n-1)+Zk/2)}/(n-1) Forgási sebesség napokban és fordulatokban Fs= (napok száma * átlagkészlet) / eladási forgalom Ff= eladási forgalom / átlagkészlet Áruforgalmi mérlegsor => Nyk+B=Zk+E Helyzeti középértékek: a) Módusz: a sokaság leggyakoribb, tipikus értéke, amely körül a sokaság elemei

tömörülnek. Megállapítása: Ha a sokaság az ismérv szerint csak kevés értéket vesz fel, akkor a módusz a gyakorisági sor alapján ránézésére megállapítható. Osztályközös gyakorisági sor esetén. a móduszt képlettel becsüljük. Képlete:

Mo = xio + hk2k1

k1⋅

+

Mo: módusz xio: móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa k1: móduszt tartalmazó osztályköz gyakorisága és az azt megelőző osztályköz gyakoriságának különbsége k2: móduszt tartalmazó osztályköz gyakorisága és az azt követő osztályköz gyakoriságának különbsége h: osztályköz hossza Ha nem ezzel a képlettel becsüljük a móduszt, hanem a modiális osztályköz közepét választjuk, akkor nyers móduszt kapunk. b) Medián: azaz ismérvérték, amely megfelezi a sokaságot, nála a sokaság egyik fele kisebb,

a másik fele nagyobb értéket vesz el, mint a medián. Megállapítása: Egyedi értékek esetében egyszerű, sorrendbe kell rakni az értékeket és meg kell állapítani, hogy a rangsorban a középső elem milyen értéket vesz fel. Ha: Sokaság − páratlan → egy középső elem van → medián

− páros → két középső elem van → medián = 2

nk2nk1 +

Osztályközös gyakorisági sor esetén: Medián becslése:

Me = xio + hf

2

n

i

1)(i'

f⋅

− −

Me: medián

19

xio: mediális osztályköz alsó határa n: elemszám fi: mediánt tartalmazó osztályköz gyakorisága h: osztályköz hossza f’(i-1): mediális osztályközt megelőző osztályközök gyakoriságai összegezve Középértékekkel szemben támasztott követelmények: − legyen pontosan definiálva, s ennél fogva egyértelműen meghatározható − jellemző értéke legyen − jól lehessen értelmezni, szemléletes jelentésű legyen − jó algebrai kezelhetősége legyen Kvantilisek: A medián két egyenlő részre osztja a sokaságot. De vannak más kvantilisek is, amelyek a sokaság mennyiségi ismérv szerinti eloszlásának tömör leírását adják. Így pl: − kvartilis: 4 részre osztja a sokaságot − kvintilis: 5 részre osztja a sokaságot − decilis: 10 részre osztja a sokaságot stb. Kvartilisek: Sorszámának kiszámítása:

sj = 1)(nk

j+⋅

n: tagszám k: egyenlőrészek száma (4) j: megfelelő sorszámú kvartilis Kvartilisek: Q1 – alsó Q2 – medián Q3 – felső Kvartilis értékének kiszámítása:

Qj = xio + hf

nk

j

i

1)(i'

f⋅

−⋅ −

Qj: adott kvartilis (Q1, Q3) xio: adott kvartilist tartalmazó osztályköz alsó határa j: kvartilis sorszáma k: egyenlőrészek száma (4) fi: kvartilist tartalmazó osztályköz gyakorisága h: osztályköz hossza f’(i-1): kvartilist tartalmazó osztályközt megelőző osztályközök gyakoriságai összegezve Interkvantilis terjedelem: IQt = Q3 – Q1

20

Kvartilis eltérés:

Q = 2

QQ 13 −

2.5. Szóródás jellemzése Szóródás: az ismérvértékek különbözősége. Átlagos eltérés: az egyes értékek számtani átlagtól vett eltérései, abszolút értékeinek számtani átlaga. Átlagos különbség (G): az ismérvértékek egymástól számított különbségei abszolút értékeinek számtani átlaga. Mérőszámai: a) szóródás terjedelme: az ismérv által felvett értékek tartományának a hossza. R(T) = xmax – xmin b) szórás: számtani átlagtól vett négyzetes eltérés

σ = n

... )x-(x)x(x an

2

a1

2

++−

σ = fiΣ

f...f )x-(x)x-(x akn

2

nak1

2

1 ++

c) relatív szórás

V = (%) 100x

σ

a

⋅

d) szórásnégyzet/variancia σ

2 = σ2belső + σ2

külső σ

2 = xq2 – xa

2 e) szóráshányados

H = σ

σb2

2

1 −

2.6. Az aszimmetria mérőszámai Eloszlások típusai: A, Egymóduszú eloszlás : - Szimmetrikus � Mo – Me = számtani átlag és (Q3 – Me) = (Me – Q1) - Aszimmetrikus � baloldali , ha : Mo<Me< számtani átlag és (Q3-Me)>(Me-Q1) Jobboldali, ha: Mo>Me>számtani átlag és (Q3-Me)<(Me-Q1) B, Többmóduszú eloszlás

21

a) Pearson-féle mutatószám:

A= σ

Moxa −

-1 ≤ A ≤ +1 A < 0: jobb oldali aszimmetria A > 0: bal oldali aszimmetria A = 0: szimmetrikus eloszlás ± 0,3-tól erős aszimmetriáról beszélünk b) F mutató

F = )Q(M)M(Q

)Q(M)M(Q

1ee3

1ee3

−+−

−−−

-1 ≤ F ≤ +1 ± 0 – 0,3: gyenge aszimmetria ± 0,3 – 0,7: közepes erősségű aszimmetria ± 0,7 - 1: erős aszimmetria Gyakorló feladatok: 1,

Egy BT dolgozóinak rangsora havi bruttó kereset szerint ( ezer ft ) : 125 126,2 128 132 132,5 100 140 141 142 142,5 143 89

143,1 143,5 145 150 155 85 Feladat : a, Készítsen: osztályközös gyakorisági sort kumulált gyakorisági sort értékösszegsort kumulált értékösszegsort relatív gyakorisági sort relatív értékösszegsort kumulált relatív gyakorisági sort kumulált relatív értékösszegsort a fenti rangsor adatai alapján! b, Jellemezze a BT dolgozóinak kereset szerinti koncentrációját Lorenz görbével!

2, Egy osztály tanulóinak rangsora testsúly szerint az alábbi (kg -ban ): 50 51 52 52,5 53 55 55 55 56 60 62 64 68 69,5 70 70 71

a, A rangsor alapján készítsen osztályközös gyakorisági sort . b, Készítsen kumulált gyakorisági sort !

22

3, A nagykereskedelmi vállalatok jellemzői:

Éves forgalom (m ft )

Üzletek megoszlása (%)

Forgalom megoszlása (%)

-1000 10 10

1001-2000 50 30 2001-4000 30 30 4001- 10 30 Összesen: 100 100 Jellemezze Lorenz - görbe segítségével a nagykereskedelem koncentráltságát !

4, A vegyes tulajdonú vállalkozások adatai az alapítói vagyon nagyság- csoportjai szerint 2007-ben:

Alapítói vagyon Szervezetek száma

( m ft ) ( db ) 1--10 3406 11--20 3839 21--30 1009 a, Készítsen becsült értékösszeg , kumulált gyakorisági - és kumulált értékösszegsort ! b, Értelmezzen egy-egy kumulált adatot!

5, Egy főiskola két tankörének statisztika érdemjegyeinek megoszlása : Érdemjegy Tanulók száma ( fő ) I. Tk II. Tk

1 3 4 2 7 10 3 8 6 4 6 6 5 4 2

Összesen: 28 28 a, Határozza meg az érdemjegyek móduszát és mediánját tankörönként! b, Értelmezze a kapott eredményeket tankörönként , majd hasonlítsa össze az eredményeket a két tankörre vonatkozóan.

6, Egy kristálycukros csomag 15 db 1 kg-os cukrot tartalmaz.Egy vizsgá- lat során megmérték mind a 15 zacskó cukrot . A kapott eredmények : (dkg)

96 96 97 100 98 98 96 99 101 102

103 95 104 96 97 Számítsa ki a cukros zacskók átlagos töltősúlyát.

7, Egy vállalatnál a dolgozók több mint a fele nő. A nők átlagkeresete : 127000 Ft, a férfiaké: 138000 Ft volt. Állapítsa meg , hogy az alábbi számok közül melyek lehetnek a vállalati átlagbérnek megfelelő számok:

23

126000 128000 135000 138000 132390 131400 128100 129200 132610

8, Egy terméket "A" munkás 4 óra alatt , "B" munkás 3 óra alatt , "C" munkás 6 óra alatt készít el. Feladat : Egy "átlagos képességű " munkás mennyi idő alatt készítené el a terméket ? (xh) 9, Egy vállalat 200 dolgozójának munkába járással kapcsolatos utazási idejének Vm-je: Utazási idő Dolgozók száma ( perc ) ( fő ) 1-10.0 20 10.1-20.0 30 20.1-30.0 40 30.1-40.0 50 40.1-50 60 Összesen: 200 a, Készítse el az utazási idő megoszlásának hisztogramját! b, Állapítsa meg a helyzeti középértékeket és értelmezze azokat! c, Számítsa ki az utazási idő átlagát! d, Elemezze az A és F mutatót!

10, Számítsa ki a következő értékek számtani , mértani , harmonikus , négyzetes átlagát a normál illetve a súlyozott képletek segítségével! Magyarázza meg , miért egyformák a megfelelő eredmények , és hogy melyik képletet

mikor érdemes használni! Ellenőrizze a nagyságviszonyokra vonatkozó tételt!

15 8 5 15 7 8 15 2 8 9

61 55 25 61 Határozza meg a medián és a módusz értékét is !

11, Egy kereskedelmi vállalat raktárkészletének értéke: I. 1 41 m ft II. 1 68 m ft III. 1 70 m ft IV. 1 59 m ft Mennyi az I. negyedév átlagos raktárkészlete ? Mennyi a forgási sebesség , ha a forgalom 270 m ft ?

24

12, Egy autó átlagos benzinfogyasztását vizsgálva a következő mérési eredményeket kaptuk:

12 12,4 12,6 13,1 11,3 Határozza meg az autó fogyasztásának szórását!

13, Egy gyümölcsösben 25 meggyfa van , amelyeken a termés kg -ban a következő volt 2009 nyarán: 24,8 42,5 62,8

15,5 30 40 65,2 70 20 14,8 52 61,5 41,3 14 22,5 34,8 36 44,1 55 14,2 20,1

22 60 65 79,8 Számítsa ki: b, A meggyfák termésének kvartilis eltérését! c, A meggyfák termésének varianciáját! d, A meggyfák termésének szórását és relatív szórását! e, Az F és az A mutatót is ! 14, Valamely vállalat dolgozóinak havi kereset szerinti megoszlása 2002-ben : kereset Ft létszám fő 50000 - 150000 80 150000 - 250000 124 250000 - 350000 128 350000 - 450000 18 összesen: 350 Állapítsa meg értelmezze a helyzeti és számított középértékeket, a szóródás mérőszámait, a kvartiliseket, majd határozza meg az aszimmetria mérésére szolgáló A és F mutatót is!

15, Szervezetek megoszlása alapítói vagyon szerint egy adott évben: Alapítói vagyon ( m Ft ) Szervezetek száma ( fi ) 0 – 20 25 20 – 40 42 40 – 60 53 60 – 80 10 Összesen 130 Számítsa ki a szóródási mérőszámok, a kvartiliseket, móduszt és mediánt, valamint az aszimmetria mérőszámait. 16, Egy vállalat készlet adatai: nap Készlet m Ft Január 1 20 Február 1 22 Március 1 24,5 Április 1 19 Május 1 21 Június 1 15 Július 1 30

25

Számítsa ki a forgási sebességet napokban és fordulatokban az átlagkészlet meghatározása után, valamint állítsa fel az áruforgalmi mérlegsort. 17, Egy győri kis élelmiszerboltban valamely napon 107-en vásároltak reggel 8 és dél között,a vásárlások összege, nagysága a következő volt. Összeg ( e Ft ) Fő 0 – 10 12 10 – 20 20 20 – 30 33 30 – 40 23 40 – 50 12 50 – 60 3 60 – 70 4 Összesen 107 Számolja ki a vásárlási összeg alapján a megoszlást, átlagot, móduszt, mediánt, kvartiliseket. Vizsgálja a szóródást és az aszimmetriát! 18, Öt hallgató elért pontszáma egy 50 pontos zárthelyin a következő volt: 36, 40, 28, 48, 16 Feladat:

• Számítsa ki, hogy egy – egy hallgató pontszáma mennyivel tér el az átlagos pontszámtól.

• Mennyivel térnek el az eredmények egymástól átlagosan? • A korábban írt 30 pontos Zh-t a hallgatók átlagosan 20 pontra írták meg, 9 pontos

szórással. Melyik Zh-n volt nagyobb a pontszámok ingadozása, szóródása? 19, Egy vállalkozás anyagkészletének változásáról az alábbi információk ismertek:

Megnevezés Mennyiség (db) Beszerzési ár (Ft/db) Nyitókészlet 20 60 Beszerzés 50 62 Beszerzés 70 63 I. felhasználás 100 … Beszerzés 60 64 II. felhasználás 80 … Zárókészlet”1 20 …

Feladat: Számítsa ki az éves felhasználás és zárókészlet értékét az éves átlagos beszerzési ár

szerint, valamint csúsztatott átlagár alkalmazása esetén!

„A számviteli törvény előírása szerint a vásárolt készletet és a készletváltozások értékét összességében

bekerülési értékben (beszerzési áron) kell kimutatni.

1 Számvitel II. Boda L – Sziva M.: Mérlegtan, TriMester, 2007

26

A vállalkozások a vásárolt készleteik értékét nyilvántarthatják:

- beszerzési áron

- elszámoló áron

- eladási áron.

A választott eljárást a vállalkozás számviteli politikájában rögzíteni kell.

A készletértékelés tekintetében a vállalkozás a számviteli törvény szerint a következő eljárások közül választhat:

- átlagár (időszaki vagy csúsztatott)

- FIFO (First in First out) módszer.

Az átlagár módszerek lényege, hogy a beszerzéseket a hozzájuk tartozó áron, de a készletek csökkenését a

beszerzések átlagárán értékeli. Egy adott időpontban meglévő készlet értékelése szintén átlagáron történik.”9

9 Boda L. – Sziva M. – Tóth Á. – Zsidai V.: Számvitel III. – Mérlegtan. Tri-Mester, 2007

27

IV. Főátlagok, összetett intenzitási viszonyszámok összehasonlítása standardizálással Standardizálás: Módszerével a térben, illetve időben eltérő összetett intenzitási viszonyszámok, főátlagok közötti különbséget vagy hányadost összetevőkre, illetve tényezőkre bontjuk. A gyakorlatban például a következő mutatószámok összehasonlító elemzésére szolgál:

• Költségszínvonal (költségösszeg / termelési érték vagy árbevétel) • Fajlagos anyagfelhasználás (összes anyagfelhasználás/előállított termékmennyiség) • Önköltség • Termelékenység (termelés /létszám vagy munkaóra) • Forgási sebesség • Átlagár • Átlagbér (összes bér / létszám) • Születési és halálozási arányszámok • Kriminalitás • Stb.

Két módszere van: a) két főátlag különbségének felosztása a tényezők összegére K = K’ + K’’

K = 01 VV −

K’ = stVV1 −

K’’ = 0s VV −t K: főátlagok különbségének hatása K’: részátlagok különbségének hatása K’’: súlyok különbségének hatása

1V = 1

11

BΣ

VBΣ ⋅

0V = 0

00

BΣ

VBΣ ⋅

stV = 1

01

BΣ

VBΣ ⋅ (vagy

0

10

BΣ

VBΣ ⋅) � standard vagy fiktív átlag

b) két főátlag hányadosának felosztása a tényezők szorzatára I = I’ · I’’

I = 0

00

1

11

o

1

BΣ

VBΣ:

BΣ

VBΣ

V

V ⋅⋅=

I’ = 1

01

1

11

st

1

BΣ

VBΣ:

BΣ

VBΣ

V

V ⋅⋅=

28

I’’ = 0

00

1

01

o

st

BΣ

VBΣ:

BΣ

VBΣ

V

V ⋅⋅=

I: Főátlagindex: Megmutatja, hogy a főátlag a bázisidőszakról a tárgyi időszakra hányszorosára (hány %-kal) változott. I’: Részátlagindex: két olyan főátlag (tényleges és fiktív) hányadosa, melyek súlyarányaikban megegyeznek, de részátlagaikban különböznek I’’: Összetételhatásindex: Az összetétel megváltozásának hatását fejezi ki %-os formában.

Gyakorló feladatok:

1, "A" megyében a háztartások 65 % -a a városokban él , 35 % -a a községekben. Az egy főre jutó havi édességkiadás a városi lakosoknál 5500 ft, a községi lakosoknál 2400 ft. "B" megyében a népeség 55 %-a él városokban , ahol az egy főre jutó havi édességkiadás 6200 ft , 45 %-a községekben , ahol az átlagos édességkiadás 1800 ft. Feladat: Hasonlítsa össze a két megye egy főre jutó havi átlagos édességkiadását , és mutassa ki az eltérést okozó tényezők hatását! 2, Egy vállalat 3 gyáregységében az átlagbér 2005 - ről 2007 -re 20 , 34 és 36 % -kal emelkedett. A vállalat gyáregységek közötti létszámaránya 2005-ben rendre 25 , 45 , 30 % volt ami 2007 -re 40 ,40,20 % -ra módosult. A vállalat átlagbérindexei: I=120% I'=120% I"=100% Adjon magyarázatot az I"=100% -ra! 3, Egy vállalat 3 telephelyén ugyanazt a terméket termelik , a rájuk vonatkozó adatok:

Telephely Létszám 1 főre jutó Létszám

Ft/fő változás

2007-ben termelés

2008-ban a 2007 év %-ban 2008-ra

(fő) 2007-ben

I. 200 25 150 156 II. 500 20 80 92 III. 300 22 110 110 Elemezze standardizáláson alapuló indexek segítségével az 1 főre jutó termelés alakulását! 4, Egy KFT dolgozóinak béradatai 2009-ban: Állománycsoport Átlagbér 2009-ban Átlagbér változása (ft/fő) 2010-re (%) fizikai 169500 105 nem fizikai 199800 104 A KFT-nél a kifizetett bérek összege 20 %-kal emelkedett , az összlétszám pedig 5 %-kal nőtt. Határozza meg a vállalat átlagbérindexeit!

29

5, Egy RT -nél a foglalkoztatottak átlagkeresete 2005-ről 2007-re 20 % -kal nőtt , miközben átlagosan 25 % -kal emelkedett a keresetük. Magyarázza meg a két index eltérését! 6, Az egyik KFT-nél a férfiak átlagbére 2000 ft-tal magasabb , mint a nőké. A béralap 50 % -át a férfiaknak fizetik ki. A vállalati átlagbér a férfiak átlagbérénél : a, 1000 ft-tal alacsonyabb b, több mint 1000 ft-tal alacsonyabb c, 1000 ft-nál kevesebbel alacsonyabb Határozza meg a helyes választ és indokolja is meg! 7. Egy terméket kétféle technológiával állítanak elő. A gyártáshoz felhasznált nyers- anyag fajlagos felhasználását akarjuk összehasonlítani a két üzemben, amelyek mindegyikében mindkét technológiát alkalmazzák:

Technológia Felhasznált anyagok Termelés

Fajlagos anyagfelhasználás

ezer kg ezer db kg/db

I. II. I. II. I. II. A 40 72 4 6 … … B 20 115 1 5 … … Összesen: 60 187 5 11 … … Mutassa ki az üzemek fajlagos anyagfelhasználásának különbségét és összetevőinek hatását a standardizálás módszerével!

8, Egy terméket három telephelyen gyártanak. A termelékenyég alakulását jellemző adatok: Telephely 1 főre jutó termelés

(db/fő) 1 főre jutó termelés (db/fő)

Létszám-megoszlás 2007-ben(%)

2006 2007 A 20 18 20 B 30 15 40 C 40 36 40 A termelékenység főátlag-indexe: 92,3 %. Számítsa ki az I’ és I” indexeket! Értelmezze a kapott eredményeket! 9, Valamely gazdasági társaság létszám és béradatai 2 év azonos hónapjában: Tevékenységi főcsoport Havi béralap Havi bér Havi bér Létszám 2008-ban e Ft Ft/fő 2008 Ft/fő 2009 2009 (fő) Fizikai 25000 185000 198000 150 Szellemi 8750 195000 208000 50 Összesen 33750 … … 200 Hasonlítsa össze a standardizálás módszerével az átlagbéreket a két időszak között.

30

10, Egy gyár 3 gyáregységben termel, az alábbi adatokat ismerjük:

Gyáregység Önköltség (ezer Ft/db) Termelés Vm (%) 2006 2007 2007 %-ban

I. 8 8,4 20 II. 10 10,6 40 III. 12 13,2 40

Összesen … … 100

2006-ról 2007-re a termék átlagos önköltsége 4%-kal nőtt.

Feladat: Hogyan hatott a termelés összetételének gyáregységek közötti megváltozása az

átlagos önköltség változásaira?

11,

Telephelyek Termelés (db) Önköltség (Ft/db) Termelési költség (Ft) Termelés (db)

2003 2003 2004 2004

I. 600 8500 4243200 480

II. 400 8000 4224000 480

Vizsgálja meg az önköltség alakulását 2003-ról 2004-re a standardizálás módszerével!

31

V. ÉRTÉK-, ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK

Indexszám: közvetlenül nem összesíthető, de valamilyen szempontból összetartozó adatok átlagos változását mutató összetett összehasonlító viszonyszám. Egyedi index: egy termékre számított dinamikus viszonyszám. Alapösszefüggés: v = p · q (value = price*quantity) Érték (árbevétel, forgalom): = ár · eladott mennyiség egyedi árindex:

ip = 0

1

p

p

egyedi volumenindex:

iq = 0

1

q

q

egyedi értékindex:

iv = 00

11

0

1

pq

pq

v

v= = iq* ip

Értékindex: termékek vagy termékcsoportok meghatározott körére vonatkozó érték átlagos változását fejezi ki.

Aggregált formája: Iv 00

11

pq

pq

Σ

Σ vagyis a tárgyi/beszámolási vagy tényleges időszak forgalma

értékben osztva a bázis időszak fogalmával értékben. Az értékváltozást két tényező befolyásolja: − termékek árváltozása − termékek mennyiségváltozása Árindex: különböző termékek, árucikkek, szolgáltatások árainak változását, az árszínvonal alakulását fejezi ki. Ip

(0): bázisidőszaki súlyozású árindex Ip

(1): tárgyi időszaki súlyozású árindex

Ip(0) =

00

10

pq

pq

Σ

Σ

Ip(1) =

01

11

pq

pq

Σ

Σ

A qop1, (bázis időszaki mennyiség tárgyi időszaki áron), illetve q1p0, (változatlan áras forgalom) szorzatok összegzéseként kapott értékadatokat FIKTÍV AGGREGÁTUMOK-nak nevezzük.

32

q1p0 ={ q1p1 / Ip(1)}

Volumenindex: különböző termékek volumenének átlagos változását mutatja meg.

Iq(0) =

00

01

pqΣ

pqΣ

⋅

⋅

Iq(1) =

10

11

pqΣ

pqΣ

⋅

⋅

Iq

(0), Ip(0): LASPEYRES-féle indexek

Iq(1), Ip

(1): PAASCHE-féle indexek Az indexek átlagformái: 1) Értékindex átlagformái:

számtani: Iv =00

v00

pqΣ

ipqΣ ⋅⋅

harmonikus: Iv =

v

11

11

i

pqΣ

pqΣ

2) Árindex átlagformái: számtani:

Ip(0) =

00

p00

pqΣ

ipqΣ

Ip(1) =

01

p01

pqΣ

ipqΣ

harmonikus:

Ip(0) =

p

10

10

i

pqΣ

pqΣ

Ip(1) =

p

11

11

i

pqΣ

pqΣ

3) Volumenindexek átlagformái számtani:

Iq(0) =

00

q00

pqΣ

ipqΣ

Iq(1) =

10

q10

pqΣ

ipqΣ

33

harmonikus:

Iq(0) =

q

01

01

i

pqΣ

pqΣ

Iq(1) =

q

11

11

i

pqΣ

pqΣ

Fisher-féle formula: Ip

(F) = II(0)

p

(1)

(p)

Iq(F) = II

(0)q

(1)q

Indexek közötti összefüggések: iv = ip iq Iv = Ip

(1) Iq(0)

Iv = Ip(0) Iq

(1) Iv = Ip

(F) Iq(F)

Aggregátumok közötti összefüggések Kv = Σq1p1 – Σq0p0

Kp

(1) = Σq1p1 – Σq1p0 (lakosság többletkiadása vagy megtakarítás) Kq

(0) = Σq1p0 – Σq0p0 Kq

(1) = Σq1p1 – Σq0p1 Kp

(0) = Σq0p1 – Σq0p0 KV = Kp

(1) + Kq(0)

KV = Kp(0) + Kq

(1) Indexszámok gyakorlati alkalmazása: a) fogyasztói árindex: infláció általános mérőszáma b) agrárolló: a mezőgazdasági termékek értékesítései árindexének és a mezőgazdaságban

felhasznált iparcikkek beszerzési árindexének hányadosa c) cserearány-mutató pl: külkereskedelmi cserearány index (exp/imp arányindexe) d) számvitel-elemzés : pl. termelési érték globális elemzése e) kereskedelem : pl. forgalom elemzése f) egyéb statisztikai számítások Indexsorok Definíció: A kettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozatát indexsornak hívják. A, tartalma szerint (milyen jelenség változását fejezi ki):

• érték-indexsor • árindexsor • volumen-indexsor

34

B, viszonyítás rendje szerint: • bázis-indexsor • lánc-indexsor

C, súlyozás módja szerint az ár- és volumen-indexsoroknál:

• állandó súlyozású indexsor • változó súlyozású indexsor

Összefüggések: Az érték-, ár-, és volumen-indexsor összefüggése szerint az ár- és volumen-indexsor azonos időszakra vonatkozó tagjainak szorzata egyenlő az adott időszak értékindexével. A bázis – és láncindexek összefüggése alapján a láncindexek szorzata egyenlő a bázis-index-szel, illetve a két szomszédos bázisindex hányadosából a láncindex meghatározható. Területi indexek: A területi összehasonlítás eredményeként kapott indexeket nevezzük. Fajtái:

• Területi volumenindex: azt fejezi ki, hogy az összehasonlítandó területeken a termelés, értékesítés mennyisége hányszorosa, hányad része az összehasonlítás alapjául szolgáló terület termelésének, érékesítésének.

• Területi árindex: Azt mutatja meg, hogy az egyik területen kialakult árszínvonal milyen arányban áll a másik terület árszínvonalával.

Gyakorló feladatok: 1, Az áruházak forgalma 2007-ben folyó áron 266.1 mrd ft ,2008 -ban folyó áron 264.8 mrd ft volt. Feladat: Hogyan változott az áruházak forgalma 2007-ről 2008-ra ? Mi lehet az ok? 2, A kiskereskedelmi forgalom volumene 2007-ről 2008-ra 6.5 % -kal csökkent,az árak 16.5%- kal emelkedtek. Hogyan változott a kiskereskedelem forgalma értékben ? 3, Egy termék ára 3 % - kal csökkent , forgalma 6000 ezer ft -ról , 7242 ezer ft-ra növekedett. Számítsa ki , hogyan alakult az eladott mennyiség ? 4, Egy kiskereskedelmi vállalat beszámolási évi forgalma bázisáron a következő meg- oszlásban szerepelt : Árucsoport Vm(%) A 30 B 25 C 45 Az "A" árucsoport árai átlagosan 13 %-kal , a "B" árucsoport árai átlagosan 15 %-kal emelkedtek , a "C" árucsoport árai nem változtak. Hogyan alakultak az árak a 3 árucsoportnál átlagosan ? 5, Egykereskedelmi vállalat éves folyóáras forgalma 5 %-kal magasabb a bázisforgalomnál. Az átlagos áremelkedés 20 % , a lakosság többletkiadása 42 millió ft. Feladat :Elemezzük a forgalom alakulását!

35

6, Egy ABC - áruház tárgyévi adatai: Árucsoport Forgalom Árváltozás (m ft) (%) A 300 108 B 120 98 Számítsa ki az átlagos árindexet! 7, Egy áruház alábbi adatait ismerjük:

Termék Forgalom Árváltozás Volumenváltozás Vm(%) (%) 2005/2004(%) 2005-ben A 68 138 120 B 32 150 112 Számítsa ki az értékindexet és a bázissúlyozású volumenindexeket! 8, Valamely áruház 2 osztályára vonatkozó adatok: osztályok forgalom (eFt) árváltozás forgalomváltozás 2005 % % 2004-2005-re élelmiszer 45000 110 102 iparcikk 60000 135 96 Számítsa ki az áruház forgalmának alakulását %-ban és Ft-ban. Mutassa ki az ár-, és volumen- változás hatását %-ban és Ft-ban. (Ip(1) , Iq(0), Iv, Kv, Kp(1) ) 9,Valamely áruház 2 osztályára vonatkozó adatok:

osztályok forgalom (e ft) mennyiségváltozás(%) forgalom (e ft )

2006 2007 Élelmiszer 420000 108 567000 Iparcikk 650000 105,2 821000 Számítsa ki az áruház forgalmának alakulását %-ban és Ft-ban! Mutassa ki az ár-és volumen- változás hatását %-ban és Ft-ban! ( Ip(1), Iq(0),Iv,Kv,Kp(1) )

10, „Egy feldolgozóipari vállalkozás termékeiről az alábbi információkat ismeri:

Termékek Termelési volumen (db) Nettó ár (Ft / db) Termelési érték (e Ft) Bázisév Tárgyév Bázisév Tárgyév Bázisév Tárgyév

A 6000 6200 12000 12100 72000 75020 B 11000 11000 9800 9780 107800 107580 C 4500 4700 16000 16800 72000 78960 D 8200 7800 10500 10500 86100 81900

Összesen - - - - 337900 343460”2

Feladat: Elemezze globálisan a termelési érték változását és számszerűsítse az árváltozás és

volumenváltozás okait is.

11, A háztartások fogyasztására vonatkozó adatok:

2 Dr. Berher I – Dr. Pucsek J – Sándor Lné dr – Dr. Sztanó I: A vállalkozások tevékenységének gazdasági elemzése, Perfekt, 2007

36

Fogyasztási javak

Összes fogyasztás folyó áron (mrd Ft)

Összes fogyasztás folyó áron (mrd Ft)

Volumenindex (%)

2006-ban 2007-ben Élelmiszerek 374 452 100,4 Italok,kávé,tea 143 165 99,6 Dohányáru 37 43 93,4 Ruházkodás 99 120 98,6 Együtt 653 780 … Feladat: - Hány mrd Ft-tal, illetve hány %-kal nőtt a fogyasztás nominál értékben? - Hogyan alakultak az árak az egyes fogyasztási javaknál, illetve átlagosan? - Hány mrd Ft-tal nőtt a fogyasztás az árak növekedése miatt? 12, Egy termék eladási forgalma 2002-ben 2 m Ft volt, melyet 2003-ra növelt 2,5 m Ft-ra. Az ára emelkedett 15%-kal a két időszak között. Hogyan alakult az eladott mennyiség a termékből 2002-ről 2003-ra? 13, Egy termékből eladott mennyiség 2005-ben 1200 db, 2006-ban 1520 db. A termék forgalma értékben nőtt 2%-kal. Hogyan változott az ára 2005-ről 2006-ra? 14, Egy kisvállalkozás belkereskedelmi tevékenységére vonatkozó adatok: Árucsoport Árbevétel 2007-

ben (e Ft) Értékesített mennyiség változása 2007-ről 2008-re (%)

Folyóáras árbevétel változása 2007-ről 2008-ra (%)

A 3000 140 154 B 8000 12 126 C 1000 150 150 D 10000 95 114 Együtt 22000 … … Számítsa ki az összes árucsoportra vonatkozó érték-, ár-, és volumenindexet és határozza meg az árbevétel változását és a lakosság többletkiadását Ft-ban. 15, Egy termék volumene 2004-ben 1516 kg, 2005-ben 2132 kg. Az ára csökkent 5%-kal. Hogyan változott a termék forgalma értékben? 16, Egy ruházati áruházlánc forgalmi adatai: Megnevezés Forgalom

2006-ban (e Ft)

Forgalom 2008-ban (e Ft)

Változása 2006�2008-ra (%)

Változatlan áras forgalom 2008-ban (e Ft)

Volumenváltozás (2006=100%)

Férfiruha 4100 … +24 … +12 Női ruha … 3780 +5 … -5 Gyerek ruha … … +18 5300 0 Együtt … … … … …

Töltse a hiányzó rovatokat! Értékelje szövegesen is az együttes érték-, ár-, és volumenváltozást! Hány forinttal növelte/csökkentette a volumenváltozás a cég forgalmát?

37

VI. Ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolat Ismérvek közötti kapcsolat: − NINCS kapcsolat: akkor, ha egyik ismérv szerinti hovatartozás alapján semmit nem

tudunk következtetni a másik ismérv szerinti hovatartozásra. − VAN kapcsolat: az egyik ismérv szerinti hovatartozásból informálódhatunk a másik

ismérv szerinti hovatartozásra. − sztochasztikus (valószínűségi kapcsolat): az egyik ismérv szerinti hovatartozásból

következtethetünk ugyan a másik ismérv szerinti hovatartozásra, de nem kizárólagosan.

− asszociáció: két minőségi ismérv között áll fenn. Pl. nem-beosztás − korreláció: két mennyiség ismérv kapcsolata. Pl. életkor-kereset − vegyes kapcsolat: egy minőségi, egy mennyiségi ismérv közötti

kapcsolat. Pl. beosztás-kereset.

− függvényszerű: ha egyértelműen következik egyik ismérv szerinti hovatartozás alapján a másik ismérv szerinti hovatartozás.

Ezek a kapcsolattípusok a statisztikában tanult eszközökkel jól jellemezhetők. Így pl: − grafikus ábrázolással − viszonyszámokkal − statisztikai táblákkal − átlagszámítással Az asszociáció szorosságának mérésére használt mutatók: Asszociációs együtthatók 1) Yule-féle asszociációs együttható (alternatív ismérvek esetén)

y = 21122211

21122211

ffff

ffff

⋅+⋅

⋅−⋅

Ha y = 0: a két ismérv függetlensége esetén, vagyis nincs kapcsolat. |y| = 1: függvényszerű kapcsolat esetén 0 < |y| < 1: sztochasztikus kapcsolat esetén � 0 – 0,3 : gyenge, 0,3 – 0,7: közepes, 0,7 – 1: erős a kapcsolat a vizsgált ismérvek között. 2) Csuprov-féle asszociációs együttható

T = 1t1sN

2

−⋅−

χ

0 < T < 1 N: elemszám, s= ismérv változatok minimuma 3) Cramer-féle asszociációs együttható: Az asszociációs összefüggések térbeli vagy időbeli

összehasonlítására szolgál.

C = 1)N(s

2

−

χ

38

A vegyes kapcsolat szorosságának mérésre használt mutatók: 1) szórásnégyzet-hányados: amely a mennyiségi ismérv szórásnégyzetének a minőségi

ismérv által megmagyarázott hányada σ

2 = σb2 + σk

2

H2 = σ

2

b2σ

1

σ2

k2σ

−=

H2 értéke: 0 ≤ H2 ≤ 1 2) Szóráshányados: a szórásnégyzet-hányados négyzetgyöke. Jele: H A korreláció szorosságának mérése 1) Determinációs hányados: azt mutatja meg, hogy az x ismérv mekkora hányadát

magyarázza meg az y ismérv szórásnégyzetének

H2(y|x) =

y

k(y)

σ

σ2

2

2) Korrelációs hányados: a determinációs hányados négyzetgyöke

H(y|x) = (y)

k(y)

σ

σ2

2

Ha H(y|x) = 0: az ismérvek korrelálatlanok Ha H(y|x) = 1: függvényszerű kapcsolat Gyakorló feladatok: 1, Egyik magyarországi városban a kereskedelmi szálláshelyek vendégforgalmának megoszlása a szállás típusa és a turisták lakhelye szerint 2008-ban (ezer fő): szállás belföldi külföldi együtt típusa szálloda 25 75 100 turistaszálló 15 5 20 kemping 30 60 90 fizetővendéglátás 80 110 190 Együtt: 150 250 400 Feladat: a, Számítson megoszlási viszonyszámokat mindkét irányban! b, Vonjon le következtetéseket a két ismérv kapcsolatára vonatkozóan! 2, A háztartások 60 %-a található városokban , 40 %-a községekben. Az éves javítási és szolgáltatási kiadásaik összege a megfigyelt mintában a városokban élőknél 10000 ft , a községekben élőknél 6000 ft volt. a, Számítsa ki a főátlagot! b, Vonjon le következtetést a sztochasztikus kapcsolatra vonatkozóan!

39

3, Egy 35000 lakosú városban 18500 nő él. A férfiak közül 9000 aktív kereső van , a nők közül 8000. Feladat: a, Készítsen kombinációs táblát az adatokból! b, Számítson megoszlási és koordinációs viszonyszámokat! c, Vonjon le következtetést a sztochasztikus kapcsolatra vonatkozóan. 4, Az egyik évben kiadott hangkazetták a szerző állampolgársága és műfaj szerint:

Műfaj magyar külföldi összesen rockzene 167 37 204 klasszikus 22 20 42 popzene 248 251 499 egyéb 113 26 139

összesen: 550 334 884 Vizsgálja a hangkazetták megoszlását a szerző állampolgársága szerint , műfaj sze- rint , illetve vonjon le következtetést! 5, A hazai szállodákból egyik évben véletlenszerűen kiválasztott 500 vendég megoszlása ( fő ):

Szállodabesorolás belföldiek külföldiek Összesen Luxus 0 20 20 A 18 152 170 B 82 138 220 C 50 40 90

Összesen: 150 350 500 Számítson megoszlási viszonyszámokat mindkét irányban és vonjon le következtetést! 6, Egy vizsga eredményessége egy adott iskolában egy adott évben nemek szerint: Nem Nem sikerült sikerült Összesen vizsga vizsga nő 14 76 90 férfi 33 59 92 összesen: 47 135 182 Határozza meg a nem és a vizsga kimenetele közötti kapcsolatot a Yule - féle mutató és a Cramer - együttható segítségével! 7, Magyarország népességének összetétele nem és gazdasági aktivitás szerint adott év 01.01-jén: Megnevezés gazdaságilag nem aktív Összesen aktív nők 2431,5 2935,3 5366,8 férfiak 2583,5 2359,9 4943,4

összesen 5015 5295,2 10310,2 Határozza meg az ismérvek szorosságát a Yule féle asszociációs együttható segítségével! 8, Egy tanulócsoport 15 hallgatójáról készült vizsgálat eredménye:

40

csoport létszám ( fő ) átlagos szórás pontszám előkészítős 5 26 2,61 nem előkészítős 10 20 4,43

összesen: 15 … … a, Számítsuk ki a teljes szórásnégyzetet és a szórást! b, Vizsgáljuk a felkészülés módja és a pontszám közötti kapcsolat szorosságát!

9, Vállalkozásokat vizsgálunk jövedelmezőségük alapján két egymást követő évben. Az eredményeket az alábbi tábla tartalmazza: 2006\2007 Alacsony Közepes Magas Összesen Alacsony 100 80 - 180 Közepes 60 90 10 160 Magas - 30 30 60 Összesen 160 200 40 400 Feladat:

Számítsa ki a Csuprov és Cramer féle együtthatót! Értelmezze a kapott eredményeket!

10, Egy vállalatcsoportnál teljes munkaidőben dolgozók havi bruttó átlagkeresetére vonatkozó adatok : Nem Létszám Havi bruttó átlagkereset (e Ft) Keresetek szórása (e Ft) Férfi 1700 355 25 Nő 1100 285 18 Összesen 2800 … … Milyen szoros kapcsolat van a „nem” és a havi bruttó átlagkereset között? A havi bruttó kereset szórásának hány %-át magyarázza a nemhez való tartozás? 11, Egy hallgatói csoportra vonatkozóan a következő adatok állnak rendelkezésre: Csoport Létszám (fő) Átlagos pontszám

statisztika Zh-n (Max. 20 pont)

Szórás

Megoldotta a gyakorló feladatokat

8 13 1,31

Nem oldotta meg a feladatokat

15 10 2,23

Összesen 23 … … Számítsa ki a teljes szórást és értelmezze. Határozza meg és értelmezze a szórásnégyzet-hányados és a szóráshányados mutatókat! 12, 50 cég megoszlása az iparág és a bírságfizetés alapján: Iparág Fizetett Nem fizetett Összesen Textilipar 18 2 20 Élelmiszeripar 5 25 30 Összesen 23 27 50 Határozza meg a teljes függetlenség melletti gyakoriságokat és vonjon le következtetést a sztochasztikus kapcsolatra vonatkozóan a Cramer és a Yule mutatók alapján.

41

13, Egy mosópor bevezetését tervezi egy cég a piacon. 1000 embert kérdeztek meg mondjon véleményt róla (fő): Nem Elégedettségi fok Elégedettségi fok Elégedettségi fok Összesen Nagyon elégedett Elégedett Nem elégedett Férfi 120 100 30 250 Nő 500 180 70 750 Összesen 620 280 100 1000 Vizsgálja meg a sztochasztikus kapcsolat erősségét a Csuprov mutató segítségével. 14, Zh jegyek megoszlása nemek szerint egy tankörben: Nem\jegy elégtelen elégséges közepes jó jeles Összesen Férfi 2 3 1 1 2 9 Nő 1 3 4 5 7 20 Összesen 3 6 5 6 9 29 Vizsgája a nem és a zh-jegy kapcsolatát a Cramer és a Csuprov mutatók segítségével. 15, Korcsoport Élelmiszer-fogyasztás (Ft/fő/nap) Aktív keresőkorúak 3600 Gyerekek 2800 Nyugdíjas-korúak 3200 Az élelmiszerfogyasztás szórása: 500 Ft/fő/hónap. Számszerűsítsük és értékeljük a korcsoportok és az élelmiszerfogyasztás közötti kapcsolatot. 16, Egy reprezentatív felmérés során vizsgálták a lakosság 1 főre jutó élelmiszervásárlásra fordított kiadását: Település típusa

Lakosok száma (fő)

1 főre jutó kiadás átlaga (e Ft)

1 főre jutó kiadás relatív szórása (%)

Város 300 7916 25 Község 200 7276 30 Összesen 500 … …

Állapítsa meg, hogy milyen szoros a kapcsolat a település típusa és az élelmiszer-vásárlásra fordított kiadás között! Vizsgálja meg, hogy az egyes lakosok kiadása átlagosan mennyivel

tér el az átlagos kiadástól!

42

VII. Mintavétel Alapsokaság: az a sokaság, amelyre a mintavétel segítségével következtetni szeretnénk. Mintasokaság: az alapsokaság azon része, mely alapján a következtetéseket levonjuk. Minta: a sokaság tulajdonságaira való következtetés eszköze. Mintaételi hiba: abból adódik, hogy a sokaság egy részéből következtethetünk az egészre. Kiválasztási arány: n/N, azt mutatja meg, hogy a sokaság elemeinek mekkora hányada kerül a mintába. Mintaelemek kiválasztása történhet: visszatevéssel és visszatevés nélkül. Reprezentativitás: a mintának az a tulajdonsága, hogy tükrözi az eredeti sokaságot. Sokaság elemszáma (N): lehet: - véges és –végtelen. Véges esetén az egyedeket illetve azok ismérvértékeit nagyság szerint sorba rendezhetjük. Végtelen esetén két eset van: a valószínűségi változó diszkrét , vagy folytonos. x� sokaság egy ismérve ξ� véletlentől függő ismérvérték, melynek eloszlási függvénye : F(x)= P(ξ<x) ξ várható értéke véges sokaság esetén = átlaggal. M(ξ) = µ= (x1+x2+…+xn)/N = számtani átlag A minta elemszáma MINDIG véges. Mintavételi keret: egyenként tartalmazza a vizsgálni kívánt sokaság elemeit, mégpedig mindegyiket, és mindegyiket csak egyszer. Mintavétel típusai: − véletlen

leggyakoribb fajtái: − egyszerű véletlen − rétegezett: A rétegzett mintavétel során a vizsgált ismérv szempontjából

heterogén sokaságot több homogén (minél kisebb szórású) részsokaságra (rétegekre) bontjuk, úgy, hogy a csoportok kioldják a teljes sokaságot, továbbá egyetlen sokasági elem se tartozzon két vagy több csoportba. Az egyes rétegen belül a minta elemeinek a kiválasztása egyszerű véletlen mintavétellel történik.

A rétegzés nem csupán pontosságnövelő hatása miatt elterjedt mintavételi eljárás. Arra is felhasználhatjuk, hogy az egyes rétegek sokasági jellemzőire megbízható becslést adjunk. Pl. a kisvárosi háztartások jövedelemviszonyainak vizsgálata � 1 főre jutó jövedelem becslése. A mintaelemek szétosztása a rétegek között történhet arányos és nem arányos elosztással. − nem véletlen

leggyakoribb fajtái: − kvóta szerinti − koncentrált − önkényes (kiválasztási tervek)

43

Mintavétel és becslés általános tulajdonságai: a) Véletlen minta esetén az éppen aktuális minta függ a véletlentől, a mintából származó

becslés is függ a véletlentől, annak értéke mintáról mintára változik. b) A véletlen minta jól reprezentálja az eredeti sokaságot, a mintáról mintára változó

becslések a becsülni kívánt sokasági jellemzők körül ingadoznak. c) Minél nagyobb a minta, annál kevésbé szóródnak a becslések, azaz annál

biztonságosabban lehet következtetni a sokasági jellemzőre egyetlen minta alapján. d) Minél heterogénebb az eredeti sokaság, azaz minél jobban különböznek értéke a vizsgált

ismérv szerint, annál inkább szóródnak a becslések, azaz annál bizonytalanabbul lehet következtetni a sokasági jellemzőre egyetlen minta alapján.

Gyakorló feladatok: 1, A rétegzett minta:

� Esetében a minta rétegenkénti megoszlása megegyezik a sokaság rétegenkénti megoszlásával

� Általában megbízhatóbb eredményeket ad, mint az egyszerű véletlen minta � Nem feltételezi a sokasági lista létezését � Mindig nagyobb mintaelem-számú, mint az egyszerű véletlen minta

2, Egy strandon 5 palacsintasütő árul palacsintát. Az árak rendre (Ft/db): 200, 205, 210, 215, 220 Számítsa ki az összes kételemű minta átlagát, és mutassa meg, hogy a mintaátlagok átlaga megegyezik a sokaság átlagával! 3, Milyen mintavételi terveket javasolna a következő problémák vizsgálatra?

� Az orvosok hálapénzének nagysága. � Az iskolatej és kifli iránt várható kereslet Szeged általános iskoláinak alsó tagozatos

osztályaiban. � A vodkavásárlás értéke a feketepiacokon.

4, Egy gimnáziumba az első évfolyamra 120 -an, a másodikra 150-en, a harmadikra 110 - en, a negyedikre 180-an járnak. Minden évfolyamról megkérdeztek 20 véletlenszerűen kiválasztott tanulót, hogy hány amerikai palacsintát tudna megenni ebédre. Az évfolyamonkénti átlagok rendre: 4, 6 ; 5,2 ; 6,8 ; 7,2 db.

Feladat: � Hány amerikai palacsintát tud megenni átlagosan az iskola tanulója? � Hány amerikai palacsintára lenne szükség, ha az iskola minden tanulója

ebédelne?

44

5, Válaszolja meg a kérdéseket! � Mit értünk önkényes mintavétel alatt? � Milyen mintaeloszlásokat lehet megkülönböztetni? � Melyek a mintavétel és a becslés általános tulajdonságai? � Melyek a mintavételi tervek típusai? �

6, Tételezzünk fel egy mindössze 5 elemű sokaságot, amelyben egy mennyiségi ismérv értékei a következők: A sokaság elemei Xi értékei A 2 B 6 C 8 D 10 E 15 Számítsuk ki az összes lehetséges kételemű és háromelemű visszatevés nélküli kiválasztással kapható mintákat és mintaátlagokat! 7, Az alábbi információkat ismerjük: � Egy édességbolt kávéforgalma 2000 decemberében. � A fogyasztói árak alakulása. � A magyar háztartások jövedelmüknek átlagosan 40 %-át költik élelmiszervásárlásra. � A felsőfokú intézményben végzettek száma 1999-ben. � A dohányzók aránya a 14 – 18 éves fiatalok körében. A fenti információkból melyek azok, amelyek reprezentatív megfigyelésből származnak?

45

VIII. Statisztikai becslések

Becslés: a sokaság valamilyen jellemzőjének mintából való közelítése

Becslőfüggvény: a ξ1, ξ2, … ξn mintaelemek olyan n-változós ∧

θ függvényét értjük, amelynek ∧

θ (ξ1, ξ2, … ξn) értéke a sokság valamely ∧

θ paraméterének mintából történő becslésére szolgál. Becslőfüggvényekkel szemben támasztott követelmények: 1) Torzítatlanság: Torzítatlan egy becslőfüggvény, ha annak várható értéke megegyezik a

becsülni kívánt sokasági jellemző értékével. 2) Konzisztencia: A konzisztencia azt a követelményt támasztja a becslőfüggvényekkel

szemben, hogy nagyon agy minta esetén a becslőfüggvény mintából számított értéke nagy valószínűséggel közelítse meg a sokasági jellemző értékét.

3) Hatásosság: Az a becslőfüggvény hatásosabb, amelynél a becslőfüggvény mintából

számított értékeinek a sokasáig paraméterektől számított átlagos négyzetes eltérésének várható értéke (tehát szórása) kisebb.

4) Elégségesség: Ez a követelmény azt mondja ki, hogy az elégséges becslés minden

mintából nyerhető információt tartalmaz a becsülni kívánt jellemzőről. Becslések fő fajtái: A becslés egyik célja egy olyan intervallum megadása, amely megadott nagy valószínűséggel tartalmazza a sokasági jellemzőt. Ekkor KONFIDENCIA intervallumot határozunk meg. intervallumbecslés: • sokaság várható értékének becslése • sokasági értékösszeg becslése • sokasági arány becslése • sokasági szórásnégyzet becslése Gyakorló feladatok: 1, Sorolja fel a becslőfüggvényekkel szemben támasztott követelményeket és magyarázza meg a fogalmakat! 2, Egy szoros elszámolása nem kötelezett bolt forgalmi adatai: 12 véletlenszerűen kiválasztott napon tett megfigyelések, forgalom 1000 Ft-ban: ( napi forgalom normális eloszlású, tételezzük fel) 17,2 17,5 16,3 18,1 16,6 20,5 10,8 14,6 15,5 20,4 16,3 16,8 Készítsünk 95 %-os megbízhatósággal intervallumbecslést a napi átlagos forgalomra!

46

3, Mintába került kávécsomagok megoszlása: Csomagok töltési tömege (gramm) Csomagok száma

- 240 8 240 – 245 22 245 – 250 32 250 – 255 28 255 - 10 Összesen: 100 Határozzuk meg, hogy milyen határok között lesz a kávécsomagok töltési tömegének szórása 95 %-os valószínűséggel!

47

IX. Üzleti statisztika alapfogalmai Üzleti statisztika: a gazdaság alapvető egységei, azaz a mikro-szint döntéseit előkészítő, megalapozó, illetve tevékenységét elemző, elsősorban statisztikai jellegű módszertan és tevékenység. Mikro-szint: az alapvető gazdálkodási egységek, a gazdasági szervezetek és háztartások. Gazdaság szereplői (makro-ökonómia): − háztartások − vállalkozások − állam − külföld A szereplőket az SNA intézményi egységeknek, szektoroknak nevezi és négyféle egységet különböztet meg: − vállalkozások − költségvetési és társadalombiztosítási szervezetek − non-profit szervezetek − háztartások Gazdasági életre vonatkozó információk forrásai: Magyarországon az első statisztikai törvényt 1874-ben hozták, amely már akkor kimondta, hogy az országos statisztika centruma a Központi Statisztikai Hivatal (KSH). KSH feladatai: − adatok felvétele, feldolgozása, tárolása, átadása, átvétele, közlése és védelme − statisztikai tevékenységek összehangolása, szakmai irányítása − népszámlálások végrehajtása − egyéb országos összeírások szervezése stb. A gazdaságra vonatkozó legfontosabb információkat a statisztikai szolgálat gyűjti. Ide tartozik a vállalatok, non-profit intézmények tevékenységére vonatkozó információk gyűjtése. Ezek legfontosabb információforrásai: − vállalati éves beszámolók − alapnyilvántartások − egyéb statisztikai adatszolgáltatások − APEH-tól származó információk − reprezentatív megfigyeléseken alapuló becslések A statisztikai rendszer a vállalatok tevékenységén túl még rengeteg folyamatról, jelenségről gyűjt adatokat, a legfontosabb területek a következők: − népmozgalmi adatok − áralakulások − beruházások alakulása − igazságügyi, közigazgatásra vonatkozó adatok − kulturális élet alakulása − közlekedés, idegenforgalom alakulása

48

X. Az információszerzés statisztikai módszerei Az információk forrásai: Belső adatok: mindazok az információk, adatok, amelyeket a vállalkozás tevékenységével, munkavégzésével, termelésével, értékesítésével, rendelésekkel, készletekkel, kintlévőségekkel, pénzügyeivel kapcsolatban rögzítenek. A belső adatok elemzése teszi lehetővé azt, hogy a legfontosabb lehetőségeket és problémákat minél előbb felismerjük. Az adatok fogalmi jegyei: − adattípus vagy mutatószám − azonosító − mértékegység − érték Külső információkhoz való hozzájutás: − vállalat környezetéből − napilapok, folyóiratok − piackutatás − stb. Piackutatást végezhet: − a vállalkozás valamelyik osztálya, részlege − egy erre szakosodott piackutató cég. A piackutatás fő területei: − a termék és a szolgáltatás iránti kereslet − a versenytársak termékei és szolgáltatásai, illetve azok piaci akcióinak hatása − a termék és a szolgáltatás értékesítésével, versenyképességével, piaci fogadtatásával

kapcsolatos információk − a vállalkozás reklámjai hatásának felmérése Adatok fajtái forrásuk szerint: − elsődleges (primer) adatok: azok az adatok, amelyeket az adott vállalkozás vagy

közvetlenül figyel meg, vagy ennek megfigyelését valamely más vállalkozás végzi, de kifejezetten az adott vállalkozás számára.

− másodlagos (szekunder) adatok: azok az adatok, amelyeket már valamilyen formában nyilvánosságra hoztak, megjelentek, és amelyeket már valaki vagy valakik felhasználtak.

Ezen kívül megkülönböztetünk: − az egész sokaságra, vagy − a sokaság kisebb részére, a mintára vonatkozó adatokat, illetve az ezekre vonatkozó

adatgyűjtést. A kérdőíves megkérdezés alapfogalmai: A kérdőívszerkesztéskor tartami és technikai szempontokat kell figyelembe venni. A tartalmi kérdések a vizsgált témakörrel összefüggő kérdések.

49

A probléma megoldásának 6 szakasza:

A felmérés céljának meghatározása Az előzetes feltevések megfogalmazása A legfontosabb fogalmak definiálása A kérdőív tartalmi területeinek meghatározása A kérdőív konkrét kérdéseinek összeállítása A kérdőív lekérdezése

Fogalmak: Kérdőív: több kérdésből álló kérdéscsomag, amelyet ugyanolyan formában több különálló személynek is feltesznek. Megkérdezettek: azok a személyek, akiknek a kérdőív kérdéseit feltettük. Válaszadók: a kérdőív kérdéseire ténylegesen válaszolók köre. Válaszadási arány: a válaszadók aránya a megkérdezettekhez viszonyítva. Megkérdezés: a kérdőív kérdéseinek megválaszolása. Történhet szóban vagy írásban. Kérdezőbiztos: a szóbeli kérdezés során alkalmazott szakember, akinek a feladata a kérdőív kérdéseinek érthető feltevése, a válaszok feljegyzése. Kérdőívkészítéshez tudnivalók: − a kérdések száma ne legyen több 19-24-nél, vagy 2 gépelt oldalnál − a kifejtendő kérdések száma legyen minimális, s ha lehet kerüljön az ív elejére − többfajta kérdéstípus szerepeljen: eldöntendő kérdés, feleletválasztós kérdés, kifejtendő és

skálakérdés − a kérdések száma fedje le teljesen az adott témát − a kérdések logikusan kövessék egymást − a kérdések között ne legyenek ellentmondások − ügyeljünk a formai követelmények betartására

50

XI. Idősorok összeállítása, elemzése Idősor: statisztikai adatok időpont vagy időtartam szerinti felsorolása Mire szolgálnak az idősorok? − egy múltbeli folyamat bemutatására − a jelenség múltbeli alakulásának elemzésére s következtetésekre, hogy a jövőben a

jelenség várhatóan hogyan alakul. Idősorok típusai: − állapot-idősor: állósokaságra vonatkozó megfigyeléseket tartalmaz. Pl: Rt-k száma 2007.

december 31-én − tartam-idősor: mozgósokaságokra vonatkozó megfigyelésekből áll. Pl: GDP alakulása

2003-2009 között Idősorok ábrázolási módjai: − pontdiagram (állapot-idősor esetén) − vonaldiagram (állapot és tartam-idősor esetén is alkalmazható) − oszlopdiagram (tartam-idősor esetén) Átlagszámítás alkalmazása idősoros adatokra a) a tartam-idősorok adatainak átlagát számtani átlaggal határozzuk meg

ya = n

y

n

y...yy

n

1i

in21∑

==+++

b) az állapot idősorok adatainak átlagát kronologikus átlag formájában határozzuk meg

yk = 1n

2

y1y...y

2

y nn2

1

−

+−+++

Idősorok elemzésére szolgáló mutatók: 1. abszolút változás dt = yt – y(t-1) 2. átlagos abszolút változás

d(átlag) = 1n

...ddd n32

−

++vagy {(yn – y1) / (n-1)}

3. vizsgált jelenség jövőbeni értékének becslése yn+1 = yn + d 4. relatív változás

lt = 1)(t

t

y

y

−

5. átlagos relatív változás

l (átlag)= 1nn32 ...lll− ⋅ vagy az (n-1)-edik gyök alatt (yn /y1 )

51

Hosszabb idősorok elemzésének eszközei: Az elemzés során négy tényezőt különböztetünk meg: a) alapirányzat vagy trend: az idősorban tartósan érvényesülő tendencia b) szezonális ingadozás: az évszakok változásával összefüggő, abból adódó hullámzás az

adatsorban c) ciklikus ingadozás: a gazdaság egészének változásával összefüggő, egy évnél hosszabb

időszakra vonatkozó hullámzás d) véletlen ingadozás: több, külön nem jelentős tényező hatásaként bekövetkező eltérés. Trend kimutatása mozgóátlaggal Mozgóátlag: gyakori változások estén az idősort részekre bontva határozzuk meg a megfelelő tagszámú átlagok (mozgó átlagok) sorozatával, amelyet az idősor alapirányzatának kimutatása érdekében határozunk meg. − páratlan tagszámú mozgó átlagot célszerűen hosszabb időszakra vonatkozó adatokra

számítunk − páros tagszámú mozgó átlagot teljes ciklusnál rövidebb (negyedéves, havi, heti) adatokra

számítunk Mozgó átlag általános képlete:

yi = p

)2

1ny(i...yi...)

2

1ny(i

−+++++

−−

p: mozgó átlag tagszáma Páros tagszám esetén kétszeresen kell az átlagolást elvégezni ahhoz, hogy megkapjuk a mozgó átlagok szorzatát. Gyakorló feladatok: 1, Igaz - hamis? A, Idősornak azt nevezzük, ha statisztikai adatokat időpont szerint felsorolunk. B, Az idősorok típusai az álló-idősor és a tartam-idősor. C, Mozgóátlagot csak páratlan tagszámból lehet képezni. D, A tartam-idősor adatait kronologikus átlaggal átlagoljuk. E, Az állapot-idősor adatait kronologikus átlaggal átlagoljuk. 2, Feleletválasztás

52

a, Az adatbázis: � Adatok felsorolásából áll � Egy adathalmaz � Egymással logikai kapcsolatban álló adatok összessége � Részei az adatok, az adatdokumentáció és az adatok kezelésére és

feldolgozására szolgáló eljárások � Mind a négy válasz helyes � A 3. és 4. válasz helyes

B, A grafikus ábrázolás:

� Általában az idősorok mélyebb elemzése után készül el � Típusai a pontdiagram és az oszlopdiagram � Típusai közül az oszlopdiagramot tartam-idősorok jellemzésére

használjuk � Esetén a koordinátarendszerben a skálát mindig a 0 pontról

kiindulva folyamatosan kell beosztani � Az 1. és 3. válasz egyaránt helyes

3, Milyen idősorok a következő sokaságok adatainak időbeli felsorolása? Milyen diagrammal lehetne ábrázolni értékeit?

� A Magyarországra érkező turisták száma � A Magyarországra importált gépkocsik száma � A Magyarországon született csecsemők száma � A Magyarországon bejegyzett, működő Kft-k száma � A Magyarországon gyártott gépkocsik száma

4, A fertőző szalmonellás megbetegedések száma Magyarországon 2004 és 2007 között a következőképp alakult, negyedévenként (fő): Év Megbetegedések száma negyedévenként I. II. III. IV. 2004 2619 5319 5957 2967 2005 3620 6290 3428 1858 2006 2702 5143 4142 1657 2007 2470 4305 3131 1746 � Állapítsa meg a sokaság és az idősor típusát! � Ábrázolja grafikusan az idősort! � Simítsa ki az idősort négytagú mozgóátlagolással! 5, Válaszolja meg a kérdéseket!

53

� Mire szolgálnak az idősorok? � Melyek az idősorok típusai? � Mit nevezünk eszmei időpontnak? � Melyik diagram alkalmas idősorok grafikus megjelenítésére? � Milyen jelölést alkalmaznak ai idősorok jelölésére? � Milyen átlag formájában határozzuk meg a tartam-idősor adatainak átlagát? � Mely idősorok adatainak átlagát határozzuk meg kronologikus átlag formájában? � Mi az a trend? � Mi a mozgóátlag általános képlete? � Mit értünk ciklikus ingadozás alatt?

6, Magyarországon 2000-ben 274 ezer lakás épült, míg 2005-ben csak 244 ezer db. Évente átlagosan hány ezer darabbal illetve hány %-kal épült kevesebb lakás? 7, A búzatermelés alakulása Magyarországon 1997 és 2005 között: Év Ezer tonna 1997 5800 1998 5790 1999 7030 2000 6500 2001 6200 2002 6002 2003 2456 2004 3022 2005 4710 Állapítsa meg az idősor típusát és az éves átlagos búzatermelés nagyságát! 8, Magyarországon a zokni-gyártás termelésének alakulása és változása 1998-2006, millió pár:

Év Millió pár 1998 40 1999 38,8 2000 22,5 2001 24,8 2002 19,3 2003 13,4 2004 12 2005 10 2006 22 Számítsa ki az abszolút változást, az átlagos abszolút változást, a relatív változást, átlagos relatív változást és becsülje meg az 2007-es zokni-gyártás nagyságát!

54

9, Igaz - hamis?

� A vállalkozás minden belső adata elsődleges adatnak tekinthető. � Zárt kérdésekre csak számszerű válasz adható. � A mintavétel az adatokhoz jutás egyetlen módja. � A kvóta szerinti kiválasztás nem tekinthető véletlen mintának.

10, Feleletválasztás A, Egy felmérés céljának megfogalmazása:

� Csak a kérdőív lekérdezése és kiértékelése után lehetséges � Megelőzi a kérdőív konkrét összeállítását � Általában lehetetlen feladat � Mindig kettős

11, Tegyük fel, hogy Ön egy piackutató intézet munkatársa és felmérést kell készítenie egy új

étel a " Mahagónis csirke " iránti keresletről. Ezen étel elég drága az éttermekben.

Feladat:

� Fogalmazza meg, kikből áll a sokaság! � Milyen mintavételt javasol? � Fogalmazza meg a felmérés célját, előzetes feltevéseit, és a leendő kérdőív

tartalmi területeit! � Állítson össze ezek alapján egy rövid kérdőívet!

12, Egy bizonyos szolgáltatás tevékenységének értéke folyóáron 1996 és 2007 között: Év Millió forint 1996 95000 1997 96000 1998 97100 1999 98200 2000 99900 2001 100000 2002 115200 2003 160000 2004 192000 2005 193500 2006 194000 2007 196700 Feladat: Trend kimutatása mozgóátlagolással! Mozgóátlag tagszáma: p=4.

55

XII. Árstatisztika Az árindex számításával az adott szereplőt ért árváltozások hatásának bemutatása a cél. Termelői árindexek (Iq(1)): − ipari értékesítés − mezőgazdasági termelői és felvásárlási − az építési és szerelési munkák − a külkereskedelmi forgalom árindexei A termelői árindexek jelentősége: Képet kaphatunk arról, hogy: − mennyire vesztettek versenyképességükből, mennyire emelkedtek az áraik és egyes

ágazatoknak − illetve, hogy a vállalati, ágazati, nemzetgazdasági termelés értékek mellett hogyan

alakultak a termelt volumenek. A fogyasztói árindex(Ip(0)): Számításakor két problémát kell tisztázni: − először is meg kell határozni az árindexben figyelembe vett termékek körét, valamint

fontosságukat, súlyozásukat az árindexen belül; − másrészt a termékek átváltozásának mérését kell valahogy megoldani. Az árindex számításakor figyelembe vett termékeket az úgynevezett FOGYASZTÓI KOSÁR rögzíti. Az éves árindexek a tárgyévi átlagos árakkal dolgoznak. Ezek az árindexek kétfélék lehetnek: − egyrészt egy kitüntetett év áraihoz viszonyítva a bázisárindexeket, − másrészt az előző évhez viszonyítva láncárindexeket közölnek. Az árindexek alkalmazásai: 1) Reáljövedelem változás számítása:

Reáljövedelem változása (IR) = árindex fogyasztói

változásajövedelmek nominális

Nominálbérindex= tárgyi időszaki nominálbér/ bázis időszaki nominálbér Ni= indexált jövedelem= Ip

(0)* Nº Kiigazítás= N¹/ Ni vagy kivonással e Ft-ban kapjuk meg. 2) Termelési volumenindexek becslése A volumenindexek és az árindexek közül, az árindexeket becsülik közvetlenül, a reprezentatív megfigyelés alapján. A volumenindexek becslését közvetve, az értékindexet a megfelelő árindex-szel osztva kapják meg. (lv/lp

(0) = lQ(1)).

Iv = Ip(0) IQ

(1) → IQ(1) =

Ip(0)

Iv

56

Ip(0)

Iv = Iq(1)

pqΣ

pqΣ

pqΣ

pqΣ

pqΣ

pqΣ

10

11

00

10

00

11==÷

Gyakorlatilag tehát fiktív értékösszeget, a tárgyidőszaki árak és a bázisidőszaki volumenek szorzatát közelítő úton, a termelői árindex segítségével határoztuk meg. Árollók: olyan indexek, amelyek egy gazdasági szereplő kiadásainak és bevételeinek változását hasonlítják össze. Két jelentős árollót kell megemlíteni: − az agrárollót és − a külkereskedelmi cserearányindexet. Agrárolló: a mezőgazdasági termelésben felhasznált iparcikkek és az agrártermékek árváltozásainak hányadosa.

Képlete: I = (agrár)

(ipar)

Ip

Ip

Cserearányindex: az adott ország exportált és az általa importált cikkek árindexének a hányadosa.

Ics = imp

exp

Ip

Ip

A mutató számszerű értéke azt fejezi ki, hogy ugyanakkora mennyiségű export mennyivel több importtermék behozatalát teszi lehetővé. Gyakorló feladatok: 1, Igaz - hamis:

� A Statisztikai Havi Közleményekben a főbb termelői és fogyasztói árindexeket közlik.

� A termelői árindexek általában Laspeyres típusúak. � Defláláson az értékindexek és volumen-indexek hányadosát értjük. � Az agrárolló az agrártermékek és az ipari értékesítés árindexének hányadosa. � A fogyasztói kosárban a magyar családok fogyasztásában jelentős súllyal szereplő

szolgáltatások is helyet kapnak. 2, Feleletválasztás A, Az ipari értékesítés árindexe:

� Az egyes ágazatok tárgyidőszaki volumenével súlyozott árindex � Az egyes ágazatok árindexeiből képzett árindex � A tárgyidőszaki és bázisidőszaki árakból képzett súlyozatlan árindex � Az egyes ágazatok bázisidőszaki termelési értékével súlyozott árindex

57

B, A reálbérváltozás :

� A reálszférában dolgozók bérváltozása � A madridi focisták keresetnövekedése � A ténylegesen kézhez kapott bér vásárlóerejének változása � A nominális bér változása osztva az inflációs rátával � A 3. és 4. válasz egyaránt helyes

3, Próbálja megtervezni családja fogyasztói kosarának adatfelvételét! Hogyan lehetne az így megkapott fogyasztói kosarakat az osztály szintjén aggregálni? 4, Egy ország különböző szféráinak árindexét mutatja a táblázat 2004 és 2005 között: Szféra árindex(%) Mg-ban felhasznált ipari termékek 113 Mgi termékek felvásárlása 112 Exportált agrártermékek 119 Exporttermékek 116 Importált ipari termékek 124 Importtermékek 121 Ipari termékek 118 Állapítsa meg a megadott adatokból kiszámítható árollók értékét! 5, Válaszolja meg a kérdéseket!

� Melyek a fontosabb havi árindexek? � Mi a jelentősége a termelői árindexnek? � Melyek az éves árindexek fajtái? � Hol alkalmazzák az árindexet? � Hogyan számolunk reálbért? � Mi az agrárolló? És mi a képlete? � Milyen típusú a külkereskedelmi forgalom árindexe? � Mi a deflálás lényege?

6, Jövedelmek változása Magyarországon 2008-ban. A nettó átlagkereset 2008-ban 146200 Ft volt, 2009-ben 150100 Ft. Az 2009-es inflációs ráta=108%. Számítsa ki a nominál és a reáljövedelmek változását. Határozza meg az indexált jövedelmet és a kiigazítás mértékét Ft-ban és %-ban!

58

7, Magyarországon 1998-ban az előző évhez képest a behozatal árindexe: 112, 5 % volt, a kivitt termékek árindexe: 120, 1 %. Számítsa ki a cserearányindexet!

8, Egy termék ára 180 %. Fogyasztási adót tartalmaz, melynek összege 2340 Ft. Áfa:25

%.

Mennyi a termék piaci ára?

9, Egy vállalat 2006-os nominálbére: 156000 Ft, 2007-ben: 172000 Ft.

Inflációs ráta: +9% (109%)

Hogyan alakult a reálbérindexe?

59

XIII. TERMELÉS ÉS KÉSZLETEK STATISZTIKAI JELLEMZÉSE A termelés eredménye: − termék(ek): materiális tárgyak, de nem feltétlenül megfoghatóak − szolgáltatás(ok): olyan termelőtevékenység, amely közvetlenül jelent gazdasági hasznot,

nem ékelődik a termelés felhasználása közé egy közvetítő eszköz A termelés számbavétele vállalati szinten: A termelést számba vehetjük: − naturális és − értéki mutatók alapján • A naturális mutatók alapján természetes mértékegységen vesszük számba a termelést. • A naturális számbavétel elsősorban a kitermelő, feldolgozó, építőipari és mezőgazdasági

termékek körére vonatkozik. • Naturális mértékegységben csak homogén termékeket lehet összeadni. • Az aggregálás általános eszköze az értékben történő összesítés. Ennek alapja, hogy az

áruk általában a piacon realizálódnak, ezért kialakult egységáruk alapján a termelés értékben összegezhető.

Fogalmak: A vállalat egy meghatározott időtartam alatti összes termelést bruttó kibocsátásnak nevezzük. A bruttó kibocsátás része a vállalat piacon realizált összes termelése alapáron, a saját előállítású készletek állományváltozása és a saját előállítású eszközök aktivált értéke, az utóbbi kettő közvetlen önköltségen. Folyó termelő-felhasználás: olyan termékek és szolgáltatások alapján számolt értéke, amelyet a gazdasági szervezet a termelés folyamán átalakít vagy felhasznál. Hozzáadott érték: − a bruttó kibocsátás és a folyó termelő-felhasználás különbsége − megmutatja, hogy mekkora az az érték, amellyel a vállalat megnövelte a felhasznált

anyagok értékét, mennyit adott hozzá értékben saját tevékenységével a már egyszer létrehozott terméktömeg értékéhez.

Nettó termelési érték: a vállalat egy adott időszak alatt előállított új értéke, a saját tulajdonú eszközök hozadéka nélkül hozzáadott értéke. A termelés számbavétele nemzetgazdasági szinten: − A vállalati szintű bruttó kibocsátásokat összeadva jutunk nemzetgazdasági szinten az

összes kibocsátás (Gross Output) értékhez. − Az összes kibocsátást nemzetgazdasági szinten jelentés halmozódást tartalmaz, mert

tartalmazza a folyó termelő-felhasználást is. − Összes kibocsátás – folyó termelő-felhasználás = bruttó hazai termék (GDP)

GDP: Gross Domestic Product GDP: a termelés nemzetgazdasági szintű értékének világszerte elterjedt legfontosabb mérőszáma, azt mutatja, hogy mekkora egy ország gazdasági szférájában, egy adott időszakban, a végső elhasználási célra létrehozott termékek és szolgáltatások értéke.

− Y = C+I+G+(X-IM)

60

Makroszintű jövedelem = fogyasztás + beruházás + kormányzati kiadás + export-import különbözet

Végső felhasználás 3-féle lehet: − végsőfogyasztás (C+G) − felhalmozás (I) − export-import különbözet (X-IM) Végső fogyasztás: azon termékek és szolgáltatások összessége, amelyeket a háztartások felhasználnak tagjai szükségleteinek kielégítésére. Felhalmozás: olyan tartós javak létrehozását jelenti, amelyek termelési folyamat eredményei és amelyeket a termelők több éven keresztül más termelési folyamatokban felhasználnak. Típusai: beruházás és készlethalmozás Termelés = belső felhasználás X (exp-imp) exp-imp - külkereskedelmi mérleg egyenlege - lehet pozitív és negatív is A tárgyi eszközök és a készletek statisztikai jellemzése A. A tárgyi eszközök elemzése vállalati szinten Tárgyi eszközök: azok az anyagi eszközök, amelyek hosszabb időn, több termelési perióduson keresztül, legalább egy éven túl vesznek részt a termelés folyamatában, elhasználódásuk, de megtérülésük is fokozatos. Pl. épület, műszaki berendezés, gép, földterület, stb. A tárgyi eszközök értékben történő kimutatása a vállalkozás „könyveiben” történik. Értékük a vállalkozás vagyonának része. Az értéket kimutathatjuk: − bruttó értékben és − nettó értékben B. A készletek elemzése vállalati szinten: Készletek: a vállalkozás tevékenységét közvetlenül vagy közvetve egy évnél rövidebb ideig szolgáló eszközök. A készletvizsgálatakor szükséges olyan mutatószám számítása, amely alapján az értékesíti forgalom és az árukészlet alakulásáról képet kapunk. Ilyen mutatószám lehet: − a forgási sebesség fordulatokban (F), mely azt fejezi ki, hogy adott forgalom

lebonyolításához a készet hányszor fordul meg.

− F = etátlagkészl

forgalom eladási

K

E=

61

K = 1n

2

ZkK...K

2

Nyk1)(n2

−

++++ −

− a forgási sebesség napokban (T), amely azt fejezi ki, hogy meghatározott napi forgalom

mellett az átlagos készet hány napig elegendő.

− T = számanapok forgalom eladási

etátlagkészl

E/n

K

÷=

T = F

n, F =

T

n

Áruforgalmi mérlegsor � Nyk+B = Zk+F � nyitókészlet+beszerzés= zárókészlet+forgalom Számvitel – elemzésben: A termelés mérése, számbavétele:

„A vállalkozásoknál mind a termelés feladatok meghatározásakor, mind a termelőtevékenység

eredményének számbavételekor mérni kell egy meghatározott időszakra vonatkozóan a

termelés nagyságát és terjedelmét. Célszerű a termelést mérni:

- természetes mértékegységben

- értékben

- munkamértékegységben

Mérhető és összehasonlítható a termelés terjedelme értékben, az ún. termelési érték

mutatóinak számításaival.

Bruttó típusú termelési értékek:

- készáru termelés értéke

- befejezett termelés értéke

- teljes termelési érték

- bruttó termelési érték.

Nettó típusú termelési értékek:

- anyagmentes termelési érték

- nettó termelési érték

- hozzáadott érték.”6

6 Dr. Birher Ilona – Dr. Pucsek József – Sándor Lászlóné dr. – Dr. Sztanó Imre: A vállalkozások tevékenységének gazdasági elemzése. Perfekt, 2007

62

a) A termelési érték és a volumen globális elemzéséhez alapvetően az előző fejezetben már

ismertetett érték-, ár és volumenindexeket, vagyis az ún. értékindex-kört használjuk.

A termelés kapcsán az Iv a termelési érték együttes, átlagos változását mutatja:

Iv = 00

11

pq

pq

⋅∑

⋅∑

Az árindex: Ip = 01

11

pq

pq

⋅∑

⋅∑, ahol a mutató nevezője egy fiktív termelési érték, amely azt

mutatja, hogy mennyi lett volna a tárgyévi (tényleges) termelési érték, ha az árak nem

változnak.

A volumenindex pedig a különböző termékekből termelt, eladott mennyiségek együttes

átlagos változását mutatja.

Képlete: Iq = 00

01

pq

pq

⋅∑

⋅∑

Természetesen a termelési érték alakulásának vizsgálatakor számszerűsíthető még:

- a termelési érték változása: Kv = Σq1 . p1 – Σ q0

. p0

- az árak változása miatt bekövezett termelési-értékváltozás: Kp = Σq1 . p1 – Σ q1

. p0

- a termékek volumenének változása miatt bekövetkezett termelési-értékváltozás: Kq = Σq1 . p0

– Σ q0 . p0

A volumenváltozás vizsgálata a termelés elemzésének egyik fő területe, hiszen számos

mutatót – például piaci részesedés, költségek, eredmény alakulása - jelentősen befolyásol a

termelési volumen alakulása. A volumenindex vizsgálatakor a következő torzító tényezőket is

figyelembe kell venni:

- megváltoztatja a volumenindexet, ha másfajta anyagól állítjuk elő a terméket és ezért más

árakon értékesítjük

- megváltoztathatja az is, ha megváltozik a termelés összetétele

- hatással lehet rá a kooperáció mértékének változása is

- de torzítja a volumenindexet az is, ha a termelési értéken belül megváltozik az aktivált saját

teljesítmények értékének aránya.

b) A termelés összetételének elemzése során a termelés arányeltolódásának vizsgálata az,

amelynek kimutatására a statisztikából ismeretes standardizálás használható. A standardizálás

lényege itt is az, hogy az egyes tényezők hatásának a számszerűsítésekor eltekintünk más

tényezők szerepétől, oly módon, hogy azok változatlanságát, állandóságát tételezzük fel.

63

„A vállalkozás fontos gazdasági mutatószámai két csoportba sorolhatóak. Számszerűsíthető,

hányados formájú mutatószámok (pl. anyaghányad, bérhányad, fedezeti hányad, stb.),

valamint nem hányados formájú mutatószámok (pl. anyagköltség, bérköltség, fedezeti összeg-

bruttó eredmény stb.)” 6 Mindkét csoport esetén alkalmazható a standardizálás.

A hányados formájú mutatók megállapíthatóak a termékenkénti, termék csoportonkénti

mutatók súlyozott számtani átlagaként, mely során a súlyok a termékek, termékcsoportok

részarányai, megoszlási viszonyszámai.

1

111 V

xVx

∑

⋅∑= -

0

000 V

xVx

∑

⋅∑=

A képletből látható, hogy a vállalkozás egészét jellemző átlagos mutató alakulását, a vizsgált

tényező termékenkénti, termékcsoportonkénti változásain kívül befolyásolja a súlyok

változása, az egyes termékek részarányának, a termelés összetételének változása is.

Az összetétel-változás hatását a vizsgált mutatószámra a következő összefüggés segítségével

számszerűsítjük:

1

11 V

xVx st

∑

⋅∑= -

0

00 V

xVx st

∑

⋅∑=

xst: a termék standard mutatója

c) A termelés ütemességének vizsgálata

A termelővállalatoknál az ütemesség vizsgálata két területre tagolható:

- termékkibocsátás ütemessége

- termelés egyenletessége, folyamatossága

A termékkibocsátás ütemességének vizsgálatához alkalmazható módszerek:

- árbevétel tényszámai

- megoszlási viszonyszámok

- különböző termékkibocsátást szemléltető grafikonok

- szórás és relatív szórás

Utóbbi esetén súlyozott képlettel számítják a szórást:

f

df

∑

⋅∑=

2

σ

Relatív szórás pedig:

xV

σ= 100 (%)

6 Dr. Birher Ilona – Dr. Pucsek József – Sándor Lászlóné dr. – Dr. Sztanó Imre: A vállalkozások tevékenységének gazdasági elemzése. Perfekt, 2007

64

Készletalakulás vizsgálata

„A készletek alakulásának az elemzése kapcsán a következő feladatok fogalmazatóak meg:

- készletállományok vizsgálata a készletnormákhoz viszonyítva

- a vállalkozási szintű készlet összetételének hatékonyságának vizsgálata,

- készletek időbeli alakulásának, valamint a termelés és a készletek kapcsolatának

számszerűsítése

- a készletgazdálkodási hiányosságokra figyelmeztető adatok vizsgálata.”6

Ezen feladatok kapcsán használható mutatószámok a következők: (a teljesség igénye nélkül)

Anyagkészlet = Átlagos tárolási idő (nap) x Egy napi anyagfelhasználás

Félkész termék készlet = Átlagos tárolási idő (nap) egy napi félkész termék – felhasználás.

E kettő változása: Tényadat – Tervadat

Gyártásfinanszírozási idő = Gyártási átfutási idő x Átlagos készültségi fok

Ezer Ft átlagos készletértékre jutó termelési érték = Termelési érték / Készletek átlagos értéke

Fordulatok száma = Nettó árbevétel / Átlagos készlet értéke (kronologikus átlag)

Készletigényesség = Átlagos készlet értéke / Nettó árbevétel

Forgási idő napokban = Időszak napjainak száma / fordulatok száma

Készletrugalmassági mutató = Készlet változásának %-a / Árbevétel változásának %-a

Lekötött készlet értéke = forgási idő napokban x egy napra jutó árbevétel

Reagálási fok = Készlet változás %-a / Értékesítési forgalom változásának %-a.

Gyakorló feladatok: 1, Igaz - hamis:

� A termelés statisztikai fogalma megegyezik a mikro-ökonómiai fogalmával. � A kereskedő bruttó termelése az árrés. � A GDP a vállalati szintű bruttó kibocsátások összegzéseként adódik. � A termelékenységet az egy főre jutó termelés értékével lehet mérni. � A bérköltség a folyó termelő-felhasználás része.

2, Egy bőröv készítő gyár termelési adatai 2003. szeptemberben (100000 Ft):

� Nettó árbevétel: 200 � Saját előállítású eszközök aktivált értéke: 60 � Készletváltozás: -10 � Felhasznált anyagok és szolgáltatások: 150 � Értékcsökkenési leírás: 25 Számítsa ki a termelés mutatószámait!

6 Dr. Birher Ilona – Dr. Pucsek József – Sándor Lászlóné dr. – Dr. Sztanó Imre: A vállalkozások tevékenységének gazdasági elemzése. Perfekt, 2007

65

3, Egy kereskedelmi vállalat saját számlára és bizományosi módon egyaránt értékesít.

2005-ben 12 m Ft értékben vett árut, amit 15 m Ft-ért adott el. Bizományosi konstrukcióban 20 m Ft - ért értékesített 3 % -os jutalékért. Mekkora volt 2005 -ben a vállalat bruttó kibocsátása? 4, Magyarország néhány 2005 -re vonatkozó termelési adata (folyó áron, milliárd Ft-ban):

� Összes kibocsátás (alapár): 6749 � Összes kibocsátás (piaci ár): 7270 � Behozatali többlet: 291 � Lakossági fogyasztás: 2632 � Közösségi fogyasztás: 509 � Folyó termelő-felhasználás: 3732 � Tárgyévi értékcsökkenés: 580

Határozza meg a bruttó hazai termék és a nettó hazai termék piaci áron számolt értékét! Állítsa össze a bruttó hazai termék termelési és felhasználási oldalát.

5, Válaszolja meg a kérdéseket!

� Melyek a termelés eredményének fajtái? � Hogyan lehet számba venni a termelést? � Mit értünk folyó termelő-felhasználás alatt? � Mi az a bruttó hazai termék? � Melyek a felhalmozás típusai? � Hogyan elemezzük a készleteket vállalati szinten? � Mi a termelékenység általános számítási módja? � Mit értünk eszközhatékonyság alatt?

6, Egy iparcikk kereskedelmi vállalat adatai:

2008. I. negyedév eladási forgalma: 90 m Ft. Készletek: 2008. január. 1. : 48 m Ft 2008. január. 31 : 51 m Ft 2008. február. 27 : 50 m Ft 2008. március 31. : 54 m Ft. Számítsa ki az átlagkészletet, és a forgási sebességet napokban az első negyedévre vonatkozóan, majd állítsa fel az áruforgalmi mérlegsort! 7, Egy bolt forgalma és átlagkészlete a 4. negyedévben:

66

Árufőcsoport Forgalom (e FT) Átlagkészlet (e Ft) Élelmiszer 4000 800 Vegyi áru 1000 500 Összesen: 5000 ... Számítsa ki a forgási sebességet fordulatokban és napokban! 8, Egy közlekedési vállalat bérfuvarozást végzett 60 m Ft értékben. A személyszállítás árbevétele pedig 20 m Ft. A szerelőműhely autójavítást végzett más vállalat részére 5 m Ft értékben, saját vállalat részére 3 m Ft értékben. Egy új eljárást szabadalmaztattak, értéke 3 m Ft. A bérek és bérjellegű kifizetések: 12 m Ft. Folyó termelőfelhasználás: 32 m Ft. Értékcsökkenés: 10 m Ft.

Számítsa ki a termelés értéki mutatószámait!

9, Feladat: A táblázatban szereplő információkat felhasználva vizsgálja meg, hogyan kellene a

forgási sebességnek változnia ahhoz, hogy ennek hatására 5000eFt relatív

költségmegtakarítást, eredménynövekedést érjen el a vállalkozás.

A készletekkel kapcsolatos költségek, ráfordítások átlagos mértéke 18%.

Megnevezés Bázisév (e Ft) Tárgyév (e Ft) Nettó árbevétel 2.275.000 2.457.000 Bruttó termelési érték 2.269.500 2.466.400 Átlagos készletérték 162.500 …

67

XIV. Pénzügyi statisztika Pénzügyi statisztika: a pénzügyi folyamatoktól, pénzmozgásokról szóló információk megszerzésének, feldolgozásának, tömörítésének, elemzésének, közlésének eszköze. A befektetések statisztikája: A befektetőt pénze kihelyezésekor két szempont vezérli: egyrészt a lehető legnagyobb nyereséggel fektesse be a pénzét, másrészt a legnagyobb biztonsággal kapja majd vissza befektetett pénzét és az elvárt nyereséget. Befektetések hozama: azt mutatja meg, hogy a nyereség hány %-a az összes befektetett tőkének.

Hozam = t tőkebefektetet

nyereség

Befektetések megtérülése: arra ad választ, hogy befektetett tőkénk hányszorosra nő a befektetési időszak alatt.

Megtérülés = Hozam1t tőkeBefektetet

t tőkeBefektetetNyereség+=

+

A befektetések időtartamát lekötési időszaknak vagy befektetési időszaknak nevezik. A kockázatmentes befektetések elemzése Kockázatmentes befektetés: azok a formák, ahol előre rögzítik a befektetésre jutó nyereség összegét, és ennek kézhez kapására biztosan számíthatunk is, garantáltan mind a fizetett összeget, mind a megállapított nyereséget kézhez kapjuk. Ezeknél a formáknál nyereségünket kamat formájában kapjuk meg. A befektetéseknek a hozama, a kamat összegének a lekötött tőkéhez viszonyított százalékos aránya pedig a kamatláb, amelyet szintén fix időre, 1 évre vagy 1 hónapra szoktak megadni. Kamatos kamat számítás: minden időegység (év, hó) végén az összeghez adják az időszakra eső kamatot és az a későbbi szakaszokban már kamatozik. Egyszerű kamatszámítási eljárás: a kamat az eltelt teljes időszak után, egy tételben írják a befektetett összeghez, a részidőszak kamatai nem kamatoznak a későbbiekben. A gyakorlatban a kamatos kamat számítása terjedt el, mivel a különböző időtávú befektetések hozamait csak a kamat folyamatos újra-befektethetőségének, tehát a kamatos kamat számítási elve szerint lehet összehasonlítani. A kötvények és részvények nyeresége: a) A kötvények nyeresége két részből áll: − a vételi és az eladási ár különbözeteként árfolyamnyereség vagy veszteség képződik,

amely a kötvények után általában évente fizetett − kamattal együtt adja a befektetés nyereségét b) A részvények nyeresége két tényezőből származik: − az árfolyamnyereségből vagy veszteségből − és az osztalékból.

68

Részvényárfolyamok elemzése: mozgó átlagokkal. képlete:

Pt = k

1Pt1k

0i∑

−

=

−

k: mozgó átlag tagszáma Pénzügyi mutatók: Vállalati pénzügyi mutatók: a. A részvények tőzsdei elemzéséhez használt mutatók:

Egy részvényre jutó eredmény = darabszáma Részvények

eredmény utáni adófizetés Vállalati

Egy részvére jutó osztalék = darabszáma Részvények

osztalék kifizetett Összes

Névleges osztalékráta = névértékerészvény Egy

osztalék jutó részvényreEgy

Tényleges osztalékráta = árarészvény Egy

osztalék jutó részvényreEgy

P/E = eredmény jutó részvényreEgy

árfolyamarészvény Egy

b. Jövedelmezőségi és eladósodottsági mutatók

Sajáttőke – arányos nyereség = Saját tőke

nyereség Vállalati

Tőkearányos nyereség = tőke vállalatiÖsszes

nyereség Vállalati

Eladósodottsági mutató = tőke vállalatiÖsszes

forrásokIdegen

Pénzügyi hatékonysági mutatók

Eszközarányos nyereség = eszköz összes Vállalati

nyereség Vállalati

Forgóeszköz arányos nyereség = nagysága átlagoszök Forgóeszkö

Nyereség

Befektetett eszköz – arányos nyereség = nagysága átlagoseszközök t Befektetet

Nyereség

69

Jövedelmezőségi és eladósodottsági mutatókat és a pénzügyi mutatókat általában a vállalatok esetében a mérlegadatokból és az eredmény-kimutatás adataiból számolják és használják fel az éves beszámolóban. Pénzügyi – statisztikai mutatószámok szerepe az éves beszámoló elemzésében (Számvitel – elemzés)*

A számviteli információs rendszer csak úgy válhat teljesen ismertté, ha a számviteli

beszámolók elemző-értékelő munkát igénylő területeit is megvizsgáljuk.

A vállalkozások gazdálkodásának elemzése során, egy-egy üzleti év értékelésekor el kell

végezni:

- a gazdálkodás átfogó, minősítő jellegű elemzését és

- az egyes tevékenységek részletes kiértékelését.

A beszámoló információi alapján, az átfogó elemzés során a következőket vizsgáljuk:

- a vagyoni és pénzügyi helyzet alakulásának elemzési módszereit

- a jövedelmezőség és a hatékonysági szintjének és változásának értékelési lehetőségeit

- az eredményesség alakulásának részletes vizsgálatát, annak összetevőkre bontását, a

befolyásoló tényezők és azok hatásainak kiértékelését.

Az éves beszámoló fő részei:

- mérleg

- eredmény-kimutatás

- kiegészítő melléket

- és nem része, de kötelező elkészítenie az éves beszámolót készítő vállalkozásnak

üzleti jelentést is, mely nem elsősorban adat-kiegészítés, hanem túlnyomórészt

elemző-értékelő munka.

„A mérleg olyan kétoldalú kimutatás, amely egy adott időpontra vonatkozóan, előírt

csoportosításban, értékben mutatja be a vállalkozás eszközeit és forrásait.”3

„Az eredmény-kimutatás a vállalkozás mérleg szerinti eredményének levezetését

tartalmazza, az eredmény keletkezésére ható főbb tényezőket, a mérleg szerinti eredmény

kialakulását mutatja be, megállapítja belőle, hogy:

3 Dr. Bíró Tibor – Dr. Pucsek József: Controlling II. BGF / PSZF / 2131/2002 *Csala-Takács Éva szakdolgozat (Széchenyi Egyetem, 2009)

70

- melyek az eredményt előidéző fő tényezők

- az adózás előtti eredmény hogyan oszlik meg a tulajdonosok (osztalék), az állami

költségvetés (társasági adó fizetési kötelezettség) és a vállalkozásnál maradó részre.

- Jövedelmezőségi szempontból támpontul szolgálhat a jövőbeni döntésekhez.”7

Fajtái:

- összköltség eljárás módszerével készülő

- forgalmi költség eljárás módszerével készülő.

„A kiegészítő melléklet célja a vállalkozásról olyan információk rendszerbe foglalt közlése,

amellyel hozzájárulhatunk, hogy a beszámolót tanulmányozó megbízható, valós képet tudjon

formálni a vállalkozás jelenlegi és részben jövőbeni vagyoni-pénzügyi helyzetéről.”7

Szorosan a mérleg- és az eredmény-kimutatáshoz kell kapcsolódnia és elvárás vele

szemben, hogy tartalmazza a cég vagyoni, pénzügyi és jövedelmi helyzete alakulásának

értékelését, eszközei és forrásai összetételének alakulásának értékelését és alakulását.

A mérleg elemzése

„Feladata a vállalkozás vagyoni- és pénzügyi helyzetének, az abban bekövetkezett

változásoknak az elemzése.

Az elemzés végezhető:

- a bázis adatokhoz viszonyítva, hiszen a mérleg legalább két időszak záró adatait

tartalmazza

- tervadatokhoz viszonyítva, ez azonban a mérlegterv elkészítését feltételezi.”7

Mérlegelemzés módszerei:

a) átfog pénzügyi elemzés a vagyoni és pénzügyi helyzetre vonatkozóan

b) az egyes mérlegtételek alakulásának részletes elemzése

Az egyes eszközök és forráscsoportok belső arányainak elemzésekor a statisztikából már jól

ismert megoszlási viszonyszámokat számítják a két időszakra vonatkozóan a tételekre.

Viszonyítási alap lehet az eszközök „összesen” adata, vagy az egyéb eszköz és

forrásfőcsoportok összege egyaránt.

*Csala-Takács Éva szakdolgozat (Széchenyi Egyetem, 2009) 7 Dr. Bíró Tibor – Dr. Pucsek József: Controlling II. BGF / PSZF / 2131/2002

71

Vagyoni helyzet elemzésének lehetséges mutatói

a) befektetett eszközök aránya = (befektetett eszközök / eszközök összesen) . 100 (%)

b) forgóeszközök aránya = (forgóeszközök / eszközök összesen) . 100 (%)

A kettő arány összege 100% elméletileg, ha kevesebb, akkor van aktív időbeli elhatárolása a

cégnek.

c) Tőkeerősség = (saját tőke / források összesen) . 100 (%)

- Kedvezőnek a mutató növekedése tekinthető, kötelezettségek általában minden

vállalkozásnál vannak, így a 100%-os érték nehezen képzelhető el.

- A mutató elfogadott mértéke függ a tevékenység jellegétől, tőkeigényességétől,

másként kezelendő ez egy termelő, illetve egy kereskedelmi, esetleg szolgáltató

tevékenységet folytató vállalkozásnál. Ha 30% alá csökken az értéke, kritikus

helyzetet idézhet elő.

d) Kötelezettségek aránya = (kötelezettségek / források összesen) . 100 (%)

Tehát az idegen tőke arányát tudhatjuk meg. Kb. 70%-os aránynál kedvezőtlen a megítélése

bizonyos inflációs körülmények között. Ezért hívják a mutatót eladósodási foknak is.

a) Céltartalékok aránya = (céltartalékok / források összesen) . 100 (%)

b) Befektetett eszközök fedezete = (saját tőke / befektetett eszközök) . 100 (%)

A mutató kedvező, ha 100%-hoz közeli vagy afölötti. Előfordulhatnak időszakok, amikor

jelentős beruházásokat valósít meg a vállalkozás idegen forrásból, ekkor ez a mutató 100%

alá esik.

c) Eszköz-igényességi mutató (tőkemultiplikátor) = (eszközök összesen / saját tőke)

A tőkemultiplikátor a tőkeerősség fordítottja, kifejezi, hogy egységnyi saját tőkével hány

egység eszközállományt mozgat a vállalkozás.

d) Tőkefeszültségi mutató = (idegen tőke / saját tőke) . 100 (%)

e) Esedékességi aránymutató = (rövid lejárati kötelezettség / összes kötelezettség) . 100

(%)

f) Tőkenövekedési ráta = (saját tőke / jegyzett tőke) . 100 (%)

A pénzügyi helyzet alakulásának átfogó elemzése

*Csala-Takács Éva szakdolgozat (Széchenyi Egyetem, 2009)

72

A pénzügyi helyzet elemzése a vállalkozás pénzügyi pozíciójának, likviditási helyzetének

bemutatása, értékelése, mely alapvetően a múltbeli eszköz – és forrásmozgások alapján

történik.

Módszerei:

- mutatószámok számítása az adósság állományra és a likviditásra vonatkozóan

- likviditási mérleg összeállítása

- Cash-flow kimutatás

Ezen felsorolt módszerek közül a „mutatószámok számítása” részt fejteném ki, hiszen ezen

mutatók kapcsolhatóak a statisztikai mutatószámokhoz.

a) Adósságállományra vonatkozó mutatók.

Az adósságállomány az egy évet meghaladó hosszú lejáratú tartozás (kötelezettség).

Adósságállomány aránya = (Adósságállomány / (Adósságállomány + Saját tőke)) . 100

Saját tőke aránya = (Saját tőke / (Adósságállomány + Saját tőke)) . 100

Adósságszolgálati fedezeti mutató = (Adózott eredmény + ÉCS leírás + hosszú lej. köt.

kamata / Hátrasorolt hosszú lej. köt. esedékes törl. részlete + kamatai)

Ezen mutató arra vonatkozóan ad jelzést, hogy a vállalkozás következő üzleti évben esedékes

adósságszolgálata (törlesztő rész + kamatok) fedezett-e az erre fordítható forrásokból.

Eladósodottság foka = (kötelezettségek / Σ eszközök) x 100

A mutató azt fejezi ki, hogy az eszközállomány milyen mértékben van megterhelve

kötelezettségvállalással.

Eladósodás vagy tőke-ellátottsági mutató = (hosszúlejáratú kötelezettségek / )saját tőke +

céltartalék))

Azt mutatja meg, hogy hosszú távon fizetőképes-e a cég. Többnyire ezt a mutatót is nézik a

bankok, ha a cég hitelt kíván felvenni tőlük. Magyarországon általában kb. 35%-ig elfogadott

ezen mutató értéke.

b) Likviditási mutatók

A likviditás-elemezés a likvid eszközöknek és a rövid lejáratú kötelezettségeknek az

összehasonlítását jelenti több fokozatban. A mutatók a mérleg horizontális vizsgálata alapján

képezhetőek.

a, Likviditás I. = (Forgóeszközök / Rövid lejáratú kötelezettségek) . 100

73

b, Likviditás II. vagy Gyors ráta = ((Forgóeszközök – Készletek) / Rövid lejáratú

kötelezettségek) . 100

A mutatók értékelése megfelelő fizetési fegyelem eseten könnyebb, ilyen esetben az I.

biztonsági értéke minimálisan 130%, a hitelintézetek az adósminősítéskor az 1,8 vagyis 180%

feletti értéket pontozzák kiemelkedően.

De létezik egy úgynevezett CASH-mutató is, mely az „azonnali fizetőképességét” értékeli a

cégnek, vagyis arra ad választ, hogy a vállalat azonnal a rövid lejáratú kötelezettségeinek

hány %-at tudja teljesíteni.

c) Cash-mutató = ((Pénzeszköz + Értékpapír) / Rövid lejáratú köt.) )*100

A jövedelmezőség alakulásának átfogó elemzése

„A jövedelmezőség elemzése során az egyes eredménykategóriákat valamilyen vetítési

alaphoz viszonyítjuk.

Alapképlete tehát: J = Eredmény / Vetítési alap

A jövedelmezőség vizsgálata egy minősítő jellegű elemzés, mely lehetőséget biztosít más

vállalkozások adataival, tájékoztatást nyújt az eredményesség változásáról és megteremti a

tendenciaszerű elemzés lehetőségét is”4

Vetítési alap lehet pl.:

- értékesítés nettó árbevétele

- saját tőke

- összes eszköz

- bérköltség

- átlagos állományi létszám

- stb.

Jövedelmezőség mutatói:

a) Átlagos fedezeti hányad = (értékesítés bruttó eredménye / értékesítés nettó eredménye)

x 100

b) Árbevétel arányos jövedelmezőségi mutatónak többféle változata ismert attól függően,

hogy mely eredménykategóriát viszonyítjuk az árbevételhez, mint vetítési alaphoz.

4 Dr. Bíró Tibor – Dr. Pucsek József: Controlling II. BGF/PSZF, 2132/2002 *Csala-Takács Éva szakdolgozat (Széchenyi Egyetem, 2009)

74

Egyik gyakran használt változata: ((Váll-i üzemi terv eredménye / (Ért. nettó

árbevétele + egyéb bevétel)) x 100

c) Tőkearányos jövedelmezőségi mutatók:

I. = (Szokásos váll. eredmény / Saját tőke) x 100

II. ROE = (Adózott eredmény / Saját tőke) x 100

III. = (Mérleg szerinti eredmény / Saját tőke) x 100

Ezek közül a ROE mutatót használják talán a leggyakrabban az elemzések során.

Megmutatja, hogy a vállalkozás adózott eredményéből milyen mértékkel gyarapította saját

tőkéjét. Nagyobb vállalatok controlling mutatószámrendszerük csúcsmutatójaként is

előszeretettel alkalmazzák a ROE mutatót és a mutató módosított változatait. Pl. az Alcoa-

Köfém Kft. (Székesfehérvár) controlling rendszerének a csúcsmutatója a ROC mutató

(Return Of Capital), vagyis „Tőkemegtérülés”, mely a közvetlen működésből származó

nyereség és a tőke hányadosa.

d) Élőmunka-arányos jövedelmezőségi mutató

Pl.: 1 főre jutó fedezeti összeg = Fedezeti összeg / Létszám

1 főre jutó adózott eredmény = Adózott eredmény / létszám

e) Eszközarányos jövedelmezőségi mutató

Pl.: Üzemi tevékenység eredménye / Készletek x 100

Vagy pl:

(Adózás előtti eredmény / Eszközök összesen) x 100

ROA vagy ROI (Return on Investment) = (Adózott eredmény / Eszközök összesen) x 100

Ezen mutatók eredményét befolyásolja egyrészt az értékesítés jövedelmezőségének

alakulása, másrészt az eszközök forgási sebességének változása.

f) Erőforrás-arányos (komplex) jövedelmezőség

Pl: ((Adózás előtti eredmény / (Lekötött eszközök + bérköltség)

Hatékonyság-elemzés

„Hatékonyság: adott eszközökkel a lehető legnagyobb jövedelem elérése, vagy adott

jövedelem létrehozása a lehető legkisebb eszközráfordítással.

a) Élőmunka hatékonyság mutatószámai

- többnyire a statisztikából jól ismert intenzitási viszonyszámokon alapulnak.

1 főre jutó bruttó termelési érték = bruttó termelési érték / létszám

75

1 főre jutó anyagmentes termelési érték = Anyagmentes termelési érték / Létszám

1 főre jutó nettó termelési érték = Hozzáadott érték / Létszám

b) bérhatékonyság = (nettó termelési érték / bérköltség) x 100

A mutató a vállalkozásnál felhasznált (kifizetett) bér új értéket létrehozó képességét fejezi ki.

c) pénzügyi hatékonysági mutatók

Eszközarányos nyereség = Vállalati nyereség / Vállalati összes eszköz

Forgóeszköz-arányos nyereség = Nyereség / Forgóeszközök átlagos nagysága

Befektetett eszköz-arányos nyereség = Nyereség / Befektetett eszközök átlagos nagysága

d) Tőkehatékonyság = Bruttó termelési érték / Saját tőke

A mutató azt fejezi ki, hogy a vállalkozás a rendelkezésre álló saját tőkéjével hányszoros

teljesítményt ér el.

e) Eszközhatékonysági mutatók

Eszközhatékonyság = (Nettó termelési érték / Lekötött eszk.átl.nettó értéke) x 100

Készlethatékonyság = (Nettó termelési érték / Készletek átlagos értéke) x 100

Gyakorló feladatok: 1, Igaz - hamis : a, Kamatos kamat számításakor a megadott és a tényleges kamatláb megegyezik. b, A kötvények átlagos lekötési ideje a lejáratig hátralévő idővel egyezik meg. c, A befektetések hozama az adott időre a befektetett tőkére jutó nyereség és a le- kötött tőke hányadosa. d, A részvényekbe való tőkebefektetés nyeresége két részből áll : az esetleges ár- folyamnyereségből és az árfolyamveszteségből. 2, Tóth Lajos 3-féle betétben tartja pénzét. Három hónapra lekötött folyószámláján 110000 ft- ot tart és az adott időre 5 % kamatot kap. 90 napos kincstárjegye 7.8 % -ot kama- tozik és ebben a formában 160000 ft -ja van. Végül három hónapra adott kölcsön barátjának is pénzt , 100000 ft-ot , és úgy egyeztek meg , hogy az időszak végén 110000 ft-ot kap majd vissza. Állapítsa meg a három hónapra milyen átlagos kamatlábbal fektette be Lajos a pénzét! Számítsa ki , hogy milyen névleges és tényleges havi és évi kamatlábnak felel meg ez az érték! 3,Három részvény adata 2003 és 2006 .január 2-a között:

Részvény A B C Összes(e db) 100 1000 20 Névérték(ft) 1200 200 10000 Árfolyam(2003 ft) 1200 240 9800 Árfolyam(2006 ft) 1200 270 9600

76

Használja fel a részvények tőkeértékeit súlyonként és számítsa ki a tőzsdeindex 2006 os értékét! Az indulóérték 2003-ban legyen 1000 pont. 4, Az "X" RT egyszerűsített mérlege (M ft ):

Eszközök Források Forgóeszközök 450 Saját tőke 420

Befektetett eszk. 350 Idegen tőke 180

Adózott e. 200

Összesen: 800 Összesen: 800 Feladat: a, Mekkora a vállalat eladósodottsága? b, Mekkora a pénzügyi hatékonyságot mérő mutatók értéke? 5, Egy vállalat saját tőkéjének értéke 150 m ft , a hosszú-távú hiteleinek értéke 100 m ft. Feladat : Mekkora a vállalat összes tőkéje és eladósodottsági mutatója? 6, Az "Y" vállalat részvényei maximum 20 %-os eladósodottságot hajlandók elviselni. A cég saját tőkéje 100 m ft és 200 m ft eszközértéket szeretne elérni. Feladat : a, Mekkora összes forrást tudnak a saját tőke jelenlegi mennyisége mellett elérni ?

b, Mekkora idegen forrást kell bevonniuk és mekkora többlet saját

forrást , ha meg szeretnénk valósítani a kívánt beruházást? 7, A "Könyv" cég mérlegösszege : 15 m ft. Az eszközök 48 %-a forgóeszköz , a maradék befektetett eszköz. Az eszközarányos nyereség 20 %-os. Feladat : Mekkora a vállalat befektetett eszközarányos nyeresége és forgóeszköz-arányos nyeresége? 8, Válaszolja meg a kérdéseket! a, Hogyan elemezzük a kockázatmentes befektetéseket ? b, Mutassa be a kamatos kamat számításának elvét! c, Milyen részekből áll a részvények nyeresége ? d, Lehet -e mozgó átlagokkal árfolyamot elemezni ? e, Mi a különbség a tényleges és a névleges osztalékráta között ? 9, Egy Rt adatai: részvények száma : 1000000 db részvények névértéke : 15000 ft/db tőketartalék: 250 000 000 Ft hitelállomány : 120 000 000 Ft Vállalati nyereség : 100 000 000 Ft Számítsa ki a jövedelmezőségi és eladósodottsági mutatókat!

77

10, Mekkora az éves átlagos tényleges kamatlába az alábbi tőkebefektetésnek? 3 évig a kamatláb : 25 %, 4 évig 21 %, 2 évig 19 %, majd 1 évig 18 % ! 11, Kiss Erika 2000000 Ft-ot kívánt befektetni. Mekkora a visszakapott összeg 4 év után? a, ha az egyszerű kamatláb = 14 %. b, ha a tényleges kamatláb is 14 % !

12, Feladat: Elemezze a cég vagyoni, pénzügyi és jövedelmezőségi helyzetét a megadott adatok alapján. Mérleg, 2006. december 31. (adatok ezer Ft-ban)

Eszközök Előző év Tárgyév Források Előző év Tárgyév A) Befektetett eszközök 169448 183456 D) Saját tőke 164880 180000 I. Immateriális javak 4968 4176 I. Jegyzett tőke 90000 90000 II. Tárgyi eszközök 147240 159840 II. Jegyzett, de be nem

fizetett tőke — —

III. Befektetett pénzügyi eszközök

17280 19440 III. Tőketartalék 10800 10800

B) Forgóeszközök 86774 85320 IV. Eredménytartalék 48000 60480 I. Készletek 44856 48384 V. Lekötött tartalék 1680 3600 II. Követelések 20448 21672 VI. Értékelési tartalék — — III. Értékpapírok 6480 2880 VII. Mérleg szerinti

eredmény 14400 15120

IV. Pénzeszközök 14990 12384 E) Céltartalék 3024 2831 C) Aktív időbeli elhat. 1858 1484 F) Kötelezettségek 88740 85786 I. Hátrasorolt

kötelezettségek — —

II. Hosszú lejáratú kötelezettség

18720 11568

III. Rövid lejáratú kötelezettségek

70020 74218

G) Passzív időbeli elhat. 1476 1643 Eszközök összesen 258120 270260 Források összesen 258120 270260 Eredmény kimutatás 2006. év (adatok ezer Ft-ban)

Előző év Tárgyév I. Értékesítés nettó árbevétele 168019 170674 II. Értékesítés közvetlen költségei 106673 110789 III: Értékesítés bruttó eredménye 61346 59885 IV. Értékesítés közvetett költségei 44858 43176 V. Egyéb bevételek 7282 7285 VI. Egyéb ráfordítások 975 1560 A) Üzemi (üzleti) tevékenység eredménye 22795 22434 VII. Pénzügyi műveletek eredménye 442 1804 VIII. Pénzügyi műveletek ráfordításai 10118 6488 B) Pénzügyi műveletek eredménye -9676 -4684 C) Szokásos vállalkozási eredmény 13119 17750 IX. Rendkívüli bevételek 8954 6785 X. Rendkívüli ráfordítások 1877 1704 D) Rendkívüli eredmény 7077 5081 E) Adózás előtti eredmény 20196 22831 XI. Adófizetési kötelezettség 3636 4111

78

F) Adózott eredmény 16560 18720 Jóváhagyott osztalék 2160 3600 G) Mérleg szerinti eredmény 14400 15120

Ismert továbbá: Bérköltség (ezer Ft-ban) előző év: 15150 Tárgyév: 15550

79

AZ ÉVES BESZÁMOLÓ ELEMZÉSÉRE SZOLGÁLÓ PÉNZÜGYI STATISZTIKAI MUTATÓSZÁMOK

MÉRLEG EREDMÉNYKIMUTATÁS

VAGYONI PÉNZÜGYI JÖVEDELMI

1. Vagyonstruktúra 1. Likviditás I. 1. ROE

befektetett eszközök összes eszköz

forgóeszközök rövidlejáratú kötelezettségek

adózott eredmény saját tőke

forgóeszköz összes eszköz

2. Gyors ráta (Likviditás II.)

2. ROA(ROI)

saját tőke összes forrás

forgóeszköz – készlet rövidlejáratú kötelezettségek

adózott eredmény eszközök

idegen tőke összes forrás

3. Cash mutató 3. EPS

pénzeszköz + értékpapír rövidlejáratú kötelezettségek

adózott eredmény részvények száma

2. Stabilitás

4. Nyereséghányad

befekt. eszköz + készlet saját tőke

adózott eredmény árbevétel

3. Eladósodás(tőke-ellátottság)

Nettó-forgótőke = Forgóeszközök – Rövidlejáratú kötelezettségek

5. Bérjövedelem

hosszúlejáratú kötelezettségek saját tőke + céltartalék

adózott eredmény bérköltség

80

XV. DEMOGRÁFIA: NÉPESSÉG ÉS NÉPESEDÉS Demográfia (népességtudomány): az emberrel, a népességgel, valamint a népesség változásaival kapcsolatos jelenségek megfigyelését jelenti. A földrajzi, a társadalmi, a gazdasági környezet alapvetően meghatározza a népesség életterét, ugyanakkor a demográfiai jelenségekés azok változásai is hatással vannak a környezet változásaira. Egyik meghatározó összetevője ennek az összefüggésnek a népesség egészségi állapota. Demográfia területei: 1. Strukturális demográfia (a népesség száma, összetétele): nem, kor, foglalkozás,

szakképzettség, iskolázottság, urbanizáció, etnikai tagoltság. 2. Népmozgalom (a népesség változása, népesedés)

− természetes népmozgalom (élve-születés, termékenység, halálozás, szaporodás, fogyás)

− migráció (vándorlás): külső, belső A népesség száma: állósokaság számbavétele, a struktúra elemzése időpontra vonatkoztatva lehetséges, mindig állapotot fejez ki. A népmozgalom népesedési folyamatokat jelent, mozgó sokaság, vizsgálata mindig időtartamra vonatkozik, röviden népesedésnek is nevezik. A demográfiai megfigyelések adatforrásai: A strukturális demográfia legfőbb adatforrása a periodikusan megismételt népszámlálás. Ez az adatfelvétel teljes körű, minden egyes személyre kiterjedő. (Első népszámlálásra Magyarországon 1869-ben került sor). A népszámlálások ún. eszmei időpontra vonatkoznak. Hazánkban ez január 1. 0 óra 0 perc. Pl. ha a felvétel január 6-án történik, akkor számba kell venni azt, aki január 2-án meghalt, de nem szabad felvenni annak a gyermeknek az adatait, aki január 3-án született. Az összeírás tartalmazza:

− az egyén legfontosabb személyi jellemzőit (születési, foglakozási stb. adatait) − család, háztartás jellemzőit − lakás, lakóépület adatait és esetleg más adatcsoportokat, ha a felvétel kiemelt

gazdasági és társadalmi feladatoknak is eleget akar tenni. Két népszámlálás között a népesség száma és összetétele változik. Ezekben az években továbbszámítást alkalmaznak. A népmozgalmi jelenségek adataiból állapítják meg a népesség számát, amelyet továbbszámított vagy továbbvezetett népességszámnak neveznek. A lapja a polgári anyakönyvvezetés. (1894. óta van Magyarországon). Kötelező az adatszolgáltatás a születésről, a halálozásról, a házasságról és a válásról. A migrációra vonatkozó megfigyelések forrását a különböző lakásbejelentkezési kötelezettségek jelentik. Különösen fontos a külső migráció jól szervezett megfigyelése, nyilvántartása a befogadó országok esetében. Alapfogalmak: 1. Állandó népesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező személyek száma. 2. Jelenlevő népesség: az eszmei időpontban az adott közigazgatási egységben tartózkodó

személyek száma 3. Lakónépesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező és máshol tartózkodási hellyel

nem rendelkező, valamint az ugyanazon a területen tartózkodási hellyel rendelkező személyek száma.

4. Tartózkodási hely: annak a lakásnak a címe, ahol az adott személy a lakóhelye elhagyásának szándéka nélkül, 3 hónapnál hosszabb ideig tartózkodik.

81

5. Természetes szaporodás (fogyás): az élve-születések és a halálozások különbsége. 6. Vándorlási különbözet: egy adott közigazgatási egységbe állandó jelleggel bejelentkezők

és az onnan más közigazgatási egységbe állandó jelleggel kijelentkezők számának különbözete.

7. Tényleges szaporodás (fogyás): természetes szaporodás vagy fogyás +(-) a vándorlási különbözet összege

8. Évközi népesség: az év eleji és az év végi népességszám számtani átlaga 9. Házasságkötés: a hivatalosan eljáró anyakönyvvezető előtt 2 tanú jelenlétében kötött

házasság 10. Válás: a jogerőre emelkedett bírói ítélettel felbontott vagy érvénytelenített házasság. 11. Élve-születés: a magzat világrajövetele, amennyiben az életnek valamilyen jelét adja,

függetlenül attól, hogy mennyi ideig volt az anya méhében, illetve mennyi ideig élt. 12. Magzati halálozás: a magzatnak a születés előtt bekövetkezett elhalása 13. Halálozás: az élet minden jelének végleges elmúlása, az élve-születés megtörténte után

bármikor. 14. Halál-ok: minden olyan betegség, kóros állapot, sérülés, baleset, erőszak, amely

hozzájárult vagy eredményezte a halálozást. 15. Csecsemőhalálozás: az élve-születést követően az egyével kor betöltése előtt

bekövetkezett halálozás. 16. Csecsemőhalandóság: az adott időszakban a csecsemőhalálozások számának az élve-

születések számához viszonyított aránya (%). Demográfiai elemzések eszközei: A strukturális demográfiában legáltalánosabban használt elemzési eszközök: megoszlási, koordinációs és dinamikus viszonyszámok, valamint az átlagok. A népmozgalmi elemzések eszközei: megoszlási, dinamikus, koordinációs és intenzitási viszonyszámok.

Nyers születési arányszám = száma átlagos népesség

szinten éves számaések élveszület

Halálozási arányszám = népesség évközi

száma éveselhaltak

Termékenységi mutató = száma átlagos népesség

szinten éves számaések élveszület

A termékenységi mutatóból az ún. reprodukciós együttható számítható, ha figyelembe vesszük, hogy a reprodukciót a leánygyermekek biztosítják. Bruttó reprodukciós együttható: amely kifejezi, hogy adott időszak alatt (hosszabb, mint egy év, általában egy nő átlagos élettartama) egy nő hány leánygyermeket szült. Nettó reprodukciós együttható: figyelembe veszi a csecsemőhalandóságot, így kifejezi, hogy az egy nőre jutó leánygyermekek közül hányan jutnak el a szülőképes korba. Ha 1-nél <: szaporodó népesség, ha 1-nél >: fogyó népesség és ha 1-el =: stagnáló népesség. Szülőképes-korú nőnek számít: 15 – 49 év

82

A népesség számát módosítja egy adott országban a külső migráció, a belső migráció pedig a földrajzi összetételt. A külső migráció az utóbbi évtizedben a jobb megélhetési feltételek keresése miatt az elmaradottabb országokból az iparilag fejlettebb országos irányába indított embereket. A külső migrációnak időszakonként nemcsak gazdasági, hanem politikai okai is lehetnek (pl. Magyarország: 1956). Belső migráció: elsősorban az urbanizáció szintjének emelkedése váltja ki. Különösen szembetűnő a változás a fejlődő országokban. Emellett országon belül is létezik migráció. Pl. Magyarországon 1949-ben a lakosság 50,6%-a élt városokban, 1996-ban pedig 62,9%. Mindez a világ népességének rohamos emelkedése mellett megy végbe. Míg az 1950-es években a népesség 1/3-a élt fejlett országokban, a 80-as évekre már csak ¼-e, ezredfordulón kb. 1/5-e, a többi fejlődő országokban él. A negatív tendenciát a születések számának növelésével, a születési arányszám javításával, a csecsemőhalandóság csökkentésével lehet egyrészt megfordítani, másrészt a halálozások számának csökkentésével, a halálozási arányszám javításával érhető el kedvező eredmény. A standardizálás módszerét is felhasználhatjuk a demográfiában. A különböző életkorok halandósága erősen eltérő, ezért a halálozási arányszámokat korcsoportonként kell kiszámítani. Az egész népességre vonatkozó halálozási arányszámot a korcsoportonkénti arányszámoknak az átlagaként határozzuk meg, ahol a súly a lakosság korcsoportonkénti megoszlása. A demográfiai változások és a környezeti tényezők A természetes népmozgalmat befolyásoló gazdasági tényezők:

− Munkanélküliség − Iskolázottság − Munkaerő-piaci helyzet − Jövedelmi helyzet − Szegénység − Házasságkötés csökkenése − Háztartások szerkezetének átalakulása − Lakáspiaci helyzet

Az egészségügyi helyzet mérésére használt mutatók:

− 10000 lakosra jutó orvosok száma − egy orvosra jutó lakosok száma − 1000 lakosra jutó kórházi ágyak száma − 100 kórházi ágyra jutó orvosok száma − egy lakosra jutó vények száma − gyógyszerforgalom fogyasztói áron, térítési díjon, tb-támogatás arány − betegellátás főbb betegségek szerinti bontásban − halálozás nyilvántartása halál-ok szerint

83

Gyakorló feladatok:

1. Egy vállalatnál 340 férfi és 860 nő dolgozó van. Feladat: 100 férfi

dolgozóra hány női dolgozó jut?

2. Egy megye népességéről az alábbiakat ismerjük:

• Népesség száma: 1200 e fő • Aktív kereső: 420 e fő • Gyed/gyes-en lévők: 42 e fő • Foglalkoztatottak száma a népesség 41,5%-a • Inaktív népesség: 570 e fő

Állítsa össze a munkaerő-mérleget és számítsa ki a munkanélküliségi rátát!

Mutatószámok Ezer fő Aktív keresők Gyed/gyes-en lévők Foglalkoztatott nyugdíjasok Összes foglalkoztatott Munkanélküliek Gazdaságilag aktívak Inaktívak száma Népesség összesen

3. Hazánkban az orvosok száma 2645-tel, azaz 9,8 %-kal több volt 2004- ben, mint 2001-ben. Számítsa ki hány orvos volt 2001-ben?

4. Egy ország népességi adataiból a következőket ismerjük:

korcsoport 1000 azonos korú nőre

jutó élve-születés Továbbélési hányad

15 – 19 60 0,94 20 – 24 180 0,93 25 – 29 130 0,92 30 – 39 60 0,91 40 - 49 6 0,9 A leányszületések aránya: 48,6 %. Számítsa ki a bruttó és a nettó reprodukciós arányszámokat!

84

5. Egyik évben az alábbi népességi adatok állnak rendelkezésre:

Település típusa Élveszületés ezer fő

Évközi népesség száma ezer fő

14 – 49 éves korú nők száma ezer fő

Budapest 17,4 1927,6 518,3 Megyei jogú városok

6,8 553,7 150

Járási jogú városok

23,3 1811,4 456

Községek 84,7 5827 1358,2 Összesen: 132,2 10119,7 2482,5

Számítsa ki település- típusonként és összesen a nyers és tisztított születési arányszámokat!

6. Egy város népességének átlagos évközépi száma 108 000 fő, ebből a 15 – 49 éves,

ún. szülőképes korú nők száma 28500. Az évi születések száma: 1000.

Számítsa ki az 1000 lakosra jutó és az 1000 szülőképes-korú nőre jutó születések számát!

7. Magyarország népességének száma városokban és községekben 1996. január 1-jén:

Település Ezer fő Megoszlás % Budapest 1906,8 18,7 Többi város 4514,9 44,2 Községek 3790,6 37,1 Összesen 10212,3 100 Nem Ezer fő Megoszlás % Férfi 4883,9 47,8 Nő 5328,4 52,2 Összesen 10212,3 100

Számítsa ki az ezer férfira jutó nők számát, valamint a népsűrűséget! (T= 93030 km²)

8. Két ország ( A és B ) halandóságára vonatkozó adatok: Korcsoport év

Halálozások száma ezer fő A ország

Lakosok száma ezer fő A ország

Halálozások száma ezer fő B ország

Lakosok száma ezer fő B ország

0 – 9 30 2000 40 2000 10 – 19 12 1000 60 4000 20 – 49 18 3000 80 10000 50 - 120 4000 160 4000 Összesen: 180 10000 340 20000

85

Hasonlítsa össze a két ország halálozási arányszámait standardizálással!

9. Hazánkban az élve-születések számának alakulása (fő):

2001 148673 2002 125679 2003 115598 2004 112054 2005 105500

Számítsa ki a változást az előző adathoz képest, a változást 2001-hez képest, valamint a változás évi átlagos ütemét 2001 – 2005 között!

10. Magyarországon 1980 és 1996 között a házasságkötések száma évente átlagosan

2, 9 %-kal csökkent, így 1996-ban 49500 házasságot kötöttek.

Hány házasságot kötöttek 1980-ban?

11,

Megnevezés Bázisév Tárgyév Vb(%)

Népesség (ezer fő) 10375 10310 99,37

Nők száma (ezer fő) 5390 5367 99,57

Élve-születések száma (fő) 125679 111033 88,35

Feladat: • Állapítsa meg a tábla típusát és dimenziószámát! • Elemezze a népesség nemek szerinti összetételét és a dinamikai változást! • Számítsa ki az ezer férfira jutó nők számát mindkét évben és a változást! • Számítson nyers és tisztított születési arányszámokat!

12, Két megyében az orvosok és a lakosok számára, valamint az orvos-ellátottság mutatószámaira vonatkozóan az alábbi adatokat ismerjük: Megye Orvosok

száma Lakosok száma

Egy orvosra jutó lakosok száma

10000 lakosra jutó orvosok száma

A 740 … 422,5 … B … 500000 … 38

Számítsa ki a hiányzó adatokat és vonjon le következtetéseket!

86

XVI. Igazságügyi statisztika Igazságügyi statisztika: az igazságszolgáltatásra vonatkozó statisztikai információk gyűjtésének, rendszerezésének, feldolgozásának és elemzésének folyamata. Feladataiból következően az alábbi részekre bontható: 1. kriminál-statisztika: a bűnözés, a bűnüldözés, a büntetőperek és a büntetés-végrehajtás

statisztikáját öleli fel. 2. polgári jogi statisztika: a polgári perek és nem peres eljárások statisztikája. 3. szabálysértési statisztika Az igazságügyi statisztika fogalmi rendszere a büntetőjogra, a büntetőeljárási jogra, a polgári jogra, a polgári eljárási jogra, valamint a szabálysértési kódexre támaszkodik. Az igazságügyi statisztika adatainak felhasználási lehetőségei: 1. A bűnüldöző szervek készítenek ún. ügyforgalmi statisztikát, amely számba veszi az

érkezett, az elintézett és a folyamatban maradt ügyeket. 2. A bűnüldöző szervek érdemi tevékenységéről készült statisztikai elemzések fontos

forrásai az egységes büntetőpolitika megvalósításának. 3. A statisztikai mutatószámok lehetővé teszik a különböző szervek munkájának minőségi

elemzését is. Pl. a váderedményességi arányszám az ügyészi munka minőségének egyik mutatója, a felderítési arányszám, a nyomozhatóságok eredményes tevékenységének mutatója.

4. Nélkülözhetetlen a statisztika a különböző törvényjavaslatok kidolgozásánál. 5. A bírósági statisztika mutatószámai azonban nemcsak az irányító szervek tájékoztatására

szolgálnak, hanem a gyakorló rendőrök, ügyészek, bírák tájékoztatására is, akik munkáját megjavíthatja azzal, hogy a saját tapasztalataikat kiegészíti az országosan észlelt jelenségekkel.

6. Az igazságügyi statisztika azzal, hogy számba veszi és elemzi a bűntettek számát és összetételét, a törvényesség által képviselt politikai célok megvalósításáról tájékoztat. Ezzel maga is politikai jelentőséget nyer és fontos eszközévé válik a törvényesség megszilárdításának.

Kriminál-statisztika: Fogalma: a társadalomstatisztika egyik ága, amely a bűnözés, mint tömegjelenség volumenét, dinamikáját, struktúráját, okait és feltételeit írja le. Az adatgyűjtés, feldolgozás és elemzés több részterületen folyik, ezek: − Az egységes rendőrségi – ügyészségi statisztikai rendszer − Bírósági statisztika − Büntetés-végrehajtási statisztika 1964. január 1-től érvényes az egységes adatgyűjtés, adatszolgáltatás, feldolgozás és tájékoztatás, ami azt jelenti, hogy egységes elvek szerint, egyeztetett fogalomrendszer alapján történik. Ehhez csatlakozik a vám és pénzügyőrség adatszolgáltatása is. Az adatgyűjtés mind a cselekményt, mind a személyi oldalon a bűnözés alakulására, a bűnüldözés hatékonyságára, a bűnözés okaira terjed ki. Vizsgálatuk az eddig tanult módszerekkel: csoportosítás, sorok, táblák, viszonyszámok stb. történik, de speciális mutatószámok számítására is van lehetőség. Pl. nyers kriminalitási arányszám

(V) = népesség évközi égössznépess

száma)elítéltek jogerősen ők,bűnelkövetmények,(bűncselek

87

tisztított kriminalitási arányszám =

száma népesség vétőképesilagbüntetőjog

száma)elítéltek jogerősen ők,bűnelkövetmények,(bűncselek

Felhasználható a standardizálás is, különösen területi és időbeli összehasonlítások esetében, az eltérő korösszetétel és az eltérő kriminalitási arányszám átlagos kriminalitási arányszámra gyakorolt hatásának kimutatására. Nemzetközi összehasonlításban a bűncselekmények felderítési mutatója kap fontos szerepet.

Eredményesség = számaények bűncselekm elkövetőjű ismeretlenkezdetén eljárás Az

számaények bűncselekm elkövetőjű vált ismertté végéreeljárás Az

A mutatószám azt fejezi ki, hogy a nyomozás során a bűncselekményt elkövető ismeretlen személyek hány %-ának azonosságát sikerült megállapítani. A rendőrségi – ügyészségi statisztika Fő funkciója: figyelemmel kísérni az ügyek forgalmát, a szervek terhelését. Adatfeldolgozásában a demográfiai fogalmakat, csoportosításokat alkalmazza. Legáltalánosabb csoportosítások: a bűncselekmény bűncselekményfajták szerinti csoportosítása, a bűnelkövetők nemenkénti, életkor szerinti, családi állapot, iskolai végzettség, nyomozás befejezésének módjai szerinti csoportosítása. A bírósági kriminál-statisztika részei: − Jogerős bírósági határozattal befejezett ügyek statisztikája − Másodfokon hozott határozatok statisztikája − Bíróságok büntető ügyforgalmi és tevékenységi statisztikája Büntetés végrehajtás statisztikája: Feladata: arra a kérdésre válaszolni, hogy mennyiben valósul meg a büntetőjog fő célja, azaz a társadalomra veszélyes cselekmények elkövetőivel szemben alkalmazott büntetés útján az együttélés szabályainak megtartására az állampolgári fegyelemre való nevelésre kényszerítés. Csoportképző ismérvek: nem, életkor, iskolai végzettség, családi állapot, foglalkozás. Előélet, szabadságvesztés időtartama és fokozatai. Elemzésük: sorok, táblák, viszonyszámok, átlagok, ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolat vizsgálata (pl. a családi állapot és a bűnüldözés, vagy a visszaesés és a családi állapot kapcsolata). A polgári jogi statisztika: Az ide tartozó ügyek az eljárás tárgya szerint: − Házassági − Apaság, származás megállapítás − Személyállapotra vonatkozó egyéb per − Házassági peren kívüli érvényesített házassági vagyonjogi igény − Gyermektartás

88

− Törvényen alapuló egyéb tartás − Szülői felügyelet megszüntetése − Birtokháborítás − Lakás − Öröklés − Államigazgatási határozat megtámadása Szabálysértési statisztika: Tárgyát a vizsgálat időszakában, érvényben lévő szabálysértési kódex szerint kell meghatározni. Szabálysértés és szabálysértés miatti eljárás is több szerv ügyforgalmába tartozik. Ilyen szervek: helyi önkormányzatok, vám és pénzügyőrség, ÁNTSZ, kereskedelmi felügyelőség, rendőrség, bíróság… stb. Minden szervnél megjelenik az alábbi csoportosítás: − Ügyfajták szerint − Alkalmazott büntetés szerint, kiemelve a bírság összege szerint − Az eljárás alá vont személyek száma szerint − Az ügy lezárása szerint (tárgyalással vagy nélküle) Leggyakrabban előforduló szabálysértések: − Tulajdon elleni − Vám és deviza − Garázdaság − Verekedés − Botrányokozás − Közlekedésrendészeti − Tűzrendészeti − Tankötelezettség megszegése − Stb. A megfigyelés történhet: évenként, a szabálysértések fajtái szerinti összetétel számbavétele, az eljárás alá vont személyek megfigyelése, kor, nem családi állapot, iskolai végzettség stb. szerint. Gyakorló feladatok:

1. A jogerősen elítéltek számának és az azonos-korú népesség számának alakulása: Év Elítéltek száma fő Évközi népesség száma

ezer fő 1955 8700 890 1965 3800 930 1975 3750 980 1985 4200 995 1995 5210 10150

89

Számítsa ki az egyes években a 100000 azonos-korú népességre jutó kriminalitási arányszámokat!

2. Két megye ügyészségének egy negyedévi nyomozati adatairól és az elítéltekről a

következőket ismerjük: Nyomozás adatai A megye B megye Befejezett nyomozások összesen

60 40

Ebből - vádemelés 45 35 -vádemelés mellőzése - 1 -felfüggesztés 2 - -katonai ügyészséghez áttétel

1 -

-nem bűntett 2 2 -a bűntetteket korábban már jogerősen elbírálták

- 1

Elítéltek száma 36 30 Állapítsa meg melyik megye nyomozati tevékenysége volt eredményesebb, valamint határozza meg a vádemelési eredményesség arányszámait!

3. 2 megye lakossága és az elítéltek száma:

Korcsoport év X megye

népessége fő Y megye népessége fő

X megye elítéltek száma fő

Y megye elítéltek száma fő

10 – 18 52500 28800 416 187 19 – 35 77000 57600 601 472 36 – 49 87500 72000 482 374 50 – 69 63000 38400 69 111 70 - 70000 43200 7 8 Összesen: 350000 240000 1575 1152

Mennyi a 100000 lakosra jutó elítéltek száma megyénként? Mi okozza az eltérést?

4. Az elítélt férfiakra vonatkozó adatok egy évben:

Életkor Nőtlen Házas Elvált Összesen 25 – 34 7457 4648 14135 26240 35 – 44 3930 2785 8262 14977 45 – 54 1940 1473 13770 17183 55 - 409 346 957 1712 Összesen: 13736 9252 37124 60112

90

Van – e kapcsolat az elítélt férfiak életkora és családi állapota között? Nevezze meg a sztochasztikus kapcsolat fajtáját!

5. A 18 éven felüli jogerősen elítéltek családi állapot szerinti megoszlása,

valamint az azonos-korú és családi állapotú össznépesség száma egy adott évben:

Családi Jogerősen elítéltek száma Évközépi népesség ezer fő állapot Férfi Nő Együtt Férfi Nő Együtt Nőtlen, hajadon

11568 1610 13178 622 462,3 1084,5

Házas 28542 7761 36303 2591,4 2595,5 5186,9 Özvegy 431 653 1084 120,6 622,4 743 Elvált 2521 812 3333 61,8 123,3 185,1 Összesen: 43062 10836 538989 3395,8 3803,5 7199,3 Számítsa ki családi állapot szerint a jogerősen elítéltek megoszlási viszonyszámait, valamint a kriminalitási arányszámokat!

91

XVII. FELHASZNÁLT IRODALOM 1. Dr. Birher Ilona, Dr. Pucsek József, Sándor Lászlóné dr., Dr. Sztanó Imre: A

vállalkozások tevékenységének gazdasági elemzése Perfekt, 2007 2. Dr. Bíró Tibor – Dr. Pucsek József: Controlling II. BGF-PSzF, 2002 3. Boda László – Sziva Miklós, Tóth Árpád, Zsidai Valéria: Számvitel II. – Mérlegtan Tri-Mester, 2007 4. Boda László – Zsidai Valéria: Eredménytan – Számvitel III. Tri-Mester, 2002 5. E.F.Schröder: Modernes Unternehmens Controlling Ludwigshafen, 1992 6. Kerékgyártó Györgyné – Mundruczó György: Statisztikai módszerek a gazdasági

elemzésben I-II. Aula Kiadó, 1994 7. Kissné Madák Andrea: Számvitel-elemzés (Elmélet és példagyűjtemény) DF, 2006 8. Korpás Attiláné dr.: Általános statisztika I.-II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996 9. Dr. Sugár András – Dr. Kovács Károly: Üzleti statisztika Tankönyvkiadó, Budapest, 1994 10. Dr. Szalka Éva, PhD: Statisztika I. Universitas – Győr Kht, Győr, 2007 11. Sziva Miklós: Könyvviteltan – Számvitel I. Tri-Mester, Tatabánya, 2002 12. Takács Éva: Statisztika oktatási segédlet és példatár KKMF, 2003 13. WEKA Szakkönyv: Gyakorlati controlling Szerzők: Balogh Sándor, Dr. Tóth Antal, Dr. Körmendi Lajos, Dr. Zémán Zoltán Weka Kft, 1999. január 14. www.kalkulator.hu Likviditási mutatók

92

15. Dr. Kovács István: Statisztika GATE, Gyöngyös, 1994

16. Hunyadi László – Vita László: Statisztika I-II.

Aula Kiadó, 1992 17. Dr. Hoóz István: Bevezetés az általános és igazságügyi statisztikába

Pécs, JPTE, 1996

18. Takács Éva: A statisztikai mutatószámok szerepe és informatikai támogatottsága az Alcoa controlling rendszerében. Diplomamunka, Székesfehérvár, 1999-2000, Kandó Kálmán Műszaki Főiskola, műszaki menedzser szak Konzulens: Dr. Varga Valéria, főiskolai docens

19. Csala – Takács Éva: A statisztikai mutatószámok szerepe a számvitelben

Diplomamunka, Győr, 2009, Széchenyi Egyetem, közgazdász szak Konzulens: Dr. Szalka Éva, PhD, egyetemi docens, dékánhelyettes

20. Dr. Hoóz István: Népesség és népesedés

Pécs, 1995

93

XVIII. KÉPLETGYŰJTEMÉNY Viszonyszámok

Helyzeti középértékek

Átlagok

94

Szóródás

Aszimmetria-mutatók

Vegyes kapcsolat

95

Standardizálás

Indexek Főátlag-index

Részátlag-index

Összetételhatás-index

96

Indexszámítás Ár-index

Volumen-index

Érték-index

97

Korreláció

Idősor-elemzés

Kvartilisek

Kvartilis sorszáma sj = 1)(nk

j+

Kvartilis értékének becslése Qj = xio + hfi

f'nk

j1)(i

⋅

−⋅ −

Interkvartilis terjedelem IQt = Q3 – Q1

Kvartilis eltérés Q = 2

QQ 13 −

98

XIX. FOGALOMTÁR (FONTOSABB FOGALMAK GYŰJTEMÉNYE) 1) Statisztika alapfogalmai

statisztika, leíró statisztika, statisztikai sokaság, állósokaság, mozgósokaság, ismérv, mennyiségi ismérv, minőségi ismérv, alternatív ismérv, mintavétel, reprezentativitás, kérdőív, statisztikai sor, csoportosító sor, minőségi sor, mennyiségi sor, területi sor, idősor, statisztikai tábla, viszonyszám, megoszlási viszonyszám, intenzitási viszonyszám, dinamikus viszonyszám, leíró sor, átlag, számtani átlag, súlyozott forma, harmonikus átlag, mértani átlag, négyzetes átlag, adat, módszer, rendszer, következtetéses statisztika, mintavételi hiba, feldolgozási hiba, adatfelvételi hiba, koordinációs viszonyszám, bázis viszonyszám, láncviszonyszám, teljesítmény-viszonyszámok.

2) Egy ismérv szerinti elemzés

osztályköz, gyakoriság, relatív gyakoriság, gyakorisági sor, osztályközös gyakorisági sor, kumulálás, kumulált gyakoriság, kumulált relatív gyakoriság, értékösszegsor, osztályközép, relatív értékösszegsor, módusz, medián, kvantilis, kvartilis, szóródás, szóródás terjedelme, szórás, relatív szórás, A-mutató, F-mutató, koncentráció, Lorenz-görbe, idősor, állapotidősor, tartamidősor, középérték, vonaldiagram.

3) Statisztikai táblák elemzése

statisztikai tábla, dimenziószám, csoportosító tábla, összehasonlító tábla, kombinációs tábla, oszlopdiagram, kördiagram, asszociáció, vegyes kapcsolat, korreláció, belső szórásnégyzet, külső szórásnégyzet, teljes szórásnégyzet, szórás-hányados.

4) Összetett intenzitási viszonyszámok összehasonlítása

térbeli különbözőség, időbeli különbözőség, standardizálás, főátlagok különbsége, részhatás-különbség, összetétel hatás-különbség, főátlagindex, részátlagindex, összetételhatás-index.

5) Érték-, ár- és volumenindexek

aggregálás, aggregátum, indexszám, egyedi index, értékindex, árindex, volumenindex, fiktív aggregátum, tárgyi időszaki súlyozás, bázis időszaki súlyozás, Laspeyres-index, Paasche-index, Fisher-index, agrárolló, külkereskedelmi cserearányindex, fogyasztói árindex, termelői volumenindex

6) Idősorok elemzése

idősor, állapot-idősor, tartam-idősor, trend (alapirányzat), szezonális ingadozás, véletlen ingadozás, mozgóátlagolás, előrejelzés.

7) Üzleti statisztika fogalmai

üzleti statisztika, mikro-szint, belső adatok, piackutatás, primer adat, szekunder adat, fogyasztói kosár, reáljövedelem változás, árollók, termelés, bruttó kibocsátás, folyó termelő-felhasználás, makroszintű jövedelem, tárgyi eszközök, készlet, átlagkészlet, forgási sebesség, pénzügyi statisztika, hozam, megtérülés, likviditás, stabilitás, eladósodás

99

8) Demográfia és igazságügyi statisztika alapfogalmai

demográfia, strukturális demográfia, urbanizáció, migráció, továbbvezetett népességszám, állandó népesség, jelenlévő népesség, lakónépesség, tartózkodási hely, természetes gyarapodás, vándorlási különbözet, tényleges szaporodás, évközi népesség, házasságkötés, válás, élve-születés, magzati halálozás, halál-ok, csecsemőhalandóság, termékenységi mutató, bruttó és nettó reprodukciós együttható, belső migráció, munkanélküliség, igazságügyi statisztika, kriminál-statisztika, polgári jogi statisztika, szabálysértési statisztika, nyers és tisztított kriminalitási arányszám, rendőrségi-ügyészségi statisztika, büntetés végrehajtás statisztikája.