BAB V

GELOMBANG TRANSVERSAL DUA DIMENSI

Jika pada gelombang satu dimensi lintasan gelombangnya hanya berupa garis lurus atau dengan kata

lain gelombang menjalar sepanjang garis lurus, maka pada gelombang dua dimensi lintasannya berupa

bidang. Selain itu pada gelombang 2 dimensi simpangannya bervariasi terhadap bidang. Sebagai contoh

gelombang dua dimensi adalah gelombang yang terjadi pada permukaan air dan pada membran.

5.1. Persamaan Gelombang dua Dimensi

Penjalaran gelombang dua dimensi tidak berbeda dengan penjalaran gelombang satu dimensi. Jika

pada gelombang satu dimensi resultan gayanya bekerja pada elemen panjang maka pada gelombang dua

dimensi resultan gayanya bekerja pada elemen luasan (seperti yang terlihat pada Gambar 26.).

Gambar 26 : Elemen luasan yang mendapat gaya (tegangan) T.

Pada Gambar 26, elemen luasan dengan sisi x dan y mengalami gaya (tegangan) T tegak lurus sisi -

sisinya. Karena itu menurut rumus 4.3 elemen x mengalami resultan gaya dengan arah ke atas yang

besarnya dituliskan sebagai

5.1

Lalu dengan ekspansi Taylor diperoleh

Sedangkan gaya resultan yang bekerja pada elemen y adalah

44

T

T

T

TX

Y

x

y

45

Gaya ini juga mempunyai arah ke atas, sehingga gaya resultan totalnya adalah

5.2

Menurut Hk. Newton II persamaan 5.2 dapat dituliskan sebagai

5.3

lalu dengan mendefinisikan rapat masa sebagai masa tiap satuan luas, maka untuk elemen luasan x.y

massanya dituliskan sebagai

5.4

Oleh karena itu persamaan 5.3 menjadi

yang menghasilkan

5.5

Karena percepatannya maka persamaan 5.5 menjadi

yang menghasilkan persamaan gelombang dalam bentuk

. 5.6

Hal ini berarti gelombang menjalar dengan kecepatan fase

. 5.7

Penyelesaian umum persamaan 5.7 dalam bentuk kompleks untuk gelombang yang bergerak ke kanan

adalah

yang biasa dituliskan dalam bentuk

5.8

5.2. Muka Gelombang

46

Untuk sembarang waktu t, bidang yang dibentuk gelombang dengan simpangan sama ditentukan oleh

nilai . Bidang yang dibentuk gelombang dengan konstan, disebut muka gelombang. Jika muka

gelombang yang dibentuk berupa bidang disebut gelombang bidang. Bidang ini memenuhi persamaan

5.9

dengan = vektor satuan yang arahnya tegak lurus bidang atau sejajar vektor luasan bidang

k = angka gelombang yang besarnya 2/

= vektor posisi dalam ruang

Persamaan 5.9 umtuk gelombang bidang selalu memenuhi persamaan bidang

= kons. 5.10

dengan kons adalah tetapan berupa bilangan real. Lalu dengan mendefinisikan vektor gelombang sebagai

5.11

persamaan yang melukiskan gelombang bidang dapat dituliskan sebagai

5.12

Pada gelombang bidang, merupakan vektor satuan yang searah dengan arah perambatannya. Oleh

karena itu juga merupakan vektor yang searah dengan penjalaran. Arah vektor gelombang yang demikian

berlaku baik untuk gelombang dalam dua dimensi maupun gelombang dalam tiga dimensi.

Pada gelombang 2 dimensi berlaku

Oleh karena itu persamaan 5.12 dapat dituliskan sebagai

5.13

Selanjutnya untuk muka gelombang bentuk lingkaran haruslah memenuhi persamaan

dengan

Sehingga persamaan gelombangnya dapat dituliskan sebagai

5.14

5.3. Gelombang Dua Dimensi Pada Membran

Selaput tipis atau membran merupakan medium perambatan gelombang mekanik dua dimensi. Jika

membran yang lebarnya l2 dibentangkan diantara dua buah dinding batas keras dirambati gelombang bidang,

maka akan terjadi pantulan berulang-ulang oleh dinding batas tadi (Gambar 27).

kx

kky

-ky

kx

k kx

kky

xy = 0

y=l2

47

Gambar 27 : Pantulan gelombang pada membran

Karena dinding batas terletak pada y = 0 dan y = l2, maka pemantulannya juga terjadi pada posisi y = 0

dan y = l2. Pemantulan oleh dinding di posisi y = l2 menyebabkan terjadinya perubahan arah vektor

gelombangnya. Perubahan ini disebabkan oleh perubahan arah komponen vektor gelombang yang sejajar

sumbu y yaitu . Komponen vektor gelombang arah y ini setelah menumbuk dinding berubah menjadi -

. Sedangkang komponen vektor gelombang yang sejajar sumbu x tidak mengalami perubahan arah

setelah menumbuk batas tersebut.

Pada Gambar 28 gelombang dengan fase yang sama dilukiskan oleh garis yang sama jenisnya. Garis-

garis ini bergerak dengan kecepatan fase v sesuai dengan kecepatan gelombangnya. Garis lurus padat dan

garis lurus putus-putus melukiskan muka gelombang yang fasenya berbeda dengan perbedaan fase 180

derajat.

Gambar 28 : Perubahan arah getar gelombang akibat pantulan

Setelah terjadi pemantulan oleh dinding di y = l2, garis padat maupun garis putus-putus mengalami

perubahan kemiringan sesuai dengan perubahan arah penjalarannya. Jika gelombang datang dituliskan

dalam bentuk

5.15

maka gelombang pantulnya dituliskan sebagai

5.16

Karena adanya gelombang pantul ini, terjadi superposisi dan menghasilkan gelombang baru yang

merupakan penjumlahan dari gelombang datang dan gelombang pantulnya. Gelombang ini dituliskan

sebagai

5.17

Syarat batas pertama adalah = 0 di y = 0, karena itu diperoleh persamaan

xy = 0

y=l2

48

Sehingga persamaan 5.16 menjadi

5.18

Syarat batas kedua adalah = 0 di y = l2, karena itu haruslah dipenuhi

yang berarti

atau

5.19

dengan n2 = 1, 2, 3, ….

Dengan substitusi persamaan 5.19 ke dalam persamaan 5.18 diperoleh

5.20

Adanya pada persamaan 5.20 menunjukkan bahwa sepanjang garis melintang yang

menghubungkan kedua dinding batas tersebut terbentuk gelombang berdiri. Gelombang ini menjalar kearah

x dengan kecepatan fase

5.21

Hal ini ditunjukkan oleh rumus .

Selanjutnya dengan mengingat bahwa

= k v

maka persamaan 5.20 menjadi

5.22

Ini berarti bahwa kecepatan fase group gelombang (gelombang berdiri) lebih besar dari kecepatan fase

gelombang individualnya v. Besar angka gelombang dari gelombang dua dimensi adalah

yang dapat dituliskan sebagai

5.23

Lalu dengan substitusi persamaan 5.19 ke dalam persamaan 5.23 diperoleh

yang berarti

49

5.24

Selanjutnya dengan substitusi persamaan 2.2 ke dalam persamaan 5.24 diperoleh

atau

5.25

Oleh karena harus bernilai real, maka persamaan 5.25 mengharuskan berlaku per(tidak)samaan

yang berarti bahwa

atau

5.26

Hal ini berarti bahwa hanya gelombang dengan frekuensi tertentu saja yang dapat merambat sepanjang

membran, dan pada peristiwa ini membran bertindak sebagai pandu gelombang. Untuk n = 1, 2, 3, … nilai

frekuensi gelombangnya adalah , , , …. Mode getar Gelombang seperti ini disebut dengan

modus normal.

Sedangkan kecepatan group gelombangnya adalah

5.27

Jika pada x = 0 dan x = l1 dipasang dinding batas keras maka akan terjadi pemantulan seperti halnya

pada dinding di y = 0 dan y = l2. Gelombang pantulnya mengalami perubahan arah perambatan karena vektor

gelombang arah x-nya yaitu mengalami pembalikan arah. Pada peristiwa ini gelombang datangnya

merupakan group gelombang seperti yang dinyatakan oleh persamaan 5.20 yaitu

.

50

Karena itu gelombang pantulnya adalah

. 5.28

Superposisi kedua gelombang ini menghasilkan

.

.

5.29.

Pada x = 0, haruslah dipenuhi = 0. Karena itu persamaan 5.29 menghasilkan

. 5.30

Dengan mensubstitusi persamaan 5.30 ke dalam persamaan 5.29 diperoleh

. 5.31

Karena

.

Maka persamaan 5.31 menjadi

5.32.

Karena di x = l1 harus dipenuhi = 0, maka berlaku persamaan

.

yahg berarti bahwa

.

atau

5.33.

Dengan n1 = 1, 2, 3, ….

Oleh karena itu persamaan 5.32 menjadi

5.34

Jadi dalam rongga dua dimensi terjadi gelombang berdiri sehingga berdasakan rumus 5.25

frekuensinya dalam modus normal ke n1 sepanjang arah x dan ke n2 sepanjang arah y adalah

5.35

51

Jika pada n1 dan n2 yang berbeda frekuensi yang dihasilkan sama, maka dikatakan energi gelombang

mengalami degenerasi (meluruh).