Genética cuantitativa

UNIDAD II

Todos los caracteres que se han estudiado en Genética Mendeliana caen dentro de clases bien definidas discretas (semillas arrugadas o lisas, plantas altas o enanas, flores blancas o rojas. Este tipo de caracteres se denominan discontinuos.

1. En las poblaciones de plantas, la variación de la mayoría de caracteres es continua en lugar de variación cualitativa.

2. Cualquier carácter fenotípico (morfológico, fisiológico, etc.) que toma distintos valores cuantificables en diferentes individuos (variación fenotípica cuantitativa).

3. Están influenciados por factores ambientales en grado variable.

4. Para describir su variación se utilizan métodos estadísticos, como la media y la varianza.

• Las características cualitativas, producen expresiones fácilmente distinguibles en el fenotipo y no son afectados por el medio ambiente; de manera que, es relativamente fácil diferenciar las variaciones de una característica, producidas por los diferentes alelos.

• En general los caracteres cualitativos, son gobernados por pocos genes, pero la herencia es complicada por dos fenómenos genéticos:

1. Presencia de más de dos alelos en el mismo loci2. Interacción entre genes no alélicos.

• Causada por segregación genética de pocos genes, las variaciones morfológicas es de amplitud considerable entre los individuos de una población. Esta amplitud permite hacer una fácil clasificación de fenotipos en forma visual sin necesidad de ser medidos.

• Se llaman caracteres cualitativos, porque su expresión se refiere a una cualidad bien definida y contrastada.

• Los caracteres son poco afectados por el medio ambiente.• Las variaciones discontinuas son causadas por el efecto

de una mutación o por acción de genes de herencia simple (generalmente de 1 ó 2 pares de genes)

• La acción de un gen, en estos caracteres, es suficientemente grande, por lo que se les llama genes mayores.

• Tallo alto• Tallo enano• Color de flor: rojo,

blanco, rosado amarillo.

• Forma de semilla: rugosa, lisa

Presentan segregación simultánea de muchos genes que afectan el carácter.•Los caracteres cuantitativos son aquellos que se miden, se cuentan, se pesan, etc.•Presentan una distribución normal.•Los caracteres son afectados por el medio ambiente.•Los caracteres producen una variación continua, debido a la acción de muchos genes o factores múltiples.•Los genes tienen efectos pequeños, iguales y suplementarios. Se pueden usar también el nombre de poligenes, aunque este término fue ideado para denominar a genes que tienen efectos pequeños, iguales y acumulativos y que están ligados a los cromosomas.

Altura de planta Peso de fruto La proporción de

semilla Diámetro de tallo

atención

• Se pueden formar un alto número de clases, cuando se clasifican los alelos de los árboles de una población o muestra.

• Son muy afectados por cambios en el medio ambiente, tanto en espacio como en tiempo.

• Están determinados por un alto número de genes.

• Son de herencia complicada y para su estudio es necesario someterlo al análisis estadístico, generalmente de la estadística paramétrica.

• Manifiestan variación continua.

Denominaciones

La herencia de los caracteres cuantitativos cuya distribución de fenotipos es similar a la distribución normal y ha sido objeto de discusión desde el siglo pasado, su estudio requiere del conocimiento de la biometría y la genética de poblaciones.

• En Nilson Ehle postuló la “Hipótesis de los Factores Múltiples”, basados en los principios mendelianos del mecanismo de la transmisión y tomándose como base el tipo de acción génica.

• En el siguiente párrafo se expone la acción de los genes que controlen la herencia y el mecanismo de transmisión.

Experimento de Nilsson-Ehle (1909)

Cruzó dos variedades de trigo puras con semillas de color blanco o color rojo

F1: color intermedio

F2: al menos 7 clases de color

Carácter cuantitativo determinado por varios loci con efectos aditivos.

Variación cuantitativa

0

100

200

300

400

500

600

1 2 1

frec

.

1 locus con 2 alelos

0

50

100

150

200

250

300

350

1 4 6 4 1

Fre

c.

2 loci con 2 alelos c/u

0

50

100

150

200

250

300

350

1 6 16 20 16 6 1

Fre

c.

3 loci con 2 alelos c/u

A medida que aumenta el número de loci aumenta el número de clases y disminuyen las diferencias entre clases contiguas.

Los efectos del ambiente contribuyen a hacer la distribución continua.

Distribución normal

Distribución normal

Media poblacional (µ): la suma entre todas las medidas (xi) dividida por el número de medidas en la muestra (N)

µ = X1 + X2 + X3 + X4 + …….+ XN / N

Varianza poblacional (σ2): es una medida de la variabilidad de la distribución.

Desviación estándar poblacional(σ): representa la media aritmética de las desviaciones con respecto a la media.

σ = √σ2

• Se trabaja con muestras representativas de la población que se analiza.

• En estas muestras se estudian variables

• Estas variables se describen por medio de distintos estimadores (media, varianza)

Población = parámetros Muestra = Valores Estadísticos

µ

σ2

σ

P

X

S2

S

p

(valores estadísticos) estimadores (parámetros)

PRACTICA: CONSTRUIR UNA TABLA DE FRECUENCIA

Pasos

Distribución de frecuencia de la variable peso de fruto de papaya en gr/planta.

Es distribución simétrica, respecto a la recta X = µx = µ

La curva presenta distribución normal, acampanada, presenta asíntota en el eje horizontal (abcisa X)

Presenta dos puntos de inflexión (µ + ) y (µ - ) El área total bajo la curva es igual a 01 ó al 100% Pr [µ - 1 ≤ X ≤ µ + 1 ] = 0.6826 ➾ 68.26 % Pr [µ - 2 ≤ X ≤ µ + 2 ] = 0.9545 ➾ 95.45 % Pr [µ - 3 ≤ X ≤ µ + 3 ] = 0.9974 ➾ 99.74 %

Propiedades de la distribución normal

Promedio poblacional µ = 83.35 ~ 83Variancia poblacional σ2 = 736.19 ~ 736Desv. estándar poblacional σ = 27.13 ~ 27

Asumiendo que N=35, se tiene los parámetros de la variable peso de papaya

La variable (X): peso de papaya

X ~ DNI (µ, σ2) X ~ DNI (83, 736)

X ~ DN (µ, σ2) X ~ DNI (83, 736)

Por tanto = 83

= 27

Muchos problemas, se podrán resolver, aplicando las propiedades de la distribución normal.

1) Hallar la probabilidad de encontrar una planta de papaya, cuyo frutos que pesen mayor o igual a 56 gramos.

 

Hallar:La Pr [X ≥ 56]

SoluciónPor propiedad, Pr [X > 56] = 0.84 ó 84%

Conclusión.- la probabilidad o posibilidad de encontrar una planta de papaya que tenga frutos con peso mayor o igual a 56 gramos, es el 84 %

2) Hallar la probabilidad de encontrar una planta de papaya, cuyo frutos pesen mayor o igual a 110.

 Hallar:La Pr [X ≥ 110] Solución

Por propiedad, Pr [X ≥ 110] = 0.16 ó 16%

Conclusión.- la probabilidad o posibilidad de encontrar una planta de papaya que tenga frutos con peso mayor o igual a 110 gramos, es el 16 por ciento.

Hallar:La Pr [X ≤ 56] Solución

3) Hallar la probabilidad de encontrar una planta de papaya que tenga frutos que pese menor o igual a 56 gramos.

Por propiedad, Pr [X ≤ 56] = 0.16 ó 16%

Conclusión.- la probabilidad o posibilidad de encontrar una planta de papaya que tenga frutos con peso menor o igual a 56 gramos, es el 16 por ciento.

4) Hallar la probabilidad de encontrar una planta de papaya, cuyo frutos pesen entre 56 gramos y 110 gramos.

 

Hallar:La Pr [ 56 ≤ X ≤ 110] Solución

Por propiedad se tiene: Pr [56 ≤ X ≤ 110] = 0.68

Conclusión.- la probabilidad de encontrar una planta de papaya que tenga frutos con peso entre 56 gramos 110 gramos es el 68 por ciento.

5) Hallar la probabilidad de encontrar una planta de papaya, cuyo frutos pesen mayor o igual a 100 gramos.

 Hallar:La Pr [X ≥ 100] Solución

La propiedad, no se puede aplicar en el problema

Pr [X ≥ 100] = ????

Ingrese a Excel MENU Insertar/función/estadísticas/dist. normal/aceptar

 X = Probabilidad solicitada Media = Media poblacional (µ)Desv_estándar = Desviación estándar poblacional (σ)Acum = Colocar VERDADERO

Donde:

Los resultados de Excel, nos da, el área sombreada, que es igual a Pr(X ≤ X0), basado a estos resultados, la solución de los diferentes problemas, se obtendrán en forma directa o por diferencias.

Probabilidad

Hallar la Pr [X ≥ 100]

SoluciónSabiendo que X= 100, µ = 83.34; δ = 27.13; Acum: Verdadero

Ingresar a Excel, los datos de la siguiente manera:

El problema planteado es la siguiente: Pr(X ≥ 100) Sin embargo, Excel nos da la Pr(X ≤ 100) = 0.730418885 La solución del problema, se realizará por diferenciaPor tantoPr(X≥110)=1.0 - Pr(X≤110)=1.0 – 0.73041888 =0.2695811 ó 26.95%

Conclusión.- la probabilidad o posibilidad de encontrar una planta de papaya que tenga frutos con peso mayor o igual a 100 gramos, es el 26.95 %.

Hallar: La Pr(X ≤ 50) Hallar: La Pr [50 ≤ X ≤100] Hallar: La Pr [ X ≥ 90] Hallar: La Pr [ X ≥ 130] Hallar: La Pr [ X ≤ 164]

La curva normal, sirve para fijar su forma y el área encerrada, dependen de µ y σ2; sin embargo, estos valores cambian de una distribución a otra, permitiendo que en una misma área corresponde a diferentes pares de valores Xi lo cual constituye un inconveniente.

Afortunadamente cualquier valor de Xi de la curva normal es posible transformar en un valor de Zi, para lo cual bastará aplicar la siguiente ecuación:

Si todos los valores Xi de una población normal son transformados a valores de Zi, se tiene una nueva distribución de Z de la misma forma que la distribución Xi que le ha dado origen.

Si Z es una VA normal con media µz=0 y variancia σ2z

=1, entonces Z es una variable normal estándar con la siguiente función de densidad

Es una distribución acampanada simétricaTiene asíntota en el eje abscisas Presenta puntos de inflexión en –1 y +1 P ( -1 < Z < +1) = 0.6826 → 68.26% P ( -2 < Z < +2) = 0.9545 → 95.45% P ( -3 < Z < +3) = 0.9974 → 99.74 %

Cualquier variable aleatoria (VA) que sigue una distribución normal puede ser transformada y convertida en una (VA) normal estándar (Z) mediante la siguiente expresión.

En esta distribución encontrar un valor de Zi mayor que cero, existe 0.5 de probabilidad o el 50 % de la área total, igualmente encontrar un valor de –Zi, que sea menor que cero es 0.5 o del 50% del área total.

La área sombreada, nos da la probabilidad en la tabla.

Muchos problemas de la distribución normal pueden resolverse a través de la distribución de Z, como puede observarse en los siguientes ejemplos

En una población de plantas de cacao, el peso de los frutos tiene una media (µ=24 grs.) y σ=7.08 grs. ¿Cuál es la probabilidad ?

a) Que una planta de cacao presente frutos que pese 30.25 grs. ó más

b) Que una planta de cacao que tenga frutos que pese 10.75 grs. ó menos.

c) Que una planta pese entre 31.25 y 10.75 grs.

Hallar P( X ≥ 31.25) = P ( Z ≥ 0.88)

Hallar: P( X ≤ 10.75) = P ( Z ≤ - 1.87 )

Hallar P(10.75≤ x ≤31.25) = P(-1.27≤Z≤ 1.02) =

P (-1.4 ≤ Z ≤ 1.5) P [ -3 ≤ Z ≤ -2 ] P [ Z > 1.52 ] P [ Z < 1.9455 ] P [ -1.2 ≤ Z ≤2.40 ] P [ 1.23 ≤ Z ≤1.87 ] P [ -2.35 ≤ Z ≤ -0.5 ]

Los resultados de Excel, nos da, el área sombreada, y es igual a Pr (Z < Z0), basado a estos resultados, la solución de los diferentes problemas, se obtendrán en forma directa o por diferencias.

Hallar P ( Z ≤ -1.87 )

Probabilidad

1) P (-1.4 ≤ Z ≤ 1.5)2) P[ -3 ≤ Z ≤ -2 ]3) P[ / Z / > 1.52 ] 4) P[ / Z / < 1.9455 ] 5) P [ -1.2 ≤ Z ≤2.40 ]6) P[ 1.23 ≤ Z ≤1.87 ]7) P[ -2.35 ≤ Z ≤ -0.5 ]