GEOMETRÍA ANALÍTICA

CONCEPTO PENDIENTE

ÁNGULO DE INCLINACIÓN

Elementos que la determinan

RECTADiferentes formas de determinar su

ecuación

Posiciones relativas

Ángulo entre rectas

La recta es una de las curvas de mayor estudio

realizado en las matemáticas por la enorme

cantidad de aplicaciones que presenta y por estar

vinculada a una ecuación de primer grado o lineal

1) Problemas de costos-

ingresos y ganancia, la

oferta y demanda

Dentro de sus aplicaciones

se tienen, por ejemplo:

2) En Ingeniería Eléctrica se puede determinar el

voltaje en función de la corriente dando como

resultado una línea recta.

3) En Ingeniería Civil, para la edificación de carreteras y

autopistas se aplican conceptos sobre trazos de la

recta.

Nudo Uribe en Antofagasta

4) En el trazo de planos está la presencia de rectas,

sus intersecciones, perpendicularidad y otras

propiedades.

¿Qué le indica estas señales de tránsito en relación a las imágenes?

Podemos indicar que en la vida real,cuando vamos por una calle, a vecesnos encontramos ante cambios en lanivelación del terreno, es decir, cuandovamos por una calle totalmente recta yhorizontal, de repente la calle empiezaa “subir” verticalmente, inclinándosede forma vertical. A esta inclinación sele llama pendiente.

PENDIENTE DE UNA RECTA L

Pendiente, en matemáticas y cienciasaplicadas se le denomina a la inclinación deun elemento lineal, natural o constructivorespecto de la horizontal.

Se llama pendiente o coeficiente angular deuna recta, a la tangente de su ángulo deinclinación. Se designa comúnmente por laletra m, por lo tanto m = tan α

Calle Baquedano, aluvión año 1991 en Antofagasta

Piscinas aluvionales, quebrada Farellones

El conocer el concepto de pendiente nos sirve, como por ejemplo prevenir catástrofes.

EN PANELES FOTOVOLTAICOS

¿Cómo obtenemos el ángulo de inclinación del ancla y la pendiente de L?

PENDIENTE DE UNA RECTA L

L1

L2

0 x

y•¿Cuál de las rectas está más inclinada?

•¿Cómo medimos esa inclinación?

x

yencambio

recorrido

elevaciónm

en x cambio

y

La pendiente corresponde a la tangente delángulo de inclinación de L

x

yencambio

recorrido

elevaciónm

en x cambio

y

Obtener la pendiente de una recta que pasa por

los punto

Lo cual indica que la recta no tiene inclinación, con respecto ala horizontal. La recta es horizontal (paralela al eje X).

La recta es vertical (perpendicular al eje X).

De los ejemplos anteriores se puede deducir:

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)

Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos estos valores en

la fórmula

m =y2 – y1 =x2 – x1

14 – 2

9 – 7 =

12

2= 6

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)

Identificamos los valores de x1 , y1

, x2 , y2

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos estos valores en

la fórmula

m =y2 – y1 =x2 – x1

-3 – 1

9 – (-5) =

-4

14=

-2

7

Encuentre la pendiente de la recta graficada en el

siguiente plano:

En este caso debemos identificar las

coordenadas de dos puntos de la recta

(5,0)

(0,4)( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)

x1 y1 x2 y2Identificamos los valores de x1, y1, x2, y2

Reemplazamos estos valores en

la fórmula

m =y2 – y1

x2 – x1

0 – 4

5 – 0

-4

5= =

La ecuación de la recta de pendiente m, y

punto de paso (x1, y1) es:

(x1, y1)y - y1 = m(x - x1)

X

Y

La gráfica de una recta de pendiente m y

ordenada en el origen b, es:

by = mx + b

X

Y

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, yrecíprocamente, toda recta es lagráfica de una ecuación lineal.

Ax + By + C = 0

Ejercicios:

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).

3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.

4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b

recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

b

a

y = b

x = a

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL

En resumen:

Formas de la ecuación de una recta:

• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)

• Forma pendiente ordenada y = mx+b

al origen

• Forma general Ax + By + C = 0

• Recta vertical x = a

• Recta horizontal y = b

Rectas ParalelasDos rectas no verticales con pendientes

son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales, es decir: 1 2L Ly

1 2m my

21 mm

1L 2L

En la gráfica mostrada, la pendiente de las rectas es:21 LL y

m 3

Las rectas son paralelas.

Conclusión:

/ /L L m m 1 2 1 2Si

Verifique que la recta que une los puntos (-3,-5 ) y (2,3 )es paralela a la recta que une a (0,-5 ) y (5,3 )

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

m 8

5m

8

5

Las rectas son paralelas

Ejemplo 2: Determinar la ecuación de una recta L que

pasa por el punto (-3, 3) y es paralela a la recta:

10y-8x=7.

Escribimos la ecuación de la recta dada de la forma y=mx+b:

10

7

5

4 xy

Como las rectas son paralelas tienen la misma pendiente. Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen:

bxy 5

4 Como (-3,3) es un punto de la recta, satisface su ecuación. Sustituimos el punto

y encontramos b:

5

273

5

43 - bb Por lo tanto la

recta pedida es: 5

27

5

4 xy

m 4

5

Rectas PerpendicularesDos rectas no verticales con pendientes

son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1, es decir,

1 2L Ly1 2m my

-11 2m m o, de manera equivalente, -1

2

1

mm

2L

1LEn la gráfica:

2

31m

3

2-2m

-11 2m m

Las rectas son perpendiculares.

Si:_L L m m -1 2 1 2 1

Hallar la ecuación de una recta T que es perpendicular a

2x+3y=12 y tiene el mismo punto de corte con el eje y.

Escribimos la ecuación de la recta dada de la forma y=mx+b:

43

2- xy

Las rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1.

42

3 xy

m 2

3

2Para la recta pedida: y

m m -1 2 1

Ejemplo 4:

m -1

2

3b 4

m - -

2

21

3m 2

3

2

b 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1

11

43

2- xy

42

3 xy

Representación gráfica:Continuación

Recta dada:

Recta perpendicular a la recta dada, con el mismo intercepto:

Encuentre la recta que es perpendicular a la recta que une los puntos (1,-2 ) con (-2,3 ) y que pasa por el origen

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y Pendiente recta dada:

y y

x x

2 1

2 1

m=-

-;

m

- -

- -

2 3

1 2; m -

5

3

Pendiente recta perpendicular:

;mm

-1

1m -

-1

1

5

3

; m 1

3

5

Pasa por el origen: b=0 y x3

5

Verificar si la respuestas dadas son las correctas

Problema

Una persona compró un automóvil nuevo en 1991 por

$3.200.000. En 1994, él lo vendió a un amigo en

$2.600.000.

Dibuje una recta que muestre la relación entre el

precio de venta del automóvil y el año en que se

vendió. Determine e interprete la pendiente.