TEMA:€¦ · Web viewSean L1 y L2 dos rectas cuyas pendientes son m1 y m2 , respectivamente. Si L1 y L2 son paralelas, entonces sus pendientes cumplen: Si L1 y L2 son perpendiculares:

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PILAR

BUCARAMANGA - SANTANDER

GUÍAS DE APOYO AL ESTUDIANTE

GUÍA No. 04 Período: II

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9º ÁLGEBRA

EVALUACIÓN

PRESABERES: Función lineal, afín y constante

SABERES:LÍNEA RECTA

1. ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

La ecuación de la forma y = mx + b, se conoce con el nombre de “ecuación explícita” de la recta, en ella el valor de “m” se denomina pendiente de la recta (inclinación de la recta respecto al eje “x” positivo), y el valor de “b”, es el número donde la recta corta al eje “y”, de ahí que el punto de corte con el eje “y” sea de la forma (0, b).

Ejemplos: En las ecuaciones dadas, encuentre el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje Y

Pendiente Punto de corte con Y m (0, b)

1. 2 (0, 5)2. 0 (0,-6)

3. (0,0)

4. - 1 (0,-5)5. 0 (0,4)6. indefinida No tiene punto de corte con el eje Y7. 1 (0,-2)8. indefinida No tiene punto de corte con el eje Y

Como lo expresamos antes, la pendiente de una recta está relacionada con la inclinación que se presenta entre la recta y el eje X, siempre será posible relacionar dicha inclinación con un ángulo, en algunos casos agudo (menor de 90°), recto (90°), obtuso (mayor a 90° y menor a 180°) o nulo (0°).

Veamos:

Ángulo agudo Ángulo obtuso Ángulo nulo Ángulo rectoAdemás podemos determinar la inclinación de la recta conociendo su pendiente, así:

Docente: Nancy Patricia Plazas CarrilloEstudiante:

Toda expresión de la forma y = mx + b, representa una línea recta- Si “m” y “b” son reales distintos de cero, será una función afín (recta inclinada que no pasa por el origen del plano

cartesiano).- Si “m” es un número real distinto de cero, pero “b” es cero, se convierte en y = mx, que representa una función lineal

(recta inclinada que pasa por el origen del plano cartesiano).- Si “m” es cero, se convierte en y = b, que representa una función constante (línea recta horizontal).- ¿Qué sucede si “y” es cero?...... la ecuación se convierte en 0 = mx + b, o despejando la variable “x” podemos decir

que se convierte en x = . ¿Qué clase de gráfica se genera?. ¿Es una función o no?. Explique su respuesta.





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- Si la pendiente es positiva, el ángulo de inclinación es agudo.- Si la pendiente es negativa, el ángulo de inclinación es obtuso.- Si la pendiente es cero, el ángulo de inclinación es nulo (recta horizontal).- Si la pendiente no está indefinida, el ángulo de inclinación es recto (la recta es vertical).

Ahora bien, la inclinación de la recta (pendiente), es igual a la razón (cociente) que existe entre la variación en el eje Y respecto a la variación en el eje X.

Esto es, si conocemos dos puntos de la recta, sean y : - La variación en el eje Y, está dada por - La variación en el eje X, está dada por

Por tanto, la pendiente de la recta que pasa por dichos puntos será

Ejemplos: Para cada par de puntos dados, elabore la gráfica y encuentre el valor de la pendiente.

1. y

Solución:

2. y

Solución:

3. y

Solución:

4. y

Solución:

En algunos casos se hace necesario determinar la ecuación explícita de una recta a partir de algunos valores conocidos, para esos casos existen algunos procesos que se explicarán a continuación.





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1.1. ENCONTRAR LA ECUACIÓN EXPLÍCITA DADA LA PENDIENTE Y UN PUNTO

Dada la pendiente y un punto cualquiera de la recta, se deben reemplazar dichos valores en la ecuación , de donde se podrá encontrar el valor del “b”, ya con el valor de “m” y “b”, volvemos a la ecuación para hallar la ecuación requerida.

Ejemplos: Encontrar la ecuación explícita de la recta que tiene el valor de la pendiente dada y pasa por el punto que se indica.

1.

Solución: Reemplazamos los valores dados en la ecuación , de donde obtenemos , al

resolver y despejar el valor de b, tenemos: , como sabemos que y que , reemplazamos en , obteniendo .

2.

Solución: Reemplazamos los valores dados en la ecuación , de donde obtenemos

, al resolver y despejar el valor de b, tenemos: , como sabemos que

y que , reemplazamos en , obteniendo

1.2. ENCONTRAR LA ECUACIÓN EXPLÍCITA DADOS DOS PUNTOS

Si nos dan dos puntos de la recta, debemos reemplazar en la ecuación , de dónde

encontraremos el valor de la pendiente, ya con esta y cualquiera de los puntos dados podremos aplicar el procedimiento visto antes.

Ejemplos: Encontrar la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos dados.

1. y


, ahora voy a trabajar en la ecuación con el punto M y la

pendiente, así: al resolver y despejar el valor de b, tenemos: ,

como sabemos que y que , reemplazamos en , obteniendo .

2. y

¿Qué sucede si el punto dado es el intercepto con el eje Y?





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, ahora voy a trabajar en la ecuación con el punto B y la pendiente, así:

al resolver y despejar el valor de b, tenemos: , como sabemos que y que , reemplazamos en , obteniendo .

2. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

A la ecuación de la forma donde A, B, C se conoce con el nombre de ecuación general de la recta.

- Para encontrar la ecuación general de una recta, dada su ecuación explícita, basta con igualar la ecuación a cero y multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (si los hay).

Ejemplos: Encuentre la ecuación general de las rectas que tiene como ecuación explícita las ecuaciones dadas.

1.

Solución: Se iguala a cero toda la ecuación

2.

Solución: Se iguala a cero toda la ecuación ,

Como aparecen fracciones, multiplicamos por el m.c.m., que en este caso es 15, de donde obtenemos:

- Para encontrar la ecuación explícita, dada la ecuación general, basta con despejar la variable “Y” de la ecuación dada.

Ejemplos: Encuentre la ecuación explícita de las rectas que tiene como ecuación general las ecuaciones dadas.

1.

Solución: Se despeja la variable “Y”, de la ecuación dada

2.

¿Qué sucede si uno de los puntos dados es el intercepto con el eje Y?





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Solución: Se despeja la variable “Y”, de la ecuación dada

3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Siempre que tengamos dos rectas en el mismo plano, será posible que se presente uno de los tres siguientes casos:

1. Que las rectas sean paralelas (es decir, que no se corten a pesar de que se prolonguen)2. Que las rectas sean perpendiculares (es decir, que al prolongarse se corten formando ángulos rectos)3. Que las rectas sean secantes (es decir, que al prolongarse se corten pero que no se formen ángulos

rectos).

Para los dos primeros casos existen unas características especiales que vamos a estudiar a continuación.

Caso 1. Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.

Ejemplo: Las rectas y son paralelas, dado que y , es decir

Observe la gráfica

Caso 2. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a – 1 .

Ejemplo: Las rectas y son perpendiculares, dado que y , es

decir

Observe la gráfica

Caso 3. Dos rectas que se cortan en un único punto sin formar ángulos rectos son secantes.





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ACTIVIDAD EN CLASE

I. En cada una de las ecuaciones dadas, identifique la pendiente de la recta, el punto de corte con el eje “Y” y el ángulo de inclinación. Utilice un software graficador para que compruebe el análisis realizado (sugerencia: geogebra).

1.

2.

3.4.

5.

6.7.8.

II. Encuentre el valor de la pendiente y elabore la gráfica de la recta que pasa por los puntos dados.

1. y 2. y 3. y 4. y

III. Encuentre la ecuación explícita y/o la ecuación general de la recta que cumple con las condiciones dadas. Realice la gráfica.

1. Pasa por los puntos y 2. Tiene pendiente indefinida y pasa por el

punto 3. Su ecuación general es 4. Tiene pendiente igual a – 3 y su punto de

corte con el eje Y es 5. Corta al eje Y en – 4 y pasa por el punto

6. Tiene por ecuación explícita

IV. Clasifique el par de rectas dadas, en paralelas, perpendiculares o secantes. Utilice un software graficador para que compruebe el análisis realizado (sugerencia: geogebra).

1.

2.

3.4.5.

V. Resuelva cada situación planteada de acuerdo a la información suministrada.

1. Encuentre la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto y es paralela a la recta que pasa por los puntos

,

2. Determine la ecuación general de la recta de una función afín que es perpendicular a la recta que tiene por ecuación explícita

3. Encuentre la ecuación general de todas las rectas que son paralelas a la recta que

tiene por ecuación explícita

4. Halle la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos ,

5. Encuentre la ecuación explícita de la recta de pendiente indefinida que es perpendicular a la función constante que pasa por el origen.

ACTIVIDAD EN CASA

I. En cada una de las ecuaciones dadas, identifique la pendiente de la recta, el punto de corte con el eje “Y” y el ángulo de inclinación. Utilice un software graficador para que compruebe el análisis realizado (sugerencia: geogebra).

1.

2.

3.4.

5.

6.7.8.

II. Encuentre el valor de la pendiente y elabore la gráfica de la recta que pasa por los puntos dados.

1. y 2. y





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3. y 4. y

III. Encuentre la ecuación explícita y/o la ecuación general de la recta que cumple con las condiciones dadas. Realice la gráfica.

1. Pasa por los puntos y

2. Tiene pendiente indefinida y pasa por el punto

3. Su ecuación general es 4. Tiene pendiente igual a 5 y su punto de

corte con el eje Y es 5. Corta al eje Y en –5 y pasa por el punto

6. Tiene por ecuación explícita

IV. Clasifique el par de rectas dadas, en paralelas, perpendiculares o secantes. Utilice un software graficador para que compruebe el análisis realizado (sugerencia: geogebra).

1.

2.3.

4.5.

V. Resuelva cada situación planteada de acuerdo a la información suministrada.

1. Encuentre la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto y es paralela a la recta que pasa por los puntos

,

2. Determine la ecuación explícita de la recta de una función lineal que es perpendicular a la recta que tiene por ecuación general

3. Encuentre la ecuación general de todas las rectas que son perpendiculares a la recta que tiene por ecuación explícita

4. Halle la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos ,

5. Encuentre la ecuación general de dos rectas que sean perpendiculares, donde cada una de ellas tenga un solo punto de corte.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA

I. Hallar dos puntos que pertenezcan a una recta que tenga:

1. Pendiente positiva

2. Pendiente negativa

3. Pendiente nula

4. Pendiente indefinida

II. Hallar la ecuación explícita y la ecuación general, de las rectas que pasan por los puntos que se muestra a continuación.

1.

2.

3.





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4.

III. Escribir V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justificar la respuesta.

Sean L1 y L2 dos rectas cuyas pendientes son m1 y m2 , respectivamente.

1. Si L1 y L2 son paralelas, entonces sus

pendientes cumplen:

2. Si L1 y L2 son perpendiculares:

3. Si L1 es secante a L2 se puede concluir

que

4. Si L1 es paralela a L2, se cumple:

5. Si L1 tiene pendiente , entonces

una recta perpendicular a ella debe tener

pendiente positiva.

Tomado de: Álgebra y Geometría II Editorial Santillana 2004 Pág. 95

IV. La masa promedio de una mujer de 160 cm es 55 kg, mientras que el de una mujer de 170 cm es de 60 kg.

1. Elaboro la gráfica estatura contra masa

2. Hallo la pendiente de la recta

3. Determino la ecuación lineal que relaciona

los datos

4. Interpreto el significado de la pendiente y

del intercepto con el eje Y de la recta

5. ¿A partir de qué estatura la ecuación tiene

sentido?

6. ¿Cuál es la estatura de una mujer de 75

kg? ¿Cuál es la estatura de una mujer de

65 kg?

Este ejercicio ilustra una utilidad de las rectas;

dados dos valores extremos, se pueden hallar

valores intermedios; por ejemplo, se puede

conocer la masa de una mujer de 168 cm o la

estatura de una mujer de 72 kg.Tomado de: Retos – Matemáticas 9

Editorial Norma 2012 Pág. 45

V. A partir de la gráfica, determino las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del pentágono.

Tomado de: Retos – Matemáticas 9 Editorial Norma 2012 Pág. 46

VI. Laura y Karina, partiendo del mismo punto, recorren una carretera en autos diferentes. En 2 horas Laura recorre 80 km, y Karina, 100 km.

1. Uso dos rectas, una para cada recorrido, y

represento la situación en un mismo plano

cartesiano: tiempo – distancia.

2. Hallo la ecuación que representa la

distancia recorrida por cada mujer en

términos del tiempo.

3. Si la velocidad es el cociente: distancia

sobre tiempo, ¿cuál elemento de la

ecuación, de cada recta, la representa?

4. Si la carretera tiene 450 km, ¿en cuánto

tiempo hace cada una este recorrido?

5. Al cabo de 3 h y 30 min, ¿qué distancia

habrá recorrido cada una de ellas?





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Tomado de: Retos – Matemáticas 9 Editorial Norma 2012 Pág. 46

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