GEOMETRÍA

Ángulos

Wilsoncachay.com

Profesor: Wilson Cachay Móvil 809 787 0013 info@wilsoncachay.com

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 2

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 3

Reseña Histórica de Arquímides

Arquímides (– 287 a – 212). Fue un científico griego que perfeccionó y generalizó el

método de exhaustión para el cálculo de superficie y volúmenes. Estableció los principios

generales de la hidrostática y sentó las bases de la mecánica teórica. Se le atribuye

numerosas invenciones mecánicas, como las poleas compuestas, el tornillo sin fin y el

tornillo hidráulico.

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 4

I. Ángulo :

Es el espacio comprendido entre dos rayos que tienen un mismo origen.

Elementos:

a) Lados

b) Vértice

Notación: se lee ángulo AOB

m se lee medida del ángulo AOB.

II. Magnitud de un ángulo: Es la medida del ángulo y se mide con el

TRANSPORTADOR. Su unidad de medida es el GRADO SEXAGESIMAL (1°).

GEOMETRÍA

OA, OB

O

AOB

AOB

B

A

O

1°= 60'

1'= 60''

1°= 3600''

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 5

III. Bisectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes

(iguales).

IV. Clasificación de los ángulos:

1. Por su medida

Se clasifica en :

B

A

O

P

e)

m ide entre 180° y 360°

ÁNGULO CÓ NCAVO f)

ÁNGULO DE UNA

VUELTA

m ide 360°

d)

m ide 180°

ÁNGULO LLANO

B A

C

P Q R

Congruente s

s ímbolo

OP : Bisectriz del AOB

a)

m ide entre 0° y 90°

ÁNGULO AGUDO c)

m ide entre 90° y 180°

ÁNGULO OBTUSOb)

m ide 90°

ÁNGULO RECTO

B

A

CO

M

NF

E

G

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 6

2. Por la posición de sus lados

Se clasifican en :

3. Por la suma de sus medidas

Se clasifica en :

a) ÁNGULO S ADYACENTES c)

m ide entre 90° y 180°

ÁNGULO OBTUSO

O

B

C

A

AOB y BOC

son ADYACENTES

O

P

R

N

Q

M

MON, NOP, POQ y QOR

son 4 ángulos CONS ECUTIVOS

I

HE

F G

EGF y HGI son

OPUES TOS POR EL VERTICE

O

A

C

a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO

Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS

S I LA S UMA DE S US MEDIDAS ES 90°

a) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

B

m AOB + m BOC = 90°

Dos ángulos son S UPLEMENTARIOS

S I LA S UMA DE S US MEDIDAS ES 180°

m DFE + m EFG = 180°

D

E

F G

SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO

Es lo que le falta a la m edida de un

ángulo para ser igual a 90°

Es lo que le falta a la m edida de un

ángulo para ser igual a 180°

C = 90° – S = 180° –

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 7

MEDICIÓN DE UN ÁNGULO: Los ángulos se miden con un instrumento

llamado transportador.

Para medir un ángulo se hace coincidir el centro del transportador

con el origen del ángulo Oº y del transportador debe coincidir con

el lado del ángulo. El número por donde pasa el otro lado del

ángulo es su medida.

Ejm.: La notación equivale a la expresión:

“el ángulo AOB mide 50 grados sexagesimales”

V. TEOREMAS

1. “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados

alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es

180°”

A O B = 5 0 º

á n g u lo a g u d o

A O C = 9 0 º

á n g u lo re c to

A O D = 1 5 0 º

á n g u lo o b tu s o

O

A

B

O

A

C

A

O

D

180º + + =

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 8

2. “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados

alrededor de un mismo vértice es 360°”

3. “Los ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE son congruentes...”

EJEMPLOS:

1. Del gráfico hallar “x”.

Solución:

360º + + + + =

=

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 9

2. Hallar

Solución:

x+ 124x

4x = x + 12°

4x – x = 12°

3x = 12°

12°x =

3

x = 4°

40°

+ + 90°+ 40°= 180°

2 + 130°= 180°

2 = 180° – 130°

2 = 50°

50°=

2

= 25°

" "

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 10

3. Hallar en:

Solución:

1. De la figura, calcular 2. En la figura, calcular

2

" "

+ + + 2 + 90°= 360°

5 + 90°= 360°

5 = 360°– 90°

5 = 270°

270°=

5

= 54°

y

20°

0

120°

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 11

3. En la figura, calcular 4. En la figura, calcular

5. En la figura, calcular 6. En la figura, calcular

7. Del gráfico, hallar 8. De la figura, calcular

9

40º

50º

56°

+ " "

" " +

" " " "

27°46°

74°

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 12

. En la figura, calcular 10. Del gráfico, hallar

11. Del gráfico, calcular 12. Del gráfico, hallar

" " " "

" " " "

4

7

5

2

64°

30°

30°

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 13

13. Calcular los complementos de : 14. Calcular los suplementos de :

15. Calcular el suplemento del 16. Hallar el suplemento del

complemento

complemento de: del suplemento de 120°

( )

( )

( )

( )

( )

15°

26°

48°

54°

64°

C = 90° – 15°= 75°

C = ________________

C = ________________

C = ________________

C = ________________

( )

( )

( )

( )

( )

118°

125°

131°

142°

159°

S = 180° – 118°= 62°

S = ________________

S = ________________

S = ________________

S = ________________

( )

( )

( )

( )

( )

25°

33°

47°

52°

36°

SC = 180° – (90° – 25°)= 180° – 65°= 115°

S C = ________________

SC = ________________

SC = ________________

SC = ________________

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 14

1. Del gráfico, hallar 2. En la figura, calcular

3. Del gráfico, calcular 6. Del gráfico, calcular

4. De la figura, calcular 7. Del gráfico, calcular

5. Del gráfico, hallar “x” 8. De la figura, calcular

140°50° 110°

" " " "

" " " "

" "

125° 15°

92°78°

2

2

32

2

64°

50°

75°

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 15

RECTAS PARALELAS CORTADAS POR LA SECANTE

I. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

1. RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas (//), si su

INTERSECCIÓN es NULA.

2. RECTAS SECANTES: Dos rectas son secantes, si su INTERSECCION

es un PUNTO.

m

n

20°

2x+ 2

47°

S i m n= m//n

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 16

3. RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares (),

si su INTERSECCIÓN es un ÁNGULO RECTO (90°).

II. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

Si las rectas L1 y L

2 son paralelas y están cortadas por una SECANTE M, se cumplen

las siguientes propiedades.

1. Los ángulos correspondientes son congruentes :

2.Los ángulos alternos internos son congruentes :

3. Los ángulos alternos externos son congruentes :

4. Los ángulos conjugados externos son suplementarios :

m

n

P S i m n = P Las rectas m y n son

SECANTES

m

n

⊥Si m n = 90° m n

1 2

3 4

5 6

7 8

L1

L2

M

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 17

5. Los ángulos conjugados internos son suplementarios :

LEY DEL SERRUCHO

Si entre dos rectas paralelas se trazan varios ángulos como muestra la figura 1, se cumple

que:

Ejemplos:

1. En la figura , hallar

Solución :

1 2L // L

L2

L1x

a

y

b

z

c

wd

SUMA DE ÁNGULOS SUMA DE ÁNGULOS

DIRIGIDOS A LA = DIRIGIDOS A LA

IZQUIERDA DERECHA

x+ y+ z+ w = a+ b+ c+ d

1 2L //L " "

L1

L2

20°

45°

60°

58°

Aplicando la ley del serrucho

+ 20°+ 45°= 58°+ 60°

+ 65°= 118°

= 118° – 65°

= 53°

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 18

2. Hallar “x”, si

Solución:

1 2//L L

3x

2x+ 40°

L1

L2

3x + 2x + 40°= 180°

5x = 180° – 40°

140x =

5

x = 28°

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 19

GEOMETRÍA Wilson Cachay

Colmado.com.do Página 20