ORTARETM

GEOMETR

11. SINIFDERS KTABI

YAZARLARBurcu NC

a KAYA mtaFmer zgr TFEK

Zafer YILDIRIM

DEVLET KTAPLARI BRNC BASKI

............................., 2012

EDTRProf. Dr. Hseyin ALKAN

DL UZMANINuray YILMAZ

GRSEL TASARIM UZMANI Rabia DALGI EKC

PROGRAM GELTRME UZMANIAyen GLEN

LME-DEERLENDRME UZMANINuray SUNAR

REHBERLK UZMANISinem BLGN

MLL ETM BAKANLII.................................................................................................: 5718DERS KTAPLARI DZS...................................................................................................: 1543

12.?.Y.0002.4225

Her hakk sakldr ve Mill Eitim Bakanlna aittir. Kitabn metin, soru ve ekilleri ksmen de olsa hibir surette alnp yaymlanamaz.

Mill Eitim Bakanl, Talim ve Terbiye Kurulunun 08.12.2011 gn ve 214 sayl karar ile ders kitab olarak kabul edilmi, Destek Hizmetleri Genel Mdrlnn 19.03.2012 gn ve 3398

sayl yazs ile birinci defa 96.235 adet baslmtr.

ISBN 978-975-11-3625-1

7ORGANZASYON EMASI.....................................................................................................8

1. NTE DRTGENLER......................................................................................................9DRTGEN VE TEMEL ELEMANLARI...................................................................................10DRTGENLERDE AI.........................................................................................................15DRTGENLERDE EVRE VE ALAN HESAPLAMALARI......................................................21NTE SONU DEERLENDRME SORULARI...................................................................26

2. NTE ZEL DRTGENLER............................................................................................32YAMUK.................................................................................................................................33KZKENAR YAMUK...............................................................................................................35DK YAMUK............................................................................................................................37YAMUKTA UZUNLUK BAINTILARI.....................................................................................39YAMUKTA ALAN BAINTILARI............................................................................................44DRTGENSEL BLGENN AIRLIK MERKEZ...................................................................48PARALELKENAR.................................................................................................................53PARALELKENARDA ALAN BAINTILARI............................................................................60DKDRTGEN.....................................................................................................................69DKDRTGENDE ALAN BAINTILARI................................................................................74EKENAR DRTGEN..........................................................................................................77EKENAR DRTGENDE ALAN BAINTILARI.....................................................................81KARE...................................................................................................................................87KAREDE ALAN BAINTILARI..............................................................................................93DELTOD.............................................................................................................................98DELTODDE ALAN BAINTILARI.......................................................................................104DRTGENLERN SINIFLANDIRILMASI..............................................................................107NTE SONU DEERLENDRME SORULARI...................................................................112

3. NTE OKGENLER........................................................................................................128DZGN BEGEN..............................................................................................................129ALTIN ORAN........................................................................................................................131 DZGN BEGENDE ALAN BAINTILARI.........................................................................134DZGN ALTIGEN..............................................................................................................137 DZGN ALTIGENDE ALAN BAINTILARI........................................................................141DZGN OKGENLERLE DESEN OLUTURMA.............................................................144DZGN OKGENLERLE FRAKTAL OLUTURMA.........................................................146KAPLAMALAR.....................................................................................................................151NTE SONU DEERLENDRME SORULARI...................................................................157

4. NTE EMBER..............................................................................................................160EMBER, EMBERN TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLARI............................................161EMBERN VEKTREL,STANDART VE GENEL DENKLEM............................................166ORJN MERKEZL EMBERN PARAMETRK DENKLEM.................................................172M(a,b) MERKEZL EMBERN PARAMETRK DENKLEM...................................................174BR EMBER LE BR DORUNUN BRBRNE GRE KONUMLARI.................................178EMBERE BR NOKTASINDA ZLEN TEET................................................................185EMBERDE AILAR............................................................................................................192EMBERLERN BRBRNE GRE DURUMLARI................................................................201EMBERDE KUVVET..........................................................................................................206EMBERDE KR ZELLKLER.......................................................................................208TEETLER DRTGEN......................................................................................................214KRLER DRTGEN.........................................................................................................220EMBERN EVRE VE DARENN ALAN BAINTILARI....................................................225EMBERLERLE DESEN OLUTURMA...............................................................................230EMBERLERLE FRAKTAL OLUTURMA...........................................................................232NTE SONU DEERLENDRME SORULARI...................................................................236

5. NTE KONKLER.........................................................................................................244KONKLER.............................................................................................................245PARABOL..............................................................................................................250ELPS.........................................................................................................................255HPERBOL.....................................................................................................................262NTE SONU DEERLENDRME SORULARI...................................................................269NTE SONU DEERLENDRME SORULARI CEVAPLARI..............................................272

SZLK...........................................................................................................273KAYNAKA.......................................................................................................................275

NDEKLER

8ORGANZASYON EMASI

Kazanma ait kefettirici almalarn yapld blmdr.

n Etkinlikte sorgulama basama Etkinlikte karm

lenilere ait rneklerin verildii blmdr.

lenilere ait rneklerin zmlerinin verildii blmdr.

spatlanabilir hkmlerin ve nermedeki hkmlerin ispatland blmdr.

lenie ait pekitirme sorularnn yer ald blmdr.

rencilerin niteyle ilgili bilgilerinin lld sorularn yer ald blmdr.

ETKNLK

KEFEDELM

ALIMA SORULARI

NTE SONU DEERLENDRME SORULARI

Kazanmlara ait tanm ve bilgilerin verildii blmdr.

BL

G

RNEK

ZM

91. NTEDRTGENLER

NELER RENYORUZ?DRTGEN VE TEMEL ELEMANLARIDRTGENLERDE AIDRTGENLERDE EVRE VE ALAN HESAPLAMALARI

10

DRTGEN VE TEMEL ELEMANLARI

A

D C

B

M

K L

n Yandakiresimde,telrglerlesnrlanandrtgenbii-mindeki araziyi inceleyiniz.

n A,B,C,D,K,LveMnoktalarndakidireklerikeka-bulederekaraziyienfazlakatanedrtgenselblge-yeayrabileceinizitartnz.

nOluturduunuz drtgenlerin a, kenar ve kelerinisyleyiniz.

nTanmladnzdrtgenselblgelerkonkavolabilirmi?n Komu arazi satn alnarak arazinin DC boyunca tel

rgkaldrlyor.DABCbirdrtgentanmlarm?nTartmalarnznsonucundabirdrtgeninolumasiinneleringerekliolduunusyleyiniz. kidrtgeninaynyadafarklolduunakararvermekiinhangitemelzelliklerinebaklacan

tartnz.

ETKNLK

HerhangidorusalolmayanA,B,CveDnoktalarverilsin. [AB], [BC], [CD] ve [DA] doruparalarnnbirleimkmesininoluturduukapalekleABCD drtgeni denir.

B C

AD

Yanda verilen ABCD drtgeninde;[AB], [BC], [CD] ve [DA] na drtgeninkenarlar,A, B, C ve D ye drtgeninkeleri, DAB, ABC, BCD ve CDAlarnadrtgeninialar denir.A,kevekenar,drtgenintemelelemanlardr. Herbiriasnnls180odenkkolandrtgenedbkey(konveks) drtgen;herhangibiriasnnls180odenbykolan drtgene de ibkey(konkav)drtgendenir.Derskitabmzdadrtgenkavram,aksibelirtilmedikedbkey

drtgenolarakanlalr.

BL

G

DRTGENLER Yandakiresimdekandratailerlbirduvar grlmektedir. Duvarda kullanlandrtgenbiimindekitalarinceleyiniz.Siz-cebutalarnevreuzunluklarvealanlarhesaplanabilirmi?Talarnyzeyalanlarnbulmakiinhangibilgilereihtiyaduyuldu-unutartnz.

evrenizdekiyaplardavesanateserlerin-dekullanlandrtgenrnekleribulunuz.

11

RNEKAadakinoktalaralfabetiksrayagrebaladmznoktayadnecekekildebirletirdiimiz-

deoluanekillerinhangilerinindrtgenolabileceinibulalm.

C

CC

DD DA A

A

B B B

ekil1 ekil2ekil3ZM

C

CC

DD DA A

A

B B B

ekil1 ekil2ekil3

ekil1veekil2deenaznoktadorusalolmadiinizilenekillerdrtgenoluturur.Aksine ekil3teenaznoktadorusalolduuiindrtgenoluturmaz.

RNEK

A(-4,-2)

D(-3,5)

YF C(9,7)

X

B(6,-4)E

Yanda,analitikdzlemdekekoordinatlarverilenABCDdrt-geni grlmektedir.E,[AB]ninortanoktasF,[DC]ninortanoktasolmakzere EF nubulalm.

ZM

E(x1, y1),[AB]ninortanoktasveF(x2, y2),[DC]nnortanoktasolduundan;

x1= 4 + 6

2 = 2

2=1vex2=

3+92

= 62=3

y1 = 24

2 = 6

2 = -3vey2 =

5+72

= 122 =6bulunur.

E(1,-3)veF(3,6)iseEF ikinoktaarasndakiuzaklkbantsndan

EF = (x1 x2)2 + (y1 y2)2 = (13)2 + (36)2 = 4+81 = 85eldeedilir.RNEKKoordinatdzlemindeA(1,3),B(1,1),C(3,4)veD(2,3)noktalarnbirletirdiimizdeolu-

anABCDdrtgeninkenaruzunluklarnbulalm.Kegenleriniizipuzunluklarnhesaplayalm.kesininkoordinatlarA(1,3),C(3,4)veD(2,3)olankonkavbirdrtgenizelim

12

ZM

X

YC(3,4)

B(1,1)

D(2,3)

l

A(1,3)

l

l

l

ABCDdrtgenininkenarlar[AB],[BC],[CD]ve[DA]dr.Kenaruzunluklar;

AB = (1(1))2 + ((1)(3))2(ikinoktaarasndakiuzaklk)AB = 4 + 4=22 BC = (31)2 + (4 (1))2 = 4+25 = 29CD = (23)2 + (34)2 = 25+1 = 26

AD = (1(2))2 + (33)2 = 1+36 = 37olur.[AC]ve[BD],ABCDninkegenleridir.Kegenuzunluklar;

AC = (3(1))2 + (4 (3))2 = 16+49 = 65BD = (21)2 + (3(1))2 = 9+16 = 25=5olarakbulunur.

X

YC(3,4)

D(2,3)

A(1,3)

l

P(1,2)l

l

l

imdikelerininkoordinatlar;A(1,3),P(1,2),C(3,4)veD(2,3)olankonkavdrtgeniizelim.ekilde,A(1, 3), P(1, 2),C(3, 4) veD(2, 3) noktalarnnbirleimi,konkavbirdrtgendir.

AB

L

CFD

K

E

Birdrtgendekomuolmayanikikenarnortanoktalarnbirle-tirendoruparasnaortatabandenir.Yandakiekilde [KL] ve [EF], ABCDdrtgenininortatabanlardr.B

LG

RNEKKoordinatdzlemindex3=0,y+4=0,y+x3=0,yx3=0dorularnnsnrladokgenselblgeninortatabanlarnnkesitiklerinoktayhesaplayalm.

13

ZM

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

G

FH

E

Y x3=0

B(3,0)

D(7, 4)

A(0,3)

O X

y+x3=0 yx3=0

y+4=0C(3,4)

K(x, y)

Yukardakianalitikdzlemdex3=0,y+4=0,y+x3=0veyx3=0dorularizilerekbudorularnsnrladdrtgeninkekoordinatlarA(0,3),B(3,0),C(3,4),D(7,4)olarakbulu-nur.E,F,G,HsrasylaABCDdrtgenininkenarlarnnortanoktalarolmakzere;

E(0+32 , 3+02 ) = E(32 , 32)F(3+32 , 0+(4)2 )=F(3,2)G((7)+32 , (4) + (4)2 )=G(2,4)H((7)+02 , (4)+32 ) = H( 72 , 12)

(birdoruparasnnortanoktasnnbulunmas)

E(32 , 32)veG(2,4)noktalarndangeendorununeimi:

m = 4 32232

= 112 72

= 117 bulunur. (ikinoktasverilendorununeimi)

14

Budorunundenklemi:y (4)y(2)

= 117 7y11x+6=0dr.(I)

F(3,2)veH( 72 , 12)noktalarndangeendorununeimi:m =

12(2)

723 = 3

13 (kinoktasverilendorununeimi)

Budorunundenklemi:

y(2)x3

= 313

13y+3x+17=0dr.(II)

IveIIdekidorudenklemlerininortakzmnden;

3/7y11x+6=0 21y33x+18=011/13y+3x+17=0 143y+33x+187=0

164y=205 y = 205164

ve x = 4164 tr.

RNEK

E

FC

D A

B

14cm 8cm

SekinHanm,drtgenbiimindekikrkyamannortatabannbireritle sslemek istemektedir.AB = 8 cm veCD = 14 cmolduuna gre eridin uzunluunun alaca en byk tamsaydeerinihesaplayalm.

ZM

E

P F

C

D

A B

ABCDdrtgeninin[AC]kegeniniizelim.Pnoktas[AC]kegeni-ninortanoktasolsun.[EP]//[DC] (1.Talesteoremi)

EP = DC2

(A. A. Benzerlik teoremi)[PF]//[AB] (1.Talesteoremi)

PF = AB2

(A. A. Benzerlik teoremi)

EPF nde EF EP + PF (geneitsizlii)

EF DC2

+ AB2

Ohlde,EF 82

+ 142

EF 11olur.EFninalacaenbyktamsaydeeri11cmolur.

15

ALIMA SORULARI

1 Aadaki ifadelerde bo braklan yerlere en uygun szck veya szckleri yaznz. a) Birdrtgendekomuolmayanikikenarnortanoktalarnbirletirendoruparasna .............................. denir. b) Drtgenintemelelemanlar............................................................................................dr. c) Herbiriasnnls180denkkolandrtgen..................................................dir. d) Herhangibiriasnnls180denbykolandrtgene............................................ denir.

2 KelerininkoordinatlarA(4,2),B(6,3),C(4,6)veD(1,4)olanABCDdrtgeninin a)Kenarlarnnuzunluklarn b) Kegenlerininuzunluklarn c)Ortatabanlarnnuzunluklarnhesaplaynz.

3 KelerininkoordinatlarA(1,2),B(5,3),C(5,2)D(2,1)olandrtgeninorta tabanlarnnkesitiklerinoktaybulunuz.

4D

C

A

B

E

F

YandakiekildeABCDdrtgeninde[EF]ortatabannnmaksimumuzunluktaolmasiin[AB]ve[CD]arasndanaslbirilikiolmal-dr?

5 Koordinatdzlemindey=3,x=4,y=x2,2y+3x=6dorularnnsnrladdrtgenselbl-geninortatabanlarnnuzunluunuhesaplaynz.

DRTGENLERDE AI

D

C

B

A

Ali,yandakidrtgenbiimindekibirkdnia-larnn lleri toplamn bulmak istiyor.Ali, kd[DB]kegenindenkatlaypatndaikiayrgenoluuyor.gendeialarbilgisinikullanarakABCDdrtgenininialarnnlleritoplamnbuluyor.n Sizdebuyntemikullanarakbirdrtgeninia-

larnnlleritoplamnvedalarnnlleritoplamnbulunuz.

ETKNLK

16

B

C

D

A'A

B'

C'

D'

Birdrtgeninialarnnlleritoplam360dir.A+B+C+D=360Birdrtgenindalarnnlleritoplam360dir.A'+B'+C'+D'=360

BL

G

RNEK

x+30 o

2x+10o

3x30 o

y=?

x

D

CB

A Yandakiekildeverilenleregreyninkadereceolduunubulalm.

ZM 3x-30o+x+30o+2x+10o+x=360o (drtgeninialarnnlleritoplam)

x=50o dir.m(ADC)=3x-30o =3.50o -30o=120o y=180o - m(ADC)=180o -120o=60obulunur.

KEFEDELM

DC

Px

B

A

YandakiABCDdrtgenindekomuolanAveBalarnnaortaylarnn

kesimnoktasPolmakzere;

m(APB) = m(C) + m(D)

2dir.Kefedelim:

ekildekiABCDdrtgenindem(APB) = m(C) + m(D)

2 olduunuispatlayalm.m(APB)=xolsun.

APB nde, x + + =180o dir.

Buradan + =180o -xbulunur.

ABCD drtgeninde m(C) + m(D)+2+2 =360o dir.2+2=2(180o x)=360o 2xbalantsnkullanarak

m(C) + m(D)+360o 2x=360o yazabiliriz.Buradan,2x=m(C) + m(D) x = m(C) + m(D)

2olur.

17

KEFEDELM

DC

RP

x

B

A

YandakiABCDdrtgenindekomuolmayanAveCalarnnaor-

taylarnnkesimnoktasPolmakzere, m(CPR) = m(D) - m(B)

2

dir.Kefedelim:

ekildekiABCDdrtgeninde,m(CPR) = m(D) - m(B)

2olduunugsterelim.

m(CPR)=xolsun.Budurumdam(APC)=180oxolur.APCD drtgeninde;

1) + + m(D)+180ox=360odr.Buradan, + = x m(D)+180o dir. (I) 2)ABCDdrtgenindeialarnnlleritoplamndan,2+2 + m(B) + m(D)=360obulunur.

Buradaneitliinherikitarafn2ileblersek, + + m(B)2

+ m(D)2

= 180odir.Buradan,

+ =180o m(B)2

m(D)2

dir. (II)

(I) ve (II) den, x m(D)+180o=180o m(B)2

m(D)2

dir.

Ohlde,x=m(D) - m(B)

2 dir.

RNEK

D

CB

A

148o

EK

F

YandakiekildeABCDbirdrtgen,[DF]ve[BE]srasylaDveBa-larnnaortaydr.

m(DKB)=148o, m(C) > m(A) ve m(C) + m(A)=196oolduunagrem(A)nbulalm.

ZM

m(BKF)=180o - m (DKB)=180o - 148o=32o

m(BKF) = m(C) - m(A)

2=32o m(C) - m(A) = 64oolur.

m(C) + m(A)=196o ve m(C) - m(A) = 64oeitliklerindenm(A) = 66oolarakbulunur.

18

KEFEDELM

D

C

BK

A

HerhangibirABCDdrtgenindekegenlerbirbirinedikisekarlklkenarlarnkareleritoplambirbirineeittir.Kefedelim:

AB2 + CD2 = CB2 + AD2olduunuvektrelyaklamlaispatlayalm.VektrtoplamndanAK + KB = AB dir.Bueitlikteherikitarafnkaresinialrsak,(AK + KB)2 = (AB)2 dir.Buradanda,AK2 + KB2+2AK, KB AB2olur.

(AK KB)olduundanAK, KB=0olur.AK2 + KB2 = AB2 (I)

Ayndnceyle,

CK + KB = CB = CK2 + KB2 = CB2 (II)CK + KD = CD = CK2 + KD2 = CD2 (III)AK + KD = AD = AK2 + KD2 = AD2 (IV)

Buradan(I)ve(III)ntoplamnn(II)ve(IV)ntoplamnaeitolduugrlr.

Birbakadeyile,AB2 + CD2 = CB2 + AD2 dir.

RNEK

A

DC12

11

BE 7

8

Yandakiekilde,[CE] [DB], [AD] [AB], DC=12cm,BC=11cm,EB = 7 cm ve AD=8cmdir.AEnubulalm.

ZM

A

DC12

11

BE 7

8

[DE]nizelim.DEBCdrtgenikegenleridikkesiendrtgendir.

Bunagre,DE2+ BC2= EB2+ DC2 DE2+112=122+ 72 DE = 72cmdir.

ADEdikgeninde;

AD2+ AE2= DE2 (Pisagorbants)

82+ AE2= (72)2 AE = 8=22cmbulunur.

19

RNEK A

7

CHB

x L58

Yandakiekilde[AH] [BC] veriliyor. AB=8cm,AC = 7 cm ve BL =5cmolduunagreCL = x uzunluunubulalm.

ZM

A

7

CB

xL5

8

Lx5

BLCnin[BC]nagreyansmasnalalm.ABLCdrtgenindekegenlerdikkesitiinden82+ x2= 72+52 x2=10 x = 10cmolur.

RNEK

50cm

l

A

L

80cm

70cm

D

K

B

C

Yandakiresimdebilardotoplarvearalarndakiuzaklklarveril-mitir.Mavitop,yeilvesartopuntamortanoktasndaolduu-nagreturuncutoplamavitoparasndakiuzaklbulalm.

ZM

DC2+ AB2= AD2+ CB2 (AC DB)802+502=702+ AD2 AD = 4000=2010cm

DK = AK = LK = AD2

(DLAdikgenzellii)

LK = AD2

= 20102

=1010cmbulunur.

20

EBU'L VEF EL-BZCAN (10 Haziran 940 - 1 Temmuz 998) ranlmatematikiveastronomdur.7ve9kenarldzgnokgenlerin

yaklakizimlerinedairyenibirgeometrikyntemortayakoymutur.KsmenHintmodellerinedayalolarakortayakoyduugeometrikizimleri,geometribakmndannemtar.Ebu'lVefa'nnizimgeometrisineaitortayakoyduualmalarnadairbirfikirverebilmekiinayrprobleminirnekolarakbelirte-lim.Bunlar:

1)Pergelledaireiine,aklnbozmadankareizmek.2)Verilenbirdoruparasn,pergelyardmylaeitparalarablmek.3)Verilenbirkareiine,ekenarbirgenizmektir.

ALIMA SORULARI

1 Herhangidrtdoruparasnnbirdrtgenoluturabilmesi iinuzunluklararasndanaslbirilikiolmaldr?

2 Aadakiekillerzerindeverilenallerinegrexdeerinibulunuz. a)

80o

40o

x50oM

L

NS

G

K

b)

A B80o

x

D C

E100o

c)

70o

120o

x

N

K

O

ML S

N [KS, L [KG [DE],Dasnnve [KS,Kasnnve m(SNM)=80o [AE],Aasnnaortaydr. [ML],Masnnaortaydr. m(NML)=50o m(DCB)=100o m(KNM)=120o

m(MLG)=40o m(CBA)=80o m(KOM)=70o

m(NKL)=x=? m(DEA)=x=? m(SLM)=x=?3 AadakiekillerzerindeverilenuzunlukllerinegreELnubulunuz.

a)

E

A

D

L

C

5

B7 10

AD = 7 cm b) 3

KL

MN

2

D

E

6

EK=3cmAB = 10cm DM=2cmCB=5cm LM = 6 cmDL = LC [LK] [EM] [AC] [DB] EL =?EL =?

4 Yandaki ABCD drtgeninde [AC] [BD],

A

D

T

S

B

CN

BN = 4.NC, SD = 4.SA, [AC] [BD] = {T}, AC=10cmve BD=15cmolduunagreSNnunkacmolduunubulunuz.

21

5

D

C

B

MN

KL

A

YandakiABCDdrtgeninde[LD],[NA],[NB]ve[LC]srasylaD,A,BveCkelerinaortaylardr.BunagreK,L,M,veNnoktalarndanbirembergetiinigsteriniz.

6 merHayyam(.1131)nklidinbeincipostulatnispatlarkenkullanddrtgenleriaratr-nz.

DRTGENLERDE EVRE VE ALAN HESAPLAMALARI

Yandakikoordinatdzlemindebirinaatfirmasnninaedeceiyaamalannnkrokisigrlmektedir.YaamalanABCDdrtgen-selblgesinekurulacaktr.AynzamandaA,B,CveDnoktalarna apartmanlaryaplacak,komuikiapartmanarasnaherikisinedeeituzaklktaspormerkezleriinaedilecektir.Spormerkezleribir-letirilerekoluanblgeninalanimlendirilecektir.Bunagre;n YaamalannnevresindekametreduvarrleceiniA,B,

CveDnoktalarnnkoordinatlarnkullanarakbulunuz.n imlendirilecekblgeyiiziniz,bublgeninzelbirdrtgenolupolmayacantartnz.n [AC] ve [BD] kegenlerini iziniz.Kegenuzunluklar toplamn imlendirilecekblgenin

evresiyleilikilendiriniz. Yaamalanileimlendirilecekblgeninalanlararasndabantkurunuz.

ETKNLK

KEFEDELM

Aadabirdrtgeninkenarortanoktalarnkekabuledendrtgenselblgeninalannn,drt-gensel blgeninalannnyarsnaeitolduuispatlanmtr.Kefedelim:

D

A

B

C

N

LK

MA

C D

B

ekildeA(KLMN)=A(ABCD)

2olduunugsterelim. [DB]kegenini

izelim.

TemelOrantTeoreminden[NM]//[DB]ve(A.A)benzerlikteoreminden

CNM ~ CDBdir.kigenarasndakibenzerlikoran12olduundan

A(CNM) A(CDB)

= (12)2= 14A(CNM)=Aolarakalrsak,budurumdaA(DBMN)=3Aolur.

22

Aynekilde;

A(AKL) = B A(KLBD)=3B A(ABCD) = 4A + 4B[AC]kegeniizelim.Yukardakiilembasamaklarnuygularsak;

A(DKN) = C A(KACN)=3C,A(MBL) = D A(ALMC)=3Ddir.A(ABCD) = 4C + 4D = 4A + 4B A+B=C+Dolur.

O zaman; A(ABCD) = A + B + C + D + A(KLMN) = 4A + 4B A(ABCD) = A + B + A + B + A(KLMN) = 4A + 4B A(KLMN)=2A+2B

A(KLMN) = A(ABCD)2

bulunur.

RNEK

A

LM

NK

B

C

D

YandakiresimdeK,L,MveNnoktalarABCDdrtgenininortanok-talarolduunagrekrmzveyeilieklerinkapladklaralanlarkarlatralm.

ZM

D

A

KN

M

C

B

L

K,L,MveNnoktalarABCDdrtgenininortanoktalarolduundan A(KLMN) = A(ABCD)

2olur.

O hlde, krmz ve yeil ieklerin kapladklar alanlar birbirineeittir.

RNEK

DC

BA

YandakiresimdeAyenindrtgenbiimindekiantasgrlyor.Aye,A ile CveDileBkelerinibirletireneritlerikarpbueritlerleherbirkesiantannkenarlarzerindeolacakekildedrtgenbiimindebirmotifolu-turmak istiyor. Ayenin eritleri tam olarak kullanmas iin oluturacadrtgeninkelerinin,antannkenarlarnhangiorandablmesigerektii-nibulalm.

23

ZM

[AC]ve[BD]nizelim.

DACgeninde;DK = KA ve DN = NCalalm.Budurumda,KN = AC2

(DAC DKN)

BACgeninde;BL = LA ve BM = MCalalm.Budurumda,LM = AC2

(BAC BLM)

CDBgeninde;CM = MB ve CN = NDalalm.Budurumda,NM = DB2

(CDB CNM)

ABDgeninde;AL = LB ve AK = KDalalm.Budurumda, KL = DB2

(ABD ALK)

MK

L

ND

C

BA

(KLMN) = KN + LM + KL + NM = AC2

+ AC2

+ DB2

+ DB2

(KLMN) = AC + DB olur.

ABCDdrtgenininkegenuzunluklar toplamKLMNdrtgenininevresineeitolduundandrtgeninkeleriantannkenarlarneitorandablmelidir.

KEFEDELM

Aadabirdrtgenselblgeninalannn,kegenuzunluklarilekegenlerarasndakiannsinsnnarpmnnyarsnaeitolduuispatlanmtr.Kefedelim:

D

C

B

A

y

x

Ktz

[DB] [AC] = {K}, DK = z, KB = t, AK = x ve KC=yolsun.Drtgeninalan;

A(ABCD) = A(AKB) + A(CKB) + A(CKD) + A(DKA)dr.

A(CKB) = 12

.y.t.sin ve A(DKA) = 12

.z.x.sinolduunugeninalanba-ntsndanbiliyoruz.

sin(180o) = sinolduundanA(AKB) = 12.x.t.sin(180o) = 1

2.x.t.sin ve

A(CKD) = 12.z.y.sin(180o - ) = 1

2.z.y.sinolur.

Ohlde;A(ABCD)=A(CKB) + A(DKA) + A(AKB) + A(DKC) yerine

A(ABCD) = 12

.y.t.sin + 12

.z.x.sin + 12

.x.t.sin + 12

.z.y.sinyazlabilir.

A(ABCD) = 12

.y.(sin).(t + z) + 12

.x.(sin).(t + z) = 12

.(t + z).(x + y).sin = 12

.DB.AC.sinolur.

24

C

X

B

A

D Y

p q

YandakikoordinatdzlemindekiABCDdrtgeninalannbulmayaalalm.

n A(ABCD) = 2

p. q.sin olduunu biliyoruz. Bu

bantdaherikitarafnkaresinialnz.n sin2 ycos2 cinsindenyaznz.n pveqnniarpmnkullanarakyukardakiban-

tydzenleyiniz.n ABCDdrtgenininalannvektrelolarakyaznz.Birdrtgeninalankafarklyollahesaplanr?Tart-

nz.

ETKNLK

p

q

C

B

A

D A(ABCD) = p2.q2 p,q2

2 dir.

BL

G

RNEK

X

Y

O

A(-2,2)

B(-3,-3)

D(4,0)

C(6, -4)

Yandaki dzlemde verilenABCD drtgeninin alann ikiayryoldanhesaplayalm.

ZM

1.yol:(vektrelyaklam)

AC=(8,6)veBD=(7,3)tr.

AC = 82 + ( 6)2 =10veBD = 72+32 = 58bulunur.AC, BD=8.76.3=38dir.

Ohlde,A(ABCD)= AC2.BD2 AC, BD2 = 102.(58)2382 =33br2bulunur.

25

2.yol:(analitikyaklam)

mAC = -4 -26+2

= -68

= -34

ve mBD = 0+3

4+3 = 3

7 dir. (ikinoktasbilinendorununeimi)

ACveBDdorulararasndakianntanjant;

tan=mBD - mAC1+mBD.mAC

=

37 - (- 34 )

1+37 .(-34 )

=

3328

1928

= 3319

dur.Buradansin = 33558

dir.

A(ABCD) = 12

.AC.BD.sin = 12.10.58.

33

558=33br2bulunur.

ALIMA SORULARI

1 Birdikdrtgeninkenarlarnnortanoktalarbirletirilerekyenibirdrtgenoluturuluyor.Oluandrtgenedeaynilemuygulanyor.n.admdaoluandrtgeninalannbalangtakidrtgeninalanilekarlatrnz.

2 Aadaverilenleregredrtgenlerinalanlarnhesaplaynz.

a)

120

A

E B

C

D

c)

AC = 9 cmBD = 6 cmm(AEB)=120o iseA(ABCD)kacm2dir?

AD=8cmBC=10cmA(ABDC)=202cm2

m(BEA)nnlskadere-cedir?

K, L, M ve N orta nokta,A(AKN)=10cm2A(MLC) = 9 cm2 iseA(KLMN)kacm2dir?

b)

)

A

B C

D

E

D C

BA

8

12

64

E

AE=8cmEC = 6 cmDE = 4 cmEB=12cmEC, EBiseA(ABCD)kacm2dir? B

C

D

A

KL

MN

3 C

D

A

B

Y

X

Ahmet Bey yanda grlenABCD drtgeni biimin-dekitarlaysatakarmtr.AhmetBey,buaraziyisatmakiinnternettebirsitedesatilnverecektir.SizceAhmetBeybuilndaarazisininalannkam2 olarakbelirlemelidir?

26

4 C

D

A BE

Yandaki ABCD drtgeninde, AD AB,

AD = AB2

, CE=2EA ve AB=4iseA(ABCD)=?

5

D

A

B

C

K

M

L Yandaki ekildeK,LveMnoktalarbulunduklar kenarlarnortanoktalardr.

KL=(2,-1)veKM = (-5,4)tr.Bunagre,AC + BDkatr?

6

D

A

C

B

EK

F

YandakiABCDdrtgenindekegenlerinkesimnoktasK,AE = EC ve DF = FB dir.

EF = AB + CD2

olduunugsteriniz.

7

A

K

NM

L

B

C

D

ekildekoordinatlarA(-3,-1),B(3,-3),C(1,5)veD(-3,5)olandrtgenbiimindekihavuzgrnmektedir.a)Havuzunalannikifarklyollahesaplaynz.b)HavuzunkenarlarnnortasndabulunanK,L,MveNnokta-larbirletirilerekoluandrtgenselblgeyefayansdenecektir.Fayansdenecekalanhesaplayarakhavuzunalan ilekar-latrnz.c)[AC]ve[BD]kegenuzunluklartoplamnbularakKLMN

drtgenininevresiylekarlatrnz.

NTE SONU DEERLENDRME SORULARI

A) Aadaki ifadelerde bo braklan yerlere en uygun szck veya szckleri yaznz.

1) Kegenleridikkesienbirdrtgeninalankegenlerinin..............eittir.

2) Bir konveks drtgenin kenarlarnn orta noktalarn ke kabul eden konveks drtgen bir................oluturur.

3) Kegenleridikkesienbirdrtgendekarlklkenarlarnkareleritoplambirbirine............

4) Birkonveksdrtgendeardkikikedekialarnaortaylarnnkesimesiylemeydanage-lenalardanbiridierikikedekialarnllerinin........................ortalamasnaeittir.

5) Bir konveksdrtgendekarlkl iki keyeait aortaylarn kesimesiylemeydanagelendarannls........................................eittir.

27

B) Aadaki oktan semeli sorular yantlaynz.

1)

A B

CD

K

L

M

N

ABCDdrtgenindeK,L,MveNnoktalarbulunduklarkenar-larnortanoktalardr.[AC]ve[BD]kegen,(KLMN)=24cmiseAC + BDkacmdir?

A)12 B)16 C)18 D)20 E)24

2) C140

BA

D

EF

ekildeverilenABCDdrtgeninde[AE]ve[BE]aortaydr.

EB=2EF, m(C)=140isem(ADC)kaderecedir?

A)100 B)120 C)140 D)150 E)160

3) D(1,6)

C(5,3)

B(7, - 3)

A(- 5,2)

ekilde verilen ABCD drtgeninde, uzun kegenuzunluukabirimdir?

A)10 B)11 C) 311D)313 E) 12

4) D

E

C

BF

A

YandakiekildeverilenABCDdrtgenindem(AEB)=5x-18,m(DFC) = 4x + 9olduunagrem(AEB)kaderecedir?

A)87B)88C)91D)93E) 94

5) D4

C

B

OA

42

43

8

Yandaki ABCD drtgeninde, AD = 4 cm, AB = 42cm, BC=8cm,DC = 43isem(BOC)kaderecedir? A)120 B)100 C)90 D)75 E)60

28

6)

D

A BS

CN

TM

hsan,yandakiekildeverilenkeleriM,S,TveNolandrtgeneklindekiarazisinisatarakkeleriA,B,CveDolanyenibirarazisatnalyor.M,N,SveTsrasyla[AC],[DC],[AB]ve[DB]nnortanoktalardr.hsanncekiarazisininevresindekulland500mtelrgyyeniarazisinin[AD]ve[BC]kenarndakullanacanagrebukenarlariinkametretelrgyedahaihtiyacvardr?

A)500 B)400 C)200 D)100 E)0

7) D C

BA

E

YandakiekildeverilenABCDdrtgeninde,

A(ABE)=18cm2, A(BCE)=12cm2, A(CDE) = 4 cm2 ise A(ADE)kacm2dir?A) 4 B)5 C) 6 D)8 E) 9

8)

D(-4,5)

C(2,6)

B(8,4)A(-4,2)

YandakiekildekelerininkoordinatlarverilenABCDdrtgenininalankabr2dir?

A)54 B)48 C)30 D)27 E)24

9)

85o65oA

B

CF

E

D AD = BC, DF = FC, AE = EB,m(DAB)=85o, m(ABC)=65o ise m(FEB)kaderecedir?A)95B)100C)105D)110E)115

10) A

B

D

E

86

7

C

ekildeverilenABCDdrtgeninde[AE] [BC] dir.AB=8cm,AC = 7 cm, BD = 6 cm ise CD=xkacmdir?

A) 21 B)5 C) 51 D)8 E) 6

29

11)

AK

N

D C

L

B

M

ekildeverilenABCDdrtgenindeK,LveMorta

noktalardr.2.KN = NL dir. A(KMN)A(ABCD) orankatr?

A) 18

B) 19 C) 110

D) 111

E) 112

12)

24

25

8

5

CD

AB

60o

ekildeverilenABDCdrtgeninde,AB=25cm,DB=24cm,CD=8cm,AC=5cmiseA(ABCD)kacm2dir?

A)42+53 B)42+103 C)48+203 D)84+53 E)84+103

13)

A B

CF

E

D ekildeverilenABCDdrtgeninde[AC] [BD], 3.DE = 4.AE, 3.FB = 4.CF, BD=35cmve AC=14cmiseEFuzunluukacmdir? A)17 B)15 C)13 D)10 E) 9

14) D

C

BA K

L

M

X

YandakiekildeverilenABCDdrtgeninde,

K,LveMbulunduklarkenarlarnortanokta-lardr.m(KLM)=100,m(MCL)=60,

CL=2MC = AD ise m(ADC)=xkadere-cedir?

A)140B)148C)156D)160E)168

15)D

C

BA K

L

M

6 cm

5cm

N

ekildeverilenABCDdrtgenindeK,L,MveNortanokta-lardr.KL=5cm,ML = 6 cm, m(KLM)=60iseLNkacmdir?

A)213B) 61C) 91D)10E)12

30

16) D

C

B

A

E

F

K

YandakiekildeverilenABCDdrtgenindeEveFk-egenlerinortanoktalardr.m(A) = m(C)=90,

AE = EC=15cm,EF=8cmiseBDkacmdir? A)28B)30C)32D)34E)35

17)

D(1,8)

C(2,5)

B(3,0)

A(4,8)

O

Yandaki ekilde verilenABCD drtgeninde [AC]

ve[BD]kegenleriOnoktasndakesimektedir.

A(AOB)A(BDC)

orankatr?

A)1B) 32

C)2D) 52

E)3

18) AnalitikdzlemdeA(3,2)noktasalnyor.Anoktasnny=xdorusunagresimetrii

B,y=xdorusunagresimetriiCvexekseninegresimetriiDnoktasiseA(ABCD)ka

birimkaredir?

A)10B)15C)20D)25E)30

19)

A

B

C

D O75

4

6

YandakiekildeverilenABCDdrtgeninde

OC, OB=14iseA(ABCD)kabirimkaredir?

A)203B)243C)303D)36E)60

31

20) A(4,6)

EF

B(6,2)

C(8,4)D(6,8)

ABCDdrtgeninde,kenoktalarnnkoordinatlarA(4,6),B(6,2),C(8,-4),D(6,8)veAE = ED, BF = FCise EFkabirimdir?

A)8 B)62C)9 D)93 E)12

21)

A(6,4)

E K F

N B(8,6)

C(12,4)D(8,2)

ABCDdrtgenindekenoktalarnnkooordinarlarA(6,4), B(8,6), C(12,4), D(8,2) ve E, F, M ve N kenarlarnortanoktalariseKnoktasnnkoordinatlarnbulu-nuz.

A)K(1,2)B)K( 12,1)C) K( 3

2,1)D)K( 5

2, 12

) E)K(2,1)

22.

AO C

B

D

ABCDdrtgenindekegenvektrleriAC=(-3,4)BD=(1,2)olarakveriliyor.A(ABCD)kabirimkaredir?

A)32B)4 C)5D)52E)25

23.A

C

B

EF

D

ekildekiABCDdrtgenindeAF = FC, DE= EB AD=10cm,BC=18cmise EFninenkktamsaydeerikacmdir?

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

24. A

E F

B

CD

ABCD drtgeninde AE = ED, BF = FCAB=8cmveDC=14cmiseEFninenbyktamsaydeerikacmdir?

A)6 B)8 C)9 D)10E)11

32

2. NTEZEL DRTGENLER

NELER RENYORUZ?YAMUK, KZKENAR YAMUK, DK YAMUKDRTGENSEL BLGENN AIRLIK MERKEZPARALELKENAR DKDRTGENEKENAR DRTGENKAREDELTODDRTGENLERN SINIFLANDIRILMASI

33

YAMUK

ETKNLK

X

Y

CD

A BO

Yandaki resimde verilen ABCD yamuunu inceleyiniz.n [AB] ve [DC] nn eimlerini bulunuz ve karlatrnz.n Bu iki doru parasnn paralellii iin ne sylenebilir?n AB ve DC nu bulup karlatrnz.n AB nun ve DC nun eit olmas durumunda ABCD drt-

geninin hangi zel drtgene dneceini aratrnz. ABCD drtgenini yamuk yapan koullar tartnz.

D C

BA

D C

FE

BA

Yalnz iki kenar paralel olan drtgene yamuk denir. Paralel olan [AB] ve [DC] yamuun tabanlardr. [BC] ve [AD] yamuun ayaklardr.

m(DAB) + m(ADC) = 180o

m(ABC) + m(DCB) = 180o dir.

E ve F yamuun ayaklarnn orta noktalar olmak zere [EF] na yamuun orta taban denir.

BL

G

RNEK

A

B

CD

Y

XO

Yandaki koordinat dzleminde bulunan ABCD drtgeninin yamuk olup olmadn bulalm.

ZEL DRTGENLERYanda bir vitray resmi grlmektedir.Resmi inceleyiniz.Motif olarak hangi drtgenlerin kullanldn grnz.Yaplan dnmleri syleyiniz.Drtgenlerin kullanld sanat eserlerinden rnekler bulup zerinde tartnz.

34

ZM

A(8, 2), B(8, 6), C(3, 6) ve D(5, 8) dir.

mAB = 6 (2)8 (8)

= 6 + 216

= 416

= 14

, mDC = 6 8

3 (5) = 2

8 = 1

4 tr.

mAB = mDC olduundan ABCD bir yamuktur.

RNEKD C

8

BA 14

6

75

ekilde ABCD bir yamuk,AB=14 cm

BC=8 cm

CD=6 cmm(DAB) = 75 olduuna gre m(BCD) n bulalm.

ZM

D C

8

BA

6

75

8

150

30

6E

75

30

[DC] [AB] olduundanD kesinden ya da C kesinden yan kenarlara paralel izelim.[DE] [CB] olduundan;DEBC paralelkenar olur. Bu durumdaDE= CB = 8 cm

DC= EB = 6 cmAE= DE = 8 cm dir.AED ikizkenar gen olduu iin taban alar 75, tepe as 30 olur.m(AED) = 30 ise m(ABC)= 30 dir. (ynde alar)m(ABC)+ m(DCB) = 180 (Yamukta paralel kenarlar arasnda kalan komu iki a btnlerdir.)30 + = 180 =150 dir.

RNEK

X

YC

D

E

F

A

B

O

Yandaki koordinat dzleminde [AB] // [CD] olmak zere ABCD yamuunun orta taban uzunluunu hesaplayalm.

35

ZM

A(-4, -2), B(4, 4), C(2, 7) ve D(-2, 4) tr. Buna gre

E(x1, y1) = (4 22 , 2 + 42 ) = (-3, 1), F(x2, y2) = ( 4 + 22 , 4 + 72 ) = (3, 112 ) dir.EF = (x1 x2)2 + (y1 y2)2 = (3 3)2 + (1 112 )2 = 36 + 814 = 2254 = 152 dir.Ayrca, AB = (4 4)2 + (2 4)2 = 64 + 36 = 10,DC = (2 2)2 + (4 7)2 = 42 + 32 = 5 ve AB + DC2 =

10 + 52

= 152

olduu grlr.

Buradan EF = AB + DC

2 olduu grlr.

RNEK

A

B

F

E

D

C

Yandaki resimde yamuk eklindeki alana kurulu bir site arazisi-nin ku bak grnts verilmitir. E ve F bulunduklar kenarlarn orta noktalardr. Bu siteye kenarlar boyunca doal gaz borusu denmitir. [AB] ve [DC] iin toplam 180 m boru kullanldna gre [EF] boyunca denecek doal gaz borusunun uzunluu ka metre olmaldr?

ZM

[EF] orta taban olduundan EF = AB + DC

2 = 180

2 = 90 metredir.

KZKENAR YAMUK

ETKNLK

A B

CD

Y

O X

Yanda izilen ABCD yamuunu inceleyiniz.n Yamuun tabanlarn ve ayaklarn syleyiniz.n Yamuun ayaklarnn uzunluunu bulunuz ve birbirleriy-

le ilikilendiriniz.n Taban alarn karlatrnz.n [AC] ve [BD] kegenlerini iziniz. Uzunluklarn bulup

aralarndaki ilikiyi syleyiniz.n izilen bu yamuun daha nce incelediimiz yamuklar-

dan farkl olan yanlarn belirtiniz. kizkenar yamuun temel zelliklerini tartnz.

36

CD

A B

Paralel olmayan kenarlar eit uzunlukta olan yamua ikizkenar yamuk denir.

ABCD ikizkenar yamuunda, AD = BC, AC = BD, m(A) = m(B) ve m(C) = m(D) dir.

BL

G

RNEK

C

X

B

A

YYandaki koordinat dzleminde kesi verilen ABCD ikizkenar yamu-unun D kesinin koordinatlarn bulalm.

ZM

C

X

B

A D

YA(0, 0), B(2, 4), C(5, 4) tr. B ve A noktalarnn apsisleri arasndaki fark D ve C noktalarnn apsisleri arasndaki farka eit olacandan D nokta-snn apsisi 7 dir. D noktas x ekseni zerinde olacandan D noktasnn ordinat 0 dr. O hlde D(7, 0) dr.

KEFEDELM

Aada, bir yamuun orta tabannn kegenler arasnda kalan parasnn uzunluunun, taban uzunluklar farknn yarsna eit olduu ispatlanmtr. Kefedelim:

D c

a

C

N

BA

KL M

DCB nde MN, c ne paralel ve orta taban olduu iin MN = c2

dir.

CAB nde LN, a ne paralel ve orta taban olduu iin LN = a2

dir.

LM ve LN ayn dorultulu vektrler olduundan LM = LN - MN

yazlabilir.

Buradan LM = a - c2

bulunur.

LM, AB ve DC vektrleri birbirine paralel olduundan LM = AB - DC

2 olur.

37

RNEK

G

K

A B D

R

EF

L M O PN Bir iftliin etraf resimde grlen itlerle evrilmitir. ABFG ile EFBD zde yamuklardr. AB = 100 cm ve BD = 60 cm ise LM + OP nu bulalm.

ZM

BD = GF ve AB = FE (zde yamuklar)

ABFG drtgeninde LM = AB - GF

2 = 100 60

2 = 20 cm dir.

LM = OP = 20 cm olduundan LM + OP = 20 + 20 = 40 cm dir.

DK YAMUK

ETKNLK

CD

Y

X

A

O

B

Yandaki koordinat dzleminde ABCD dik yamuunu inceleyi-niz.

n A, B, C ve D ke koordinatlarn bulunuz.n Yamuun yksekliini bulup kenarlarla karlatrnz.n AB ve AD vektrlerini bulup AB, AD n hesaplaynz. Bulduunuz sonulardan yararlanarak dik yamuun temel

zelliklerini vektrel olarak belirleyiniz.

D

BA

C Yan kenarlarndan biri tabana dik olan yamua dik yamuk denir.Yandaki ABCD dik yamuunda;

m(A) = m(D) = 90o dir.ABCD dik yamuunun ykseklii h = AD dir.AB, AD = 0 dr.

BL

G

RNEKD(-10, 7)

B(x, 9)A(-5, 2)

C

Yandaki koordinat dzleminde verilen ABCD dik yamuunda B noktas-nn apsisini bulalm.

38

ZM

AD, AB = 0 (ABCD dik yamuk)AD = (10 (5), 7 2) = (5, 5)

AB = (x (5), 9 2) = (x + 5, 7) AD, AB = 5(x + 5) + 5.7

5x 25 + 35 = 0 x = 2 bulunur.

KEFEDELM D

BA

C

h

c

a

Aada, kegenleri dik kesien bir dik yamukta h2 = a.c olduu ispatlan-mtr. Kefedelim:

D

BA

C

h

c

a

Vektr toplamndan yararlanarak,DB = h + a ve CA = h - c dr.DB CA olduundan DB, CA = h + a, h c = 0 dr. arpm zelliini kullanarak,DB, CA = h, h h, c + a, h a, c = 0 bulunur.h c ve a h ise h, c = 0 ve a, h = 0 dr.O hlde denklem h, h a, c = 0 olur.Buradan h, h = a, c bulunur ve i arpm zelliini kullanarakh2 = a.c.cos0o dr. cos0o = 1 olduu iin h2 = a.c dir.

RNEK

D F C

BEA 4 cm

2 cm 9 cm

Yandaki ABCD dikdrtgeninde;

[EC] [FB], DF = 2 cm, FC = 9 cm ve EB = 4 cm dir.

ABCD dikdrtgeninin alann bulalm.

ZM

D F C

BEA 4 cm

2 cm 9 cm [EF] n izelim.

EBCF dik yamuunda, BC2 = EB.FC ([EC] [FB])BC2 = 4.9 = 36 cm2 BC = 6 cm

A(ABCD) = DC.BC = 11.6 = 66 cm2 olur.

39

YAMUKTA UZUNLUK BAINTILARI

ETKNLK

nHerhangi bir yamuk iziniz.nKegenlerin kesim noktasndan geen, tabanlara paralel olan ve ayaklar arasnda kalan do-

ru parasnn uzunluunu, taban uzunluklarn kullanarak hesaplamaya alnz.

KEFEDELMD C

L

BA

KT

a

c

Yandaki ABCD yamuunda [KL] // [AB] ve [AC] [BD] = {T} ise

KL = 2aca + c

dir. Kefedelim:

fadeler Gerekeler1) [DC] [TL] [AB] 1) Verilen

2) CTL ~ CAB ve BTL ~ BDC 2) 1 de [DC] [TL] [AB] alndndan

3) 1

TL =

1c

+ 1a 3) 2 de CTL ~ CAB ve BTL ~ BDC olduundan

4) TL = ac

a + c 4) lem zellii

5) TL = KT 5) [DC], (ADC ve BDC nin ortak kenar ve [KL] [DC] [AB]

6) KL = 2TL 6) Toplama zellii

7) KL = 2ac

a + c 7) 4 te TL =

aca + c

olduundan ve arpma zellii

RNEK

AP

BS C

L R K T D Resimdeki sundurmada; [AL] [PR] [BK] [ST] [CD], AL = 40 cm, BK = 30 cm ve DC = 10 cm dir.PR + TS nu bulalm.

ZM

ABKL yamuunda [AK] ve [BL] kegenleri [PR] zerinde kesitiinden;

PR = 2.AL.BK

AL + BK PR = 2. 40.30

40 + 30 =

2.40.3070

= 2407 cm dir.

Benzer yaklamla BCDK yamuunda TS = 2.30.10

30 + 10 =

60040

= 15 cm dir.

PR + TS = 2407 + 15 =

3457 cm dir.

40

KEFEDELM

C

BLA

K

O

D

Yandaki ABCD yamuunda [KL] [AB], [KL] = h, AB = a ve DC = c dir. OK = h.

ca + c

ve OL = h. aa + c

dir. Kefedelim:

OCD ~ OAB olduundan

OK

OL =

ca dr. Orant zelliinden;

OK

OK + OL =

ca + c

= OK

KL dur.

[KL] yerine h yazarsak OK = h.c

a + c olur. Benzer yaklamla OAB ~ OCD bantsn kullanarak

OL

OL + OK =

aa + c

= OL

KL dur. Buradan da OL = h.

aa + c

olarak bulunur.

RNEK

A B H

CD

O

Yandaki resimde yamuk biiminde bir sokak lambas grlmektedir.

[CH] [DC], [AC] [BD] = {O}, AB = 10 cm, DC = 20 cm veCH = 18 cm olduunu varsayarak A(DOC) n bulalm.

ZM

D K

18 cm

C

HBA

O

ABCD yamuunda [OK] n izelim.

OK = CH.DC

DC + AB = 18.

2020 + 10

= 12 cm

A(DOC) = DC.OK

2 =

20.122

= 120 cm2 olur.

RNEK

C

L

K B3 cm 3 cm

D

A

Yandaki ABCD dik yamuunda CL = LB, DC = 4 cm ve DA = AK = KB = 3 cm dir. DC, KL n bulalm.

41

ZM

C

L

K

K

B

T

3 cm 3 cm

D

A

D, C, T ve K, L, T dorusal olacak ekilde T noktas izelim.

[CA] n ve AKKD dikdrtgenini oluturalm.

ADC dik geninde AC = 5 cm (Pisagor bants)

KL = 52

cm (BLK ~ BCA)

TC = 3 cm (TLC ~ KLB)

ve KC = 1 cm olur.

TKK dik geninde; KK = AD = 3 cm, TK = 4 cm ve TK = 5 cm olur.

cos = TK

TK =

45

tir.

DC n K ve D noktalar akacak ekilde tarsak, KKD C

L

DC, KL = DC.KL.cos DC, KL = 4. 52

. 45

= 8 bulunur.

ALIMA SORULARI

1 Yandaki ekilde l1 l2 dir. Buna gre; A B l2

Pl1

a) kesi A, B ve P olan ka yamuk izilebilir?

b) x, l1 zerinde herhangi bir nokta olsun. xin l1 zerin-deki hangi seimleri iin ABPX yamuk oluturmaz?

2 Keleri A(-2, -5), B(4, -1), C(1, 4) ve D(-2, 2) olan drtgenin yamuk olduunu gsteriniz.

3 Kelerinin koordinatlar A(0, 0), B(4, 0), C(3, 4) ve D(0, 4) olan ABCD yamuunun kegenleri-nin uzunluklarnn toplamn bulunuz.

4 Kelerinin koordinatlar K(-1, 4), L(2, 4), M(6, -3) ve N(-5, -3) olan drtgeni analitik dzlemde iziniz. Oluan KLMN drtgeni iin ne sylenebilir?

5

5 Aadaki yamuklarda verilen bilgilere gre istenilen a llerini bulunuz.

b)

80FBA

H

D Cx

ABCD yamuk, DH = HA,AB = CB, ve m(CBF) = 80 ise m(DCH) = x ka derecedir?

D C

BA

3y+70 y+3x

x4y-30

ABCD yamuk; [AB] [DC],

m(D) = 3y + 70, m(C) = y + 3xve m(A) = 4y - 30 isem(ABC) = x ka derecedir?

a)

42

6 Aadaki yamuklarda verilen bilgilere gre istenilen uzunluklar bulunuz.

D C

BA

E

a)

ABCD yamuk; DE = EA, CB = 10 cm, [CE] [CB] ve AB + DC = 26 cm ise CE = ?

D C

5

13 BA

b)

ABCD yamuk m(C) = 2m(A),AD = 5 cm, AB = 13 cm ise (ABCD) = ?

c) D C

B

K LE

A

F

ABCD yamuk, [DC] [EF] [AB], 2ED = 3EA, DC = 5 cm ve AB = 15 cm ise KL ka cm dir?

7 D C

BA

OK L

ABCD yamuk, [AC] ve [BD] kegen, O kegenlerin kesim noktas ve K, O ve L noktalar dorusaldr.

[DC] // [KL] // [AB] ve DC = 4 cm, AB = 12 cm ise KL ka cm dir?

8

AB

z

y

x

N

L

F

CDE

K

M

Yandaki resimde Mardindeki bir manastrn yamuk eklindeki merdiveni grlmektedir.[DC] [EF] [KL] [MN] [AB],

CF = FL = LN = NB, EF = x cm, KL = y cm, MN = z cm, DC = 120 cm ve AB = 180 cm ise x + y + z ka cm dir?

9 Yandaki resimde Alanya Kalesi'nden bir blm grlmektedir. Kale kapsnn kemerini oluturan talarn neden yamuk biiminde oldu-unu aratrnz.

43

10 Kegenleri dik kesien bir ikizkenar yamukta ykseklik ile orta tabann uzunluunu karlatrnz.

11 D C

BA 7

4

3

4Yandaki ABCD yamuunda AB = 7 cm, BC = AD = 4 cm ve DC = 3 cm ise m(ADC) ka derecedir?

12 D C

BA

Yandaki resimde Glce dik yamuk biimindeki kaydraktaD den C ye yryp C den B ye kayyor. DC = 60 cm ve AB = 200 cm ise DC, CB = ?

13 D CK

BA

Yandaki ABCD yamuunda [AC] [BD] dr. AB ve DC nungeometrik ortalamas 12

5 br ise AC, AD = ?

14 D C

BEA

Yandaki ABCD yamuunda EB = CD ve AE = AD,m(ABC) = 50 ise m(BAD) ka derecedir?

15 D C

14

2

A B

E

ABCD dik yamuk, E [AD], AD = 12 cm, DC = 2 cm veAB = 14 cm ise

a) (EBC) yi en kk yapan E [AD] iin EAED

oran katr?

b) (EBC) nin en kk deeri katr?

16

A B

CD K

L

O

ABCD yamuunda [AB] // [DC], [KL] [AB] ve kegenlerinkesim noktas O dr. AB = 16 cm, DC = 8 cm, KL = 12 cm ise OK ve OL ka cm dir?

44

YAMUKTA ALAN BAINTILARI

ETKNLK

D C

B H

h

A

Yandaki resimde Beril, yamuk biimindeki antann grnen y-zn mavi ve yeil kumala kaplayacaktr.n O'na yardm iin [AC] n izip yamuu iki gensel blgeye

ayrnz.n Mavi ve yeil kumala kaplanacak iki gensel blgenin [AB]

ve [DC] tabanlarna ait yksekliklerini yamuun ykseklii ile karlatrnz.

n Taban ve ykseklikleri kullanarak mavi ve yeil kumala kap-lanacak olan gensel blgelerin alanlarn bulup yamuun alann elde ediniz.

Yamuun alann veren banty yazmaya alnz.

KEFEDELM

Bir yamuksal blgenin alan, yamuun alt taban ile st taban toplamnn ykseklii ile arpm-nn yarsna eittir. Kefedelim:

D C

BHA

h

Yandaki ABCD yamuunu [AC] kegeni ile iki gene ayralm. AB = a, DC = c ve CH = h alarak ABC ve ADC nin alanlarn he-saplayalm. A(ABC) = a.h

2 ve A(ADC) = c.h

2 olur.

A(ABCD) = A(ABC) + A(ADC) olduundan A(ABCD) = 12

.(a + c).h olarak bulunur.

RNEK

Yandaki resimde grlen yamuk biimindeki ksilofon bir tr vurmal al-gdr. AD = 8 cm, BC = 16 cm ve A noktasnn [BC] na olan dik uzakl 24 cm olduuna gre KLMN ve EFGH yamuklarnn alann hesaplaya-lm.

ZM

D

R S V

N

LK

M H

E F B

G C

T

16 c

m

A

8 cm

8 cm

3 cm

[DC] [AT] izelim. ATB ierisinde genlerin benzerli-inden yararlanarak, KN = 11 cm, ML = 12 cm,EH = 14 cm ve FG = 15 cm bulunur. BR = 24 cm ise KLMN ve EFGH yamuklarnn ykseklikleri 3er cm olur.

O hlde, A(KLMN) = ML + KN

2.3 = 69

2 cm2 ve

A(EFGH) = FG + EH

2.3 = 87

2 cm2 olur.

45

ETKNLK

C

BA

D

Bora, yandaki resimde grlen yelkenli maketini yap-mtr. ABCD yamuunun kegenlerini izerek oluan drt gensel blgeyi farkl renklere boyamtr.n Yamuk zerinde ykseklikleri ve tabanlar eit olan

genleri bulunuz.n Bu durumda hangi renkteki genlerin alanlar bir-

birine eit olur?n Sar ile mavi, yeil ile beyaz renkli genlerin alan-

lar arasndaki oranlar bulunuz.n Bu oranlarn bir orant oluturup oluturmayacan

aratrnz. Sizce Bora, sadece sar ve beyaz renkli genlerin alanlarn bilerek yamuun alann hesap-

layabilir mi? Tartnz.

KEFEDELM

D Cs4

s3

s2

s1

BA

K

Yandaki ABCD yamuunda A(AKD) = s1, A(AKB) = s2, A(BKC) = s3 ve A(CKD) = s4 olmak zere, 1) s1 = s3 = s2.s42) A(ABCD) = (s2 + s4)2 dir. Kefedelim:

1) ADB ve CAB nin tabanlar ve ykseklikleri eit olduundan alanlar eittir. Bu durumda,s1 + s2 = s2 + s3 bantsndan s1 = s3 kar.

[AK] ve [KC] tabanlar oranlarn kullanarak s1s4

= s2s3

kar. Buradan s1.s3 = s2.s4 tr.

(s1 = s3) bantsn kullanarak s12 = s2.s4, buradan da s1 = s3 = s2.s4 bulunur.

2) A(ABCD) = s1 + s2 + s3 + s4 olduundan A(ABCD) = 2s1 + s2 + s4 tr.

A(ABCD) = 2s2.s4 + s2 + s4 = (s2)2 + 2s2.s4 + (s4)2 = (s2 + s4)2 dir.O hlde, A(ABCD) = (s2 + s4)2 dir.

RNEK

D C

BA

EABCD yamuk, A(DEC) = 9 cm2, A(AEB) = 25 cm2 ise A(ABCD) ka cm2 dir?

46

ZM

D Cs2

s3

s4

s1

BA

E

Tabanlar ve ykseklikleri eit olduundan A(ADB) = A(ABC) dir.s1 + 25 = s3 + 25s1 = s3 olur.[AE] ve [EC] tabanlar orann kullanrsak

s19

= 25s3 s1.s3 = 9.25 s12 = 9.25 (s1 = s3)

s1 = 9.25 s1 = 15 cm2

A(ABCD) = s1 + s3 + 9 + 25 = 15 + 15 + 9 + 25 = 64 cm2 olur.

Ya da A(ABCD) = (s2 + s4)2 = (9 + 25)2 = 64 cm2 bulunur.

KEFEDELM

D C

BA K

N

M

L

K, L, M ve N noktalar ABCD yamuunun kenarlarnn orta nok-talar olmak zere,I) KLMN drtgeni paralelkenardr.

II) A(KLMN) = A(ABCD)2

dir. Kefedelim:

D C

BA K

N

M

E L

[AC] ve [BD] kegenlerini izelim.

DAC nde; DN = NA ve DM = MC [NM] [AC]BAC nde; BK = KA ve BL = LC [KL] [AC] [NM] [KL] CDB nde; MC = MD ve CL = LB [ML] [DB]ADB nde; AN = ND ve AK = KB [NK] [DB] [ML] [NK]

KLMN drtgeninde; [NM] [KL] ve [ML] [NK] KLMN bir paralelkenardr.Bir drtgenin kenarlarnn orta noktalarn birletiren doru paralarnn oluturduu drtgenin,

byk drtgenin alannn yarsna eit olduunu biliyoruz. Yamuk da zel bir drtgen olduu iin

A(KLMN) = A(ABCD)2

dir.

RNEK

Yandaki ekilde Meltemin tasarm dersinde zerinde alt resim grl-mektedir. Meltem, resimdeki mavi renkli e drt yamuun her birinin ke-narlarnn orta noktalarn birletirerek oluturduu yeni drtgenlerin iini pembeye boyamaya karar veriyor. Yamuklarn alanlar toplam 160 cm2 olduuna gre pembeye boyayaca alanlarn toplam ka cm2 dir?

47

ZM Orta noktalar birletirilerek oluturulan ve pembeye boyanacak alanlarn toplam, yamuun top-

lam alannn yarsna eittir. Buna gre pembeye boyanacak alan 1602

= 80 cm2 dir.

KEFEDELM

D C

BA

E Yandaki ABCD yamuksal blgesinde AE = ED ise

A(ECB) = A(ABCD)2

dir. Kefedelim:

D C

BA

E H1

H

FAB = a ve DC = c olmak zere [EF] orta tabann ve BH = 2h yksekliini izelim.

[EF] orta taban olduundan EF = AB + DC

2 = a + c

2 ve

BH1 = H1H = h olur.

A(ECB) = A(CEF) + A(EFB) =

a + c2

.h

2 +

a + c2

.h

2 = 1

2.(a + c).h dir.

A(ABCD) = a + c2

.2h olduundan A(ABCD)

A(ECB) =

a + c2

.2h

a + c2

.h = 2 olur.

Buradan, A(ECB) = A(ABCD)2

dir.

RNEK

D C

E

F

G

H

BA

R S T

K

L

M

Yandaki ABCD karesinde DR = CK, EK = KF ve ekilde verilen eit-liklerden yararlanarak karenin alannn taral alanlar toplamna orann

bulalm.

48

ZMD C

E

F

G

H

BA

R S T

K

L

M

[TK] [SL] [RM] [DB] izelim.

A(CTK) = S ise A(TSLK) = 3S, A(SRML) = 5S, A(RDBM) = 7S veA(CDB) = 16S dir. (CTK ~ CSL ~ CRM ~ CDB)TSLK, SRML ve RDBM yamuk olduundan CDB nde taral alanlartoplam: 3S

2 + 5S

2 + 7S

2 = 15S

2 dir.

ADB nde ayn uygulamay yaparsak ADB ndeki taral alanlar toplam da 15S2

olur.

O hlde, taral alanlar toplam: 15S2

+ 15S2

= 15S ve A(ABCD) = 16S + 16S = 32S olur.

A(ABCD)Taral Alanlar Toplam

= 32S15S

= 3215

dir.

DRTGENSEL BLGENN AIRLIK MERKEZETKNLK

A

D

C

B

Ke koordinatlar verilen 1. ekildeki ABCD drtgensel blgenin arlk merke-zini bulalm.

G1

A

D

C

B

G2

n [AC] n izerek drtgeni iki gene ayrnz. Bu iki genin arlk merkezle-rini G1 ve G2 diye adlandrnz.

n G1 ve G2 noktalarn bir doru ile birletiriniz.

G4A

D

C

B

G3

n imdi de [BD] n izerek ayn ilemleri yapnz, oluan iki genin arlk merkez-lerini G3 ve G4 diye adlandrnz.

G1

A

D

C

B

G2

G4G3

n Bu drtgensel blgenin arlk merkezinin [G1G2] ile [G3G4] nn kesim noktas olup olmadn tartnz.

49

G1

A

D

C

B

G2

G4G3

Bir drtgensel blge iin, bu drtgenin bir kegenini izerek oluturduumuz iki genin arlk merkezlerini birletiren doru paras ile ayn ekilde dier kegenini izerek oluturduumuz iki genin arlk merkezlerini birletiren doru parasnn kesim nok-tas, bu drtgensel blgenin arlk merkezidir.

BL

G

RNEK

Ke koordinatlar A(-1, 3), B(3, 3), C(5, -1) ve D(-2, -1) olan drtgensel blgenin arlk mer-kezini bulalm.

ZM1. zm:

X

Y

O

A(-1, 3)

D(2, 1) C(5, -1)

E

B(3, 3)

G1

G2

G3

G4

ABC nin arlk merkezi G1(x1, y1) ise

x1 = -1 + 3 + 5

3 = 7

3 y1 =

3 + 3 - 13

= 53

(genin arlk mer- kezi)

ADC nin arlk merkezi G2(x2, y2) ise x2 = -1 - 2 + 5

3 = 2

3

y2 = 3 - 1 - 1

3 = 1

3 (genin arlk merkezi)

G1G2 dorusunun denklemini yazalm.

mG1G2 = 53

- 13

73

- 23

=

4353

= 45

(iki noktas verilen dorunun eimi)

O hlde, G1G2 dorusunun denklemi G2( 23 , 13 ) olduundan,y - 1

3 = 4

5.(x - 23 ) 15y - 12x + 3 = 0 dr. (eimi ve bir noktas bilinen doru denklemi)

Ayn ekilde ABD nin arlk merkezi G3(x3, y3) ve BCD nin arlk merkezi G4(x4, y4) olmak zere,

x3 = -1 + 3 - 2

3 = 0 ve y3 =

3 + 3 - 13

= 53

,

x4 = 3 + 5 - 2

3 = 2 ve y4 =

3 - 1 - 13

= 13

tr.

mG3G4 = 53

- 13

0 - 2 =

43

-2 = -2

3 (iki noktas bilinen dorunun eimi bants)

50

G3G4 dorusunun denklemi G3(0, 53 ) olduundan,y - 5

3 = -2

3.(x - 0) 2x + 3y = 5 olur. (eimi ve bir noktas bilinen doru denklemi)

G1G2 ve G3G4 dorularnn kesim noktasn bulalm.

15y - 12x + 3 = 0 15y - 12x + 3 = 0 - 5/ 2x + 3y -5 = 0

-10x - 15y + 25 = 0

-22x + 28 = 0 x = 1411

olur.

Burada x = 1411

deerini 2x + 3y -5 = 0 denkleminde yerine yazarsak y = 911

bulunur.

O hlde, ABCD drtgensel blgesinin arlk merkezinin koordinatlar E(1411 , 911) olur.2. zm:

X

Y

O

A(-1, 3)

D(2, 1) C(5, -1)

B(3, 3)

G1

G2

1. zmde G1, ABC nin arlk merkezi, G2 de ADC nin arlk

merkezi olmak zere G1( 73 , 53 ) ve G2( 23 , 13 ) bulduk.[G1G2] nn arlk merkezi, bu doru parasn ADC ve ABC ninalanlaryla ters orantl olarak blen noktadr.

X

Y

O

A(-1, 3)

D(2, 1) C(5, -1)

H

A(ADC) n bulmak iin AC nu bulalm. ki nokta arasndaki uzaklk bantsndan,

AC = (-1 - 5)2 + (3 + 1)2

= 36 + 16 = 52 = 213 br bulunur.

AC dorusunun denklemini yazalm.

mAC = -1 - 3

5 - (-1) = -46

= -23

dir.

A(-1, 3) ise y - 3 x + 1

= -23

3y + 2x - 7 = 0 bulunur. (iki noktas verilen dorunun denklemi)

DH nu bulalm. D(-2, -1) ve dAC : 3y + 2x - 7 = 0 ise

DH = | 3.(-1) + 2.(-2) - 7 32 + 22 | = 14

13 br dir. (bir noktann bir doruya uzakl)

A(ADC) = AC.DH

2 = 14 br2 bulunur.

51

Ayn yntemle A(ABC) = 8 br2 dir.[G1G2] nn arlk merkezine G dersek bu nokta [G1G2] n, G1 ve G2 noktalarn ait olduklar genlerin

alanlaryla ters orantl olarak bler. A(ADC)

A(ABC) = 14

8 = 74 olur.

Buradan, G(1411 , 911) bulunur. G2( 23 , 13 )G1( 73 , 53 )

G4k

7k

PROJE Aada yazl nermeleri irdeleyiniz ve tartnz.a) Bir [AB] nn arlk merkezi bu [AB] nn orta noktasdr.b) Bir ABC nin arlk merkezi kenarlarnn orta noktalarn ke kabul eden genin i aortayla-

rnn kesim noktasdr.c) Bir ABC gensel blgesinin arlk merkezi kenarortaylarnn kesim noktasdr. Siz de bir konveks n gensel blgenin (begen, altgen, ...) arlk merkezinin nasl bulunabile-

ceini aratrnz.

ALIMA SORULARI

1 Aada verilenlere gre yamuklarn alanlarn hesaplaynz.

a)

DC = 11 cm, AB = 29 cm,AD = CB, [AD] [DB] ise A(ABCD) ka cm2 dir?

D 11

29

C

B A

a)

AD = 24 cm, FE = 20 cm,CE = EB ve [AD] [FE] iseA(ABCD) ka cm2 dir?

D

20

C

BA

F

E

)

[AB] [EF] [DC], A(EFCD) = 90 cm2,DC = 16 cm, EF = 20 cm

ve AB = 28 cm ise A(ABCD) ka cm2 dir?

A B

C16

20

28

FE

Dc)

DC = 9 cm, CB = 12 cm,AB = 13 cm ve m(ABC) = 30 ise A(ABCD) ka cm2 dir?

A B

C9

13

12

30

D

52

2

A

CD

K

B

Yandaki resim bugn Ankarada Roma Hamam olarak adlandrlan arkeolojik kazlarn yapld

platformdur. ABCD yamuunda, A(DKC) = 35 m2 ve A(AKB) = 140 m2 olduuna gre A(ABCD) ka m2 dir?

3 Aada yamuklar zerinde verilenlere gre sorulan oranlar bulunuz.

a)

DN = 2AN, CL = LBA(NAL)

A(ABCD) = ?

A B

N

D C

L

a)

3CE = EB, 2AB = 3DCA(ABCD)

A(KECD) = ?

K

BA

D CE

4

D

Y

X

C

B OA2x - y + 14 = 0

y = -4xYandaki koordinat dzleminde ABCD dik yamuk, OB = 1 br ise ekildeki bilgilere gre A(ABCD) ka br2 dir?

5 Kelerinin koordinatlar A(-4, -3), B(6, -1), C(3, 4) ve D(-2, 3) olan ABCD yamuunun alann bulunuz.

6 Alan 21 cm2 olan iki yamuk iziniz.

7 D C

BA

Bir ABCD yamuunda AC = 8 cm, BD = 15 cm ve AB + CD = 17 cm ise A(ABCD) ka cm2 dir?

53

8 D C

BA

Yandaki ABCD yamuunda,DC = 2 cm, AC = 5 cm ve BA = 8 cm dir. AC, BA = -24 ise A(ABCD) ka cm2 dir?

9 D C

BA 25

10

129ABCD bir yamuk, AB = 25, BC = 12 cm,

DC = 10 cm ve AD = 9 cm iseA(ABCD) ka cm2 dir?

10 Betl ve arkadalar Kaz Dalarnda adr kamp yapmakta-dr. Gndz sineklerden rahatsz olan Betl, adrnn ikizke-nar yamuk eklindeki n cephesine tl takmak istiyor. Yamu-un ikizkenarlar 130 cm, alt taban 190 cm ve st taban 90 cm dir. Buna gre yamuk eklindeki n cephe iin Betln ka cm2 lik tle ihtiyac vardr?

PARALELKENARETKNLK

Y

XO

C

B

D

A

n Yandaki koordinat dzleminde ABCD paralelkenarn inceleyi-niz.

n Karlkl kenarlar tayan dorularn eimlerini bulup kar-latrnz.

n Karlkl kenarlarn birbirine gre durumunu syleyiniz.n Tm kenar uzunluklarn bulup karlatrnz.n [AC] ve [BD] kegenlerini izerek orta noktalarn bulunuz.n Her iki kegenin orta noktalar iin ne sylenebilir?

Bir paralelkenarn temel zelliklerini syleyiniz.

D

O

C

BA

Karlkl kenarlar paralel olan drtgene paralelkenar denir. Yani [AB] // [DC] ve [AD] // [BC] ise ABCD paralelkenardr.B

LG

RNEK

Kelerin koordinatlar A(-1, 4), B(4, 5), C(8, 11) ve D(3, 10) olan ABCD drtgeninin paralelke-nar olduunu eimden yararlanarak bulalm.

54

ZM

mAB = 5 - 4

4 - (-1) = 15

} (iki noktas verilen bir dorunun eimi)mDC = 11 - 108 - 3 = 15 mAB = mDC [AB] // [DC] (paralel dorularn eimlerinin eitlii)

mAD = 10 - 4

3 - (-1) = 64 =

32

} (iki noktas verilen dorunun eimi)mBC = 11 - 58 - 4 = 64 = 3 2 mAD = mBC [AD] // [BC] (paralel dorularn eimlerinin eitlii)[AB] // [DC] ve [AD] // [BC] olduundan ABCD paralelkenardr.

KEFEDELM

Bir paralelkenarda karlkl kenarlarn uzunluklar eittir. Kefedelim:

A

D C

B

ABCD paralelkenarnda,[AB] // [DC] olduundan m(BAC) = m(ACD), [AD] // [BC] olduundan m(DAC) = m(ACB) dir. [AC], ADC ve BAC nin ortak kenar olduundan (A.K.A) eliin-den DAC BCA dir. O hlde, AB = CD ve AD = BC dir.

RNEKA

CB

A

CB

Yandaki resimde ayn firmann e iki gen peyniri g-rlyor. Bu iki gen birletirilerek bir drtgen elde edi-liyor. Bu drtgenin ne olduunu bulalm.

ZM

Eit uzunluktaki kenarlar birletirilerek ABCD drtgenini oluturalm.

ABD CDB olduundan ABCD bir paralelkenar olur.

KEFEDELM

Bir paralelkenarda kegenler birbirini ortalar. Kefedelim:

A B

CD

O ABCD paralelkenarnda, (A.K.A.) eliinden AOB COD dirBu elikten

.

AO = OC ve DO = OB bulunur. O hlde, para-lelkenarda kegenler birbirini ortalar.

55

RNEK

D

A

O

B

C Yandaki resimde paralelkenar biimindeki labirentin A ve C kelerinde iki fare bulunuyor. A kesindeki fare A dan balayp O noktasna, oradan da B ye ulayor. C noktasndaki fare C den balayp O noktasna, oradan da D ye ulayor. Hangi fare daha ok yol alm olur?

ZM

A kesindeki farenin ald yol, AO + OB ve C kesindeki farenin ald yol, CO + OD dur.AO = OC ve OB = OD dur. (O kegenlerin kesim noktasdr.)O hlde, A noktasndaki farenin ald yol ile C kesindeki farenin ald yol eittir.

KEFEDELM

Bir paralelkenarda komu alarn aortaylar birbirine diktir. Kefedelim:D

O

A B

C ABCD paralelkenarnda m(DAB) + m(ABC) = 180 dir.

OAB nde, m(DAB)

2+m(ABC)

2+ m(O) = 180

m(DAB)2

+m(ABC)2

= 90o olduundan 90 + m(O) = 180 dir.

Buradan, m(O) = 90 dir.

RNEK

A

D C

B

O

ABCD paralelkenarnda [OA] ve [OB] birer aortay, AO = (2, 3)ve OB = (-3, y) ise y yi bulunuz.

ZM

m(O) = 90 ([OA] ve [OB] aortay)OA, OB = 0 ([OA] [OB])

OA = (-2, -3) ve OB = (-3, y) olduundan,(-2).(-3) + (-3).y = 0 6 - 3y = 0 y = 2 bulunur.

56

KEFEDELM

Herhangi bir drtgenin kenar orta noktalar bir paralelkenarn keleridir. Kefedelim:

C

D

A

B

-t

-y

y

x

x

t

z

r

q

p

s

z fadeler Gerekeler

1) x, y, z, t 1) Verilen

2) t + z = s 2) Vektr toplamndan

3) y + x = q 3) Vektr toplamndan

4) z y = p 4) Vektr toplamndan

5) x t = r 5)Vektr toplamndan

6) s + p = r + q 6) Vektr toplamndan

7) t + z + z y = x t + y + x 7) 2, 3, 4 ve 5 te s = t + z, p = z y,

r = x t , q = y + x olduundan8) 2z + 2t = 2x + 2y 8) Toplama ilemi

9) z + t = x + y 9) Bir vektrn skalerle arpm

10) s = q 10) 2 ve 3 te t + z = s ve y + x = q olduundan11) z y = x t 11) 9 da z + t = x + y olduundan

12) p = r 12) 4 ve 5 te z y = p ve x t = r olduundan

13) KLMN bir paralelkenar 13) 10 ve 11 de s = q ve p = r olduundan

RNEK

AB

C

3 km

iskele

iskele

iskele

iskele

4 kmDE

F

G

K

Yandaki resimde drtgen biimindeki limanda,AB = BC, CD = DE, EF = FG ve GK = KA dur. B iskelesinden kalkan bir feribot 3 km giderek D iske-lesine, oradan da 4 km giderek F iskelesine varyor.

m(BDF) = 60 ise DK nu bulalm.

ZM

AB

60o120oC

3 km

iskele

iskele

iskele

iskele

4 km

4 km

D

EF

G

K

BK = 4 km ve m(KBD) = 120 (BDFK paralelkenar)

KD2 = BD2+ BK2 - 2BD.BK.cos120 (kosins teo.)

KD2 = 32 + 42 + 2.3.4. 12

= 25 + 12 = 37 km

KD = 37 km dir.

57

RNEK

A B

CD

E

MYandaki paralelkenarda

EB = 3AE, AC = (7, 5), BC = (2, 3) ise ME = ?

ZM

CB = BC = ( 2, 3)

AC + CB = AB (vektr toplam)

(7, 5) + (2, 3) = AB AB = (5, 2)4AE = AB (EB = 3AE)

AE = AB4

AE = 14 (5, 2) = ( 54 , 12 )DA = CB olduundan DA = (2, 3) olur.

DA + AE = DE (vektr toplam)

(2, 3) + ( 54 , 12 ) = ( 34 , 52 )DE = ( 34 , 52 )[AE] // [DC] olduundan (A. A. A.) benzerliinden AEM CDM olur.

AE = a alrsak AB = DC = 4a bulunur.

DC

AE =

DM

ME = 4 tr. (AEM CDM)

Buradan DE = 4 ME bulunur. ME = DE4 olduundan;

ME = 14 ( 34 , 52 ) = ( 316, 58 ) dir.

58

ALIMA SORULARI

1 Aadaki paralelkenarlarda verilenlere gre x ve y deerlerini bulunuz.

ABCD paralelkenar; m(ADC) = 6x+6o,m(DAB) = 3y+15o, m(DCB) = 5y-15o ve m(ABC) = 5x+25o

ABCD paralelkenar; AO = 3x-4,OC = 10+x, DO = 5y+8, OB = 3y+16

6x+6o

3y+15o 5x+25o

5y-15o

A B

CDa) b)

A B

CD

O

5y+8

3y+16

3x-4

10+x

ABCD paralelkenar; AD = 2x+10,DC = 2y+5, CB = x+15 ve AB = 4y-13

ABCD paralelkenar; AO = x+9,OC = y+12, DO = 2x-5 ve OB = 10-y

4y-13

2y+5

A B

CD

2x+1

0

x+15

A B

CD

Ox+9

y+12

2x-5

10-y

c) )

2

A BF

CD

E x

ABCD paralelkenar, m(CAB) = 18, CE = 2BC ve[DF] [AB] ise m(ABC) = x ka derecedir?

3

A

4 E

B

CD

x2

40

ABCD paralelkenar,

m(DBA) = 40, AD = 4 cm, EB = 2 cm ve [CE] [DB] ise

m(BAD) = x ka derecedir?

4 Aada kelerinin koordinatlar verilen drtgenlerin paralelkenar olduklarn parantez iinde verilen yntemlerle gsteriniz.a) A(0, 0), B(4, 0), C(2, 5) ve D(-2, 5) (iki nokta arasndaki uzaklk)

b) A(-5, -4), B(0, -2), C(2, 1) ve D(-3, -1) (ke koordinatlar aras iliki)

59

5 Selin kilim dokuma kursuna gitmektedir. Selin yandaki paralel-kenar eklindeki motifin her kenar zerine, da doru bir e-kenar gen motifi yapmak istiyor. Ekenar genlerin, para-lelkenarn zerinde olmayan kelerinin birletirilmesiyle oluan drtgenin paralelkenar olduunu gsteriniz.

6

PR

S

X

Y

Yandaki koordinat dzleminde keleri P, R ve S noktalar olan ka paralelkenar izilebilir?

7 D

A B

E

F

C

Yandaki ABCD paralelkenarnda DE = 3.EC ve FB = k.(EC + DA) ise k katr?

8 Aadaki ABCD paralelkenarlarnda verilen bilgilere gre x uzunluklarn bulunuz.

[EB] aortay, AB = 9 cm veBC = 5 cm ise DE = x ka cm dir?

BC = 10 cm, OB = 6 cm veCD = 14 cm ise BD = x ka cm dir?

a) b)E

x

CD

A 9 B

5

D

O

A B

C

6

14

10

9 D C

BA E

FK

L ABCD paralelkenarnda AE = EB, CF = FB ,

AC kegen vektr, AC = (9, 7) ve CB = (4, 6) ise KE = ?

60

10

D

EMT

C

BA

ekildeki, ABCD paralelkenarnn [AB] kenar zerinde,

4AE = 3EB olacak ekilde bir E noktas ve [AD] kenar zerinde 5AT = TD olacak ekilde bir T noktas alnsn.

[ET] [AC] = {M} ise AC = a.MC olacak ekilde a y bu-lunuz.

11

A B

CD

K

E

Yandaki ekilde verilen ABCD paralelkenarnda AE = EB dur.

Buna gre solda istenen vektrel ifadeleri sada verilen so-nularla eletiriniz

1) BC DC a) BC

2) BK + KE b) 32

KD

3) AD + CB c) DC2

4) KB + AD d) 2EK

5) BD 2EA e) O

f) KB

PARALELKENARDA ALAN BAINTILARI

ETKNLK

A L B

CE

F

KD

Yandaki resimde bir tahta zerinde eit aralkl ivilere bal iple evrilmi ABCD paralelkenarna paket lastikleri kullanarak aa-daki uygulamalar yapnz.nBir lastik yardmyla paralelkenar, alanca iki eit gensel bl-

geye ayrnz. Bu gensel blgelerin alanndan yaralanarak paralelkenarsal blgenin alannn nasl bulunacan tartnz.

nki lastik yardmyla paralelkenar alanca eit drt gensel blgeye ayrnz.

nBir lastii A ve K noktalarndaki ivilere, dier lastii B ve K ivi-lerine tutturduumuzda oluan AKB gensel blgenin alann paralelkenarn alanyla karlatrnz.

nLastiklerle KAL ni oluturunuz. KAL gensel blgesinin alann paralelkenar iinde oluan dier blgelerin alanyla karlatrnz.

nA kesinden birer lastii E ve F noktalarndaki ivilere tutturunuz. Oluan blgelerin alann paralelkenarsal blgenin alanyla karlatrnz.

61

D C

BA H

Yandaki ABCD paralelkenarsal blgenin alan;

A(ABCD) = AB.DH dr. BL

G

KEFEDELM

BA

CD F

E

Yandaki resimde paralelkenar biimindeki levhada BE = EC ve DF = FC dur. A(AECF) = 2A(DAF) = 2A(EAB) dir. Kefedelim:

fadeler Gerekeler

1) ABCD paralelkenar 1) Verilen

BA

CD F

E

2)E ve F orta noktalar olduundan 2) Verilen

3) A(DAF) = A(AFC) 3) Tabanlar ve ykseklikler eit

4) A(CAE) = A(EAB) 4) Tabanlar ve ykseklikler eit

5) A(CDA) = A(CAB) 5) Tabanlar ve ykseklikler eit

6) Toplama ilemi 6) A(CDA) = A(DAF) + A(AFC)

7) A(CAB) = A(CAE) + A(EAB) 7) Toplama ilemi

8) A(AECF) = A(AFC) + A(CAE) 8) Toplama ilemi

9) A(DAF) = A(AFC) = A(CAE) = A(EAB) 9) 3 te A(DAF) = A(AFC)

4 te A(CAE) = A(EAB)

5 te A(CDA) = A(CAB)

10) A(AECF) = 2A(DAF) = 2A(EAB) 10) 8 de A(AECF) = A(AFC) + A(CAE)

KEFEDELM

BA

CD F

E Yandaki resimde paralelkenarda BE = EC ve DF = FColur. 2A(FAE) = 3A(DAF) = 3A(EAB) = 6A(CFE) dir. Kefedelim:

62

BA

CD F

E

fadeler Gerekeler1) ABCD paralelkenar 1) Verilen

2) E ve F orta noktalar 2) Verilen

3) m(ABC) = 3) Verilen

4) DA = BC ve DC = AB 4) ABCD paralelkenar olduundan5) m(ADC) = , m(FCB) = 180o - 5) ABCD paralelkenar olduundan

6) A(DAF) = 12

.DA.DF.sin 6) genin alan formlnden

7) genin alan formlnden 7) A(EAB) = 12

.AB.EB.sin 8) A(CFE) = 1

2.FC.CE.sin (180o - ) 8) genin alan formlnden

9) A(CFE) = 12

.FC.CE.sin 9) sin(180o - ) = sin 10) A(ABCD) = AB.BC.sin 10) Paralelkenarn alanndan

11) A(DAF) = 2.A(CFE) 11) CE = DA

2 ve

FC = DF olduundan

12) A(EAB) = 2.A(CFE) 12) FC = AB

2 ve

CE = EB olduundan

13) A(ABCD) = 8.A(CFE) 13) FC = AB

2 ve

CE = BC2

olduundan

14) A(FAE) + A(DAF) + A(EAB) + A(CFE) = A(ABCD) 14) Toplama ilemi

15) A(FAE) = 3.A(CFE) 15) 11 de A(DAF) = 2.A(CFE)

12 de A(EAB) = 2.A(CFE)

13 te A(ABCD) = 8.A(CFE)

olduundan ve 14 teki eitlikten

16) 2A(FAE) = 3A(DAF) = 3A(EAB) = 6A(CFE) 16) A(DAF) = 2.A(CFE)

A(EAB) = 2.A(CFE)

A(ABCD) = 8.A(CFE)

A(F AE) = 3.A(C FE) olduundan

63

RNEK

D

A B

CF

E

Origami, kat katlama sanatna verilen addr.Yandaki re-simde Kaann origami tekniiyle yapt bir kedi maketi grlmektedir. Kaan bu maketin ABCD paralelkenar zerinde deiiklik yapyor.

ABCD paralelkenarn [AE], [AF] ve [FE] boyunca kese-rek kuyruk oluturuyor. DF = FC ve BE = EC dur. Kestii ktlarn alan 50 cm2 ise kuyruu oluturan kdn alan ka cm2 dir?

ZM

8.A(AFE) = 3.A(ABCD) (F ve E orta noktalar)

A(ADF) + A(ABE) + A(CFE) = 50 cm2

A(ADF) + A(ABE) + A(CFE) + A(AFE) = A(ABCD)

50 + A(AFE) = A(ABCD)

50 + A(AFE) = 83

.A(AFE) (8.A(AFE) = 3.A(ABCD))

50 = 5.A(AFE)

3 A(AFE) = 30 cm2 olur.

KEFEDELM

D C

B

P

EA

N

FL

Yandaki ABCD paralelkenarnda, [PE] // [BC], [PF] // [AB] ve [LF] [NE] [DB] = {P} dir. A(LAEP) = A(NPFC) dir. Kefedelim:

[AB] // [LF] // [DC] ve [AD] // [NE] // [CB] olduundan DLPN ve PEBF birer paralelkenardr. DLPN ve PEBF paralelkenar olduundan A(DLP) = A ise A(DNP) = A ve A(PEB) = B ise A(PBF) = B olur.

ABCD paralelkenarnda [DB] kegen olduundan

A(DAB) = A(DBC) A(DLP) + A(LAEP) + A(PEB) = A(DNP) + A(NPFC) + A(PBF) dir. A + A(LAEP) + B = A + A(NPFC) + BO hlde, A(LAEP) = A(NPFC) dir.

64

RNEK

D C

B

P

KA

G

FHYandaki ABCD paralelkenarnda A, P ve C dorusal noktalar,[GK] // [BC], [HF] // [AB] dr.A(GPC) = 12 m2, A(BFPK) = 30 m2 ve A(ABCD) = 154 m2 iseA(AHP) n bulalm.

ZM

A(BFPK) = A(HPGD) = 30m2 (A, P ve C dorusal [AC] kegen)

A(ADC) = A(AHP) + A(GPC) + A(HPGD) A(AHP) + 12 m2 + 30 m2 = 77 m2

A(AHP) = 35 m2 olur.

KEFEDELM

CD

A B

P P noktas ABCD paralelkenar iinde herhangi bir nokta olmak zere;

A(PAB) + A(PDC) = A(PBC) + A(PDA) dr. Kefedelim:

CD

A B

P

T H

K ABCD paralelkenarnda [PK] [DC], [PT] [AB], [CH] [AB], CH = ha ve AB = DC = a olmak zere A(ABCD) = a.ha olur. A(PAB) = a. PT

2 ve A(PDC) = a. PK

2 ise

A(PAB) + A(PDC) = a. PT2

+ a.PK2

= a2

.(PK + PT) olur.

O hlde, A(PAB) + A(PDC) = a2

(PK + PT) = a.h 2

olur.

A(ABCD) = a.h ise A(PAB) + A(PDC) = a.h2

= A(ABCD)2

dir.

A(PAB) + A(PDC) + A(PBC) + A(PDA) = A(ABCD) olduundan A(ABCD)

2 + A(PBC) + A(PDA) = A(ABCD) ve buradan da

A(PBC) + A(PDA) = A(ABCD)2

= A(PAB) + A(PDC) dr.

O hlde, A(PBC) + A(PDA) = A(PAB) + A(PDC) dr.

65

RNEK

C

A

P

P

B

D P

Ahmet yandaki paralelkenar biimindeki zarf P kesinden [DC]

ve [AB] kenar zerine ayor.

A(PDC) + A(PAB) = 24 cm2 ise A(ABCD) nin ka cm2 olduunu bulalm.

ZM

A(PDC) = A(PDC) ((PDC) (PDC))A(PDC) + A(PAB) = 24 cm2 olur. A(ABCD) = 48 cm2 dir.

ETKNLK

A B

CDH

O

G

FE

Y

X

n Yandaki koordinat dzleminde, ABCD ve EFGH paralelkenarlarnn kelerinin koordinatlarn bulunuz.

n Bu iki paralelkenarn elii iin ne sylenebilir?n Bu iki paralelkenarsal blgenin alanlarn ince-

leyerek karlatrnz. Bu iki paralelkenar arasnda bir dnmden

bahsedilebilir mi? Tartnz. ABCD paralelke-narsal blgesinin alann bulmaya alnz.

n AB ve AD n bulunuz.n ABD ni izip ABD nin trigonometrik alan bantsn yaznz.n Bu bantnn karesini alp sin y cos cinsinden yaznz.nAB ve AD nn i arpmn kullanarak genin alan bantsn dzenleyiniz.

nABD ile ABCD paralelkenarnn alanlarn karlatrnz. ABCD paralelkenarnn alann ABD nin alanndan yararlanarak vektrel olarak ifade ediniz.

D

A B

CYandaki ABCD paralelkenarsal blgenin alan;

A(ABCD) = AB2.AD2 AB, AD2 = AB.AD.sin dr.

BL

G

RNEKKelerin koordinatlar A(-2, -6), B(1, -1), C(-3, 4) ve D(-6, -1) olan ABCD paralelkenarsal

blgesinin alann bulalm.

66

ZM

AB = (1 + 2)2 + (1 + 6)2 = 32 + 52 = 34

AD = (6 + 2)2 + (1 + 6)2 = (4)2 + 52 = 41AB = (1 + 2, -1 + 6) = (3, 5)AD = (-6 + 2, -1 + 6) = (-4, 5) } AB, AD = 3.(-4) + 5.5 = -12 + 25 = 13A(ABCD) = AB2.AD2 AB, AD2 = (34)2.(41)2 - 132 = 1394 169 = 1225 = 35 br2 dir.

RNEK

Kelerinin koordinatlar A(-1, 2), B(5, 5), C(2, 6) ve D(-4, 3) olan ABCD paralelkenarn M(7, 3) merkezli ve k = -2 oranl homotetii olan ABCD paralelkenarnn alann bulalm.

ZM

AB = 62 + 32 = 45, AD = 32 + 12 = 10 dur. AB = (5 + 1, 5 2) = (6, 3) ve AD = (-4 + 1, 3 - 2) = (-3, 1)

O hlde, A(ABCD) = AB2.AD2 AB, AD2

A(ABCD) = 452 . 102 AB, AD2 = 45.10-(-15)2

= 450-225 = 225 =15 br2 dir.

A(ABCD) = (2)2.A(ABCD) A(ABCD) = 4.15 = 60 br2 dir. (k = -2)

ALIMA SORULARI

1 Aada verilen paralelkenarlarda istenen alanlar bulunuz. a) D T

A B

CA(ATB) = 16 cm2ise A(ABCD) ka cm2 dir?

b)

HA B

C

O

DDC = 12 cmOH = 4 cmise A(ABCD) ka cm2 dir?

12

4

D

A B

K

L

C DK = KC CL = LBA(ALCK) = 24 cm2

ise A(ABCD) ka cm2 dir?

D

A B

K

L

C DK = KC CL = LB A(AKL) = 9 cm2ise A(ABCD) ka cm2 dir?

c) )

67

d) D P

K L

R S T

A B

C

M

[AB] kenar 4, [DC] kenar 5 eit paraya blnmtr. A(KMTS) = 42 cm2 ise A(ABCD) = ?

e) AL = LB

A(LPB) = 5 cm2 ise A(ABCD) ka cm2 dir?

C

BA

D

P

L

f) C

B

D

LP

MA

T

K

P [AC][KL] // [AB] A(KAP) = 4 cm2

[TM] // [BC] A(TPC) = 6 cm2

[KL] [TM] = {P}, A(ABCD) = 50 cm2 ise A(MBLP) ka cm2 dir?

g)

P noktas ABCD paralelkenarnn iinde herhangi bir noktadadr.

A(PAD) = 6 cm2 ve A(PBC) = 10 cm2 ise A(ABCD) ka cm2 dir?

D

P

A B

C

2 C

B (4, n ) A (-2, m)dDH: x - 2y + 1 = 0

D(1, 1)

HdAB: 2x + y + 4 = 0

ABCD paralelkenarnda,

A(-2, m), B(4, n), D(1, 1),dDH: x - 2y + 1 = 0 ve dAB: 2x + y + 4 = 0 iseA(ABCD) deeri ka birim karedir?

3 C

F

BA

D

E

ABCD paralelkenarnda BF = FC, EB = 3AE veA(DEF) = 28 cm2 ise A(ABCD) ka cm2 dir?

4 C

BA

EH

F

D

G

S S

ABCD paralelkenarnda AG = GB, BH = HC dur. A(EGBHF) = 20 cm2 ise A(ABCD) ka cm2 dir?

68

5

C

BA

E

F

8

D1617

17

ABCD paralelkenarnda [AE] ve [BE] aortay,

[EF] [DC], EF = 1617

cm, EB = 8 cm,

AB = 17 cm,

A(ABCD) ka cm2 dir?

6 C

BA60o

D ABCD paralelkenarnda m(BAD) = 60o ve AB, AD = 183 br ise A(ABCD) deerini bulunuz.

7

A

BC

D

ekilde ABCD paralelkenarnn kenarlar zerine yerletirilmi ka-relerin alanlar toplam 1000 cm2 dir.Paralelkenarn alan 1003 cm2 ve m(DAB) = 60 olduuna gre paralelkenarn evresini bulunuz.

8 C (9, 6)

B (2, -2) A (-4, -3)

D

ABCD paralelkenarnda A (-4, -3), B (2, -2), C(9, 6)verilmitir. Buna gre A(ABCD) deerini bulunuz.

9

B

C

A

D

K

L

ABCD paralelkenarnda K [AD] ve L [DC] olmak zere sar alanlarn toplamnn krmz alanlar toplamna eit oldu-unu gsteriniz.

69

DKDRTGEN

ETKNLK

X

Y

B

C

D

AO

evrenizde grdnz pencereleri ve snfnz-daki yaz tahtasn inceleyiniz. Her birinin zel bir drtgen olduunu grnz.

Yanda koordinat dzlemindeki ABCD drtgenini in-celeyiniz.n Kenarlar tayan dorularn eimlerini bulup

karlatrnz.n Bu drtgenin temel zelliklerini tartnz.n Komu iki kenara ait doru paralarnn eim-

lerinden yaralanarak iki kenar arasnda oluan ay hesaplaynz.

n [AC] ve [BD] kegenlerinin uzunluklarn hesaplayarak karlatrnz. Bu drtgen hangi tr bir paralelkenardr? Dikdrtgen ve paralelkenarn benzer ve farkl zelliklerini karlatrnz.

CD

A B

OYandaki ABCD dikdrtgeninde [DB] [AC] = {O} olmak zere,

1) m(A) = m(B) = m(C) = m(D) = 90

2) AC = BD, AO = OC ve OB = OD dur.BL

G

RNEK

BAE

D C32o ABCD dikdrtgeninde BD = AE ve m(BDC) = 32 ise

m(AEC) n bulalm.

ZM

BA

O

E

D C32o

[AC] kegenini izelim.AE = AC (BD = AC)m(DBA) = 32 ([AB] // [DC])

AO = OB = OC = OD (AC = BD) m(CAB) = 32

EAC nde; m(AEC) = m(ACE) (EAC ikizkenar gen)

m(AEC) = 32 2

= 16 bulunur.

70

RNEKNamk Bey, drtgen biimindeki arazisinde bir takm lmler yaparak aadaki sonulara ula-

mtr:

1. Drtgenin karlkl kenar uzunluklar,

2. Drtgenin kegenlerinin uzunluklar birbirine eittir.

Buna gre drtgenin her bir i asnn lsnn 90 olduunu gsterelim.

ZMBir drtgenin karlkl kenarlar birbirine eit olduu iin bir paralelkenar; kegen uzunluklar birbi-rine eit olduu iin bir dikdrtgen olduunu syleyebiliriz. Bu durumda drtgenin her bir i asnn ls 90 dir.

RNEK kesinin koordinatlar (5, -3), (4, 6) ve (x, 1) olan dikdrtgenin dier ke koordinatlarn

bulalm.

ZM

A(5, -3), C(4, 6) ve D(x, 1) olsun. DA, DC = 0 dr. DA = (5 - x, -4) ve DC = (4 -x, 5)(5 - x).(4 - x) + (-4).5 = 0 20 - 4x - 5x + x2 - 20 = 0 x2 = 9x x = 0 veya x = 9 bulunur. O hlde, D(0, 1) veya D(9, 1) olur.

RNEKD

E

C

BA

Yanda E noktas ABCD dikdrtgeninin iinde bir nokta olmak zere,AE = 9 cm, EC = 4 cm ve EB = 8 cm ise DE nu bulalm.

ZM

D

K

N

E

C

B

M

A L

t

t

xxz

z

yy

[EK] [DA], [EM] [BC], [EN] [DC] ve [EL] [AB] izelim.KD = x EM = NC = x (KMCD ve KEND dikdrtgen)AK = y LE = BN = y (ABMK dikdrtgen),AL = z EK = ND = z (ALND ve ALEK dikdrtgen)LB = t ME = CN = t (LBME ve LBCN dikdrtgen)

ALE dik geninde: AL2 + LE2 = AE2 AE2 = y2+ z 2

ELB dik geninde: LB2 + LE2 = EB2 EB2 = y2 + t2

ENC dik geninde: EN2 + NC2 = EC2 EC2 = x2+ t2

EKD dik geninde: KE2 + KD2 = ED2 ED2 = x2 + z2

AE2 + EC2 = EB2 + ED2 olur.

Buradan; 92 + 42 = 82 + ED2 81 + 16 = 64 + ED2 ED = 33 cm bulunur.

71

RNEK

D C

BA

E

Yandaki ABCD dikdrtgeninde E, dikdrtgenin i blgesinde bir nokta olmak zere;AE, EC = 37 ise DE, EB n bulalm.

ZM

D C

BA

E

AE + EC = AC

DE + EB = DB dr.

(AE + EC)2 = AC2

(DE + EB)2 = DB2

(AE + EC)2 = (DE + EB)2 (AC = DB)

AE2 + 2AE, EC + EC2 = DE2 + 2DE, EB + EB2

2AE, EC = 2DE, EB (AE2 + EC2 = DE2 + EB2)

AE, EC = DE, EB DE, EB = 37 olur.

RNEKBir karnca boyu 6 m, eni 41 m boyutlarnda olan bir dikdrtgen iinde, kenarlarla 45o lik alar

yapan doru paralar zerinde ilerlemekte ve sadece kenarlara ulatnda yn deitirmektedir. Karnca, ksa kenarlardan biri zerindeki bir noktadan yrmeye balyor ve ilk olarak kar kenarn orta noktasna ulayor. Bu durumda karncann harekete balad noktann, dikdrtgenin en yakn kesine olan uzakln bulalm.

ZM

6 m ZHRA

Kx

x

D V

BS

T

45o

6 m

45o

6 m

45o 45o 45o 45oC

45o 45o 3

m3

m

3 m

Karnca K kesinden balayp T noktasna varmaktadr.

TB = TC = 3 m (T orta noktas)TB = SB = 3 m (SBT ikizkenar dik gen)BC = VH = 6 m (HBCV dikdrtgen)VH = RH = HZ = 6 m (VRZ ikizkenar dik gen)RZ = RH + HZ = 6 m + 6 m = 12 mKarnca R den Z ye kadar 12k (k Z+) yol gitmitir.

SB = 3 m, RZ = 12k ve AR = x olmak zere, AB = 12k + 3 + x = 41 m 12k + x = 38 m

72

12 nin 38 e en yakn kat olan 36 alrsak:

12.3 + x = 38 m x = 2 m olur. DK = 4 m olur. (KAR, ikizkenar dikgen)AR = AK = x = 2 m ve KD = 4 m olur. O hlde, karncann en yakn keye uzakl 2 m dir.

ALIMA SORULARI

1 Aadaki ABCD dikdrtgeninde verilenlerden yararlanarak istenenleri bulunuz.a)

A B

C D

E

b)

A B

C D

E

m(CAB) = (3x - 14)o EA = 5x - 1

m(DCA) = (4x - 32)o CA = 7x + 13 m(DBA) ka derecedir? DB nu bulunuz.

c)

A B

C D

E

DB = AE, E, A ve B dorusal ve m(DBE) = 4x + 10 ise m(BEC) n x cinsinden bulunuz.

2 Aada kelerinin koordinatlar verilen drtgenlerden hangileri dikdrtgendir? a) V(-4, -3), Y(-5, 8), Z(6, 9), T(7, -2) b) A(-2, -5), B(4, -2), C(2, 2), D(-4, -1) c) P(-4, -1), R(5, -1), S(2, 3), T(-3, 3) ) K(1, 4), E(7, 5), F(4, -1), G(-2, -2)

3

B

X

A

Y

[AB] bir dikdrtgenin bir kenar olsun. Dier kenarlarndan biri-ni tayan ve B kesinden geen doruyu iziniz.

4 Hipotensleri e iki dik gen, hipotensleri akacak ekilde birletirildiinde her zaman bir dikdrtgen oluur mu? Neden?

5 Bir dikdrtgenin kenarlarnn orta noktalarn birletirdiimizde hangi drtgen oluur?

73

6 Aadaki dikdrtgenlerde verilen bilgilerlerden yararlanarak istenenleri bulunuz.

a)

BA

D E5 x

4

C b)

B

C D

A

4

N x

L 2

c)

B

C D

A T

15

8K x E

DE = 5 cm AN = 4 cm DK = KA CB = 4 cm LB = 2 cm BC = 8 cm [AE] [EB] NL = x ka cm dir? AB = 15 cm

EC = x ka cm dir? ET = x ka cm dir?

7

AM N

F

G H

JK

20 cm

39 cm

18cm

9cm

4cm

8 cm

14cm

C

E

D

L

6cm

{

{

ekildeki bilgisayar oyununda A noktasndan yola -kan karakter ka cm yol alarak M noktasna ular?

8

l

CD

A

BP

Resimde grlen Betln trambolini dikdrtgen eklindedir. Bu ABCD dikdrtgeninin ierisinde Betln zplad her-hangi bir P noktas iin PA = 6