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Prof. Jorge
Ângulos no triângulo
Prof. Jorge
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante eigual a 180º.
A
C
B
r
A + B + C = 180º
+ C + = 180º
= A e = B
⇒
r // AB
Prof. Jorge
Medida do ângulo externo
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjacentes.
A
C
B
+ C = 180º
A + B + C = 180º
( I )
( II )
⇒
+ C = A + B + C
⇒
= A + B
Prof. Jorge
Medida do ângulo externo
Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dosdois ângulos internos não-adjacentes.
f
A
C
B
e = A + B
g
e
f = A + C
g = B + C
Prof. Jorge
Exemplo
Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD.
Calcular a medida x do ângulo indicado.
B
A
D
76º 115º
C
x
y y76 + y = 115 y = 39º⇒
115 + y = x
115 + 39 = x
x = 154º⇒
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Congruência de triângulos
Prof. Jorge
Triângulos congruentes
Dois triângulos são congruentes, se e somente se, tiveremos lados dois a dois iguais e, também, ângulos internos doisa dois iguais.
AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’
A = A’ ; B = B’ e C = C’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
Prof. Jorge
Critérios de congruência
Existem alguns critérios mínimos que garantem acongruência de dois triângulos. São os casos decongruência.
Prof. Jorge
Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)
Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes doislados e o ângulo compreendido, então eles sãocongruentes.
L → AB = A’B’
A → A = A’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
L → AC = A’C’
Prof. Jorge
Exemplo
Provar que todos os pontos da mediatriz de um segmentosão eqüidistantes de seu extremos.
A
m
BM
P
L → PM = PM
A → PMA = PMB
L → MA = MB
Δ PMA = Δ PMB
⇒⇒
PA = PB
Prof. Jorge
Caso ALA (Ângulo, Lado, Ângulo)
Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes umlado e dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulossão congruentes.
A → A = A’
L → AB = A’B’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
A → B = B’
Prof. Jorge
Exemplo
Na figura, AB = AD e BC // DE. Provar que AC = AE.
B DA
A → B = D
L → AB = AD
A → CAB = EAD
Δ ABC = Δ ADE
⇒C
E
⇒
AC = AE
Prof. Jorge
Caso LAA (Lado, Ângulo, Ângulo)
Se dois triângulos tem ordenadamente um lado, um ânguloe o ângulo oposto ao lado, então eles são congruentes.
L → AB = A’B’
A → A = A’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
A
C
B
A → C = C’
Prof. Jorge
Exemplo
Provar que todo ponto da bissetriz de um ângulo éeqüidistante de seus lados.
L → OP = OP
A → POA = POB
A → A = B
Δ PAO = Δ PBO
⇒
O
A
B
P
⇒
PA = PB
Prof. Jorge
Caso LLL (Lado, Lado, Lado)
Se dois triângulos tem os três lados ordenadamentecongruentes, então esses triângulos são congruentes.
L → AB = A’B’
L → AC = A’C’ ⇒
A’ B’
C’
Δ ABC = Δ A’B’C’
L → BC = B’C’
A
C
B
Prof. Jorge
Exemplo
No triângulo ABC da figura, AB = AC e AM é a medianarelativa a BC. Provar que AM é também bissetriz interna ealtura relativas a BC.
L → AB = AC
L → AM = AM
L → BM = CM
Δ AMB = Δ AMC
⇒⇒
AM é bissetriz interna e
altura relativas a BC.
B
A
CM