Geometriai fogalomalkotás

valóságos és virtuális modellek

együttes alkalmazásávalAnna Rybak

Uniwersytet w Białymstoku, Instytut Informatyki

aniar@klub.chip.pl

Lénárt István

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest

ilenart@cs.elte.hu

Célkitűzés:

Olyan oktatási szituáció létre-hozása, amelyben a tanulók

a tanár irányítása mellett, önálló munkával, kísérletezéssel és következtetéssel jutnak el alap-vető geometriai fogalmak meg-értéséig.

Multimédia alkalmazásának célja az oktatásban:

érdeklődés felkeltése és képességek fejlesztése a digitális technológiák és kommunikációs eszközök megfelelő használata terén; az információ hozzá-férése, kezelése, integrálása és értékelé-se; új tudás alkotása; kommunikáció másokkal, hogy hatékonyan vehessünk részt a társadalom formálásában.

Lennon et al (2003)

Az összehasonlítás módszere

matematikai és természettudományi kompetenciák területén:

Két vagy több rendszert egymással összehasonlítva, egymással folyamatosan szembeállítva tanítunk.

Az összehasonlítás egyik legfontosabb célja az adott tananyag jobb megértése másféle rendszerekkel történő össze-hasonlítás útján.

Összehasonlító geometria:

Két különböző geometriai rendszert egymás mellett, egymással folyamatosan szembeállítva tanítunk.

Fogalmakat és tételeket a síkon és a gömbön egyidejűleg vizsgálunk.

Később (esetleg már középiskola előtt is) további geometriai rendszerkkel is ismerkedünk (pl. Bolyai-geometria).

Összehasonlító geometria valóságos és virtuális modelleken

Három különböző geometria alapfogalmait szemléltetjük valóságos modelleken, illetve virtuális szerkesztő programokkal.

Síkgeometria: GeoGebra

Gömbi geometria: Spherical Easel Hiperbolikus geometria: NonEuclid

(Más lehetőség: Cinderella)

Alapfogalmak síkon és gömbön

Pont

Egyenes

Kör

Sokszög

Szabályos sokszög

Háromszög

Példa összetettebb fogalomra: háromszög köré írt kör

Célok:

Síkháromszög megismerése, megértése;Gömbháromszög megismerése, megértése;Háromszög köré írt kör definíciója,és

szerkesztése;Matematikai következtetés és hipotézis-

keresés képességének fejlesztése;Érvelési és vitakészség fejlesztése;Különféle oktatási segédeszközök (valóságos

modellek és virtuális programok) használatának elsajátítása.

Példa

Felhasznált módszerek: problémamegoldás, irányított megbeszélés, manuális és virtuális geometriai szerkesztőeszközök használata

Munkaformák: kiscsoportos és egyéni (csak csoportmunka, ha a rendelkezésre álló eszközök száma nem engedi az esetleg szükséges egyéni munkát)

Taneszközök: Számítógépek megfelelő programokkal (GeoGebra, Spherical Easel), földgömb, síkgeometriai és gömbi geometriai szerkesztőeszközök.

A feldolgozás módjasíkháromszögek esetén

Adott síkháromszög körülírt körének és középpont-jának szerkesztése füzetlapon;Hipotézis felállítása: minden síkháromszöghöz tartozik körülírt kör;Ugyanez a szerkesztés adott síkháromszög esetén a GeoGebra programmal;A síkháromszög alakjának változtatása a GeoGebra programmal, a körközéppont helyzetének vizsgálata a háromszöghöz képest;A hipotézis bizonyítása a háromszög oldalfelező merőlegeseinek definíciója alapján.

Síkháromszögek vizsgálata GeoGebrával: első eset

Síkháromszögek vizsgálata GeoGebrával: második eset

Síkháromszögek vizsgálata GeoGebrával: harmadik eset

A feldolgozás módjagömbháromszögek esetén

Adott gömbháromszög körülírt körének és középpont-jának szerkesztése gömbön;Hipotézis felállítása: minden gömbháromszöghöz tartozik körülírt kör;Ugyanez a szerkesztés adott gömbháromszög esetén a Spherical Easel programmal;A gömbháromszög alakjának változtatása a Spherical Easel programmal, a körközéppont helyzetének vizsgálata a háromszöghöz képest;A hipotézis bizonyítása a háromszög oldalfelező merőlegeseinek definíciója alapján.

Gömbháromszögek vizsgálata Spherical Easel-lel: első eset

Gömbháromszögek vizsgálata Spherical Easel-lel: második eset

•

Gömbháromszögek vizsgálata Spherical Easel-lel: harmadik eset

A feldolgozás módja:megbeszélés, összegzés

Síkháromszög és gömbháromszög körülírt körének összehasonlítása;Manuális és virtuális szerkesztés előnyeinek és hátrányainak összevetése;Milyen területeken használható a tétel? Milyen továbbfejlesztések lehetségesek?Háromszögek szögösszege; merőlegesség és párhuzamosság; négyszögek; stb.

Hiperbolikus (Bolyai-Lobacsevszkij) geometria körlap (Poincaré) modellje

Hiperbolikus modell egyenesei

Hiperbolikus modell körei

Hiperbolikus modell háromszögei

Kapcsolódó oldalak, honlapok:

www.lenartgomb.hu

(ezen belül: Gömbi amőba)

Sulinova adatbank matematika, 5. évfolyam (Makara Ágnes – Lénárt I.: Alakzatok); 6. évfolyam (Birloni Szilvia – Lénárt I.: Tengelyes tükrözés); 8. évfolyam (Szeredi Éva – Lénárt I.: Terület síkon és gömbön); 10. évfolyam (Lénárt I.: Bolyai-geometria)

Anna Rybak – Lénárt I.: Play computer game – and learn spherical geometry (2009). Power Point.

Lénárt, I.: Paper geometry versus orange geometry – comparative geometry on the plane and on the sphere (2009) http://www.mav.vic.edu.au/files/conferences/2009/21Lenart.pdf

Bülent Güven & Adnan Baki: Characterizing student mathematics teachers’ levels of understanding in spherical geometry (2010) International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.

http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0020739X.2010.500692