Geometriai transzformációk

Számítógépes grafika, PPKE-ITK, Benedek Csaba, 2010

Geometriai transzformációk

Számítógépes Grafika 2010, PPKE ITK, Benedek CsabaTanagyag forrás ® Szirmay-Kalos László, BME

Számítógépes grafika feladata

képszintézis

Virtuális világmodell

modellezés

Metafórák:• optika• 2D rajzolás• festés• analógiák

számítás

mérés

illúzió

Képpontok:• vörös• kék• zöld

számok


Mindent számmal

geometria

pont

síkegyenes

metszi

illeszkedik

axiómák

algebra

számok

műveletek

egyenletmegfeleltetés

függvény


Koordinátageometriai gyorstalpaló -Pontok, alakzatok megadása

Mindent számmal! Koordináta rendszer Koordináták megadása

Koordináta rendszerek Descartes Polár Homogén


Koordináta rendszerek

x

y

r

Xh

Yh

w

Descartes Polár BaricentrikusHomogén

1

1


Pontfüggvények: Mozgatás Vektor = eltolás: v Iránya és hossza (|v|) van Helyvektor

De vektor ≠ pont !!! Vektorműveletek

v = v1 + v2 (kommutatív, asszoc) v1 = v - v2 (összeadásnak van inverze) v1 = av (összeadásra disztributív)

origó

pont

helyvektor

v1 v2

vav


Skaláris szorzás Definíció

v1v2 = |v1||v2|cos Jelentés

Egyik vektor vetülete a másikra x másik hossza Tulajdonságok

Kommutatívv1v2 = v2v1

Összeadással disztributív v3(v2+v1) = v3v2 + v3v1

vv = |v|2

v1

v2

|v1|cos

v1

v2

|v1|cos

v3


VektoriVektoriális szorzásális szorzás Definíció

– |v1 v2| = |v1||v2|sin – Merőleges, jobbkéz szabály

Jelentés– Paralelogramma területe, síkjára merőleges– (Egyik vektor vetülete a másikra merőleges síkra + 90 fokos

forgatás) x másik hossza

Tulajdonságok – Alternáló

v1 v2 = - v2 v1

– Összeadással disztributív v3 (v2+v1) = v3 v2 + v3 v1

v1

v2

|v1|cos

v1 v2

v2v1

|v1|sin

v1v2

90 fok


Descartes koordinátarendszer

x i

y j

origó i

jv = xi + yj

Egyértelmű (x = vi, y = vj) Műveletek koordinátákban

Összeadás: v1 + v2 = (x1+x2)i + (y1+y2)j

Skaláris szorzás: v1 v2 = (x1i + y1 j) (x2i + y2 j) = (x1 x2 + y1y2)

Vektoriális szorzás:v1 v2 = (x1i + y1 j + z1k) (x2i + y2 j + z2k) = (y1z2 – y2z1) i + (x2z1 – x1z2) j + (x1y2 – y1x2)k

Abszolút érték:|v| = vv = x2 + y2 + z2

i j kx1 y1 z1

x2 y2 z2


Vektor és Pont nem ugyanaz!

2D: vektor (x, y) Pont (x, y) 3D: vektor (x, y, z) Pont (x, y, z) Műveletek:

Vektor + Vektor = Vektor Pont + Vektor =Pont (eltolás)

Vektor – Vektor = Vektor Pont – Pont = Vektor

Vektor Vektor = Vektor

Vektor Vektor = Skalár

Vektor * Skalár = Vektor


Vektor osztálystruct Vector { float x, y, z;

Vector(float x0, float y0, float z0) { x = x0; y = y0; z = z0;

} Vector operator*(float a) {

return Vector(x * a, y * a, z * a); } Vector operator+(Vector& v) { return Vector(x + v.x, y + v.y, z + v.z); } Vector operator-(Vector& v) { return Vector(x - v.x, y - v.y, z - v.z); } float operator*(Vector& v) {

return (x * v.x + y * v.y + z * v.z); } Vector operator%(Vector& v) {

return Vector(y*v.z-z*v.y, z*v.x - x*v.z, x*v.y-y*v.x); } float Length() { return sqrt(x * x + y * y + z * z); }};


2D egyenes

n(r – r0) = 0

nx (x – x0) + ny (y – y0) = 0

ax + by + c = 0

(x, y, 1) (a, b, c) = 0

yr0

r

v irányvektor

n normálvektor

r = r0 + v t, t [-∞,∞]

x = x0 + vx ty = y0 + vy t

x


SSíkík

n(r – r0) = 0

nx (x – x0) + ny (y – y0) + nz (z – z0) = 0

ax + by + cz + d = 0

(x, y, z, 1) (a, b, c, d) = 0

y

n normálvektor

z

x

r0

r


… és akkor tényleg folytassuk a transzformációkkal Affin transzformáció:

Párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe viszi

Lineáris transzformációk ilyenek


Elemi affin transzformációk

Eltolás: r’ = r + p Skálázás: x’= Sx x; y’= Sy y;

Forgatás: x’= cosφ x- sinφ y; y’= sinφ x+ cosφ y;

r’ = rSx 0

0 Sy

r’ = rcos φsin φ

-sin φ cos φ

Fix pont: origó

Fix pont: origó

Megj: r itt sorvektor


Elemi transzformációkElemi transzformációk

Nyírás: x’= x; y’= y + a x;

Tükrözés:

r’ = r1 a

0 1

r’ = r10

0 -1


Transzformáció fix pontja: pivot point: (xp, yp)

Skálázás:x’= Sx (x-xp) + xp; y’= Sy (y-yp) + yp;

Forgatás:x’= (x-xp)*cos - (y-yp)* sin + xp;y’= (x- xp)*sin + (y- yp)* cos + yp;


Alapműveletek: eltolás origó fixpontú skálázás origó középpontú forgatás

Modellezési feladatα

vméret: s=1.5x

Alap objektummodell

Várt elhelyezés


Műveletek sorrendje


Modellezés: 2 csuklójú robotkar

α

β

yh

w


x

y

x

y

β


x

y

β

x

y

β

h


α

β

y

α

β

y

h


α

β

x

y


Összetett transzformáció

Affin transzformáció: r’ = r A + p A: lineáris transzformáció

forgatás, skálázás, tükrözés, nyírás, stb.

p: eltolásAmíg lineáris transzformáció:

konkatenáció r’ = (...(r A1) A2)... An) = r (A1A2... An )


Homogén koordinátás transzformációk

Eltolás nem fér bele a 2x2-es mátrixba Dolgozzunk 3x3-as mátrixokkal

[r’, 1] = [r, 1] = [r A + p, 1]a11 a12 0

a21 a22 0

p1 p2 1

A

p

[r’,1] = (...([r,1] T1) T2)... Tn) = [r,1] (T1T2... Tn)


Transzformációk projektív geometriai megközelítése

Homogén koordináták – nem csak az eltolás egységes kezeléséért!

3D grafika központi eleme a 3D-s világ 2D-s megjelenítése Vetítés, mint dimenziócsökkentő művelet Centrális (középponti) vetítés

Az euklideszi térben nem minden pont vetíthető centrálisan -> euklideszi helyett un. projektív geometria


Képsíkkal párhuzamos vetítősugarakkal jellemzett pontok végtelenbe tűnnek C. projekció nem minden euklideszi pontot visz euklideszi pontba –

projektív geometria: tömjük be a lyukakat!

Centrális projekció

tárgysík

képsík

Vetítési középpont

Eltűnő egyenesIdeálispontok


Projektív geometria Euklideszi geometria

2 pont meghatároz egy egyenest 2 különböző egyenes legfeljebb 1 pontban metszi egymást 1 ponton keresztül pontosan 1 egyenes megy át, amely nem metsz egy, a

pontra nem illeszkedő másik egyenest (párhuzamosság) centrális projekcióra lyukas (ideális pontok) algebrai alap: Descartes koordináta rendszer

Projektív geometria Projektív sík = Euklideszi sík pontjai + ideális pontok Minden egyeneshez vegyünk hozzá egy ideális pontot úgy, hogy két

egyenes akkor kapja u.a. pontot, ha párhuzamos Az egyenesek halmazát egészítsük ki az ideális pontokat tartalmazó

egyenessel 2 pont meghatároz egy egyenest 2 különböző egyenes pontosan 1 pontban metszi egymást

algebrai alap: homogén koordináták


Homogén koordináták

Xh

Yh

w

Homogén

Szemléltetés: mechanikai rendszer súlypontja

Összsúly: h = Xh+ Yh + w

Pont homogén koordinátái:

[Xh ,Yh ,h]

[0,0,0] nem pont

P2

P1P3

Ha az összsúly h ≠ 0 a súlypont Ps euklideszi pont:Xh P1+Yh P2 +w P3

Xh+ Yh + wPs=

[Xh ,Yh ,h] és [λXh , λYh , λ h] súlypontja ugyanaz!

Ps


Homogén-Descartes kapcsolat affin pontokra

Xh

Yh

w

[0,0][1,0]

[0,1]

r(Xh ,Yh ,h) = Xh [1,0]+Yh [0,1]+w[0,0]

h

r(Xh ,Yh ,h) = ( , )Xh

hYh

h

x = Xh

hYh

hy =

•Keressük egy adott affin (h ≠ 0) projektív térbeli pont megfelelőjét az euklideszi térben (azaz a Descartes koordinátarendszerben)•Súlypont analógia: tegyük a súlyokat i=[1 0], j=[0 1] és 0=[0,0] pontokba, és olvassuk ki a súlypont koordinátáit


Következmények

Minden affin ponthoz van: [Xh ,Yh ,h] (x, y) [x, y,1]

Ha h 0, akkor [Xh ,Yh ,h] affin pont

( , )Xh

hYh

h


Mi az ideális pont?h=0

x

y

(x,y,1)(2x,2y,1) = (x,y,1/2)

(x,y,1/3)

(x,y,0)

),,(lim~)0,,( 1nn yxyx


Egyenes egyenlete

0 cybxa

átírás homogén koordinátás alakra:

0ch

Yb

h

Xa hh 0 hcYbXa hh

(a,b,c): egy egyenes; (Xh, Yh,h) egy pont

Dualitás: pont és egyenes formailag analóg – az összespontokra érvényes tétel igaz lesz az egyenesekre


Párhuzamos egyenesek metszéspontja Párhuzamos egyenesek metszéspontja Descartes koordinátákkalDescartes koordinátákkal

a1 x + b1 y +c1 = 0a2 x + b2 y +c2 = 0

x, y

a x + b y + c1 = 0a x + b y + c2 = 0

c1 - c2 = 0 nincs megoldás

a1 /b1 /≠ a2 /b2


Descartes: a x + by +c = 0a Xh/h + b Yh/h +c = 0

Homogén: a Xh + b Yh +c h = 0

a Xh + b Yh + c1 h = 0a Xh + b Yh + c2 h = 0

(c1 - c2) h = 0 h = 0, Xh = b, Yh = -a

Párhuzamos egyenesek metszéspontja Párhuzamos egyenesek metszéspontja homogén koordinátákkalhomogén koordinátákkal

[b ,-a ,0]


Beágyazott modell

[Xh ,Yh ,h]

Xh

Yh

h

x

y1

[Xh ,Yh ,0]

[ , ]Xh

hYh

h(x, y) =

[0,0,0] nem pont

[Xh ,Yh ,h]·a u.a. pont

3D euklideszi tér

2D projektív sík


Projektív egyenes paraméteres egyenlete

[X1 ,Y1 ,h1]

Xh

Yh

h

[X2 ,Y2 ,h2]

[X(t) ,Y(t) ,h(t)]=[X1 ,Y1 ,h1]·t + [X2 ,Y2 ,h2]·(1-t)

Szakasz: Konvex kombináció!


Homogén lineáris transzformációk

Euklideszi sík affin transzformációi:

[x’, y’] = [x, y] A + p Homogén koordináták lineáris függvényei:

[Xh’ ,Yh’ ,h’] = [Xh,Yh,h] T + p Homogén lineáris transzformációk bővebbek:

a11 a12 0

a21 a22 0

p1 p2 1

T =


Homogén lineáris transzformációk tulajdonságai Pontot-pontba, egyenest-egyenesbe

(pontba), konvex kombinációkat, konvex kombinációkba visznek át

Példa: egyenest egyenesbe:

[X(t) ,Y(t) ,h(t)]=[X1 ,Y1 ,h1]·t + [X2 ,Y2 ,h2]·(1-t)

P(t) = P1·t + P2·(1-t) // · T

P*(t) = P(t)·T = (P1·T) ·t + (P2·T) ·(1-t)


Példa: Euklideszi geometriában nem lineáris transzformáció: Q pont vetítése e egyenesre

10 p

0 1 q

0 0 0[x, y, 1] [ x, y, px+qy]

xpx+qy

ypx+qy

Q=[x, y]

Q’=[x’, y’]

e: px+qy=1

px’+qy’=1

e

x’y’

xy=Q’ a OQ egyenesen van

O

Q’ az e egyenesen van

xpx+qy

y’ =y

px+qyy’ =

Ugyanez mátrixokkal:


x

y

(x,y,1)(2x,2y,1) = (x,y,1/2)

(x,y,1/3)

(x,y,0)

(-x,-y,1)=(x,y,-1)

(-2x,-2y,1)=(x,y,-1/2)

(x,y,0)

Projektív egyenes: körszerű topológia

Ideális pont


Veszélyek: átfordulási probléma

=Projektív egyenes (topológia)

Ideális pont

Szakasz ?????

e

e


A projektív tér, 3D pontok homogén koordinátái

Yh

Zh

w

Homogén

Összsúly: h = Xh+ Yh + Zh + w

Pont homogén koordinátái:

[Xh ,Yh ,Zh,h]

Xh


A projektív tér egyenesei és síkjai

Egyenes:

Sík:

[X(t),Y(t),Z(t),h(t)]=[X1,Y1,Z1,h1]·t + [X2 ,Y2,Z2,h2]·(1-t)

Euklideszi, Descartes koord: nx x + ny y + nz z + d = 0Euklideszi, homogén koord: nx Xh/h + ny Yh/h + nz Zh/h +d = 0

Projektív: nx· Xh + ny ·Yh + nz · Zh +d · h = 0

[Xh ,Yh ,Zh,h]· = 0

nx

ny

nz

d


Invertálható homogén lineáris transzformációk síkot síkba visznek át

P·NT = 0

TP P* = P·T

T-1

(P*·T-1)·NT = 0P*·(T-1·NT) = 0P*·(N·(T-1)T)T = 0P*·N*T = 0

N*=N·(T-1)T Inverse-transpose


Projektív geometria a Projektív geometria a számítógépes grafikábanszámítógépes grafikában

Világ:Euklideszi tér Projektív tér

Projektív térKép:

Euklideszi tér

[x,y,z] (x, y,z,1)(Xh ,Yh ,Zh ,h) (T1T2... Tn)

[ , , ]Xh

hYh

hZh

h


Koordináta-rendszer transzformációk

Analógia a műtermi fényképkészítés és az OpenGL képalkotás között Fényképezőgép elhelyezése, ráirányítása a

lefényképezendő térrészre - nézőpontba transzformálás

A lefényképezendő objektumok elhelyezése a kívánt pozícióba –modell-transzformáció

A megfelelő lencse kiválasztása, zoom beállítása – vetítési transzformáció

Papírkép a negatívról – képmező transzformálás


OpenGL transzformációk Homogén lineáris transzformáció (p itt

oszlopvektor)

p’=Mp Transzformációk kompozíciója

p’=M1p és p’’= M2p’ → p’’=M2M1p

a közös transzformáció M2M1


OpenGL csővezeték

Virtuális világKamera transzformáció,illumináció

Perspektívtranszformáció +Vágás homogén koordinátákban

1.2.

Képernyő transzf+Raszterizáció+interpolációmegjelenítés

szín mélység

MODELVIEW PROJECTION


Transzformációk

xyzh

Modelviewmatrix

Stack

Projectionmatrix

Stack

Homogénosztás

Viewporttranszf.

window

Lokálismod. kamera homogén

Normalizáltképernyő

illumináció

vágás Backface cullingRaszterizáció,textúrázás

modellező, kamera

(nyírás), normalizáló perspektív


OpenGL transzformációs mátrixok kezelése

Műveletek: aktuális mátrix kijelölése, betöltése, vagy megszorzása jobbról egy új mátrixszal


OpenGL transzformációs mátrixok kezelése void glMatrixMode(GLenum mode);

Állapotváltozó: megadjuk, hogy melyik mátrixot akarjuk a következő parancsokkal állítani

mode lehet: GL_MODELVIEW – modell-nézeti transzformáció (objektumok

és a kamera elhelyezkedése és iránya) GL_PROJECTION – kamera modell kiválasztás és fókuszálás GL_TEXTURE – textúra

glLoadIdentity(); aktuális mátrix beállítása az egységmátrixra


Mátrix betöltése, szabad szorzása void glLoadMatrix{fd}(const TYPE *m);

m pointer által címzett 16 elemű vektor elemeit betölti az aktuális mátrixba oszlopfolytonosan

void glMultMatrix{fd}(const TYPE *m); m pointer által címzett 16 elemű vektor elemeiből

képzett mátrixszal szorozza az aktuális mátrixot

m1m5 m9 m13m2 m6 m10 m14m3 m7 m11 m15m4 m8 m12 m16

M:


OpenGL transzformációs mátrixok kezelése void glTranslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z) előállítja az [x,y,z,1]T vektorral való eltolás mátrixát és

megszorozza vele (jobbról) a kurrens mátrixot void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z) előállítja az origón áthaladó, [x,y,z]T irányvektorú

egyenes körül angle szöggel elforgató mátrixot és megszorozza vele a kurrens mátrixot. A szög előjeles, fokban kell megadni

void glScale{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z); - skálázás


Nézőpont és nézeti irány beállítása Alapértelmezés: nézőpont a modellkoordináta-

rendszer origója, nézési irány a negatív z-tengely Új nézőpont megadása:

OpenGL: az objektumot toljuk/forgatjuk ellentétes irányban (glTranslate*, glRotate*)

GLU: a nézőpont és a kamera nézet iránya közvetlenül is megadható


Nézőpont és nézeti irány beállítása void gluLookAt(GLdouble eyex, GLdouble eyey, GLdouble eyez, GLdouble centerx, GLdouble centery, GLdouble centerz, GLdouble upx, GLdouble upy, GLdouble upz)


OpenGL transzform. kompozíció Forgatás (R) majd eltolás (T) elvégzése

p’=Rp és p’’= Tp’ → p’’=TRp a közös transzformáció TR: OpenGL mátrixszorzás jobbról történik, ezért a

mátrixokat a végrehajtás sorrendjével ellentétes sorrendben kell megadni:(1) lépés glLoadIdentity();

M:=E egységmátrix

(2) lépés glTranslated(x,y,z);

M:=M∙T=E∙T = T

(3) lépés glRotated(angle,x,y,z);

M:=M∙R=E∙T∙R = TR


MODELVIEW Transzformáció

sorrend

Kamera koordinátarendszer

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

glLoadIdentity( );gluLookAt(eyex, eyey, eyez, vrpx, vrpy, vrpz,upx, upy, upz); //VIEW

glTranslatef(px, py,pz); //MODELglRotatef(ang, axisx,axisy,axisz); glScalef(sx, sy, sz);

glMultMatrixf( mat[4][4] );

ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 0 eye 1

-1

eye

u

v

w


OpenGL vetítési transzfromációk Centrális vetítés (valószerű képek):

glFrustum() glPerspective()

Merőleges vetítés (méret/méretarány helyes képek): glOrtho() glOrtho2D()


Projektív transzformáció void glFrustum(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far);


Projektív transzformáció void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble near, GLdouble far);


Merőleges vetítés void glOrtho(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far); a nézőpont helye itt közömbös, csak a nézési

irány számít


2D alakzatok ábrázolása void gluOrtho2D(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top); 2D: nem kell közeli és távoli vágósíkot megadni (automatikusan

[-1,1])


PROJECTION Transzformáció

glMatrixMode(GL_PROJECTION); glLoadIdentity( );

gluPerspective(fov, asp, fp, bp);

1/(tg(fov/2)·asp) 0 0 00 1/tg(fov/2) 0 00 0 -(fp+bp)/(bp-fp) -10 0 -2fp*bp/(bp-fp) 0

Kamera koordinátarendszer Homogén

(1, 1, 1, 1)

(-1,-1,-1, 1)

fp bp

Projekció után homogén osztás: normalizált koordináták


Képmező transzformáció void glViewport(GLint x, GLint y, GLsizei width, GLsizei height); képmező:

téglalap alakú rajzterület a képernyőn oldalai párhuzamosak az ablak oldalaival (x,y): a képmező bal alsó sarka width, height: a képmező szélessége, hosszúsága


Képernyő Transzformáció

glViewport( 0, 0, width, height );

Normalizált képernyő:Vágás és homogén osztás után

1(-1,-1,-1)

(1, 1, 1)


Aktuális transzf. mentése és újra töltése void glPushMatrix(void);

A glMatrixMode() paranccsal beállított kurrens verem minden elemét egy szinttel lejjebb tolja. A legfelső (kurrens) mátrix a második mátrix másolata lesz

void glPopMatrix(void); A glMatrixMode() paranccsal beállított kurrens verem

legfelsőbb elemét eldobja, és minden további elemet egy szinttel feljebb tol.

Documents

Geometriai transzformációk