5

Geometric Properties of Ribs and Fans of a Bézier Curve

Embed Size (px)

Citation preview

���� ����� ����� ���� �������� �� �� ��� ���� � ������

��������� �������� �� �� ��� ��� �� � ������� ������

��������� ���� �� ������� ����

����������� �� ������ �������� ������ ��������� ������ �������� ���������� ���������� ��� �� ��!�"�#� ����

������� ������ ��������� ����� �����������

����� ������� ��� !!"�

�������� ��#� ��� $��� �� ��������� ������� ������ ��� �� ����� $��� � ���� %&��� ���� �� ���$�� #��� ��� ���� ���� �$ ��# ��� $�� ������������� '� ��� ����� ( ����� ��� �$ �( ������� �������� �$ ��#� ��� $���$�� � %&��� ���� ��������� �������� $���� ��#���������� �$��������� ��� $������������� �� ��#��������� ) ���� ��� ���*����� $�� � ������ ���������

������ ������� ��������� %&��� ����� �������� $��� ��#����������� $�������������

� �����������

�������� ��� �� ������ ������� � ��������� ���������� �� �������� � ������� ����� �� ������� ����������� ��������� �������� ���� �� ���� �� ����� ������� ������� �� �� ��� ��� ��� ������ �� ���!" #���� ����� ������� ����� �� �! � � �! $

��

��� ����� �! ��

����� � � %� �� ��� �������� �� ���� � ������� ��������� �! �� ����� � � &! �� � ������ '�� �

��� �! ������� �� %! �� �������(

�� �! � � �! $ ���� �! ) %� &� �!���� �! &!

����� ��� �! �� ��� ���� ��������� ��������� �� �����

�� �� ���� �! �� ���� �! ��� ��� ��* �� ��� ��� �� ������ ����� �� �!� �����������" +��� ������� ��� �������� ������ �� � ����� ����� �� �! �� ��� � ��� ��� �������

������ �� ��*� �� �! ���

��� ����

�� �! ��� ���������� ��

'�� �� ������� ��� & � � � �� & �� , � � � �(

��� $ � � �!

������ )

�������� � %!

#�� � ��� �� �! $

��

��� ����

�� �!� ��� ������� �������

��� �'�� ����� ��� ������� ������ �� � ��* ���� �! ��

������ ����� � ��� �� � ������� ������� ������

������� ��� , � � � �� % �� , � � � �(

��� $ ����

��� �&

% ����

� ) ������� !� -!

#��"& ����� �� �.����� �� �#/ ��� � 0������ ������������( �! ��� ����� ����� � �! � �� �! �� ��� ��* �� �!���� ����� ������� �������1 *! ��� ������� ������� ����� ��� �� �!1 �! ��� ����� �� ��� ����� ��� %� &��!�� �!�� ��� ��* �� �!1 �� ! ��� ����� �� ��� ��� ����� ������ ��� ������������ ��*�" 2��� �.������ ��� ������*���� ��� �������3 ��*���"

��� ������

4� ���� �������� �� ���� ���� ������������ �'��������� ��������� ��� �� ����� ��� ���������� �� �#/ �� �������� �����" #����� ����� �� ������ �������� *������ ������������ ���������� �� ��� ������ �5����� * ���(

� &� �!��� �! $

�) &! �� � ) &!

�) &! �) %!����

��� �!� 6!

������ ���� ��� ���� ���� ����������� � 7��������� ������ �

�� �! �� � ������� ����� � �! ��� �'�� ��

����������(

��� �! � &� �!����

� �! ) �������� �! ��� , � � � � 8!

����� ��� �! � � �! �� ��� �! � ��" #�� � ������� �����

� �!� ��� ��� �� ����� �� � �� ����� �� ��� �!" 9�� ����

������ �� ��� ���� � 7�������� ���� ��� ��� ��� ��� �! ��

����� �� ������� �!� ����� , � � � � �� , � � � � � �"

������ ��� � 7�������� ���� �� ����� ��(

������� �! � &� �!������

��� �! ) ������������ �!�

+��� �� ������� ��� ����� �� � ����� ������������ � �! �� ����� � * � �� ��� � ��� ����� ��

���� �� :��

�! $ :������

�!� �� ��� ��� �������������������������� �� ��� ������� ������ �� �� ��� ���

������� ������ :��

� (

:��

� $� ��

���

��

���

��

���

���� ) �

�� ;!

�� ��������� ������� � ���� ��� ������ �� ����� ��� ��� ����!"���� #���� "�� ������ �� $�������� ��� %���� "��������

�! �� �� ��� ���� � ������� ���� ����� ����� ���

<��������� ���� � ����� ����� �� ������ � $ &! ��

� $ �� &� ��� ������� ������ :����

� �� � �������������

������� ����� :����

�! $ :����

�! ��� �'�� �� �������(

:����

� $

���� &

��� )

��� &

�� &

���

����

�� =!

� ��������� �� ���

4� ���� �������� �� ������� ��� ���������� �� �#/ ���� ������� �����( ��������� ����� ��*���������� ������������ ������������� �� ��*�������"

��� �������� ���

> ��������� ��� �� � ������� ������ '�� ����� ���������� ���� �� � ������� �����" #����� �� ���� ���� �������� ����� �� �������� ���� � ���0�� ��������� ����� � ���� �������?� ��* �� ����� ���?���������� ����� ������"

#�� � ����� ������� ����� � �!� �� ��� �������� ���������� ����� &! ����� �� �*���� � ��* �� ����� ����� � ��0����� �� ����� ����� �������(

� �! � �� �! $ �� �! ) %� &� �!

�������

�� �!� @!

A��� �� ��� �.����� ��� ��� �� ��� ��� ���� �� @!���� � ������ ��� �� �������(

B����

�! �

�������

�� �! $

�������

B����� ����

� �! C!

����� B����

�! �� B����� ����� � ���� � ��� �� ���

������� �������� �����������"

D���� ;!� �� ��� ������� ��� ����� �� ��� ��� �� �!

* �� %� �! �� ��� ��� ��� :������

�! �� ����� �� %!�� �������(

�� �! $

�����

����

�� �! $

�������

:������

� ����� �! $ :�

����� �!

&,!

����� :������

� ������ ��� ���� ������� ������ �� ���

������������� ��� :������

�!" D���� &,!� �� ��� ������ ��� ��������� �0�����(

B����

�! $

�������

�� �! $

�������

�����

����

�� �!

$

�������

�������

:������

� ����� �! $

�������

B����� ����

� �!� &&!

A��� ��� ������� ������� �� ��� ��������� ��� B����

�!��� �'�� �� �������(

B����� �

�������

:������

� � &%!

�������� �� �� �� ������ � ������� ����

� �! � ������ � �� � ���� ������ �� �! ��� � ��

��� � ��� B����

�! � ������ � � %! �� �����( � �! $

�� �! ) %� &� �!B����

�!�

A�.�� �� ��� ��������� � ������� ����� ���� � ��������� ������� �� � ������ '�� �'�� * � ��� �� �������� �������?� ��������� ���" C! �� &%! ���� �����

����� � ��������� ��� B����

�! �� � ���� ������� �� �!��� ��� *��� � ������� ����� � �! �� ����� � ���� �� $ ����� �� $ ���" 9�� ���*��� �� ��� �.������ �.�������� ��������� � � &! ������� ������ �� & � � � � � &! ����� ����� � �!" 4� ��� *����� �� ����� ���� * ������������� C!" #����� �� ������� ��� ����� �� ��� ���� �� ������ =!" 9���� �� ������� ��� ����� �� ��� ���������

*���� �� ��� ����� ���������! ��� B����

�! �� � ����� 6!" 9�� ��������� �� ��������� �� �������(

�� �! ) %� &� �!B����

�! $ :���� �! ) %� &� �!B����

�!

$

�����

:����� ��� �! ) %� &� �!

�������

B����� ����

� �!

$

�����

����� �! $ � �! &-!

����� ��� ������� ������� ������ �� ��� �.������ ��������� ��� & � � � �� &(

�� $

���� &

���)

��� &

�� &

���

�����

�)

%� �� �!

� �� &!B������� �

&6!

�������� � ���� � ���� ������ �� �! ��� � ��

��� � ��� B����

�! ��� ������ �� �� ����� � ������

������� ���� � �! � ������ � ���� � �� ��� � �� & � � � � � &! ��� ������ �� � ������ ����� �� �

� ��� � �� $ ��� ��� �� $ ���� ��� �� � �� �� ��

B������� � B�

��� �!�

4� �� ����������� �� �.����� ��� ������� ������� B�����

�� � ������ ���*������� �� ��� ������� ������ �� ���������� &%!" D���� &6!� �������� �� �� �������������� ���������(

B����� $

� �� &!

% � ) &! �� �� &!

����� �

���� &

� ) &

���

)

��� &

���

����

� ) &

��� &8!

4� #��"%� �� ���� �� �.����� �� ������������ �������������� �� � 0������ ������� ����� �� �! *��� �� ���

��������� ���" 9�� ������� ������� B��� �� ��� ���������

��� B�� �! ��� ����� �� ������� ����� =! �� &%!(

��

B��� $ �

�� ) �

�� ) �

��

B��� $ �

�� )

&

% ��

� ) ���! ) �

��

B��� $ �

�� ) �

�� ) �

���

&;!

D���� &8!� ��� ������� ������ B��� �� ��� ���������

� !���" #�� �� ��$ %������� &� �����' ( )�*' ��+ ,��' ��

��� B�� �! ��� *� �.������ �� �������(�

B��� $ %

��� �

&

6 -�� ) ��!

B��� $

-

%

��� �

&

% �� ) ��!

B��� $ %

��� �

&

6 �� ) -��!

��

&=!

4� #��"% �!� ��� *��� ����� ����� ������� ������� B���

�� ��� ��������� ��� B�� �!� ���� �� ����� ��� ��� ����

��� ������� B�� ��! �� ��� ��������� ���� �� ��� �����

�� ����� ��� ��� ������ ������� ����� * % & � �!�"#��"% *! ����� ��� ��� ���� �� ��! �� ��� ����� ������������ �� *���!" #��"% �! ����� ��� ������ �� ������������� ���� ��� ���� ������� �� �! �� ����� ������*��� ����!

�� ��� ����� ��������� ��� %� &� �!B�� �!" 9��� ������

*��� ������ ����� ��� ��*� �� ��� �����"

����&� ����� � �������� �� �� � ������� ��������

7��������� ���� ����� ��� ������� ������� B��� , �

� � %! �� ��� �� ������ �� �� �� ��� ������ �� ���*��� � 0������ ������� ����� �� �! ����� ������� �������� ������ ��� ������� ����� &6! �� �������(�

�� $&

%B��� )

&

6 -�� ) ��!

�� $%

-B��� )

&

% �� ) ��!

�� $&

%B��� )

&

6 �� ) -��!�

&@!

�� ����������� ����������

#�� � ����� ������� ������ �� ��� ����� ������ �������� * ������ ������� ������" E��������� �� ������� ����������� �� ����� ���� ������" 4� ���� �������� ��*� �� ��� ����� ��� ��� � ���� �� ������ �� ������������� ��� ���������� �� ��� �����" #�� �.������ ���� ������ ���� ��� ��* �� ����� � ����� *� �������������� ��� ���������� �� � ����� �� ����� � � �"

#����� �� ����������� ��� ��������� �������� *��������* ������� ������ �� �5����� ������� �� ������� ������ �� ����� � ����� ����� �� �! ������� �������� � ��* �� �! �� � �����'� ����� � , � � � �!" +������ � �� ����� �� ��*�����������" 9�� ������ ��� ������ ��� ��� ���� ������ ��� ����� �� ����������" A��������� �� � $ ,� �� ���������� �� �� ������ ����������������� �� ��* ����������" 4� � $ �� ��� ����� ����� ������ ���������� �� �� ������ ���� ��� ����� �� ���"F��������� ��� ������� ���'�������� , � � � �! ������ �� ��������������� �������� ����� ����� ��� �)&!

������ ����������� ��� ��� ���� ��� �.������ * � ) &!������� ������ ��� $ �� "

+��� ���� ���*������� ����� %!� �� ��� ����� ������������ �.������ ������� �� ��� ����������� *������ ���������� ������ �� ��� ��*� �� �! �� �� �! , � � � � ��Æ � �� �!(

��� $ ���� $

����

�Æ

��GÆ

����� �� �� �!G���� �� & ) �!

G��� �� �!

������ �

&C!

#��� &C!� ���������� ���� ��� �� ������ ��� '.� �"�"� ��� $ ��� �� ��� $ ���!� �� ��� ��� �� � ����������� � � � $ � ���� � � � &! � � � &! �������������. �� � ������ ������ � � �

��� �� ��� ������������� �� ��� ��������� ��*� �� �� ������� ������������ � � �

��� �� ������� ������ �� ��� �������� ��*"H�������� ���� ������ ����� �� ���������������� ��������� �! $ ��& � ��&" ������ * ��������� Æ $ ���������� ������ �� �� �!� �� ��� ��� �� � ��� ������ ������ �� ��� $ �

� ���� � ��&!� ��&! �������� �����.��� � ����� ������ ������ �� � �

��� �� �� ������������� ������ �� � �

��� �� ������� ������ �� ��� �������� ��*" A�� �� ��� ��� ��� ���0�� �������� �� ������ ������ ��������"

�������� �� �� � ����� ������� ���� �� �! � � �!� ������ �� �� �� ���� �� Æ � ��� � �� ��� �

� �� �! ����� ���������� �� ��� �� �! � ������ �� !� ��

����� Æ � �� ��� �� �� �� ������� �� ������ ��

��"��� �� &! � �� ��� � � �� �!�

4� ��� ���*�� �� ��� �����'� ������� ������ �� �������� Æ �� ����� ����� �� ��������������� ������ ������" 9��� �� *� ������� * ������� � ������ ����������������� ���*��� ���� ������ ��������������" E������ �� 0���� ������. �� �������������� �� ������� ����.��� ������ ����� �� � ������� ����� � �!� ��� ��������������.����� ���� ��� *� ������(

� �! $

��

�� I� �!�� ) �J� �!��!� %,!

����� I� �! �� J� �! ��� ��� '��� �� ��� ����� ����������� �� ��� ����� � �!� �����������" >� ��� ����� ������ %,! �� 0������� ����������� ��� ������������ ���*���� ���� �� ���� �� ������� � ������ ������ �� ���������� ������� ������ ��� *� �������� ���� ����"

4� #��"-� �� ���� �� �.����� �� ��*���������� ����������� ��� � 0������ ������� ����� �� �! ���� Æ $ &" 9����������� ��������� ��* �� � ��*�� ����� � $ -!" 4�#��"- �!� ��� �������� ����� �� ���� �� �� �� ��� ������� ��� �� *���" ���� �������� �� ������� �������� ������� ������� �� ��� ������" 9�� �� ���� ������������ ��� ���� ������� ����� �� ��� ����� ������ ����� *��� ���� ������ ������ ��� ������������ ������������ �� ��� ������ �����" ������� ������ ��� ���� ������� ������� �� ����� ��*� ��� �� ���� ������" 7��������� ��*� �� ��� ��� ������ �� #���" - *! �� - �!" +���

� �� �� ��� ���� � ������� ���� ����� ����� ���

��� ��*� ��� ��������� �� #��"- !� ��� ��� �������� ������ ����� ���� ������ ��� ������ ��� �5����� �� �����"

����'� ����� � ��(!��������� �� �������� �� � ������� �������

����� )��� Æ * ��

��� ������������ � ��������

+��� � ������� ����� �� ����� � �� ��*���� ������� �������� *��� �� ��� � 7�������� ���������������� ��� �� ���������� �� ��� �����" A��� �� ���������� ��������� �� ��� ��*� �� ���� �� ��*���� ��������� �� ��� �����"

#����� �� �'�� ��������� ���������������( � �� �! $ ��� �� � � � �! $ � � �!� & � �!" +��� ������ ������� ����� � �! �� �'�� ���� ��� �������� K,�&L� �� ��� ��*���� �� ���� ��� ��*������� �� � $ � , � � � &!" +� ����� ���� �� � � �!! ���� � � K, �L�� � � �!! ���� � � K� &L" 9�� ������� ������ �� � �!�� � �! ��� �'�� * ��� ����������� � 7�������������� �'�� �� 8!( �� $ �

�� �! �� �� $ �

���� �! �����

, � � � �"+� ��� �������� ���� ������� ����� ������� ���� �

��* �� � ��� �� �������( � �! $ ����

� �! ) %� &� �!����� �!

� �! $ ����� �! ) %� &� �!����

� �!� %&!

9�� ������� ������ ������� �� ����

��� �� ��� ��*� ����� �!

�� ����� �! ��� �.������ �� ������� ����� ��� � 7������

��� ������ �� � �! �� � $ �(��

������� $

�� �!

���� �! )

������ �!

������� $

�� �!

������ �! )

���������� �!�

%%!

9�� ��*� ����� �! �� ����

� �! ���� �� ��� �! $

��������� $ ����

��� ���� �� ��������� ����� ���������� �

�������� $

������� � �� ����

��� ��� ��� ���������" 9�� ������� ������� ��

��� ���� ����� �! �� ����

� �! ��� �.������ �� �������(��

������� $ �

���� �!�

&

% ��� �! ) �

���� �!!

������� $ �

�������� �!�

&

% ����

� �! ) ��������� �!!�

%-!

D���� ����� ������� ������� ��� ���� ����� �! ��

����� �! ��� �.������ �� �������(�

����� �! $

������� �

������ ����

� �!

����� �! $

������� �

������ ����

� �!� %6!

A��� �� ������� ����� ��*������� �� � ���" #��� ����� ������� ����� � �! �� &!� �� ��� ��*���� ������ �

��� �! ���� ����� � �!! �� �

���� � �!!� ���� ��

����� �� �'�� ���� � � K, �L �� � � K� &L� ������������" 9�� ������� ������ ����

��� �� ������� �� ��� ��*����

����� �! �� �

���� �! ��� ��� ����������� � 7������

��� ������� ������� �! �� �

���������� �!� ������������

��� , � � � � � %" 9��� �� ��� ����� ��� ������������������(��

������� $ �

������ �! $ �

�� �!�

&

% ��� �! ) �

�� �!!

������� $ �

���������� �! $ �

�������� �!

�&

% ������

� �! ) ��������� �!!�

%8!

D���� ����� ������� ������ �� %8!� ��� ��*���� ������� �.������ �� �������(�

����� �! $

������� �

������ ����

� �!

����� �! $

������� �

������ ����

� �!� %;!

+� ��� ��������� �� ��� �������� *������ ��� ������ ���� �'�� ���� ��� ���� ��������( ��� ��� �

���� �!

�� ��� ��*���� ����� � �! �� ��� ��*���� �������� �!" E�������� ����

� �! �� ����� �!" D���� ��� �

7�������� ���������� �� ��� '� ��� ��������� ���������*������ %-! �� %8!(

������� $ �

���� �!�

&

% ��� �! ) �

���� �!!

$ ������ �!�

&

% ��� �! ) �

�� �!!

�$ ������

��� %=!

������� $ �

�������� �!�

&

% ����

� �! ) ��������� �!!

$ &� �!����������� �!�

&

% ������

� �! ) ��������� �!!

�$ &� �!�����

��� � %@!

D���� %=! �� %@!� �� ��� '���� ����� ��� ������������������ ��� � � %(

����� �! $ ������

� �! %C!

����� �! $ &� �!�����

� �!� -,!

%C! �� -,! ���� ���� ��� ���� �� ��� ��*���������� ��� ������� ������������ �� ��� ������ ��*����� ���� �� ��� �������� ���?��������� �� ����� �"

� !���" #�� �� ��$ %������� &� �����' ( )�*' ��+ ,��' �+

�������� �� ���� ����� � �!! ��� ����

� � �!! � ������������ ������� ����� � � �!! ��� � � �!! ��� �����

����� � ����� � � $ �� ��� ���� ���� �� ���

���� �! � �� ����� ���� � �! �� �����#

���� �! $

��

&

�������

� ��

� � � K, �L

&

&� �!������

� �� �

&� �

� � � K� &L�

-&!

#��� -&!� �� ���� ��� ��������� ��������(

������ &!�

������ ,!�

$�����

������

�������� �

$� �

&� �

��� -%!

����+� ����� � �� ���������� �� � ������� ������� ����� )���

� * ,�-�

#��"6 ����� �� �.����� �� ��� ��������� ��� � 0������� ������� ����� ���� � $ ,�;" F������� ������ ��� ������ ���" 9�� ���� �� ����� �������� �� ��� ����� �������� ���� �� �� �� *���� �����������" #��"6 �! �������� ��� ���� �� ��� ������" #��"6 *! ����� ��� ����� ������ ��� ������� ����� �� ��� ������" #��"6 �! ����� ��������� ������� �� ��� ������� ������� ��� ���� ����

� �!�� �

���� �! �� ��� ��*���� ����� ��������" A���

���� ����� &! �� �

���� ,! ��� �������� �� ��������� *��

�5����� �� ������" 9�� �5������ �� ������ �� �.������* -%!" #��"6 ! ����� ��� ������ ������� �� ���������� ������� ��� ���� ����

� �! �� ����� �! ����� ���

������ ��*���� ���� ��� ��� ���� �! �� ��� �����

�����"

� ���� ���� ����� �

��* �� ��� ������������ �#/! �� � ������ *�� ����������� ������� �� � ������� �����" 4� �� ����������� ������ ��� ����� '� ��� ������� �� � ������� �����?��� ����� ���� ������� �������� �� 7>H/?�� ����� �� ����������������� �����"

4� ���� ������ �� �������� ����� ���������� �� �#/��� � ������� �����( ������������ �� ������������ �� �

������� ����� *��� �� ��� ��������� ���1 ���������� ����������� �� � ������� ����� *��� �� ��� ��*������������������1 �� ��������� ���� �� ���� �� ��*����������" 9���� ���������� ��� *� ��� �� ��������� ������ ������������" #�� �.������ ���� �������� �������������� �� �� ��� ���� ��*����������� ���������� �� �������� ��� ����� �� ���*�������"

������� �� ��� ������ ����� ��� ���� ������ ���� ����� ���������� �� ��� ���������� ��� �������� �� ����������" 2��� ������ �� �.������ ��� *� ���� ��K%� @L"

+� �.���� ���� ����� ������ ���� ��������� ������������ �� ������� ������� �� �#/ ��� *� � ������ ������� ����� �������"

����������

.�/ 0�� #!12 ���3 1� ��(� ��� ��� � ������� ������ ��� ��� ����������������� �� �� ��� �������� 2 &,,42 &5�!+67 �&48�'+�

.&/ 0�� #!19� :�(� ������ ������ � ���2 &,,4� ���7;;<��!��������������3�;$��0��;��������(���;�

.'/ ����� $� "����� ��� =�� ���� �� "�$�7 � �������� $�����4�� �������2 >�) ?��37 �������� �����2 &,,&�

.+/ ����� : �� ��� >������� ������ �� "7 @�� ��� � =����!��A� "�������� &�� �������2 "��(�����7 "��(����� B���������2 �CC&�

.4/ 1�����3 #2 0����� �� ����������� � "������ ����� $��!������ ������� 0�����7 � ������2 �CC'�

.-/ ���3 1� "������� ����� ��� 3���� �� ����� �!���� ���������������� �� ���� ����� ������������ �� ��2 &,,�2''7 C-D8CD+�

.D/ 0�� #!12 ���3 1� E��������� ��������� ��� ����� ����!���� � ������� ������ (���� �� ��(� ��� ���� F� ����� �������� ��� ���� �� ����� ���������� ������� ���3 1���2�����������!���2 $���)��!��2 ����2 ��( G8C2 &,,-�

.G/ 0�� #!12 ���3 1� $�������� �������� � ��(� ��� ��� � �������� ������ F� ����� � � ��������� ���� ���!������ ��"������� ��� # ��� ��������� �����2 ����2 ��� &+8&-2&,,42 ���G8�&D�

�������� ��� ����� ��%�,�� -�,�� ��� .�/� ���� �� �������� ����� $��� .0,1�23� 4����� �� �556� �55" ��� �555� ����������� 3 ����� �1�' 7������������� 1��������������� ����� '��������8� 4��� �� �555� ��� �� ��������� � ����� ������ �� /������2������ /�������� 3�� ����� �������� ������ ������� ������� ���

��������� ��������� $�� ������� �������� 29/� �����#������

������� ���� �� � ���$���� �$���������� �������� �� 2���� :���������� 4���� 3 ����� �� %�,��-�,�� ��� .�/� ���� �� ������������������ $��� .0,1�23� 4������ �55�� �55+� ��� �55"� ����������;��� �55" �� !!�� (���� �� � ������ ������ �� ,������ ������������ 4���� 3�� ������ ����� �������� ������ ������� �������� ����

���������� ������� ���� ��������� #��������� ���������� ������� ������������ ��� 29/<29-�