I Bazele aritmetice ale graficii 2D

Capitolul II. Transformri geometrice

2.1 Transformri geometrice plane

2.1.1 Transformarea de vizualizare

Reprezentarea grafic a obiectelor din lumea nconjurtoare presupune cunoaterea unor informaii despre acestea. n general, aceste informaii se regsesc sub forma coordonatelor punctelor din care se compun imaginile grafice.

Coordonatele utilizator sau coordonatele reale sunt acele coordonate care identific obiectul n mediul su, n lumea nconjurtoare. Acest spaiu este cunoscut sub numele de spaiul utilizator. Teoretic spaiul utilizator se ntinde la infinit, dar practic, sub aspectul reprezentrilor grafice computerizate, el este limitat de cel mai mare numr real care poate fi memorat de calculator. Se consider spaiul utilizator vizibil acea poriune rectangular din spaiu, al crei coninut se reprezint grafic i care se numete fereastr .

Cei patru parametri care definesc fereastra i vom nota cu, wl, wt, wr, wb, i reprezint coordonatele colului stnga-sus (wl,wt), window left-top, i dreapta-jos (wr,wb) window right-bottom. Coordonatele utilizator aparin lumii reale, pot avea mrimi foarte variate, au de obicei semnificaii fizice (kilometri, secunde, uniti monetare etc.) i nu sunt legate n vreun fel de prezentarea grafic. Percepia uman este tridimensional, ns reprezentarea grafic este una plan, astfel nct coordonatele reale sunt cele date de proiecia pe un suport grafic bidimensional.

Figura 2.1 Spaiul utilizator

Coordonatele diferitelor puncte din interiorul ferestrei sunt cuprinse ntre wl i wr, respectiv wt i wb.

Reprezentarea coninutului unei ferestre pe ecranul calculatorului nu implic neaprat utilizarea ntregului ecran. Utilizarea ntregului ecran este aproape imposibil dac se dorete o reprezentare fr deformri. Trebuie deci specificat o zon rectangular de pe ecran n care se vizualizeaz fereastra. Aceast zon rectangular se numete vizor (viewport) i va fi definit prin parametrii vl, vt, vr, vb (Figura 2.2). Fiecrui punct aparinnd obiectului de reprezentat i va corespunde n vizor un punct ecran identificat prin coordonate ecran. Coordonatele ecran sunt de obicei raportate la colul stnga-sus al ecranului, dar aceasta nu este o regul, pot fi alese alte puncte de referin n funcie de instrumentele grafice utilizate.

Figura 2.2 Spaiul ecran

Vizorul este deci poriunea din suportul grafic unde va fi proiectat fereastra. Valoarile maxim pentru parametrii vl,vr,vt,vb depind de caracteristicile dispozitivului grafic.

Coordonatele ferestrei se determin n raport de coordonatele punctelor din care este alctuit obiectul de reprezentat. S presupunem c un obiect este alctuit din n puncte, de coordonate (xi, yi), i =1, n. Pentru a reprezenta grafic n ntregime obiectul, coordonatele ferestrei sunt alese astfel nct:

, , ,.

Coordonatele vizorului vor fi n aa fel alese nct reprezentarea grafic s se fac fr deformri. Pentru aceasta trebuie respectat relaia:

.

Dac imaginea obiectului va suferi deformri fie ntr-un sens, fie n cellalt.

Pentru a obine reprezentarea unei ferestre (wl, wt, wr, wb) ntr-un vizor (vl, vt, vr, vb) trebuie determinate relaiile de legtur dintre coordonatele reale i cele ecran. Acestea sunt determinate respectnd regula conservrii proporiilor. Unui punct de coordonate reale (x,y) i va corespunde unul de coordonate ecran (xe, ye), astfel nct distanele fa de marginile ferestrei, respectiv vizorului s aib aceleai proporii [2,6] (Figura 2.3).

Figura 2.3 Transformarea de vizualizare

Relaiile sunt urmtoare:

, .

Prelucrnd aceste relaii, obinem pentru coordonatele ecran relaiile:

,

unde,

Aplicaia 2.1. Sunt date n tabelul 2.1 coordonatele geografice ale oraelor reedin de jude din Romania. Vor fi reprezentate grafic aceste orae utiliznd transformrile de vizualizare.

Tabelul 2.1 Coordonatele geografice ale oraelor reedin de jude din RomniaOraLatitudineLongitudineOraLatitudineLongitudine

Braov45.633325.5833Piteti44.8524.8667

Alba Iulia46.066723.5833Trgu Mure46.5524.5667

Arad46.333321.75Giurgiu43.883325.9667

Braila45.266727.9833Deva45.922.9

Galai45.4528.05Sibiu45.824.15

Cluj Napoca46.766723.6Satu Mare47.822.8833

Constana44.183328.65Vaslui46.633327.7333

Craiova44.316723.8Focani45.727.1833

Iai47.166727.6Tulcea45.166728.8

Baia Mare47.666723.5833Sfntu Gheorghe45.866725.7833

Ploieti44.9526.0167Bistrita Nasaud47.133324.4833

Oradea47.066721.9333Botoani47.7526.6667

Suceava47.633726.25Reia45.300821.8892

Timioara45.749421.2272Drobeta T.S.44.631922.6561

Bucureti44.433326.1Buzu45.1526.8333

Bacu46.566726.9Clrai44.227.3333

Trgovite44.933325.45Trgu Jiu45.0523.2833

Piatra Neam46.916726.3333Slatina44.433324.3667

Zalu47.223.05Alexandria43.983325.3333

Ramnicu Valcea45.124.3667Slobozia44.566727.3667

Miercurea Ciuc46.2125.48

2.1.2 Transformri elementare

Dac x i y sunt coordonatele unui punct M, ecuaiile x' = f(x, y), y' = g(x, y) permit trecerea de la punctul M(x, y) la punctul M'(x', y'). Aceste ecuaii definesc o transformare plan. Punctul M' este transformatul lui M.

Putem considera coordonatele punctului ca o matrice 1SYMBOL 180 \f "Symbol"2. Fie produsul matriceal urmtor pe care l notm cu (x' y'):

(x' y') = (x y) = (Ax + Cy Bx + Dy).

Toate punctele planului xOy nmulite cu o matrice 2SYMBOL 180 \f "Symbol"2 vor da noi puncte (x', y') conform acestor relaii. Exist tipuri de transformri care nu pot fi reprezentate printr-o matrice 2SYMBOL 180 \f "Symbol"2. De exemplu, translaia care este reprezentat de ecuaiile x' = x + a i y' = y + b, nu poate fi efectuat printr-o matrice 2SYMBOL 180 \f "Symbol"2. Pentru rezolvarea situaiei se va introduce o a treia component a vectorilor (x y) i (x' y'), obinnd (x y 1), (x' y' 1). Acestea sunt coordonatele plane omogene (mai multe detalii despre coordonate omogene vor fi date la capitolul 2.2.2.) Matricea transformrilor va fi obligatoriu de tip 3SYMBOL 180 \f "Symbol"3. Un avantaj suplimentar al matricelor 3SYMBOL 180 \f "Symbol"3 este c permit obinerea transformrilor inverse, dnd familiilor de transformri caracteristica de grup algebric. Transformarea invers realizeaz trecerea de la punctul M'(x', y') la punctul M(x, y).

Transformrile plane elementare sunt urmtoarele:a) Translaia. Ecuaiile de transformare sunt x' = x + a i y' = y + b. Dac a = b = 0, atunci punctul M(x, y) rmne neschimbat i obinem transformarea identic. Transformarea invers este dat de relaiile: x = x' - a, y = y' - b.

Produsul matriceal care permite obinerea translaiei este:

.

b) Scalarea. Este o transformare de tipul:

unde matricea 3x3 este matricea de scalare cu parametrii a si b.c) Simetria. Exist urmtoarele tipuri de simetrii:

Simetria n raport cu axa OX: .

Simetria n raport cu axa OY: .

Simetria n raport cu originea O: .

d) Deformarea. Matricea de deformare este . Produsul matriceal corespunztor este:

.e) Rotaia. Este considerat transformare elementar rotaia n jurul originii, n sens trigonometric, cu un un unghi oarecare, ( (Figura 2.5). Punctul M se afl la o distan r (raza) fa de originea sistemului de coordonate i sub un unghi fa de axa Ox. Relaiile care permit obinerea noilor coordonate ale punctului M (coordonatele punctului Mt) sunt:

Aceste relaii dau matricea de rotaie, , iar produsul matriceal prin care se obin coordonatele punctului Mt este:

.

Compunerea transformrilor 2D. O transformare compus const ntr-o succesiune de transformri elementare executate ntr-o anumit ordine. Matricea de transformare corespunztoare se obine prin nmulirea n ordinea stabilit a matricelor transformrilor elementare. Matricea general de transformare este: . Parametrii A,B,C i D dau scalarea, rotaia, deformarea i simetriile, n timp ce parametrii a i b dau translaia.

Exemplul 1. Pentru rotaia n jurul unui punct arbitrar cu un unghi ( n sens trigonometric, transformarea compus va fi dat de transformrile elementare urmtoare:

- translaia centrului de rotaie la originea axelor;

- rotaia ateptat;

- translaia rezultatului la centrul de rotaie iniial.

Deci, se efectueaz produsul a trei matrice:

.

2.2 Transformri geometrice n spaiu

2.2.1 Sisteme de coordonate 3D

Complexitatea reprezentrilor tridimensionale implic o abordare difereniat a sistemelor de coordonate 3D. Astfel, din punct de vedere al orientrii axelor, sistemele de coordonate 3D pot fi directe sau indirecte. Sunt mai multe metode de determinare a orientrii axelor. O metod consacrat este regula minii drepte. Conform acestei reguli, n cazul sistemelor directe, degetul arttor de la mna dreapt arat sensul axei Ox, degetul mare sensul axei Oz, iar cel mijlociu sensul axei Oy (Figura 2.7). Sistemele indirecte au axa Ox invers orientat fa de sistemele directe.

Figura 2.7 Sisteme directe i indirecte

Din punct de vedere al raportrii, la obiectul reprezentrii sau la observator, sistemele de coordonate 3D sunt de dou feluri: sisteme de coordonate obiect i sisteme de coordonate observator. Sistemul de coordonate obiect este sistemul de coordonate 3D n care se afl obiectul de reprezentat. Este sistemul de coordonate propriu obiectului, cu propria origine la care sunt raportate coordonatele punctelor din care este alctuit obiectul. Sistemul de coordonate obiect este un sistem direct (Figura 2.8). Sistemul de coordonate observator este utilizat pentru a marca poziia observatorului. Originea sa coincide cu poziia observatorului, iar axa Oz are direcia i sensul privirii. Este un sistem de coordonate indirect.

Figura 2.8 Sisteme de coordonate obiect i observator

Pentru localizarea punctelor n spaiu sunt utilizate trei sisteme de coordonate: carteziene, sferice i cilindrice.

Coordonatele carteziene. Se precizeaz: x proiecia punctului pe axa Ox,

y proiecia pe Oz,

z proiecia pe Oy,cu x SYMBOL 206 \f "Symbol" R, y SYMBOL 206 \f "Symbol" R, z SYMBOL 206 \f "Symbol" R.

Coordonatele cilindrice ale unui punct P sunt: cota (z) proiecia punctului P pe axa Oz, raza (R) distana de la originea sistemului de coordonate la proiecia punctului P pe planul xOy,

unghiul (SYMBOL 113 \f "Symbol") unghiul dintre axa Ox i proiecia lui P pe planul xOy,

cu z SYMBOL 206 \f "Symbol" R, R SYMBOL 206 \f "Symbol" [0, SYMBOL 165 \f "Symbol"), SYMBOL 113 \f "Symbol" SYMBOL 206 \f "Symbol" [0, 2SYMBOL 112 \f "Symbol"].

Coordonate sferice ale unui punct sunt:raza R distana de la origine la punctul P, unghiul SYMBOL 106 \f "Symbol" (latitudinea) unghiul dintre distana R i proiecia lui P pe planul xOy,

unghiul SYMBOL 113 \f "Symbol" (longitudinea) - unghiul dintre axa Ox i proiecia lui P pe planul xOy, cu restriciile:

Figura 2.9 a) Coordonate cartezieneFigura 2.9 b) Coordonate cilindrice

Figura 2.9 c) Coordonate sfericeTrecerea de la coordonate carteziene la coordonate sferice se face astfel:

, unde .

Relaiile de trecere de la coordonate sferice la coordonate carteziene sunt: x = R cosSYMBOL 113 \f "Symbol" cosSYMBOL 106 \f "Symbol"; y = R sin SYMBOL 113 \f "Symbol" cos SYMBOL 106 \f "Symbol"; z = R sin SYMBOL 106 \f "Symbol".

Trecerea din coordonate carteziene n coordonate cilindrice se realizeaz prin relaiile: ; z = z; SYMBOL 113 \f "Symbol" se calculeaz dup aceeai relaie ca la coordonatele sferice. Trecerea invers, de la coordonate cilindrice la carteziene, este dat prin relaiile: x = R cosSYMBOL 113 \f "Symbol"; y = R sinSYMBOL 113 \f "Symbol"; z = z.

2.2.2 Transformri elementarePentru a putea exprima matriceal toate transformrile se folosesc coordonatele omogene. Pentru un punct dat M(x y z), vectorul punct are forma normal (x,y,z,1), 1 fiind norma dimensional. Reprezentarea unitar i combinarea transformrilor geometrice spaiale se pot face ntr-un sistem de coordonate cu patru dimensiuni, numit sistem de coordonate omogene. Un punct P(x y z) se reprezint n sistem de coordonate omogene prin punctul P(X Y Z w), unde X=xw, Y=yw, Z=zw, pentru orice valoare w0, numit factor de scal. Trecerea la coordonate omogene se efectueaz de regul fr modificarea cotelor x, y, z, lund w=1. Matricele de transformare vor fi de dimensiuni 4x4. Transformrile elementare sunt urmtoarele:a) Translatia. Este dat de relaia:

.b) Scalarea:

c) Simetriile. Sunt simetrii n raport cu axele, cu planele i n raport cu originea. Matricele de simetrie sunt urmtoarele: n raport cu axa Ox, , n raport cu axa Oy, , n raport cu axa Oz, , n raport cu planul xOy, , n raport cu planul xOz, , n raport cu planul yOz, , n raport cu originea O, .

d) Rotaiile. Sunt considerate transformri elementare rotaiile cu un unghi oarecare n jurul axelor, n sens trigonometric. Rotaia cu un unghi ( , n sens trigonometric n jurul axei Oz este echivalent cu o rotaie 2D cu acelai unghi n jurul originii n planul xOy, deoarece axa Oz este perpendicular pe acest plan. Matricea corespunztoare este:

Celelalte dou matrice (rotaia n jurul axelor OX i OY) sunt: .Compunerea transformrilor 3D. Se realizeaz la fel precum n plan. O transformare compus const intr-o succesiune de transformri elementare. Matricea transformrii compuse este produsul matricelor transformrilor elementare. Ordinea de nmulire este dat de ordinea n care se execut transformrile elementare corespunztoare.

Exemplul 2. Rotaie cu un unghi , n sens trigonometric, n jurul unei axe paralele cu Ox. Rezultatul compunerii unei serii de transformri se rezum la o matrice unic. Va fi identificat matricea de rotaie sub un unghi SYMBOL 113 \f "Symbol" n jurul dreptei pq, paralel cu Ox. Dreapta pq este definit de punctele p(a, b, c) i q(d, e, f). Pentru obinerea transformrii compuse sunt parcuri paii: 1) se efectueaz o translaie T, care aduce punctul p n originea sistemului de axe; 2) se efectueaz rotaia R cerut de unghiul SYMBOL 113 \f "Symbol"; 3) se execut translaia T' opus primeia, care readuce punctul p la poziia sa iniial.

Este obinut produsul matriceal M = T SYMBOL 215 \f "Symbol" R SYMBOL 215 \f "Symbol" T':

2.2.3 Imaginea plan a unui obiect 3D

Imaginea unui obiect aflat n spaiu este una plan. Este acea imagine perceput de observator atunci cnd privete spre obiectul respectiv. Forma imaginii depinde de mrimea obiectului i poziia observatorului. Imaginea plan a unui obiect 3D se obine n trei etape: determinarea coordonatelor observator, pornind de la coordonatele obiect i poziia observatorului;

proiecia pe un plan aflat la o oarecare distan de observator i obinerea coordonatelor plane reale ale obiectului;

transformarea de vizualizare i obinerea coordonatelor ecran ale obiectului.

2.2.3.1 Determinarea coordonatelor observator

Imaginea plan a unui obiect 3D se poate obine printr-o transformare compus , rezultat prin compunerea a patru transformri elementare [2]. Obiectul privit se gsete ntr-un sistem de coordonate propriu (sistem obiect), un sistem direct, avnd centrul n O. Observatorul se afl n punctul O, are propriul sistem de coordonate (sistem observator), un sistem indirect cu originea n O, i axa Oz orientat n sensul privirii observatorului , adic spre sistemul de coordonate obiect n care se afl obiectul privit. n sistemul de coordonate obiect punctul O are coordonatele carteziene (M,N,P). Lui i se pot asocia coordonatele sferice (R,(,() (Figura 3.6).

Cele patru etape prin care se poate obine imaginea plan a unui obiect 3D corespund la cele patru transformri fundamentale pe care trebuie s le suporte sistemul de coordonate obiect pentru a se suprapune sistemului de coordonate observator. Fiecare din cele patru etape transform parial sistemul (Ox,Oy,Oz) n sistemul (Ox,Oy,Oz). Matricele de transformare elementare vor fi utilizate n forma lor invers deoarece corespund unor transformri elementare aplicate sistemului de coordonate i nu obiectelor din cadrul sistemului.

Figura 2.10 Determinarea coordonatelor observator

Etapa 1. Translaia sistemului (Ox,Oy,Oz) de la originea O la originea O a sistemului (Ox,Oy,Oz). Matricea de transformare aplicat este:

A = , care datorit relaiilor dintre coordonatele carteziene i coordonatele sferice ale punctului O devine

A = .

n urma transformrii rezult sistemul de coordonate intermediar (Ox1,Oy1,Oz1):

Figura 2.11 Determinarea coordonatelor observator. Etapa 1

Etapa 2. Rotaia sistemului de coordonate (Ox1,Oy1,Oz1) cu un unghi -(90-() n jurul axei Z1.

Inversa matricei de rotaie cu un unghi oarecare ( n jurul axei Oz este . Unghiul ( n acest caz este 90-( iar matricea de transformare aplicat este B = , deoarece cos((-90) = sin(, iar sin((-90) = -cos(.

n urma rotaiei rezult sistemul de coordonate intermediar (Ox2,Oy2,Oz2):

Figura 2.12 Determinarea coordonatelor observator. Etapa 2Etapa 3. Rotaia sistemului (Ox2,Oy2,Oz2) cu un unghi 90+( n jurul axei Ox2.

Inversa matricei generale de rotaie cu un unghi ( n jurul axei OX este . n cazul de fa ( = 90+(. innd cont de relaiile

cos(90+() = -sin( i sin(90+() = cos(, rezult matricea de transformare C = . n urma transformrii rezult sistemul de coordonate intermediar (Ox3,Oy3,Oz3):

Figura 2.13 Determinarea coordonatelor observator. Etapa 3

Etapa 4. Conversia sistemului de coordonate (Ox3,Oy3,Oz3), dintr-un sistem indirect ntr-un sistem direct. Matricea de transformare aplicat este: D = , o matrice de simetrie, deoarece se schimb doar sensul axei Ox3. n urma acestei ultime transformri rezult sistemul de coordonate (Ox4,Oy4,Oz4), care este echivalent cu sistemul de coordonate observator (Ox,Oy,Oz).

Matricea compus , T , este determinat astfel:

T = A(B(C(D = .

Aplicnd fiecrui punct al unui obiect aflat n sistemul de coordonate propriu aceast transformare, vom obine coordonatele sale observator. Astfel, dac un punct oarecare din componena obiectului are coordonatele reale omogene (x,y,z,1), coordonatele sale n sistemul observator sunt:

(xo,yo,zo,1) = (x,y,z,1)(T,adic .

2.2.3.2 Proiecia plan a unui obiect 3D

n general, prin proiecie se nelege ansamblul de transformri pe care le sufer un punct aflat ntr-un sistem n-dimensional pentru a trece ntr-un sistem de dimensiuni mai mici. Proieciile pe un plan n grafica 3D sunt cunoscute sub numele de proiecii geometrice plane. Acestea se mpart n dou mari clase:

1. Proieciile perspectiv. n acest tip de proiecii, centrul de proiecie se afl la o distan finit de planul de proiecie.

Figura 2.14 Proiecia perspectiv

Proiecia perspectiv creaz un efect vizual asemntor celui perceput de sistemul vizual uman. Mrimea obiectului proiectat este invers proporional cu distana ce separ obiectul de centrul de proiecie. Distanele i unghiurile schimb aadar proiecia, mai puin pentru acele suprafee ale obiectului proiectat care sunt paralele cu planul de proiecie. n funcie de existena suprafeelor paralele cu planul de proiecie sunt tratate distinct trei tipuri de proiecie perspectiv:

- cnd cel puin una din suprafeele obiectului proiectat este paralel cu planul de proiecie;

- cnd cel puin una din muchiile obiectului proiectat este paralel cu planul de proiecie, fr ca vreo suprafa s fie paralel cu acesta;

- cnd nu exist muchii paralele cu planul de proiecie.

2. Proiecii paralele. n acest tip de proiecii, centrul de proiecie este situat la o distan infinit de obiect.

Figura 2.15 Proiecia paralel

Proiecia paralel conserv mrimea obiectului proiectat. Pentru a putea proiecta imaginea unui obiect pe un plan, este necesar s asociem coordonatelor reale ale fiecrui punct din care este alctuit obiectul, coordonatele ecran.

Se consider c:

- ecranul este un plan perpendicular pe dreapta ce unete ochiul cu originea sistemului de coordonate n care se afl obiectul;

- ecranul este situat la o distan D de ochiul observatorului;

- sistemul de coordonate al observatorului are originea plasat n punctul n care se afl ochiul, iara axa Z este orientat ctre originea sistemului de coordonate n care se afl obiectul, fiind un sistem indirect dreapta.

Figura 2.16 Planul de proiecie

Se noteaz cu R distana de la observator la originea sistemului de coordonate obiect. Dac R crete, imaginea pe ecran a obiectului vizualizat, scade i invers. Imaginea se construiete proiectnd fiecare punct al obiectului n planul ecran. Astfel, un punct care are coordonatele observator (xo,yo,zo), va avea coordonatele plane (xr,yr).

n figura 2.17 se poate observa n detaliu proiecia coordonatei xo a unui punct pe planul de proiecie. B reprezint proiecia pe planul xOz a punctului. Din asemnarea triunghiurilor OAB i OAB rezult: xr = . n mod asemntor obinem i yr = .

Observaie. n figura 2.17 planul de proiecie se afl dup obiect.

Schimbrile efectuate asupra unghiurilor ( i ( permit vizualizarea obiectului din poziii diferite. Schimbrile valorii R permit observarea obiectului de la distane diferite. O consecin a modificrii lui R este mrirea sau diminuarea obiectului, astfel:

- dac R se micoreaz, obiectul se mrete;

- dac R crete, obiectul se micoreaz.

Figura 2.17 Proiecia

O alt cale prin care se poate mrii sau micora imaginea obiectului este modificarea distanei D de la ecranul de proiecie la observator.

Figura 2.18 Relaia dintre R i D

Deoarece att R ct i D influeneaz mrimea imaginii obiectului, este foarte important nelegerea rolului specific al fiecruia dintre cei doi parametrii. Datorit proiecei n perspectiv, un obiect situat foarte aproape de observator va fi puternic deformat i cu ct distana scade cu att deformarea va fi mai puternic. Pentru a diminua aceste deformri orice modificare a parametrului R trebuie nsoit de o modificare compensatorie a parametrului D [2]. Acest lucru este necesar deoarece n timp ce modificrile asupra lui R duc la o deformare a obiectului, modificrile lui D nu au efect dect asupra taliei obiectului.

2.2.4 Decupajul n grafica 3D

Dac n grafica 2D o zon decupat din fereastr apare sub forma unei ferestre de vizualizare, n grafica 3D se opereaz cu noiunea de volum de vizualizare [2](Figura 2.19). Volumul de vizualizare are o form piramidal, cu vrful n originea sistemului de coordonate observator i baza aflat la o distan D fa de acesta. Forma de piramid a volumului de vizualizare permite formularea ecuaiilor matematice de decupare ntr-o manier simpl.

Decupajul const n trasarea dintr-un obiect doar a prii care se afl n cadrul volumului de vizualizare . Pentru aceasta trebuie indentificate punctele obiectului care se afl n cadrul volumului precum i interseciile dintre liniile obiectului i feele volumului de vizualizare.

Condiiile de vizibilitate ale punctelor. Se noteaz cu EX semilimea bazei i cu EY semilungimea ei. Planul superior al piramidei poate fi redus la o dreapt ce trece prin origine i prin punctul a. Ecuaia sa este Y = (Figura 2.20).

Figura 2.19 Volumul de vizualizare

Asemntor, planul inferior trece prin originea O i punctul a Ecuaia planului inferior este: Y = . Planul dreapta se reduce la o dreapt ce trece prin originea O i prin punctul b, iar planul stnga se reduce la o dreapt ce trece prin O i b: X = , X = (Figura 2.20).

Figura 2.20 Condiiile de vizibilitate n raport cu planurile superior, inferior, stnga i dreapta

Pentru a fi vizibil, un punct trebuie s aparin volumului de vizualizare. Dac se consider un punct oarecare al spaiului P(x1,y1,z1) condiiile de vizibilitate referitoare la acest punct sunt urmtoare:

y1

pentru a fi sub planul superior,

y1

pentru a fi peste planul inferior,

x1

pentru a fi la dreapta planului stng,

x1

pentru a fi la stnga planului drept.

Intersecia unei drepte oarecare cu unul din plane. Ecuaia unei drepte ce trece prin dou puncte (x1,y1,z1) i (x2,y2,z2) este:

.

Dac se noteaz cu t valoarea acestor rapoarte, se obin ecuaiile parametrice ale unei drepte trecnd prin dou puncte din spaiu:

.

(*)

Pentru a determina intersecile cu cele patrui plane se nlocuiesc valorile x, y i z n ecuaiile corespunztoare. Rezult urmtoarele valori pentru t:

- pentru intersecia cu planul superior, t = ,

- pentru intersecia cu planul inferior t = ,

- pentru intersecia cu planul lateral stnga t= ,

- pentru intersecia cu planul lateral dreapta t = .

Pe baza valorilor lui t se determin punctul de intersecie (x,y,z) prin nlocuirea valorilor corespunztoare n ecuaiile (*).6667

_1249416444.unknown

_1249459904.unknown

_1249460234.unknown

_1253777951.unknown

_1253778085.doc

Fereastra

Vizorul

(x, y)

(vl,vt)

(vr,vb)

(xe, ye)

(wl,wt)

(wr,wb)

_1253786873.doc

(

O

X

Y

X

Y

O

Z

ZO

(

R

M

N

P

_1253789703.doc

_1253789692.doc

ZO

O

YO

XO

EY

EX

a

a

b

b

D

_1254121869.unknown

_1253782290.doc

M

Mt

O

Y

X

r

Figura 2.5 Rotaia

_1253778008.doc

Ecranul calculatorului

Vizorul

(vl,vt)

(vr,vb)

_1249460975.doc

_1249460959.doc

Planul dreapta

Planul stnga

EX

EX

ZO

O

b

D

XO

_1249461098.unknown

_1249461144.unknown

_1249461175.unknown

_1249461187.unknown

_1249461106.unknown

_1249461090.unknown

_1249461095.unknown

_1249461076.doc

_1249461064.doc

Planul inferior

Planul superior

EY

EY

YO

ZO

O

a

D

_1249460667.doc

D

R

Obiect

Imagine

Observator

_1249460792.unknown

_1249460239.unknown

_1249460013.unknown

_1249460038.unknown

_1249460044.unknown

_1249460034.unknown

_1249459970.unknown

_1249460009.unknown

_1249459965.unknown

_1249417601.unknown

_1249459898.unknown

_1249417613.unknown

_1249417617.unknown

_1249417609.unknown

_1249417590.unknown

_1249417595.unknown

_1249417586.unknown

_1249417305.unknown

_1249416678.unknown

_1249403696.unknown

_1249416005.doc

Oz

Oy

Ox

O

P

z

x

y

_1249416185.doc

Oz

Oy

Ox

O

P

R

_1249416078.doc

Oz

Oy

Ox

O

P

z

R

_1249415857.doc

Oz

Oy

Ox

O

Sistem de coordonate obiect

- sistem direct -

Sistem de coordonate observator

- sistem indirect -

Oz

Ox

Oy

O

_1249403719.unknown

_1249403732.unknown

_1249403937.unknown

_1249403723.unknown

_1249403712.unknown

_1249403717.unknown

_1249400824.unknown

_1249403677.unknown

_1249403688.unknown

_1249403692.unknown

_1249403681.unknown

_1249400829.unknown

_1233476475.doc

O

D

zo

Z

X

xo

xr

X

Y

Y

A

B

B

A

_1249400580.unknown

_1249400816.unknown

_1249400820.unknown

_1249400595.unknown

_1249400569.unknown

_1249400573.unknown

_1233478066.unknown

_1249400546.unknown

_1233478065.unknown

_1233478064.unknown

_1233474814.doc

(

O

Y1

Z1

X

Y

O

Z

X1O

(

_1233476445.doc

(

O

X

Y

X

Y

O

Z

ZO

ZE

XE

YE

(

_1174981674.doc

(

Y3

Y

O

Z

(

X3O

O

X

Z3

_1142759631.doc

b

a

a

b

Centrul de proiecie

( (

Planul de proiecie

_1174981560.doc

(

Y2

Z2

Y

O

Z

(

(

X2O

O

X

_1142759614.doc

b

a

a

b

Centrul de proiecie

Planul de proiecie