geometrija

MATEMATIKA 2

Geometrija

skripta na bazi sedam predavanja

Ljubica OparnicaPedagoski fakultet u Somboru

Contents

1 Euklidska geometrija u 7 lekcija 11.1 Osnovni objekti i tvrdjenja. Axiome. Peti aksiom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Aksiome poretka. Posledice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Podudarnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Dalje posledice aksioma podudarnost. Ortogonalnost. Simetrija. . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Transformacije podudarnosti u ravni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Merenje duzi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Aksioma paralelnosti. Euklidska geometrija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1 Neke posledice aksiome paralelnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

iii

iv CONTENTS

Chapter 1

Euklidska geometrija u 7 lekcija

1.1 Osnovni objekti i tvrdjenja. Axiome. Peti aksiom.

Osnovni objekti u geometriji su tacka, prava i ravan.

Tacke obelezavamo velikim slovima abecede: A;B;C:::; P;Q;R; :::. Prave su skupovi tacaka i obelezavaju se malim slovima abecede a; b; c; :::p; q; r; :::. Da tackaA pripada pravoj p oznacavamo sa A 2 p.

Ravni su takodje skupovi tacaka i obelezavaju se slovima grcke azbuke sa ; ; :::. Da tackaA pripada ravni obelezavamo sa a 2 , dok za pravu koja pripada ravni pisemo p .Pogresno je pisati A i p 2 .

Hilbertov sistem aksioma

Aksiome su osnovna tvrdjenja koja se ne dokazuju. Sistem aksioma koji se danas koristi zaaksiomatski pristup geometriji je uveo Hilbert (David, 1862-1943) u svom radu 1899. godine. Toje prvi potpuno korektan, neprotivrecan i potpun sistem aksioma euklidske geometrije. Aksiomesu podeljene u grupe po svojoj prirodi. Prve cetiri apsolutna geometrija. Peta, jedna aksioma,aksioma paralelnosti, posebno je zanimljiva...Euklidov postulat...

I Aksiome pripadanja (8 aksioma)

II Aksiome rasporeda (4 aksiome)

III Aksiome podudarnosti (5 aksioma)

IV Aksiome neprekidnosti (2 aksiome)

V Aksioma paralelnosti (1 aksioma)

Aksiome pripadanja (incidencije)

I1 Za svake dve razlicite tacke A i B postoji prava koja ih sadrzi.

I2 Postoji najvise jedna prava koja sadrzi date tacke A i B.

I3 Za svaku pravu postoji bar dve tacke koje joj pripadaju. Postoje bar tri tacke koje nepripadaju istoj pravoj.

I4 Za svake tri tacke A, B i C koje ne pripadaju jednoj pravoj postoji ravan koja sadrzi tackeA, B i C. Svaka ravan sadrzi bar jednu tacku.

1

2 CHAPTER 1. EUKLIDSKA GEOMETRIJA U 7 LEKCIJA

I5 Za svake tri tacke A, B i C koje ne pripadaju jednoj pravoj postoji najvise jedna ravan kojaih sadrzi.

I6 Ako dve tacke prave a pripadaju ravni onda svaka tacka prave a pripada ravni .

I7 Ako postoji jedna tacka koja pripada ravnima i , onda postoji bar jos jedna tacka kojapripada i ravni i ravni .

I8 Postoji bar cetiri tacke koje ne pripadaju istoj ravni.

Pravu koja sadrzi tacke A i B zovemo jos i prava AB i oznacavamo sa p(A;B). Ravan kojasadrzi tacke A, B i C zovemo ravan ABC i oznacavamo sa (A;B;C). Ako svaka tacka prave apripada ravni , onda kazemo da prava a pripada ravni , ravan sadrzi pravu a, pisemo p .

Pomocu ovih polaznih pojmova denicija uvodimo sledece izvedene pojmove.

Denicija 1.1. Za tri i vise tacaka kaze se da su kolinearne ako postoji prava koja ih sadrzi.Inace su nekolinearne. Za cetiri i vise tacaka se kaze da su komplanarne ako postoji ravan kojaih sadrzi, inace su nekomplanarne. Za dve i vise pravih se kaze da su komplanarne ako postojiravan koja ih sadrzi, inace su nekomplanarne.

Na osnovu aksioma pripadanja mogu se dokazati sledeca tvrdjenja.

Teorema 1.1.

Ako su a i b dve razne prave, onda: ili je a \ b = ;, ili je a \ b = P .Neka su i dve ravni. Tada je

ili \ = ; ili \ = p; p = fAjA 2 ^A 2 g

Ravan i prava koja nije sadrzana u toj ravni mogu imati najvise jednu zajednicku tacku:

ili \ p = p; ili \ p = ;; ili \ p = fAg

Prava p i tacka A koja ne pripada pravoj p, odredjuju jednu i samo jednu ravan.

Dve prave koje se seku odredjuju jednu i samo jednu ravan.

Svaka ravan sadrzi bar tri tacke.

Denicija 1.2. Dve prave se seku ako imaju tacno jednu zajednicku tacku. Prava i ravan se sekuako imaju tacno jednu zajednicku tacku. Dve ravni se seku ako njihov presek nije prazan skup,njihov presek je tada prava.

Teorema 1.2. Postoje dve prave koje nemaju zajednickih tacaka i nisu u istoj ravni

Za prave iz prethodne teoreme kaze se da su mimoilazne.

1.2 Aksiome poretka. Posledice.

Drugu grupu aksioma cine aksiome poretka. U skup tacaka uvodi se relacija "...je izmedju...".

II1 Ako je AB C onda su A, B i C tri kolinearne tacke i takodje je C B A.II2 Za svaku tacku A i svaku tacku B, postoji tacka C tako da: AB C.II3 Ako su A, B i C tri kolinearne tacke onda vazi najvise jedan od tri odnosa:

(AB C); (A C B); (B A C):

1.2. AKSIOME PORETKA. POSLEDICE. 3

II4 (Pasova aksioma). Neka su A, B i C tri nekolinearne tacke, a p prava tako da A;B;C =2 p.Ako postoji tacka tako da

D 2 p ^ (AD B);onda postoji tacka E 2 p i

ili je (A E C) ili je (B E C):

Teorema 1.3. Za svake dve tacke A i B postoji tacka C takva da je A C B.Sada smo u mogucnosti da denisemo jos neke vazne pojmove.

Duz, izlomljena linija, mnogougao

Denicija 1.3. Neuredjeni par tacaka nazivamo duz. Prema tome AB = BA. Otvorenaduz je skup svih tacaka izmedju tacaka A i B, oznacava se sa (AB) ili radi jednostavnosti,AB. Zatvorena duz je skup [AB] = AB [ fAg [ fBg. Tacke A i B zatvorene duzi [AB]su krajnje tacke duzi.

Teorema 1.4. Otvorena duz je beskonacan skup tacaka.

Posledica toga je da su i zatvorena duz, prava, ravan i prostor su beskonacni skupovi tacaka.

Denicija 1.4. Izlomljena linija je skup

[A1; A2] [ [A2A;3 ] [ ::: [ [An1; An]:

Tacke A1 i A2 su krajnje tacke, A1; A2; :::; An su temena, a [Ak1; Ak] su stranice izlomljenelinije. Dva temena jedne stranice su susedne stranice. Zatvorena duz cije su krajnje tacketemena koja nisu susedna (dva nesusedna temena) naziva se dijagonala.

Mnogougao je zatvorena izlomljena linija, odnosno izlomljena linija kod koje se krajnje tackepoklapaju. Mnogougao cija su (razlicita) temena A1; A2; :::; An zove se n-tougao i oznacavase: A1A2:::An.

Ako su sva temena izlomljene linije (ili mnogougla) tacke u jednoj ravni izlomljena linija (ilimnogougao) je ravna (ravan), u protivnom je prostorna (prostoran).

Trougao je mnogougao sa tri temena, a cetvorougao sa cetiri.

Poluprava i poluravan

Denicija 1.5.

Uocimo tacku A prave p. Uocimo jos dve tacke prave p, P i Q. Kazemo da je tacka Q sa istestrane tacke A kao i tacka P ako :(P AQ)Relacija \sa iste strane tacke" je relacija ekvivalencije na skupu p n fAg. Ona deli skup p n fAg nadve klase ekvivalencije, dve poluprave a1 i a2, sa pocetnom tackom A. Dakle, skup svih tacaka saiste strane tacke A je poluprava sa pocetnom tackom A. Ima dve poluprave sa jednom pocetnomtackom. Zatvorena poluprava je a1 [ A. Polupravu sa pocetnom tackom A koja sadrzi B 2 poznacavamo sa pp[AB).

Uocimo u ravni pravu a i u skupu n a dve tacke P i Q. Kazemo da je tacka Q sa iste straneprave a kao i tacka P ako

1.) p(P;Q) \ a = ;ili2.) p(P;Q) \ a = fAg i :(P AQ)


Relacija \sa iste strane prave" je relacija ekvivalencije na skupu n a. Ona deli skup n a na dveklase ekvivalencije, dve poluravni 1 i 2, sa pocetnom pravom a. Pocetna prava a naziva se iivica poluravni. Dakle, skup svih tacaka sa iste strane prave a je poluprava sa pocetnom tackomA. Ima dve poluprave sa jednom ivicom. Ako B 2 n a, poluravan sa ivicom a koja sadrzi Boznacavamo sa pr[aB).

Geometrijska gura (kratko, gura) je svaki neprazan skup tacaka.

Figura F je konveksna ako i samo ako

Za svake dve tacke gure A;B 2 F; vazi da [AB] F

Ugao i diedar. Trougao.

Ugao je unija dve razne zatvorene poluprave sa zajednickom pocetnom tackom. Ako teprave dopunjuju jedna drugu do prave, ugao je ravan, ili opruzen. Poluprave su kraci ugla,a zajednicka pocetna tacka je teme ugla.

Ugao sa kracima a; b oznacavamo ovako: \ab. Takodje, ugao oznacavamo \AOB, gde A 2 a,B 2 b, a O je teme.

U skupu n \ab denise se relacija sa iste strane ugla \ab (ovu deniciju u ovom tekstucemo preskociti) koja je relacija ekvivalencije i deli ravan na dve disjunktne gure (oblasti).Kad je ugao razlicit od ravnog, jedna od gura je konveksan skup, a druga nekonveksan.Konveksan skup naziva se unutrasnjost ugla a nekonveksan spoljasnjost ugla.

Dva ugla su susedna ako imaju jedan zajednicki krak. Susedni uglovi cija se druga dva krakadopunjuju do opruzenog ugla nazivaju se naporedni uglovi. Uglovi su unakrsni ako impo dva kraka odredjuju dva opruzena ugla i imaju zajednicko teme.

Diedar je unija dve razne zatvorene poluravni sa zajednickom ivicom. Ako se te dve polu-ravni dopunjuju do ravni, diedar je ravan.

Poluravni su pljosni diedra a zajednicka prava ivica diedra.

Diedar sa pljosnima ; oznacavamo ovako: \ ili \ApB, gde su A 2 , B 2 , a p jeivica diedra.

Analognim postupkom kao za ugao, dolazimo do pojmova unutrasnje oblasti diedra koja jekonveksan skup i spoljasnje oblasti diedra koja je nekonveksan skup.

Denicija 1.6. Neka su A;B;C tri nekolinearne tacke. Tada se skup [AB][ [BC][ [AC] nazivatrougao i oznacava se 4ABC. Duzi [AB]; [BC]; [AC] su stranice trougla, A;B;C su njegovatemena a \BAC, \ABC i \ACB njegovi uglovi. Dakle, trougao je najjednostavniji mnogougao.Kao i kod ugla denisu se spoljasnja i unutrasnja olast trougla. Unutrasnja oblast je konveksanskup a spoljasnja nekonveksan.

1.3 Podudarnost.

Aksiome podudarnosti su treca grupa aksioma. Pomocu njih se u skup svih duzi i uglova seuvodi relacija "...je podudarno...\.

III1 Za svaku polupravu a0 sa pocetnom tackom A0 i za svaku duz AB, postoji tacka B0 2 a0

takva da je duz AB podudarna sa duzi A0B0. To se zapisuje na sledeci nacin:

AB = A0B0

III2 (AB = A0B0 ^ AB = A00B00) ) A0B0 = A00B00

1.3. PODUDARNOST. 5

III3 Ako je AB C i A0 B0 C 0 i ako je AB = A0B0 i BC = B0C 0 onda je AC = A0C 0.III4 Za svaku poluravan

0 sa ivicom p0, za svaku polupravu a0 p0 sa pocetnom tackom O0, zasvaki ugao \ab, postoji jedna i samo jedna poluprava b0 0, sa pocetnom tackom O0 takoda jem \ab podudaran sa \a0b0. To pisemo:

\ab = \a0b0:

III5 Ako je kod trouglova ABC i A0B0C 0

AB = A0B0; BC = B0C 0; \CAB = \C 0A0B0

onda je i\CBA = \C 0B0A0:

Teorema 1.5. Podudarnost duzi je relacija ekvivalencije.

Ovo se tvrdjenje dokazuje na osnovu prve tri aksiome podudarnosti. Analogno tvrdjenje zauglove dokazuje se tek posle izvodjenja niza tvrdjenja.

Teorema 1.6.

a) Tacka B0 koja se pominje u aksiomi III1 jednoznacno je odredjena.

b) Neka je AB C i A0 B0 C 0. Tada:

([AB] = [A0B0] ^ [AC] = [A0C 0]) ) [BC] = [B0C 0]:

c) Ako je kod 4ABC i 4A0B0C 0:

[AB] = [A0B0]; [AC] = [A0C 0] ^ \CAB = \C 0A0B0;

onda je i[BC] = [B0C 0]:

d) Ako je u trouglu 4ABC, [AC] = [BC], onda je i \CAB = \CBA. Ovakav trougao se nazivajednakokrak.

e) Ako su kod trouglova 4ABC i 4A0B0C 0 podudarne sve tri stranica, podudarni su i svi uglovi.f) Podudarnost uglova je relacija ekvivalencije.

Relacije \...manje od..." i \...vece od" za duzi ii uglove

Denicija 1.7. Duz [AB] je manja od [CD], ako postoji tacka P takva da je

C P D ^ [CP ] = [AB]:

To zapisujemo ovako [AB] < [CD].Duz [CD] je veca od [AB] ako je [AB] < [CD]. To zapisujemo ovako [CD] > [AB].

Teorema 1.7.

U skupu svih duzi, relacija "...manje od...\ je relacija poretka.

Za dve duzi [AB] i [CD] uvek je zadovoljena jedna i samo jedna od tri relacije:

[AB] = [CD]; [AB] < [CD]; [AB] > [CD]

Denicija 1.8. Duz [EF ] jednaka je zbiru duzi AB i CD u oznaci EF = AB+CD, ako postojitacka P , takva da E P F , [EP ] = [AB] i [PF ] = [CD].


Denicija 1.9. Ugao \ab je manji od \cd, ako postoji poluporava p cija je pocetna tacka temeugla \cd, koja je sadrzana u unutrasnjosti ugla \cd i takva da je

\cp = \ab:

To zapisujemo ovako \ab < \cd.

Za uglove vazi teorema analogna Teoremi 1.7 za duzi, a slicno se denise i zbir uglova. Vazedalja tvrdjenja:

Denicija 1.10. Spoljasnji ugao trougla je ugao koji je naporedan uglu trougla.

Teorema 1.8.

a) Naporedni uglovi podudarnih uglova su podudarni.

b) Unakrsni uglovi su podudarni.

c) Spoljasnji ugao trougla je veci je od ugla trougla sa kojim nije naporedan.

Teorema koja sledi uvodi nove pojmove i znacajna je i po tome sto daje uslove pod kojima sedve prave ne seku.

Teorema 1.9. Neka je u ravni : P 2 p(A;B), P 0 2 p(A0; B0), Q;Q0 2 p(P; P 0) tako da jeQ P P 0 i P P 0 Q0.

Ako je \QPB = \PP 0B0 onda je p(A;B) [ p(A0; B0) = ;Denicija 1.11. Neka su oznake kao u prethodnoj teoremi. Pravu p(P; P 0) nazivamo transverzalaa uglove koje ona obrazuje sa p(A;B) i p(A0; B0) zovemo transverzalni. Posebno,

Uglovi \QPB i \PP 0B0 su saglasni uglovi.Uglovi \BPP 0 i \PP 0B0 su naspramni uglovi.Uglovi \APP 0 i \PP 0B0 su naizmenicni uglovi.

Teorema 1.10.

Za svaki trougao ABC, iz [AC] > [BC] sledi \ABC > \CAB, odnosno naspram vece stranicelezi veci ugao.

Za svaki trougao, svaka stranica je manja od zbira a veca je od razlike druge dve stranice.

Teorema 1.11.

Za svaku duz [AB] postoji jedna i samo jedna tacka S takva da je ASB i [AS] = [SB]. TackaS naziva se sredina duzi [AB], a svaka od duzi [AS] i [SB] je polovina duzi [AB].

Za svaki ugao \pOq postoji jedinstvena poluprava s sa pocetnom tackom O koja pripada un-utrasnjosti ugla \pOq i vazi: \ps = \sq. Ta se poluprava naziva bisektrisa ugla.

1.4 Dalje posledice aksioma podudarnost. Ortogonalnost.Simetrija.

Denicija 1.12. Za konveksan ugao kaze se da je prav ako je podudaran naporednom uglu.

Ako postoji presek dve prave a i b, tacka preseka O odredjuje na svakoj od njih po dve polupravea; a i b; b, pa su na taj nacin odredjena i cetiri ugla \aOb, \aOb, \aOb i \aOb. Premaprethodnoj deniciji i Teoremi 1.8, a), jasno je da ako je jedan od pomenuta cetiri ugla prav ondasu i ostala tri ugla prava. Tada se za prave a i b kaze da su normalne ili ortogonalne.

Da je prava a normalna na pravu b oznacavamo ovako:a ? b.

1.4. DALJE POSLEDICE AKSIOMA PODUDARNOST. ORTOGONALNOST. SIMETRIJA.7

Teorema 1.12. Za svaku ravan , za svaku pravu p 2 i za svaku tacku A 2 p, postoji jedna isamo jedna prava n takva da je A 2 n i n ? p.

sa dokazom

Teorema 1.13.

Ugao podudaran pravom uglu je prav.

Pravi uglovi su podudarni.

Denicija 1.13. Ugao je ostar ako je manji od pravog ugla, a ako je veci od pravog ugla kazmoda je ugao tup.

Teorema 1.14. Za svaku pravu q i svaku tacku A =2 q, postoji jedna i samo jedna prava n takvada je A 2 n i n ? q.

Tvrdjenje 1.15. Presek dve normale iste prave je prazan skup.

Normalnost prave i ravni.

Denicija 1.14.

Prava n je normalna na ravan ako je n \ = fNg i ako je za svaku pravu a i N 2 a,a ? n.Kazemo i da je ravan " normalna na pravu n\ ili " prava n je normala ravni ", a oznacavamoovako: n ? .

Teorema 1.16.

a) Ako je prava koja sece ravan normalna na dve prave ravni, normalna je i na ravan.

b) Za svaku tacku A i svaku pravu a postoji tacno jedna ravan takva da je A 2 i a ? .c) Za svaku ravan i svaku tacku A postoji tacno jedna prava n koja sadrzi A i normalna je na .

Normalnost dve ravni.

Denicija 1.15. Kazemo da je ravan normalna na ravan ako postoji prava a 2 tako da jea ? b.

Tvrdjenje 1.17.

a) Ako je ? onda je i ? .b) Da bi prava koja je sadrzana u jednoj od dve normalne ravni bila normalna na drugu ravan,dovoljno je da bude normalna na presecnu pravu te dve ravni.

c) Ako su ravni ; ; takve da je

? ^ ? ;i ako postoji prava \ = p, onda je p ? d) Dve normale na istu ravan su komplanarne.

Denicija 1.16.

Normalna (ortogonalna) projekcija tacke A na ravan (pravu a), u oznaci !(A) (!a(A))je tacka preseka ravni (prave a) i one normale ravni (prave a) koja sadrzi tacku A.

Odstojanje tacke A od ravni (od prave a) je duz [AA0], gde je A0 = !(A) (ili A0 = !a(A)).


1.4.1 Transformacije podudarnosti u ravni.

Denicija 1.17. Preslikavanje ravni u samu sebe,

f : !

koje je bijekcija i za koje vazi da za svako A;B 2

[f(A)f(B)] = [AB];

zove se transformacija porudarnosti ili, kratko, podudarnost.

Preslikavanje f : ! za koje vazi da je f(A) = A, za svako A 2 naziva se koincidencija iliidenticko preslikavanje.

Denicija 1.18. Neka je s proizvoljna prava ravni . Pridruzimo svakoj tacki X 2 tackuX 0 2 tako da su zadovoljeni ovi uslovi:

1.) ako je X 2 s, X 0 X,

2.) ako X =2 s, p(X;X 0) ? s i fX0g = s \ p(X;X 0), onda [XX0] = [X0X 0].

Tada je tacka X 0 jedinstveno odredjena a opisano preslikavanje se naziva osna simetrija. Obelezavamoje sa s, a pravu s nazivamo osa simetrije. Dakle,

s(X) = X0:

Jasno je da je s bijekcija i da s(X0) = X i prema tome inverzno preslikavanje za s je s,

t.j. 1s = s.

Teorema 1.18. Ako je s(A) = A0 i s(B) = B0 onda je s(p(A;A0)) = p(A;A0), s(p(B;B0)) =

p(B;B0), odnosno osna simetrija preslikava svaku normalu na tu istu normalu.

Osna simetrija preslikava duz na podudarnu duz, odnosno, osna simetrija je transformacija podu-darnosti.

Osna simetrija je kolineacije, t.j. preslikava kolinearne tacke u kolinearne tacke.

Osna simetrija preslikava ugao na podudaran ugao. Posebno, preslikava prav ugao na prav ugao inormalne prave u normalne prave.

Denicija 1.19. Prava s je osa simetrije ili simetrala duzi [AB], ako s sadrzi sredinu duzi S iako je s ? p(A;B).

Teorema 1.19. Simetrala duzi je jedinstveno odredjena.

Prava s je simetrala duzi [AB] ako i samo ako s(A) = B.

Za svako P 2 s vazi [AP ] = [BP ]. Takodje, ako je [AP ] = [BP ], simetrala s sadrzi tacku P .

Denicija 1.20. Neka je O teme ugla \ab. Ako je O 2 s i ako je s(a) = b, prava s je osasimetrije ili simetrala ugla \ab.

Teorema 1.20. Simetrala ugla je jedinstveno odredjena.

Denicija 1.21. Ako je prava s takva da je s(F ) = F , s je osa simetrije gure.

1.4. DALJE POSLEDICE AKSIOMA PODUDARNOST. ORTOGONALNOST. SIMETRIJA.9

Dalje o transformacijama podudarnosti. Rotacija, centralna simetrija i translacija.

U teoremi 1.18 rekli smo da je osna simetrija transformacija podudarnosti. Takodje je i konacanproizvod osnih simetrija transformacija podudarnosti, a moze se dokazati i da je svaka transfor-macija podudarnosti proizvod najvise tri osne simetrije. Prema tome

Teorema 1.21. Transformacija podudarnosti je kolineacija, preslikava polupravu na polupravu,poluravan na poluravan, ugao na podudaran ugao, normalne prave na normalne prave.

Rotacija, centralna simetrija i translacija su transformacije podudarnosti u ravni sa kojimase najcesce srecemo u svakodnevnom zivotu. Sve one su kompozicija dve osne simetrije koje seklasikuju kao transformacije podudarnosti prve vrste jer su proizvod parnog broja (dve) osnihsimetrija. Transformacije podudarnosti druge vrste proizvod su neparnog broja osnih simetrija ito su osna simetrija, identicna transformacija i i klizna simetrija.

Denicija 1.22. Neka su F i F 0 gure u istoj ravni. Kazemo da je gura F podudarna sagurom F 0, ako postoji transformacija podudarnosti tako da je (F ) = F 0.

Teorema 1.22. Podudarnost gura je relacija ekvivalencije.

Stavovi o podudarnosti trouglova.

III Ako su kod 4ABC i 4A0B0C 0 podudarne sve stranice onda je i 4ABC = 4A0B0C 0.I Ako kod 4ABC i 4A0B0C 0 vazi [AB] = [A0B0], [AC] = [A0C 0] i \CAB = \C 0A0B0 onda4ABC = 4A0B0C 0.

II Ako kod 4ABC i 4A0B0C 0 vazi [AB] = [A0B0], \CAB = \C 0A0B0 i \CBA = \C 0B0A0onda 4ABC = 4A0B0C 0.

IV Ako kod 4ABC i 4A0B0C 0 vazi [AB] = [A0B0], \CAB = \C 0A0B0 i \ACB = \A0C 0B0onda 4ABC = 4A0B0C 0.

V Ako kod 4ABC i 4A0B0C 0 vazi [AB] = [A0B0], [AC] = [A0C 0], [AB] > [AC] i \ACB =\A0C 0B0 onda 4ABC = 4A0B0C 0.

Primene podudarnosti trouglova

Teorema 1.23.

a) Svaka tacka na simetrali ugla jednako je udaljena od krakova tog ugla, i obrnuto.

b) Ako postoji tacka preseka simetrala dve stranice, onda i simetrala trece stranice sadrzi tu tackupreseka.

c) Simetrale uglova trougla seku se u jednoj tacki.

Transformacije podudarnosti u prostoru denisu se analogno kao i u ravni i najznacajnija jesimetrija u odnosu na ravan, t.j. ravanska simetrija.

Kruznica i sfera.

Denicija 1.23. Neka je ravan, a R duz. Kruznica K(O;R) sa sredistem (centrom) O ipoluprecnikom R, je skup tacaka X 2 takvih da je [OX] = R.

Taka X 2 za koju je [OX] < R je unutrasnja tacka kruznice, a tacka X za koju je [OX] > Rspoljasnja tacka kruznice.

Prava koja sadrzi centar kruznice naziva se diametar.

Diametar je beskonacan skup tacaka, ima beskonacno mnogo diametara i svaki diametar imasa kruznicom tacno dve tacke (kazemo da su te dve tacke diametralno naspramne). Svaki diametarkruznice je njena o sa simetrije, t.j. d(K(O;R)) = K(O;R).


Teorema 1.24. Prava koja sadrzi tacku kruznice A i nije normalna na diametar p(O;A) sadrzijos jednu tacku kruznice.

Prava i kruznica mogu da sadrze najvise dve zajednicke tacke.Prava koja sadrzi tacku A kruznice K(O;R) i normalna je na p(O;A) ne sadrzi druge tacke

kruznice i naziva se tangenta na kruznicu, a tacka A je tacka dodira kruznice i tangente.Svaka tacka tangente razlicita od tacke dodira je spoljasnja tacka tangente.Neka je t tangenta i A 2 t spoljasnja tacka kruznice. Uvek postoji jos samo jedna tangenta te

kruznice koja sadrzi A.Ako je A spoljasnja tacka za K(O;R) i ako je A 2 a, a ? p(O;A), onda a \K(O;R) = ;.Prema Teoremi 1.23 simetrale uglova seku se u jednoj tacki koja je jednako udaljena od sve tri

stranice trougla i prema tome je srediste kruznice koja dodiruje sve tri stranice. To je upisanakruznica trougla.

Za svaki trougao postoji jedna i samo jedna upisana kruznica.Kruznica koja sadrzi sva tri temena trougla naziva se opisana kruznica trougla. Ako postoji

jedinstvena je, ali njena egzistencija je tek posledica aksiome paralelnosti V1.

1.5 Merenje duzi. Aksiome neprekidnosti.

Merenje duzi je uspostavljanje korespodencije izmedju skupa svih duzi i pozitivnih realnih brojeva.

Denicija 1.24. Neka je svakoj duzi pridruzen pozitivan realan broj tako da':

1) podudarnim duzima pridruzen je isti broj

2) ako je AB C, duzi [AC] pridruzen je zbir brojeva pridruzenih duzima [AB] i [BC].3) postoji duz kojoj je pridruzen broj 1.

Broj pridruzen duzi [AB] je merni broj [AB] i oznacava se sa m[AB]. Duz kojoj je pridruzenabroj jedan naziva se jedinicna duz.

Teorema 1.25. Ako je [AB] > [AC], onda je m[AB] > m[AC].Ako je jedinicna duz zadana, merni broj svake duzi koja je manja od jedinicne jednoznacno je

odredjen.

A sta je sa duzima vecim od jedinicne? Prethodna teorema se moze proziti na takve duzi tekposle uvodjenja nove aksiome:

IV1 (Arhimedova aksioma) Neka su AB i CD proizvoljne duzi. Neka je A1; A2; A3::: 2 pp([AB)tako da je

AA1 A2; A1 A2 A3; A2 A3 A4; :::i

AA1 = A1A2 = A2A3 = :::: = CD;Tada postoji poitivan ceo broj n takav da je ili B An ili An B An+1.

Dakle, sada vazi

Teorema 1.26. Merni broj svake duzi jednoznacno odredjen.

Razmotrimo sada sledeci problem. Neka je dat pozitivan realan broj r. Ako je jedinicna duzzadana, odrediti [AB] tako da m[AB] = r. Da bi se resio ovaj problem potrebno je uvesti josjednu aksiomu.

IV2 (Kantorova aksioma) Neka je dat beskrajan niz duzi takvih da je svaka sadrzana u prethodnoji ne postoji duz sadrzana u svim duzima niza. Tada postoji tacka koja je sadrzana u svimduzima toga niza.

Sada se moze dokazati

Teorema 1.27. Ako je jedinicna duz zadana, onda za svaki realan i pozitivan broj r postoji duz[AB] tako da je m[AB] = r.

1.6. AKSIOMA PARALELNOSTI. EUKLIDSKA GEOMETRIJA. 11

1.6 Aksioma paralelnosti. Euklidska geometrija.

Uocimo u ravni pravu a i tacku A =2 a. Prema Teoremi 1.9 postoji prava b takva daA 2 b ^ a \ b = ;: (1.1)

Postavlja se pitanje koliko ima pravih koje zadovoljavaju uslov (1.1)? Odgovor na ovo pitanjedajemo uvodjenjem nove aksiome, aksiome paralelnosti.

V1 Za svaku pravu a i tacku A =2 a, postoji samo jedna prava koja sadrzi tacku A i ne secepravu a.

Denicija 1.25. Neka su a i b komplanarne. Kazemo da je prava a paralelna sa pravom b, i tozapisujemo ovako a k b, ako je

a \ b = ;; ili a b:Teorema 1.28.

U skupu svih pravih jedne ravni, relacija "...je paralelna..\ je relacija ekvivalencije.

Ako prava sece jednu od dve paralelne prave, sece i drugu.

Ako je prava ortogonalna na jednu od dve paralelne prave, ortogonalna je i na drugu.

Ekvivalenti aksiome paralelnosti.

Sledeca tvrdjenja su ekvivalentna sa aksiomom V1.

Peti Euklidov postulat. Ako dve prave u preseku sa trecom obrazuju suprotne uglove cijije zbir manji od ravnog ugla, postoji presek tedve prave.

Zbir uglova u trouglu je ravan ugao. Postoji trougao ciji je zbir uglova ravan ugao. Ako merni broj ravnog ugla oznacimo sa onda ovo tvrdjenje iskazujemo kao: postoji trougao ciji je zbir uglova jednak sa .

Postoji cetvorougao (n-tougao) takav da je zbir njegovih uglova jednak 2 ((n 2)). Za svaki trougao postoji opisana kruznica.

1.6.1 Neke posledice aksiome paralelnosti.

Teorema 1.29. Ako su prave a i b paralelne, skup sredina svih duzi cije krajnje tacke pripadajupravoj a, odnosno pravoj b jeste prava paralelna sa pravama a i b.

Prava koja sadrzi sredine dveju stranica trougla, paralelna je trecoj stranici.Prava koja sadrzi sredinu jedne stranice trougla i paralelna je drugoj stranici, sadrzi sredinu

trece stranice.

Denicija 1.26.

Cetvorougao cije su naspramne stranice paralelne naziva se paralelogram.

Paralelogram cije su susedne stranice normalne, naziva se pravougaonik.

Pravougaonik cije su sve stranice podudarne naziva se kvadrat.

Cetvorougao cije su sve stranice podudarne naziva se romb.

Teorema 1.30.

Naspramne stranice paralelograma su podudarne. Ako su naspramne stranice cetvorougla podu-darne, on je paralelogram.

Tacka preseka dijagonala paralelograma je sredina svake dijagonale. Cetvorougao kod koga je presekdijagonala sredina svake dijagonale je paralelogram.


Ako je jedan par naspramnih stranica cetvorougla, par paralelnih i podudarnih duzi onda je tajcetvorougao paralelogram.

Teorema 1.31.

Paralelogram je romb ako su mu dijagonale medjusobno normalne.

Paralelogram je pravougaonik ako su mu dijagonale medjusobno podudarne.

Paralelogram je kvadrat ako su mu dijagonale medjusobno normalne i podudarne.

Denicija 1.27. Mnogougao je pravilan ako su mu sve ivice i svi unutrasnji uglovi medjusobnopodudarni.

Znacajne tacke trougla

Denicija 1.28. Duz cija je jedna krajnja tacka teme trougla, a druga sredina naspramne stranicenaziva se tezisna duz tog troulga. Duz cija je jedna krajnja tacka teme trougla a druga podnozjevisine iz tog temena na naspramnu stranicu naziva se visina.

Simetrale stranica trougla seku se u jednoj tacki. To je centar opisane kruznice oko trougla. Simetrale unutrasnjih uglova trougla seku se u jednoj tacki. Ta je tacka centar upisanogkruga u trougao.

Tezisne duzi trougla seku se u jednoj tacki. Ta se tacka naziva teziste trougla. Teziste delitezisnu duz u odnosu 2 : 1, i to tako da je AT = 2TA1, gde je A teme trougla, T teziste, aA1 sredina naspramne stranice.

Prave na kojima leze visine trougla seku se u jednoj tacki, koja se naziva ortocentar.

1.7 Vektori

Denicija 1.29. Uredjena dvojka (A;B) tacaka A i B je u relaciji sa uredjenim parom (C;D)tacaka C i D ako vazi

1.) [AB] = [CD]

2.) p(A;B) k p(C;D)3.) ABDC je paralelogram ili, u slucaju kada su A;B;C;D kolinearne, postoje tacke E i F tako

da ABEF i CDEF su paralelogrami.

Teorema 1.32. Relacija je relacija ekvivalencije.Prema tome, relacija deli skup parova tacaka na klase ekvivalencije. Oznacimo skup svih

klasa ekvivalencije sa V

Denicija 1.30. Element skupa V je vektor.

Dakle, vektor je skup svih uredjenih dvojki tacaka koje su ekvivalentne u odnosu na . Vektoreobelezavamo sa !v ili !AB. Imamo,

!AB = f(X;Y ); (X;Y ) (A;B)g:

Pravac vektora!AB, (A 6= B), je prava p(A;B), smer tog vektora je od A ka B a intezitet

tog vektora je merni broj duzi [AB] i oznacava se sa j!ABj. Vektor !AA nazivamo nula vektor iobelezavamo sa

!0 . Vektor

!BA ima suprotan smer od smera vektora

!AB, (od B ka A), naziva se

suprotan vektor vektora!AB = !v , i oznacava se sa !v .

1.7. VEKTORI 13

Teorema 1.33. Za svaku tacku A i svaki vektor !v postoji tacka B tako da !AB = !v .Denicija 1.31 (Sabiranje vektora). Neka je A proizvoljna tacka, i neka su !u i !v dva proizvoljnavektora. Zbir vektora !u = !AB i !v = !BC je vektor !u + !v = !AC. Ovaj se postupak nazivasabiranje vektora nadovezivanjem.

Svojstva ovako denisane operacije u skupu vektora su:

!AB +!BA = !0 , ili !v + (!v ) = !0 . Vazi zakon komutativnosti, tj. !u +!v = !v +!u , za svaka dva vektora u i v. Vazi zakon asocijativnosti, tj. !u + (!v +!w ) = (!u +!v ) +!w . Nula vektor je neutralni element, t.j !u +!0 = !0 .Razlika a b vektora a i b denisana je kao sabiranje sa suprotnim vektorom, tj.

a b = a+ (b):

Primer 1.1. Neka je ABCD paralelogram i neka su dati vektori !a = !AB, !b = !AC. Odreditivektore !a +!b i !a !b .Denicija 1.32 (Proizvod broja i vektora). Neka su dati realan broj k 2 R i vektor !v . Proizvodbroja k i vektora !x je vektor k !v sa osobinama:1.) jk !v j = jkj j!v j.2.) Pravac vektora k !v isti je kao i pravac vektora !v .3.) Smer vektora k !v je isti kao smer vektora !x , ako je k > 0, a suprotan smeru vektora ako

je !x ako je k < 0.Za mnozenje vektora brojem vazi:

k (!u +!v ) = k !u + k !v , (k1 + k2) !u = k1 !u + k2 !u , k1(k2 !u ) = (k1k2) !u , 1 !u = !u , 0 !u = !0 .

Primer 1.2. Dat je paralelogram ABCD. Neka je tacka 0 presek njegovih dijagonala, a tacka S

proizvoljna u ravni paralelograma. Izraziti!SO preko vektora !a = !SA, !b = !CD i !c = !AD.

Odgovor:!SA = !a + 12 (!c

!b ).

Bibliography

[1] Mileva Prvanovic, Osnovi geometrije, Gradjevinska knjiga, Beograd, 1980.

[2] Z. Ivanovic, S. Ognjanovic, Matematika, Zbirka zadataka i testova za I razred gimnazija itehnickih skola, Krug, Beograd, 2010.

[3] M. Mitrovic, S. Ognjanovic, M. Veljkovic, Lj. Petkovic, N. Lazarevic, Geometrija za prvirazred Matemati'v cke gimnazije, Krug, Beograd, 2010.

15

Documents

geometrija