MATEMATIČKI FAKULTET- BEOGRAD

SEMINARSKI RAD IZ METODIKE NASTAVE MATEMATIKE II

TEMA: GEOMETRIJA KAO NAUKA

PROFESOR: STUDENT: Zoran Lučić Dejan Samčević 403/06

Sadržaj:

1. Rađanje nauke…………………………………………………… 3

2. Nove geometrije…………………………………………………… 4

3. Suština moderne aksiomatske geometrije ……………………….... 4

4. Geometrijske figure ……………………………………………….. 5

5. Osobine geometrijskih figura i geometrijske transformacije ……. 6

6. Definicija geometrije ……………………………………………… 17

2

1. Rađanje nauke.

Geometrija je postala iz prakticnih, zivotnih potreba coveka. Usled tih potreba on je, u davnoj proslosti, poceo da uocava izvesne osobine predmeta kojima se sluzio i izvesne pojave koje su povoljno ili nepovoljno uticale na njega. Sto se iz tih uocavanja razvila i izgradila nauka, traba zahvaliti:

(1) permanentnoj teznji covekovoj da vlada materijalnim svetom oko sebe, da ga menja i adaptira svojim potrebama ;

(2) cinjenici da se mnogo puta ponovljeno dejstvo, isto ili analogno, materijalnog sveta odrazava u svesti kao nuznost

Ta teznja i ta cinjenica uslovile su, u toku mnogo hiljada godina, pojavu i razvoj: svesti,psiholoskih i logickih procesa, intelektualnih funkcija. Usled toga formirale su se, pored ostalih, prvi geometrijski pojmovi i uocile su se prve geometrijske cinjenice.Najstariji izvorni spisi u kojima se pominju istraživanja u geometriji, potiču iz IV v.p.n.e., a nalaze se u delima Platona i Aristotela.

Ali, sa razvijanjem drustva, zivotne potrebe rastu neprekidno. To uslovljava i neprekidno intelektualnih sposobnosti i umnozavanje,nagomilavanje geometrijskih pojmova i geometrijskih cinjenica. I tako nastaje potreba za njihovim sredjivanjem, sistematizovanjem, iz cega se neposredno radja nauka. Jer se, bas u vezi sa sistematizovanjem, pojavljuju tri nove, ali za pojavu i razvoj naucnog misljenja presudne, teznje covekove:

1) da uopstava, 2) da iz jednih cinjenica izvodi, logickim rasudjivanjem, druge, i 3) da i bez neposredne materijalne potrebe trazi i pronalazi nove cinjenice i

zakonitosti materijalnog sveta.

Kao prvog coveka, koji je ostavio tragove ne samo o tim naucnim teznjama nego i o sigurnim naucnim rezultatima, istorija pominje Talesa ( VI vek pre nove ere ). Zatim dolaze Pitagora i njegova skola ( koja se proteze na V i IV vek ), pa Aleksandrijska skola ( III vek pre nase ere ). Hipokrat je, prema komentatoru Proklu ( 412-486.nase ere ), prvi napisao knjigu geometrijskih znanja, ali prvi i pravi naucni traktat geometrije dao je ( oko 300. pre nase ere ) Euklid, jedan od trojice velikana grcke nauke. On je u 13 knjiga svojih cuvenih Elemenata definisao geometrijske pojmove, uveo prvobitne geometrijske cinjenice ( aksiome i postulate ), formulisao i dokazao sve ostale, tada poznate, cinjenice ( teoreme ), dakle rigorozno sproveo deduktivnu metodu dokazivanja geometrijskih istina.

3

2. Nove generacije.

Osim izracunavanja povrsina i zapremina ( koje je tek Lezandr uveo, 1794. god. ) Euklidovi elementi sadrze sva znanja koja se i danas koruste u skolama. Ali jos veci njihov znacaj je naucno-teorijskog karaktera. U tom pogledu, s jedne strane, oni su, preko 20 vekova sluzili kao model naucne metode misljenja, model deduktivne metode logickog dokazivanja istina, a, s druge strane, oni su, u novije vreme, sluzili kao podstrekac, kao motor dubljih ispitivanja osnova geometrije. Najvazniji rezultati toga su:

1) otkrivanje mnogobrojnih novih cinjenica ( teoreme Stjuarta, Menelaja, Ceve, Ojlera itd.,geometrija kruznice i dr. ),

2) otkrivanje novih, neeuklidskih geometrija ( projektivna geometrija, geometrija Lobacevskog, geometrija Rimana ),

3) uvodjenje metoda transformacija, 4) stroze zasnivanje euklidske ( elementarne ) geometrije ( aksiomatika ).

Pokazalo se, naime : 1) da Euklidovi elementi nisu bez nedostataka ni u logickom ni u sadrzajnom

pogledu, pa je klasicna euklidska geometrija modernizovana ( i sadrzajno i metodoloski ) tekovinama ostalih disciplina savremene matematike,

2) da pored nje ( euklidske geometrije) mogu postojati , takodje potpunoneprotivrecne, i druge, geometrije ( Lobacevskog, koja dopusta da”kroz datu tacku “ van prave, a u ravni kojoj one pripadaju, prolazi neograniceno mnogo pravih koje ne seku datu pravu; zatim Rimana, koja ne dopusta paralelne prave i dr. ).

3.Suština moderne aksiomatske geometrije:

Savremena aksiomatska, deduktivna elementarna geometrija polazi, za razliku od Euklidovih elemenata, ne samo od tacno odredjenog broja prvobitnih tvrdjenja (aksioma) koja se ne dokazuju nego i od nekoliko prvobitnih pojmova i prvobitnih relacija koje ne definise. Prvobitni pojmovi su: tacka, prava i raven. Prvobitne relacije su: (1) relacija pripadanje ( tacka i prava pripadaju jedna drugoj, prava i raven pripadaju jedna drugoj, . . .), (2) relacija izmedju ( tacka M se nalazi izmedju tacaka A i B ), i (3) relacija podudarnost.

Broj aksioma iznosi 20 i one su razvrstane u pet grupa, naime:

8 aksioma pripadnosti ili veze, 4 aksioma rasporeda, 5 aksioma podudarnosti, 1 aksioma paralelnosti, i 2 aksioma neprekidnosti.

4

( U Euklidovim elementima nema aksioma rasporeda i aksioma neprekidnosti, a aksiomi podudarnosti nisu eksplicitno formulisani.) Za svaki sistem aksioma se zahteva da bude : neprotivrecan, nezavisan ( to jest da se ni jedan aksiom ne moze izvesti iz ostalih) i potpun ( to jest da se pri dokazivanju nigde ne mora i ne sme pozivati na ociglednost ili iskustvo). Dokazano je da system savremene elementarne geometrije zadovoljava te uslove.

Svi ostali pojmovi i sve ostale relacije definisu se pomocu prvobitnih, a sva ostala tvrdjenja (teoreme) dokazuju se samo na osnovu aksioma i ranije dokazanih teorema. I definicije i dokazi izvode se veoma rigorozno, prema svim logickim zahtevima. ( Bas zbog toga osnovni pojmovi mogu da budu ma sta : “Es ist eine Dinge…” –kaze Hilbert. Tacka, na primer, moze biti i lopta ciji je poluprecnik 2 dm. Samo ako pojmovi zadovoljavaju aksiome sistema, nad njima se mogu vrsiti sva logicka rasudjivanja.)

Logicka konstrukcija ostalih geometrija je slicna. Razlika izmedju njih potice samo od polaznih pojmova i aksioma.

4. Geometrijske figure:

Cesto se mogu naci ovakve definicije : Geometrija je nauka koja proucava osobine geometrijskih figura.

Ali sta su to geometrijske figure i koje njihove osobine proucava geometrija?

1) Definicija geometrijske figure je prosta : Svaki skup tacaka, tacaka i pravih, pravih i ravni je geometrijska figura.

I kako, prema predhodnoj napomeni, tacke, prave i ravni mogu biti “ma koje stvari”, to i figure mogu biti “ma koje stvari”. Medjutim, cak i “najaksiomatskiji” geometer ima odredjene predstave tacke, prave i ravni koje najbolje odgovaraju savremenim aksiomama ( i koje je sam Hilbert, vrlo verovatno, imao pred ocima kad je sastavljao aksiome i njihov system). Utoliko pre moramo mi, stalno imati pred ocima te predstave-pojmove i moramo ih formirati. Jer, prema recima cuvenog matematicara Zak Adamara : “Niko ne moze reci sta je tacka, prava, raven. Ali onaj koji nema te pojmove , ne moze uciti geometriju”. 2) Pravu zamisljamo kao zategnut neograniceno dug konac bez debljine. Ravan zamisljamo kao neogranicenu granicu izmedju mirne vode i vazduha, dakle opet bez debljine. Tacku zamisljamo kao virus ( najmanje , dosad poznato, bice ) koji ne zauzima deo prostora. Ali to su nase predstave prave, ravni i tacke, a ono sto se u geometriji zove tacka, prava i raven nisu predstave, nego pojmovi. I, za razliku od ostalih, to su pojmovi kojima ne odgovaraju nikakvi predmeti u realnom svetu, nikakvi realni predmeti.

5

Prema tome, a s obzirom na predhodnu definiciju, i svaka geometrijska figura je pojam koji se ne moze i ne sme identifikovati niti sa “slicnim” realnim predmetima, niti sa odgovarajucim crtezima. Predmeti i crtezi su modeli geometrijskih figura i mi se njima sluzimo samo radi lakseg rasudjivanja. ( Coveku osposobljenom za geometrijska rasudjivanja nisu potrebni geometrijski crtezi. On ih cak izbegava, jer svaki crtez void u ociglednost, u najboljem slucaju smanjuje opstost rasudjivanja). Dakle, nacrtana prava, nacrtani trougao, nacrtana ili izradjena ( cak i od najfinije materije) kruznica, prizma i tako dalje, jesu modeli odgovarajucih geometrijskih figura. Otuda je nepravilno govoriti : “Produzimo tu pravu”. “Kad produzimo jedan krak ugla na suprotnu stranu (!), dobijamo …”, i slicno.

3) Mnogim geometrijskim figurama odgovaraju realni predmeti, mnoge mozemoda realizujemo “defakto” ili crtezom, ali :

(1) Svaka fizicka realizacija ( u koje spada i crtez ) predstavlja grubu pribliznost geometrijske figure. (2) Postoje, ili mozemo da definisemo, mnoge geometrijske figure koje ne mozemo ni stvarno ni crtezom prikazati. Na primer, n-strana piramida upisana u kupu kad je n dovoljno veliki prirodan broj. (3) Za razliku ne samo od realnih predmeta nego i od svih drugih pojmova , geometrijske figure mogu se “proizvoljno” kretati i menjati svoj oblik i “velicinu” u geometrijskom prostoru u kome nema : ni gore ni dole, ni levo ni desno, ni vertikalno ni horizontalno, ni tezine ni merenja vremena. Otuda one i imaju mnoge osobine. Neke od njih proucava geometrija. Koje i kako? To je predmet sledecih izlaganja, pri cemu opet moramo biti sto kraci.

5. Osobine geometrijskih figura i geometrijske transformacije:

Predpostavimo da smo merenjem, odnosno merenjem i racunanjem, odredili: -da duzina neke duzi iznosi 5 cm; - da odstojanje izmedju centara upisane i opisane kruznice nekog trougla ABC iznosi, na primer, 3 mm;- da povrsina jednog jednakostranicnog trougla iznosi 17 dm ; - da medijana ( “tezisna linija”) iz F trougla DEF prolazi “kroz” sredinu njegove visine povucene iz D. Jesu li to geometrijske osobine tih figura? Nisu. Geometrijske osobine su, na primer : Srednja linija trougla je podudarna polovini trece njegove stranice. Medijane jednakostranicnog trougla su podudarne. “Kroz” datu tacku prave moze se postaviti jedna, i samo jedna, raven normalna na pravu. Postoji tacka cija su odstojanja od temena pravougaonika (pravilnog tetraedra) podudarna. Prema tome , da jedna osobina figure bude geometrijska, potrebno je da ona bude osobina ne jedne, dve,…stotine ili hiljade figura, nego svih figura jedne klase. A klasu cine sve one figure koje se dobijaju, ili se mogu dobiti, jedna iz druge primenom jedne ili

6

vise operacija, koje se zovu transformacije . Drugim recima, geometrijske osobine figure su one osobine koje ostaju nepromenjene, invarijantne posle transformacije figure.

Pojam transformacija je jedan od tri pojma (ostala dva su funkcija i grupa) koji igraju ogromnu ulogu u modernoj matematici. Opisujuci, ukratko, geometrijske transformacije, mi cemo istovremeno videti : i sta su geometrijske osobine geometrijskih figura, i sta su grupe , i sta je geometrija.

1) Zamislimo pravilan (jednakostranican) ili ma koji drugi (proizvoljan) trougaoABC. Iz njega, a u ravni koju on odredjuje, moze se dobiti beskrajnomnogo trouglova. Postupci za to dobijanje prikazani su crtezima 1, 2, 3 i 4. Neposredno se vidi da :

(1) na slici 1 je: # # ,

,

, itd. I da su sve tri duzi ( itd. ) jednako orijentisane;

(2)na slici 2 je: itd. i da su sva tri ugla jednako orijentisana;

7

(3) na slici 3 je: , , i slicno dalje;

8

(4) na slici 4 je: , , ( ), , ,i slicno dalje.

Kazemo (sto je vrlo dobro poznato) da su trouglovi i simetricni u odnosu na pravu ( 1p ), da su trouglovi i simetricni s obzirom na ( ) itd. Ili drugacije: trougao (a isto tako i ) dobija se iz trouglatransformacijom koja se zove osna simetrija. (Ocigledno je da tom transformacijom mozemo dobiti koliko god hocemo trouglova u ravni. )

Na slican nacin: trouglovi , …, (sl. 1) i jos beskrajno mnogo, dobijaju se iz transformacijom koja se zove translacija, trouglovi ,

, … (cl. 2) dobijaju se iz rotacijom (oko tacke O za dati trougao); na slici 3 je prikazana transformacija koja se zove centralna simetrija.

Vrlo se lako moze pokazati da se svakom tom transformacijom dobijaju podudarni (kongruentni) trouglovi, odakle sledi da sve spomenute transformacije, koje se zajednickim imenom ponekad zovu (geometrijsko) kretanje, transformisu ma koju figuru u podudarnu (kongruentnu) figuru. Zato se zovu i izometrijske transformacije. Treba uociti da odgovarajuce duzi transformisanih figura (pored kongruentnosti) :

(a)pri translaciji su paralelne i jednako orijentisane; (b)pri centralnoj simetriji su paralelne i suprotno orijentisane; (v) pri rotaciji grade ugao jednak uglu rotacije;

9

(g) pri osnoj simetriji prave kojima pripadaju seku se na osu simetrije;

Ali bitno je: pri ma kojoj transformacijji kretanja dobijaju se podudarne figure (pri cemu pod podudarnoscu podrazumevamo “jednakost” duzi i uglova). A sve to (sto je receno za ravan) vazi u potpunosti i za (obicni) prostor, tako da ma koje kretanje transformise datu figuru u podudarnu figuru.

2) Od ma kojeg trougla moze se dobiti, u njegovoj ravni, neograniceno mnogo trouglova i na ovaj nacin: Na polupravama odredjenim proizvoljnom tackom O ravni (trougli ) i temena (ili ma kojim drugim tačkama) trougla uzmu se tacke , ,

( , , itd) tako da je , gde je k proizvoljan realan broj. Na

slici 5, na primer je: , , .

Takva transformacija trouglova zove se homotetija ili centralno-slicna transformacija. Tacka O se zove centar homotetije, a broj k je njen koeficijent.

10

Lako se moze prikazati da pri homotetiji invarijantni ostaju uslovi i razmere

(odnosi) duzi, to jest (sl.5) (odakle sledi da je svaka duz figure

dobijene homotetijom k puta veca, odnosno manja, od odgovarajuce duzi polazne figure). Za ma koje dve figure koje zadovoljavaju taj uslov kazemo da su slicne. Na slici 5 trougao slican je ma kojem od ostalih prikazanih trouglova. Znaci homotetija je specijalan slucaj opstije transformacije koja se zove slicnost i pri kojoj uslovi i razmere odgovarajucih duzi ostaju nepromenjeni, invarijantni. (Kod homotetije odgovarajuce duzi su i paralelne.)

3) Prema predhodnom, svi jednakostranicni trouglovi su slicni. Medjutim, ako jednakostranicni trougao, nacrtan na tabli, fotografisemo, njegova fotografija ce samo u jednom slucaju biti slican, dakle jednakostranican trougao: kad je ravan fotografske ploce paralelan ravni crteza (table). U svakom drugom slucaju (to jest kada se crtez fotografije “sa strane”, kad spomenute dve ravni nisu paralelne) fotografija nije jednakostranicna, nego neki drugi trougao:uslovi se menjaju, a izmedju stranica (datog, nacrtanog i dobijenog, fotografije trougla) ne postoji nikakav zajednicki odnos. A fotografisanje je, geometriski receno, transformacija. I tako je pri tome uveden termin projektovati (crtez, figura se projektuje na fotografsku plocu), pri cemu je centar sociva centar projektovanja, to se fotografisanje javlja kao “uopstena homotetija”.

Dakle, ako zamislimo sve poluprave koje izlaze iz tacke O van ravni date figure, a koje prolaze “kroz” sve tacke te figure, njihovi prodori kroz ma koju drugu ravan grade novu figuru. Ona se zove centralna projektica ili, prosto, projekcija date figure iz centra O. A sama transformacija zove se centralno projektovanje ravni (date figure) na ravan (dobijene figure). Ravan koja se proektuje-sa . (Poluprave pomocu kojih se projektuje zvacemo projektujuce poluprave.) S obzirom na medjusobni polozaj te dve ravni, razlikujemo:

slucaj kada su one paralelne , i slucaj kada nisu paralelne .

11

U prvom slucaju dobijena figura je slicna datoj, i transformacija se svodi na centralno-slicnu transformaciju (homotetiju u prostoru). Drugi slucaj predstavlja opstiju (geometrijsku) transformaciju, pri kojoj:

(1) Svaka prava (osim jedne) transformise se u pracu sl . (2) Postoji jedna, i samo jedna, prava ravni kojoj ne odgovara nista u

. To je presek ravni i ravni koja prolazi kroz O, a paralelna je sa . Lako se moze videti zasto ona nema svoju projekciju. Oznacavacemo je sa (x).

(3)Postoji jedna, i samo jedna, prava ravni u kojoj je ne projektuje ni jedna tacka ravni [ili, sto je isto, koja nema svoju projekciju na , sl. 7 (2)]. Ona je presek ravni i ravni koja prolazi kroz O, a paralelna je sa . Oznacavacemo je sa ( ). (4)Ako se prave ( ) i ( ) ravni seku u (bilo kojoj) tacki prave (x), njihove projekcije (na ) jesu paralelne [sl. 7(1)]. I to vazi za sve prave koje prolaze kroz istu tacku prave (x). Sve se one transformisu u paralelne prave. (5)Projekcija paralelnih pravih ( ) i ( ) ravni seku se u odredjenoj tacki prave ( ) [sl. 7(2)].

12

(6)Prave ravni pa ralelne sa (x) transformisu se u prave paralelne sa ( ).

(7) Duž se moze transformisati u duž, ali i polupravu [kad jedna njena krajnja tacka pripada pravoj (x)], odnosno u dve poluprave [kad sece pravu (x)].

(8) Ugao se transfomise u nepodudarni ugao.

(9) Kruznica se moze transformisati u kruznicu, ali i u ma koju krivu drugog reda (elipsu, hiperbolu, dve prave, jednu pravu). I, uopste, svaka kriva drugog reda moze se transformisati u svaku drugu krivu drugog reda.

(10) Razmera (odnos) duzi odražava se samo pravima paralelnim sa (x)

13

Dakle , pri centralnom projektovanju ravni na ravan ne održavaju se ni podudarne duzi, ni podudarnost uglova, ni razmera duzi (u opstem slucaju), ni paralelnost (u opstem slucaju). Odrzava se samo presek pravih [ali i pojam preseka se uopstava, jer, prema (4), projekcije dveju paralelnih pravih ne seku se uvek]. Usled toga, transformacijom centralnog projektovanja ravni na ravan, figure mogu pretrpeti velike deformacije, na primer: (a) Projekcije trougla mogu biti veoma slozene figure (sl.7a). (b) Pravilan (jednakostranican) trougao transformise se u nepravilan trougao, pri cemu se medijane transformisu u neke duzi koje se seku, ali one nisu vise medijane, jer sredine duzi nisu vise sredine transformisanih duzi.

(v) Paralelogram se nikad ne transformise u paralelogram. Ilistracije radi, a i da bismo videli kako se pojmovi (u ovom slucaju presek pravih) uopstavaju dokazimo teoremu: Ako se trouglovi i nalaze u takvom medjusobnom polozaju dap rave odredjene njihovim odgovarajucim temenima ( ) pripadaju istoj tacki, onda preseci pravih kojima pripadaju odgovarajuce stranice ( i

) pripadaju istoj pravoj [teorema Dezarga, sl. 8(1)]. D o k a z. – Neka su P, Q, R respektivne tacke preseka pravih i i

i [sl. 8(1)]. Projektujemo ravan na novu ravan tako da prava

14

bude prava (x). Tada, na osnovu osobine (4) centralnog projektovanja, figura prikazana crtezom 8(1) transformise se u figuru prikazanu crtezom 8(2), gde je i

Iz toga, pak, sledi a odatle , to

jest [sto opet na osnovu osobine (4)] znaci da je presek R pravih i pripada pravoj , to jest ono sto je trebalo i dokazati. Medjutim, preseci odgovarajucih pravih pripadaju istoj pravoj i kad je

[sl. 8(3)]. Zatim, crtez 8(4) pokazuje da kad odgovarajuca temena trouglova pripadaju paralelnim pravima i uz to je imamo A sta pokazuje crtez 8(5)? I kako se svi ti slucajevi dikazuju? Dokazuje se istim (predhodno navedenim) dokazom, ako se, jednom konvencijom, uvedu takozvani beskrajno daleki elementi ravni. Naime, pri centralnom projektovanju svaka prava ravni ima svoju projekciju osim jedne, prave (x). Da bismo se oslobodili tog izuzetka, kazemo da se prava (x) transformiše u beskrajno udaljenu pravu, to jest da je projekcija prave (x) ravni π beskrajno udaljena prava ravni , a projekcija svake tacke prave (x) je beskrajno udaljena tacka (ravni ). I ako se sve prave koje se seku u istoj tacki prave (x) transformisu u paralelne prave, kazemo da se paralelne prave seku u beskrajno udaljenoj tacki. Dakle, svakom sistemu paralelnih pravih jedne ravni odgovara jedna beskrajno udaljena tacka (u kojoj se one “seku”), a sve beskrajno udaljene tacke pripadaju beskrajno udaljenoj pravoj te ravni. Na osnovu te konvencije svi slucajevi prikazani na slivi 8 jesu specijalni slucajevi teoreme Dezarga. Zaista, u slucaju 8(3) prave seku se u beskonacno udaljenoj tacki, to jest svodi se na 8(1). U slucajevima 8(4) i 8(5) prave

jesu paralelne, sto znaci da se seku u istoj (beskrajno udaljenoj) tacki. Ili, obrnuto, posto presek pravih i mora pripadati pravoj , sve tri prave su paralelne. Ali to nije sve. Posle uvodjenja beskrajno udaljenih elemenata i translacija (sl.1) i homotetije (sl.5) trouglova javljaju se specijalni slucajevi teoreme Dezarga: je u oba slucaja beskrajno udaljena prava. Ravan dopunjena, na opisani nacin, beskrajno udaljenih elemenata zove se projektivna ravan. 4) Iz navedenog primera vidi se moc transformacije koja se zove centralnoprojektovanje ravni na ravan. Jedno njeno uopstenje je jos mocnije, interesantnije i korisnije. Ono se vrsi ovako: Pomeramo, na proizvoljan nacin , ravan date figure u prostoru, a zatim projektujemo iz nekog centra figuru na prvobitni polozaj ravni . Ili, sto je isto: Projektujemo ravan iz nekog centra na ravan , a zatim projektujemo ravan (natrag) na ravan iz drugog nekog centra . Rezultat, ma kog od tih postupaka, jeste figura , koja takodje pripada ravni figure . Na taj nacin je ravan transformisana na samu sebe: uspostavljen je postupak kojim se svaka njena tacka transformise u drugu njenu tacku. Takva transformacija se zove projektivna transformacija, a figure koje se dobijaju pomocu nje zovu se projetkivne figure. Projektivnom transformacijom figura se transformise u figuru , koja pripada istoj ravni. Pri tom, uspostavljeni su postupci za neposredne (dakle bez posrednicke ravni ) projektivne transformacije, to jest, postoje postupci kojima se ravan

15

transformise u samu sebe, kojom se, dakle, iz dake figure dobije njena projektivna figura bez posledicne ravni (onako kao sto postoje postupci translacije, rotacije, slicnosti itd.) 5) Postoji citav niz specijalnih projektivnih transformacija. Jedna od njih jeste paralelno projektovanje ravni na ravan. To nastaje onda kad se centar O centralnog projektovanja ravni na ravan udaljuje u beskrajnost. Tada projektujuce poluprave postaju paralelne prave. Pri tom, ako su ravni i paralelne, transformacija se svodi na translaciju. U svakom drugom slucaju imamo opste paralelno projektovanje ravni na ravan, cije su opste karakteristike:

(1) Prava se transformise u pravu. (2) Paralelne prave se transformisu u paralelne prave.

(3) Razmera dve duzi jedne iste prave se odrzava ( na pr.

(4) Razmera dve duzi paralelnih pravih se, takodje, odrzava,( na pr.

ako je BC||AE ).

(5) Odnos povrsi dveju figura se odrzava. Ove karakteristike necemo dokazivati, ali cemo ih primeniti ( da bi videli vrednost transformacije) pri dokazivanju dve poznate teoreme. 1 Medijane trougla pripadaju istoj tacki. Dokaz.- Projektujmo proizvoljni ravne na ravan tako da se dobije jednakostranican ∆ . Na osnovu karakteristike (3) sredine stranica ∆ABC prelaze u sredine stranica ∆ , pa i medijane ∆ABC, prelaze u medijane ∆ . A kako je ∆ jednakostranican, njegove medijane i simetrale uglova pripadaju istoj tacki (centar upisane kruznice). Dakle, medijane ∆ABC pripadaju istoj tacki. 2 Prava odredjena tackom preseka neparalelnih stranica trapeze i preseka (njegovih) dijagonala pripada sredini paralelnih stranica. Dokaz- Neka je ABCD proizvoljan trapez. Oznacimo presek (njegovih) neparalelnih stranica sa E, a presek dijagonala sa F. Projektujmo paralelno ravan π (figure) na ravan tako da se ∆ABE transformise u jednakokraki ∆ . Tadaje, na osnovu karakteristike (2), trapez jednakokraki, pa osa simetrije jednakokrakog trougla prolazi “kroz” sredine duzi . Na osnovu karakteristike (3) i prava EF prolazi “kroz” sredine stranica AB i DC trapeze ABCD, cime je teorema dokazana. Slicno centralnom projektovanju ravni na samu sebe, moze se ona i paralelno projektovati na samu sebe. A to projektovanje se naziva afina transformacija, a figure koje se dobijaju pomocu nje jesu afine figure.

6. Definicija geometrije.

16

1) Iz definicije da je geometrija nauka o geometrijskim osobinama figura, a da su geometrijske osobine one osobine koje ostaju invarijantne pri transformacijama, i iz cinjenice da svaka grupa transformacija zadrzava invarijantne tacno odredjene osobine, sada sledi: Geometrija je nauka koja proucava one osobine geometrijskih figura koje se ne menjaju (ostaju invagijantne) pri transformacijama odredjene grupe transformacija. Iz te definicije proizilazi da postoji ne jedna, nego vise geometrija. I zaista je tako. Moramo razlikovati : geometriju kongruentnosti (podudarnosti) , koja proucavaosobine podudarnih figura, geometriju slicnosti, afinu geometriju ( proucava osobine koje ostaju nepromenjene pri transformacijama afine grupe) i projektivnu geometriju ( proucava osobine koje se ne menjaju pri primeni grupe projektivnih transformacija). Medjutim, moze se pokazati da grupa transformacija kretanja predstavlja podgrupu jedne opstije grupe, u koju ulazi jos grupa transformacija slicnosti i grupa takozvanih ogledalskih transformacija (ogledalska simetrija, …). Ta opstija grupa se zove glavna grupa transformacija. Osobine koje ostaju invarijantne pri transformacijama glavne grupe transformacija proucava euklidska, odnosno metricka ili elementarna geometrija. 2) Mozemo reci da je metricka geometrija sadrzajnija, bogatija osobinama i cinjenicama nego afina i projektivna geometrija, iako su predmeti ispitivanja metricke geometrije samo prava (figure sastavljene od pravih linija) i kruznica. Vec u afinoj geometriji ne postoje vrste trouglova ni pravilni mnogouglovi, a u projektivnoj nema ni pomena o paralelogramima niti o ma kakvim metrickim osobinama. Medjutim, osobine, cinjenice koje proucava afina geometrija jesu opstije i bitnije, karakteristicnije. Jos opstije i bitnije su projektivne osobine. Projektivne osobine su najopstije i najcvrsce, najzilavije, najstabilnije, “najkonstantnije” geometrijske osobine: to su sustinske osobine geometrijskih figura . Metricke osobine su “krhke”, lako razorljive. Ako sun nam dopustena “ocigledna” uporedjenja, mozemo reci: Metricke osobine su povrsinske i zato se lako mesaju sa sporednim osobinama, mute se i nestaju, affine su dublje, a projektivne su najdublje; ili, metricke osobine se gube i nestaju onako isto kao sto se gube sporedne i slucajne karakteristike kuce, na primer kad se od nje udaljavamo, projektivne su one po kojima se stvarno razlikuje jedna kuca od druge; ili, i po liscu mozemo odrediti vrstu drveta, ali najsigurnije je kad se od drveta malo udaljimo i posmatramo njegov rast, oblik i raspored grana. Uostalim, vec smo videli da su affine transformacije specijalan slucaj projektivnih transformacija i da je, sa svoje strane, translacija specijalan slucaj afinih transformacija. Ili, homotetija je specijalan slucaj projektivnih transformacija, a translacija je specijalan slucaj homotetije. Zato je razumljivo da sve ono sto tvrdi projektivna geometrija vazi i u metrickoj geometriji, ali obrnuto ne stoji. No da bismo jos “ociglednije” prikazali moc, lepotu i eleganciju projektivnih transformacija i projektivne geometrije, mi cemo formulisati samo nekoliko osobina (cinjenica, teorema) koje metricka geometrija ne moze ni otkriti, a kamoli dokazati :

1 Ako se uoce tri proizvoljne tacke, A, B, C, prava (p), ( slika 9), i tri proizvoljne tacke, , prave ( ), onda preseci pravih

pripadaju istoj pravoj.

17

Слика 9.

Слика 10.

2 Neka je O ( slika 10) presek pravih (l), (m), (n), a presek pravih .

Neka su P, Q, R respektivni preseci pravih

respektivni preseci ostalih pravih. Tada prave pripadaju ( seku se u ) istoj tacki. Ovi primeri ilustruju osnovni ( geometrijski ) zakon, takozvani zakon dualnosti. Elementarno izražen on glasi : Svaka međusobna veza između tačaka i pravih (tačaka i ravni ) važi (ostaje ) i onda kad tačke preuzmu ulogu pravih, i obrnuto. Zaista : u tri tačke triju parova pravih pripadaju istoj pravoj ; u 2 tri prave triju parova tačaka pripadaju istoj tački.

18

L i t e r a t u r a

1. Stanko Prvanović, Nastava geometrije u osnovnoj školi, Zavod za izdavanje udžbenika 1964.

2.dr Zoran Lučić, Ogledi iz istorije antičke geometrije

3.Milica Dajović, Priručnik za dodatnu nastavu,

19